具有模糊性的最优消费与投资组合选择

2022-5-5 08:50:50

具有模糊性的最优消费与投资组合选择*, 德国比勒菲尔德大学弗兰克·里德尔数学经济中心2014年1月9日摘要在连续时间内存在奈特不确定性的情况下，我们考虑最优消费和投资组合选择。我们将这个问题嵌入到这种情况下的随机演算的新框架中，特别是处理非等价多先验的问题。我们通过确定最坏情况的衡量标准来彻底解决问题。我们的设置还允许考虑利率的不确定性；我们发现，在一些稳健的参数星座下，投资者将其所有财富最优地投入资产市场，并且根本不储蓄或借贷。*电子邮箱：钱。Lin@uni-比勒菲尔德。简介投资和消费财富的最佳方式属于基本金融问题。标准教科书中的答案使用了莫顿（1969）在风险资产几何布朗运动模型框架内的解决方案。在本文中，我们将这一基本模型推广到允许资产和利率动态的K-nightian不确定性，并研究模糊性的后果——厌恶投资者。在连续的时间里，骑士式的不确定性导致了一些微妙的问题。关于波动性的不确定性，以及关于短期利率的不确定性，需要使用单一的概率度量，这是一个奇怪的，但在一个模糊的世界自然事实中。投资者很谨慎，认为自然会有令人不快的惊喜。特别是，风险资产的波动性可能会在一定范围内走上令人惊讶的道路。幸运的是，最近几年出现了一种新的随机演算，它将无处不在的It^o演算扩展到了这样多个先验模型。

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2022-5-5 08:50:54

最近，Epstein和Ji（2011）详细讨论了这种方法的合理性以及效用理论和均衡资产定价的结果。我们在这里展示如何将classicMerton–Samuelson模型嵌入到这个新框架中。新框架的优点是，它允许使用基本上众所周知的鞅参数来确定候选策略的最优性，就像在经典案例中一样。一般来说，在奈特不确定性下很难得到明确的结果，但我们能够完全解决模糊性——规避投资者的最优消费——投资组合问题。在第一步中，我们推导了经典汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程的奈特不确定性的扩展。对该方程进行更仔细的分析，可以得出最坏情况下的衡量标准。然后，我们使用新技术验证了在最坏情况下，模糊厌恶型投资者表现为经典的预期效用最大化者。最坏情况测度的存在会立即产生一个maxmin结果：模糊度下的值函数是期望效用下的值函数的较低包络。模棱两可会导致不同的最佳对账单和消费计划的预测。与简单的静态模型一样，不确定资产的平均收益的高度模糊性导致不参与资产市场。就波动率而言，我们表明，我们的风险和模糊性规避投资者总是使用最大可能的波动率来确定期权，马丁尼（200 6）开发了这样一个框架，用于研究奈特不确定性下的期权定价；Peng（2007）从奈特不确定性下的s cratch发展了整个随机演算理论。错误的政策。

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2022-5-5 08:50:57

当我们将利率不确定性考虑在内时，会出现一个更令人惊讶且据我们所知的新结果：对于稳健的参数集，当利率不确定性非常高时，投资者会将其所有财富投入资产市场，这是我们在最近金融危机后的数学中观察到的现象。当利率较低，且投资者认为模糊性非常高时，他们倾向于将所有资本仅投入资产。储蓄和借贷都被认为是不确定的有价值的活动。奈特不确定性或模型不确定性的问题最近引起了广泛关注，无论是在实践中，还是在理论上，随着许多财务决策对可疑概率假设的敏感性变得清晰，不确定性下的决策和r isk测量的广泛理论已经发展起来。Gilboa和Schmeidler（1989）通过削弱Savag e（1954）和Anscombe和Aumann（1963）之前用于证明（主观）预期效用的强独立性公理或确定性原则，为骑士式不确定性下的决策新方法奠定了基础。这些模型与行星风险度量密切相关（Artzner、Delbaen、Eber和Heath（1999））。随后，该理论被推广到变分偏好（Maccheroni、Marinacci和Rustic（2006a）、F"ollmer和Schied（2002））和动态时间一致性模型（Epstein和Schneider（2003）、Maccheroni、Marinacci和Rustichini（2006b）、Riedel（2004））。萨缪尔森（1969年）和默顿（1969年）的开创性成果为大量文献奠定了基础。

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2022-5-5 08:51:00

由于基本模型中的平均收益率、波动率和利率都是常数，因此对这些参数具有随机、时变动态的后果进行了详细研究。对均值回复漂移（或“可预测收益”）、随机波动率模型和随机期限结构模型进行了详细研究。这些模型都在预期效用范式下工作，因为它们假设参数为aknown分布。同样，我们也可以研究完整的信息模型，其中投资者更新了对某个未知参数的初始信念。与这些贝叶斯模型不同的是，我们关注的是最近的奈特方法，即投资者对其模型参数的世界持悲观、最大化的观点。我们也可以放松跨时效用函数的时间加性结构，如递归效用模型Duffee和Epstein（1992）、Hindy-Huang-Kreps模型（Hindy和Huang（1992）、Bank和Riedel（2001））、Barberis（2000）研究均值回复回报和估计误差。Chacko和Viceira（2005）研究随机波动性。有关随机利率和波动性的最新一般方法，请参见Liu（2007）。Schroder和Skiada s（2002）或允许交易约束和交易成本，这些主题超出了本文的范围。根据安德森、汉森和萨金特（2003）的精神，奈特方法与模型不确定性或稳健性考虑密切相关。例如，特洛伊和瓦尼尼（2002）和马恩霍特（2004）研究了带有漂移模糊性的r-obust投资组合选择问题。Chen和Epstein（2002）、Miao（2009）、Schied（2005）、Schied（2008）、Liu（2010）、Liu（2011）等也讨论了连续时间内的漂移模糊性。F"ollmer、Schied和Weber（2009）对这些文献进行了调查。

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2022-5-5 08:51:04

在这些论文中，与我们的方法相比，我们使用了一个参考度量，它的先验是等价的。特别是，我们不能在这些模型中讨论波动性的不确定性。论文的结构如下。下一节将在新的框架内阐述奈特不确定性下的默顿模型。投资组合的最优消费和利率规则如下。第4节接着概括了模糊的利率。附录收集了有关新的统计学微积分的相关信息。2奈特不确定性下的萨缪尔森-默顿模型萨缪尔森（1969）和默顿（1971）提出了连续时间内资产定价的标准方法；它们使用安全资产或债券，确定性动态Cdpt=RPTDt（已知利率r）和风险资产S（满足布朗运动B的uStdt+σstdbt）以及已知漂移和波动性参数u和σ）。当然，正如我们在导言中所讨论的那样，这个基本模型以多种形式进行了扩展。。在这里，我们展示了如何为不知道特定参数及其概率定律的投资者处理最优投资组合消费选择问题。因此，在未知参数分布未知的意义上，我们具有奈特不确定性。

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nandehutu2022

2022-5-5 08:51:07

然而，投资者愿意（或知道）相关参数的特定界限；她是模糊的——厌恶，旨在找到对此类参数不确定性具有鲁棒性的政策，从某种意义上说，它甚至对恶意的性质都是临时性的。就建模而言，我们的新方法展示了如何将萨缪尔森-默顿模型嵌入到扩展的随机演算框架中；该模型的优点是，它允许使用著名的it类型鞅参数来解决问题。从技术上讲，我们将用所谓的G-布朗运动来代替标准的布朗运动B，我们用相同的符号B来表示。a G-布朗运动是一种具有未知波动过程的扩散。它与经典微积分中已知的布朗运动有许多相同的性质；然而，其二次变化hBi不等于失效时间t；仅对formhBit的估计∈σ,σ对于某些波动性范围0<σ≤ 给出了σ。经典模型为f或σ=σ。我们将漂移项udt替换为一个模棱两可的术语dbtwb，其中b是一个有界变化过程，允许在两个界[u，u]之间出现任何漂移。我们现在称之为不确定资产的新模型为asdSt=Stdbt+Stdbt。我们将在续集中为返回过程编写dRt=dbt+dbt。它表现出波动性和不确定性。无风险资产是标准的，价格动态Cdpt=rPtdt，其中r是恒定利率。我们可以考虑利率的不确定性，正如我们在第4节中所展示的那样。目前，当我们保持恒定和已知利率的理想假设时，结果更加透明。然后，投资者的信念通过一组f ormPu、σ的先验值进行总结，其中u和σ是（逐步可测量的）随机过程。

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2022-5-5 08:51:11

在前一个Puσ下，不确定资产具有漂移u和波动率σ，短期利率等于r。请注意，对于不同的波动率或短期利率规格，前一个是相互单一的。投资者不预先确定空集合；在模型不确定性下，需要减少“不可能”事件的数量。只有在所有可能的优先级下为空的事件才能被认为是可忽略的。从技术上讲，这些事件被称为极性事件；如果一个事件在所有先验条件下的概率为1，我们说它几乎肯定会发生。在附录中，我们更详细地描述了更一般的多维情况下（使用Shige Peng的方法）的先验集P和相应的次线性和超线性期望的数学构造。第一次阅读时可以跳过。2.1资产价格指数B是波动率界为[σ，σ]的G-布朗运动。设b为漂移界为[u，u]的两个最大分布递增过程。不确定资产价格随着DST=StdRt，S=1的变化而变化，其中收益动态满足度RT=dbt+dbt。本地无风险债券演变为sdPt=Ptrdt，P=1.2消费和交易机会投资者选择投资组合策略π和消费计划c。不确定性减少了投资者可能选择的一组可能的消费计划和交易策略。这反映了不确定性可能带来的市场的经济不完整性。与经典案例一样，我们希望给出跨期预算约束的精确含义Xt=XtπTtdRt+（1）- πTt1）Xtrdt- ctdt=rXt（1- πTt1）dt+XtπTtdbt- ctdt+XtπTtAdBt。

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2022-5-5 08:51:14

（2.1）为了做到这一点，我们必须引入适当的限制条件，直观地说，使随机微分方程在所有先验条件下同时有意义。为了精确定义消费计划和投资组合选择，我们引入了随机变量空间和随机过程，从技术上讲，这与经典情况不同，因为先验的不等价性。我们用Ohm = C2d（R+）所有R2d值连续路径（ωt）t的空间∈w=0的R+，配备了由紧集上的uniformconvergence生成的拓扑。我们让我(Ohm) 是上所有有界函数和连续函数集的完备Ohm 在范数kξk=^E[|ξ|]：=supP∈PEP[|ξ|]。对于t∈[0，T]，我们定义了以下spaceLip(Ohmt） =n~n（ωt··，ωtm）|m∈ N、 t，··，tm∈ [0，t]，对于p的所有有界函数≥ 1，我们现在考虑如下形式的过程η：η=n-1Xj=0ξj[tj，tj+1），其中0=t<t<·和ξj∈ 嘴唇(Ohmtj），j=0，·n- 1，Wedenote上述过程的集合Mp，0。Mp中的标准值为0，定义为ηkp=^EhZT |ηt | pdtip=^Ehn-1Xj=0 |ξtj | p（tj+1- tj）我p、最后，我们用mpt表示在上述范数下Mp，0的完成。投资者选择一个消费计划c，这是一个非负随机过程∈ M.投资者还可以选择投资于i风险资产的财富πi的分数，以及财富1的分数-Pdi=1π投资于无风险资产。初始捐赠x>0且投资组合-消费政策（π，c）的投资者的财富由dxt=XtπTtdRt+（1）给出- πTt1）Xtrdt- ctdt=rXt（1- πTt1）dt+XtπTtdbt-ctdt+XtπTtAdBt，（2.2），其中π=（π，··，πd）是交易策略，1=（1，··，1）T。

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2022-5-5 08:51:17

消费和投资组合过程对（π，c）是可容许的，如果Xt≥ 0，t∈[0，T]，c∈ 曼德π∈ 我们用∏表示B中所有可容许π取值的集合=(-∞, +∞). 此外，我们用C表示所有此类可容许的C.2.3效用的集合。投资者是模糊的——在其先验集合上厌恶并最大化最小预期效用。对于任意随机变量X(Ohm, FT），我们表示byEX:=infP∈PepX不确定结果的最低预期值X.投资者的消费效用c∈ 如果遗赠一个终极财富XTisU（c，X）=E[ZTu（s，cs）ds+Φ（T，XT）]，效用函数u和遗赠函数Φ分别严格地相对于c和X递增、凹和可微。我们进一步假设u和Φ分别是C1，3和C。此外，我们假设边际效用为零：limc→0cu（t，x）=∞.我们定义了值函数：V（x）=sup（π，c）∈π×CU（c，X），即投资组合和初始财富的间接效用函数。在附录中，我们证明了在具有模糊性3的x.3最优消费和投资组合选择中，V（x）是递增的和凹的。1鲁棒动态规划原理我们快速回顾了默顿提出的一维经典动态规划方法。

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mingdashike22

2022-5-5 08:51:21

当v（t，x）用财富x表示时间t的值函数时，动态规划原理非正式地表示v（t，Xt）最大π，cu（t，ct）+E[v（t+t、 Xt+t | Ft]，根据微积分的一般规则，它导致典型的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程supπ，cnu（t，c）- cvx（t，x）+πx（u）- r） vx（t，x）+πxσvxx（t，x）o=0。它反映了通常的鞅原理：对于具有财富过程X的所有可容许策略（π，c），间接效用和过去消费效用v（t，Xt）+Ztu（s，cs）dS之和是一个超鞅，是最优策略的鞅。因此，我们应该期待一个类似的等式，但需要注意的是，大自然（或我们的谨慎）选择了漂移u和波动率σ的最坏参数。对于给定的投资组合消费政策（π，c），自然会使效用最小化，从而导致局部不确定的HJB方程SUPπ，cinf（u，σ）∈Θnu（t，c）- cvx（t，x）+πx（u）- r） vx（t，x）+πxσvxx（t，x）o=0。（3.1）事实上，如果我们能找到一个合适的光滑函数来解决这个调整后的HJB方程，我们就解决了我们的问题。以下VerificationTherem更详细地说明了这一事实。定理3.1设φ∈ C1,2（（0，T）×R+）是下列方程sup（π，c）的一种形式∈B×Anu（t，c）+~nt（t，x）+xr~nx（t，x）（1）- πT1）- c~nx（t，x）]+inf（q，q）∈Θ{x（t，x）xhπ，qi+xxx（t，x）hATππTA，qi}o=0，（3.2）带边界条件（t，x）=Φ（t，x）。那么我们就有v（x）=~n（0，x）=sup（π，c）∈π×CU（c，X）。上述定理给出了关于最优消费和最优选择的不确定HJB方程，具有非常普遍的漂移和波动模糊性。在我们的典型案例中，这些不确定性很容易彼此分离（从这个意义上说，它们是“独立的”），但对于漂移和波动性不确定性之间的依赖性，还有许多更有趣的可能规定。

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2022-5-5 08:51:24

例如，Epstein和Ji（2013）认为Θ=n（u，σ）：u=umin+z，σ=σmin+αz，0≤ Z≤zo，其中umin、σmin、α>0和z是固定的确定性参数。3.2标准模型中的最坏情况度量在本节中，我们将通过将其简化为合适的经典预期效用最大化问题，彻底解决模糊-厌恶投资者选择问题。为了做到这一点，我们将分析HJB方程，以猜测之前最坏的情况。然后，我们将验证最坏情况下的值函数也能解不确定的HJB方程。在规范模型中，可以明确地解决自然界的极小化问题。让我们再看看不确定的HJB方程。首先，就像在经典案例中一样，我们很自然地认为间接效用是递增的，或者说φx>0，或者（严格地说）是凹的，或者说φxx<0。在正则模型中，对于漂移，我们得到了simplyinfu∈[u，u]nаx（t，x）xhπ，uio=аx（t，x）xdXi=1πiui{πi>0}+аx（t，x）xdXi=1πiui{πi>0}≤0}.显然，如果我们是长的，自然会决定低漂移，如果我们是短的，自然会决定高漂移。对于波动率，由于价值函数是凹的，我们最终将收益的潜在波动率最大化。对于波动性，我们立即得出结论，自然界总是选择其最大可能的价值。厌恶风险和模糊性的投资者会对波动性进行谨慎估计，或在估计的基础上增加模糊性溢价。在解决了自然的选择之后，我们只剩下一个简单的消费和对开本权重的最大化问题，但当我们从短期仓位变为长期仓位时，线性部分的扭结为零。

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nandehutu2022

2022-5-5 08:51:27

因此，我们需要tomaximizeu（t，c）+~nt（t，x）+~nx（t，x）xr- ~nx（t，x）c+~nx（t，x）xdXi=1πi（ui）- r） 1{πi>0}+ψx（t，x）xdXi=1πi（ui- r） 1{πi≤0}+x~nxx（t，x）dXi=1（πi）（σi）除以π和c。投资组合的解取决于无风险利率与漂移边界的关系。让我们写下a（t，x）=-代表代理人的间接相对风险规避。最佳投资组合选择包含最坏的情况。投资者评估最佳多头仓位和最佳空头仓位，然后选择最佳多头仓位。最佳对开本为^πi=ui- ra（t，x）（σi），i=1，·，d，如果最低可能漂移高于无风险率，ui>r，这是一个多头仓位。最优的投资组合选择是^πi=ui-ra（t，x）（σi）如果对比ui<r，这是一个空头头寸。重要的情况是中间一种情况，模糊度允许比利率更低或更高的漂移；在这种情况下，最优投资组合不会投资于不确定资产，即^πi=0。这是因为多头头寸以最低溢价来评估，而空头头寸以最高溢价来评估。财富回报率严格低于无风险利率，这导致风险资产市场的不参与。当我们将最优投资组合的公式与经典的默顿解进行比较时，我们得出以下猜想：如果ui>r，投资者表现为最低可能漂移ui，则为真实漂移。如果利率属于可能漂移的区间，然后，他表现得好像漂移等于无风险利率（在这种情况下，标准的风险规避预期效用最大化器不投资风险资产）。因此，让我们定义如下最坏情况参数：最坏情况下的波动率是最高可能的演变率σ*= [σ，··，σd]。

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2022-5-5 08:51:31

最严重的漂移取决于利率r与[u，u]：ui的关系=ui，如果ui>r；r、如果我≤ R≤ui；我还有别的。我们让他*= [^u，···，^ud]。让亲婴儿测量P*= Pu*,σ*最坏情况优先权（0，x）是使用最坏情况优先权的预期效用最大化器的函数值。定理3.2模糊性——厌恶投资或选择与最坏情况先验P下的预期效用最大化相同的最优策略*. 特别是，具有先验P的期望效用最大化者的价值函数*解不确定的HJB方程（3.1），V（x）=φ（0，x）=sup（π，c）∈π×CU（c，X），最佳消耗规则是^c=v（^X（t，X）），其中v是uc的倒数，并且（i）如果r≤ infiui，则最优投资组合选择为^ui=ui，i=1，···，d和710πi=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui- r（σi）。（ii）如果是supiui≤ r、那么最优的投资组合选择是^ui=ui，i=1，··，d和^πi=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui- r（σi）。（iii）如果infiui<r<supiui，则最优投资组合选择为^πi=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui- r（σi）{r≤ui}-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui-r（σi）{ui≤r} 。前面的定理可以得出几个有趣的结论。首先，我们已经确定了一个第一种情况下的度量，我们已经证明了一个minmax定理。推论3.3我们有以下极小极大定理：设φ（P，x）表示一个期望效用最大化子的值函数，其信念为P，初始值为cap i tal x。设v（x）为模糊-厌恶投资者的间接效用函数。Thenv（x）=minP∈Pφ（P，x）ormax（π，c）minP∈PEP[ZTu（s，cs）ds+Φ（T，XT）]=minP∈Pmax（π，c）EP[ZTu（s，cs）ds+Φ（T，XT）]。事实上，在最坏情况下，模糊厌恶型投资者表现为n预期效用最大化者*并不意味着它们的需求函数是不可区分的。请注意，最糟糕的情况通常是漂移等于利率的情况。

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nandehutu2022

2022-5-5 08:51:35

在这种信念下，预期效用最大化者根本不投资于风险集合，这一结果目前已得到证实。3.3 CRRA效用的显式解在本小节中，我们给出了常数相对风险规避（CRRA）效用的显式解，即u（t，c）=c1-α1 - α、 Φ（T，x）=Kx1-α1 - α, α 6= 1.我们得到了以下结果。有关证据，请参见附录。提案3.4（i）如果r≤ infiui，则最优消费和投资组合规则由以下^c=hKα给出-1eβα-1（T）-t） +αβ-1（eβα）-1（T）-（t）-1）我-1x，且^πi=αui-r（σi），i=1，·，d，其中β=r+dXi=1（ui- r） 2α（σi）(1 - α).（ii）如果是supiui≤ r、然后，最优消费和投资组合规则由以下公式给出：-1eβα-1（T）-t） +αβ-1（eβα）-1（T）-（t）-1）我-1x，且^πi=αui-r（σi），i=1，·，d，其中β=r+dXi=1（ui- r） 2α（σi）(1 - α).（iii）如果infiui<r<supiui，则最佳消费和组合规则由以下^c=hKα给出-1eβα-1（T）-t） +αβ-1（eβα）-1（T）-（t）-1）我-1x，且^πi=αui- r（σi）{r≤ui}+αui- r（σi）{ui≤r} ，β在哪里=r+dXi=1（ui-r） 2α（σi）(1 - α） 1{r≤ui}+r+dXi=1（ui- r） 2α（σi）(1 - α） 1{ui≤r} 。特别是，如果ui<r<ui，那么最佳投资组合选择是^πi=0.3.4比较静态。根据上一小节中的上述结果，我们立即获得以下比较静态。命题3.5让漂移模糊度由[u]给出- κ、 u+κ]对于某些κ>0。随着κ增加，资产持有量减少。

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2022-5-5 08:51:38

经过一定程度的歧义κ*, 避免一起交易资产。正如陶氏和沃朗（1992）首先指出的那样，我们这里有一个众所周知的现象，即平均回报率的高度不确定性会让不确定的投资者远离资产市场。命题3.6投资者的风险敞口随着模糊性而减少：forparameter setsΘ设π和π表示最优投资组合选择。那么kπk≥ k^πk。这一结果源自这样一个事实：投资者总是在最大波动率下工作。如果资产是可变现的，他使用最小平均超额回报，如果她做空，她使用最大平均回报计算投资组合。因此，最佳持有资产的绝对数量会随着模糊性而增加。4利率不确定性对于长期投资者来说，固定和已知的利率，或者换句话说，期限结构，不是一个合理的假设。投资者在短期利率方面面临相当大的不确定性；一方面，信贷需求的随机性导致短期波动，另一方面，短期利率主要由央行政策决定。后者被认为是相当模糊的，而且有时是谨慎的，因为央行行长有强烈的动机隐藏他们的真正目标。因此，我们也考虑了利率的不确定性。引入关于短期利率的奈顿不确定性需要使用单数测度：如果我们对不同短期利率下的债券动态满足度YDPT=RTPTD在一个测度下和DPT=^RTPTD在另一个测度下的可能性进行建模，那么这些测度需要彼此独立。

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2022-5-5 08:51:43

这与经过充分研究的不确定资产模糊度模型形成对比，其中噪声项的存在允许使用等效的概率度量。但我们已经习惯于使用单数测度，因此我们的框架可以扩展到涵盖关于短期利率的骑士式不确定性。我们通过区间[r，r]对短期利率的模糊性进行建模，类似于漂移和波动的模糊性。利率的不确定性导致了一些新现象。在我们看来，最有趣的情况是，当不确定资产是可盈利的，但利率的不确定性很高时。那么，完全不参与债券市场，将所有资本投入到不确定资产中是最佳选择。不参与信贷市场；这也是我们在金融危机期间看到的现象。当然，我们在这里没有对这种不确定性的起源进行建模或解释，但我们表明利率不确定性在资产决策中可以发挥重要作用。现在让我们进入正式模式。在第一步中，如第2节所述，我们构建了一组先验。对于θ=（u，σ）和r，这是一个F可测量过程，其值分别为Θ=[u，u]×σ，σ]和[r，r]，我们考虑随机微分方程dxθt=utdt+σtdBt，X=0，和dyrt=rtdt，Y=0，在我们的参考测度P下。我们让Pr，θ是（Xθ，Yr）的分布，即Pr，θ（A）=P（（Xθ，Yr）∈ A）毕竟∈ FT.设Pbe由以这种方式构造的所有概率测度Pθ组成。我们的先验集P是弱收敛拓扑下Punder的闭包。

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2022-5-5 08:51:47

先验集合自然会导致次线性期望：^E[·]=supP∈政治公众人物。次线性函数G:R×→ R:G（p，p，p）=sup（R，u，σ）∈[r，r]×[u，u]×[σ，σ]nrp+up+σpo。如第2节所述，设（B，B，^B）是^E下的一对随机向量，使得B是G-布朗运动，（B，^B）是G-分布过程，具有平均不确定性。B是一个G-正态分布过程，它只具有波动不确定性。在金融市场中，我们考虑最优消费和最优投资组合，不仅考虑回报和波动性的模糊性，还考虑利率的不确定性。无风险资产的价格现在由dpt=Ptd^bt定义，其中^b是G分布过程，^bt具有平均不确定性[rt，rt]。在本节中，我们只考虑金融市场中的一种风险资产。经典的“高风险”资产评估假设预期收益率和波动率是未知的。不确定资产价格随着DST=STDR的变化而变化，我们通过DRT=dbt+dbt对收益动态进行建模。正如我们在第2节中所做的，我们可以用同样的方式定义消费、交易机会和效用。我们考虑与常数相对风险规避（CRRA）效用相对应的情况，即u（t，c）=c1-α1 - α、 Φ（T，x）=Kx1-α1 - α, α > 0, α 6= 1.以下三种潜在的最优投资组合份额在以下情况中起到了决定性的最优政策作用。首先，π=u- rασ对应于最大漂移和最大利率为最坏情况参数的情况。同样，我们定义π=u- rασ和π=u- rασ。注意π≥ π≥ π.在本节中，我们有以下主要结果。定理4.1利率不确定性下的最优消费投资政策可分为五种情况：1。如果π≥ 0，（a）和π≤ 0，不参与资产标记et，或π*= 0，等时，（b）和0<π<1，投资者做多并储蓄，即π*= π、（c）对于π≥ 1.我们有。

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2022-5-5 08:51:51

如果π<1，投资者将所有资本投入不确定资产，不参与信贷市场，或π*= 一,二,。在π的情况下≥ 1.投资者进行借贷（利用edcon消费）和π*= π.2. 如果π<0，投资者做空并储蓄（水平消费）和π*= π.关于上述定理，请参见以下图表。如果u≤ r、然后π*= 0uπ*=u-rασ-→r、如果u≥ r、然后- ασπ*=u-rασrπ*= 1rπ*=u-rασ----→u-ασ.证据的细节见附录。我们的模型可以量化在什么条件下，不参与信贷市场对不愿含糊的投资者来说是最理想的。当最高可能漂移超过最高可能利率时，就会发生这种情况，因此不确定资产的投资可能是有利的，但当最低可能漂移通过涉及风险规避的均值-方差项进行调整时，就会发生这种情况- ασ，属于可能利率区间[r，r]。附录A G-布朗运动彭（2007）介绍了G-布朗运动的理论。为了方便读者，我们回顾了G-布朗运动理论的基本定义和一些结果。允许Ohm 是一个给定的非空集，H是一个定义在其上的实函数的线性空间Ohm 如果x，···，xn∈ H、然后φ（x，··，xn）∈ H、 foreach~n∈ Cl，唇部（Rn）。这里Cl，lip（Rn）表示满足|~n（x）的函数的线性空间- |（y）|≤ C（1+| x | n+| y | n）|x- y |，对于所有x，y∈ Rn，对于某些C>0和n∈ N、这两种情况都取决于~n。

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大多数88

2022-5-5 08:51:54

空间H被认为是一组随机变量。定义A.1 H上的次线性期望^E是函数^E:H 7→R满足以下特性：对于所有X，Y∈ H、我们有（i）单调性：如果X≥ Y，然后^E[X]≥^E[Y]。（ii）常数的保存：^E[c]=c，对于所有c∈ R.（iii）次可加性：^E[X]-^E[Y]≤^E[X- Y]。（iv）正同质性：对于所有λ≥ 0.三重(Ohm, H、 ^E）称为次线性期望空间。注A.2次线性期望空间可以看作是经典概率空间的推广(Ohm, F、 P）在次线性期望空间中被赋予与P.defination A.3相关联的线性期望(Ohm, H、 ^E），随机向量=（Y，·，Yn），Yi∈ H、在另一个随机向量X=（X，··，Xm），Xi的^E下是独立的∈ H、用X表示⊥ Y、对于每个测试功能，如果∈ Cl，lip（Rm+n）我们有^E[^（X，Y）]=^E[^E[^（X，Y）]X=X]。次线性预期spa ce中的定义A.4(Ohm, H、 ^E），X和Y称为i dentica lly distributed，并用Xd=Y表示，如果每个^∈ Cl，lip（Rn）我们有^E[^（X）]=^E[^（Y）]。定义A.5（G分布）一对随机变量（X，η）在一个线性期望空间中(Ohm, H、 ^E）称为G分布，如果a，b≥ 0，（aX+b\'X，aη+b\'η）d=√aX+b\'X+（a+b）η，其中（\'X，\'η）是（X，η）的独立系数，即（\'X，\'η）d=（X，η）和（\'X，\'η）⊥ （X，η）。如果（X，η）是d维G-分布的，则∈ Cl，lip（Rd），让我们定义（t，x，y）：=^E[~n（x+√tξ，y+tη]，（t，x，y）∈ [0, ∞) 是下列抛物偏微分方程的解：tu（t，x）=G（Dyu（t，x，y），Dxxu（t，x，y）），（t，x）∈ [0, ∞) ×Rd，u（0，x）=~n（x）。这里G是以下的次线性函数：G（A）=^E[hAX，Xi+hp，ηi]，（p，A）∈ Rd×Sd，其中sdd是d×d对称矩阵的集合。

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2022-5-5 08:51:58

存在Rd×Rd×dsuch thatG（p，a）=sup（q，q）的有界闭子集Θ∈Θnhp，qi+tr（AB）o，for（p，A）∈ Rd×Sd。允许Ohm = C2d（R+）是所有Rd值连续路径（ωt）t的空间∈R+ω=0，距离ρ（ω，ω）=∞Xi=1-ih（最大值）∈[0，i]|ωt-ωt |）∧ 1i，ω，ω∈ Ohm.每个t∈ [0, +∞) , 我们设置ωt={ω·∧t、 ω∈ Ohm}. 我们将考虑标准过程^Bt（ω）=（Bt，Bt）（ω）=ωt，t∈ [0, +∞ ) , ω ∈ Ohm.对于每个T>0，我们考虑以下随机变量空间：Lip(OhmT）：=n~n（ωT··，ωtm）|T，··，tm∈ [0，T]，ν∈ Cl，lip（Rd×m），m≥ 1o。很明显，它保持着那张嘴唇(Ohm（t）嘴唇(OhmT），尽管如此≤ T<∞. 我们进一步完善了(Ohm) =∞[n=1Lip(Ohmn）。每X∈ 嘴唇(Ohm) x=^（^Bt）-^Bt，^Bt-^Bt，···，^Btm-^Btm-1）对我来说≥ 1, φ ∈ Cl，lip（R2d×m）和0=t≤ T≤ ··· ≤ tm<∞, 我们设定了^E[~n（^Bt）-^Bt，^Bt-^Bt，···，^Btm-^Btm-1） ]=eE[~n(√T-tξ（t）-t） η，··，ptm-商标-1ξm（tm）- 商标-1） ηm）]，其中{（ξ，η），··，（ξm，ηm）}是次线性期望空间（e）中的一个随机向量Ohm,呃，eE）这样的t（ξi，ηi）是G分布的（ξi+1，ηi+1）独立于{（ξ，η），··，（ξi，ηi）}，对于每个i=1，2，··，m-1.相关的条件期望X=~n（^Bt）-^Bt，^Bt-^Bt，···，^Btm-^Btm-1）在下面Ohm^E[X]定义的TJI|Ohmtj]=^E[~n（^Bt）-^Bt，^Bt-^Bt，···，^Btm-^-1)|Ohmtj]=ψ（^Bt）-^Bt，^Bt-^Bt，··，Btj- Btj-1）式中，ψ（x，x，··，xj）=eE[~n（x，x，··，xj，ptj+1-tjξj+1，（tj+1- tj）ηj+1··，ptm- 商标-1ξm（tm）-商标-1） ηm）]，对于（x，x，·，xj）∈ Rj，0≤ J≤ m、为了p≥ 1，kXkp=Ep[X | p]，X∈ 嘴唇(Ohm), 定义嘴唇的标准(Ohm).让Lp(Ohm) （分别为Lp）(Ohmt））是嘴唇的完成(Ohm) （分别为Lip）(Ohmt））低于标准k·kp。然后是空间（Lp(Ohm), k·kp）是一个Banach空间和算子^E[·]（分别为^E[·]）|Ohmt] ）可以连续扩展到Banach空间Lp(Ohm) （分别为Lp）(Ohmt））。

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2022-5-5 08:52:01

此外，我们还有Lp(Ohm（t） Lp(Ohm（T） Lp(Ohm),对于所有0≤ T≤ T<∞.定义A.6（G-正态分布）设Γ为Rd×d的非空、有界和闭s ubs e t。次线性期望空间中的随机向量ξ(Ohm, H、 ^E）被称为G-正态分布，用ξ表示~N（0，Γ），如果每个Γ∈ Cl，lip（Rd），由u（t，x）定义的以下函数：=^E[Д（x+√tξ]，（t，x）∈ [0, ∞) 是下列抛物偏微分方程的唯一粘度解：(Ut=G（Du），（t，x）∈ [0, ∞) ×Rd，u（0，x）=~n（x）。（A.1）这里Du是u的Hessian矩阵，即Du=(xixju）di，j=1，and g（A）=supγ∈Γtr（γTA），A∈ Sd。例A.7在一维情况下，即d=1，我们取Γ=[σ，σ]，其中σ和σ是与0的constant≤ σ ≤ σ. 方程式（A.1）的形式如下(Ut=[σ(xxu）+- σ(xxu）-], （t，x）∈ [0, ∞) ×R，u（0，x）=φ（x）。如果σ=σ，G-正态分布就是经典的正态分布。例A.8在多维情况下，我们考虑一个典型情况，当Γ=ndiag[γ，··，γd]，γi∈ [（σi），（σi）]，i=1，···，do，其中σi和σi是0的常数≤ σi≤σi.n方程（A.1）具有以下形式Ut=dPi=1[（σi）(（西秀）+-（σi）(（西秀）-],u（0，x）=~n（x）。定义A.9 A过程B={Bt，t≥ 次线性期望空间中的}(Ohm, H、 ^E）称为G-B rownian运动，如果满足以下性质：（i）B=0；（ii）对于每个t，s≥ 0，差异Bt+s-Btis N（0，Γs）-对于所有N，分布且独立于（Bt，·Btn）∈ N和0≤ T≤ ··· ≤ tn≤ t、定义A.10（最大分布）设∧为Rd的给定非空、有界和闭子集。

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mingdashike22

2022-5-5 08:52:04

次线性期望中的随机向量ξ(Ohm, H、 ^E）被称为最大分布，由ξ表示~ N（λ，{0}），如果对于每个φ∈ Cl，lip（Rd），由u（t，x）定义的以下函数：=^E[~n（x+tξ）]，（t，x）∈ [0, ∞) 是下列抛物偏微分方程的唯一粘度解：(Ut=g（Du），（t，x）∈ [0, ∞) ×Rd，u（0，x）=φ（x），其中Du=(xiu）di=1，and g（p）=supq∈∧hp，qi，p∈ Rd.提案A.11 I f bt~ N（[ut，ut]，{0}），其中u和u与u恒定≤ u，那么对于∈ Cl，lip（R）^E[~n（bt）]=supv∈[ut，ut]~n（vt）。提案A.12（其公式）让bt~ N（[ut，ut]，{0}）和Bt~N（[σt，σt]，{0}），其中u和u是带u的常数≤ u、dσ和σ与σ一致≤ σ. 然后呢∈ C（R）和xt=X+Ztαsdbs+Ztβsdbs，对于所有t∈ [0，T]，其中α在Mandβ中∈ M、我们有а（Xt）- ν（X）=Ztx~n（Xu）βudBu+Ztx~n（Xu）αudbu+Ztxx~n（Xu）βudhBiu，0≤ T≤ 在一个模棱两可的世界里，投资者对管理风险资产价格动态的规律并不确定。因此，我们不确定概率度量。我们首先在这样一个连续时间的骑士式环境中建立了经典模型。当我们想研究奈特案例中的标准萨缪尔森——默顿消费——投资组合问题时，我们用连续样本路径来研究资产价格。我们假设C（[0，T]）是所有连续模式的集合，这些模式的值在具有支持范数的有限时间范围[0，T]内。我们的州际空间是Ohm=nω：ω∈ C（[0，T]），ω=0o。坐标过程B=（Bt）t≥0是Bt（ω）=ωt。在经典情况下，坐标过程Bt（ω）=ω（t）将扮演噪声的角色，但在这里它将是不确定的，而不是概率噪声；模棱两可的，或者像彭所说的，G-布朗运动。为了模拟这种二次布朗运动，我们构造了一组先验。

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2022-5-5 08:52:07

我们以经典的维纳测度Punder为起点，B是标准布朗运动。请注意，PDO并不反映投资者的世界观；它只是充当一组先验知识的构造工具。设F=（Ft）t≥0表示由B生成的过滤，由allP null集合完成。在连续时间差异框架中，基本上有两个参数过程描述了所有的不确定性、漂移和波动性。因此，我们借助于凸紧子集Θ来建模模糊性 Rd×Rd×d.投资者不确定漂移过程u=（ut）的精确值或分布，其值以rdn为单位，也不确定波动过程σ=（σt）的精确值或分布，其值以Rd×d为单位。对于每个“假设”θ=（u，σ），一个F-逐步可测量的过程，其值以Θ为单位，随机微分方程dxt=utdt+σtdBt，在我们的参考测度P下，X=0有一个唯一的解Xθ。我们假设Pθ是Xθ的分布，即Pθ（a）=P（Xθ）∈ A）尽管如此∈ FT.设Pbe由以这种方式构造的所有概率测度Pθ组成。我们的先验集P是弱收敛拓扑下Punder的闭包。不明确的波动性会导致不等价的先验。例如，设Pσ和Pσ为过程（σBt）t的分布≥0和（σBt）t≥分别为0。那么Pσ和Pσ是相互奇异的，即Pσ（hBiT=σT）=Pσ（hBiT=σT）=1，其中B的二次变化过程定义如下，0=T≤··· < tm=T和tk=tk+1- tk，hBiT=limtk→0米-1Xk=1 | Btk+1- Btk |。前面的构造是一个世界的标准连续时间模型，在这个模型中，投资者面临关于漂移和波动的模糊性。先验集合自然会导致次线性期望：^E[·]=supP∈政治公众人物。我们的连续时间不确定性模型的一个优点是，可以用二次函数来描述不确定性。

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2022-5-5 08:52:10

次线性函数G:Rd×Sd→ R:G（p，A）=sup（q，q）∈Θnhp，qi+tr（AQ）o，for（p，A）∈ Rd×Sd，其中sds是d×d对称矩阵的集合，将在参数水平上局部描述我们模型中漂移和波动的不确定性。设（B，B）是^E下的一对随机向量，使得B是GBrownian运动，B是G-分布过程，它只是具有均值不确定性。B是一个G-正态分布过程，它只是具有确定性。为了看到这一点，我们考虑d=1和Θ=[u，u]×[σ，σ]。然后过程b具有参数[u，u]的平均不确定度，即^e[bt]=ut，以及-^E[-bt]=ut，且过程B不具有平均不确定性，即^e[bt]=^e[-Bt]=0，但具有参数[σ，σ]的波动不确定性，即^e[Bt]=σt，a和-^E[-Bt]=σt。感兴趣的读者可以参考附录，了解G-布朗运动的基本定义和基本结果。前面的结构是一个典型的模型，在这个模型中，投资者面临着漂移和波动的模糊性，但知道这些过程的某些界限。B.1规范模型虽然最优政策的抽象描述在非常普遍的情况下成立，但我们将经常关注关于漂移的模糊性独立于关于单个资产收益波动性的模糊性的特殊情况。对于g-iven常数ui≤ui，σi≤σi，i=1，··，d，我们考虑[u，u]=n[u，··，ud]T，ui∈ [ui，ui]，i=1，···，do和Γ=ndiag[γ，···，γd]，γi∈ [（σi），（σi）]，i=1，·do。为了给出一个显式解，我们考虑了Θ=[u，u]×Γ和a=diag{1，·1}的一个特例。我们称之为规范模型。C.证明。命题C的性质s.1V（x）在x证明中是递增和凹的。为了证明这个命题，我们用byJ（π，c，x）=E[ZTu（s，cs）ds+Φ（T，XT）]，也用Xx表示（2.2）的解。

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2022-5-5 08:52:14

对于任意的0<x≤ y、通过G布朗运动驱动的随机微分方程的比较定理，我们得到了Xx≤ Xy。由于效用函数u和遗赠函数Φ严格递增，通过e期望的单调性，我们知道J在x中递增。因此，V在x中递增。对于任意0<x，x和λ∈ [0,1]，我们用xλ=λx+（1）表示-λ） x.对于任何c，c∈ C和π，π∈ 我们认为∏dXt=rXt（1- （πt）T1）dt+Xt（πt）Tdbt-ctdt+Xt（πt）TAdBt，X=X，和dXt=rXt（1- （πt）T1）dt+Xt（πt）Tdbt-ctdt+Xt（πt）TAdBt，X=X，我们用Xλ：=λX+（1）表示- λ） X，cλ：=λc+（1）- λ） candπλ：=λπX+（1）- λ） πXλX+（1）- λ） X.然后是cλ∈ C、 πλ∈ π和Xλ满足以下条件dXλt=rXλt（1- （πλt）T1）dt+Xλt（πλt）Tdbt- cλtdt+Xλt（πλt）TAdBt，Xλ=Xλ，由于函数u和Φare分别相对于c和X凹，我们有Φ（t，Xλt）≥ λΦ（T，XT）+（1）-λ） Φ（T，XT）。andu（s，Xλs）≥ λu（s，Xs）+（1）- λ） u（s，Xs），s∈ [0，T]。因此，由于^E的正同质性和次可加性，下面的holdsE[ZTu（s，cλs）ds+Φ（T，XλT）]≥ E[ZTu（s，cs）ds+Φ（T，XT）]+（1-λ） E[ZTu（s，cs）ds+Φ（T，XT）]，即J（πλ，cλ，xλ）≥ J（π，c，x）+J（π，c，x）。因此，V（xλ）≥ J（π，c，x）+J（π，c，x）。由于上述情况适用于任何c，c∈ C和π，π∈ π，它等于v（xλ）≥ V（x）+V（x）。这意味着V在x中是凹的。C.2定理3.1的证明。对于任意（π，c）∈ 我们假设X是与（π，C）相关的方程（2.2）的解。从公式中可以得出，ν（T，XT）=ZT[~nT（T，XT）+rXt k x（T，XT）（1）- πTt1）- x（t，Xt）ct]dt+ZTx（t，Xt）XtπTtdbt+ZTx（t，Xt）XtπTtAdBt+ZTxx（t，Xt）XthATπtπTtA，dti+~n（0，x）。因为所有的x∈ R、 ψ（T，x）=Φ（T，x）。

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2022-5-5 08:52:18

然后T-king期望收益率se[Φ（T，XT）+ZTu（T，ct）dt]=E[ZT[ηT（T，XT）+rXt~nx（T，XT）（1）- πTt1）- x（t，Xt）ct]dt+ZTx（t，Xt）XtπTtdbt+ZTxx（t，Xt）XthπtπTt，dti+ZTU（t，ct）dti+（0，x）=EhZT[t（t，Xt）+rXtx（t，Xt）（1）- πTt1）- ψx（t，Xt）ct]dt+ZTu（t，ct）dt-ZTG(-νx（t，Xt）Xtπt，-Xt~nxx（t，Xt）在πtπTtA）dt+ZT~nx（t，Xt）XtπTtdbt+ZT~nxx（t，Xt）XthπtπTt，dti+ZTG(-νx（t，Xt）Xtπt，-在πtπTtA）dti+~n（0，x）处的Xt~nxx（t，Xt）。根据方程（3.2），我们得到e[Φ（T，XT）+ZTu（T，ct）dt]≤ EhZTаx（t，Xt）XtπTtdbt+ZTаxx（t，Xt）XthπtπTt，dti+ZTG(-νx（t，Xt）Xtπt，-在πtπTtA）dti+~n（0，x）=~n（0，x）处的Xt~nxx（t，Xt）。对于最后一个不等式，我们使用了G-随机演算的性质，EhZTаx（t，Xt）XtπTtdbt+ZTаxx（t，Xt）XthπtπTt，dti+ZTG(-νx（t，Xt）Xtπt，-在πtπTtA）dti=0时的Xt~nxx（t，Xt）。因此，V（x）≤ ~n（0，x）。设（π，c）满足上（π，c）∈B×Anu（t，c）+~nt（t，x）+xr~nx（t，x）（1）- πT1）- c~nx（t，x）]+inf（q，q）∈Θ{ˋx（t，x）xhπ，qi+xˋxx（t，x）hATπTA，qi}o=nU（t，^c）+ˋt（t，x）+xrˋx（t，x）（1）- （π）T1）- ^cаx（t，x）]+inf（q，q）∈Θ{~nx（t，x）xh^π，qi+x^xx（t，x）hAT^π（^π）TA，qi}o，和dXt=[rXt（1- π（t，Xt）T1）dt+Xtπ（t，Xt）Tdbt- ^c（t，Xt）dt+Xt^π（t，Xt）TAdBt，X=X。如果π=^π，c=c，那么从上面的证明可以得出v（X）=^（0，X），因此我们有v（X）=^（0，X）=sup（π，c）∈π×CJ（π，c，x）=J（π，c，x）。这就是完整的证据。C.3定理3.2的证明。

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2022-5-5 08:52:21

根据定理3.1，我们考虑以下不确定HJB方程：sup（π，c）∈B×Anu（t，c）+~nt（t，x）+xr~nx（t，x）（1）- πT1）- c~nx（t，x）]+inf（u，Q）∈[u，u]×{ΓΓx（t，x）xhπ，qi+xΓxx（t，x）hππt，qi}o=0，边界条件为Γ（t，x）=Φ（t，x）。上面的方程可以写成：sup（π，c）∈B×Anu（t，c）+~nt（t，x）+xr~nx（t，x）（1）- πT1）- c~nx（t，x）]+infu∈[u，u]{~nx（t，x）xhπ，qi}+xinfQ∈Γ{~nxx（t，x）hππt，Qi}o=0，如果Γx（t，x）>0，则最优控制^ui=ui{πi>0}+ui{πi≤0}，i=1，··，d和infu∈[u，u]nаx（t，x）xhπ，uio=аx（t，x）xdXi=1πiui{πi>0}+аx（t，x）xdXi=1πiui{πi>0}≤0}.如果φxx（t，x）<0，则infq∈Γ{~nxx（t，x）hππt，Qi}=~nxx（t，x）dXi=1（πi）（σi）因此，我们有以下等式：sup（π，c）∈B×Anu（t，c）+аt（t，x）+аx（t，x）xr- ~nx（t，x）c+~nx（t，x）xdXi=1πi（ui）- r） 1{πi>0}+ψx（t，x）xdXi=1πi（ui- r） 1{πi≤0}+x~nxx（t，x）dXi=1（πi）（σi）o=0。（C.1）从一阶条件来看，Uc（t，^C）=x（t，x）。因为uc（t，c）相对于c是递减的，所以它的逆存在，并且用v表示。

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大多数88

2022-5-5 08:52:26

因此，最佳消耗规则如下所示：^c=v（^x（t，x））。引理C.2如果a=σxаxx（t，x）<0且b=аx（t，x）x>0，f（π）=aπ+bπ（u- r） 1{π>0}+bπ（u- r） 1{π≤0}，那么supπf（π）有以下三种情况。（i）如果r≤ u，然后supπf（π）=f（π）=-b（u）-r） 4a=-~nx（t，x）~nxx（t，x）（u- r） 2σ，其中^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。（ii）I fu<r<u，则supπf（π）=f（π）=f（0）=0，其中π=0。（iii）如果：≤ r、然后supπf（π）=f（π）=-b（u）- r） 4a=-~nx（t，x）~nxx（t，x）（u- r） 2σ，其中^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。引理C.2的证明。案例一：如果≤ u，然后supπ<0f（π）=0，然后supπ≥0f（π）=f（π）=-b（u）-r） 4a=-~nx（t，x）~nxx（t，x）（u- r） 2σ，\'-π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。因此，supπf（π）=f（^π）=-b（u）-r） 4a=-（x）ux，~n- r） 2σ，其中^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。情况二：如果u<r<u，那么supπ<0f（π）=f（0）=0，并且supπ≥0f（π）=f（0）=0，因此，supπf（π）=f（π）=f（0）=0，其中π=0。案例三：如果≤ r、然后是supπ≥0f（π）=0，而supπ<0f（π）=f（°π）=-b（u）- r） 4a=-~nx（t，x）~nxx（t，x）（u- r） 2σ，其中‘π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。因此，supπf（π）=f（^π）=-b（u）- r） 4a=-~nx（t，x）~nxx（t，x）（u- r） 2σ，其中^π=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xu- rσ。证据是完整的。现在我们回到我们的证据。我们定义（πi）=（σi）xаxx（t，x）（πi）+аx（t，x）xπi（ui）- r） 1{πi>0}+~nx（t，x）xπi（ui）-r） 1{πi≤0}，我们想要得到dpi=1supπif（πi）。我们考虑以下情况。案例一：r≤ 根据上述引理，dXi=1supπf（πi）=dXi=1f（πi）=-~nx（t，x）~nxx（t，x）dXi=1（ui）-r） 2（σ）i，其中^πi=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui-r（σ）i.情况二：supiui≤ r、从上面的引理可以得出dXi=1supπf（πi）=dXi=1f（^πi）=-~nx（t，x）~nxx（t，x）dXi=1（ui）-r） 2（σ）i，其中^πi=-~nx（t，x）~nxx（t，x）xui-r（σ）i.情况III:infiui<r<supiui.我们用A={i |ui表示≥ r、 i=1，··，d}，A={i|ui≤ r、 i=1，·d}，A={i|ui<r<ui，i=1，·d}。

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