离散时间期限结构理论与一致性再校准模型

2022-5-6 21:33:37

显然，使状态空间变得非常高维有助于随着时间的推移合并不一致，但通常会导致非常微妙的校准问题。这导致，e。g、利率理论，以著名的HJM理论为基础，其中一致性是一个内置的模型特征。另一方面，低维状态空间有助于保持校准过程的可行性、稳定性和鲁棒性，但随着时间的推移，会导致模型不一致。第二种方法对应于选择局部波动性或时间依赖性模型作为模型类别，其中状态空间最终是一维的。相比之下，在HJM激励的方法中，例如在动态波动率面（见[16]、[17]）、局部波动率（见[1]）或切线L’evy模型（见[2]），发电机的先前特定类别也成为一个状态变量。在这项工作中，我们在两个极端之间提出了一种更平衡的方法，这需要在一个相当普遍的环境中仔细地重新访问船体白色延伸部分。用利率理论的话来说：我们希望在HJM方程的意义上保持模型的一致性，但我们也希望在有限因素模型的意义上保持可操作性。为了不让我们的领导因为繁琐的技术计算而失去耐心，我们在一个离散的时间段内提出了这个理论的独立版本。人们可以清楚地看到，在离散时间建模的基础上，一致的动态脆弱性表面演变的众所周知的困难是如何消失的。第一个想法是标准的：我们建立了一个有限维的状态空间，通过构造来编码严重的初始术语结构。作为codebook，我们选择了所有可能的分布配置，没有任何限制，这与考虑局部波动或切线L’evy过程的模型不同。

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2022-5-6 21:33:41

第二个想法是非标准的：我们对状态空间进行了适当的叶化，以在stillrich重新校准特性和令人满意的动力学特性之间取得平衡。我们在下面的段落中通过一个从利率理论中借用的连续时间例子来概述这个想法：Let（Rt）t≥0成为短期利率的Vasiˇcek模型，即dRt=（b- aRt）dt+σdWt，R∈ R在这种情况下，与衍生工具相对应的债券价格很容易计算，但今天的（通用）债券价格为T7→ P（0，T）可能无法通过初始值和剩余的三个模型参数a、b和σ进行完美校准。Hull White extension的想法是引入一个依赖时间的参数，以实现完美的校准，因此以下依赖时间的Asiˇcek modeldRt=（b- aRt）dt+σdWt+c（t）dt，R∈ Ris建议替换第一次的同质模型。在这种情况下，我们可以从t7开始计算→ P（0，T）——在温和的正则性假设下，给定参数a，b，σ和初始值R——t7的函数形式→ c（t）。然而，缺点是时间期限结构理论随着时间的推移不一致，因为明天的重新校准可能会导致其他模型参数a、b、σ，尤其是另一个函数t 7→ c（t）。再看一下船体白色延伸的程序，我们实际上使用了两步方法：首先是a、b、σ和稀有固定，然后是t 7→ c（t）由初始值计算得出：换句话说，在第一个校准步骤中，我们通过选择兰德模型参数a、σ和常数b，大致解释了今天的债券价格s。这将导致校准中的总体结果。在第二次校准步骤中，我们选择曲线t 7→ c（t）使得模型drt=（b- aRt）dt+σdWt+c（t）dt，R∈ 雷克斯完美地调整了债券价格。

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2022-5-6 21:34:01

这是根据之前的考虑，可能的和可能的广告，以运营商C映射债券价格T7→ P（0，T），模型参数a，b，σ和状态值Rto a曲线T7→ c（t）。自b和t 7以来，该程序中存在明显的冗余→ c（t）具有重叠效应。我们将利用这种冗余的优势：我们可以想象一种设置，其中参数a、b和σ实际上是随机的，并且引入了Hull White扩展以保证时间一致性。让我们更详细地解释一下：我们现在考虑参数a，b，σ的随机变化：考虑一个外部给定的过程（at）t≥0=（a（t），b（t），σ（t））t≥0，那么我们原则上可以理解RT=（b）- a（t）Rt）dt+σ（t）dWt+C（Ptangent（t，）；t（t），t（t，R）∈ 初始债券价格是t7→ P（0，T）。这里是符号Ptangent（t，.）指时间t的Vasiˇcek bo和价格，参数（a（t），b（t），σ（t）），初始值和船体白延伸曲线7→ c（s）=c（Ptangent（t，）；a（t），b（t），R（t））（s），代表s≥ t、从分析的角度来看，这个方程看起来不清楚，但我们可以很容易地想象这个方程的分裂方案的一步是什么样子的：我们从一个（适当的）小时间步开始, 初始参数a（0），b（0），σ（0）和R，初始曲线t7→ P（0，T）和相应的HullWhite扩张7→ c（s）：=c（Ptangent（0，）；a（0），b（0），R（0））（s）表示s≥ 下一步我们模拟一个欧拉步骤到未来导致R, i、急诊室= R+（b（0）- a（0）R） + σ（0）dW+ c（0）然后我们计算债券价格Ptangent(, .) 对应于a（0），b（0），σ（0），R, 和s 7→ c（s+). 现在，拆分方案的第二部分开始：wesimulate value a(), b(), σ() 并计算出一个新的船体白度延拓c:=c（Ptangent(, ·), a(), b(), R). 得到的曲线是s7→ ~c（s）我们重新开始分裂步骤。

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2022-5-6 21:34:04

请注意，这个等式不是通常意义上的SDE，因为它分别定义在债券价格空间和远期利率上。它相当于根据R的分布在任何时候t的特征来重新考虑麦肯恩-弗拉索夫方程。tRsds，适用于所有时间t。模型初始化为t 7→ P（0，T）是完全校准的，这也提供了初始船体白色延伸。很明显，在参数过程a和初始项结构4的某些密耳正则条件下，ANJA RICHTER和JOSEF Teichmant 7→ P（0，T）一切都很明确。它仍然需要理解一致性，即“exp”-ZTRsds#= P（0，T）。然而，这是因为经验-ZtsRuduPtangent（t，t）财政司司长= p为0的T（s，T）≤ s≤ T≤ T，这似乎是正切项结构Ptangent（T，T）在其整体描述中的定义属性（不同描述为-兹特鲁杜Ptangent（t，t））0≤T≤这是一个鞅）。然而，这个定理的精确公式将在本文的连续时间版本中得到证明。本文将证明它的离散时间版本，见定理7.6。如果——而不是a的外生规定——我们依靠每天的重新校准，显然我们可以在这种情况下通过改变模型参数来处理，而不完全牺牲Vasiˇcek动力学。从有限维的角度来看，微小的动力学仍然是Vasiˇcek类型，但我们会在一定程度上改变Vasiˇcek动力学的类型（更准确地说是参数a、b和σ）。有人可能会问，考虑一致的重新校准模型而不是HJM型模型的实际优势是什么。

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2022-5-6 21:34:08

答案有两个方面：首先，即使是HJM类型的模型，一致性再校准模型的增量也是特殊类型的，因为它们来自有限因子模型，而这些模型看起来像众所周知的有限因子模型。在数值数学中，增量的分布结构通常可以精确地描述，不需要在随机基础上进行近似。如前一个例子所示，模型空间上的叶理结构（在利率模型领域称为赫尔-怀特延伸）对该框架起着重要作用。现在，我们可以用ageneral a ffine模型代替Vasiˇcek mo de l，并考虑在远期汇率空间上叶面叶的壳白延伸，例如[6]。我们称这种模型为通过（通用化的）船体白扩展构建的一致性重新校准模型。本文的目的是介绍这类方程的离散时间理论。这是数学中的许多地方之一，在这些地方，在有限维方程（带重新校准的短期利率方程）上的有限维视图（在利率的情况下，这是HJM方程）有助于理解理论。在所有这些理论考虑之后，本文的主要结果可以描述如下：我们可以找到s-tochastic过程（ηt）t≥0在术语结构（第2节语言中的正向特征）的向量空间中获取值，这些术语结构具有ηt=At+nXi=1bitytwi类型的线性结构，与某些因素驱动过程Y=（Yt）t有关≥0，以及术语结构所属的某个基本过程X（在前向离散时间术语结构理论5第2节特征的意义上）。已经有了确定性系数A和BIWE，我们可以校准一个非常丰富的初始项结构η族。

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2022-5-6 21:34:12

Conca-tenatingsuch过程连续地导致随机过程η仍然描述术语结构的无套利演化，现在也可以根据选择的串联模式重新校准。由于上述线性模型结构，关于y和η的单个轨迹y的知识允许通过η和y的二次变量估计来计算B。最后，通过解线性方程组可以推断出红色。我们首先集中在正向特性的多变量理论上，这将在第2节中介绍。在第3节中，我们概述了正向特征在数学金融中的几种应用。在第4节中，我们展示了一个流程的大型模型类具有特别简单的特性。在第5节中，我们介绍了对应的HJM类型方程的正向特性，并通过对有限维实现的分类提供了一个解决方案理论，见第7节第6节。这些解决方案对应于一致的重新校准模型。2.前向特征处理let(Ohm, F、（Ft）t≥0，Q）表示在有限离散时间点集上具有增强过滤的过滤概率空间，其由t表示的旋转滥用表示≥ 0.通常我们考虑时间刻度的整数倍，特别是我们只考虑等距时间网格。我们考虑一个（多变量）随机过程X:=（Xt）t≥0取Rn中的值，我们可以看到，例如，作为价格过程的对数或作为综合短时间过程。假设所有过程都是自适应的，有些过程是可预测的。

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2022-5-6 21:34:16

在整篇文章中，（定价）措施Q下的预期将用E表示，Rnby h·、·i上的标量积表示。关于离散时间随机金融的其他表示法和细节可在[8]中找到。我们首先定义了X的边际分布的期限结构，即它们的RFO-urier变换。定义2.1。在随机过程中取随机值ηs（u，t）0≤s≤t、 u∈ Rn，ηs（0，t）=0表示所有0≤ s≤ t称为X-ifE[exp（ihu，Xt）的正向特征过程- Xsi）|Fs]=expT-1Xk=sηs（u，k）为了0≤ s≤ t、备注2.2。注意，对于所有0，归一化ηs（0，t）=0≤ s≤ t确保地图u 7→ ηs（u，t）是连续的，通过应用复对数唯一定义。如果我们有额外的先验矩，我们可以将正向特征的定义扩展到一个适当的条带，在其内部包含纯虚向量。此外，该定义隐含地假设了增量的特征函数- Xs不会消失，因为η始终被认为具有绝对价值。在这里，我们可以通过允许-∞, 但我们并不是为了简单而遵循这个原则。正向特性是过程特性的概念，在这种离散设置中，过程特性将简单地对应于增量Xs+1的特性函数的基本形式- Xs，即前向特性ηs（，s）的短端，对于s≥ 0.6安贾·里克特和约瑟夫·泰奇曼德定义2.3。设X是一个取Rn值的适应随机过程，然后是适应随机过程族（κXs（u））s≥0，u∈ Rn，定义见[exp（ihu，Xs+1- Xsi）|Fs]=expκXs（u）对于s，κXs（0）=0≥ 0被称为X的（过程）特征。备注2.4。

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2022-5-6 21:34:19

过程特征（κXs（u））s≥0，u∈ 通过自适应随机过程exp（ihu，Xsi-s-1Xk=0κXk（u））！s≥0是u的鞅∈ RnandκXs（0）=0表示s≥ 0.并不是每个过程都符合正向特征过程：我们可以证明以下一致性结果，这是正向特征过程的特征。为了说明结果，我们假设过程η相对于另外给定的过程ε：=（εt）t有一定的分解≥0，也比较[13]。定义2.5。我们说复值过程（ηs（u，t））0≤s≤TFU∈ Rn有一个关于Rd值过程ss（εt）t的分解≥0如果存在复值适应过程（αs（u，t））0≤s<tand（σis（u，t））0≤s<t为u∈ Rn，i=1，d、（2.1）αt（u，t）=0，σit（u，t）=0表示t≥ 0，u∈ r与i=1，d和（2.2）ηs+1（u，t）- ηs（u，t）=αs（u，t）+dXi=1σis（u，t）ε为0≤ s<t和u∈ 注册护士。在这里εt:=εt+1- εt代表t≥ 0.备注2.6。引入规范化（2.1）是为了避免可预测性的概念，并允许使用更简单的公式。请注意，这些值可以自由选择，因为它们不进入方程式（2.2）。2.7的提议。设X是一个自适应随机过程，其值为Rnandlet（ηs（u，t））0≤s≤t是一个复杂的适应过程族∈ 因此，对于一个过程ε，存在分解（2.2）。那么η是X的正向特性的过程当且仅当X（2.3）κXs（u）的过程特性上的短端条件=ηs（u，s）表示s≥ 0和u∈ Rn和漂移条件（2.4）κXs（u）-T-1Xk=sαs（u，k）=κ（X，ε）s（u，-信息技术-1Xk=sσ。s（u，k））表示0≤ s≤ t和u∈ 这是真的。证据

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mingdashike22

2022-5-6 21:34:22

与连续时间理论相比，这种说法的证明是基本的，因为既不需要随机积分，也不需要过程特征理论：假设η实际上是X的正向特征过程，那么短端条件是相应离散时间期限结构理论定义的直接结果。漂移条件（2.4）是否成立还有待证明。这源于e[exp（ihu，Xti）|Fs]=exp的事实ihu，Xsi+t-1Xk=sηs（u，k）为了0≤ s≤ t和你∈ 定义一个鞅当且仅当η是一个偏离正向特征的过程（特别是ηs（0，t）=0表示0≤ s≤ t）。因此，我们必须检查是否存在“expihu，Xs+1”- Xsi+t-1Xk=s+1ηs+1（u，k）- ηs（u，k）- ηs（u，s）！Fs#=1或0≤ s<t代表u∈ 注册护士。让我们假设鞅性：当我们插入η的分解时，我们确实得到了期望的断言，因为“expihu，Xs+1”- Xsi+dXi=1T-1Xk=sσ是（u，k）ε是- ηs（u，s）+t-1Xk=sαs（u，k）！Fs#=1if且仅当ηs（u，s）-T-1Xk=sαs（u，k）=κ（X，ε）s（u，-信息技术-1Xk=sσ。s（u，k））表示0≤ 通过对过程特征κ（X，ε）和短端条件的定义，s<t成立。注意，我们可以通过备注2.6扩展k=s+1 tok=s的和。相反地，假设过程η满足两个规定的条件，然后通过逆转之前的结论，我们得到所需的鞅性质，从而得出证明。备注2.8。如果以与η类似的方式分解X，则可以进一步简化之前的条件：我们假设（2.5）Xs+1- Xs=βs+dXi=1γ是ε为0≤ s和u∈ Rn，具有适应的，Rn值的随机过程β，γi，i=1，d、然后通过定义2.3，我们得到了（2.6）κεs（hu，γ.si）+ihu，βsi=κXs（u）≥ 0和u∈ Rn和（2.7）κεs（v+hu，γ.si）+ihu，βsi=κ（X，ε）s（u，v）表示s≥ 0和u∈ Rn，v∈ 路。

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2022-5-6 21:34:26

这很好地解释了（X，ε）的联合过程特征如何表达X和ε之间的es依赖关系。注意，没有对过程ε施加先验限制，因此我们可以计算X相对于X本身的正向特性η——如果可能的话，即ε=X。在有效过程的情况下，这尤其有用，如第6章所示，其中允许使用更简单的公式。8安贾·里克特和约瑟夫·泰奇曼马克2.9。局部独立性的概念尤为重要（与[13]中相应的概念相比）：如果（2.8）κ（X，ε）s（u，v）=κXs（u）+κεs（v）表示u，则称X和ε为局部独立∈ Rn，v∈ Rd.在这种情况下，漂移条件（2.4）简化为（2.9）-T-1Xk=sαs（u，k）=κεs(-信息技术-1Xk=sσ。s（u，k））表示0≤ s≤ t和u∈ 注册护士。备注2.10。正向特征编码随机过程SSX增量分布的项结构，即Xt的分布-Xs，代表0≤ s≤ t、以时间s处的信息F为条件。请注意，在正向特性的过程中存在冗余信息（与过程特性的过程相反），这反过来会转换为漂移条件，如（2.4）正向特性的过程。3.远期特征在数学金融中的应用本节我们将介绍三个例子，其中远期特征实际上出现在利率理论、期权定价理论和信用风险理论（众所周知）的数学金融模型中。3.1. 可预测过程的远期特征——利率理论。我们考虑一个离散时间的银行账户过程b:=exp（s）-1Xk=0Rk）适用于s≥ 0和一些实值短期利率过程（Rs）≥0

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2022-5-6 21:34:29

我们定义了综合短期利率Xs:=Ps-1k=0RKS≥ 0并考虑其病房特征η，即“exp（iut-1Xk=sRk）Fs#=expT-1Xk=sηs（u，k）为了0≤ s≤ t、我们假设它对于一个过程ε是可分解的。由于X是可预测的，X和任何适应的过程ε都是局部独立的，因为[exp（iu（Xs+1- Xs）+ihv，εs+1- εsi）|Fs]=expκXs（u）+κεs（v）因为Xs+1对于s是可测量的≥ 0.此外，我们假设E（exp（（1+δ）|X |）<∞ 对于某些δ>0，我们可以将正向特性的定义扩展到条带R×[-1,1]i.如果我们在上面的等式中选择u=i，我们可以通过过程识别这个离散时间设置中的远期利率过程(-ηs（i，t））0≤s≤t、更重要的是零息债券价格≥ s≥ 0由p（s，t）=E“exp给出(-T-1Xk=sRk）Fs#=expT-1Xk=sηs（i，k）.注意，漂移条件（2.9）与[9]和[10]中给出的著名的Jm漂移条件（在连续时间内）相关，其中首次研究了前向离散时间项结构理论的动力学。在这种意义上，正向特性和相应的漂移条件扩展了正向速率和HJM漂移条件的框架。3.2. 鞅对数的正向特征——期权定价理论。我们考虑了一个描述价格过程的鞅过程的对数X。我们再次假设E（exp（（1+δ）|X |）<∞ 对于某些δ>0，我们可以将正向特性的定义扩展到剥离器×[-1,1]i.远期特征通过以下公式[exp（iuXt）| Fs]=exp与具有“傅里叶”支付的欧式期权价格相关（另见开创性论文[3]）iuXs+t-1Xk=sηs（u，k）为了0≤ s≤ T

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2022-5-6 21:34:32

换言之：远期特征对给定时间s前信息的XT条件定律进行编码，这相当于Breeden-Litzenberger公式对完整期权价格面的了解。这种方法的动态、连续时间版本是切线L’evy模型方法[2]的起点。S=exp（X）的鞅条件转化为ηS(-i、 t=0表示所有0≤ s≤ t、参见[13]中的相应公式。局部独立性意味着驱动过程的不依赖性，或者从期权定价理论的角度来看，即杠杆消失。3.3. 可预测过程和即时恢复的前瞻性特征——信用风险理论。我们考虑一个具有可预测的第一坐标和一般第二坐标的二维过程（X，X）。我们再次假设（exp（（1+δ）kXk））<∞ 对于某些δ>0，将正向特性的定义扩展到带R×[-1，1]i.从信用风险理论的角度来看，我们可以将S:=exp（X）理解为瞬时恢复过程，B:=exp（X）理解为无风险银行账户过程。我们可以通过SSP（s，t）=E定义可违约债券价格SP（s，t）BsStBt财政司司长为了0≤ s≤ t并理解（i，-i）作为可违约债券价格的对数，考虑到一些定价方法Q。更准确地说，P（s，t）=EBSSTBTS财政司司长= E经验- （Xt）- Xs）+（Xt- Xs）财政司司长= 前任警察T-1Xk=sηs（i，-i、（t）.请注意与外汇市场的类比，它遵循了[12]中介绍的观点。仿射过程的正向特性在本节中，我们将介绍离散时间有效过程，并对其正向特性得出一些初步结论，这对于ANJA RICHTER和JOSEF Teichmanca的计算尤其容易。对于连续时间均匀和非均匀过程的严格处理，请分别参见[5]和[7]。

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2022-5-6 21:34:35

像往常一样，离散时间理论是完全基本的。定义4.1。设D是一个封闭的凸域，其内部非空且Rn中含有0。一类适应随机过程（Xxt）t≥0代表x∈ D 如果函数性质（4.1）E[exp（hu，Xxti）|Fs]=exp，则称为时间齐次函数过程φ（u，t）- s） +hψ（u，t）- s），Xxsi为了0≤ s≤ 给定确定性函数φ，ψj:U×N的t→ C、对于j=1，n、这是真的。换句话说：条件特征函数在状态向量X中是指数函数。这里我们用U表示并集∪M≥1UmwithUm:={u∈ Cn | supx∈D|exp（胡，习）|≤ m} 。我们总是假设归一化φ（u，0）=0，ψj（u，0）=u代表u∈ Uand j=1，d、这使得函数φ和ψ是唯一的。备注4.2。一个有效过程是马尔可夫过程，因为对整个过去的条件期望只取决于现在。备注4.3。我们可以通过求函数φ（u，s，t）和ψ（u，s，t）的存在性来分析非齐次线性过程≤ s≤ t和u∈ 4.4上的U.Propositi。设X是一个时间非齐次有效过程，则前向特征满足-1Xk=sηs（u，k）=φ（iu，s，t）+hψ（iu，s，t）- iu，Xxsi，或——通过取第一个差值——ηs（u，t）=φ（iu，s，t+1）- φ（iu，s，t）+hψ（iu，s，t+1）- ψ（iu，s，t），Xxsi，表示0≤ s≤ t、分别。此外，函数φ和ψ是以下微分方程的唯一解，其中向量场F和R（我们使用向量场的概念来类比Riccati ODEs），φ（u，t，t+1）=F（u，t）（4.2）ψ（u，t，t+1）- u=R（u，t）φ（u，s，t+1）=F（u，t）+φ（u+R（u，t），s，t）ψ（u，s，t+1）=ψ（u+R（u，t），s，t）和初始值φ（u，s，s）=0和ψ（u，s，s）=0≤ s<t.证明。

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2022-5-6 21:34:39

这个证明是对对数的有效性质和唯一性的简单应用，因为[E[exp（hu，Xxti）|Fs]|Fr]=E[exp（φ（u，s，t）+hψ（u，s，t），Xxsi）|Fr]=expφ（u，s，t）+φ（ψ（u，s，t），r，s）+hψ（ψ（u，s，t），r，s），Xxri为了0≤ R≤ s≤ t、一方面。另一方面，有效的转换公式导致[E[exp（hu，Xxti）|Fs]|Fr]=expφ（u，r，t）+hψ（u，r，t），Xxri,离散时间项结构理论11因此，通过表示的唯一性，我们得到了0的半流动性质φ（u，s，t）+φ（ψ（u，s，t），r，s）=φ（u，r，t）（4.3）ψ（ψ（u，s，t），r，s）=ψ（u，r，t）≤ R≤ s≤ t、 u∈ 这些方程立即转化为asserteddi微分方程。另一方面，差分方程（4.2）的精确定义解满足半流动性质（4.3）：我们通过归纳法- r=n假设该语句对所有0都为真≤ R≤ s≤ 带- R≤ n、 TheRiccati方程（4.2）则得出0≤ r<s≤ tψ（u，r，t+1）=ψ（ψ（u，t，t+1），r，t）=ψ（ψ（u，t，t+1），s，t），r，s）=ψ（ψ（u，s，t+1），r，s），其中第二个和第三个等式使用归纳假设（注意t+1）- s≤ n）。以类似的方式，我们可以得出φ（u，r，t+1）=φ（u，t，t+1）+φ（ψ（u，t，t+1），r，t）=φ（u，t，t+1）+φ（ψ（u，t，t+1），s，t）+φ（ψ（ψ（u，t，t+1），s，t），r，s）=φ（u，s，t+1）+φ（ψ（u，s，t+1），r，s）为0≤ r<s≤ t通过归纳法假设结果成立- R≤ N备注4.5。为了达到这一目的，我们将离散时间设置转换为连续时间设置，其中时间非均匀过程的理论已在[7]中得到阐述。请注意，Riccati微分方程与通常的前向微分方程在第一眼看到的情况不同，因为“向量场”是插入水流中的，而不是像通常那样反过来。

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2022-5-6 21:34:43

持续的时间限制导致以下交通PDE（4.4）tψ（u，s，t）=Dψ（u，s，t）（R（u，t））和tφ（u，s，t）=F（u）+Dφ（u，s，t）（R（u，t））为0≤ s≤ t具有标准初始条件ψ（u，s，s）=u和φ（u，s，s）=0，这两个条件控制φ和ψ的结构。然而，这种传输PDE可能与ODE的解决方案有关。给定一个C（时间非齐次）解，将其转化为广义Riccati方程sψ（u，s，t）=-R（ψ（u，s，t），s）和sφ（u，s，t）=-F（ψ（u，s，t），s），表示0≤ s≤ 具有标准初始条件ψ（u，t，t）=u和φ（u，t，t）=0的t（注意常微分方程时间s中的向后字符）。我们得到了所有0的半流性质ψ（ψ（u，s，t），r，s）=ψ（u，r，t）和φ（u，s，t）+φ（ψ（u，s，t），r，s）=φ（u，r，t）≤ R≤ s≤ t、对这些方程的微分导致了之前提到的输运偏微分方程（4.4）。在时间均匀向量场的情况下，向前和向后流动之间的差异是多余的，因为它们重合。请注意，对于有效过程理论而言，与反向ODE相对应的正向传输方程是完全正确的观点（然而，在连续时间内，它是等效的）。12 ANJA RICHTER和JOSEF Teichmanin对有效过程的应用赫尔-怀特延拓在利率理论中发挥了特殊作用。我们可以在一个通用的框架中考虑前向特性的赫尔白扩展。让我们首先描述Riccati方程（4.2）的解决方案类别，它对应于4.6中F:Propositi的变化。考虑时间齐次有效过程的Riccati方程（4.2），即表征系统的向量场F和R不依赖于时间。

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2022-5-6 21:34:46

考虑一张地图（u，t）7→ u（u，t），当与R和F（u，t）相关的Riccati方程：=F（u）+为t定义的u（u，t）时≥ 0和u∈ 所有初值都有唯一解，且eφ（U，s，t）=t-1Xk=sF（ψ（u，t）- 1.- k））+u（ψ（u，t）- 1.- k），k）和ψ（u，s，t）=ψ（u，t）- s）为了0≤ s≤ t和u∈ 美国证据。通过归纳法。船体白延伸的想法只是为了看到，通过改变F（而不改变R），人们已经可以获得D上过程的多种初始正向特性，即所谓的初始c配置。这些配置可以通过适当选择随时间变化的映射来参数化。我们需要一些符号来使这个模型更精确：我们在这里应用连续函数的复杂集合 u 7→ 如果u=0时的值log f（u）是固定的，则f（u）6=0是唯一定义的，参见示例[14]。在我们的例子中，我们总是使用u=0时的归一化。定义4.7。集合incdde指出在点（0，t）（u，t）7处消失的连续函数集合→ 日志E特警（胡，（YT）为了你∈ U、 t≥ 对于随机过程Y，取D中的值y+Y∈ 为了所有的人∈ D、和s≥ 0.定义4.8。固定一次齐次过程X，取D中的值，用特征函数φ和ψ以及时间0处的初始值X。

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2022-5-6 21:34:50

让我们∈ IncD，theneφ（u，s，t）=t-1Xk=sF（ψ（u，t）- 1.- k））+u（ψ（u，t）- 1.- k），k）和ψ（u，s，t）=ψ（u，t）- s）为了0≤ s≤ t和u∈ U、定义分布的特征函数的对数-1Xk=0ν（u，k）：=eφ（iu，0，t）+heψ（iu，0，t）- iu，雄D代表0≤ t、从今以后，我们用I（x）表示这样的初始正向特性的集合。注意，对于每个元素∈ I（x）至少有一u∈ 让它成为罪魁祸首。换句话说：I（x）是一组初始配置，它“高于”给定过程的边缘分布，即F由额外的跳跃分量修改，其在时间t的增量以exp（u（u，t））表示∈ U.离散时间期限结构理论13下一个命题表明，对于任何初始配置，我们实际上可以构造一个时间不均匀的随机过程，在时间s=0时达到这一正向特性：4.9的命题。设X是一个具有特征函数F、R和ψ的时间齐次a ffine过程。然后对于每个初始值x∈ D和每个初始配置ν∈ I（x）存在一个从x开始的唯一随机过程∈ D具有特征函数sef，R和ψ，在这个意义上-1Xk=seηs（u，k）=eφ（iu，s，t）+hψ（iu，t- （s）- iu，Exsiforu∈ Rn，0≤ s≤ t、其初始正向特性eη等于ν。对于给定的初始配置ν，该过程称为X的壳白延伸。证据设X是一个时间齐次的过程，如上所述∈ D并让ν∈ 我（x）是固定的。然后就有了∈ 就这样-1Xk=0ν（u，k）=eφ（iu，0，t）+hψ（iu，t）- iu，xit≥ 0和u∈ 注册护士。因此，我们可以通过设置（在法律上）eXt+1=XfXt+Yt，为t≥ 0

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可人4

2022-5-6 21:34:53

这里我们使用一个随机过程Y和增量t独立的（在可能扩大的概率空间上），使其增量满足要求特警（胡，（YT）= exp（u（u，t）），t≥ 0和Xxa是一个随机变量，在时间1时实现时间齐次有效过程，与Ftand Y无关，对于x∈ D.通过假设X和X，这唯一地定义了状态空间为D的随机过程Y然后，通过迭代一步条件期望和X:Ehexp（hu，eXti）的有效性质，推导出了X的条件特征函数Fsi=ehexp（hu，XeXt-1+ Yt-1i）英尺-1iFsi=Ehexp（φ（u，1）+hψ（u，1），eXt-1i+u（u，t- 1))Fsi=expφ（u，t）- s） +hψ（u，t）- s），eXsi+t-sXk=1u（ψ（u，k- 1），t- k））为了你∈ U和0≤ s<t。对于Ex的正向特性，它遵循-1Xk=seηs（u，k）=eφ（iu，s，t））+hψ（iu，t）- s） )- iu，Exsiforu∈ Rnand 0≤ s≤ t、这给出了ef（u，t）：=F（u）+u（u，t）的结果∈ U、 t≥ 014安贾·里克特和约瑟夫·泰奇曼马克4.10。请注意，此时的processeX不是马尔可夫过程，而是仅定义为初始值x∈ D和初始配置ν。然而，我们可以用一种完全相似的方式定义一个有效的、时间不均匀的马尔科夫过程，该过程具有特定的系数a和R，从而保持D不变。备注4.11。作为上述结构的一个特殊情况，可以考虑这种情况，而仅在First坐标中，例如，添加独立跳跃。例4.12。我们考虑一维过程的壳白扩展。让（Rt）t≥0是满足随机微分方程Rt+1=Rt+（b）的高斯过程- 艺术，艺术∈ R、对于t≥ 0，r参数a，b，σ和序列（Wt）t≥0个独立的、相同分布的中心正态随机变量，方差为1。

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2022-5-6 21:34:58

这是一个自[exp（u（Rt+1）]以来的讨论时间过程- Rt）| Ft]=exp（u（b）- aRt）+σu/2），其产生R（u）=（1- a） u和F（u）=bu+σu/2。我们实际上也可以计算函数φ和ψ，即ψ（u，t）- s） =（1）- a） t-suandφ（u，s，t）=t-1Xk=sb（1）- a） t-1.-ku+σ（1）- a） 2（t）-1.-k） u,为了你∈ U.Hull White extensions将更改F，在这种情况下，不受状态空间限制尤其容易。我们首先使用所有可能的Hull-White扩展，通过选择函数u进行参数化，例如u 7→ u（u，t）是每个t的累积量生成函数≥ 0.然后我们定义F（u，t）=F（u）+u（u，t），它定义了一个时间不均匀的有效过程，在每个时间点t添加独立的累积量u（，t）。计算φyieldseφ（u，s，t）=φ（u，s，t）+t-1Xk=su（1- a） t-1.-ku，k）代表你∈ U.给定初始正向配置ν，然后是T型方程-1Xk=0ν（u，k）=eφ（iu，0，t）+hψ（iu，t）- iu，xit≥ 0和u∈ Rnholds true，允许递归计算函数u。我们这么说∈ I（x）当且仅当函数∈ IncD，即u（，t）是累积生成函数。离散时间期限结构理论155。正向特征过程的随机差分方程在正向特征理论中作为自然例子出现，也具有显著的几何特性。

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2022-5-6 21:35:01

为了说明这一点，我们需要为正向特性建立一个随机微分方程，以便构造正向特性的马尔可夫过程。随机微分方程的状态空间为D×ΘD，但为了方便起见，我们研究了凸子集Rn×Θ上的方程。ΘD或Θn分别表示函数集srn×n （u，x）7→ θ（u，x）等于-1k=0θ（u，k）是随机过程的特征函数的对数，其值分别为D，或Rn，r。然而，等式的公式将基于希尔伯特空间G，通过以下定义给出：定义5.1。设G是定义在Rn上的连续复值函数的希尔伯特空间（或包含Rn的更一般的集合，取决于建模目的），即 C（Rn；C）。如果H是函数θ：N的希尔伯特空间，则H称为前向配置希尔伯特空间→ G、 i.e.H lw（N；G），即加权序列空间，这样（1）我们有一个连续嵌入H L∞loc（Rn×N；C）。（2）移位半群（Stθ）（u，x）：=θ（u，t+x）是H上x，t的线性算子的强连续半群≥ 0和u∈ 注册护士。（3）有限活动的功能L’evy Khintchine类型（u，t）7→ ia（t）u-uTb（t）u+ZRn（exp（iuξ）- 1） νt（dξ），（u，t）∈ Rn×N，位于H中，其中a、b、ν分别是在N上定义的函数，取Rn中的值，在Rn上定义的正半无限m atr，以及在Rn上定义的有限正度量（这对应于具有独立增量和有限活动的过程）。备注5.2。请注意，Hilbert空间的元素在Mus iela参数化中得到了理解，因此在续集中用不同的字母表示。

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2022-5-6 21:35:05

我们有关系ηs（u，s+x）=θs（u，x），与到期时间x:=t- s、在续集中，我们定义了一个随机微分方程，它表达了命题2.7：定义5.3的条件。设H为前向配置Hilbert空间。我们将以下系统称为随机微分方程xxt+1- Xt=βt+dXi=1γitεit，（5.1）θt+1- θt=Sθt- θt+α（t，Xt，θt）+dXi=1σi（t，Xt，θt）εitX∈ Rn，θ∈ 16岁的安贾·里克特和约瑟夫·泰奇曼≥ 0和映射α：N×Rn×H→ Hσi:N×Rn×H→ 具有向量场（α，σ）、初始项结构θ和初始值X的正向特性的Ha项结构方程o如果ε是一个随机过程，取Rd、β和γi中的值，i=1，d、是适应的随机过程，其值以Rn，oif，s为单位≥ 0，以下一致性条件保持（5.2）κεs（hu，γ.si）+ihu，βsi=θs（u，0），o如果，对于s，x≥ 0和（X，θ）∈ Rn×Θn，以下漂移条件满足κεs(-ixXk=0σ。（s，X，θ）（u，k）+hu，γ。si）=κεs（hu，γ.si）-xXk=0α（s，X，θ）（u，k）。（5.3）备注5.4。请注意，上述随机微分方程并不是严格意义上的微分方程，因为我们需要额外的条件（5.2）和（5.3）。这两个条件都与命题2.7不同，分别是更精确的关系式（2.6）和（2.7）。因此，过程β和γ由θ的短端决定。备注5.5。Musiela参数化的引入实际上意味着向量场向左移动1。通过滥用符号，我们使用了与备注2.6中相同的字母，然而，向量场α（t，X，θ）（u，0）在k=0 o处的计算与原始坐标中1处的计算相对应。备注5.6。我们不假设θt∈ Θn，即使随机差异方程的解释可能在某个时间点丢失。备注5.7。

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mingdashike22

2022-5-6 21:35:08

如果向量场α和σi不依赖于X，则可以考虑θ的随机微分方程，并构造X的后验概率。通常人们认为σia是先验给定的，α服从漂移条件（这也表示X和θ动力学之间的依赖关系）。我们不采取这种观点，而是选择向量场α和σ，以满足漂移条件。因此，σi也可能包含关于参数模型相关性或依赖性的信息，见第6节。定理5.8。考虑初始值X的正向特性（5.1）的项结构方程∈ Rnandθ∈ Θn，假设β和γ是通过（5.2）指定的，那么过程X和ηs（u，t）：=θs（u，t- s）为了0≤ s≤ t是一个过程X及其正向特性η。证据证明是命题2.7的直接结果。备注5.9。注意，我们不需要假设θ∈ 因为这直接遵循鞅条件。四分之一的存在导致了所有其他时代的入侵。离散时间期限结构理论17备注5.10。β和γ的不同可能选择对应于X和ε之间的不同依赖结构。因此，在一般的cas e.6中，不仅不期望出现唯一性，而且也不希望出现唯一性。有限维实现与连续时间实现相比，有限维实现的理论也要简单得多。这是因为，只要给我们一个特殊的随机微分方程，每个子空间都是微分方程的本质。因此，随机不变性意味着一个子空间位于入侵子流形内。

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2022-5-6 21:35:12

我们还应该看到，有效模型的Hull White扩展似乎是有限维实现的一类自然示例。我们首先从基本考虑开始：6.1的提案。设H+1型随机Hilbert方程为ε-1- θt=Sθt- θt+α（t，θt）+dXi=1σi（t，θt）εit，θ∈ H、向量场α，σ，σd:N×H→ H.假设每个进程的支持都会增加εt，t≥ 0已满，即Rd，让M H是H的k维子流形。流形M由（6.1）在M中开始的解保持不变，当且仅当对于所有θ∈ M和λ∈ Rdit认为θ7→ Sθ+α（t，θ）+dXi=1σi（t，θ）λi。定义从M到M的映射。特别地，M包含一个有效的ub空间，并且沿着这些子空间σi（t，θ）∈ tθ+α（t，θ）+Pdi=1σi（t，θ）λim对于i=1，m、 θ∈ M和所有λ∈ 这是真的。证据应用M的不变性，在增量和相应支撑上的条件立即在自映射上产生a序列。将带参数的导数取为λ得到第二个断言。在这一点上，我们不会进一步研究这种流形的精确结构，因为离散时间的存在，这项任务可能不那么有趣（比较[6]中的连续时间设置，以及其中的参考文献）。我们只是指出，这些有限维子流形（如果列出的话）非常重要，因为它们构成了为模型定制的参数化函数族，用于校准初始正向配置。我们知道，在远期特征的期限结构方程领域，许多差异方程的例子都承认了有限维变量子流形，例如一个有效随机波动率模型的真实成分：定义6.2。

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2022-5-6 21:35:15

具有状态空间Rn×C的一个有效过程（X，Y）如果（6.2）E[exp（hu，Xti+hv，Yti）|Fs]=exp，对于一个完全凸锥C，Rm+n称为有效随机波动率模型u（v，φt）- s） +hu，Xsi+hψC（u，v，t）- s），伊西18安贾·里克特和约瑟夫·泰奇曼0≤ s≤ 给定确定性函数φ，ψjC:U×N的t→ C、对于j=1，m、这是真的。为了方便起见，我们把初始值（x，y）放在符号中。备注6.3。请注意，只要存在有效结构，这些模型还包括对连续时间随机波动率模型的讨论。命题4.9 c的赫尔-怀特扩展肯定适用于一个有效的随机波动率模型。一个有效的随机波动率模型的一个特殊特征是，过程Y在其自身的过滤中是一个马尔可夫过程。因此，我们可以尝试在不改变过程Y的情况下执行船体白延伸，但只改变X的过程特征。从几何角度来看，这将导致正向特征的Term结构方程以及有限维子流形的叶化。引理6.4。假设（X，Y）是一个有效的随机波动率模型，那么被估值的分量Y是一个马尔可夫过程。证据如果我们在方程（6.2）中设置u=0，我们立即认为右手边只依赖于Y，这证明了马尔可夫性。6.5的提议。设（X，Y）为一个有效的随机波动模型。然后求出初始值x∈ Rn，y∈ C和每个初始配置ν∈ I（x，y）=：I（y），由累积量函数定义∈ IncRn（即。

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2022-5-6 21:35:18

其影响仅影响前n个变量，而完全不影响Y），存在一个从（x，Y）开始的随机过程（eX，Y）∈ Rn×C=D，具有特征函数sef，R和ψ，在t的意义上-1Xk=seηs（u，v，k）=eφ（iu，iv，s，t）+hψC（iu，iv，t）- （s）- 第四，第五部分（u，v）∈ Rn+m，0≤ s≤ t、其初始正向特性eη等于ν。这个过程被称为（X，Y）的壳白延伸（eX，Y），用于初始配置。证据根据命题4.9。例6.6。假设（X，Y）是一个有效的随机波动模型，那么X的前向特征过程通过（6.3）t给出-1Xk=sηs（u，k）=φ（iu，0，t- s） +hψC（iu，0，t）- （s）- iu，0分≤ s≤ t和u∈ 注册护士。因此，我们可以在正向配置的希尔伯特空间上定义向量场，即σi（u，x）=σi（θ）（u，x）：=ψi-nC（iu，0，x+1）- ψi-nC（iu，0，x）表示x≥ 0，u∈ Rnandθ∈ H、 i=n+1，n+m.选择一个驱动过程ε=（X，Y）（在我们所有的考虑中不一定是一个鞅），我们有一个形式为（6.4）θt+1的θ分解- θt=Sθt- θt+α（θt）+m+nXi=n+1σiεit，离散时间项结构理论19，其中α根据相应点θ处的漂移条件计算。更精确地说，我们可以设置α（θ）=-Sθ+θ。这可以通过重写θ的（6.3）来看出，θ给出-s-1Xk=0θs（u，k）=φ（iu，0，t）- s） +hψC（iu，0，t）- （s）- iu，0分≤ s≤ t和u∈ 注册护士。取t中的差分并替换k=t- 我们有θs（u，k）=φ（iu，0，k+1）- φ（iu，0，k）+hψC（iu，0，k+1）- ψC（iu，0，k），表示0≤ s和u∈ 注册护士。然后得出θt+1- θt=m+nXi=n+1σi易-n因此（6.4）满足α（θ）=-Sθ+θ。此外，由于θ被定义为X的正向特征过程，漂移和一致性条件会自动满足。

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2022-5-6 21:35:22

然而，校准到与有效随机波动率模型不先验对应的任意初始项结构需要不同的α选择，而且并不总是可能的。7.一致的重新校准模型随机差异方程（5.1）由于其涉及的漂移非常具有挑战性。幸运的是，之前的结果产生了一种特别简单的方法来求解arich类（5.1）型方程，即模型，其一步从T7开始→ t+1由一个时间不均匀的、有效的随机波动率模型（即使有随机变化的参数）描述。由于一致性条件在一个时间步中完全表达，因此将一个有效的一步与不同的模型参数连接起来，可以保持一致性。然而，在每个时间步之后，必须调整船体白色延伸。还请注意，这些模型的连接通常不再重要，但仍然相对容易实现和校准：定义7.1。设a为表示有效随机波动率模型（X（a），Y（a））的容许参数的参数向量，并考虑一个适应过程（at）t≥0在有效随机波动率模型的容许参数空间中取值。进一步考虑集合I（at，y），它对应于初始正向配置I（x，y），具有定义4.8中的容许参数。为了方便起见，我们省略了初始值x（因为它不依赖于x），但强调了对函数过程的参数向量的依赖性。当关系θ∈ I（a，y）表示至少有一个u∈ 定义具有初始正向特征θ的Hu-llWhite延伸，如命题6.5所示。

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