基于外部风险不完全市场的均值-方差套期保值

2022-5-7 00:05:34

基于非高斯OU过程外部风险因素不完全市场的均值-方差套期保值南京大学新软件技术国家重点实验室数学系Daiwang，南京210093，中国电子邮件：nan5lu8@netra.nju.edu.cnSubmitted：2014年9月29日修订：2015年3月11日摘要本文证明了未定权益套期保值策略的全局风险最优性，该策略是针对外部风险因子为非高斯Ornstein-Uhlenbeck（NGOU）过程的不完备金融市场显式（或半显式）构造的。通过分析和数值算例说明了优化策略的有效性。我们的研究通过证明必要条件，建立了我们的金融体系与现有基于一般半鞅的讨论之间的联系。更准确地说，这涉及三个步骤。首先，我们确凿地证明，对于我们的金融市场，无套利条件是真实的，这在现有的讨论中被用作一个假设。在此过程中，我们明确地构造了方差最优鞅测度（VOMM）的平方可积密度过程。其次，我们对给定未定权益的均值过程进行了带跳的倒向随机微分方程（BSDE）推导。在适当的终端条件下，包括欧式看涨期权和Puta期权的特例，证明了BSDE的自适应强解的唯一存在性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-7 00:05:37

第三，通过结合BSDE和VOMM的解决方案，我们研究了套期保值策略的全局风险优化的合理性。关键词：均值-方差套期保值，全局风险最小化，非高斯OrnsteinUhlenbeck过程，广义Black-Scholes模型，方差-最优鞅测度，带跳跃的倒向随机微分方程，积分-偏微分方程1引言本文证明了未定权益套期保值策略的全局风险最优性，这是为不完全市场明确构建的，该市场定义在一些过滤概率空间上(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）。金融市场有d+1原始资产：一种固定利率债券和d-r风险资产。部分结果描述了资产的价格过程，并在2012年春季世界工程与技术大会上简要总结和报告了图表。这是一份简短会议报告的期刊版，附有扩展和完整的结果证明。国家自然科学基金项目10971249、11371010资助。广义Black-Scholes模型，其系数由杠杆效应等引起的市场机制驱动。金融市场模型包括Barndor ff-Nielsen和Shephard[3]提出的Barndor ff-Nielsen&Shephard（BNS）波动模型，以及Benth等人[4]、Benth和Meyer Brandis[5]、Lindberg[36]等的进一步研究。我们的模型与德隆和克鲁佩尔伯格[17]中考虑的模型密切相关。正如巴恩多夫-尼尔森和谢泼德[3]所指出的，这些模型非常符合真实市场数据。然而，此类模型也会导致金融市场的不完全性，这意味着不可能完全复制基于债券和预期风险资产的未定权益。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:05:42

设计一个好的套期保值策略的一个规则是，在所有合理的交易策略过程的集合中，最小化均方套期保值误差∈ΘE（v+（u·D）（T）- H）,（1.1）其中H是代表索赔贴现支付的随机变量，D是D风险资产的贴现价格过程，v是初始捐赠，T是时间范围。从数学上讲，我们试图计算H的正交投影- 冯：随机积分的空间。为了解决均值-方差套期保值问题（1.1），我们明确构建了金融市场的交易策略，并通过使用以下程序证明其为全球风险最小化套期保值策略。首先，我们明确地构造了方差最优鞅测度（VOMM）q的s q uare可积密度过程*. 因此，具有平方可积密度的等价（局部）鞅测度集，即Ue（D）≡Q~ P:dQdP∈ L（P），D是Q-局部鞅（1.2）是非空的。因此，我们的市场是无套利的（例如，Delbaen和Schachermayer[16]）。其次，我们为期权H的均值过程（即EQ*[H|Ft]）。在适当的终端条件下，将欧式看涨期权和看跌期权作为特例，证明了BSDE自适应解的唯一存在性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:05:46

第三，通过结合BSDE和VOMM的解决方案，我们得到了我们市场的最优套期保值策略。基于BSDE和VOMM的程序是解决均值-方差套期保值问题的两种典型方法的混合方法：源自Harrison和Kreps[24]的鞅方法，以及将问题视为线性二次控制问题并使用BSDE描述解决方案的随机控制方法（例如，见Yong和Zhou）。这个过程是为Cerny和Kallsen[7]中的一般半鞅构造的，并在Dai[12]中明确（或半明确）地介绍了当前市场。Jeanblanc等人[31]也进行了一些相关和独立的研究。更准确地说，我们有以下文献综述和技术比较。Follmerand Sondermann[20]在完全信息下首次提出了一个密切相关的（局部）风险最小化问题，他还通过扩展Harr ison和Kreps[24]的鞅方法，提出了一种在不完全市场中计算最小化策略的方法。该方法的基本思想是根据条件均方误差过程引入风险度量，其中折扣价格过程是平方可积鞅。此外，Hedging问题的答案由索赔的Galtchouk Kunita Watanabe分解提供。然后，f¨ollmer和Schweizer[21]和Schweizer[45,46]将局部风险最小化的概念进一步推广到半鞅情形，其中最小鞅测度e和f¨ollmer-Schweizer（f-S）分解起着核心作用。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:05:49

感兴趣的读者可参考F¨ollmer and Schweizer[22]，Schweizer[48]了解关于（局部）风险最小化和均值方差对冲的最新调查。由于人们关心的是总套期保值误差，而不是每日利润损失率，因此考虑了（1.1）中所述的无条件预期平方套期保值误差的全局风险最小化解决方案（例如，Pham[40]和Schweizer[48]中的调查）。因此，Cernyand Kallsen[7]进一步发展了关于全球风险最小化的研究，他表明套期保值模型（1.1）在一类非常普遍的无套利半鞅市场中允许一个解决方案，其中局部风险最小化可能无法很好地定义。他们方法的关键点是引入机会中性测度P*这使得动态资产配置问题变成了一个短视的问题。此外，还讨论了与P有关的最小鞅测度*与相对于原始概率测度P的方差最优鞅测度一致。最近，为了克服Cerny和Kallsen[7]中出现的困难（即定义3.12中出现的过程N非常难找到，VOMM Q*在第3.13项中，众所周知，很难确定），Jeanblanc等人[31]的作者通过随机控制和后向随机微分方程（BSDE）开发了一种方法，来处理一般半鞅的均值-方差对冲问题。此外，Kallsen和Vierthauer[33]的作者通过应用一般结构结果和拉普拉斯变换技术，导出了最优套期保值策略和最小套期保值误差的半显式公式。除了这些工作之外，关于均值-方差套期保值问题的一般理论和具体设置的一些相关研究可以在Arai[2]，Chan等人中找到。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-7 00:05:53

[9] ，杜菲安和理查森[18]，古列鲁等人[23]，希思等人[25]，洛朗和范[37]，以及其中的参考文献。与上述研究相比，我们目前的研究贡献是三倍的。首先，我们确凿地证明了我们的金融市场的无套利条件是正确的，即（1.2）中定义的集合是非空的。该条件被用作现有讨论中VOMM存在的假设（例如Arai[2]，Cern\'y and Kallsen[7]，Chan等人[9]，Jeanblanc等人[31]，Kallsen and Vierthauer[33]）。在这样做时，我们通过Cerny和d Kallsen[7]中给出的一般结构来确定其显式密度，从而显式（或半显式）构造了一个度量。然后，通过证明Cerny和Kallsen[8]中给出的等价条件，我们证明它是我们市场模型的VOMM。第二，在应用ourVOMM获得最优套期保值策略时，我们推导了期权H的均值过程的带跳BSDE。这里，我们取消了未定权益有界的要求（例如Heath and Schweizer[26]，Cern\'y and Kallsen[8]）或满足Lipschitz条件（例如Roch[42]，C han等人[9]），以保证相应的积分偏微分方程（IPDE）具有经典解或粘性解。此外，Jeanblanc等人[31]最近的研究证实，在某些条件下，我们导出的BSDE的适配解的唯一存在性，而对于构造的BSDE，适配解的存在性仅作为保证非最优策略存在的等价条件。更重要的是，我们的BSDE可以通过给定的终端选项H（参见，例如Dai[15]）开发相关的数值算法来解决。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-7 00:05:56

第三，从易于应用的角度来看，我们的讨论基于多元金融市场模型，这与现有研究（如Cern\'y和Kallsen[7]、C han等人[9]、Jeanblanc等人[31]、Kallsen和Vierthauer[33]）形成对比。因此，与Hubalek等人[27]和Kallsand Vierthauer[33]的研究不同，我们的选项H通常与多元终端函数有关，因此采用了BSDE相关的方法。实际上，能否将Hubalek et al.（27）和Kallsen and Vierthauer（33）开发的单变量终端函数的Laplacetransform相关方法推广到我们的一般多变量情况仍然是一个悬而未决的问题。请注意，我们在本文中的研究建立了金融系统与Cern\'y和Kallsen[7]中现有的基于一般半鞅的研究之间的联系，因为我们可以通过显式构造过程N和VOMM Q来克服Cern\'y和Kallsen[7]中的困难*如前所述。此外，我们在本文中的目标和讨论与Jeanblanc等人[31]最近的研究不同，因为Jeanblanc等人的研究是在。[31]的目的不是推导出任何具体的表达式。然而，感兴趣的读者可能会尝试扩展Jeanblanc等人[31]的研究，并将其应用于我们的金融市场模型，以构建相应的明确结果。最后，当（1.1）中的随机变量H被视为常数（例如，规定的预期收益）时，相关的套期保值问题通过一种替代的反馈控制方法简化为一个均值-方差组合选择问题。在这种情况下，可以通过Dai[10]中的反馈控制方法和本文中提出的鞅方法显式地获得最优策略。在后一种方法中，相关的BSDE是退化的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:05:59

从这个常数选项的例子中，我们可以构造两个有见地的例子来提供两种方法之间的有效比较。更准确地说，我们新构建的对冲策略可以略优于基于反馈控制的策略。然而，这两种方法的性能在一定意义上是一致的。论文的其余部分组织如下。我们在第2节阐述了我们的金融市场模型，并在第3节介绍了我们的主要定理。第4节给出了分析和数值样本。第5节证明了我们的主要定理。最后，在第6章，我们对本文进行了总结。金融市场。1.我们使用的模型(Ohm, F、 P）表示一个固定的完全概率空间，其上定义了一个标准的多维布朗运动W≡ {W（t），t∈ [0，T]}其中W（T）=（W（T）。。。，Wd（t）′与h维次从子L≡ {L（t），t∈ [0，T]}带L（T）≡ （L（t）。。。，Lh（t））\'和c`adl`AGA某些fix ed t的样本路径∈ [0, ∞ ) （例如，Applebaum[1]、Bertoin[6]和Sato[44]提供了关于从属关系和列维过程的更多细节）。素数表示矩阵或向量的相应传输。此外，矿石、W、L和它们的成分被认为是相互独立的。对于每个给定的λ=（λ，…λh）′>0，我们让L（λs）=（L（λs）。。。，Lh（λhs））′。然后，我们假设有一个过滤{Ft}T≥0与概率空间相关，其中Ft≡ σ{W（s），L（λs）：0≤ s≤ t} 每个t∈ [0，T]。考虑中的金融市场是一个多变量L’evy-d riven-OU型随机波动率模型，由d+1资产组成。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:03

d+1资产中有一项是无风险的，而S（t）服从常利率的普通微分方程（ODE）≥ 0，dS（t）=rS（t）dt，S（0）=S>0。（2.1）其他d资产是向量价格过程S（t）=（S（t）。。。，Sd（t））满足以下每个t的随机微分方程（SDE）∈ [0，T]，（dS（T）=diag（S（T-)){b（Y（t）-))dt+σ（Y（t-))dW（t）}，S（0）=S>0。（2.2）在这里和续集中，diag（v）表示d×d对角矩阵，其主对角线中的条目是vii∈ 对于d维向量v=（v，…，vd）′，所有其他项都为零。Y（t）是一个L′evy驱动的OU-type p过程，由以下公式描述（dY（t）=-∧Y（t）-)dt+dL（λt），Y（0）=Y，（2.3），其中∧=diag（λ）和Y=（Y，…，yh0）′。现在，德涅布（y）≡ （b（y）。。。，屋宇署（y）：Rhc→ [0, ∞)d、 σ（y）≡ （σmn（y））d×d:Rhc→ (0, ∞)dd，Rhc在哪里≡ （c），∞) × ... ×（ch，∞) 使用ci=yi0e-λ它。因此，我们可以对（2.2）-（2.3）中的系数施加以下条件：C1。函数b（y）和σ（y）在y中是连续的，并且满足，对于每个y∈ Rhc，kb（y）k≤ Ab+Bbkyk，（2.4）kσ（y）σ（y）′k≤ Aσ+Bσkyk，（2.5）σ（y）σ（y）′-1.≤bσkyk，（2.6），其中范数kAk取向量a的所有分量的最大绝对值或矩阵a的等熵，以及Ab≥ 0，Aσ≥ 0，Bb≥ 0，Bσ≥ 0，bσ>0是常数。C2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-7 00:06:07

衍生品b（y）伊兰（σ（y）σ（y）′）-1.尽管如此∈ {1，…，h}在y中是连续的，并且满足，对于每个y∈ Rhc，b（y）易≤“Ab+”Bbkyk（2.7）（σ（y）σ（y）′）-1.易≤\'Aσ+\'Bσkyk，（2.8），其中\'Ab，\'Aσ，\'bb和\'Bσ是一些非负常数。现在我们用Lii介绍每个从属项的条件∈ {1，…，h}，wh ich可以表示为（例如，Kallenberg[32]中的定理13.4和推论13.7]）Li（t）=Z（0，t]Zzi>0ziNi（ds，dzi），t≥ 0.（2.9）在这里和续集中，Ni（（0，t]×A）≡P0<s≤tIA(李)- 李（s）-)) 表示具有确定性时间均匀强度度量νi（dzi）ds的泊松随机度量。IA（·）是集合A上的指数函数。νi是满足Zzi>0的L’evy测度埃齐- 1.νi（dzi）<∞（2.10）取C为足够大的正常数，以保证本文中所有相关积分都有意义。注意，（2.10）中的条件是关于列维测度尾部的可积性（读者参考Dai（[10,11,12,13,14]），以证明其合理性）。2.2可容许策略首先，我们使用D（t）=（D（t）。。。，Dd（t））′表示相关的d维折扣价格过程，即每m∈ {1，…，d}，Dm（t）=Sm（t）S（t）=e-rtSm（t）。（2.11）此外，我们还定义了[0，T]，Rd，P是所有Rd值可测随机过程Z（t）的集合，适用于{Ft，t∈ [0，T]}使得EhRTkZ（T）kdti<∞. 因此，根据引理5.1，D（·）是一个连续的{Ft}-半鞅。此外，D（·）在LF（[0，T]，Rd，P）中是局部的，也就是说，有一个停止时间{σn}与n的局部序列∈ N≡{0, 1, 2, ...} 这样，对于任何n∈ N，sup{ED（τ）: 所有停止τ时间满足τ≤ σn}<∞.（2.12）其次，让L（D）表示J acod和Shiryaev[30]第207页定义6.17中的D-可积和可预测过程集。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:10

此外，让ui（t）表示投资于股票i的股份数量∈ 时间t和定义u（t）时的{1，…，d}≡ （u（t）。。。，ud（t））。然后，我们有以下关于可接受策略的定义。定义2.1如果Rd值交易策略y u是策略ZI（τ，τ）的线性组合，其中τ≤ τ是由σn控制的停止时间∈ Nand Z是一个有界Fτ可测随机变量。此外，所有这些简单阅读策略的集合用Θ（D）表示。定义2.2交易策略∈ 如果存在序列{un，n，则称L（D）为可容许序列∈ N}简单的策略，例如：（un·D）（t）→ 概率为n的（u·D）（t）→ ∞无论如何∈ [0，T]和（un·D）（T）→ （u·D）（T）在L（P）中作为n→ ∞ . 此外，所有这类可容许策略的集合用Θ（D）表示。3主要理论首先，对于每个y∈ Rhc，德涅布（y）≡ （b（y）- R屋宇署（y）- r） ′，（3.1）ρ（y）≡ B（y）\'σ（y）σ（y）′-1B（y），（3.2）P（t，y）≡ 艾特，他-RTtρ（Y（s））dsi>0，（3.3）O（t）≡ P（t，Y（t）），（3.4）a（t）≡ （diag（D（t）））-1.σ（Y（t）-))σ（Y（t）-))′-1B（t，Y（t-)),（3.5）^Z（t）≡O（t）E(-a·D）（t）O，O=O（0）。（3.6）注意，（3.5）中的过程a（·）与Cerny和Kallsen[7]引理3.7中定义的调整过程一致。此外，在（3.6）中提出的过程^Z（·）与Cerny和Kallsen[7]的命题3.13中定义的密度过程有关。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:15

此外，在这里和续集中，E（N）={E（N）（t），t∈ [0，T]}表示单变量连续半鞅N={N（T），T的随机指数∈ [0，T]}（例如，Protter[41]的第84-85页），其中e（N）（T）=expN（t）-[N，N]（t）（3.7）式中，[·，·]表示N的二次变化过程。设LF，p（[0，T]，Rd，p）表示所有Rd值可预测过程的集合（例如，参见池田和渡边[28]第21页的定义5.2），并设Lp（[0，T]，Rh，p）为所有Rh值可预测过程的集合Z（T，Z）=（Z（T，Z）。。。，~Zh（t，z））\'satisfyingE“hXi=1ZTZzi>0~Zi（t，z）νi（dzi）dt#<∞.进一步，让Z（t）≡^Z（t）-)^Z（t），（3.8）Bi（Y（t）-)) ≡dXj=1B（Y（t）-))′σ（Y（t）-))σ（Y（t）-))′-1.jσji（Y（t）-)),（3.9）F（t，zi）≡P（t，Y（t）-) + （齐伊）- P（t，Y（t）-))P（t，Y（t）-)),（3.10）式中，Ei是h维单位向量，其第i个分量为1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:19

然后，我们定义t、 V（t）-),V（t），V（t，·），Y（t-)(3.11)≡ -dXi=1’Vi（t）’Bi（Y（t）-))+hXi=1Zzi>0~Vi（t，zi）F（t，zi）~Z（t）+V（t）-)F（t，zi）Z（t）λiνi（dzi）。定义3.1对于给定的随机变量H，一个三元组（V，`V，`V）被称为BSDEV（t）=H的{Ft}自适应强解-ZTtg（s，V（s）-),V（s），~V（s，·），Y（s）-))ds（3.12）-ZTtdXi=1’Vi（s）dWi（s）-ZTthXi=1Zzi>0＠Vi（s，zi）~Ni（λids，dzi）如果V∈ LF（[0，T]，R，P）是一个c\'adl\'ag过程，\'V=（\'V，\'Vd）∈ LF，p（[0，T]，Rd，p），~V=（~V，~Vh）∈ Lp（[0，T]、Rh，P）和（3.12）持有a.s.，其中Ni（λidt，dzi）≡ Ni（λidzi，dt）- 每个i的λiνi（dzi）dt∈ {1，…，h}。（3.13）为了对选项H施加适当的条件，我们使用LγFT(Ohm, 对于正整数γ，表示所有Rd值、FT可测和om变量ξ的集合∈ Rd满足[kξkγ]<∞.假设3.1小时∈ LFT(Ohm, R、 P）存在一系列随机变量Hτn∈LFT∧τn(Ohm, R、 P）满足Hτn→ 拉斯n的H→ ∞ 对于所有ω，Hτn（ω）=H（ω）∈{ω，τn（ω）≥ T}，其中{τn}是满足τn的非减量{Ft}停止时间序列→ ∞ a、 s.as n→ ∞.正如Dai[12]所指出的，在条件C1、C2和（2.10）下，贴现欧式看涨期权和看跌期权满足假设3.1。现在，我们可以陈述本文的主要定理如下。定理3.1在条件C1，C2，（2.10）和假设3.1下，设（V，`V，`V）为（3.12）中BSDE的唯一{Ft}适应强解。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:22

然后，给出了最优套期保值策略φ∈（1.1）的Θ（D）由φ（t）=ξ（t）给出- （v+ψ（t）-) - V（t）-))a（t），（3.14），其中，纯对冲系数ξ由ξ（t）给出=~cD*（t）-1.■cDV*（t）,（3.15）~cD*（t） =diag（D（t））σ（Y（t）-))σ（Y（t）-))′diag（D（t）），（3.16）~cDV*（t） =dXi=1D（t）σ1i（Y（t-))\'Vi（t）。。。，dXi=1Dd（t）σdi（Y（t-))“Vi（t）！”。（3.17）此外，ψ是SDEψ（t）=（ξ）的唯一解- （五）- 五、-)a） ·D）（t）- (Ψ-· （a·D））（t）。（3.18）备注3.1定理3.1中出现的过程V（·）实际上是条件均值过程，V（t）=EQ*[H | Ft]带dQ*≡^Z（T）dP。（3.19）由于不容易直接计算为基于马尔可夫的条件过程o（t，Y（t）），我们转而使用（3.12）中的BSDE对其进行评估，这便于我们设计最优套期保值政策，如本文导言所述。定理3.1的证明将在第5.4节性能比较中提供。本节中的部分内容将在当前论文的简短会议版本中报告（见Dai[12]）。为了方便读者，我们在这里重新定义。请注意，（2.1）中的利率r为零。此外，金融市场被认为是自我融资，这意味着X（t）=v+（u·D）（t）。此外，终端选项H被视为常数p，即H=p。在这种情况下，可以通过Dai[10]研究的反馈控制方法和本文提出的鞅方法明确地获得最优策略。在后一种方法中，相关的BSDE是退化的BSDE，从备注3.1的（3.19）中可以很容易地观察到。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:26

然而，从这个恒等式H=p，我们可以构造两个有见地的例子来提供这两种方法之间的有效比较。更准确地说，通过Dai[10]定理3.1中的（18），我们知道Dai[10]定理3.1中的（15）所述的最优策略下的终端方差由v ar（X）给出*（T））=P（0，y）1- P（0，y）（P- v）。（4.1）此外，通过使用本文中的定理3.1和Cern\'y和Kallsen[7]中的定理4.12，我们知道（3.14）中最优策略下的套期保值误差由Herr=P（0，y）（P）给出- v）。（4.2）为了进行性能比较，我们计算（4.1）中的最佳终端方差和（4.2）中的最佳h边缘误差之间的差异，即误差=V ar（X*（T）- 她的r（4.3）=（P（0，y））1- P（0，y）（P- v） >0。上一个不等式（4.3）中显示的结果直观上是正确的，因为定义2.2中给出的一般决策集采用了最优策略（3.14），Dai[10]中3.1中的（15）采用了特殊方法。然而，正如下面的数值例子所示，误差非常小。示例4.1在此，我们假设金融市场由Black-Scholes模型DD（t）=D（t）（αdt+βdB（t）），（4.4）给出，其中α和β是giv en常数。由于第273-274页的定义2.1.4（b）ksendal[39]，选项H=p（一个正常数）是不可实现的，因此，如果初始捐赠v 6=p，则相关的Hedging误差不能为零。然而，根据图1和图2中显示的模拟结果，我们看到，随着终端时间的增加，基于Dai[10]定理3.1中（15）的策略的最优方差与基于（3.14）中策略的最优套期保值误差之间的绝对误差接近于零。收敛速度在很大程度上取决于波动率β。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-7 00:06:28

如果β相对较大，差异需要更多时间才能达到零。然而，如果用毫秒来表示基于超级计算机的交易系统中的时间单位，那么收敛所需的时间在实践中是有意义的。示例4.2在此，我们假设金融市场由BNS模型DD（t）=D（t）（（α+βY（t））表示-))dt+pY（t-)dB（t）），（4.5），其中α和β为常数。此外，根据（2.10）中对条件的说明以及Dai[11]中的讨论，我们假设（2.3）中λ=1的驱动从属函数（λ·）是一个复合泊松过程。过程的到达间隔时间以平均1/u的指数分布，过程的跳跃大小也以平均1/u的指数分布。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:32

通过图3中显示的模拟结果，我们可以看到示例4.1中显示的类似图示对当前示例也有意义，其中图3中出现的δ是等分子区间的长度[0，T]。此外，通过模拟结果，我们还发现，在一个完全市场中，由于完美套期保值是不可能的，在许多情况下，随着时间的增加，均值-方差套期保值误差可能非常小。3.5 4x 1040100020003000时间方差中的最优方差曲线3.5 4x 1040100020003000时间误差中的最优套期保值误差曲线3.5 4x 10400.0050.010.0150.02绝对误差时间误差1.5 2.5 3x 1040204600平均终端平均误差中的最优套期保值误差曲线图1：使用r=0，v=10000，p=30000，T=40000，α=2，β=100.5定理3.1的证明由以下四个部分组成：与折扣价格过程相关的命题的证明，与VOMM相关的命题的证明，一类带跳跃的BSD解的唯一存在性的说明，定理3.1.5.1关于折扣价格过程命题5.1的剩余证明，在条件C1、C2和（2.10）下，我们得到D（·）是一个连续的{Ft}-半鞅，即D（·）=D+MD（·）+BD（·），（5.1），其中MD（·）和BD（·）分别是一个{Ft}-鞅和一个有限变量的可预测过程。此外，D（·）在LF（[0，T]，Rd，P）中的局部意义如（2.12）所述。我们把命题的证明分为两部分。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:35

首先，我们有下面的引理。引理5.1在（2.10）下，对于每一个^t>t，i，uniqu e将溶液调整到（2.3）中的SDE∈ {1，…，h}，和y∈ (0, ∞)他给的是一（^t）=一-λi（^t）-t） +Z^tte-λs（i）-t） dLi（λis）≥ 易-λi^t，Yi（t）=Yi。（5.2）300 350 4000100020003000时间方差中的最优方差曲线300 350 4000100020003000时间误差中的最优套期保值误差曲线300 350 40000.0050.010.015绝对误差时间误差1 1.5 2 2.5 3x 1040204600平均终端平均值中的最优套期保值误差曲线图2：使用y=10，r=0，v=1000 0，p=30000，T=400，α=2，β=10的Black-Scholes模型的误差。此外，在条件C1，C2和（2.10）下，（2.2）-（2.3）有一个唯一解（S（t），S（t′），它是一个{Ft}适应的连续半鞅，带（·）∈ 如果[0，T]，Rd，P.（5.3）此外，每米∈ {1，…，d}，Sm（t）=Sm（0）exp（Zt）bm（Y（s-)) -dXn=1σmn（Y（s-))#ds（5.4）+ZtdXn=1σmn（Y（s-))dWn（s））。证据关于（5.2）的权利要求直接来自Applebaum[1]第316-317页。此外，由于条件C1和C2，我们知道（2.2）（2.3）给出的市场满足Dai[10]中引理4.1所要求的条件。因此，我们的市场有一个独特的解决方案，它是{Ft}适应的、连续的、均方可积的，如EMMA 5.1所述。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:38

为了证明（5.4），letXm（t）=Ztαm（Y（s-))ds+Ztβm（Y（s-))′dW（s），（5.5）其中，对于任何∈ [0，T]，αm（Y（s-)) = bm（Y（s）-)) -dXn=1σmn（Y（s-)),βm（Y）s-)) = (σm1)(Y)-)), ..., σmd（Y（s）-)))′.1.5 2x 10400.511.5最佳曲线偏差1.5 2x 10400.511.5最佳曲线对冲误差1.5 2x 1040246x 10-9绝对错误时间错误1.5 2.5 3x 10402468x 10-8均值终端均值最优套期保值误差曲线图3：使用BNS模型的误差，y=10，r=0，v=10000，p=30000，T=200，δ=0.01，α=0.5，β=0.02，u=10，u=8。然后，根据条件C1，存在一些非负常数D，比如ZTαm（Y（s）-))ds≤ DT+Bb+BσT ePhi=1yi0hYi=1heli（λiT））i（5.6）<∞,在这里，我们使用了L（λt）在t中非负且不减损的事实，即Li（λi·）对i的独立性假设∈ {1，…，h}，anda+bkL（λt）k≤∨ A.任何a的ebkL（λt）kF≥ 0，b≥ 0，>0，（5.7）Yt，yii（^t）≤ yi+Li（λi^t）- 任何^t的Li（λit）≥ t、（5.8）EheCLi（λit）i=expλi>0埃齐- 1.νi（dzi）< ∞.（5.9）同样，我们可以证明ZTβm（Y）s-))ds< ∞.（5.10）注意，W（·）和Li（λi·）表示i∈ {1，…，h}是独立的；W是{Ft，t∈ [0，T]}-鞅；αm（Y（t）-)) 和βm（Y（t-)) 都是英国《金融时报》改编的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:41

然后，它来自于中的定义4.1.1ksendal[39]和相关的It^o公式（例如，中的定理4.1.2）ksendal[39]）认为Sm（t）给出的每一个m的（5.4）是（2.2）的唯一解。现在，我们展示了每个m的Sm（·）∈ {1，…，d}是平方可积的{Ft}-半鞅。为此，我们重写（2.2）的积分形式Sm（t）=Sm（0）+ZtSm（s）bm（Y（s）-))ds+ZtSm（s）dXn=1σmn（Y（s）-))dWn（s）。（5.11）那么，（5.11）右边的第三项是一个squ可积{Ft}-鞅。事实上，从（5.2）中可以看出∈ {1，…，h}和^t>t，λiZ^ttY（t，yi）i（s）ds=yi+Li（λi^t）- Li（λit）- Y（t，yi）i（^t）（5.12）≤ yi+Li（λi^t）- Li（λit）=yi+Li（λi（^t）- t）），其中（5.12）中的最后一个等式适用于分配。因此，它遵循引理5.1中的条件c1和（5.4）ZTSm（s）dXn=1σmn（Y（s-))!ds≤ dsmCTEheCkL（λT）ki(5.13)< ∞,其中C是一个正常数，我们使用了Protter[41]第138页中的定理39和条件（2.10）。因此，根据Jacod and Shiryaev[30]第48页的定理4.40（b），我们知道（5.11）中的第三项是平方可积{Ft}-鞅。此外，通过同样的方法，我们可以证明（5.11）右侧的第二项是有限变量a.s.，并且在[0，T]上是平方可积的。因此，我们得出结论，对于每一个m∈ {1，…，d}是平方可积的{Ft}-半鞅。因此，我们完成了引理5.1的p屋顶。命题5.1的证明根据引理5.1和伊藤公式，每∈ {1，…，d}，BDm（t）=ZtDm（s）（bm（Y）（s-)) - r） ds，（5.14）MDm（t）=ZtDm（s）dXn=1σmn（Y（s-))dWn（s）。（5.15）注意，通过与（5.13）类似的计算，我们得到ZtDm（s）dXn=1σmn（Y（s-))!ds< ∞（5.16）对于所有t∈ [0，T]。因此，遵循Jacod and d Shiryaev[30]第48页中的fr om定理4.40（b），MDI是一个{Ft}鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:44

此外，它来自于一个类似的解释，即BD5.1引理的证明是一个有限变化和平方可积的可预测过程。因此，我们现在知道D是一个连续的{Ft}-半鞅。此外，由于我们可以取σn，它在L（P）中是局部的≡ inf{τ：D（τ）≥ n} 作为本地化时间的顺序。因此，我们完成命题5.1的证明。5.2一个与Vomm有关的命题首先，我们用PD（\'Θ）（D）来表示Q(Ohm) = 1和Q<< P与dqdp∈ L（P）和EdQdP（u·D）（T）= 0表示上的签名度量值Q(Ohm, F）所有你∈Θ（D）。那么，我们有下面的命题。命题5.2在条件C1、C2和（2.10）下，以下主张成立：1。^Z是{Ft}-鞅，其中^Z（·）在（3.6）中给出；2.量度Q*（3.19）中定义的是等价鞅测度（EMM），Q*∈ （1.2）中定义的Ue（D）；3.量度Q*VOMM是指dQ*数据处理= 明克∈PD（Θ）V ardQdP.我们将命题的证明分为以下六个引理。引理5.2在条件C1、C2和（2.10）下，（3.3）中定义的P（t，y）是以下IPDE的解tP（t，y）=ρ（y）P（t，y）+φ=1λiyi叶（t，y）-φ=1λiRzi>0（P（t，y+ziei）- P（t，y））νi（dzi，P（t，y）=1。（5.17）对于y∈ Rhc。此外，我们有p（t，y）∈ C1,1（[0，T）×Rhc，R），（5.18）EZT | P（t，Y（t-))|dt< ∞,（5.19）hXi=1EZTZzi>0 | P（t，Y（t-) + （齐伊）- P（t，Y（t）-))|ν（dzi）dt< ∞.（5.20）证据。根据条件C1、C2和（5.2），对于每个∈ {1，…，h}，kρ（Y（t））k≤ Aρ+BρkY（t）k，（5.21）ρ（Y（t））易≤“A+”AkY（t）k+“AkY（t）k+”AkY（t）k，（5.22）其中“Aifor i”∈ {1,2,3,4}是一些非负常数，Aρ和Bρ由Aρ=2（Ab+r）Bbbσ+（Ab+r）BσK，Bρ=BσBσ和K=min{yi0e给出-λiT，i=1。。。，h} 。然后，基于Benth at al中使用的一个想法。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:48

[4] ，我们可以通过以下四个步骤证明引理5.2。首先，通过直接计算，我们知道P（t，y）对于任何（t，y）都是有限的∈ [0，T]×Rhc，即P（T，y）≤ expK（T）- t） +BρhXi=1yiλi！<∞,（5.23）其中非负常数Kis由k=Aρ+hXi=1λiZzi>0给出eBρziλi- 1.νi（dzi）。其次，我们证明了P∈ C0,1[0，T]×Rhc，R和映射（t，y）→Pyi（t，y）foreach i∈ {1，…，h}是连续的。。每个y的P（·，y）的连续性∈ RHCC可显示如下。由于条件（2.4）和事实（5.12），我们知道expZTtρ（Yt，y（s））ds≤ expAρT+hXi=1Bρλi（yi+Li（λiT））！。（5.24）通过（2.10）和（5.9），我们知道（5.24）右侧的函数对于每个固定y是可积的∈ Rhc。然后，根据勒贝格的支配收敛定理，每个y的P（t，y）在t方面是连续的∈ [0，T]。接下来，我们展示P易（t，·）和我∈ {1，…，h}对于所有t∈ [0，T]存在并且是连续的。事实上，考虑一个任意但固定的点y，然后取一个紧集U Rhcsuch thaty位于U的内部。请注意，U中的所有点都可以假定为以某个正常数M为界。因此，在（5.22），（5.2），（5.8）和（5.7）中，我们得到了≥ Tyiρ（Yt，y（s））≤Xi=1’Ai！e3hM+3Phi=1Li（λiT），（5.25），其中Yt，y（s）表示在时间t具有初始值y的过程。由于（2.10）和（5.9），位于（5.25）右侧的函数是可积的。因此，它来自定理2。27（b）在Folland[19]中，根据Yi，部分地激发了Rttρ（Yt，y（s））ds∈ {1，…，h}存在。因此，我们有易eRTtρ（Yt，y（s））ds≤ TXi=1’Ai！EAρT+3hM+Bρφ=1λi+φ=13+BρλiLi（λiT）！。（5.26）同样，通过（2.10）和（5.9），我们知道（5.26）右侧sid e上的函数是可集成的。因此，根据Folland[19]中的定理2.27（b），我们可以得出P（T，y）相对于y是可微的∈ Rhc。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:51

此外，通过（5.2）、（5.26）和Lebesgue的支配收敛定理，我们得到了m ap ping（t，y）→Pyi（t，y）代表每个人∈ {1，…，h}是连续的。因此，P（t，y）∈ C0,1[0，T]×Rhc，R.第三，我们证明了平方可积性（5.20）是真的。事实上，从条件（2.10）可以看出∈ {1，…，h}）是一个σ-有限度量，因为νi（[，∞ )) < ∞ 对于任何>0的情况。另外，很容易看出非负函数| P（t，Y（t-)+（齐伊）-P（t，Y（t）-))|是产品空间[0，T]×Rhc×上可测的Ohm. 因此，通过中值定理（5.25），（5.26），詹森不等式，以及P（t，y）在y中的可微性，我们得到了ZTZzi>0 | P（t，Y（t-) + （齐伊）- P（t，Y（t）-))|νi（dzi）dt(5.27)≤ KKe（6+2Bρλi）Z0<zi<1ziνi（dzi）+Zzi≥1.e（8+2Bρλi）zi- 1.νi（dzi）+Zzi≥1νi（dzi）< ∞,其中Kand Kare是一些正常数。此外，从（5.23）、（5.8）和（2.10）可以看出（5.19）是正确的。第四，我们证明P（t，y）满足IPDE（5.17）。事实上，对于每个t∈ [0，T），它是由Y thatg（T）的时间均匀性得出的- t、 y）≡ E0，yhe-RT-tρ（Y（s））dsi=Et，yhe-RTtρ（Y（s））dsi=P（t，Y）。（5.28）自P（t，y）∈ C0,1[0，T]×Rhc, 它遵循it^o的公式（例如，参见第6-9页的定理1.14和定理1.16）ksendal和Sulem[38]）认为，对于每个固定的t，g（t- t、 Y0，y（l））（5.29）=g（t- t、 y）-hXi=1λiZlY0，yii（s-)G易（T）- t、 Y0，y（s）-))ds+hXi=1ZlZzi>0（g（T- t、 Y0，y（s）-) + （齐伊）- g（T）- t、 Y0，y（s）-)))Ni（λids，dzi）。进一步，设^g（t，zi，ω）≡ g（T）- t、 Y0，y（s）-, ω） +ziei）- g（T）- t、 Y0，y（s）-), ω））给每个人∈ (0, ∞), 我∈ {1，…，h}和ω∈ Ohm. 那么，^g是{Ft}可预测的。因此，由于（5.20）（这里我们需要将任意但固定的y替换为y），从定理4.2.3 inApplebaum[1]（或池田和渡边[28]第61-62页中的解释）可以看出（5.29）中的最后一项是半鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:55

因此，考虑到对（5.29）的两个sid的期望，我们得到[g（T- t、 Y0，y（l））]- g（T）- t、 y）l=hXi=1λilZlEY0，Yi（s）-)G易（T）- t、 Y0，y（s）-))ds-hXi=1λilZlZzi>0E[g（T- t、 Y0，y（s）-) + （齐伊）- g（T）- t、 Y0，y（s）-))]νi（dzi）ds。然后，让我↓ 我们知道P（t，·）在y的极小生成元的域中，它由A表示，即Ag（t）- t、 y）=hXi=1λiyiyig（T）- t、 y）（5.30）-hXi=1λiZzi>0（g（T- t、 y+ziei）- g（T）- t、 y））νi（dzi）。现在，到（5.23），我们看到g（T- t、 y）=P（t，Y0，y（l））∈ L(Ohm, P）对于每个t∈ [0，T）和在一个0的邻域中的all，使得T- L≤ T因此，我们有e0，y[g（T- t、 Y（l））]=E0，yhE0，Y（l）he-RT-tρ（Y（s））dsii（5.31）=E0，yhE0，yhe-RT-tρ（Y（s+l））dsFlii=E0，yhe-RT-t+llρ（Y（s））ds）i=E0，yhe-RT-t+lρ（Y（s））dseRlρ（Y（s））ds）i，其中（5.31）中的第二个等式遵循Y的马尔可夫性质（例如，Kallenberg[32]中的命题7.9）。然后，我们得到0，y[g（T）- t、 Y（l））]- g（T）- t、 y）l（5.32）=lE0，yhe-RT-t+lρ（Y（s））dseRlρ（Y（s））ds- 1.i+g（T）- t+l，y）- g（T）- t、现在，根据微积分的基本定理↓ 0和a.s.，我们有-RT-t+lρ（Y0，y（s））dsLeRlρ（Y0，y（s））ds- 1.→ ρ（y）e-RT-tρ（Y0，y（s））ds。（5.33）此外，根据中值定理，我们有eRlρ（Y0，y（s））ds- 1.≤ 苏普勒∈[0，T]ρ（Y0，y（l））eRlρ（Y0，y（s））ds.（5.34）由于（5.33）左侧的函数一致有界于一个可积函数，因此根据支配收敛定理，G（T）的右导数- ·, y）在t时存在并满足（t- t、 y）=ρ（y）g（t- （t）+Gt（t- t、 y）。（5.35）因此，通过（5.28）和（5.35），我们知道P（t，y）满足（5.17）。此外，我们还有| P（t，y+ziδij）- P（t，y）|≤ KE“ePhj=1（2Lj（λjT）+ziδij）ePhj=1Bρλj（2Lj（λjT）+ziδij）!#子。其中Kis是一个正常数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:06:58

因此，根据勒贝格的支配收敛定理，我们可以得出ZZI>0 | P（t，y+ziei）- P（t，y）|νi（dzi）在t中是连续的。因此，从（5.17）可以得出：Pt（t，y）在t中是连续的∈ [0，T），这意味着P∈ C1,1[0，T）×Rhc，R. 因此，我们完成了Lemm a 5.2的证明。引理5.3设O（t）≡ （3.4）中定义的P（t，Y（t））。然后，在条件C1、C2和（2.10）下，O是O（T）=1的（0，1）值半鞅。此外，德涅克≡ L（O）≡O-· O与K（0）=0和O-（t）≡ O（t）-).（5.36）那么，K是一个{Ft}-半鞅，并且具有以下正则分解dk（t）≡ dL（O）（t）=ρ（Y）（t-))dt+hXi=1Zzi>0F（t，zi）~Ni（λidt，dzi），（5.37），其中，F（t，zi，ω）在（3.10）中定义。证据首先，我们证明了O是一个{Ft}-半鞅。事实上，它源自伊藤公式（参见，例如，第6-9页的定理1.14和定理1.16）ksendal和Sulem[38]）和引理5.2 thatO（t）=P（0，y）+Ztρ（y（s-))P（s，Y（s）-))ds（5.38）+hXi=1ZtZzi>0（P（s），Y（s-) + （齐伊）- P（s，Y（s）-)))~Ni（λids，dzi）。然后，通过引理5.2和池田和Watanable[28]第61-62页的声明，我们知道（5.38）右边的第三项是{Ft}鞅。此外，通过（5.21）和引理5.1的类似证明，我们知道（5.38）右边的第二项是有限变量a.s。因此，我们得到O是一个{Ft}-半鞅。因此，从（5.38）和K（t）的定义可以看出（5.37）是正确的。其次，定义如下的MK是一个{Ft}-鞅，MK（t）=hXi=1ZtZzi>0F（s，zi）~Ni（λids，dzi）。（5.39）事实上，根据中值定理，（5.21），（5.2）（2.10），以及∈ {1，…，h}）是一个σ-有限度量，因为νi（[，∞ )) < ∞ 对于任何大于0的，我们都有ZTZzi>0 | F（t，zi）|ν（dzi）dt< ∞.（5.40）因此，从（5.40）以及池田和Watanable[28]第61-62页中的声明可以看出，Mk是一个{Ft}鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:07:02

因此，我们可以得出结论，K是一个{Ft}-半鞅。因此，艾玛5.3是正确的。引理5.4设Bd和Cd为漂移，与D相关的协方差矩阵过程，Bk为与K相关的漂移过程。然后，在条件C1、C2和（2.10）下，我们得到了Bk=屋宇署′光盘-1bD。（5.41）此外，（3.5）中定义的过程满足以下关系：≡光盘-1bD。（5.42）证据。首先，从引理5.1和引理5.3得出bd（t）=（D（t）（b（Y）（t-)) - r）。。。，Dd（t）（bd（Y）t-)) - r））\'（5.43）cD（t）=diag（D（t））σ（Y（t）-))σ（Y（t）-))′diag（D（t）），（5.44）bK（t）=O-1（t）bO（t）=ρ（Y（t）-)).（5.45）然后，通过简单的计算，我们知道（5.41）和（5.42）是正确的。因此，我们完成了L emma 5.4的证明。为了方便起见，我们将使用CDij≡ [Di，Dj]用i，j表示共二次变化过程∈ {1，…，d}用于进程d，并可交换地写入cDiDj≡ Cdij和cDi=cDii。此外，类似的符号也用于以下讨论中涉及的其他过程。引理5.5在条件C1、C2和（2.10）下，^Z是{Ft}和P-鞅。证据首先，我们展示了∈ L（D）。事实上，根据条件C1，（5.2）和（5.1），kY（t-))K≥ min{yi0e-λiT，i=1。。。，h} 任何t都大于0∈ [0，T]。然后，表格n∈ {1，…，d}，我们有ρ（Y（t）-)) ≡dXm=1B（Y（t）-))′σ（Y（t）-))σ（Y（t）-))′-1.mdXn=1σmn（Y（t-))(5.46)≤ C′ρ+BbBσbσkY（t-)k、其中C′ρ是某个正常数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:07:05

因此，从Kunita Watanable不等式（如Protter[41]第69页的定理25）可以得出“dXm=1dXn=1ZTam（t）和（t）dMDm，MDn（t）#≤ 判定元件ZT′ρ（Y（t-))dt(5.47)< ∞,阿曼德在哪里∈ {1，…，d}分别是a和md的mth分量。此外，从（5.1）可知，dXm=1ZTam（t）Dm（t）Bm（Y（t-))dt#=EZTρ（Y（t）-))dt< ∞.（5.48）然后，根据（5.47）-（5.48），第207页定义6.17，第180页定义4.3，定义6。Jacod和Shiryaev[30]中第206页第12节和第76页第2.6节的定义，我们知道∈ L（D）。因此，（a·D）（T）是明确的。此外，它遵循Jacod和Shiryaev[30]第180页的fr-om定理4.5（a），即∈ L（D），我们有（u·D）（t）=limk→∞dXi=1Ztui（s）I{ku（s）k≤k} dMDi（s）+dXi=1Ztui（s）dBDi（s），（5.49），其中（5.49）右侧第一项中的极限对应于[0，T]的每个紧集上的概率一致收敛。因此，通过（5.1）、（2.10）、（5.14）-（5.15）、（5.49）和勒贝格主导收敛定理，我们知道（a·D）（T）=dXm=1ZTam（T）dDm（T）。（5.50）根据引理5.3，O是半鞅。因此，从条件C1、C2和（5.50）可以看出（a·D）也是半鞅。然后，根据推论8。7（b）和方程式8.19在J acod和Shiryaev[30]第135-138页中，我们得到了^Z（t）=E（K）- （a·D）- [K，（a·D）]（t）（5.51）=E迈克科尔斯- （a·MD）+（bK）- a′bD）·a（t） =E（G）（t），其中第二个等式来自A（t）=t，K（0）=0以及驱动布朗运动和L’evy过程之间的相关性。第三个等式来自引理5.4。此外，mk和md由（5.39）和（5.15）给出，它们是{Ft}鞅。因此，G≡ 迈克科尔斯-医学博士（5.52）也是一个{Ft}鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 00:07:08

因此，根据Jacod and Shiryaev[30]第59页的定理4.61，^Z是一个{Ft}局部鞅。其次，我们证明了^Z属于（D）类，即随机变量集{^Z（τ），τ是有限值{Ft}- 停止时间}是一致可积的（例如，Jacod和Shiryaev[30]第11页中的定义1.46）。事实上，考虑任意有限值{Ft}-停止时间τ≤ T和任意常数γ>0。那么，我们有了^Z（τ）I{|^Z（τ）|≥γ} 我≤P（0，y）呃(E)(-a·D）（τ）i1/2P{|^Z（τ）|≥ γ}1/2，（5.53），其中我们使用了0<O（·）≤ 1和D是连续的。此外，letU（t）=Ztρ（Y（s-))ds，（5.54）U（t）=dXn=1Zt？Bn（Y（s）-))dWn（s），（5.55）式中-)) 定义见（3.8）。因此，U（t）是一个连续的{Ft}鞅。所以呢(E)(-a·D）（τ））i=Ehe(-2（U（τ）+U（τ））-[U+U，U+U]（τ））i（5.56）≤ Ehe-2U（τ）i≤Ehe8[U，U]（T）i< ∞,其中第三个不等式来自可选抽样定理-2U（t）是Jensen等式定理和Protter[41]第138页定理39给出的一个子鞅。最后一个不等式来自条件C1-C2。因此，可以从（5.56）得出supτEh^Z（τ）我≤ K、其中Kis是一个正常数。因此，通过马尔可夫不等式，我们得到了p{124;^Z（τ）|≥ γ} ≤Kγ→ 0为γ→ ∞（5.57）对于所有停车时间τ≤ T在此之前，从（5.53）-（5.57）可以看出，^Z属于（D）类。因此，从Jacod和Shiryaev[30]第12页的（5.51）d命题1.47（c）可以看出，^Z是一致可积的{Ft}和P-鞅。引理5.6在条件C1，C2和（2.10），Q下*是一个等价的鞅测度。证据首先，我们使用PTT来说明每个t的P到FTT的限制∈ [0，T]。然后，我们定义dQ*T≡^Z（t）dp和dQ*≡^Z（T）dP。由于（3.3）-（3.6），我们知道每个t的^Z（t）>0∈ [0，T]。此外，注意^Z是{Ft}和P-鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝