当地时间典型价格路径和路径田中公式

2022-5-6 05:48:00

典型价格路径和路径田中公式的当地时间*Nicolas Perkowski+Ceremake&CNRS UMR 7534巴黎大学-Dauphineperkowski@ceremade.dauphine.frDavid德国柏林大学洪堡大学Mathematikproemel@math.hu-柏林。deAugust 8，2018Abstracts根据一种基于套期保值的方法对自由金融数学建模，我们证明了通过投资于那些没有当地时间的一维路径，可以获得任意大的利润。局部时间是由离散近似构造的，并且证明了对于所有的α<1/2，局部时间都是α-H¨older连续的。此外，我们还提供了F¨ollmer的路径It^o公式的各种推广。关键词：It^o公式，当地时间，模型不确定性，田中公式。MSC 2010分类：初级：60H05，60J60。中学：91G99。1简介本文使用Vovk的[Vov12]博弈论方法进行数学融资，为“典型价格路径”构建当地时间。Vovk的方法基于一个外部度量，它由最便宜的路径超边缘价格给出，并且它不假定任何概率结构。我们定义了当地时间的离散版本，并证明在一组外测度为零的情况下，它们收敛到一个连续极限。粗略地说，这意味着，通过投资于离散时间收敛失败的路径，应该可以获得任意大的利润。一个很好的结果是，当坐标过程满足“第一类无套利机会”的经典条件，即。

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2022-5-6 05:48:03

其漂移对于局部鞅部分的二次变化具有平方可积密度。利用这些路径局部时间，我们导出了变量公式的各种路径变化，它推广了F¨ollmer的路径It^o公式[F¨ol81]，就像经典的Tanaka公式推广了经典的It^o公式一样。特别是，我们可以将f（S）与非典型价格路径S进行积分，只要f对某些q<2有有限的q变化。这项工作是[PP13]的延续，我们使用Vovk的方法表明，在多维环境中，每个典型的价格路径都有一条自然的It^o粗糙路径*我们感谢彼得·伊姆凯勒和约翰·鲁夫就这一主题进行了有益的讨论。我们要感谢亚历山大·考克斯在之前版本的论文中指出了一个小错误。+N.P.得到巴黎数学基金会（FSMP）和法国国家研究机构（a NR）监督的公共拨款的支持，作为“Avenir投资”项目的一部分（参考：ANR-10-LABX-0098）。—D.J.P.获得了DFG研究培训组1845年“统计分析在生物学、金融和物理学中的应用”的博士奖学金。里昂[98]与之相关。基于此，我们建立了一个路径整合理论，其动机是在无模型金融数学中的可能应用。利用[PP13]的技术，我们能够处理不一定是积分器函数的被积函数。但是如果我们想要构造rf（S）dS，那么我们需要f∈ C1+ε。

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2022-5-6 05:48:06

本文的目的是证明，对于一维价格过程，这个假设可以大大放宽。我们的动机来自[DOR14]，其中pathwise local times和Apthwise广义It^o公式用于推导无模型环境下加权方差WAP的无套利价格。[DOR14]的技术允许在Sobolev空间H中处理被积函数。在这里，我们将其扩展到某些q<2的有限qvariation的不一定连续被积函数。进一步的动机可以在调查文件[FS13]中找到，该文件将路径整合的可能应用分阶段地应用于稳健的套期保值问题，或者在[CJ90]和[Son06]中，当地时间在金融环境中自然出现，并用于解决所谓的“止损-开始-收益悖论”。我们参考[PP13]更详细地讨论了无模型金融中路径随机积分的必要性。第二节我们在当地时间的适当假设下，给出了F？ollmer的路径It^o公式的各种扩展。在第3节中，我们证明了典型的价格路径具有满足第2.2节中所有假设的局部时间。Pathwise Tanaka formu laA是F¨ollmer在[F¨ol81]中引入的第一种随机演算非概率方法，其中针对一类具有二次变化的实值函数开发了一个It^o公式。这分别为田中公式的路径版本和广义It^of公式建立了我们的起点。让我们先回顾一下F¨ollmer对二次变化的定义。划分π是一个递增序列0=t<t<。没有累积点，可能会获得价值∞.

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2022-5-6 05:48:10

对于T>0，我们用π[0，T]：={tj:tj表示∈ [0，T）}∪ {T}划分π限制为[0，T]，如果S:[0，∞) → R是我们写的一个连续函数（S，π[0，T]）：=maxtj∈π[0，T]\\{T}S（tj）- S（tj-1） |对于间隔[0，T]上沿S的π的网格大小。我们用B（[0，∞ )) Borelσ-代数[0，∞ ).定义2.1。设（πn）是一个划分序列，设∈ C（[0，∞), R）就是这样→∞对于所有的T>0，m（S，πn[0，T]）=0。我们说，如果度量序列un:=Xtj，S沿（πn）有二次变化∈πn\\{∞}（S（tj+1）- S（tj））δtj，n∈ N、在（[0，∞), B（[0，∞))) 模糊地收敛到无原子的非负氡测度u，其中δt表示t处的狄拉克测度∈ [0, ∞). 我们写hSi（t）：=u（[0，t]）表示u的连续“分布函数”，Q（πn）表示沿（πn）具有二次变化的所有连续函数集。之所以只要求limnm（S，πn[0，T]）=0，而不是假设（πn）的网格大小为零，是因为稍后我们将使用具有分段常数部分的Lebesgue分区和路径，在这种情况下，只有第一个假设成立。我们强调，Q（πn）依赖于序列（πn），对于给定的路径，沿着两个不同的分区序列的二次变化可能是不同的，即使两者都存在。这是非常令人不快的，可能会导致读者质疑我们的结果的有用性。但值得注意的是，有一大类路径具有自然的路径二次变量，与用于计算它的特定分区无关。更准确地说，在大师的论文[Lem83]中，也见[CLPT81]，引入了二次弧长的概念。粗略地说，如果路径S沿任何Lebesgue划分序列的二次变化等于a，则路径S具有二次弧长a。

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2022-5-6 05:48:13

[Lem83]定理III.3.3中显示，连续半鞅的几乎每个样本路径S（ω）都有一个二次弧长，它等于半鞅的二次变分hSi（ω）。同样的定理还表明，连续半鞅的几乎每个样本路径都有一个自然的局部时间，它可以通过计算区间上交来获得。为了k∈ N对于k次连续可微函数的空间，我们写Ck=Ck（R，R），对于以有界导数为界的函数的空间，写Ckb=Ckb（R，R），用通常的范数k·kckkb。定理2.2（[F¨ol81]）。设（πn）是一个划分序列，设∈ Q（πn）和f∈ C.然后，路径It^o公式f（S（t））=f（S（0））+Ztf′（S（S））dS（S）+Ztf′（S（S））dhSi（S）与Ztf′（S（S））dS（S）：=limn保持一致→∞Xtj∈πnf′（S（tj））（S（tj+1∧ （t）- S（tj∧ t））t∈ [0, ∞), （1）其中（1）中的级数是绝对收敛的。特别是，定义了所有g的积分r·g（S（S））dS（S）∈ C、而对于所有T>0的情况，则映射为Cb G7→R·g（S（S））dS（S）∈ C（[0，T]，R）定义了一个有界线性算子，我们有Ztg（S（S））dS（S）≤ |S（t）- S（0）|×kgkL∞（补充[0，t]）+hSi（t）kg′kL∞（补充[0，t]）所有t≥ 0，其中supp（S |[0，t]]）表示限制在区间[0，t]内的S的支撑。F¨ollmer实际上需要网格大小maxtj∈πn\\{t}，tj≤T|tj- tj-1 |在所有T>0时收敛到零，但他也考虑了c`adl`ag函数S。对于连续S，证明仅使用m（S，πn[0，T]）收敛到零。It^o积分的连续性是其最重要的性质之一：如果我们在合适的拓扑中逼近被积函数，那么近似积分的概率收敛到正确的极限。这在应用中是绝对关键的，例如在解决随机优化问题或SDE时。

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2022-5-6 05:48:16

在这里，我们主张一条固定路径，因此OREM 2.2中的陈述是我们上下文中连续性属性的自然表述。在连续半鞅理论中，It^o公式可以进一步推广到凸函数的广义It^o规则，例如参见[KS88]中的定理6.22。在F¨ollmer的精神中，在Wuerli[Wue80]未发表的毕业论文中，导出了适用于Sobolev空间中函数的广义It^o规则。我们在此简要回顾一下[Wue80]或[DOR14]中提出的这种路径版本的想法。设f′是右连续且局部有界变化的，我们为x设置f（x）：=R（0，x]f′（y）dyx≥ 0和f（x）：=-R（x，0]f′（y）dy表示x<0。然后我们得到b≥ a thatf（b）- f（a）=f′（a）（b）- a） +Z（a，b）（f′（x）- f′（a））dx=f′（a）（b- a） +Z（a，b）（b）- t） df′（t），这里我们使用了部分积分，右边的积分是用黎曼-斯蒂尔杰斯意义来理解的。对于b<a，我们得到f（b）- f（a）=f′（a）（b）- a） +R（b，a）（t）- b） df′（t）。因此，对于任何∈ C（[0，∞], R）以及我们有f（S（t））的任何配分π- f（S（0））=Xtj∈πf′（S（tj）∧ t））（S（tj+1）∧ （t）- S（tj∧ t））+Z∞-∞Xtj∈πLS（tj）∧t），S（tj+1∧t） K（u）| S（tj+1）∧ （t）- u|df′（u），（2）其中我们使用了符号lu，vK:=（（u，v），如果u≤ v、（v，u），如果u>v，则表示u，v∈ R.让我们通过设置lπt（S，u）：=Xtj来定义离散的本地时间∈πLS（tj）∧t），S（tj+1∧t） K（u）| S（tj+1）∧ （t）- u |，u∈ R、注意Lπt（S，u）=0表示u/∈ [infs∈[0，t]S，sups∈[0，t]S（S）]。在下面我们可以省略S，只写Lπt（u）。定义2.3。设（πn）是一个划分序列，设∈ C（[0，∞), R）。A函数l:[0，∞) ×R→ R被称为S沿（πn）的L局部时间，如果对于所有t∈ [0, ∞) 它保持着苗条→∞m（S，πn[0，t]）=0，离散路径局部时间Lπnt（S，·）在L（du）到Lt（S，·）之间弱收敛为n→ ∞.

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2022-5-6 05:48:19

我们为所有具有L-局部时间的连续函数集（πn）写LL（πn）。利用当地时间的这一定义，Wuerli证明了以下定理，其中wedenote by Hk=Hk（R，R）函数的Sobolev空间是L（R，R）中弱可微函数的k倍。定理2.4（[Wue80]，Satz 9或[DOR14]，命题B.4）。设（πn）是一个划分序列，设∈ LL（πn）。然后是S∈ Q（πn），对于每一个f∈ h广义路径It^of公式f（S（t））=f（S（0））+Ztf′（S（S））dS（S）+Z∞-∞f′（u）Lt（S，u）duholds与ztf′（S））dS（S）：=limn→∞Xtj∈πnf′（S（tj））（S（tj+1∧ （t）- S（tj∧ t））t∈ [0, ∞ ).（注意f′对于f是连续的。）∈ H）。特别是，积分r·g（S（S））dS（S）是为所有g定义的∈ H、对于所有的T>0，地图H G7→R·g（S（S））dS（S）∈ C（[0，T]，R）定义了丰富的线性算子。此外，为了∈ B（R）我们有职业密度公式，t（u）du=ZtA（S（S））dhSi（S），t∈ [0, ∞).换句话说，不管怎样≥ [0，t]上S的占位测度相对于勒贝格测度是绝对连续的，密度为2Lt。证据的草图。公式（2）结合f和S的连续性yieldsf（S（t））- f（S（0））=Xtj∈πnf′（S（tj））（S（tj+1∧ （t）- S（tj∧ t））+Z∞-∞Xtj∈πnLS（tj）∧t），S（tj+1∧t） K（u）| S（tj+1）∧ （t）- u|f′（u）du。根据假设，右边的第二项收敛于toR∞-∞f′（u）Lt（S，u）du as tents to∞, 所以黎曼和也必须收敛。占领密度公式由连续函数近似得出。正如Bertoin[Ber87]所观察到的，F¨ollmer的路径随机积分的这个扩展的关键点再次是，它是由H上的连续线性算子给出的≥ 0，同样的参数也适用于H中局部存在的函数f，即。

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2022-5-6 05:48:22

使f |（a，b）∈ H（（a，b，R）代表所有- ∞ < a<b<∞.当我们对局部时间L（S）做出更有力的假设时，我们自然会期望将Wuerli的广义it^o公式推广到更大的函数空间。定义2.5。设（πn）是一个划分序列，设∈ LL（πn）。我们说S在（πn）上有一个连续的局部时间，如果对于所有t∈ [0, ∞) 离散路径局部时间Lπnt（S，·）一致收敛到一个连续极限Lt（S，·）为n→ ∞ 如果（t，u）7→ Lt（S，u）是连续的。我们为沿（πn）具有连续局部时间的所有S的集合编写Lc（πn）。在下面的定理中，BV=BV（R，R）表示右连续有界变分函数的空间，具有总变分范数。定理2.6。设（πn）是一个划分序列，设∈ Lc（πn）。让f:R→ R与局部有界变差的右连续Radon-Nikodym导数f′是绝对连续的。然后我们得到了变量公式f（S（t））=f（S（0））+Ztf′（S（S））dS（S）+Z的广义变化∞-∞Lt（u）df′（u）表示所有t∈ [0, ∞), 式中ztf′（S（S））dS（S）：=limn→∞Xtj∈πnf′（S（tj））（S（tj+1∧ （t）- S（tj∧ t））t∈ [0, ∞). （3）特别是，对于局部有界变化的所有g，以及对于所有T>0，定义了整数r·g（S（S））dS（S） G7→R·g（S（S））dS（S）∈ C（[0，T]，R）定义一个有界线性构造器。证据从（2）我们得到f（S（t））- f（S（0））=Xtj∈πnf′（S（tj））（S（tj+1∧ （t）- S（tj∧ t））+Z∞-∞所有t的Lπnt（u）df′（u）≥ 0.由于LπNt一致收敛于Lt，我们的主张立即成立。观察f满足定理2.6的假设，当且仅当它是两个凸函数的差。对于这样的f，Sottinen和Viitasaari[SV14]证明了一类高斯过程变量公式的广义变化。

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nandehutu2022

2022-5-6 05:48:25

他们很好地观察到，对于一个合适的高斯过程X，人们可以控制f′（X）的分数贝索夫正则性，他们利用这一观点来构造分数积分。这种规律性的结果有些令人惊讶，因为一般来说，f′（X）甚至不是l\'adl\'ag，所以特别是对于任何p>0的情况，都没有明确的变化。但是，由于f′（X）的正则性是用概率参数表示的，所以Sottinen和Viitasaari的积分并不是直接的路径对象：其外部的零集可能依赖于f。此外，它们只能处理α阶>1/2的H¨older连续高斯过程，并且当考虑具有非平凡二次变化的过程时，它们的方法会崩溃。这里我们有一个完全不同的重点，因为我们对具有非平凡二次变化的路径的路径结果感兴趣。作为定理2.6的直接结果，我们得到了经典田中公式的路径版本。推论2.7。设（πn）是一个划分序列，设∈ Lc（πn）。路径塔纳卡迈耶公式（u）=（S（t）- u）-- （S（0）- u）-+Zt(-∞,u）（S）dS（S）对所有（t，u）有效∈ [0, ∞) ×R，用符号（·表示）- u）-:= 最大{0，u- ·}. 1[u]的类似公式，∞)（·）和sgn（·）- u）等等。在这一点上，我们看到了一幅画面：局部时间的规律性越强，函数的空间就越大，我们可以将路径随机积分扩展到这个空间。事实上，前面的例子都是基于被积函数的导数和职业测度之间的对偶性。在经典的F¨ollmer It^o情况下，对于固定时间T≥ 0，占领测度只是紧区间[a，b]上的有限测度，当然，连续函数属于[a，b]上有限测度的对偶空间。

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可人4

2022-5-6 05:48:28

在Wuerli环境中，占领测量具有土地密度，因此在L上定义了一个有界函数。如果当地时间是连续的，那么我们甚至可以针对它整合氡测量。因此，如果我们能量化局部时间的连续性，那么对偶空间会进一步增加，我们可以将路径It^o公式扩展到更大的函数类。为此，我们引入了一个给定的划分序列（πn）和p≥ 1集合Lc，p（πn） Lc（πn）由这些∈ Lc（πn），其中离散局部时间（Lπnt）在t中一致有界p-变差∈ [0，T]对于所有的T>0，即对于哪个∈NkLπnkCTVp:=supn∈恩苏普特∈[0，T]kLπnt（·kp-var<∞对于所有T>0，我们为任何f:R写→ Rkfkp变量：=supnXk=1 | f（英国）- f（英国）-1） |p1/p：-∞ < u<…<联合国∞, N∈ N.我们还为有限p-变分的右连续函数空间编写了VP，配备了p-变分半形式的最大值和上确界范数。对于S∈ Lc，p（πn）并使用Young积分，我们可以将pathwise Tanaka公式扩展到更大的被积函数类，允许我们对G（S）dS进行积分，前提是G对某些q具有有限的q变化，且1/p+1/q>1。这在精神上类似于经典田中公式的BouleauYor[BY81]扩展。冯和赵[FZ06]在定理2.2中提出了这样的扩展。但冯和赵仍处于半鞅环境中，他们将（5）中出现的随机积分解释为通常的It^o积分。这里我们得到了一个路径积分，它是作为黎曼和的一个极限自然给出的。让我们简要回顾一下青年融合的主要概念。

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能者818

2022-5-6 05:48:31

在[You36]中，杨展示了如果-∞ < a<b<∞, 如果f和g分别是有限p变量和q变量[a，b]上的两个函数，且1/p+1/q>1，如果π是[a，b]的一个划分，则存在一个普适常数C（p，q）>0，从而Xtj，tj+1∈πf（tj）（g（tj+1）- g（tj））≤ C（p，q）kkkp-var，[a，b]kgkq-var，[a，b]，其中我们为[a，b]上的f的p-变化写了kkp-var，[a，b]，类似地为g。特别是，如果存在一个划分序列（πn），并且如果f对g沿（πn）的黎曼和收敛到一个极限，我们表示byRbaf（s）dg（s），那么Zbaf（s）dg（s）≤ C（p，q）（|f（a）|+kfkp var[a，b]）kgkq var[a，b]。（4）此外，Young证明，如果f和g没有共同的不连续点，那么网格大小为零的任何分区序列上的黎曼和都会收敛到相同的limitRtf（s）dg（s），独立于特定的分区序列。因此，我们很容易得到下面的定理。定理2.8（另见[FZ06]，定理2.2）。让p，q≥ 1.P+q>1。Let（πn）bea划分序列∈ Lc，p（πn）。让f:R→ R与局部有限q变化的连续Radon-Nikodym导数f′绝对连续。那么不管怎样∈ [0, ∞) 变量公式f（S（t））=f（S（0））+Ztf′（S（S））dS（S）+Z的广义变化∞-∞Lt（u）df′（u）（5）成立，其中df′（u）表示年轻的整合，其中ztf′（S（S））dS（S）：=limn→∞Xtj∈πnf′（S（tj））（S（tj+1∧ （t）- S（tj∧ t））t∈ [0, ∞ ).特别是，对于所有局部单位变化的连续g，以及对于所有T>0的映射Vq，定义了积分R·g（S（S））dS（S） G7→R·g（S（S））dS（S）∈ C（[0，T]，R）定义了丰富的线性算子。证据观察每个n∈ N、离散的局部时间LπNTI是分段光滑的，具有边界变异性。

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能者818

2022-5-6 05:48:34

因此，公式（2）适用于Lπn和f′，并且（2）右侧的积分是沿着网格大小为零的任意分区序列的黎曼和的极限，前提是该序列的每个元素都包含Lπn的所有跳点。因此，积分必须满足界（4）。由于（Lπnt）的p-变分是一致有界的，并且序列一致收敛到Lt，很容易看出，对于所有的p′>p，它必须在p′-变分中收敛。选择这样一个p′且1/q+1/p′>1，并将年轻积分的线性与界（4）结合，结果如下。备注2.9。定理2.2在[FZ06]状态（5）下，假设F:R→ R是左连续且局部有界的，且具有左连续且局部有界的左导数D-有限q-v变量。但是f的绝对连续性是非常必要的：考虑路径S（t）≡ t代表t∈ [0, ∞), f哪个hSi≡ 0，因此我≡ 0.在这种情况下，等式（5）的读数为asf（t）=f（0）+ZtD-f（u）du，t∈ [0, ∞),如果f不是绝对连续的，则为矛盾。在下文中，我们将表明，任何可能模拟资产价格轨迹的典型价格路径必须是Lc，p（πn），如果（πn）表示无模型金融3的S.3 Loc al时间生成的并矢Lebesgue分割。1超级套期保值和外部衡量在最近的一系列论文[Vov11a、Vov11b、Vov12]中，Vovk介绍了一种基于套期保值的无模型数学金融方法。粗略地说，Vovk将实值连续函数集视为价格路径，并在此集合上引入了一个外部度量，该度量由最便宜的超级套期保值价格给出。

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2022-5-6 05:48:37

如果可以通过投资（P）被违反的路径来获得任意大的利润，则称房地产（P）为“典型价格路径”。我们将看到，在Vovk的框架中，可以为典型的价格路径构造连续的本地时间，这为使用无模型金融第2节中的路径广义it^of公式提供了公理化的证明。更准确地说，我们考虑（样本）空间Ohm = C（[0，∞ ), R）所有连续函数ω：[0，∞) → R.关于Ohm 表示为St（ω）：=ω（t）。对于t∈ [0, ∞) wede fine Ft:=σ（Ss:s≤ t）我们设置F:=Wt≥0英尺。停止时间τ和相关的σ-代数Fτ通常是定义的。过程H：Ohm × [0, ∞) → 如果存在停止时间0=τ（ω）<τ（ω）<。这样每ω∈ Ohm 每一个T∈ (0, ∞) 我们有τn（ω）≤ T仅适用于有限多个n和Fτn-可测有界函数Fn：Ohm → R使得Ht（ω）=Pn≥0Fn（ω）1（τn（ω），τn+1（ω）]（t）。在这种情况下，积分（H·S）t（ω）=∞Xn=0Fn（ω）[Sτn+1（ω）∧T- Sτn（ω）∧t] 对于每个ω都有很好的定义∈ Ohm 每一个t∈ [0, ∞).对于λ>0，如果（H·S）t（ω），一个简单的策略H称为λ-容许≥ -λ表示所有t∈ [0, ∞)所有ω∈ Ohm. λ-容许简单策略集用Hλ表示。定义3.1。一个物体的外部尺寸 Ohm 定义为1A最便宜的超边缘价格，即isP（A）：=infnλ>0：（Hn）n∈N Hλs.t.lim inft→∞林恩芬→∞（λ+（Hn·S）t（ω））≥ 1A（ω）ω ∈ Ohmo、一组路径 Ohm 如果外部度量值为零，则称为空集。如果违反（P）的集合A是空集合，则属性（P）将保留典型的价格路径。当然，将过度简单的交易策略最小化，而不是在一系列简单策略中过度限制，这将是更自然的。但这样P就不会是可数次可加的，这将使它很难使用。

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2022-5-6 05:48:40

让我们注意一下，在半鞅模型中超边际价格的经典定义中，我们使用一般容许策略，而针对一般策略的It^o积分是作为积分极限给出的。因此，在这个意义上，我们的定义与经典定义类似（与我们不需要收敛，而是考虑lim inf的事实不同）。对我们来说，P最重要的性质是对空集的以下套利解释。引理3.2（引理[PP13]中的引理2.4]）。一套 Ohm 是一个空集，当且仅当存在一系列1-容许简单策略（Hn）n∈N H、这样的信息→∞林恩芬→∞（1+（Hn·S）t（ω））≥ ∞ · 1A（ω），我们在哪里设置∞ · 0=0和∞ · 1 = ∞.换句话说，空集本质上是第一类无模型套利机会，仅使用典型价格路径类似于仅考虑满足（NA1）（第一类无套利机会）的模型。概念（NA1）近年来引起了人们的极大兴趣，因为它是任何合理的资产定价模型必须满足的最小条件；例如参见[KK07、Ruf13、IP15]。如果P是(Ohm, F）如果集为W，则P下的满足度（NA1）∞:= {1+R∞HsdSs:H∈ H} 是以概率为界的，也就是说→∞好的∈W∞P（X）≥ n） =0。在连续条件下，这相当于S是形式为S=M+R·αsdhMis的半鞅，其中M是局部鞅andR∞α-sdhMis<∞.在下一个命题中，我们收集了P的进一步性质。有关证据（在最后时间），请参见[PP13]。提议3.3。1.P是一个带有P的外部度量(Ohm) = 1，即P是非减量的，可数次可加的，P() = 0.2. 设P是一个概率测度(Ohm, F）这样，坐标过程S是一个P-局部鞅，让a∈ F.然后P（A）≤ 答：3。

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2022-5-6 05:48:44

让我们∈ F是一个空集，P是一个概率测度(Ohm, F）使得协调过程在P下满足（N A1），然后P（A）=0。最后一句话说，每一处被典型价格路径所满足的房产，都必然具有数学金融中可能感兴趣的所有概率测度。引理3.2和命题3.3最初源于Vovk，但在这里和[PP13]中，我们考虑对Vovk的外部度量进行一个小的修改，我们认为它有一个更自然的财务解释，更容易使用。3.2典型价格路径的当地时间的存在本小节专门介绍和证明我们的主要结果（定理3.5）：每个典型价格路径都有一个当地时间，它满足应用我们最通用的It^o-Tanaka公式定理2.8所需的所有要求。为此，回想一下，对于每个划分π（ω）={0=t（ω）<t（ω）<…<tK（ω）（ω）<t（K+1）（ω）（ω）=∞} [0，∞) 当地时间的离散形式由πt（S，u）（ω）=K（ω）Xj=0LStj给出∧t（ω），Stj+1∧t（ω）K（u）|Stj+1∧t（ω）- u |，（t，u）∈ [0, ∞) 由（2）我们得到了田中公式的以下离散形式，也可以通过直接计算得到：Lπt（s，u）（ω）=（St（ω）- u）-- （S（ω）- u）-+K（ω）Xj=0(-∞,u）（Stj（ω））[Stj+1∧t（ω）- Stj∧t（ω）]（6）表示所有（t，u）∈ [0, ∞)×R和ω∈ Ohm. 以网格大小收敛为零的一系列划分为例，我们看到，至少在形式上，随机积分的构造·(-∞,u）（Ss）dSs（ω）等价于本地时间L（S，u）（ω）的构造。在下面，我们将使用一个非常自然的分区序列，即S:为每个n生成的并矢贝格分区∈ N表示Dn:={k2-n:k∈ Z} 并定义停止时间τn（ω）：=0，τnk+1（ω）：=inf{t≥ τnk（ω）：St（ω）∈ Dn\\Sτnk（ω）（ω）}，k∈ N.（7）我们设置πN（ω）：={0=τN（ω）<τN（ω）<。

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2022-5-6 05:48:47

. . }. 注意，函数τnk（ω）是停止时间，而（πn（ω））是增加的，即它保持πn（ω）所有n的πn+1（ω）∈ N.从现在起，我们将主要省略ω，只写π和τnk，而不是分别写πN（ω）和τnk（ω）。我们构建当地时间的一个关键因素是以下对区间交叉口数量的分析。设Ut（ω，a，b）为闭区间[a，b]的上交次数 Rby S（ω）在时间间隔[0，t]内，其中上交是一对（u，v）∈ [0，t]其中u<vsu（ω）=a，Sv（ω）=b和Sw（ω）∈ （a，b）对于所有w∈ （u，v）。下行交叉的定义是类似的，我们通过ω写出下行交叉数的Dt（ω，a，b）∈ Ohm 在时间间隔[0，t]内。引理3.4。对于典型的价格路径ω∈ Ohm, 存在C（ω）：（0，∞) → (0, ∞) 这样的麦克斯∈ZUnT（ω，k2）-n） +DnT（ω，k2）-n）≤ 所有n的CT（ω）nn∈ N、 T>0，其中UnT（ω，u）：=UT（ω，u，u+2-n）为了你∈ R、下穿通道的数量也差不多。证据设K，T>0。在不失去普遍性的情况下，我们可以将我们的考虑限制在set AK:={ω∈ Ohm : 监督∈[0，T]|St（ω）|<K}。让k∈ (-2nK，2nK）并写入u=k2-n、如果UnT（u）：=UnT（ω，u）很大，以下策略将产生很大的效益：从财富1开始，当你第一次点击时，购买1/（2K）个股票。当S击中-抛售并停止交易。否则，当S达到u+2时-安塞尔。这给了我们财富1+2-集合{UnT（u）上的n/（2K）≥ 1} ∩ AK。现在我们重复这个策略：下次我们击中u时，我们购买当前财富乘以1/（2K）股的S，当S击中u+2时卖出-也没有-K.在[u，u+2]的上交点之后-n] ，停止交易。关于集合{UnT（u）≥ nn}∩ 那么我们就有了丰富的1 +-n2Knn≥ 经验4Kn对于所有足够大的n。因此“P”{UnT（u）≥ nn}∩ AK≤ 经验-n4K对于所有的大n。

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2022-5-6 05:48:51

对所有并矢点求和u=k2-宁(-K、我们得到了nmaxk∈ZUnT（k2）-n）≥ 不∩ AK≤ K2n+1exp-n4K= K exp-n8K+（n+1）日志（2）对于所有的大n。由于这是以n求和的，所以所有典型的价格路径都遵循向上交叉的声称界限。要限制下行交叉，必须注意，给定区间的上行和下行交叉最多相差1。以下结构部分受[MP10]第6.2章的启发。定理3.5。设T>0，α∈ （0,1/2）和（πn），如（7）所定义。对于典型的价格路径ω∈ Ohm, 离散局部时间Lπn（S，·）在（t，u）中一致收敛∈ [0，T]×R到一个极限（S，·）∈ C（[0，T]，Cα（R）），并且存在C=C（ω）>0，使得supnnnα| | Lπn（S，·）- L（S，·）|L∞（[0，T]×R）o≤ C.（8）此外，对于所有的p>2，我们有supn∈N | | LπN | | CTVp<∞ 对于典型的价格路径。证据根据恒等式（6），可以用随机统计量证明相应的陈述(-∞,u）（Ss）DSSLT（S，u）。使用引理3.4，我们可以将K>0，并将注意力限制在setAK上：=ω ∈ Ohm : 监督∈[0，T]|St（ω）|<K和maxk∈ZUnT（ω，k2）-n） +DT（ω，k2）-n）≤ Knn N.让你∈ (-K、 K）。

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2022-5-6 05:48:54

每n∈ N我们近似为1(-∞,u）（S）程序fnt（u）：=∞Xk=0(-∞,u）（Sτnk）1[τnk，τnk+1）（t），t≥ 0.然后我们写出相应的积分过程iπnt（u）：=∞Xk=0(-∞,u）（Sτnk（ω））[Sτnk+1∧t（ω）- Sτnk∧t（ω）]，t≥ 因为（πn）在增加，我们得到iπnt（u）- Iπn-1t（u）=∞Xk=0[Fnτnk（u）- Fn-1τnk（u）][Sτnk+1∧T- Sτnk∧t] 。通过构造我们的停止时间（τnk），我们得到了≥0[Fnτnk（u）- Fn-1τnk（u）][Sτnk+1∧t（ω）- Sτnk∧t（ω）]≤ 2.-n+2。因此，[Vov12]中的定理3或[PP13]中的引理A.1，即路径Hoe-ffing不等式，对每个λ都适用∈ R一个1-容许单策略Hλ的存在性∈ H、使得1+（Hλ·S）t（ω）≥ 经验λ（Iπnt（u）- Iπn-1t（u））-λNnt（u，ω）2-2n+4=: 所有t的Eλ，nt（ω）∈ [0，T]和所有ω∈ Ohm, 其中Nnt（u）：=Nnt（u，ω）表示停止时间τnk的数量≤ 带Fnτnk（u）的t- Fn-1τnk（u）6=0。现在观察Fn和Fn-1是长度为2的恒定ondyadic间隔-n、这意味着我们可以假设u=k2，而不失一般性-这是一个二元数。但我们可以估计NnT（k2-n）通过区间[（k-1)2-n、 k2-n] 加上区间的下穿次数[k2-n、（k+1）2-n] ，这意味着在AKwe上有NnT（u）≤ 2K2nn。因此考虑（Hλ+H-λ） /2对于λ>0，我们得到p监督∈[0，T]| Iπnt（u）- Iπn-1t（u）|≥ 2.-nα∩ AK≤ 2经验(-λ2-nα+λK2-n+4n）对于所有λ，α>0。现在选择λ=2n/2和α∈ (0, 1/2).

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能者818

2022-5-6 05:48:58

然后我们得到估计值监督∈[0，T]| Iπnt（u）- Iπn-1t（u）|≥ 2.-nα∩ AK≤ 2经验(-2n（1/2-α） +16Kn）。此外，注意到对于所有的t>0，映射u7→ Iπnt（u）和u7→ Iπn-1t（u）是长度为2的恒定非对称间隔-而且，在这种情况下，有2K2个这样的间隔[-K、我们可以简单地估计助理（t，u）∈[0，T]×R | Iπnt（u）- Iπn-1t（u）|≥ 2.-nα∩ AK≤ 2K2n×2 exp(-2n（1/2-α） +16Kn）=exp(-2n（1/2-α） +16Kn+（n+2）对数2+对数K）。显然，这在n中是可求和的，因此一致收敛和收敛速度的证明是完整的。仍然需要证明Iπ的p-变分范数的一致界和极限的H¨older连续性。设p>2，写出α=1/p，这样α∈ (0, 1/2). 首先让u=k2-N∈(-K、 K）并写出v=（K+1）2-n、 ThenIπnt（v）- Iπnt（u）=∞Xk=0（Fnτnk（v）- Fnτnk（u））（Sτnk∧T- Sτnk-1.∧t），和之前一样，我们有supt≥0 |（Fnτnk（v）-Fnτnk（u））（Sτnk∧T-Sτnk-1.∧t） |≤ 2.-n+1。在AK上，Fnτnk（u）6=Fnτnk（v）的停止时间（τnk）kW的数量从上到下以2K2nn+1为界，因此我们可以像以前一样估计监督∈[0，T]supu，v∈R:| u-五|≤2.-n | Iπnt（v）- Iπnt（u）|≥ 2.-nα∩ AK≤ 经验(-2n（1/2-α）对于一些合适的常数C=C（K）>0。我们得出结论，对于典型的价格路径ω∈ Ohm 存在C=C（ω）>0这样的情况∈[0，T]sup | u-五|≤2.-n | Iπnt（v）- Iπnt（u）|+supt∈[0，T]supu∈R | Iπnt（u）- Iπn-1t（u）|≤ C2-nα表示所有n∈ 让我们现在∈ N让u，v∈ R加1≥ |U- v|≥ 2.-n、让我≤ n是这样的-M-1<| u- v|≤ 2.-m、然后| | Iπn（v）- Iπn（u）||∞≤ ||Iπn（v）- Iπm（v）||∞+ ||Iπm（v）- Iπm（u）||∞+ ||Iπm（u）- Iπn（u）||∞≤ CnXk=m+1-kα+2-mα+nXk=m+1-kα！≤ C2-mα≤ C | v- u |α，可能在每个步骤中调整C>0的值。因为Iπntis常数在2的并矢区间上-n、这证明了supt∈[0，T]| | Iπnt | | p-var≤ C

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何人来此

2022-5-6 05:49:01

极限的α-H-代数连续性也是这样表示的。我们把构造L的问题简化为构造某些积分的问题。在[PP13]推论3.6中，我们给出了随机积分的一般路径构造。但是这个结果不适用于这里，因为一般来说(-∞,u）（S）不是c\'adl\'ag。备注3.6。定理3.5给出了一个简单的、无模型的证明，证明了局部时间的存在和性质。让我们再次强调，通过命题3.3，定理3.5中的所有陈述对于(Ohm, F）其中S satis fies（NA1）。下面，我们以Vovk的pathwise Dambis Dubi ns Schwarztheorem为基础，勾勒出另一种证明。虽然我们对典型价格路径的陈述感兴趣，它先验地强于所有满足（NA1）的测度的准肯定结果，但也可以通过观察每个满足（NA1）的过程都允许一个支配局部鞅测度来获得准肯定陈述，参见[Ruf13，IP15]。在局部鞅测度下，我们可以执行时间变化，将坐标过程转化为布朗运动，然后我们可以调用布朗运动的标准结果，对于布朗运动，除了一个定理3.5的所有陈述都是众所周知的：我们在文献中找不到的唯一结果是离散局部时间的p-变化的一致有界性。备注3.7。注意，对于u=k2-N与k∈ 我们有Lπnt（u）=2-无损检测（美国）- 2.-n、 u）+ε（n，t，u）对于某些ε（n，t，u）∈ [0, 2-n] 。因此，我们的证明还表明，重整化的交叉点一致收敛于当地时间，速度至少为2-nα表示α<1/2。布朗运动是众所周知的，参见[CLPT81]；另请参见[KH94]了解收敛的实际速度。在布朗的情况下，我们实际上知道的更多：在一个固定的零集外，wehavelimε→0supx∈Rsupt∈[0，T]|ε-1Dt（x，x+ε）- Lt（x）|=0表示所有T>0。

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2022-5-6 05:49:04

在我们的设置中，也应该可以恢复此结果。一旦我们证明了定理3.5关于下列类型的划分序列（eπn）的路径估计：设（cn）是一个收敛到0的严格正数序列，这样cn+1/cn收敛到1。需求：={kcn:k∈ Z} 。现在定义eπnasπn，取代DnbyeDn。唯一的问题是，我们不能期望序列（eπn）增加，这会使演示复杂化，这就是为什么我们更喜欢使用并矢Lebesgue划分。最后，我们想指出，定理3.5也可以通过依赖Vovk[Vov12]的路径Dambis-Dubins-Schwarz型定理得到部分证明，该定理允许将一维维纳过程的性质转移到典型的价格路径。如上所述，Vovk的外部度量与P的定义稍有不同，但在aQ空集之外为真的所有结果在P空集之外也是真的；见第2节。第4页，共[PP13]。为了理解Vovk的路径Dambis-Dubins-Schwarz定理，我们需要调用时间超变集的定义。定义3.8。连续非递减函数f:[0，∞) → [0, ∞) 满足f（0）=0被认为是一种时间变化。A子集A Ohm 对于每个ω，称为时间变量∈ Ohm 每一次时间变化ωo F∈ A意味着ω∈ A.粗略地说，Vovk在[Vov12]的定理3.1中证明了一次上变集的维纳测度等于该集的外测度。结果表明，setsAc:={ω∈ Ohm : S（ω）∈ Lc}andAc，p:={ω∈ Ac:u 7→ Lt（S，u）（ω）对所有t都有有限的p-变化∈ [0, ∞)}时间是超变量的。

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2022-5-6 05:49:07

基于此，我们可以依赖维纳过程的经典结果（见[KS88]，定理3.6.11或[MP10]，定理6.19）来证明，典型的价格路径有一个绝对连续的占用测度Lt（S，u），具有共同连续的密度，并且Lt（S，·）具有有限的p-变化，在t中一致有界∈ [0，T]表示所有T>0和所有p>2（参见[MP10]，定理6.19）。然而，据我们所知，另一种方法并没有给出近似序列（Lπn）的p-变化的一致性：我们无法在布朗运动的文献中找到这样的结果。如果没有这一点，我们将只能证明定理2.8的一个抽象版本，其中路径随机积分g（Ss）DSS是通过用光滑函数逼近g定义的，F¨ollmer It^o公式定理2.2适用于此（参见[FZ06]了解半鞅上下文中的类似参数）。由于我们对路径积分的伊曼和解释感兴趣，我们需要定理3.5来确保定理2.8的所有要求都满足典型价格路径。参考文献[Ber87]Jean Bertoin，Dirichlet过程中的临时位置和整合随机性，S\'eminaire de Probabilit\'es，XXI，数学课堂讲稿。，第1247卷，柏林斯普林格，1987年，第191-205页。[BY81]尼古拉斯·布洛和马克·约尔，C.R.阿卡德，半鞅位置变化研究所。Sci。巴黎S\'er。I Math（1981），第292491–494号。[CJ90]Peter P.Carr和Robert A.Jarrow，《止损-开始-收益悖论与期权估值：内在价值和时间价值的新分解》，《金融研究3回顾》（1990），第3期，第469–492页。[CLPT81]R.V.Chacon，Y.Le Jan，E.Perkins和S.J.Taylor，布朗运动和Levy过程的广义弧长。，Z.Wahrscheinlichkeitstoro。没错。格布。

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