基于贝叶斯多重检验的稀疏投资组合选择

2022-5-31 11:30:10

基于贝叶斯多重检验的稀疏投资组合选择*钦奈数学研究所，钦奈，印度。andRituparna SenIndian统计研究所，印度班加罗尔应用统计股。2020年7月21日摘要我们通过k因子资产定价模型提出了贝叶斯投资组合选择策略。如果市场信息充分，建议的策略将模仿市场；否则，该策略的表现将优于市场。该策略取决于通过贝叶斯多重测试方法选择投资组合。我们提出了“离散混合先验”模型和“具有马蹄先验的层次贝叶斯模型”我们定义了oracle集，并证明了渐近贝叶斯规则可使贝叶斯oracle风险达到O（1）。我们提出的Bayesoracle检验通过提供II型误差的上界来保证统计能力。仿真研究表明，所提出的Bayes-oracle检验适用于股票价格不高的有效市场。对于k因子模型（k>1），Bayes-oracle投资组合的统计能力一致优于单因子CAPM。我们提出了一项实证研究，其中我们将纽约证券交易所（NYSE）标准普尔500指数的500支成分股和标准普尔500指数作为2006年至2018年13年的基准。我们展示了四种不同投资组合选择策略的样本外风险和回报表现，并与作为基准市场指数的标准普尔500指数进行了比较。实证结果表明，有可能提出一种优于市场的策略。

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2022-5-31 11:30:13

所有R代码和数据都可以在以下Github存储库中获得https://github.com/sourish-cmi/sparse_portfolio_Bayes_multiple_test.Keywords:CAPM，离散混合先验，层次贝叶斯，Oracle，因子模型。1简介Markowitz投资组合理论【Markowitz，1952年】在金融学中对选择最佳投资组合的风险回报交易进行了分析形式化。投资者在证券之间分配财富的方式是，投资组合保证一定水平的预期回报，并将与之相关的“风险”降至最低。投资组合回报的方差被量化为风险。Markowitz投资组合优化对预期回报向量和协方差矩阵估计中的错误非常敏感，参见，例如，【Fan等人，2012年】。当投资组合规模较大时，问题就严重了。有人提出了几种技术来降低马科维茨最优投资组合的敏感性。一种方法是使用aJames-Stein估计器计算均值（即预期收益）[Chopra和Ziemba，1993年]并缩小样本协方差矩阵[Ledoit和Wolf，2003年，Das等人，2017年]。尽管如此，维度诅咒仍然存在于典型的大型投资组合（如共同基金投资组合）中，该程序低估了投资组合的风险收益【El Karoui，2010年】。因此，降维是稳健投资组合选择的基本要求。避免大型投资组合的另一个原因是降低交易成本。随着投资组合中资产数量的增加，交易成本也随之增加。例如，交易成本的一个常见模型是线性加固定模型，如【Lobo等人，2007年】所述。这意味着投资一项资产有固定的成本，再加上一定比例的金额*Sourish Das的研究得到了比尔和梅琳达·盖茨基金会、塔塔信托基金会和Infosys基金会对CMI的资助。

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2022-5-31 11:30:16

通讯作者为Rituparna Sen电子邮件：rsen@isibang.ac.in在Sankhya-B.接受投资金额。因此，如果投资组合的总价值保持不变，则交易成本的线性部分将保持不变。然而，固定部分将与投资组合中的资产数量成比例。在本文中，为了解决降维问题，我们采用了portfolioselection的替代路线，该路线经过资本资产定价模型（CAPM），参见，例如[Sharpe，1964，Lintner，1965，Black，1972]。尽管资本资产定价模型未能解释几个特征，包括投资者的理性；它已成为企业融资的标准工具【Goyal，2012年】。CAPM将投资组合收益分为系统收益和分异收益，并将其建模为投资组合“风险溢价”（又名“超额收益”）对市场“风险溢价”的线性回归。如果此回归中的截距值为零，则资产的价值是公平的。如果收益率为零，斜率为1，那么资产的行为与市场非常相似，除了市场之外，将其包含在投资组合中没有任何收益。Fama和French三因素模型，见【Fama和French，1993年】，是一种资产定价模型，通过将规模风险和价值风险因素添加到CAPM中的市场风险因素，对CAPM进行了扩展。通常，对于k因子模型，如果市场系数为1，而所有其他系数为零，则资产的行为将与市场非常相似。对于考虑中的大多数资产来说，情况就是这样。因此，目标是选择行为与市场不同的资产，并根据这些资产和市场构建投资组合。

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2022-5-31 11:30:20

在稀疏性条件下，当资产数量较多时，我们将选择此类资产的问题描述为多个测试问题。提出贝叶斯方法来测试CAPM中施加的限制，即“风险溢价”对“市场风险溢价”的回归截距等于零，参见【Shanken，1987，Harvey and Zhou，1990】。Shanken的方法依赖于F-统计量的截距和抽样分布函数的先验归纳，参见【Shanken，1987年】。Harvey和Zhou【Harvey和Zhou，1990年】提出了一个完整的贝叶斯规范，对CAPMtest进行了区分先验结构和共轭先验结构。Black and Litterman【Black and Litterman，1992年】提出了一种经济观点和均衡关系的形式化贝叶斯方法。现有方法仅集中于截距（或α）测试。在我们提出的方法中，我们对CAPM的截距和斜率（即α和β）进行了联合测试，并对一般k因子模型进行了多变量测试。我们将在下一节中介绍联合测试。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们提出了一种基于稀疏性的投资组合选择策略。在第三节中，我们介绍了在尺度参数上具有半柯西分布的离散混合先验模型和层次贝叶斯模型。在第4节中，我们推导了第3节中提出的多重测试方法的渐近贝叶斯最优性的结果。在第5节中，我们进行了模拟研究。在第6节中，我们介绍了基于纽约证券交易所（NYSE）数据的实证研究。我们在第7.2节“策略”中进行了讨论，以此结束本文。在这一节中，我们介绍了投资组合选择的策略。

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2022-5-31 11:30:23

我们讨论了当大型投资组合中ANASET的最大权重很小时，投资组合的特殊风险就会被冲掉（见附录中的结果（1））。该特性适用于CAPM及其对k因子模型的扩展。在这种情况下，投资组合回报率主要可以用市场波动和相应的回归系数来解释，通常被称为“投资组合的贝塔系数”。在矩阵表示法中，CAPM表示如下：r=XB+, （2.1）式中，r=（（ri，j））n×Pis是n天内市面上许多可用资产的超额收益率超过无风险利率的矩阵；XB是市场指数的系统回报，其中x=（（1 rm））n×2（2.2）是设计矩阵，第一列是单位向量或截距占位符，第二列是市场指数超过无风险利率的超额回报向量；B类=αα。αPβ。βP2×P。如果市场有效，则根据【Sharpe，1964，Lintner，1965，Black，1972】，截距αi=0i=1···Pandβi是市场运动引起的系统风险的度量； = ((i、 j）n×Pis是资产的特质回报。备注1。在（2.1）中，如果一个投资组合是基于P多个资产构建的，所有这些资产的α=0和β=1，那么投资组合回报将模拟市场回报。Fama和French三因素模型与等式（2.2）给出的CAPM具有相似的表示形式，其中X=（（1 rmSMB HML））n×4，其中SMB代表市值方面的“小-大”，HML代表账面市值比率方面的“高-低”。它们衡量的是小盘股相对于大盘股以及价值股相对于成长股的历史超额回报。这些因素是通过排名股票和可用的历史市场数据组成的投资组合来计算的。此外，nowB=αα。αPβ。βPBSB。bsPbvbv。

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2022-5-31 11:30:26

bvP公司4×P。通常可以考虑一个k因子模型，其中X为n×（k+1）维，其中X的第一列为常数，第二列为市场回报，其余为其他（k- 1）合适的因素。B是（k+1）×P维，我们将其表示为（θ··θP），其中θi=（αiβi··B（1）i··B（k-1） i）T.（2.3）备注2。在（2.1）中，对于k因子模型，如果一个投资组合是基于▄P构建的，那么许多资产的α=0，b（j）=0 j∈ {1，···，k- 1} β=1，则投资组合回报率将模拟市场回报率。riis∑的协方差，可分解为∑=BT∑XB+∑, （2.4）式中∑= diag（σ，σ，…，σP）和∑Xis是X的协方差矩阵。让我们考虑一个投资组合w={w，…，wP}，其中0≤ wi，i=1，P、 PPi=1wi=1。我们在附录中显示，ifP→ ∞, Mω：P：=最大值{w}→ 0和σmax=max{∑} < ∞,然后跛行→∞w∑w=0。备注3。因此，我们可以选择▄P( P）投资组合中的许多资产（市场上的许多资产中的P项），从而消除了特殊风险，即所有δ>0，Pδ，使得对于▄P>▄Pδ，▄w▄P∑▄Pw▄P▄▄▄P▄▄δ；投资组合收益率主要用θ来解释。请注意，这里的P是投资组合的有效规模。备注4。Oracle集合：假设市场不充分，并且有q多个资产的α>0，其中q<P P让我们将此集合称为Aq。我们可以构建一个包含▄P许多资产的投资组合，例如P（Aq BP）≥ 1.- η、（2.5）其中，BPis是投资组合中的资产集，0<η<1，wP∑PwP<δ。请注意，w▄P={ωi：maxi=1（1）▄P▄▄ωi▄▄<δ▄和∑P=diag（σ，…，σ▄P）是特质回报的协方差矩阵。示例：假设市场由P=2000支股票组成，而投资组合经理希望用P=100支股票构建投资组合。

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2022-5-31 11:30:29

如果q=5，许多库存可用，αj>0，j=1，2。。。，5，那么投资组合经理想要构建一个投资组合，这样Aq=5是经理所选投资组合BP=100的子集。换言之，管理层希望以这样一种方式构建她的投资组合，即她不想错过五只估值过低的股票Aq=5。也就是说，她想采用一种统计方法，其中P（Aq=5 BP=100）将非常高。请注意，如果市场有效，则AQ将为空集。问题归结为识别oracle集合Aq。本质上，这是一个多重测试问题，我们在投资组合BP中选择那些我们拒绝以下无效假设的股票：H0i：αiβib（1）i。。。b（k-1）我=...与HAi相比：αiβib（1）i。。。b（k-1）我6=..., i=1。P、（2.6）我们希望确定一个最佳的测试规则，以便（2.5）是令人满意的。在这里，多重测试问题的结构与Carvalho等人（2009、2010）、Datta和Ghosh（2013）文献中的典型多重测试问题非常不同，这些问题主要来自基因组广泛关联研究。在下一节中，我们介绍了识别BP.3方法的贝叶斯方法。在本节中，我们提出了检验无效假设θi=u的贝叶斯方法：=（0，1，0，··，0）i=1···P，其中θi在方程式（2.3）中定义。首先提出离散混合先验，然后提出层次贝叶斯模型。对于每个i=1。P，在多元正态假设下(ij，j=1··n），最小二乘估计量θi=（αi，βi，βb（1）i，··b（k-1） i）T，是θi的最大似然估计。这也是有效统计，采样分布为^θi~ Nk+1θi，σi∑-1台式中，∑X=XTX。

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2022-5-31 11:30:33

对于本节的其余部分，基本模型是k因子模型。3.1 Bayes oracle with discrete Mixed prior我们建议使用离散混合先验，通常称为“spike and slab”先验，由Mitchelland Beauchamp，1988年引入。优先认沽期权概率1- θi=u上的p和绝对连续备选方案上的p，用Ma表示为[θi∧]~ Nk+1（u，λ-1）。无条件地，θi独立分布为θi~ （1）- p） Δu+pNk+1（u，λ-1），其中Δu是u处的简并分布。对于每个i，零假设意味着E（αi）=0，E（βi）=1，E（b（1）i）=0，···，E（b（k-1） i）=0。参数p通常被称为稀疏性参数。作为p→ 0该模型成为稀疏模型，并作为p→ 1该模型称为稠密模型。这意味着^θ的边缘分布是正态分布的尺度混合，即^θi~ （1）- p） Nk+1（u，σi∑）-1X）+pNk+1（u，σi∑）-1X+λ-1）。（3.1）备选方案ishθi |σi∧θii下的条件后验分布~ Nk+1（uni，λ-1ni），其中∧ni=∧+σXσi和uni=∧-1ni∧u+σXσi^θi.在稀疏混合模型下，Bayes-oracle的拒绝区域C上的Bayes因子超过（1-p） δpδA，其中δ和δA是与I型和II型误差相关的损失，见【Bogdan等人，2011年】。在这种情况下，贝叶斯系数可以计算为（det（I- Qi））1/2exp（Si），其中Si=（uni- u）T∧ni（uni- u）和Qi=Xσi∧-1niXσiT（3.2）最佳规则是拒绝H0iifSi≥ ci=- 日志（det（I- Qi））+2 log（fδ），（3.3），其中f=（1- p） pandδ=δA.（3.4）我们称此规则为Bayes-oracle，因为它使用了未知参数p，∧，并且无法在单位样本中获得。后验包含概率为∧πi=P r（Ma | D）=1+1- ppexp(-Si）-1，根据贝叶斯定理。在对称损耗下，抑制区与∧πi＞1/2重合。检验统计量包括SSI=（ri- Xu）σiTQi（ri- Xu）σi.在零假设下，（ri- Xu）/σi~ N（0，I）。

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2022-5-31 11:30:37

因此，Si是多元正态的二次型，具有秩k+1的齐对称非幂等元。分布是1个自由度（df）的中心χ随机变量的加权和，权重是矩阵Q的特征值，参见【Vuong，1989】。总之，Si~k+1Xj=1λjiχj，其中λjia表示具有1 df的千德χjare独立中心χ随机变量的k+1非零特征值。对由Mk+1（.；λ）表示的分布进行了充分研究，例如参见【Solomon和Stephens，1977年】。I型错误的概率为1i=P（k+1Xj=1λjiχj≥ ci）。在替代假设下，数据的边际分布为（ri- Xu）~ N（0，σiAi），其中Ai=（I- Qi）-1、Si的分布是1个df的中心χ随机变量的加权和，权重为矩阵A1/2iQiA1/2i=（I- Qi）-1.- 一、该矩阵的特征值为λji1-λji，其中λji，j=1，···，k+1是之前QIA的非零特征值。II类错误的概率为2i=Pk+1Xj=1λji1- λjiχj≤ ci公司.在加性损失函数下，Bayes-oracle的Bayes风险isRopt=（1- p） δPXi=1t1i+pδAPXi=1t2i。3.2层次贝叶斯方法我们根据Gelfand et al.（1990）的精神，提出了k因子模型的层次贝叶斯方法，isas如下。rti公司~ N（Xtθi，σi），t=1，···，N，i=1，···，P.θi |∧~ Nk+1（θ，τ∧）-1），式中θi=（αi，βi，b（1）i，···，b（k-1） i），θ=（α，β，b（1），····，b（k-1））σi∝ InvGammaν、 ν,∧~ W ishart公司（ρR）-1，ρ,θ~ Nk+1（u，C），τ~ C+（0，1），其中R是先验尺度矩阵，ρ是Wishart分布的先验自由度，u=（0，1，0，···，0）T。我们假设C是k+1阶的单位矩阵。

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2022-5-31 11:30:41

这里，C+（0，1）表示半柯西分布，位置参数为0，比例参数为1，对应的pdf asf（τ）=2I（τ>0）π（1+τ）。尺度参数τ在控制估计量的收缩行为方面起着至关重要的作用。它被称为“全局收缩参数”，Datta和Ghosh【2013年】，因为它根据数据中的总体稀疏性进行调整。∧表现为局部收缩参数。注意，我们考虑了τ上的半柯西先验[Gelman，2006]。Carvalho等人【2009、2010】表明，这种先验规范适用于高维稀疏解问题，并将其命名为“马蹄先验”。当数据稀疏时，τ的后验概率集中在零附近（p→ 0）。Wede FINE？θ=P-1PXi=1θi，V=（P∧+C-（1）-1、θi、σi、∧和θ的吉布斯取样器为[θi | X，ri，uc，λ，σi]~ Nk+1（mi，∑）-1i），其中∑i=XTXσi+∧τ，mi=∑-1i（XTriσi+∧τu）。[σi | ni，ri，θi]~ InvGammaν+ni，ν+（ri- Xθi）T（ri- Xθi）,[λ|θi，P，R，ρ，uc]~ W ishartn公司PXi=1（θi- uc）（θi- uc）T+ρR-1，P+ρo，[θ| V，P，∧，C，u]~ Nk+1V（P∧θ+C-1u），V.我们对τ进行了Metropolis Hastings更新。4渐近最优性【Bogdan等人，2011年】引入了“稀疏条件下的渐近Bayes最优性”（ABOS）的概念。在【Datta和Ghosh，2013年】中，这一点被扩展以显示单组模型的最优性。特别是，如果马蹄先验的全局收缩参数τ被选择为与p相同的阶数，那么马蹄先验诱导的自然决策规则将获得高达O（1）的贝叶斯预言风险，其常数接近于预言中的常数。在单参数设置中，已经进行了几项研究。这里我们将这些结果扩展到多参数设置。我们工作的渐进框架是由【Bogdan等人，2011年】推动的。

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2022-5-31 11:30:44

为了将结果推广到（k+1）维情况，我们需要以下假设。假设（A）：一系列参数向量{γt=（pt，∧0t，σit，δt）；t∈ {1，2，····}}如果满足以下条件，则满足此假设：pt→ 0，σit∧0t→ 0，vt：=（det（I- Qit））-1ftδt→ ∞,utlog（vt）→ C∈ （0，∞),式中，Qi在式（3.2）中定义，f和δ在式（3.4）中定义。λji，j=1，···，k+1是Qand ut的非零特征值：=Qk+1j=1（1- λjit）1/（k+1）。定理1。假设A下，t1i→ 0和t2i→ P（χ（k+1）≤ C）。特别是，对于k=1，t2i→ 1.- e-C/2。证据从第3.1节可以看出，在零假设下，Si是k+1独立χ随机变量的线性组合，权重λji，j=1，···，k+1是Qi的非零特征值。假设A下，vt→ ∞. 因此，对于假设的最后一部分，每个λji，j=1，···，k+1必须收敛到1，作为t→ ∞. 因此，Si=> χk+1，其中=> 表示分布收敛。根据vt的假设→ ∞, 我们有ci→ ∞ 因此t1i→ 在替代假设下，Si是k+1个独立χ随机变量的线性组合，权重为λji/（1）- λji），j=1，···，k+1。在假设A下，λji，j=1，···，k+1收敛到1。因此utSi=> χk+1。此外，utlog（v）→ C、因此t2i→ P（X≤ C）其中X是χk+1随机变量，因此为结果。备注5。根据上述定理，我们可以得出结论，在贝叶斯预言下，风险的形式为Ropt=P PδAP（χ（k+1）≤ C）。定义1。考虑满足假设a的一系列参数γt。如果γt的风险满足要求，我们将其称为多重测试规则abo→ 1作为t→ ∞我们提出了一种替代测试，拒绝区域▄Si>ci，其中ci如等式（3.3）所定义，且▄Si=（ri- Xu）σiTX（XTX）-1XT（ri- Xu）σi.<<Si的优点是它不依赖于∧。我们证明这个新的测试是ABOS。定理2。

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2022-5-31 11:30:47

当且仅当cit→ ∞ 和citut→ C、证明。在H下，Si=（ri- Xu）σiTQ（ri- Xu）σiis–Q=X（XTX）的标准多元正态中的二次型-秩k+1的1x对称幂等元。因此▄Si~ χk+1和t1i=P（~Si>cit）→ 0当且仅当cit→ ∞. 在备选方案下，Zi=（ri- Xu）σiTA-1/2为标准正常值，且▄Si=ZTiA1/2i▄QA1/2iZ。So（det（Ai））-1/（k+1）Si=> χk+1。此外，det（Ai）=Qk+1j=1（1- λji）。TheABOS属性现在使用备注5建立。贝叶斯错误发现率（BFDR）是由[Efron和Tibshirani，2002]引入的，因为BFDR=P（他的真实|他的拒绝）=（1- p） t（1- p） t+pt。可以看出，多个测试程序将BFDR控制在一个小的α水平，在最小化误分类错误方面表现得非常好，参见【Bogdan等人，2007年】。考虑一个基于▄Si的固定阈值规则，BFDR等于α。在混合模型（3.1）下，可通过求解方程（1）获得相应的阈值Cc- p） e类-c/2（1- p） e类-c/2+pe-c/2ut=α（4.1）定理3。考虑一个固定阈值规则，BFDR=α=αt。该规则是ABOS当且仅当它满足以下两个条件srα/f→ 0，其中rα=α/（1- α）（4.2）和2 log（rα/f）1-ut公司→ C、（4.3）该规则的阈值为Ct=C- 2对数（rα/f）+o（t）。（4.4）证明。假设测试是ABOS。方程式（4.1）相当于top1- pα1- α=e-c/2（1-ut）根据定理2，右手边为零。这意味着左侧=rα/f变为零，建立了第一个条件。简化方程式（4.1）并使用citut→ C我们有，2 log（rα/f）=ct+C+o（t）（4.5），也就是说，阈值的形式由方程（4.4）给出。此外，cit=C/ut+o（t）。将其与方程（4.5）相结合，我们得到第二个条件。现在我们证明了相反的情况。假设BFDR=α的测试满足这两个条件。让我们定义ztas zt=citu。

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2022-5-31 11:30:51

这样的测试满足性方程（4.1）。因此，2 log（rα/f）=zt（1-ut）。结合方程式（4.3），我们得到了zt→ C、同样，根据方程式（4.4），2 log（rα/f）=zt- ct。结合方程式（4.2）和zt→ C、我们有ct→ ∞.现在利用定理2，检验是ABOS。~Si的切割值c是方程式（4.1）的解。这个c仍然是未知参数的函数，不能在实践中使用。注意，当稀疏性参数p和模型参数λjare固定时，c是测试水平α的单调递减函数。因此，为了实现目的，我们没有试图明确获得c，而是确定我们将拒绝无效假设的测试比例。这相当于组合中包含的资产比例。这可以控制最终投资组合的规模。从财务角度来看，这也是可取的，因为竞争投资组合只有在规模相同时才具有可比性。5模拟研究在本节中，我们介绍了四种不同的模拟研究。在实验1中，我们比较了Si和▄Si的性能。在第二个实验中，我们将Bayes-oracle估计器的性能与Diffuse-prior和LARS-LASSO Fan等人[2012]等其他方法进行了比较。在第三个实验中，我们比较了拟议的▄SI选择的投资组合包含oracle集合的概率，作为市场规模、样本规模和地区风险的函数。在第四个实验中，我们研究了因子数k对▄Si性能的影响。对于前三个实验，我们考虑单因素CAPM以保持简单，并从方程（2.1）给出的真实模型中模拟数据，σi=所有i的σ。在不丧失一般性的情况下，我们假设前[pP]许多股票的定价不公平。也就是说，我们分别从N（0，0.1）和N（1，0.1）中模拟α和β干扰素。

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2022-5-31 11:30:55

对于其余股票，α和β设置为（0,1）。实验1：在这项研究中，我们考虑了两种不同的▄P选择，即▄P=100和500，样本大小从n=20到n=50不等，间隔为5。注意，由于空间限制，我们在图1中给出了n=20和n=50的结果。我们允许稀疏性参数p在0.01到0.9之间以0.01的间隔变化。我们选择σ的两个不同值为0.1和0.05。最后，我们设置∧=0.5 0.30.3 0.7. 对于所有这些不同的n、~P、α、β、σ选择；我们模拟了1000个数据集。对于每个数据集，我们计算所有i=1，2，···，P的Siandsif。在标准贝叶斯变量选择策略中，要么使用后验包含概率，见Datta和Ghosh【2013年】，要么使用可信区间，见van der Pas等人【2017年】。我们采用另一种策略，为最终投资组合选择固定数量的资产。例如，在给定的模拟数据集中，我们计算了所有i=1，2。。。P。然后，我们选择P=25多个资产，对应的▄Siare最高。我们放弃标准贝叶斯变量选择策略的原因如下。固定阈值策略或概率包含策略可以在一个数据集中选择密码集。然而，在另一个数据集中，它可以选择Passets。因此，这两个投资组合不具有可比性，因为协方差矩阵具有不同的维度。我们希望在所有模拟的1000个数据集中保持文件夹大小相同，以便进行公平比较。在所有四个实验中，我们都遵循这里提出的投资组合选择策略。基于1000多个数据集的决策，我们计算了I型错误、II型错误、贝叶斯错误发现率（BFDR）和误分类概率（PMC）；并将结果显示在图1和图2中。我们报告了实验1的以下观察结果。观察1。

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2022-5-31 11:30:58

当稀疏度趋于0时，图1的所有四个面板中的I型误差都变为0。在图1的所有面板中，稀疏度接近0，II型误差不会达到1。有界II型误差保证了ABO的特殊统计能力。该观察结果验证了定理1.2。从图1的所有四个面板中，我们观察到，对于n、P、σ和稀疏度P的不同选择，所有四个指标都是SiandSioverlap。因此，验证了定理2.3。随着样本量n的增加，II类错误概率和误分类概率都会增加。这表明即使稀疏性参数p接近零，统计功率也在增加。4、作为p→ 1，即模型变得稠密，不应使用此测试，因为i型误差增加。然而，当稀疏度达到0.5时，I型误差保持在5%以下。在图1的所有四个面板中，无论n、P、σ和P.6的值如何，BFDR约为0.05。图2表明，通过将库存数量从P=10增加到P=500，测试的所有指标都变得更加平滑。实验2：在本研究中，我们考虑P=500，样本量n=20，σ=0.1和∧=0.5 0.30.3 0.7. 对于所有这些参数的选择，我们模拟了1000个数据集。对于每个数据集，我们计算▄s并做出决策。我们还可以使用Diffuse Previor和LARS-LASSO技术做出决策，并与oracle进行比较。根据1000个数据集中的决策，我们计算了I型错误、II型错误、贝叶斯错误发现率（BFDR）和误分类概率（PMC），并将结果显示在图3中。观察1。当稀疏度趋于0时，ABOS的I型误差变为0。在似然检验中，I型误差在稀疏度的不同值中达到5%的水平。LARS LASSOmethod的I型错误概率也表现出一种偏差行为，如使用前的差异。

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2022-5-31 11:31:00

然而，它比Diff-UsePrevior方法更重要。同样，LARS套索的II类错误概率、BFDR和误分类概率均高于Diffuse Previor方法。2、如果我们比较三种方法的II型误差、BFDR和PMC，那么本文提出的ABOS检验都优于其他两种方法。注：我们试图用马蹄先验方法比较ABOS检验与层次贝叶斯（HB）检验。然而，考虑到计算能力，对于一个固定的稀疏性参数，对1000个模拟数据集实施HB方法需要大约三天的时间。对于每个数据集，我们在5000次老化后模拟了25000个MCMC模拟。对于实验2，我们认为稀疏度范围为0.01到0.9，间隔为0.01。对于一个稀疏值，大约需要三天，对于所有90个可能的值，假设系统中没有可能的中断，大约需要270天。因此，由于缺乏计算资源，我们无法实现比较。因此，我们将此任务作为未来的研究项目。实验3：本研究的目的是比较真实oracle投资组合和通过ABOS测试方法选择的portfolioselected的投资组合回报。我们模拟了1000个数据集。在每个数据集中，我们从实验1中描述的模型中模拟了40个样本。我们考虑20个样本用于培训，其余样本用于测试。在整个美国，市场规模为P=500。我们认为投资组合规模为▄P=100和▄P=50。我们考虑σ的两种不同选择，分别为0.03和0.01。我们假设5%（即q=25）的股票具有非零α。本研究考虑oracle投资组合（表示为APq）和ABOS投资组合（表示为BP）。在oracleportfolio中，将始终选择25只股票以及其他随机选择的75只股票。

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2022-5-31 11:31:05

在ABOS投资组合中，所有股票都是根据▄Si选择的。我们认为两个投资组合的权重相等。观察结果：1。在表（1）中，我们给出了1000个合成数据集的样本外中值回报。真正的甲骨文投资组合和ABOS投资组合的中位回报率在四种不同的选择▄P和σ中是相似的。2、在图（4）中，我们展示了真实oracle投资组合和ABOS投资组合1000个合成数据集的并排箱线图。目视检查表明，ABOS产品组合的性能与oracle产品组合相似/相当。实验4：本研究的目的是调查因素数量对投资组合选择程序绩效的影响。我们比较了CAPM和四因素模型之间所选投资组合包含oracle投资组合的概率。请注意，CAPM模型实际上是一个单因素模型，其中市场指数引起的风险溢价是唯一因素。观察结果：1。在图（5）中，我们给出了所选投资组合包含oracle投资组合的概率折线图。目视检查表明，四因素模型的ABOS投资组合的统计能力优于单因素CAPM。6实证研究在实证研究中，我们考虑了从2006年1月到2018年10月的大约十三年的日收益率。选择这一时期的目的是研究这些方法的行为，特别是在2008年和2011年的压力期间。我们考虑了大约500只在纽约证券交易所上市的股票。我们于2018年11月1日下载了500只股票的每日调整收盘价。此外，我们还下载了标准普尔500指数、道琼斯工业平均指数（DJI）、纽约证券交易所综合指数（NYSEC）、罗素2000指数和芝加哥期权交易所波动率指数（又名VIX）的每日收盘价。

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2022-5-31 11:31:08

所有数据均从Yahoo Finance下载(https://finance.yahoo.com/)。以下GitHub存储库中提供了所有R代码和数据：https://github.com/sourish-cmi/sparse_portfolio_Bayes_multiple_test.我们认为标准普尔500指数是基准市场指数，DJI、NYSEC、Russell2000和VIX等指数是五因素模型中的附加因素。请注意，在这十三年期间的部分时间内，某些库存不可用。最初几年，每日收盘价约为400只股票。我们利用可用的股票价格进行了分析。我们每月进行以下分析。在第三个月，我们在第三个月的每日收益上运行第（3）节所述的建模过程。P=500许多资产的超额回报率超过无风险利率r。。。，rPin市场和P n、这里n通常是22或23天的返回时间，因为一个月只有那么多的营业日。我们使用第3节中所述的方法，选择▄P=25多个资产，该方法适用于第三个月的每日收益。我们选择价格过低的股票，我们（t+1）月的修订投资组合将由这些价格过低的股票组成。一旦我们为投资组合选择了▄P=25多个资产，那么问题就归结为投资组合分配。通常，投资组合经理会求助于马科维茨优化的解决方案。然而，我们意识到，如果我们求助于马科维茨的优化，我们将无法区分业绩的提高是由于投资组合选择还是由于马科维茨的投资组合分配。为了消除投资组合分配的影响，我们始终考虑了等权投资组合。

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2022-5-31 11:31:11

请注意，我们还使用马科维茨的优化单独实现了结果，并在补充材料的附录B中给出。我们观察到，对于马科维茨的加权投资组合，样本外风险和回报是不同的。但由于马科维茨的优化，我们没有观察到任何重大改进。我们在t+1月份投资选定的股票，同时计算投资组合和标准普尔500指数的样本外回报。我们认为抽样期为2006年1月1日至2018年10月31日。例如，我们对2007年12月的股票价格进行统计处理，识别出25只股票，并使用2008年1月的等权重构建投资组合，只投资这些股票。我们每个月都会重复这个过程。权重相等的投资组合的绩效如图6所示。图7显示了样本中四种不同策略的性能。在这里，标准普尔500指数被视为基准投资组合，因为许多投资者作为被动投资者投资于标准普尔500指数基金。如果我们看一下图（6:a），除了两年（20082012），“马蹄形因子模型”选择策略在年度回报方面优于基准指数。在13年中，有五年（2008年、2011年、2013年、2017年、2018年）Fan的LARS-LASSO选择流程在年度回报方面低于基准。同样，在相同的13年中，有六年（2006年、2008年、2010年、2015年、2017年、2018年）的CAPM选择过程在年度回报方面低于基准。除三年（2011年、2017年、2018年）外，factormodels with Bayes oracle strategy在年回报率方面优于基准指数基金。

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2022-5-31 11:31:15

就年度回报而言，所有四个投资组合选择过程在所有十三年中都优于基准，但我们不能清楚地说一个策略在所有年份都优于另一个策略。在图（6:b）中，我们给出了所有选择策略的样本外年化波动率，在图7中，我们给出了样本外回报中所有四种选择策略的每日年化波动率。用GARCH（1,1）模型估计波动率。所有四种策略的波动性风险都与标准普尔500指数的波动性风险相似，并且所有四种策略的波动性风险始终在标准普尔500指数附近。然而，仔细的目视检查表明，与标准普尔500指数相比，所有四种策略都具有系统性的高可用性风险。在这四种策略中，Bayes-oracle策略的波动风险始终较低。图（6:c）显示了样本外回报中不同策略的“风险价值”（VaR）。在这四种策略中，Bayes-oracle策略的VaR往往较低。图（6:d）显示了样本中不同策略的“风险调整回报”。没有一个始终如一的赢家。有五年的时间，分层贝叶斯策略的风险调整回报率最高。除2017年外的所有年份，这四种策略中的任何一种都比基准标准普尔500指数具有更高的风险调整后回报率。风险调整后的回报率表明市场可能存在效率低下。就年度回报而言，没有明确的制胜策略。然而，所有四种策略都表明市场上可能存在着不高效。我们实施了马科维茨的投资组合优化技术，而不是平等的投资组合分配，并将结果添加到附录B中。

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2022-5-31 11:31:18

我们观察到，对于马科维茨的加权投资组合，样本外风险和回报是不同的。但我们没有观察到由于马科维茨的优化而带来的任何显著改善。7讨论我们通过k因子模型提出了贝叶斯投资组合选择策略。如果市场信息充分，拟议战略将模仿市场；否则，该策略的表现将优于市场。该策略取决于通过对模型参数的贝叶斯多重测试方法选择投资组合。我们提出了“离散混合先验”模型和“具有马蹄先验的层次贝叶斯模型”我们证明了在Datta和Ghosh[2013]的渐近框架下；贝叶斯规则使贝叶斯预言的风险达到O（1），常数接近预言中的常数。Bayes-oracle测试通过提供II型错误的上限来保证统计能力。仿真研究表明，当稀疏性参数p接近零时，随着样本量的增加，贝叶斯-预言检验的统计能力不断增强。作为p→ 1，即模型变得密集，不应使用Bayes-oracle测试。然而，当p=稀疏参数的0.5时，I型误差保持在5%以下。因此，即使p=0.5，也可以使用该测试，即模型是适度稀疏的。这意味着拟议的Bayes oracletest适用于价格合理的股票较少的高效市场。对于k因子模型（k>1），贝叶斯或克莱尔投资组合的统计能力一致优于单因子CAPM。我们提出了一项实证研究，其中我们考虑了2006年至2018年期间纽约证券交易所（NYSE）的500只股票，以及作为基准的美国国家标准普尔500指数。我们展示了四种不同策略的样本外风险和回报表现，并与标准普尔500指数进行了比较。

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2022-5-31 11:31:21

实证结果表明，市场中存在效率低下现象，因此有可能提出一种优于市场的策略。在有关“马蹄”先验的文献中，局部收缩和全局收缩参数都有一个重尾半柯西先验。虽然这在理论上对我们的分析是可能的，但我们选择在包含局部收缩参数的精度矩阵∧上指定共轭余弦先验，在全局收缩参数τ上指定半柯西先验。这是出于对计算可行性的考虑。我们正在解决财务中的一个应用问题，该程序必须在极高的维度设置中实施。在我们的例子中，这是500支股票10年的月度回报。Wishart的共轭性极大地帮助了计算。参考文献f。黑色限制借贷的资本市场均衡。《商业杂志》，45:444–4541972。F、布莱克和R·利特曼。全球投资组合优化。《金融分析杂志》，48:28–431992年。M、 Bogdan、J.K.Ghosh、Ochman A.和S.Tokdar。关于多重测试问题的经验贝叶斯方法。质量与可靠性工程国际，23（6）：727–7392007。M、 Bogdan、A.Chakraborty、F.Fromlet和J.Ghosh。某些多重检验过程稀疏性下的渐近Bayes最优性。《统计年鉴》，39（3）：1551–15792011年。C、 Carvalho、N.Polson和J.Scott。通过马蹄铁处理稀疏性。机器学习研究杂志，5:73–802009。C、 Carvalho、N.Polson和J.Scott。稀疏信号的马蹄形估计器。Biometrika，97（2）：465–480，2010年。五、 K.Chopra和W.T.Ziemba。均值、方差和协方差误差对最优投资组合选择的影响。《投资组合管理杂志》，19:6–111993年。S、 Das、A.Halder和D.K.Dey。

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2022-5-31 11:31:24

规范化投资组合风险分析：贝叶斯方法。《应用概率的方法与计算》，19:865–8892017。内政部：10.1007/s11009-016-9524-5。J、 Datta和J.K.Ghosh。马蹄先验贝叶斯风险的渐近性质。贝叶斯分析，8（1）：111–1322013。B、 Efron和R.Tibshirani。经验贝叶斯方法和微阵列的错误发现率。遗传流行病学，23（1）：70–862002。N、埃尔卡鲁伊。Markowitz问题和其他具有线性约束的二次规划中的高维效应：风险低估。《统计年鉴》，38（6）：3487–3566，2010年。E、 F.Fama和K.R.French。股票和债券收益中的常见风险因素。《金融经济学杂志》，33（1）：3–561993年。J、 Fan、J.Zhang和K.Yu。具有总敞口限制的大量投资组合选择。《美国统计协会杂志》，107:592–6062012。A、 E.Gelfand、S.E.Hills、A.Racine Poo和A.F.M.Smith。使用Gibbs抽样说明正常数据模型中的贝叶斯推理。《美国统计协会杂志》，85:972–9851990。A、盖尔曼。层次模型中方差参数的先验分布（评论Browne和Draper的文章）。贝叶斯分析，1:515–5342006。A、戈亚尔。实证横截面资产定价：一项调查。《金融市场投资组合管理》，26:3–382012年。R、 C Harvey和G.Zhou。资产定价测试中的贝叶斯推断。《金融经济学杂志》，26:221–2541990。O、 Ledoit和M.Wolf。改进了股票收益协方差矩阵的估计，并将其应用于投资组合选择。《实证金融杂志》，10:603–6212003。J、林特纳。风险资产的估值以及股票投资组合和资本预算中风险投资的选择。《经济学与统计学评论》，47:13–371965年。米格尔·索萨·洛博、玛丽亚姆·法泽尔和斯蒂芬·博伊德。

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2022-5-31 11:31:27

具有线性和固定交易成本的投资组合优化。运筹学年鉴，152（1）：341–365，2007年。H、马科维茨。投资组合选择。《金融杂志》，7（1）：77–911952年。T、米切尔和波尚。线性回归中的贝叶斯变量选择。《美国统计协会杂志》，83（404）：1023–10321988。J、尚肯。测试投资组合效率的贝叶斯方法。《金融经济学杂志》，19:195–216，1987年。W、夏普。资本资产价格：风险条件下的市场均衡理论。《金融杂志》，19:425–4421964。H、所罗门和M.A.斯蒂芬斯。加权卡方变量和的分布。《美国统计协会杂志》，72（360）：881-8851977。St'ephanie van der Pas、Botond Szab'o、Aad van der Vaart等。马蹄铁的不确定性量化（附讨论）。贝叶斯分析，12（4）：1221–12742017。Q、 H.Vuong。模型选择和非嵌套假设的似然比检验。《计量经济学》，57（2）：307-3331989。附录Markowitz投资组合优化可表示为以下二次规划问题：最小w∑w服从wP=1和wu=uk。（A.1）这里1是一个P维向量，每个条目中有一个，ukis是期望的回报水平。投资组合协方差可以分解为两部分，即w∑w=w[BT∑mB+∑]w=wBT∑mBw+w∑w、其中，第一部分解释了市场波动导致的投资组合波动，第二部分解释了股票特质行为导致的投资组合波动。我们假设σi有界i、 thennw∑w=PXi=1ωiσi≤ σmaxPXi=1ωi，σmax=max{∑} < ∞,≤ σmaxMω：PPXi=1ωi，Mω：P=max{w}，=σmaxMω：P→ ∞ 和Mω：P→ 0个==> w∑w→ 因此，我们得到以下结果。结果1。

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2022-5-31 11:31:30

在CAPM模型（2.1）下，协方差矩阵（2.4）和假设（A.1），如果P→ ∞ 和Mω：P→ 0和σmax=max{∑} < ∞, 然后跛行→∞w∑w=0。备注6。在标准资产定价理论下，随着投资组合规模的增大，任何资产的最大权重都是有界的，投资组合的特殊风险将被冲掉。投资组合的风险和回报将是由主要市场指数解释的系统风险的函数。B附录表1：真正的oracle投资组合和由推荐的▄Simethod选择的投资组合的中值回报（样本数据集中的1000个）。这表明ABOS选择和oracle选择是等效的。PσOracle投资组合回报▄SiPortfolio Return100 0.03 0.024 0.02350 0.03 0.014 0.013100.01 0.015 0.01650 0.01 0.013 0.01表2：等重投资组合的外样本年回报。

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2022-5-31 11:31:33

蓝色值表示特定年份与其他策略相比的最大回报。标准普尔500指数带HS因子模型的CAPM LARS-LASSO模型因子模型BO2006 11.78 11.62 21.06 12.78 15.562007 3.65 22.33 5.56 13.26 10.872008-37.58-49.85-40.44-44.70-33.892009 19.67 26.70 32.02 40.51 30.972010 11.02 9.21 19.89 26.31 35.702011-0.68 0.43-4.32 2.75-7.122012 11.68 14.03 21.44 11.46 24.562013 26.39 43.69 25.04 42.50 29.452014 12.39 23.93 17.83 17.92 20.062015 0.14-9.89 4.283.73 9.642016 12.70 13.82 14.58 23.14 20.852017 18.42 12.63 12.61 26.07 10.932018 0.59-5.73-11.39 5.34-4.11表3：等重组合样本外收益的年化波动率。标准普尔500指数带HS因子模型的CAPM LARS-LASSO模型因子模型BO2006 10.02 16.32 13.93 14.50 13.082007 16.02 20.31 18.59 18.88 16.672008 41.02 52.99 49.68 46.57 45.472009 27 48.49 35.50 34.14 36.222010 18.10 25.29 21.93 22.41 20.962011 23.44 29 29.04 28.76 29 29 26.22 2012 12.76 18.10 16.48 17.58 14.662013 11.07 14.83 14 14 14 14.66 2014 12.31 11.38 14.63 14.49 15.75 12.39 2015 15.54 17.19 16.4517.93 2016年16月22日12.99 18.02 14.93 16.90 15.352017 6.69 10.39 9.50 9.98 8.342018 15.26 18.85 15.59 16.33 14.78表4：等重投资组合样本外收益的风险价值（VaR）。标准普尔500指数带HS因子模型的CAPM LARS-LASSO模型因子模型BO2006 1.27 2.12 1.53 1.91 1.652007 2.52 2.79 2.68 2.51 2.312008 6.19 8.51 8.01 6.96 6.182009 3.54 6.79 4.61 4.23 5.012010 2.76 3.69 2.91 2.88 3.122011 2.97 3.54 3.93 3.68 3.452012 1.60 2.19 2.18 2.15 1.882013 1.43 1.78 1.81 1.481 2014 1.65 2.13 2.11 2.49 1.582015 1.94 2.23 2.07 2.23 1.732016 1.86 2.52 2.16 2.07 1.992017 0.801.66 1.27 1.20 1.162018 2.25 2.59 2.56 2.61 2.16表5：经风险调整的等重组合外样本收益率。

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2022-5-31 11:31:37

蓝色值表示特定年份与其他策略相比的最大风险调整回报。标准普尔500指数带HS因子模型的CAPM LARS-LASSO模型因子模型BO2006 1.18 0.71 1.51 0.88 1.192007 0.23 1.10 0.30 0.70 0.652008-0.92-0.94-0.81-0.96-0.752009 0.72 0.55 0.90 1.19 0.852010 0.61 0.36 0.91 1.17 1.702011-0.03 0.01-0.15 0.09-0.2720120 0.92 0.77 1.30 0.65 1.682013 2.38 2.95 1.1 77 2.90 2.392014 1.09 1.64 1.23 1.14 1.622015 0.01-0.58 0.26 0.21 0.592016 0.98 0.77 0.98 1.371.362017 2.75 1.22 1.33 2.61 1.312018 0.04-0.30-0.73 0.33-0.28图1：Siand▄Siin实验1的性能。我们模拟了1000个数据集。在每个数据集中，我们考虑100只股票，即P=100，有20天和50天的数据，即样本量n=20，n=50。我们允许稀疏参数p在0.01到0.9之间以0.01的间隔变化。我们选择了两个不同的σ值，分别为0.1和0.05。此外，实验1中定义了∧。对于每个数据集，我们计算Siand▄sian并做出决策。基于1000多个数据集的决策，我们计算了I型错误、II型错误、贝叶斯错误发现率（BFDR）和误分类概率（PMC）。Siand▄Si的重叠性能表明这两种统计数据是等效的。n=20，σ=0.1 n=20，σ=0.05n=50，σ=0.1 n=50，σ=0.05图2：在实验1中，我们研究了增加P对Si和Si的影响。我们模拟了1000个数据集。在每个数据集中，我们考虑10只和500只股票，即P=10和P=500，有20天的数据，即样本量n=20。我们认为σ=0.1。我们允许稀疏性参数p在0.01到0.9之间以0.01的间隔变化。对于每个数据集，我们计算Siand▄sian并做出决策。

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nandehutu2022

2022-5-31 11:31:40

基于1000多个数据集的决策，我们计算了Ierror类型、II类错误、贝叶斯错误发现率（BFDR）和误分类概率（PMC）。（a） P=10，n=20，σ=0.1（b）P=500，n=20，σ=0.1表6：使用马科维茨权重的外样本年回报率。标准普尔500指数带HS因子模型的CAPM LARS-LASSO模型因子模型BO2006 11.78 11.63 31.21 0.95 15.572007 3.65 22.32 8.36 6.66 10.882008-37.58-50.16-31.41-47.88-34.042009 19.67 26.75 31.90 35.98 31.102010 11.02 9.17 27.87 20.10 35.712011-0.68 0.49-1.36 10.18-7 102012 11.68 14.03 23.10 9.07 24.552013 26.39 43.70 21.23 39.77 29.462014 12.39 23.91 18.44 9.99 20.072015 0.14-9.88 2.93 3.749.652016 12.70 13.74 15.70 21.99 20.842017 18.42 12.63 18.32 23.04 10.942018 0.59-5.72-9.71 8.75-4.12表7：马科维茨投资组合样本外收益率的年化波动率和标普500 CAPM LARS-LASSO模型因子模型和HS因子模型，BO2006 10.02 16.31 11.65 12.59 13.072007 16.02 20.30 16.14 17.08 16.662008 41.02 52.61 42.13 38.62 45.262009 27 48.05 28.05 28 25.25 36.012010 18.1025.28 17.71 18.80 20.942011 23.44 29.03 23.61 25.53 26.202012 12.76 18.09 13.99 14.76 14.662013 11.07 14.82 13.30 13.73 12.312014 11.38 14.63 13.35 14.41 12.382015 15.54 17.19 15.51 16.27 16.22 2016 12.99 18.00 13.96 15.05 15.342017 6.69 10.38 8.96 9.41 8.332018 15.26 18.85 14.06 15.35 14.78图3：我们在此展示绩效ABO的比较，使用实验2中的Previor和LARS-LASSO。我们独立模拟了1000个数据，每个数据有500只股票和20天的回报。我们考虑实验2中定义的σ=0.1和∧。基于对1000个数据集的决策，我们计算了I型错误、II型错误、贝叶斯错误发现率（BFDR）和误分类概率（PMC）。这里我们展示了结果。当稀疏度趋于0时，ABOS的I型误差变为0。

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