扩散过程的逆最优停止问题

2022-5-6 06:42:44

扩散过程的逆最优停止问题2017年8月8日Thomas KRUSE和PHILIPP STRACKAbstract。设X为一维微分，g:[0，T]×R→ 与纸上时间相关的函数：【纸上时间相关的函数：】→ R使得给定的停止时间τ是停止问题supτE[g（τ，Xτ）+π（τ）]的解。在正则性和单调性条件下，存在一个解π当且仅当τ是X第一次超过依赖时间的bar rier b，即τ= inf{t≥ 0 | Xt≥ b（t）}。我们证明了解π的唯一性，并导出了一个闭式表示。该表示基于一个辅助过程，该过程是在b向延续区域反射的原始扩散的一个版本。所得结果推广到一个新的积分方程，它刻画了停止问题supτE[g（τ，Xτ）]的停止边界b。关键词：最优停止、反映的随机过程、动态机制设计、动态可实施性，MSC 2010:91B02、91A60、60G40、62L15简介最优停止在经济、统计和金融领域的动态优化应用中无处不在。例如，选项的最佳练习时间、何时停止搜索以及最快的检测问题。解决马尔可夫模型中最优停止问题的一种方法是确定停止区域。然后给出最佳停车时间，作为停车区域的第一次击球时间。托马斯·克鲁斯，杜伊斯堡-埃森大学，西娅-埃曼街9号，45127埃森，德国。电子邮件：托马斯。kruse@uni-到期。判定元件；Philipp Strack，加州大学伯克利分校，513埃文斯厅，伯克利，94720加利福尼亚州，美国。

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2022-5-6 06:42:47

网状物：http://www.philippstrack.com，电邮：philipp。strack@gmail.com.We感谢Stefan Ankirchner、Dirk Bergemann、Paul Heidhues、David Hobs on、MoniqueJeanblanc、Daniel Kr¨ahmer、Benny Moldovanu、Jen¨o P¨al、Goran Peskir、Sven Rady、Albert Shiryaev、JuusoToikka以及奥斯汀、波恩、胡柏林、伯克利、比勒菲尔德、波士顿、加州理工学院、哥伦比亚、杜克、哈佛、马斯特里赫特、微软研究院、麻省理工学院理论营、西北大学、纽约大学、，巴黎埃弗里大学、多伦多大学、伦敦大学学院、厄本大学、华威大学、耶鲁大学提供了许多有益的意见和建议。剩下的错误都是我们自己的。感谢波恩经济研究生院、波恩国际数学研究生院、德国研究基金会（DFG）、豪斯多夫数学中心、SFB TR 15 a和法国银行联合会通过“市场转型”主席提供的财政支持。最优停止的许多应用自然会导致一个问题，即如何改变支付，使给定的停止规则成为最优。从数学上讲，这个逆时间停止问题包括修改停止问题的结果，当给定集合被击中时，它可以选择在第一时间停止。在许多经济应用中，信息约束进一步限制了允许的修改集，即在原始支付中增加一个时间相关函数，即独立于过程实现的转移。为了验证想法，考虑连续时间、有限时间最优停止问题supτ∈TE[g（τ，Xτ）]，其中T是具有[0，T]中的值的停止时间集，X是一维微分，g是光滑的支付函数。

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能者818

2022-5-6 06:42:50

一个确定性函数π：[0，T]→ R被称为转移。我们说一套 [0，T]×R由转移π实现，如果第一时间τa当Xhits a在payoff g+π的停止问题中是最优的，即如果（1）τa∈ arg supτ∈TE[g（τ，Xτ）+π（τ）]。逆最优停止问题在不同的经济情况下发挥着重要作用。一个例子是动态委托代理模型：有一个代理人私下观察随机过程X，并以最大化其预期收益为目标∈TE[g（τ，Xτ）]停止该过程。委托人观察代理的停止决定，但不观察过程的实现。她旨在引导代理人做出由命中时间τa给出的特定停止决定。为了影响代理人的停止决定，委托人承诺支付π-在代理人停止时到期的付款。主体需要构造转移π，使τ在修正的停止问题supτ中达到最优∈TE[g（τ，Xτ）+π（τ）]。例如，代理商可能是一家开发了新技术的公司，现在必须决定何时将其引入市场。该公司观察有关需求的私人信号，这种知识会随着时间的推移而变化。校长是一名社会规划师，他还考虑到新技术的消费者剩余，因此更喜欢与企业不同的停止决策。

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可人4

2022-5-6 06:42:54

逆最优停止问题分析了规划者如何通过转移补贴进入市场来降低企业偏好的问题（具体示例见第1.1小节）。逆最优停止问题的其他经济例子包括失业福利的设计（1970）、Hopenhayn和Nicolini（1997）、管理补偿的结构、ir可逆投资期权的出售（207），以及搜索理论中的审议成本推断Drugowitsch等人（2012）、Fudenberg等人（2015）。第1节给出了两个更具体的例子。关于进一步的经济示例和收入管理的应用，我们参考了toKruse和Strack（2015），其中在离散时间框架中引入了逆时间停止问题。主要结果（定理11）表明，所有切割区域A={（t，x）|x≥ b（t）}是可实现的，前提是边界b是c`adl`ag并且具有可求和的向下跳跃。此外，我们假设满足所谓的单交叉条件。它要求等待一小段时间的预期收益在过程X的值中不增加。形式上，我们假设函数（2）X 7→ 林0hEg（t+h，Xt，Xt+h）- g（t，x）= (t+L）g（t，x）是非递增的，其中L表示扩散x的发生器。

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2022-5-6 06:42:58

此外，我们还证明了实现截面积A={（t，x）|x的解π≥ b（t）}允许以下闭式表示（3）π（t）=EZTt(t+L）g（s，~Xt，b（t）s）ds.这里（~Xt，b（t）s）s≥t表示从时间t开始的独特过程，其结果是在屏障（b（s））s处反映原始过程X∈[t，t]远离A。如inKotlow（1973）、Jacka和Lynn（1992）和Villeneuve（2007）所示，单交叉条件（或其较弱的版本）确保了形式v（t，x）=supτ的停止问题中的停止区域∈Tt，TE[g（τ，Xt，xτ）]为剪切型，即存在载体b:[0，T]→ R这样x≥ b（t）当且仅当v（t，x）=g（t，x）。在命题7中，我们展示了这个结果如何转化为可实现的区域。我们为集合A引入严格可实现性的概念 [0，T]×R，其中我们额外要求A与问题（1）的停止区域重合。提案7规定，在单交叉条件下，只有切断区域是严格可执行的。此外，我们还证明，如果等式（2）中的单调性是严格的，那么具有可和向下跳跃的c`adl`ag障碍的割域是严格可实现的（推论12）。通过这种方式，严格可实现区域的以下特征支持了右连续性和可求和向下跳跃的假设：一个区域只有在其为截断类型时才严格可实现。此外，在一个加性常数之前，实现切割区域的转移是唯一的（定理15）。这个结果导致了最优停止边界的一个新特征（推论16）。如果集合a的第一次击中时间τao在停止问题supτ中是最优的∈TE[g（τ，Xτ）]然后通过零转移实现A。转让的唯一性意味着（4）EZTt(t+L）g（s，~Xt，b（t）s）ds= 尽管如此∈ [0，T]。

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2022-5-6 06:43:01

值得注意的是，非线性积分方程（4）不仅是必要的，而且对优化是有效的。在第5节中，我们讨论了积分方程与inKim（1990）、Jacka（1991）和Carr等人（1992）（另见Peskir和Shiryaev（2006a））的关系。论文的结构如下。第1节给出了逆最优停止问题的具体例子。在第二节中，我们建立了模型，并引入了可实现性的概念。在第3节中，我们展示了只有切割区域是严格可执行的。第四节专门讨论相反的含义。首先，我们介绍了反射过程，并正式推导了转移的表示（3）（第4.1小节）。第4.2小节包含有关削减区域可实施性的主要结果。在第4.3小节中，我们在第4小节中介绍了转让的主要性质。4.我们提供唯一性结果。在第五节中，我们推导并讨论积分方程（4）。激励性的例子1。1.为投资前景未知的项目提供激励。单个代理人（或公司）可以投资价值未知的项目∈ R.项目的价值（或预期未来收益）θ∈ R不是均值x和方差σ的正态分布。代理人通过观察信号（或支付）（Zt）了解项目随时间的价值，该信号是布朗运动（Wt）（独立于θ）加上漂移，等于项目的真实回报dzt=θdt+dWt。当代理人在时间τ投资该项目时，他会收到按其投资时间e贴现的价值-rτθ。代理的问题是找到适应F=（Ft）t的停止时间≥0（Z的自然过滤）求解supτE[E-rτθ]。

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2022-5-6 06:43:04

如果我们将代理人分配给项目的后验期望值表示为byXt=E[θ| Ft]，则替代期望定律意味着该问题等价于上τEE-rτXτ.众所周知（参见定理10.1 inLiptser和Shiryaev（2013）），在看到信号（Zs）后≤t代理人对项目价值的信念正态分布，方差σt=σ-2+tand平均值Xt=σt（Xσ-2+Zt），并且存在一个横向运动Bt（在F中），因此dxt=σtdBt。因此，代理的学习和投资问题相当于停止扩散X的问题。由于问题在（t，X）中是马尔可夫的，等待投资的回报在Xt中减少，因此，最优解决方案是，一旦项目Xt的预期价值超过依赖时间的阈值bτ=inf{t:Xt，就进行投资≥ b（t）}。例如，投资一个项目的决定可能相当于将一种新产品推向市场。在许多此类投资情况下，企业的投资激励与社会的激励并不一致。例如，一家制药企业如果根据治疗的可行性做出投资决策，而忽略了药物供应所产生的消费者盈余，就会投资得太晚、太少。为了降低这种效率，政府可以对新项目使用补贴（和税收），这取决于企业投资并将项目推向市场的时间。例如，在图1中，虚线显示了投资阈值b:[0，T]→ 未经转让的最终投资。假设政府希望企业更早地投资，例如，当企业对投资价值X的信心超过bπ[0，T]时→ R、 bπ（t）=0.5√T- T

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2022-5-6 06:43:07

在下面的第4节中，我们通过使用转移π[0，T]证明了这对政府是可能的→ R.图1左侧的实线描绘了这种转移。1.2. 委托代理框架中最快速的变更点检测。最快检测问题在数理统计中发挥着重要作用，是质量控制、流行病学和地质学等应用科学中许多模型的关键依据（参见Shiryaev（2007年第四章），Peskir和Shiryaev（第四章，第222006b节）以及M¨uller和Siegmund（1994年）关于计算和具体应用问题的历史记录）。作为一种经济动机，考虑一下风险投资家和创业者。创业者观察到一个信息性信号，即它是否仍然适合经营企业。风险资本家通常无法观察到这些信息，因为他对特定市场一无所知。为公司融资的风险资本家希望在60%确定公司无法盈利后停止运营。创业者可能更愿意把公司经营得更长，因为这样做会给他带来私人利益。风险投资行业的一个重要问题是如何设计补偿方案，使企业家的利益与风险资本家的利益相一致。另见下文命题7。这里我们从委托代理的角度考虑维纳过程最快检测问题的一个变体。对于单剂最快检测问题的公式，我们密切关注Gapeev和Peskir（2006）。在有限时间区间[0，T]上有一个代理观察一维布朗运动X的路径，它在某个随机时间θ从0漂移到u6=0。随机m时间θ与X无关，且随参数λ呈指数分布∈ (0, ∞).

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2022-5-6 06:43:10

代理不观察θ，但必须从X的连续观察中推断关于θ的信息。代理的目标是找到尽可能接近θ的X的停止时间。更正式地说，对于c∈ (0, ∞)该代理的目标是找到一个[0，T]值的停止时间τ，该时间τ与X生成的过滤fx有关，该过滤fx达到最小inf0≤τ≤ TP[τ≤ θ] +c E(τ - θ)+.如inGapeev和Peskir（2006）所示，这相当于解决inf0中的停车问题（5）≤τ≤ TE1.- pτ+cZτptdt= 1.- sup0≤τ≤ TEZτλ- （c+λ）ptdt,流程满足所有t∈ [0，T]thatdpt=λ（1）- pt）dt+upt（1- pt）dWt，p=0，其中W是标准布朗运动。这一过程满足了所有人的需求∈ [0，T]thatpt=Pθ ≤ t | FXt这样描述了每一次∈ [0，T]后验信念θ是否已经发生。现在假设有一个委托人既不观测X也不观测θ，但在代理停止时不被观测。校长的目标是构造一个转移π：[0，T]→ 当后验信度p超过阈值水平（比如60%）时，委托人在T之前第一次被告知。从下面第4节的结果可以看出，这是可能的（尤其是流量支付7→ λ - （5）中的（c+λ）p是一个递减函数，参见条件4）。图1的右侧显示了这样一种转移π1.3。设计美式选项。我们的第三个例子考虑了美国选项的设计。美式期权赋予持有人在给定时间范围内以预定价格接收公司股票的权利，但没有义务。行使这种期权的最佳时间关键取决于对未来股价的预期。美式期权通常被用作管理报酬。

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2022-5-6 06:43:13

经理行使授予他的期权的时间，提供了有关经理对公司未来盈利能力预期的信息。由于这种信息价值，股东可能希望以这样一种方式设计美式期权，即他们为经理提供在给定时间行使期权的激励。我们的结果表明，运动时间刺激0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.20.20.40.60.81.21.41.61.8bπbπ时间0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.480.50.520.540.560.580.60.620.640.66bπbπbπ图1。左：虚线描述了示例1中的最佳投资阈值（停止屏障）设置。1在没有ZF干预的情况下。当企业对投资价值X的信心超过bπ[0，T]时，激励企业在第一时间进行投资→ R、 bπ（t）=0.5√T- t、 ZF可以使用转移π[0，t]→ 吉文比实线。该图使用参数r=1、σ=4和T=1生成。右图：虚线显示了示例1.2中停止问题（5）的最佳停止屏障。实线表示转移π：[0，T]→ 当后验信度p超过60%时，诱导药剂在第一时间停止。图中使用了参数c=u=1和T=0.5。经理人的利益可以通过股票期权来激励，股票期权的行使价格取决于时间。2.问题公式2。1.动力。在本文中，我们考虑有限时间范围T<∞. 潜在概率空间(Ohm, F、 P）支持一维布朗运动。设F=（Ft）t∈[0，T]是指满足正常消费的W产生的过滤。我们用[0，T]中的值乘以T来表示f-停止时间集。对于t<Twe，指的是停车时间的子集，其值在[t，t]中。

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2022-5-6 06:43:16

该过程遵循时间不均匀扩散动力学（6）dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt。我们用L=u表示x+σxxx的最小生成器o f X.系数u，σ：[0，T]×R→ R是满足以下全局ipschitz和线性增长假设的Borel可测函数：存在一个正常数L，使得|u（t，x）- u（t，y）|+|σ（t，x）- σ（t，y）|≤ L | x- y |u（t，x）+σ（t，x）≤ L（1+x）表示所有t∈ [0，T]和x，y∈ R.在这个假设下，存在一个唯一的stro-ng解（Xt，xs）≥tto（6）对于每个初始条件Xt，Xt=x（参见Karatzas和Shreve（1991；定理2.5和2.9））。此外，比较原则是正确的（参见Karatzas和Shreve（1991；命题2.18））：从较低级别x开始的过程路径≤ 在t时刻的x′小于在s>t（7）Xt，xs时刻从x′开始的过程的路径≤ Xt，sP′x- a、 s.2.2。支付和转移。只要流程X没有停止，就有流动支付，停止时就有终端支付。支付f，g:[0，t]×R→ r取决于时间和信号值。形式上，使用停止时间τ的预期收益∈ Tt，TequalsW（t，x，τ）=EZτtf（s，Xt，xs）ds+g（τ，Xt，xτ）,假设X从X开始∈ 时间t的R∈ [0，T]。我们假设Payoff函数f在x变量中是连续的，在t变量中是Lipschitz连续的∈ C1,2（[0，T]×R），函数g和(t+L）g在x变量中是Lipschitz连续的，在t中是一致的。我们将分析如果存在仅依赖于时间的额外支付，对停止时间的偏好是如何变化的。定义1。

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2022-5-6 06:43:19

可测有界函数π：[0，T]→ R被称为转移。我们定义了值函数vπ：[0，T]×R→ 带payoff s fand g和附加转移π乘（8）vπ（t，x）=supτ的停止问题的R∈Tt，T（W（T，x，τ）+E[π（τ）]）。此外，我们还介绍了每个t∈ [0，T]停止区πT={x∈ R | vπ（t，x）=g（t，x）+π（t）}.2.3。可实施性。可测量的集合 [0，T]×R被称为时间闭合，如果对于每个时间T∈ [0，T]在={x处的切片∈ R |（t，x）∈ A} 是R的闭子集。让X从X开始∈ 时间t的R∈ [0，T]。对于时间闭集a，我们引入了X第一次击中Abyτt，xA=infs≥ t | Xt，xs∈ 像∧ T.我们现在来定义可实施性。定义2（可实施性）。时间闭集A由转移π实现，如果t的停止时间τt，xa在（8）中是最优的，即对于每个t∈ [0，T]和x∈ Rvπ（t，x）=W（t，x，τt，xA）+Eπ（τt，xA）.对于时间闭集a，可实现的一个必要条件是，每个切片都包含在停止区域Dπt中。实际上，让a由π和let t实现∈ [0，T]和x∈ 在然后我们有τt，xA=t。由于τt，xA是最优的，这意味着vπ（t，x）=g（t，x）+π（t），因此x∈ 因此，我们有 Dπt.观察到逆包含Dπt At不一定成立，因为最佳停车时间通常不是唯一的。在某个点（t，x）∈ [0，T]×R最好立即停止（x∈ Dπt）以及等待正的时间量，直到X到达a（X）/∈ 在）。一个特别简单的例子是，X是鞅，f（t，X）=0，g（t，X）=X。可选停止定理意味着所有停止时间τ∈ Tt，t生成相同的预期收益W（t，x，τ）=x。因此，每个集合A都通过零转移实现。

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2022-5-6 06:43:21

停止区域由整个状态空间Dt=R组成。我们引入了严格可实施性的概念，其中排除了最优策略中的模糊性：只要继续正时间是最优的，停止就不是最优的。定义3（严格的可实施性）。如果A由π和vπ（t，x）>g（t，x）+π（t）实现，则时间闭集A严格由atransferπ实现/∈ 阿坦特∈ [0，T]。特别是，对于传输π，每个严格可实现的集都满足=Dπt。由于停止区域Dπ皮重是闭合的（见下面的引理6），所以对时间闭合设置的限制并不丧失一般性。任何没有时间限制的设置都不能严格执行。请注意，可实现性的概念概括了最佳停止时间的概念。如果τt，xa是formsupτ停止问题的最佳停止时间∈Tt，TEZτtf（s，Xt，xs）ds+g（τ，Xt，xτ）适用于所有人（t，x）∈ [0，T]×R，然后通过零转移实现。2.4. 单交叉和切割区域。接下来我们介绍了Payoff函数的主要结构条件。条件4（单交叉）。我们认为，单交叉条件是满足的，如果∈ [0，T]映射x 7→ f（t，x）+(t+L）g（t，x）是不增加的。如果这个单调性是严格的，那么我们说严格的单交叉条件成立。注意，（严格的）单交叉条件在许多例子中都得到了满足。例如，它在子节1的示例中得到了满足。1和1.2。此外，我们定义了时间闭集的一个特殊子类。定义5。如果存在函数b:[0，T]，则时间闭集A称为截域→使得At=[b（t），∞). 在这种情况下，我们称b为相关的截函数，我们写τt，xA=τt，xb=inf{s≥ t | Xt，xs≥ b（s）}∧ t（t，x）∈ [0，T]×R.我们称之为τ-ba截割规则。

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2022-5-6 06:43:24

如果相关的分割区b[0，T]，我们说分割区a是规则的→ R是c`adl`ag（即右连续且具有左极限inR），并具有可求和的向下跳跃，即X0≤s≤t(bs）-< ∞.3、严格执行的区域是最优停车问题的截止区域。众所周知，在单交叉条件（或其较弱版本）下，存在一个最优的截止规则（见Kotlow（1973）、Jacka和Lynn（1992）或Villeneuve（2007））。在本节中，我们展示了严格可实施性的相反方向：只能严格实施切割区域。我们首先陈述关于vπ的以下正则性结果。引理6。对于每个转移π和每个t∈ [0，T]地图ping x 7→ vπ（t，x）是lipschitz连续的。特别地，停止区Dπ闭合。证据修正t∈ [0，T]和x，y∈ R.通过f和g的Lipschitz连续性，存在常数c>0，使得| vπ（t，x）- vπ（t，y）|≤ supτ∈Tt，TEZτtf（s，Xt，xs）- f（s，Xt，ys）ds+g（τ，Xt，xτ）- g（τ，Xt，yτ）≤ 行政长官“sups”∈[t，t]Xt，xs- Xt，ys#.根据众所周知的随机微分方程解的模估计（见Kunita（2004；定理3.2）），存在一个常数C，使得小吃∈[t，t]| Xt，xs- Xt，ys|≤~C|x- y |。这就产生了这种说法。下一个结果表明，在单交叉条件下，只有切割区域是难以实现的。提议7。假设单交叉条件成立。对于每一个trans f erπ，我们的所有结果都类似地适用于下停止边界=(-∞, b（t）]如果我们施加x 7而不是我们的单交叉条件→ f（t，x）+(t+L）g（t，x）是非递减的。（i） Dπ上的停止区域是一个截断区域（ii），因此，如果a严格由π执行，那么a是一个截断区域。证据修正t∈ [0，T]。

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2022-5-6 06:43:27

首先观察到单交叉条件意味着x7→vπ（t，x）- g（t，x）是非递增的。实际上，它^o的公式适用于g（·，X）yieldsW（t，X，τ）=EZτtf（s，Xt，xs）+(t+L）g（s，Xt，xs）ds+g（t，x）+Zτtgx（s，Xt，xs）σ（s，Xt，xs）dWs每x∈ R和τ∈ 由于gxis有界且σ具有线性增长，因此过程r·tgx（s，Xt，xs）σ（s，Xt，xs）是鞅。根据比较原理（7）和单交叉条件≤ yvπ（t，x）- g（t，x）=supτ∈Tt，TEZτtf（s，Xt，xs）+(t+L）g（s，Xt，xs）ds+π（τ）≥ supτ∈Tt，TEZτtf（s，Xt，ys）+(t+L）g（s，Xt，ys）ds+π（τ）= vπ（t，y）- g（t，y）。这意味着∈ Dπtify≥ x和x∈ 因此，Dπ是一个区间，在右边是无界的。通过引理6，集合Dπ是闭合的。因此存在一些b（t）∈ R使得dπt=[b（t），∞). 这意味着，由于严格的可实施性定义，At=Dπtb，因此t A是一个分割区域。我们注意到，如果我们不将注意力限制在只依赖于时间的转移π上，而是允许转移依赖于过程X的值，那么任何可测量集A都可以实现。当π（t，x）=-g（x，t）+1{（x，t）∈A} 最佳停车问题变成了suspτ∈TE[g（Xτ，τ）+π（Xτ，τ）]=supτ∈TE{（Xτ，τ）∈A}其中τA=inf{t:（Xt，t）∈ A} 这是一个解决方案。由于不考虑传输中的空间依赖性，反问题变得更难解决。虽然空间依赖性的假设使我们的问题在数学上不可忽略，但在动态委托代理应用中，它也有明确的经济动机。在经济学中，委托代理私下观察过程的价值，因此委托人选择的转移不能以此为条件。4.

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2022-5-6 06:43:30

切断区域的可实现性在这一节中，我们证明命题7的逆含义也成立：每个正则切断区域都是可实现的。我们根据第4小节中X的反映形式，导出了t转移的封闭形式表示。1.在4.2小节中，我们验证了逆最优停止问题的候选解决方案确实实现了有效区域。转移的主要性质见第4小节。3.在第4.4节中，我们提供了实施切割区域的转移的唯一性结果。4.1. 反映了SDE和候选人调动的正式推导。反射随机微分方程（RSDE）的解是一对过程（X，l），其中过程X根据给定障碍物b下方相关SDE（6）的动力学演化，并在其试图超过b时被过程l推到障碍物下方。接下来，我们给出一个正式定义。定义8。设b为c\'adl\'ag屏障，t∈ [0，T]一个固定的时间点和▽ξ≤ b（t）船尾-可测平方可积随机变量。一对（X，l）适应过程（带有c`adl`ag轨迹）被称为随机微分方程（6）的（stro ng）解，该方程（6）在初始条件（t，ξ）下在b处反映，如果它满足以下性质。（i） ~X被限制在屏障下方，即~Xs≤ b（s）几乎可以肯定的是f∈ [t，t]。（ii）每∈ [t，t]下面的积分方程几乎可以肯定地表示（9）~Xs=~ξ+Zstu（r，~Xr）dr+Zstσ（r，~Xr）dWr- 是的。（iii）过程l是非递减的，只有当~Xt=b（t），即（10）ZTt（b（s）时，过程l才会增加-~Xs）dls=0。为了强调X对初值的依赖性，我们有时会写下X，ξ。备注9。考虑这样一种情况，即b在时间t处向下跳跃，并且＠X在时间t前不久高于b（t），即＠Xt-(ω) ∈ （b（t），b（t）-)] 关于ω∈ Ohm.

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2022-5-6 06:43:33

因为≤ b（t）受影响的过程X在时间t也有向下的跳跃。方程（9）表示l在时间t时有一个向上的跳跃。然后方程（10）得出X在时间t时在势垒上，即Xt=b（t）。因此，b的跃迁是a被X吸收后的真实反映（这意味着X=2b（t）-~Xt-). 在这个意义上，X是X的最大版本，它保持在wb以下。这个性质在定理的证明中至关重要。~X的存在性和唯一性是在鲁特科夫斯基（1980）中建立的。我们还参考了Slominski和Wojciechowski（2010），他们考虑了反射的一般模式。关于具有“真实”跳跃反射的RSDE的结果，请参考Halayat Maurel等人（1980年）。形式推导。在这里，我们建立了逆最优停止问题和RSDE之间的联系，并推导了实现割区的转移的表示形式。为此，假设切割区域A=[b（t），∞) 由一个转移π实现。在不丧失一般性的情况下，我们假设π（T）=0（否则Take)π（T）=π（T）-π（T））。因为我们只对形式推导感兴趣，所以我们做了一些正则性假设。我们假设停止问题（8）的值函数是光滑的（vπ）∈ C1,2（[0，T]×R]），而b是连续的，因此X也是连续的。然后vπ满足度（参见例如（Peskirand Shiryaev 2006a；第四章））min{-(t+L）vπ- f、 vπ- （g+π）}=0vπ（T，·）=g（T，·），b是该变分偏微分方程的自由边界。特别是，在截止函数b下方，值函数vπ满足连续方程(t+L）vπ（t，x）=-f（t，x）表示所有x≤ b（t）。在切函数上，vπ满足所有t的边界条件vπ（t，b（t））=g（t，b（t））+π（t）∈ [0，T]。此外，如果b是充分正则的，则光滑的fit原理x（t，b（t））=gx（t，b（t））适用于所有t∈ [0，T]（参见例如Peskir和Shiryaev（2006a；第9.1节））。

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可人4

2022-5-6 06:43:37

然后，它的公式化为ehg（T，~Xt，b（T）T）i=Ehvπ（T，~Xt，b（T）T）i=vπ（T，b（T））+EZTt(t+L）vπ（s，~Xt，b（t）s）ds-ZTtvx（s，~Xt，b（t）s）dls= g（t，b（t））+π（t）- EZTtf（s，~Xt，b（t）s）ds+ZTtgx（s，~Xt，b（t）s）dls.进一步应用It^o公式可以得到ππ（t）=E的以下表示形式g（T，~Xt，b（T）T）+ZTtf（s，~Xt，b（T）s）ds+ZTtgx（s，~Xt，b（T）s）dls- g（t，b（t））=EZTtf（s，~Xt，b（t）s+(t+L）g（s，~Xt，b（t）s）ds.（11）在下面的理论11中，我们验证了等式（11）确实导致转移π实现a。该证明既不依赖于任何分析方法，也不依赖于部分微分方程理论的结果。相反，我们使用基于单交叉条件和SDE和RSDE比较结果的纯概率参数。这种方法需要对模型参数进行弱规则性假设。特别是σ不存在椭圆性条件。RSDEs的性质。下一个命题证明了关于RSDE的辅助结果，我们将在定理11的证明中使用这些结果。关于R-SDE有大量文献，包括比较结果（参见Bo和Yao（2007））。据我们所知，RSDE与c`adl`ag障碍物的比较原理，以及urresult所需的可求和向下跳跃的比较原理，以前还没有给出过。虽然所有结果都遵循标准论点，但为了方便读者，我们在附录f中给出了证明。关于存在性和唯一性结果，我们参考了托鲁特科夫斯基（1980）。提议10。对于每一种常规的切割效果，都存在一个统一的强溶液X到另一种溶液（9）。过程l由（12）ls=supt给出≤R≤s（~ξ+Zrtu（u，~Xu）du+Zrtσ（u，~Xu）dWu- b（r））+。此外，X满足（i）（平方可积性）Ehsupt≤s≤T（~Xt，ξs）i<∞ 尽管如此，t∈ [0，T]。（ii）（最小值）~Xt，ξs{s<τb}=Xt，ξs{s<τb}a.s。

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能者818

2022-5-6 06:43:40

为了所有的人∈ [t，t]。（iii）（反映过程的比较原则）如果ξ≤ ξa.s.，那么对于s∈ [t，t]我们有~Xt，ξs≤~Xt，ξsa。s、（iv）（Mom e nt估算）ξ，ξ∈ L（Ft）存在常数K>0，因此≤R≤s |Xt，ξr-~Xt，ξr | p | Fti≤ K |ξ- ξ|所有s的pa.s∈ [t，t]和p=1，2。（v）（原工艺的比较原则）~Xt，ξs≤ Xt，ξsa。s、为了所有的人∈ [t，t]。（vi）（左连续性）Le t t∈ [0，T]和x≤ b（t）∧ b（t）-). 然后Xs，y∧b（s）t→ x在Lforst和y中→ x、使用与inProtter（2005；第五章第6节）类似的论点，我们可以证明x满足强马尔可夫性。对于s≥ t我们定义任何Borel可测有界函数的转移核＠Pt，sby＠Pt，s＠（t，x）=Eh＠（s，＠Xt，xs）＠[0，t]×R→ R.然后X满足任何停止时间τ∈ u和T≥ 0（13）Ehа（τ+u，~Xτ+u）| Fτi=~Pτ，τ+uа（τ，~Xτ）。此外，RSDE强解的唯一性意味着t的X的以下流动性质≤ R≤ s和x∈ R我们有a.s.（14）~Xt，xs=~Xr，~Xt，xrs。参见定义4。2、可实施常规切割区域。在这一节中，我们证明了我们的主要定理，即每个正则截面积都是由传输导出的不吸收4实现的。1.定理11。假设满足单交叉条件。假设A是边界为b的规则切割区。然后通过转移（15）π（t）=E实现ZTtf（s，~Xt，b（t）s）+(t+L）g（s，~Xt，b（t）s）ds.证据首先观察切割规则τt，xB是停止时间f或全部（t，x）∈ [0，T]×R.事实上，由于X有连续路径，而b是右连续的，因此D’ebut定理（见Dellacherie a and Meyer（1978；第四章，第50节））暗示了τT，xb∈ 让π由等式（15）给出。关于π的有界性和可测性，我们参考第13条。我们设定h=f+(t+L）g。

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能者818

2022-5-6 06:43:44

在命题7的证明中，我们有w（t，x，τ）=g（t，x）+EZτth（s，Xt，xs）ds.请注意，我们可以用X的跃迁函数P写出π，如下所示：π（t）=ZTtPt，sh（t，b（t））ds。对于任何停止时间τ，X的强马尔科夫性质（方程式（13））意味着Pτ，τ+uh（τ，b（τ））=Ehh（τ+u，~Xτ，b（τ）τ+u）|FτIf∈ u和T≥ 因此我们有（16）π（τ）=EZTτh（s，~Xτ，b（τ）s）ds | Fτ.修正t∈ [0，T]和x≥ b（t）。让τ∈ 这是一个任意的停止时间。or原始过程和反射过程（属性（v））之间的比较原则意味着Xt、xs≥Xt，b（t）s≥~Xt，b（t）sa。s、 f或每个s∈ [t，t]。根据流动特性（方程式（14））和反射过程的比较原理（特性（iii）），b（t）s=~Xτ，~Xt，b（t）τs≤~Xτ，b（τ）sa。s、每一天∈ [τ，T]。因此，单交叉条件意味着Zτth（s，Xt，xs）ds+π（τ）= EZτth（s，Xt，xs）ds+ZTτh（s，~Xτ，b（τ）s）ds≤ EZτth（s，~Xt，b（t）s）ds+ZTτh（s，~Xt，b（t）s）ds= π（t）。这意味着W（t，x，τ）+E[π（τ）]≤ W（t，x，t）+π（t）。因此，τt，xb=t在（8）中是最优的。在第二步中，fix x<b（t）并让τ∈ 这是一个任意的停止时间。为了缩短旋转，我们写τb=τt，xb。首先，我们证明了停止min{τ，τb}的性能至少与τ一样好。到16岁时，我们已经{τb<τ}π（τ）= E{τb<τ}EZTτh（s，~Xτ，b（τ）s）ds | Fτ= E{τb<τ}ZTτh（s，~Xτ，b（τ）s）ds.这导致了t-oE{τb<τ}Zτth（s，Xt，xs）ds+π（τ）= E{τb<τ}Zτbth（s，Xt，xs）ds+Zτbh（s，Xt，xs）ds+ZTτh（s，~Xτ，b（τ）s）ds.通过构造反射过程X，我们得到了Xτb=b（τb）。原始过程和反射过程（性质（v））之间的比较原则，以及反射过程的流动性质（方程式（14））几乎肯定地意味着Xτb，b（τb）s=~Xτb，~Xt，Xτbs=~Xt，xs≤ Xt，XS代表s≥ τb.自~Xτb，b（τb）τ≤ b（τ）我们在集合{τ>τb}Xτ上有，b（τ）s≥~Xτ，~Xτb，b（τb）τs=~Xτb，b（τb）s对于所有s≥ τ.

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2022-5-6 06:43:47

这两个不等式加上h的单调性，就得到了E{τb<τ}Zτth（s，Xt，xs）ds+π（τ）≤ E{τb<τ}Zτbth（s，Xt，xs）ds+Zτbh（s，~Xτb，b（τb）s）ds+ZTτh（s，~Xτb，b（τb）s）ds= E{τb<τ}Zτbth（s，Xt，xs）ds+π（τb）.因此，使用停止时间min{τ，τb}至少与使用τW（t，x，τ）+E[π（τ）]=g（t，x）+E一样好Zτth（s，Xt，xs）ds+π（τ）≤ g（t，x）+EZτ∧τbth（s，Xt，xs）ds+π（min{τ，τb}）= W（t，x，min{τ，τb}）+E[π（min{τ，τb}）]。因此，必须考虑停止规则τ≤ τb.在这种情况下，我们有Zτth（s，Xt，xs）ds+π（τ）= EZτth（s，Xt，xs）ds+Zτbτh（s，~Xτ，b（τ）s）ds+ZTτbh（s，~Xτ，b（τ）s）ds.根据受影响过程（性质（iii））的比较原理和流量特性（14）的公式如下Xt，xs=~Xτ，~Xt，Xτs≤所有s的Xτ，b（τ）s≥ τ. 根据反映过程的最小性质（性质（ii）），我们得到了所有s<τb的Xt，xs=~Xt，xs。与上述考虑类似，产生了Xτb，b（τb）s=~Xτb，~Xt，Xτbs=~Xt，xs=~Xτ，~Xt，Xτs≤~Xτ，b（τ）sa。s、对于s≥ τb.h的单调性意味着Zτth（s，Xt，xs）ds+π（τ）≤ EZτth（s，Xt，xs）ds+Zτbτh（s，Xt，xs）ds+ZTτbh（s，~Xτb，b（τb）s）ds= EZτbth（s，Xt，xs）ds+π（τb）因此W（t，x，τ）+E[π（τ）]≤ W（t，x，τb）+E[π（τb）]。这就完成了可实现性的证明。理论11表明，在我们施加的单交叉条件下，每个截止时间都是可以实现的。我们注意到，如果没有单交叉条件，这个结果是不成立的。要了解这一点，可以考虑一个例子，即payoff g（x，t）=h（|x |，t），它只是x的绝对值的函数和一个对称的扩散过程u（x，t）=-u(-x、 t）和σ（x，t）=σ(-x、 t）。请注意，这样的例子永远不能满足单交叉条件。对于任何π：R+→ R最优停止问题supτ∈TE[g（Xτ，τ）+π（τ）]在零处是对称的，因此停止集必须是对称的。

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何人来此

2022-5-6 06:43:50

因此，代理不仅在进程X从m以下穿过阈值时停止，而且在进程X从m以上穿过该阈值的负o时停止。因此，最佳停止时间永远不会是截止时间形式，也无法实施截止时间规则。在提案7中，我们证明了严格可实施的区域必然是切断型的。下一个结果确定了相反的方向。在严格的单交叉条件下，可严格执行切割区域。推论12。如果严格的单交叉条件成立，则通过等式（15）的转换严格执行带屏障b的规则切割区域。证据我们使用与定理11的证明相同的符号。让我们∈ [0，T]和x<b（T）。那么，b a和X的右连续性和h的严格单调性意味着Zτbth（s，~Xt，xs）ds> EZτbth（s，~Xt，b（t）s）ds因此我们有Zτbth（s，Xt，xs）ds+π（τb）= EZτbth（s，~Xt，xs）ds+ZTτbh（s，~Xτb，b（τb）s）ds> EZτbth（s，~Xt，b（t）s）ds+ZTτbh（s，~Xt，b（t）s）ds= π（t）。这意味着vπ（t，x）>π（t）+g（t，x），因此A严格由π实现。通常情况下，未明确知道反应过程X的分布。因此，我们不得不求助于数值方法来近似理论11的转换。例如，可以使用RSDE（9）和蒙特卡罗模拟的离散化方案来评估等式（15）中的期望值（参见Saisho（1987）、Bossy等人（2004）或¨Onskog和Nystr¨om（2010））。如果X按照布朗运动演化，那么X的分布是封闭的。4.3. 转移的属性。下一篇文章总结了切割区域的性质。提议13。让b:[0，T]→ R成为一名普通员工。等式（15）中的转移π满足以下性质（i）π为c`adl`ag。

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2022-5-6 06:43:55

特别地，π是有界且可测的。（ii）在π处是连续的∈ [0，T]如果b在T处是连续的，或者如果b在T处有向下的跳跃，（iii）π没有向上的跳跃。（iv）如果π在t处向下跳跃∈ [0，T]，那么b在T处有一个向上的跳跃。（v）π收敛到0at时间T:limtTπ（T）=0。证据正如在定理11中一样，我们引入了函数h（t，x）=f（t，x）+(t+L）g（t，x）。假设h是Lipschitz连续的，并且在x上线性增长。转移π是g-ivenbyπ（t）=EZTth（s，~Xt，b（t）s）ds.我们首先证明π是右连续的。对于t∈ [0，T]和>0我们有|π（T）- π（t+）|≤ EZt+th（s，~Xt，b（t）s）ds+ EZTt+h（s，~Xt，b（t）s）- h（s，~Xt+，b（t+）s）ds.它由命题10中h的线性增长和X的性质（i）得出，即EHRT+th（s，~Xt，b（t）s）dsi公司→ 0 as→ 此外，h的Lipschitz连续性意味着ZTt+h（s，~Xt，b（t）s）- h（s，~Xt+，b（t+）s）ds≤ 行政长官“sups”∈[t+，t]~Xt，b（t）s-~Xt+，b（t+）s#对于某些常数C>0。根据流动性质（方程式（14）），我们从命题10“yieldsE”sups中得到了~Xt，b（t）s=~Xt+，~Xt，b（t）t+s.性质（iv）∈[t+，t]~Xt，b（t）s-~Xt+，b（t+）s#≤~CEh~Xt，b（t）t+- b（t+）i、 X和b的右连续性意味着π（t+）=π（t）。关于π的左手极限，我们证明了（17）π（t-) = EZTth（s，~Xt，b（t）∧b（t）-)s） ds.尽管如此，t∈ （0，T）。等式（17）包含命题13的所有剩余主张。如果b在t或has处连续，则向下跳跃（b（t）≤ b（t）-)), 然后方程（17）在t处产生π的连续性：π（t-) = π（t）。h的单调性和反射过程的比较原理暗示π（t-) ≥ π（t），即π没有向上跳跃。如果π在t（π（t）处有向下的跳跃-) > π（t）），那么方程（17）得出了b必然有一个向上的跳跃（b（t）>b（t）-)). 此外，它由式（17）得出，即tπ（t-) = 0.为了证明等式（17），让t∈ （0，T]和>0。

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2022-5-6 06:43:58

然后考虑π（t）- ) - EZTth（s，~Xt，b（t）∧b（t）-)s） ds≤ EZtt-h（s，~Xt）-，b（t）-（s）ds+EZTth（s，~Xt）-，b（t）-（s）- h（s，~Xt，b（t）∧b（t）-)（s）ds.根据命题10的性质（vi），我们得到了Xt-，b（t）-s→~Xt，b（t）∧b（t）-)sin Las0。Lipschitz连续性和h的线性增长意味着EhRtt-h（s，~Xt）-，b（t）-（s）dsi公司→ 0和EhRTth（s，~Xt）-，b（t）-（s）- h（s，~Xt，b（t）∧b（t）-)（s）dsi公司→ 0代表0。这就产生了这种说法。4.4. 转移的唯一性。为了证明定理11的唯一性结果，我们需要以下关于截止时间的辅助结果。引理14。让b:[0，T]→ R从下面开始。然后我们有τt，xbt a.s.forx-∞ 对于e v ery t∈ [0，T]。在这里和续集中，我们使用符号π（t+）=lim0π（t+）和π（t-) = lim0π（t- ）用于单边限制。证据修正t∈ [0，T]。库尼塔（2004；引理3.7）认为，存在一个常数C>0，因此E“supt”≤s≤T1+（Xt，xs）#≤ C1+x.然后，法图的引理是“lim infx”→-∞监督≤s≤T1+（Xt，xs）#≤ lim infx→-∞E“supt≤s≤T1+（Xt，xs）#≤ inflim→-∞C1+x= 0.因此我们有lim supx→-∞输入≤s≤T | Xt，xs |=∞ a、再加上X的比较原理，这就得到了lim supx→-∞监督≤s≤TXt，xs=-∞ a、因此τt，xbt为x-∞. 定理15。设A是一个有边界b的正则割域。假设A由满足limtTπ（T）=limtT^π（T）的两个转移π和^π实现。然后π（t）=π（t）表示所有t∈ [0，T）.证明.修正T∈ [0，T）。为了缩短符号，我们设置了v=vπ和^v=v^π。通过L emma6，函数v和^v在T x变量中是Lipschitz连续的。类似的考虑也适用于函数x 7→ W（t，x，τ）对于每个τ都是Lipschitz连续的∈ 尤其是，这些函数是绝对连续的。

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2022-5-6 06:44:01

根据omMilgromand Segal（2002；定理1）的包络定理，对于Lebesgue，几乎每x产生vx（t，x）=Wx（t，x，τt，xb）=vx（t，x）∈ R.从x<b（t）到b（t）的积分- v（t，x）=^v（t，b（t））- ^v（t，x）或等效π（t）- π（t）=Eπ（τt，xb）- ^π（τt，xb）.由于π和^π是有界的，我们可以求助于引理14来获得π（t）- π（t）=limx→-∞Eπ（τt，xb）- ^π（τt，xb）= 0，这里我们使用了支配收敛定理。5.最优停止的应用从理论15中，我们导出了（18）v（t，x）=supτ形式的停止问题的最优停止时间的概率特征∈Tt，TEZτtf（s，Xt，xs）ds+g（τ，Xt，xτ）,其中f，g和X满足单交叉条件n。我们称停止时间τ∈ Tt，在（18）中对（t，x）是最佳的∈ [0，T]×R ifv（T，x）=EZτtf（s，Xt，xs）ds+g（τ，Xt，xτ）.推论16。假设满足单交叉条件，并设b:[0，T]→ Rbe是一种常规的切割食品。对于所有（t，x），停止时间τt，xb在（18）中是最优的∈ [0，T]×R，仅当b是非线性积分方程（19）eZTtf（s，~Xt，b（t）s+(t+L）g（s，~Xt，b（t）s）ds= 尽管如此∈ [0，T]。证据首先假设（19）对每个t都成立∈ [0，T]。然后，定理11意味着边界为b的切割区域由零转移实现。这意味着对于每一个（t，x），τt，xB在（18）中是最优的∈ [0，T]×R。对于相反方向，假设τT，xb在（18）中对于每个（T，x）是最优的∈ [0，T]×R。然后，边界为b的切割区域通过零转移^π=0来实现。根据定理11，它也由tr transferπ（t）=EhRTtf（s，~Xt，b（t）s）+(t+L）g（s，~Xt，b（t）s）dsi。根据位置13，转移π满足极限π（T）=0。那么定理15意味着π（t）=π（t）=0表示所有t∈ [0，T]。

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2022-5-6 06:44:04

在关于最优停止的文献中，最优停止边界和与方程（19）不同的非线性积分方程之间存在着众所周知的联系。它由Kim（1990年）、Jacka（1991年）和Carr等人（1992年）独立推导而来，他们认为Opti-ima lexercise是美国期权。利用美式期权价格的早期行权溢价表示，作者得出了一个由最优行权边界满足的非线性积分方程。关于最优运动边界是否是积分方程的唯一解的问题一直悬而未决，直到十多年后，佩斯基尔（2005年b）在一份确认书中回答了这个问题。利用Peskir（2005a）导出的曲线上随局部时间变化的变量公式，允许Peskir（2005b）将最佳运动边界描述为连续函数类中非线性积分方程的唯一解。fPeskir（2005b）的方法随后被用于解决具有更一般的扩散和马尔可夫过程、多个停止边界和更一般的支付函数的最优停止问题。这些问题包括俄罗斯期权（佩斯基尔（2005c））和英国期权（佩斯基尔和萨米（2011；2013））、维纳障碍问题（加皮耶夫和佩斯基尔（2006））、顺序测试问题（加皮耶夫和佩斯基尔（2004）、日特鲁钦和穆拉夫列夫（2013））、扩散模型中最大值的最优停止问题（加皮耶夫等（2006）），最优预测问题（Du Toit和Peskir（2007））、贝叶斯无序问题（Zhitlukhin和Shiryaev（2013））、最优清算问题（Ekstroem和Vaicenavicius（2016））和多期停止问题（De Angelis和Kitapbayev（2014））。

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可人4

2022-5-6 06:44:08

在本文的框架内，这个积分方程由（20）E给出ZTtf（s，Xt，b（t）s+(t+L）g（s，Xt，b（t）s）{Xt，b（t）s≤b（s）}ds= 0（参见Peskir和Shiryaev（2006a；第四章第14节））。除了根据早期行使溢价进行解释外，等式（20）从数值角度来看也是有价值的。事实上，它只需要每个∈ [0，T]XS定律，当不明确知道时，可以用各种方式近似（例如，使用科尔莫戈罗夫-弗瓦德方程或Euler-Maruyama格式）。一旦这些分布可用，（20）就是一个非线性Volterra（或Fredholm）积分方程，可以使用文献中提供的成熟的数值格式来处理。我们还参考了Workfbelomestny和Gapeev（2010），其中提出了一种迭代程序来近似积分方程和值函数的解。相比之下，尚不清楚（19）是否能以高精度进行数值求解，因为它与b的路径有关。尤其是，由于未知边界b在过程X中缠绕（随机变量Xt的分布，b（t）依赖于整个势垒（b（r））t），因此不可能预先计算X的边缘定律≤R≤从时间t到s）。我们还提到，Peskir（2005a）变量公式的变化在Peskir（2007）中扩展到了多维环境。这使得在更高的维度上，也可以将最佳停止时间描述为第一次击中时间（参见格洛弗等人（2013年）、Ga peev and Shiryaev（2013年）和Peskir（2014年））。目前尚不清楚，在多维环境下，是否有可能对所提出的方法进行扩展。在更高维度的单交叉条件（条件4）中，单调性的表述已经不是直截了当的了。

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2022-5-6 06:44:11

多元反射过程的构造也非常不活跃。通常，（19）的解集包含在（20）的解集中。实际上，如果b解（19），那么通过推论Y16，它是一个最优停止边界，因此，在适当的正则条件下，它也是（20）的解。在（20）的唯一性成立的情况下（见上面的参考文献列表），相反的含义成立。对于恒定势垒b（t）=b∈ R和X是布朗运动，可以直接把这两个方程联系起来。事实上，在这种情况下，它遵循所有x的反射原理≤ 前列腺增生症Xt，b（t）s≤ xi=2 PXt，b（t）s≤ 十、因此，常数势垒b解方程（20），当且仅当它解方程（19）。关于一个人是否能在不绕路的情况下，通过粒子停止问题，将这两个积分方程一般地联系起来，这个问题留待将来研究。6.附录命题证明10。（X，l）的存在性和唯一性来自Rutkowski（1980）。参见alsoSlominski和Wojciechowski（2010；定理3.4），了解时间齐次情况。通过构造（X，l），我们也有（i）。我们下一个节目（二）。请注意，未反射SDE的解决方案（6）解决了s<τb的反射SDE。由于反射SDE的解决方案是唯一的（ii），如下所示。为了证明（iii）和（iv），我们只考虑t=0的情况，而不丧失一般性。对于ξ，ξ∈ R我们写（△Xi，li）=（△X0，ξi，l0，ξi），（i=1，2）并引入过程Dt=△Xt-~XtandΓt=sups≤tmax（0，Ds）。将Meyer It^o for mulaProtter（2005；定理71，第4章）应用于函数x7→ max（0，x）yieldsmax（0，Ds）=max（0，D）+2Zs{Dr->0}Dr-dDr+Zs{Dr->0}d[d]cr+X0<r≤s最大值（0，Dr）- 麦克斯（0，博士）-)- 1{Dr->0}Dr-博士.（21）因为D只在b向下弹跳时跳，并且因为xi跳到我们的障碍物上-(b（r））-≤ 博士≤ 集合{Dr上的0-> 0}.

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