能源差价期权和波动率调整的定价和对冲

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《Pricing and hedging of energy spread options and volatility modulated
Volterra processes》
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作者：
Fred Espen Benth, Hanna Zdanowicz
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
We derive the price of a spread option based on two assets which follow a bivariate volatility modulated Volterra process dynamics. Such a price dynamics is particularly relevant in energy markets, modelling for example the spot price of power and gas. Volatility modulated Volterra processes are in general not semimartingales, but contain several special cases of interest in energy markets like for example continuous-time autoregressive moving average processes. Based on a change of measure, we obtain a pricing expression based on a univariate Fourier transform of the payoff function and the characteristic function of the price dynamics. Moreover, the spread option price can be expressed in terms of the forward prices on the underlying dynamics assets. We compute a linear system of equations for the quadratic hedge for the spread option in terms of a portfolio of underlying forward contracts.
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中文摘要：
我们推导了基于两种资产的价差期权的价格，这两种资产遵循二元波动率调制Volterra过程动力学。这种价格动态在能源市场中尤其重要，例如，对电力和天然气的现货价格进行建模。波动率调制的Volterra过程通常不是半鞅，但包含能源市场中感兴趣的几个特殊情况，例如连续时间自回归移动平均过程。基于测度的变化，我们得到了基于支付函数和价格动态特征函数的一元傅里叶变换的定价表达式。此外，差价期权价格可以用标的动态资产的远期价格来表示。我们计算了一个线性方程组，用于根据基础远期合约的投资组合对利差期权进行二次套期保值。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Pricing_and_hedging_of_energy_spread_options_and_volatility_modulated_Volterra_p.pdf
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可人4

2022-5-6 22:46:38

能源差价期权和波动性调制VOLTERRA过程的定价和套期保值Fred ESPEN BENTH和HANNA Zdanowicz摘要。我们推导了基于两种资产的价差期权的价格，这两种资产遵循一个双变量波动率调制的Volterra过程动力学。这种价格动态在能源市场中尤其相关，例如，对电力和天然气的现货价格进行建模。波动率调制的Volterra过程通常不是半鞅，但包含能源市场中感兴趣的几个特殊情况，例如连续时间自回归移动平均过程。基于测度的变化，我们得到了基于支付函数和价格动态特征函数的一元Fourier变换的定价表达式。此外，差价期权价格可以用基础资产的远期价格表示。我们根据基础远期合约的投资组合，计算二次套期保值f或扩张期权的线性方程组。1.简介差价期权是一种风险管理工具，在能源市场上广泛交易。例如，燃气发电厂的所有者依靠电力和煤气价格之间的差价生活，可能会采用所谓的火花差价选项来管理相对于天然气的不合理低电价风险。收费协议和虚拟发电厂（VPP）是与差价期权密切相关的其他类别的衍生工具，因为它们可以在现货价格上表示为一系列分散期权。虽然能源市场上的大多数差价期权都是tradedOTC，但纽约商品交易所（NYMEX）仍存在一些基于成品油之间价格差异的交易所交易spre ad期权。电力和天然气的现货价格动态非常复杂，需要复杂的随机模型。

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可人4

2022-5-6 22:46:42

价格具有明显的季节性特征，而且随着时间的推移，价格波动通常比传统金融市场波动更大。天气因素在价格决定中起着关键作用，供应和/或需求的突然失衡可能会导致价格大幅飙升。我们参考Benth、ˇSaltyt˙e Benth和Ko e kebakker[6]、e ydeland和Wolynieck[15]以及Geman[17]对能源市场的广泛介绍和现货价格的随机建模。Barndor Off-Niels-en、Benth和Veraart[3]认为德国电力市场EEX中去季节化现货价格的平稳性。此外，他们还发现，L’evy半平稳（LSS）过程提供了一类灵活的模型，无法适用于此类spo t价格序列。LSS过程可以有效地解释平稳性、随机波动性和峰值，适用于能源市场。这些过程包括许多传统使用的模型，例如简单的高斯Orns-tein-Uhlenbeck过程。连续时间自回归移动平均过程是一类特殊的LSS过程，已成功地用于电价建模（见B ernhard、Kl–uppelberg和Meyer Brandis[7]）。在本文中，我们考虑了能源市场中的差价期权定价问题，其中标的资产的价格动态被给出为一个二变量波动率调制的Volterra（VMV）过程。VMV过程是LSS过程的推广，值得注意的是，VMV过程（以及LSS过程）一般不是半鞅。日期：2021 07月30日。关键词和短语。

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mingdashike22

2022-5-6 22:46:45

差价期权；衡量变化；L′evy半平稳过程；挥发性mo-dul-atedVolterra过程；二次套期保值；能源市场。作者感谢挪威研究委员会资助的“电力市场天气风险管理（MAWREM）”项目的财政支持。2 BENTH和Zdanowicz我们应用了一种测量技术的变化，以便将计算两种能量之间的价格的问题转化为计算一种资产的价格。这是一种众所周知的方法（关于二元几何布朗运动，见Carmona和Durrleman[8]），它是为Eberlein、Papapantoleon和Shiryaev[13,14]开发的一类相当一般的半鞅过程而开发的。我们将此方法扩展到VMV进程的情况，并将其与傅里叶方法相结合，以将差价期权价格表示为一元看涨期权支付函数的傅里叶变换和二元VMV过程的L’e vy特征的积分（有关衍生品定价中傅里叶方法的详细介绍和分析，请参见Carr和Madan[9]以及Eberlein、Glau和Papapantoleon[12]）。我们注意到，虽然LSS过程可能是能源市场模型中最相关的情况，但在我们的分析中，扩展到VMV过程并不需要数学成本，这就是为什么我们考虑这一类。在我们的背景下，能源现货价差期权的价格可以用现货远期价格的累积误差来表示。我们应用这种联系来推导利差期权的二次套期保值策略，也就是说，各远期合约中的套期保值组合将二次套期保值误差最小化。我们的结果如下。下一节将介绍一个用于现货价格动态的二元VMV模型。

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大多数88

2022-5-6 22:46:48

第3节推导了价差期权价格，第4.2节分析了二次he-dging问题。现货动态的二元波动率调制Volterra过程设L=（U，V）是定义在完全概率空间上的二元（双边）L′evy过程(Ohm, F、 P）配备过滤{Ft}t∈(-∞,eT]。这里，eT<∞ 是有关能源市场的特定时间范围。我们选择使用RCLL版本的L，也就是说，L是左极限的右连续。L的累积量函数被定义为（2.1）ψ（x，y）=lne[exp（ixU（1）+iyV（1）），通过L′evy-Khintchin表示，ψ（x，y）=ixγ+iyγ-cx+2ρccxy+cy（2.2）+ZRexp（ixz+iyz）- 1.- （ixz+iyz）1 |（z，z）|≤1.l（dz，dz）。这里，γ，γ∈ R是漂移核心效率，c，c∈ R+，与L’e vy过程的布朗成分相关的方差，ρ∈ (-1，1）布朗分量的相关系数，以及l（dz，dz）是L的L′evy度量。让ψU（x）和ψV（x）分别表示边缘U和V的累积量。它包含ψU（x）=ψ（x，0）和ψV（x）=ψ（0，x）。介绍两种波动率调制Volterra（VMV）过程ESX（t）=Zt-∞g（t，s）σ（s）-) dU（s），（2.3）Y（t）=Zt-∞h（t，s）η（s）-) dV（s），（2.4），其中g和h是定义在(-∞,eT]。假设随机波动过程σ、η为Ft适应的RCLL过程，两者均与L无关。

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kedemingshi

2022-5-6 22:46:52

为了使（2.3）和（2.4）中的随机积分有意义，我们假设（2.5）EZt-∞g（t，s）σ（s）ds< ∞ , EZt-∞h（t，s）η（s）ds< ∞ ,尽管如此，t≤eT。我们假设S（t）和S（t）表示两种能源（电力和天然气，S ay）的S价格动态，定义为对数尺度的ln S（t）=ln∧（t）+X（t），（2.6）价差期权和波动率调制的VOLTERRA过程3ln S（t）=ln∧（t）+Y（t）。（2.7）这里，∧i（t）>0表示i=1，2是确定的和可测量的函数，模拟了现货价格的平均水平。请注意，在衍生产品定价的背景下，只考虑正时间t的现货价格是很自然的。在研究价差期权价格时，我们确实关注的是Si（t）对t的影响≥ 0，i=1，2。因此，有必要将∧i，i=1，2指定为t的倍数≥ 只有0。我们注意到，我们可以定义g（t，s）=bg（t，s）1（0≤ s≤ t）将进程ss X限制为正数乘以t≥ 0.我们强调，在定义VMV流程时，首先要定义随机积分-∞ 对平稳随机动力学开放，这与能源和更一般的大宗商品市场高度相关（参见B Enh等人[5]和巴恩多夫-尼尔森等人[3]）。例如，如果我们让σ=η=1，g（t，s）=eg（t- s），h（t，s）=eh（t- s）对于functionseg，呃：R+→ 如果是平方可积的，那么X和Y是平稳过程，因为它们的循环与时间t无关。如果我们进一步考虑平稳的随机波动过程σ和η，那么（2.3）和（2.4）中的X和Y被称为L’evy半平稳（LSS）过程。例如，让g（t- s） =exp(-α（t）- s）对于常数α>0，我们得到了L′evy驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的静态解。

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何人来此

2022-5-6 22:46:55

换句话说，X（t）是随机微分方程dx（t）=-αX（t）dt+dU（t）。Ornstein-Uhlenbeck过程经常用于天然气和电力等能源价格的因素模型（见Benth等人[6]）。在巴恩多夫-尼尔森、本思和维拉特[3]中，提出了LSS过程来模拟电力现货价格，并根据德国E-EX市场的数据进行了实证研究。另一类流行的模型是连续时间自回归滑动平均（CARMA）过程。这些数据已应用于多个电价研究中，见Bernhard等人[7]和Benth等人[5]。CARMA（p，q）-对于p>q为自然数的过程，定义如下。让b∈ Rpbe a向量b*= （b，b，…，bq）-1, 1, 0, . . . , 0）第一个q元素为非零，元素q+1等于一，其余坐标为零。这里是b*b.T.载体的转移是ek吗∈ 自然数≤ p是Rp中的kTh标准单位向量。进一步，定义矩阵A∈ Rp×pto-beA=0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 00 0 0 · · · 1...............-美联社-美联社-1.-美联社-2···-A.,其中i=1时ai>0，p、通过选择g（t，s）=b*exp（A（t）- s））ep，我们说（2.3）中的X是一个波动性调制的CARMA（p，q）-过程。我们注意到X可以表示为X（t）=b*Z（t），w在这里Z（t）∈ Rp是Ornstein-Uhlenbeck过程的定态解dz（t）=AZ（t）dt+epσ（t）-) 杜（t）。一类特殊的CARMA过程是连续时间自回归过程，它是通过选择q=0得到的，并用CAR（p）表示。这种情况对应于选择b=e。Barndor ff Nielsen和Shephard（BNS）模型提供了随机波动过程σ和ηa的典型选择。

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mingdashike22

2022-5-6 22:46:59

这里，σ（t）和η（t）被定义为从属驱动的奥尔斯坦-乌伦贝克过程的定常解，即仅具有正扰动和非负漂移的L’evy过程。这确保了正方差过程。关于这类随机波动率模型的综合分析，我们参考了Barndor Off Nielsen和Shepha rd[2]。顺便注意，Benth[4]在指数Ornstein-Uhlenbeckprocess中应用BNS模型来模拟英国ga s sp ot价格的动态。作为（2.3）和（2.4）中VMV模型X和Y的最后说明，我们通过简单地选择L为无变量布朗运动（可能相关）来恢复高斯过程。此外，通过让挥发率恒定为4 BENTH和Zdanowicz，并适当选择g和h，我们可以考虑高斯过程，包括分馏布朗运动（见Alos等人[1]）。我们假设现货模型是在定价测度下直接定义的，即P被假定为定价测度。从实际角度来看，首先在客观市场概率下指定现货的动态，然后改变度量以纳入风险的市场价格。风险的市场价格是对市场中的风险溢价进行建模的。我们请Barndor Off-Nielsen等人[3]讨论一类埃舍尔式的测量变化，这类变化很容易扩展到VMV过程。由于这类度量保留了模型的VMV结构，我们避免引入它，以将符号保持在最小值。3.能源现货差价期权的定价Let us继续基于（2.6）-（2.7）中的双变量现货价格模型对差价期权进行定价。为此，让0<T≤eT是展板S（t）上欧式看涨期权的行使时间- kS（t），其中k>0是热耗率，而冲击为零。

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何人来此

2022-5-6 22:47:03

因此，期权的收益为（S（T）- kS（T））+，这里我们使用符号（x）+=max（x，0）。时间t的无套利价格≤ 该选项的T为（3.1）C（T，T）=e-r（T）-t） Eh（S（t）- kS（T））+|Fti，其中r>0是无风险利率。为了明确（3.1）中的预期，我们假设价格过程是可积的，也就是说，它们有明确的预期。显然，因为max（x，0）≤ |x |，我们发现（S（T）- kS（T））+i≤ E[|S（T）- kS（T）|]≤ E[S（T）]+kE[S（T）]<∞ .但是，如果X（T）和Y（T）有有限的指数矩，则Si（T），i=1，2是可积的。为了保证这一点，我们引入以下指数可积条件：对于任何0≤ T≤eT，（3.2）E“expZT-∞ψU(-ig（T，s）σ（s））ds！#∞ , E“expZT-∞ψV(-ih（T，s）η（s））ds！#∞ .我们认为（3.2）从现在起成立。我们接下来的目标是导出价格C（t，t）的一个数值可处理的解析表达式。我们可以方便地通过傅立叶方法实现这一点。在Folland[16]之后，函数g的傅里叶变换∈ L（R）定义为（3.3）bg（y）=ZRg（x）e-ixydx。介绍函数（3.4）fc，T（x）：=e-cx前任- k∧（T）∧（T）+.很容易看出fc，T∈ L（R）表示任何c>0。因此，它的傅里叶变换存在，并在下一个引理中显式计算：引理1。对于任何c>1，fc的傅里叶变换由bfc，T（y）=（c+iy）（c+iy）给出- 1)k∧（T）∧（T）-C-iy+1。此外，bfc，T∈ 任意p的Lp（R）≥ 1.差价期权和波动性调制VOLTERRA过程。推导过程与Carr和Madan[9]中的步骤相同，但为了方便读者，我们将其包括在内。为了简单起见，表示A:=k∧（T）∧（T）。

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能者818

2022-5-6 22:47:07

根据傅里叶变换的定义，我们发现bfc，T（y）=Z∞-∞E-cx（前- A） +e-ixydx=Z∞艾未未-cx+x-ixydx- 阿兹∞艾未未-cx-ixydx=C- 1+iy-c+iyA.-c+1-哎呀。此外，as | bfc，T（y）|p~ 1/（k+y）pf对于某些严格正常数k和p≥ 1，Fbc的可积性，t R如下。我们从Fourier分析（见Folla and[16]）中得知，如果函数的Fourier变换形式是可积的，bg∈ L（R），则逆傅里叶变换允许积分表示（3.5）g（x）=2πZRbg（y）eixydy。Asbfc，T∈ L（R），我们可以应用傅里叶逆变换来获得表示（3.6）前任- k∧（T）∧（T）+=2πZRbfc，T（y）eix（y）-ic）dy。利用这一点，我们得出以下价差期权的价格。提议3.1。对于给定的常数c>1，假设E“expZT-∞ψ(-icg（T，s）σ（s），-i（1）- c） h（T，s）η（s））ds！#∞ .然后，价差期权价格C（t，t）为0≤ T≤ （3.1）中定义的T是，C（T，T）=e-r（T）-t） ∧（t）2π×ZRbfc，t（y）e（iy+c）Rt-∞g（T，s）σ（s）-) dU（s）+（1）-（iy+c）Rt-∞h（T，s）η（s）-) dV（s）ψc，t，t（y）dy，其中ψc，t，t（y）=E“expZTtψ（（y- ic）g（T，s）σ（s），（（c）- 1）我- y） h（T，s）η（s））ds！英尺#。这里，bfc的定义见（3.6）。证据设Gt，Tbe由s的σ（s）和η（s）的路径生成≤ T和Ft。

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kedemingshi

2022-5-6 22:47:11

然后，利用σ、η和L的独立性，它通过条件期望的塔性质Eh（S（T）成立- kS（T））+|Fti=E∧（T）eX（T）- k∧（T）eY（T）+英尺= ∧（T）E“eY（T）行政主任（T）-Y（T）- k∧（T）∧（T）+Ft#=∧（T）E“E”eY（T）行政主任（T）-Y（T）- k∧（T）∧（T）+Gt，T#英尺#。我们专注于内在的期望，并且观察到只要我们在Gt，T上设置条件，我们就可以按路径处理σ（s）和η（s），从而查看g（T，s）σ（s）-) 和h（t，s）η（s-) 作为定义X和Y的积分中的确定函数。6 BENTH和Zdanowicz定义了t的随机过程R（t）≤ TR（t）=expZt-∞h（T，s）η（s）dV（s）-Zt-∞ψV(-ih（T，s）η（s））ds.注意，通过双重条件作用和Jensen不等式，我们从V thatE的独立增量性质中发现经验Zt-∞h（T，s）η（s）dV（s）≤ E“expZT-∞h（T，s）η（s）dV（s）#对于t≤ T因此，根据（3.2）中的指数可积性假设，R（t）成为可积过程。设Z（t）=R（t）/R（0），它成为一个期望值为1的可积鞅≤ T≤ T我们引入了密度过程Z的概率测度Q，即dQdPGt，T=Z（T）。此外，观察它们（T）=R（0）Z（T）eRT-∞ψV(-ih（T，s）η（s））ds。因此，两次将条件期望公式（见Karatzas和Shre ve[18]）与Gt，T-可测性η（s），s一起应用Bayes’s≤ T，E“eY（T）行政主任（T）-Y（T）- k∧（T）∧（T）+Gt，T#=eRT-∞ψV(-η（s）η（T）式行政主任（T）-Y（T）- k∧（T）∧（T）+Gt，T#=eRT-∞ψV(-ih（T，s）η（s））dsR（0）Z（T）2πZRbfc，T（y）EQhei（y）-ic）（X（T）-Y（T））Gt，Tidy=2πZRbfc，T（y）EheY（T）ei（y）-ic）（X（T）-Y（T））Gt，整洁。对于两个常数a和b（可能是复数），我们发现（假设所涉及的过程是可积的）heax（T）+bY（T）| Gt，Ti=eaRt-∞g（T，s）σ（s）dU（s）+bRt-∞h（T，s）η（s）dV（s）×EheaRTtg（T，s）σ（s）dU（s）+bRTth（T，s）η（s）V（s）| Gt，Ti。这里，我们应用了U（s），V（s）的Gt，T-可测性≤ T

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kedemingshi

2022-5-6 22:47:14

因为U（s）和V（s）的增量与Gt、TF或s无关∈ [t，t]，我们通过（t）| Gt，Ti=eaRt得到heax（t）+-∞g（T，s）σ（s）dU（s）+bRt-∞h（T，s）η（s）dV（s）×eRTtψ(-iag（T，s）σ（s），-ibh（T，s）η（s））ds。让a=iy+c和b=1- （iy+c）根据过程X和Y的假定指数积分能力条件得出结果。Carmona和Durrleman[8]提出了将概率测度改变为价差期权的技巧，正如我们在上面的证明中所应用的那样，这是因为基础过程是由二元几何布朗运动建模的。在这里，我们将该方法扩展到价差期权中基础资产的一般VMV过程。值得注意的是，在几何布朗运动的情况下，正态性得以保持，人们可以计算价差期权价格，而无需借助涉及傅里叶变换的积分表达式。在我们更一般的语境中，根据驱动过程x和Y的特征来表示一个C（t，x）更自然，这自然有助于傅里叶方法的应用。正如我们从上面的证明中回忆的那样，我们应用了两次度量的变化，然后回到最终定价表达式中的原始概率价差期权和波动率调制VOLTERRA过程7P。因此，我们不需要知道X的特征，而需要一个新的概率来推导价格C（t，X）。请注意，选项在时间t时优先≤ T显式依赖于rt-∞g（T，s）σ（s）dU（s）和rt-∞h（T，s）η（s）dV（s），与X（T）和Y（T）不同，T=T时除外。如果我们考虑OU过程的特殊情况，那么g（t）- s） =exp(-α（t）- s），我们发现-∞E-α（T）-s） σ（s）dU（s）=e-α（T）-t） Zt-∞E-α（t）-s） σ（s）dU（s）=e-α（T）-t） X（t）。因此，只要g是OU进程的核函数，我们在C（t，t）中就有一个明确的依赖关系。

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kedemingshi

2022-5-6 22:47:17

事实证明，在一般情况下，我们可以-∞g（T，s）σ（s）dU（s）和rt-∞h（T，s）η（s）dV（s）为即期远期价格。为此，用fi（t，t）表示交付现货的合同的远期价格≤ T和i=1，2。通过定义无套利远期价格（见Duffee[11]和Benth等人[6]），（3.7）fi（t，t）=e[Si（t）| Ft]，i=1，2，这与Si（t）定义一致∈ 根据条件（3.2）确定L（P）。我们发现：提案3.2。它认为f（t，t）=∧（t）expZt-∞g（T，s）σ（s）-) 杜(s)E“expZTtψU(-ig（T，s）σ（s））ds！|Ft#and f（t，t）=∧（t）expZt-∞h（T，s）η（s）-) dV（s）E“expZTtψV(-ih（T，s）η（s））ds！|Ft#代表t≤ T证据根据指数可积条件（3.2），Si（T）∈ L（P）a和应用于Si（T）的expectation操作符是有意义的。在不丧失一般性的情况下，我们只证明了i=1的结果。回想一下（2.6）中对S（t）的定义，即S（t）=∧（t）exp（X（t）），其中X（t）=ZT-∞g（T，s）σ（s）-) dU（s）=Zt-∞g（T，s）σ（s）-) dU（s）+ZTtg（T，s）σ（s）-) 杜（s）。因为X（T）分解中的第一项是Ft自适应的，所以我们有f（T，T）=∧（T）expZt-∞g（T，s）σ（s）-) 杜(s)E“expZTtg（T，s）σ（s-) 杜（s）！|英尺#。根据条件期望塔定律，E“expZTtg（T，s）σ（s-) 杜（s）！|Ft#=E“E”expZTtg（T，s）σ（s）-) 杜（s）！|Gt，T#| Ft#=E“expZTtψU(-ig（T，s）σ（s））ds！|Ft#，其中Gt在道具证明中定义。3.1. 在上面的论证中，我们应用了σ（s）是Gt，t对于s是可测量的∈ [t，t]和U的累积量函数的定义，以及L’evy过程的独立增量性质。这一命题如下。

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能者818

2022-5-6 22:47:20

根据这一提议，我们可以将期权价格重新表示为远期的函数，即（3.8）C（t，t）=eC（t，t，f（t，t），f（t，t）），8 BENTH和Zdanowicz，其中，对于xi>0，i=1，2，eC（t，t，x，x）=e-r（T）-t） ∧（t）2πZRbfc，t（y）exp（iy+c）lnx∧（T）- lnψU（t，t）×exp(1 - （iy+c）lnx∧（T）- lnψV（t，t）ψc，t，t（y）dy，（3.9）和ψU（t，t）=E“expZTtψU(-ig（T，s）σ（s））ds！|Ft#ψV（t，t）=E“expZTtψV(-ih（T，s）η（s））ds！|英尺#。注意，我们有相当复杂的项ψi（t，t），ψc，t，t（y），涉及随机波动过程σ（s）和η（s）泛函的条件期望。在下一节中，我们将利用对远期的依赖来推导期权的对冲策略。在L=（B，W）是双变量布朗运动且波动率σ和η是确定性的情况下，我们恢复了Mar-grabe公式的推广。显然，在失去一般性的情况下，我们可以在确定性波动函数的情况下，假设tσ（s）=η（s）=1，因为我们可以通过eg（t，s）=g（t，s）σ（s）和h（t，s）=h（t，s）η（s）重新定义核函数g和h。我们进一步假设B和W由ρ关联∈ (-1, 1). 那么ψ（x，y）=-（x+2ρxy+y）。因此，lnψc，T（y）=-（y）- ic）ZTtg（T，s）ds+2ρ（y）- (c)(c)- 1）我- y） ZTtg（T，s）h（T，s）ds+（（c）- 1）我- y） ZTth（T，s）ds！，和lnψU（t，t）=ZTtg（t，s）ds，lnψV（t，t）=ZTth（t，s）ds。我们从傅里叶变换及其逆变换中回忆起，如果Z是一个具有特征函数ψZ的随机变量，则。

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nandehutu2022

2022-5-6 22:47:24

Folland[16]，（3.10）ZR^fc，T（y）ψZ（y）dy=2πE[fc，T（Z）]。设Z为正态分布，方差∑（t，t）g为（3.11）∑（t，t）：=ZTtg（T，s）- 2ρg（T，s）h（T，s）+h（T，s）d平均值u为u：=lnxx+ln∧（T）∧（T）+（c-)∑（t，t）。收集（3.9）当量秒（t，t，x，x）=e中的适当术语-r（T）-t） ∧（t）2πeαZR^fc，t（y）ψZ（y）dy=e-r（T）-t） ∧（t）eαe[fc，t（Z）]，其中α：=lnx∧（t）+c lnxx+c ln∧（t）∧（t）+c- 1） ∑（t，t）。价差期权和波动率调制的VOLTERRA过程9，但直接计算fc，T（Z）的预期值会得到结果（经过代数运算）（3.12）eC（T，T，x，x）=e-r（T）-t） {xN（d（t，t））- kxN（d（t，t））}，其中N（d）是累积标准正态概率分布函数，d（t，t）=d（t，t）+∑（t，t）和（3.13）d（t，t）=lnxx- ln k-∑（t，t）∑（t，t）和∑（t，t）在（3.11）中定义。毫不奇怪，我们回到了马尔格拉布公式（见Margrabe[19]），它扩展到了高斯-沃尔特拉过程。我们注意到，在随机波动过程σ和η独立于高斯过程L=（B，W）的情况下，我们可以应用条件来获得定价表达式，（3.14）eC（t，t，x，x）=e-r（T）-t） {xE[N（d（t，t））]- kxE[N（d（t，t））]}，其中（3.11）中的∑（t，t）成为定义为（3.15）∑（t，t）：=ZTt的随机变量g（T，s）σ（s）- 2ρg（T，s）h（T，s）σ（s）η（s）+h（T，s）η（s）ds。对于给定的随机波动率模型，在实践中必须采用蒙特卡罗方法进行预测。在这种情况下，回到原始傅里叶表达式可能更有效。4.远期市场中的二次套期保值在这一部分中，我们利用扩散期权价格C（t，t）中对远期价格f（t，t），f（t，t）的函数依赖性来研究套期保值问题。

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何人来此

2022-5-6 22:47:27

为了大大简化问题，我们将注意力集中在非随机波动率的情况，也就是说，我们假设σ（t）≡ σ和η（t）≡ η表示两个正常数σ和η。显然，通过缩放核函数g和h，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设σ=η=1。因此，从道具。3.2，我们发现以下写在Si上的远期价格，i=1，t为2≤ T，f（T，T）=∧（T）expZt-∞g（T，s）dU（s）+ZTtψU(-ig（T，s））ds！andf（t，t）=∧（t）expZt-∞h（T，s）dV（s）+ZTtψV(-ih（T，s））ds！。远期价格动态是鞅，通过直接应用跳跃过程的It^o公式（参见Oksendal和Sulem[20]），我们得到了以下结果：df（t，t）f（t-, T）=cg（T，s）dW（T）+ZRezg（T，T）- 1.eN（dz，dz，dt），df（t，t）f（t-, T）=ch（T，T）dW（T）+ZRezh（T，T）- 1.eN（dz，dz，dt）。这里，eN（dz，dz，dt）是L=（U，V）的补偿泊松随机测度，并且是L=（U，V）的L′evy-Kintchine表示中的两个布朗运动，它们通过ρ相关。我们寻求找到一个由远期和银行账户组成的自我融资投资组合，以使对冲误差最小化。套期保值误差以套期保值投资组合和差价期权支付之间预期的二次距离为单位进行测量。这就是所谓的二次he-dge（见Cont和Tankov[10]）。用（φ，φ，φ）表示投资策略，其中φ（t）是时间t时银行中产生无风险利率r的金额，φi（t）是时间t时远期fi（t，t）的位置，i=1，2。我们认为t 7→ （φ（t），φ（t），φ（t））是Ft自适应的。由于远期交易是无成本的（无论是短期还是长期），在时间t时，该投资组合的价值表示为V（t），即在时间t时银行持有的BENTH和Zdanowicz的金额。另一方面，假设一个自我融资的投资组合，投资组合价值的变化将取决于远期价格的变化。

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kedemingshi

2022-5-6 22:47:31

贴现投资组合价值，bV（t）=exp(-rt）V（t）是一个鞅，它将满足动力学（4.1）dbV（t）=φ（t）e-rtdf（t，t）+φ（t）e-rtdf（t，t），由自筹资金的hy pothesis提供。我们假设V（0）=bV（0）=C（0，T），并将hedging误差定义为（4.2）（φ，φ）：=bV（T）-bC（T，T），其中bC（T，T）=exp(-rt）C（t，t）。我们的目标是找到一种最小化误差的策略，即找到φ，φ，使E[（φ，φ）]最小化。这一策略在下一个提案n：提案4.1中衍生。介绍矩阵A（t）∈ R2×2，元素aij（t），i，j=1，2定义为asa（t）=e-rtf（t，t）c+ZR（ezg（t，t）- 1)l（dz，dz）a（t）=a（t）=e-rtf（t，t）f（t，t）ρcc+ZR（ezg（t，t）- 1）（ezh（t，t）- 1) l（dz，dz）a（t）=e-rtf（t，t）c+ZR（ezh（t，t）- 1)l（dz，dz）.此外，设b（t）∈ 用元素sb（t）表示向量=公元前f（t，t，f（t，t），f（t，t））f（t，t）c+ρcc公元前f（t，t，f（t，t），f（t，t））f（t，t）f（t，t）+ZRnbC（t，f（t，t）（1+z），f（t，t）（1+z））-bC（t，t，f（t，t），f（t，t））-Xi=1zi公元前fi（t，t，f（t，t），f（t，t）））f（t，t）（ezg（t，t）- 1) l（dz，dz），b（t）=公元前f（t，t，f（t，t），f（t，t））f（t，t）c+ρcc公元前f（t，t，f（t，t），f（t，t））f（t，t）f（t，t）+ZRnbC（t，f（t，t）（1+z），f（t，t）（1+z））-bC（t，t，f（t，t），f（t，t））-Xi=1zi公元前fi（t，t，f（t，t），f（t，t）））f（t，t）（ezh（t，t）- 1) l（dz，dz）。假设A（t）对于每个t都是可逆的≤ T然后二次套期保值策略φ（t）=（φ（t），φ（t））*是A（t）φ（t）=b（t）的唯一解。证据

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可人4

2022-5-6 22:47:34

从（4.1）中对bV（t）的定义可以看出，bV（t）=V（0）+ZTφ（t）e-rtdf（t，t）+ZTφ（t）e-rtdf（t，t）=V（0）+ZTφ（t）e-rtf（t，t）cdW（t）+ZTφ（t）e-rtf（t，t）cdW（t）+ZTZRφ（t）e-rtf（t-, （T）ezg（T，T）- 1.eN（dz，dz，dt）价差期权与波动率调制VOLTERRA过程11+ZTZRφ（t）e-rtf（t-, （T）ezh（T，T）- 1.eN（dz，dz，dt）。接下来，我们在鞅过程t7上应用It^o公式→bC（t，t）：=bC（t，t，f（t，t），f（t，t）），t≤ 我们强调了y对期权价格中f（T，T）和f（T，T）的明确依赖性（回顾（3.9））。

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