标记点驱动的纯跳跃模型中的效用最大化

2022-5-7 02:56:26

由标记点过程和非线性财富动态驱动的跳跃模型中的效用最大化Mauricio Junca*数学系Riversidad de los AndesCra 1号18a-12Bogot\'a，哥伦比亚拉斐尔Serrano+罗萨里奥卡莱大学经济系12C第4-69Bogot\'a号，哥伦比亚2021年11月16日摘要我们探索鞅和凸对偶技术，以研究使消费和终端财富的预期风险规避效用最大化的最优投资策略。我们考虑一个由（多元）标记点过程和所谓的非线性财富动态驱动的跳跃市场模型，该模型允许考虑宽松的假设，如不同的借贷利率或现金抵押和负回扣率的空头头寸。对于具有对数和CRRA幂效用的代理，我们给出了存在最优策略的充分条件，并给出了数值例子。在纯跳跃模型的情况下，我们提供了最优值函数的封闭形式解，跳跃大小分布由两状态马尔可夫链调制。2010年数学学科分类。初级60G55；中学91G10，60J75关键词。

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2022-5-7 02:56:29

效用最大化、最优投资组合消费、纯跳跃市场模型、markedpoint过程、局部特征、风险规避效用、非齐次泊松过程、差异率、负回扣率、非线性财富方程、马尔可夫调制跳跃大小分布。*电子邮件：mj。junca20@uniandes.edu.co+电子邮件：拉斐尔。serrano@urosario.edu.co——第二作者衷心感谢FIUR研究项目DVG1701引言的财务支持。本文的目的是为投资者在由货币市场组成的纯跳跃不完全市场模型中交易，找到投资和消费策略存在的充分条件，从而最大化消费和终端财富的预期风险规避效用账户和具有价格动态的风险资产由（多变量）标记点过程驱动。由于市场摩擦，投资者面临凸形交易约束和额外现金流出，如资金借贷利率差异，或因股票借贷费用超过作为抵押品支付的现金利率而产生负回扣率的空头头寸，见下面的示例2.1和2.2。这是通过添加一个保证金支付函数来建模的，该函数依赖于投资组合比例过程和投资者的财富方程，该方程由自我融资条件产生。在过去15年中，定点过程在资产价格建模方面取得了相当大的进展，尤其是在高频金融数据建模和波动率估计的非线性滤波方面，参见。

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2022-5-7 02:56:32

Ceci[4,5]、Ceci和Gerardi[6,7]、Cvitani\'c等人[10]、Frey[13]、Frey和Runggaldier[14,15]、Geman等人[16]、Prigent[29]、Rydberg和Shephard[30]。事实上，标定点过程的随机时间和标记可用于模拟不同市场事件的发生时间和规模，如大额交易、限价单或信用评级变化。做市商根据这些事件更新报价，这反过来又会导致股价的波动和飙升。可以使用与标定点过程相关的（随机）计数度量将这些跳跃纳入价格动态中，参见第2节中的资产价格模型公式。这些过程也被用于债券市场中的期限结构和远期利率建模，参见Bj¨ork等人[1]和Jarrow and Madan[20]。我们对效用最大化问题的处理方法密切遵循了凸对偶方法，该方法由He和Pearson[18]，Karatzas等人[23]，Cvitani\'c和Karatzas[9]提出，并由Kramkov和Schachermayer[25]推广到一般半鞅集。该方法包括制定相关的对偶极小化问题和不存在对偶缺口的确定条件，并且在凸投资组合约束下的效用最大化指数化方面非常有效。对于跳跃扩散市场模型，Goll和Kallsen[17]、Kallsen[22]以及最近的Michelbrink和Le[28]使用鞅方法获得具有对数和幂效用函数以及线性财富方程的代理的显式解。Callegaro和Vargiolu[3]在具有泊松跳跃的跳跃扩散模型中获得了类似的结果。

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2022-5-7 02:56:35

在差异环境中，库科和刘[8]以及克莱因和罗杰斯[24]对凸对偶方法进行了显著扩展，以纳入非线性财富动态。在本文中，我们考虑了与Cuoco和Liu[8]中相同的效用最大化，但主要驱动过程是标记点过程，而不是布朗运动。我们的主要假设是，基本标记点过程的计数度量N（dy，dt）具有形式（λt，Ft（dy））的局部特征。特别令人感兴趣的是，这些局部特征取决于（可能是外生的）马尔可夫状态过程，该过程可能描述日内交易活动、宏观经济因素、驱动市场的微观结构规则，或者只是经济或商业周期的变化，见下面的例子3.1和3.2。另见Frey和Runggaldier[15]。本文的主要结果是，根据保证金支付函数的凸对偶和由计数测度N（dy，dt）驱动的线性向后SDE的解对，给出了最优投资组合消费对存在的充分条件。虽然主要结果中的最优性条件似乎有相当大的限制性，但在最后一节中，我们表明，在对数函数和幂函数以及由于更高的借款利率或卖空而产生的溢价支付的情况下，最优性条件显着简化。作为我们的主要例子，我们考虑了欧佩兹和拉塔诺夫[26]提出的体制转换纯跳跃资产价格模型，其中跳跃大小分布根据连续时间两状态马尔可夫链交替，另见最近的论文byElliot和Siu[12]以及欧佩兹和Serrano[27]。

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能者818

2022-5-7 02:56:38

在对数效用的情况下，我们找到了该模型最优值函数的显式公式。最后，值得一提的是，我们的市场模型和效用最大化问题的公式可以被视为Schroder和Skiadas[31]研究的更一般问题的特例，因为他们考虑了由布朗运动和标记点过程以及递归效用函数驱动的跳跃扩散模型。然而，他们的主要方法是效用最大化问题的尺度/平移不变公式，尽管他们确实将结果与[31]附录中的对偶公式联系起来。让我们简要描述一下本文的内容。在第一节中，我们概述了标记点过程的随机设置和信息结构，介绍了市场模型和带有保证金支付函数的非线性财富方程，并定义了最优投资/消费问题。在第三节中，我们给出了关于潜在标记点过程存在局部特征的主要假设。在第4节中，我们介绍了Cuoco和Liu[8]的凸对偶技术，并在存在最优投资/消费政策的充分条件下建立了我们的主要结果。在第5节中，我们通过考虑（CRRA）对数函数和幂效用函数，以及不同借贷利率的保证金支付，以及负回扣率的空头头寸，来说明主要结果。

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2022-5-7 02:56:41

我们给出了一些数值例子，并利用L’opez和Serrano[27]中的最新结果，在马尔可夫调制跳跃大小分布的情况下，提供了最优值函数的显式闭式解。2.市场模型、非线性财富动态和风险规避效用最大化问题(Ohm, P、 F）是一个完全概率空间，具有过滤系数F={Ft}t≥设E为σ为欧几里德空间的Borel子集-代数B（E）。设{（τn，Yn）}n≥1be amarked（或多元）点过程与标记空间E，即，{Yn}n≥1是E的序列-有值随机变量与{τn}n≥1是满足limn的正随机变量的递增序列→∞τn=+∞.我们定义了与标记点过程{（τN，Yn）}N相关的随机计数测度N（dy，dt）≥1as followsN（A×（0，t））：=∞Xn=1{τn≤t、伊恩∈A} =Xτn≤蒂恩∈A} ，A∈ B（E），t≥ 0（2.1）参见例如Jacod和Shiryaev[19，第三章，定义1.23]或Jeanblanc等人[21，第8.8节]。每一个∈ B（E），计数过程Nt（A）：=N（A×（0，t]）对截至时间t内具有值的标记数进行计数=FNtT≥0表示与这些计数过程相关的自然过滤，即fnt:=σ（Ns（A）：0≤ s≤ t、 A∈ B（E）），t≥ 0.自始至终，我们假设FN F.回想一下实值过程（φt）t≥0是F-可预测的，如果随机函数φ（t，ω）=φt（ω）相对于σ是可测量的-R+×上的代数Ohm 由适应的左连续过程生成。

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大多数88

2022-5-7 02:56:44

类似地，地图φ：Ohm ×R+×E→ 如果R相对于乘积σ-代数P是可测的，则R称为F-可预测的 B（E）。我们考虑的是一个金融市场模型，其货币账户bt具有持续的复合利息力rtBt=expZtrsds, T≥ 0，以及价格过程定义为随机指数过程ST:=集（L）且S>0且LT:=Ztusds+Xτn的风险资产或股票≤tf（τn，Yn），t≥ 0.假设过程rt、u和映射f（t，y）一致有界且f可预测。这里Et（·）表示随机（Dol’eans-Dade）指数，参见Jeanblanc等人[21，第9.4.3节]。在该模型中，离散随机时间τnca可被解释为重大市场事件发生的时间点，如大额交易、限价指令或信用评级变化，或市场庄家根据新信息更新报价的时间点。标记yn描述了这些事件的规模，而τnand标记yn通过映射f（t，y）创建股票价格的跳跃和变化。请注意，bt和StsatisfydBt=Btrtdt，B=1dSt=St-hutdt+ZEf（t，y）N（dy，dt）i，S>0。（2.2）我们还假设f（t，y）>-每（t，y）1 a.s∈ [0，T]×E。因此，方程（2.2）的解由可预测的过程st=Sexp给出ZtusdsYτn≤t（1+f（τn，Yn））=SexpZtusds+Nt（E）Xn=1ln（1+f（τn，Yn））= 性爱Ztusds+ZtZEln（1+f（s，y））N（dy，ds）, T∈ [0，T]。对于愿意投资该市场的代理人，我们用πt表示投资于风险资产的财富比例，因此投资于无风险资产的财富比例为1- πt.回想一下，πt的正值代表风险资产的多头头寸，而πt的负值代表空头头寸。

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2022-5-7 02:56:47

过程π=（πt）t∈[0，T]被称为投资组合比例过程，或者简单的投资组合过程，我们总是假设它是可预测的。我们定义了一个有限的投资期限T>0和一个非空的闭凸K 具有0的Rof投资组合约束∈ K.我们引入了保证金支付功能g：Ohm ×[0，T]×R→ R是P×B（R）-可测量且满足（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]（i）g（ω，T，0）=0，（ii）g（ω，T，·）在R上是凹的和连续的。在时间间隔[0，T]内，投资者可以以瞬时消费率ct消费≥ 0.然后，在自我融资条件下，投资者在时间t的财富Vx，π，cTo∈ [0，T]受制于以下动态预算约束TDVT=Vt-[rt+g（t，πt）]dt+πth（ut- rt）dt+ZEf（t，y）N（dy，dt）i- Cdtt，V=x，（2.3），其中x>0是固定的初始财富，（π，c）=（πt，ct）t∈[0，T]是一对满足（i）π在下有界且πT的F-可预测投资组合-消费过程∈ K.a.s.为所有t∈ [0，T]，（ii）ZT[πT+g（T，πT）+ct]dt<+∞, a、 s.随机微分方程（2.3）与财富过程vx，π，cb呈线性关系，但在投资组合政策π中可能是非线性的，反过来，与投资于风险资产和非风险资产的实际金额呈非线性关系。我们将初始财富x>0的可容许对的A类（x）定义为一组投资组合消费对（π，c），其中财富方程（2.3）具有满足Vt的唯一强解≥ 0，a.s.代表所有t∈ [0，T]。我们用Vx，π，c=（Vx，π，ct）t表示∈[0，T]方程（2.3）的解。特别是，如果没有消耗，即所有t的ct=0∈ [0，T]，方程（2.3）在vt中是线性且均匀的，其解vx，π，0t=xEtZ·[rs+g（s，πs）+πs（us）- rs）]ds+Z·ZEπsf（s，y）N（dy，ds）= x经验Zt[rs+g（s，πs）+πs（us）- [rs]dsNt（E）Yn=1（1+πτnf（τn，Yn））。

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2022-5-7 02:56:49

（2.4）例如，如果不允许对任何资产进行卖空，则这始终是积极的。e、如果πt∈ [0,1]对于所有t∈ [0，T]。我们可以使用（2.4）来找到富裕过程Vx，π，cin的表达式V1，π，0=（V1，π，0t）t∈[0，T]，具有初始财富1和投资组合消费对（π，0）的财富过程，如下所示：定义过程ξx，π，ct:=x-ZtcsV1，π，0s-ds，t∈ [0，T]。在不同的形式下，我们有V1，π，0t-dξx，π，ct=-ctdt。然后ξx，π，ctV1，π，0t= ξx，π，ctdV1，π，0t+V1π，0t-dξx，π，ct=ξx，π，ctV1，π，0t-[rt+g（t，πt）]dt+πth（ut- rt）dt+πtZEf（t，y）N（dy，dt）i- ctdt。由于ξx，π，cV1，π，0=x，通过方程（2.3）解的唯一性，财富过程vx，π，cis是过程ξx，π，ctV1，π，0t的修正=十、-ZtcsV1，π，0s-ds经验Zt[rs+g（s，πs）+πs（us）- [rs]dsNt（E）Yn=1（1+πτnf（τn，Yn））。（2.5）注意，投资组合消费对（π，c）在时间t时产生正财富∈[0，T]如果，几乎肯定ztcsv1，π，0s-ds<x和πτnf（τn，Yn）>-1.τn≤ t、例2.1（不同的借贷利率）。以金融市场为例，投资者为借贷支付的利率高于投资者为借贷赚取的银行利率。更具体地说，假设借贷利率是一个满足Rt的F-可预测一致有界过程≥ rta。s、尽管如此，t∈ [0，T]。这种情况下的保证金支付函数是g（t，π）：=-（Rt）- rt）（π）- 1)+, π ∈ R.注意财富方程（2.3）在投资组合过程中是非线性的，尽管它是分段线性的。方程中涉及投资组合π和利率的项读取srt+g（t，πt）+πt（ut- （右）=πtut+（1）- πt）rt，如果πt≤ 1，πtut+（1- πt）Rt，如果πt≥ 1.示例2.2（以现金抵押品和负回扣率进行卖空）。

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2022-5-7 02:56:52

在卖空交易中，投资者借入股票——通常是从经纪交易商或机构投资者那里借入——并在市场上出售，在未来的某个时候，投资者必须回购股票，将其返还给贷款人，以期在股价下跌时获利。为了借入股票，卖空者必须签订证券借贷协议，并向贷款人支付贷款费用。这笔费用主要取决于找到和借用证券的难度。卖空者还必须提供抵押品，以更好地确保借入的股份将返还给贷款人。可接受的抵押品包括现金、ZF债券或银行信用证。如果抵押品是现金，贷款人将抵押品的利息“回扣”给借款人，这通常会设定股票贷款费用。然而，如果对证券的需求很大，股票贷款费用可能会超过现金抵押利率，并且回扣率将为负。我们假设风险资产St就是这种情况。此外，我们假设短期销售的现金收益作为抵押品持有，并以货币账户利率rt赚取利息。更具体地说，让股票贷款费用rLt成为F-可预测的一致有界rLt≥ rta。s、尽管如此，t∈ [0，T]。然后，保证金支付函数是g（t，π）=（rt- rLt）π-.这里是π-:= - min{0，π}表示π的负部分∈ R.我们建议读者参考达沃里奥[11]的论文，以全面描述股票借贷市场、卖空以及负回扣率的经验证据。现在，我们引入风险规避效用最大化问题来优化投资组合和消费过程。

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2022-5-7 02:56:55

设U:[0，T]×0，∞) → [-∞, ∞) 和U:[0，∞) → [-∞, ∞) 分别表示消费和投资风险规避效用函数，满足以下条件（i）U（t，x）>-∞ U（x）>-∞ 尽管如此，t∈ [0，T]和x∈ (0, ∞),（ii）对于每个t∈ [0，T]映射U（T，·）：（0，∞) → R和U（·）：（0，∞) → R是严格增加的，严格凹的，属于Con（0，∞), 这样的限制↓0，x>0Ux（t，x）=+∞, 利克斯→∞Ux（t，x）=0，limx↓0，x>0U（x）=+∞, 利克斯→∞U（x）=0。（iii）UandU在[0，T]×（0，∞).设A（x）表示可容许的投资组合消费策略类（π，c）∈ A（x）这样的ZTU（t，ct）-dt+U（Vx，π，cT）-< +∞.我们定义了效用函数lj（x；π，c）：=EZTU（t，ct）dt+U（Vx，π，ct）, （π，c）∈~A（x）。我们的主要研究对象是以下风险规避效用最大化问题θ（x）：=sup（π，c）∈π（A）x>0。（2.6）3主要假设：局部特征slet N（dy，dt）表示随机计数度量（2.1）。回想一下，N（dy，dt）的补偿器F-可预测投影ρ（dy，dt）是唯一的（可能达到零集）正随机测度，因此，对于每个F-可预测实值映射φ（t，y），以下两个条件保持不变。过程ztzeφ（s，y）ρ（dy，ds），t≥ 0，是F-可预测的。二、如果过程ztze |φ（s，y）|ρ（dy，ds）<+∞, T≥ 0.0是递增的且局部可积的，那么mt（φ）：=ZtZEφ（s，y）N（dy，ds）-ZtZEφ（s，y）ρ（dy，ds），t≥ 0是F-局部鞅（参见Jeanblanc等人[21，定义8.8.2.1]）。

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2022-5-7 02:56:58

等价地，对于所有T>0，EZTZEφ（s，y）N（dy，ds）= EZTZEφ（s，y）ρ（dy，ds）.以下是本文其余部分的主要假设：计数测度N（dy，dt）的补偿器ρ（dy，dt）满足ρ（dy，dt）=Ft（dy）λtdt（A），其中λ是正F-可预测过程，而Ft（dy）是可预测概率转移核，即在B（E）上具有集合概率测度值的F-可预测过程。在这种情况下（λt，Ft（dy））被称为标记点过程{（τn，Yn）}n的F-局部特征≥1，参见例如Br\'emaud[2，第八章]。在这个假设下，对于每个∈ B（E）计数过程Nt（A）是具有随机强度λtFt（A）的非齐次泊松过程。这可以解释为，考虑到事件已经发生，可以将事件发生的概率与标记的条件分布分开。因此，Ft（dy）是时间t处标记的条件分布，λtdt给出了下一个微小时间步长dt内发生事件的概率。下面我们给出两个满足主要假设（A）的例子。在这两种情况下，非局部特征（λt，Ft（dy））取决于（可能是外生的）马尔可夫状态过程，带有RCLL路径，可用于描述日内市场活动、宏观经济因素、驱动市场的微观结构规则或经济或商业周期的变化，参见例[15]。在第一个例子中，状态过程是两状态连续时间马尔可夫链。在第二个例子中，这是一个跳跃差异过程，可能与风险资产St.例3.1（马尔可夫调制标记点过程）有共同的跳跃。

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2022-5-7 02:57:01

设{ε（t）}t≥0是一个两状态连续时间马尔可夫链，其值在{0，1}和极小生成元（强度矩阵）Q中=-λλλ-λ.对于每个i=0，1，让{Yi，n}n≥1be一系列独立的E-分布为P（Yi，n）的有值随机变量∈ dy=Fi（dy），n≥ 1.假设这两个分布与马尔可夫链{ε（t）}t无关，也与它们无关≥设{τn}n≥1denote{ε（t）}t的跳跃时间≥设εn:=ε（τn-) 表示马尔可夫链{ε（t）}t的状态≥0就在n之前-跳吧。因此，对于每个n≥ 1符号Yεn，是一个分布为Fεn（dy）的随机变量。然后，F-与标记点过程{（τN，YεN，N）}N有关的计数测度N（dy，dt）的可预测投影ρ（dy，dt）≥1满足条件（A）与F-局部特征λt=λε（t）-)Ft=Fε（t-).有关证据，请参见欧佩兹和塞拉诺[27]中的第4节。例3.2。设ν（dξ）为σ-可测空间Z上的有限测度。设γ（dξ，dt）表示Z×R+上的F-泊松随机测度，平均测度为ν（dξ）dt，设为F-布朗运动。设（X，Z）表示It^o-Levy型随机微分方程dxt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt+ZZη（t，Xt）系统的解-, ξ） γ（dξ，dt），X∈ RdZt=ZZη（t，Xt-, Zt-, ξ） γ（dξ，dt），Z∈ R.我们假设泊松测度γ（dξ，dt）与wt无关，系数b、σ和η是满足通常线性增长和Lipschitz条件的参数的可测函数。定义随机时间序列{τn}n≥1是过程Zt的跳跃时间，即τ：=0τn+1:=inft>τn:ZtτnZZη（s，Xs-, Zs-, ξ） γ（dξ，ds）6=0, n=1,2。

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2022-5-7 02:57:04

.每n≥ 1，标记Yn（标记空间E=R）是进程ztatimeτn的跳跃，Yn:=Zτn=Zτn- Zτn-1.对于t≥ 0和A∈ B（R）我们定义了SETDT（x，z；A）：=[η（t，x，z，·）-1] （A\\{0}）={ξ∈ Z:η（t，x，Z，ξ）∈ A\\{0}。然后，ifZTν（Dt（Xt，Zt；R））Dt<+∞, P- a、 s.F-与{（τN，Yn）}N有关的计数测度N（dy，dt）的可预测投影ρ（dy，dt）≥1满足条件（A）和F-局部特性λt=ν（Dt（Xt-, Zt-; R））Ft（dy）=λtν（Dt（Xt）-, Zt-; dy）。有关证明，请参见Ceci[4]中的命题2.2。4凸对偶方法和主要结果在本节中，我们介绍了Cuoco和Liu[8]的一些凸对偶技术，并在存在最优投资/消费政策的充分条件下建立了我们的主要结果。设δK（π）：=0，如果π∈ K+∞, 如果π/∈ Kdenote投资组合约束集K的指标函数（在凸分析的意义上）和letgK（ω，t，π）：=g（ω，t，π）- δK（π）。函数gK（ω，t，·）是上半连续的凹函数，对于所有t，gK（ω，t，0）=0a.s∈ [0，T]。我们用~gK（ω，t，ζ）：=supπ表示∈R[gK（ω，t，-π） +πζ]=supπ∈K[g（ω，t，π）- πζ], ζ ∈ r3π7的凸共轭→ -gK（t，-π) ∈ R.从0开始∈ K、从定义中可以清楚地看出gK≥ 此外，gK（ω，t·）是下半连续凸的，且gK（ω，t，π）=infζ∈R[~gK（ω，t，ν）+πζ]。（4.1）如果K=R，我们简单地用g表示gK。我们定义了gK（ω，t，ζ）的有效域，用Nt表示，asNt（ω）：={ζ∈ R:~gK（ω，t，ζ）<+∞} .最后，让D表示F-逐步可测过程（ζt）t的集合∈[0，T]令人满意的支持∈[0，T]|ζT |+ZT|gK（T，ζT）dt<+∞, a、例4.1。

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2022-5-7 02:57:08

考虑例2.1中的保证金支付函数，在禁止卖空风险资产的投资组合约束下，即K=[0+∞).ζ∈ 固定，mapR 3π7→ g（t，π）- πζ =-πζ, π ∈ [0, 1],-（ζ+Rt）- rt）π+（rt）- rt），π>1，当且仅当-（ζ+Rt）- （右）≤ 0.在π=1时，如果-ζ ≥ 0和π=0，如果-ζ ≤ 0.因此，我们有gK（t，ζ）=0, ζ ≥ 0,-ζ, ζ ∈ [-（Rt）- rt），0]+∞, ζ < -（Rt）- rt）（4.2），有效域Nt=[-（Rt）- rt）+∞).例4.2。现在考虑示例2.2的保证金支付函数，投资组合约束为禁止从货币账户借款，即K=(-∞, 1].ζ∈ 固定，mapR 3π7→ g（t，π）- πζ =-πζ, π ∈ [0,1]，（rLt- rt- ζ） π，π<0，当且仅当rLt- rt- ζ ≥ 0.同样，在π=1时，如果-ζ ≥ 0和π=0，如果-ζ ≤ 0.那么，我们就有gK（t，ζ）=0, ζ ≤ 0-ζ, ζ ∈ [0，rLt- [rt]+∞, ζ>rLt- rt（4.3），有效域Nt=(-∞, rLt- rt]。设Θ表示局部有界F-可预测E的集合-对于ρ，符合（i）ν（t，y）>0 a.s.的标记过程-几乎每（t，y）∈ [0，T]×E（ii）过程（ζφT）T∈[0，T]定义为ζ~nT:=rt- ut- λtZEf（t，y）~n（t，y）Ft（dy），t∈ [0，T]属于D.LeteN（dy，dt）：=N（dy，dt）- Ft（dy）λtdt表示计数测度N（dy，dt）的补偿鞅测度。对于每种类型∈ 设HΘ表示线性dedht=Ht的解--[rt+~gK（t，ζ~nt）]dt+ZE（η（t，y）- 1） eN（dy，dt）H=1（4.4）引理4.3。对于每种类型∈ Θ和（π，c）∈ A（x），我们有H k TVx，π，cT+ZTH k Tcsds≤ x、（4.5）证据。

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kedemingshi

2022-5-7 02:57:12

利用跳跃过程的乘积规则，我们得到了（H k tVx，π，ct）+H k tctdt=H k t-dVx，π，ct+Vx，π，ct-dHаt+Hаt-Vx，π，ct-πtZEf（t，y）（φ（t，y）- 1） N（dy，dt）+H k tctdt=H k t-Vx，π，ct-[rt+g（t，πt）]dt+πth（ut- rt）dt+ZEf（t，y）N（dy，dt）i- Htctdt+Ht-Vx，π，ct--[rt+~gK（t，ζ~nt）]dt+ZE（η（t，y）- 1） eN（dy，dt）+ H k t-Vx，π，ct-πtZEf（t，y）（φ（t，y）- 1） N（dy，dt）+H k tctdt=H k t-Vx，π，ct-hg（t，πt）- πtrt- ut- λtZEf（t，y）~n（t，y）Ft（dy）- ~gK（t，ζ~nt）idt+ZE（πtf（t，y）~n（t，y）+~n（t，y）- 1） eN（dy，dt）从0到T积分，并使用gK的定义，我们得到了φTVx，π，cT+ZTHφtctdt≤ x+ZTZE（πtf（t，y）~n（t，y）+~n（t，y）- 1）最后一个不等式右边的随机积分是一个F-局部鞅，它在下面有界，因此是一个F-局部鞅-超鞅和（4.5）如下。现在我们引入一个辅助函数，它与效用函数的凸对偶有关。让U用t表示U（·）或U（t，·）∈ [0，T]固定。让我表示U的倒数，这样I（U（x））=U（I（x））=x，x>0。然后，I satifiesi（y）=arg maxx>0{U（x）- yx}，y>0。特别是U（I（y））- 易（y）≥ U（x）- yx，x、 y>0。（4.6）注意U（I（y））-yI（y）=U*（y），你在哪里*（y）：=supx>0{U（x）- yx}是地图的LegendreFenchel变换(-∞, 0）3 x 7→ -U(-十）∈ R.地图U*被称为效用函数U的凸对偶∈ Θ，我们定义了mapXΘ（y）：=EZTHаtI（t，yHаt）dt+HаtI（yHаt）.LeteΘ：={Θ∈ Θ：XΘ（y）<∞, y>0}。对于每种类型∈eΘwe表示YΘ：=（XΘ）-1并确定工艺（cx，k t）t∈[0，T]和随机变量Gx，~n如下所示cx，~nT:=I（T，Y k（x）HаT），T∈ [0，T]，Gx，~n：=I（Yа（x）HаT）。（4.7）最后，我们定义了辅助函数ll（x；~n）：=EZTU（t，cx，~nt）dt+U（Gx，~n）, x>0，ν∈eΘ。引理4.4。J（x；π，c）≤ L（x；~n）表示所有（π，c）∈§A（x）和∈eΘ。证据

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2022-5-7 02:57:16

从（4.6）到（4.7），我们有（t，ct）≤ U（t，cx，аt）+Yа（x）Hаt（ct）- cx，~nt）和u（Vx，π，cT）≤ U（Gx，ν）+Yа（x）HаT（Vx，π，cT）- Gx，~n）。然后，通过（4.5）和Y的定义，我们得到了j（x；π，c）≤ L（x；а）+Yа（x）·EZTH~nt（ct）- cx，~nt）dt+HT（Vx，π，cT- Gx，~n）≤ L（x；а）+Yа（x）[x- Xа（Yа（X））]=L（X；а），然后得到期望的结果。设θ（·）表示最小化问题θ（x）的最优值函数：=infθ∈eΘL（x；Θ）。（4.8）引理4.4中我们有θ（x）≤θ（x）。我们现在的目标是找到一个充分的条件，证明在初始财富x>0的情况下，存在二元缺口和最优投资组合消费过程（^π，^c）。对于每种类型∈Θ，定义流程yx，Θt:=EH k TGx，а+ZTtHаscx，аsds英尺, T∈ [0，T]和mx，~nT:=Yx，~nT+ZtH k scx，k sds，T∈ [0，T]。观察Mx，~ntsatis fiesmx，~nt=EH k TGx，k+ZTH k scx，k sds英尺, T∈ [0，T]。（4.9）也就是说，过程（Mx，~nt）t∈[0，T]是F-鞅。设βx，а（t，y）表示Mx，аt相对于补偿测量值（dy，dt），dMx，аt=ZEβx，а（t，y）eN（dy，dt）的基本鞅表示系数。（4.10）注意，Yx，~n=Xа（Yа（X））=X和Yx，аt≥ 0代表所有t∈ [0，T]。此外，该对（Yx，~n，βx，~n）满足线性后向SDEYx，~nt=H k TGx，k+ZTtH k scx，k sds-zTZEβx，~n（s，y）eN（dy，dt），t∈ [0，T]，（4.11）最终条件为Yx，~nT=H~nTGx，~n。以下是本文定理4.5的主要结果。对于x>0固定，假设存在∈Θ和一个F-可预测的portfolioproportion过程^π，K值满足g（t，πt）- ^πtζ^^k t=~gK（t，ζ^k t），所有t的a.s∈ [0，T]，（4.12）和^πtf（T，y）+1=^k（T，y）“βx，^k（T，y）Yx，^k T-+ 1#，ρ的a.s-a、 e.（t，y）∈ [0，T]×E.（4.13）进一步假设（2.3）有（^π，^c）的解，其中^c=cx，^^。

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2022-5-7 02:57:19

那么以下断言成立（a）（π，c）∈■A（x）和最大化（2.6），（b）财富过程Vx，π，^是对过程Xx的修改，^t:=Yx，^^t/H^t，（c）效用最大化的最优值函数（2.6）满足度θ=K^o Y^^^（Y）：=EZTU（t，I（t，yH^k t））dt+U（I（yH^k t））, y>0。证据我们首先证明（b）部分。由于Xx，^^=Yx，^^=x，有必要证明Xx，^^t是这对（^π，^c）的财富方程（2.3）。回想一下，H^^tsatis fies是线性的随机方程DH^^t=H^^t-N-[rt+~gK（t，ζ^^k t）]dt+ZE（t，y）- 1） eN（dy，dt）o=H^~nt-N-hrt+~gK（t，ζ^^k t）+λtZE（t，y）- 1） Ft（dy）idt+ZE（t，y）- 1） N（dy，dt）使用伊藤的跳跃过程公式，比亚迪给出了1/H^^k的差值H^^t=H^^t-nhrt+~gK（t，ζ^~nt）+λtZE（t，y）-1） Ft（dy）idt+ZE^~n（t，y）-1.N（dy，dt）o.从（4.11）开始，Ytis的差值由dyx给出，^^t=-H^~ntcx，^~ntdt+ZEβx，^~n（t，y）eN（dy，dt）使用跳跃过程的乘积规则，我们已经Yx，^^^^t= Yx，^^t-DH^^t+H^^t-dYx，^~nt+H^~nt-ZEβx，^~n（t，y）^~n（t，y）- 1.N（dy，dt）=Yx，^^t-H^^t-nhrt+~gK（t，ζ^~nt）+λtZE（t，y）- 1） Ft（dy）idt+ZE^~n（t，y）- 1.N（dy，dt）o- cx，^~ntdt+H^~nt-nZEβx，^~n（t，y）eN（dy，dt）+ZEβx，^~n（t，y）^~n（t，y）- 1.N（dy，dt）乘以最后一个括号并除以Yx，^^t-和useeN（dy，dt）=N（dy，dt）-λtFt（dy）dtYx，^^^^t=Yx，^^t-H^^t-（[rt+~gK（t，ζ^ˋt）+λtZE~n（t，y）- 1.-βx，^^（t，y）Yx，^^t-Ft（dy）dt+ZE^~n（t，y）- 1+βx，^ˋ（t，y）ˋ（t，y）Yx，^ˋt-N（dy，dt））- 对于随机积分中的被积函数，我们有- 1+βx，^ˋ（t，y）ˋ（t，y）Yx，^ˋt-= ^πtf（t，y）和（4.13）与（4.12）的结合产生gK（t，ζ^~nt）+λtZE^~n（t，y）- 1.-βx，^^（t，y）Yx，^^t-Ft（dy）=gK（t，ζ^k t）+λtZE（t，y）- ^~n（t，y）（^πtf（t，y）+1）Ft（dy）=gK（t，ζ^~nt）+λtZE-^πt^~n（t，y）f（t，y）Ft（dy）=g（t，^πt）+^πt（ut- （rt）和（b）部分如下。

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kedemingshi

2022-5-7 02:57:22

这反过来意味着Vx，π，cT=Yx，T/H，T=Gx，a.s。特别是，我们得到j（x；π，c）=L（x；^^^）（4.14），而（a）部分来自引理4.4。由于θ（x）=θ（x）=L（x；^θ）。备注4.6。根据（4.12）和gK的定义，投资组合过程^π满足^πt=arg maxπ∈Kg（t，π）- πhrt- ut- λtZEf（t，y）^~n（t，y）Ft（dy）i或者，相当于rt- ut- λtZEf（t，y）^~n（t，y）Ft（dy）=arg minζ∈R（gK（t，ζ）+πtζ）。1对数效用我们首先通过考虑对数效用函数U（t，x）=U（x）=Lnx来说明主要结果。引理5.1。为了所有人∈对于ρ-a.e.（t，y），我们有βx，Θ（t，y）=0，a.s∈[0，T]×E.证明。在这种情况下，对于y，我们有I（t，y）=I（y）=1/y和X~n（y）=（t+1）/y∈ (0, ∞).然后，当x>0时，Yü（x）=（T+1）/x和cx，νT=x（T+1）H~nT，T∈ [0，T]，（5.1）Gx，~n=x（T+1）HаT。因此，对于所有T∈ [0，T]，期望的结果如下。定理5.2。让x固定。假设存在一个F-可预测投资组合过程（^πt）t∈[0，T]K中的值满足（i）1+πtf（T，y）>0 a.s.对于ρ-a.e.（T，y）∈ [0，T]×E（ii）过程^ζT:=rt- ut- λtZEf（t，y）1+πtf（t，y）Ft（dy），t∈ [0，T]，（5.2）属于D和satifiesg（T，^πT）- ^πt^ζt=~gK（t，^ζt），所有t的a.s∈ [0，T]。（5.3）那么对（^π，^c）是最优的，其中^c=（^ct）t∈[0，T]是由^ct:=x（1+T）V1，^π，0t，T定义的消费过程∈ [0，T]和V1，π，0=（V1，π，0t）T∈[0，T]是初始财富1和投资组合消费对（^π，0）的财富过程。此外，最优财富过程Vx，^π，^csatis fiesvx，^π，^ct=Vx，^π，0t- t^ct=Vx，^π，0t1.-tT+1, T∈ [0，T]。证据定义^^（t，y）：=1/[1+^πtf（t，y）]。然后呢∈Θ和ζ^ˋ=ζ。根据引理5.1，^^和^π满足定理4.5的假设。

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2022-5-7 02:57:25

那么这对（π，cx，φ）是最优的。再次使用（5.3），我们可以看到（H^^t）的差异-1统计H^^t=H^^t-nhrt+~gK（t，^ζt）+λtZE（t，y）- 1） Ft（dy）idt+ZE^~n（t，y）- 1.N（dy，dt）o=H^~nt-hrt+g（t，πt）idt+πtut- rtdt+ZEf（t，y）N（dy，dt）.因此，过程（H^^^t）-1是V1，π，0t的修正。鉴于（5.1），我们得出^c=cx，^~n，第一个断言如下。第二个断言来自（2.5）。5.2具有马尔可夫调制跳跃大小分布的体制转换模型这里我们考虑具有来自欧佩兹和拉塔诺夫[26]的马尔可夫调制跳跃大小分布的纯跳跃模型（另见欧佩兹和塞拉诺[27]）和对数效用。设{（τn，Yεn，n）}n≥1be示例3.1中的标记点过程，E=R.随机数乘以{τn}n≥1定义为两状态连续时间马尔可夫链ε（·）={ε（t）}t的跳跃时间≥0与强度矩阵xq=-λλλ-λ.每n≥ 1，εn:=ε（τn）-) 州ZF就在n之前吗-ε（·）和矩Yεn的跳跃是一个分布为Fεn（dy）的随机变量。对于每个i=0，1，让ri>0，并分别记录制度i中的连续复合利率和股票升值率。设bt表示具有马尔可夫调制利息力{rε（t）}t的默认自由货币市场账户∈[0，T]，即为bt=expZtrε（s）ds, T∈ [0，T]。风险资产或股票遵循指数模型St=Sexp（~Lt），S>0且~Lt=Ztμε（S）ds+Nt（E）Xn=1Yεn，n，t∈ [0，T]观察f（T，y）=ey满足线性方程（2.2）- 1.我们假设，对于每个制度i=0，1存在一个保证金支付函数gi（π），投资组合约束集为K。例如，在借贷利率不同以及禁止卖空的情况下，它由gi（π）给出-（Ri）- ri）（π- 1)+, π ∈ K=[0，∞)式中，Ridenotes为制度i中的借款利率，假设该利率大于借款利率ri。

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大多数88

2022-5-7 02:57:30

在有现金抵押品和负回扣的卖空以及禁止从货币账户借款的情况下，gi（π）=（ri- rLi）π-, π ∈ K=(-∞, 1] 其中，rli是制度i中的股票贷款费用。最后，对于每一个i=0，1，我们定义gi（ζ）：=supπ∈K[gi（π）- πζ], ζ ∈ Rand Ni:={ζ∈ R:~gi（ζ）<+∞} . 利用定理5.2和[27]第4节中的结果，我们得到以下推论5.3。设U（t，x）=U（x）=lnx。假设每个i=0，1存在‘πi∈ Kisuch表示1+/πi（ey- 1）所有y都大于0∈ 谢谢。进一步假设以下条件保持（i）’ηi:=ZRln（1+’πi（ey）- 1））Fi（dy）<+∞（ii）ζi:=ri- ui- λiZRey- 11+πi（ey）- 1） Fi（dy）∈ Ni（iii）gi（°πi）- πiζi=~gi（\'ζi）。设θi（x）表示初始财富x>0和初始状态ε（0）=i的最佳值。那么，我们有θ（x）=（T+1）lnx- （T+1）项次（T+1）-2λ（λ′d+λ′d）T+T+λ（`d）-\'d）2λhT+1.- E-2λT1 +2λ我和θ（x）=（T+1）lnx- （T+1）项次（T+1）-2λ（λ′d+λ′d）T+T-λ（`d）-\'d）2λhT+1.- E-2λT1 +2λ我式中，2λ：=λ+λ和‘di:=’πiui+（1- πi）ri+λiηi，i=0，1.5.3功率效用我们现在考虑形式为U（t，x）=U（x）=xγ的CRRA（分数）功率效用函数∈ （0,1）固定。我们假设模型rt，ut，f（t，y），f-局部特征（λt，Ft（dy））和保证金支付函数g（t，π）中的所有系数都是非随机的。引理5.4。适用于所有x>0和Ф∈Θ确定性，我们有βx，Θ（t，y）=Yx，Θt-ν（t，y）γ-1.- 1., ρ-a.e.（t，y）∈ [0，T]×E.（5.4）证明。注意，（H k t）γγ-1=ht其中，ht是确定性函数ht=expZtn-γγ - 1[rs+~gK（t，ζаs）]+λsZEhа（s，y）γγ-1.- 1 +γγ - 1(1 - ~n（s，y））如果（dy）ods是F-鞅的∧Ht=∧HtZEν（t，y）γ1-γ- 1.~N（dy，dt），~H=1。ThenX~n（y）=yγ-1EZT（H k t）γγ-1dt+（H k T）γγ-1.= κyγ-1带κ：=hT+RThtdt。

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2022-5-7 02:57:33

它紧随着yа（x）=xκγ-1，x>0和cx，~nt=xκ（H~nt）γ-1，t∈ [0，T]，（5.5）Gx，~n=xκ（H k T）γ-1.HenceYx，~nt=xκE（H~nT）γγ-1+ZTt（H k s）γγ-1ds英尺=HtxκhhT+ZTthsdsiandMx，Дt=xκ~HthhT+ZTTHSSI+Zt ~HSDS, T∈ [0，T]。Mx的差异，k tsatis fiesdmx，k t=xκhhTdHt+ZTthsdsdHti=Yx，~nt-泽ν（t，y）γ1-γ- 1.N（dy，dt）和（5.4）如下。为简单起见，假设不允许消耗，即所有t的ct=0∈ [0，T]。定理5.5。设π=（πt）t∈[0，T]是一个（确定性）投资组合过程，其值满足（i）1+πtf（T，y）>0表示所有（T，y）∈ [0，T]×E，（ii）映射^ζT:=rt- ut- λtZEf（t，y）[1+πtf（t，y）]1-γFt（dy），t∈ [0，T]属于D和satiesg（T，^πT）- ^πt^ζt=~gK（t，^ζt），所有t的a.s∈ [0，T]。那么投资组合过程^π是最优的。证据定义^^（t，y）：=1/[1+^πtf（t，y）]1-γ. 然后呢∈Θ和ζ^ˋ=ζ。由（5.4）可知，^^^和^π满足定理4.5的假设，预期结果如下。例5.6。考虑示例2.1g（t，πt）=-（Rt）- rt）（πt- 1） +在禁止卖空股票的投资组合约束下，模拟不同的利率。如例4.1所示，~gKisNt的有效域=[-（Rt）- rt）+∞).进一步假设所有（t，y）的1+πf（t，y）>0∈ [0，T]×E和π≥ 而mapht（π）：=ut+λtZEf（t，y）[1+πf（t，y）]1-γFt（dy），π≥ 0（5.6）对于每个t∈ [0，T]和γ∈ [0，1）。γ=0的情况对应于对数效用，在这种情况下，我们允许rt，rt，ut，f（t，y）和f-局部特征（λt，Ft（dy））是f-可预测的过程- ht（π）=rt- ut- λtZEf（t，y）[1+πf（t，y）]1-γFt（dy），属于反作用力（π）≤ Rt.使用（4.2），条件g（t，πt）- πtqt（πt）=gK（t，qt（πt））读取[rt- ht（πt）]-+ πt[rt- ht（πt）]+（Rt- rt）（πt- 1)+= 0.

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能者818

2022-5-7 02:57:36

（5.7）现在，观察ht（·）对于每一个t∈ [0，T]sinceht（π）：=λT（γ）- 1） ZEf（t，y）[1+πf（t，y）]2-γFt（dy）<0，π≥ 0.ht的范围是间隔（ut，ht（0）]。如果Rt>utalso成立，可以很容易地检查以下投资组合权重^πt=0，ht（0）<rth-1t（rt），ht（1）≤ rt<ht（0）1，rt<ht（1）≤ Rth-1t（Rt），Rt<ht（1）（5.8）满足ht（πt）≤ Rtand（5.7）。因此，它是最优的。观察到在ht（0）<rt的条件下，最优投资组合^πt=0不依赖于风险规避指数γ。还请注意，ht（0）和ht（1）可以根据分布Ft（dy）的矩母函数mt（·）明确给出。实际上，ht（0）=ut+λt[mt（1）- 1] andht（1）=ut+λt[mt（γ）- mt（γ）- 1)].图1包含给定t的ht（π）曲线图∈ [0，T]和不同的γ值。下面的图2显示了最优投资组合^πtas的行为，它是γ的函数。观察到，通过取γ的不同值，我们可以得到（5.8）中最后三种情况中的每一种。0.1 2 3 4 500.010.020.030.040.060.07πh（π）γ=0γ=0.1γ=0.4γ=0.7γ=0.8rr图1:5.6给出的不同γ值的h曲线图，其中u=-0.05，λ=1，r=0.045，r=0.05，f（y）=ey- 1和F（dy）=10e-10yy≥0dy。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.511.522.533.5γ^π图2：（5.8）给出的^π随γ变化的曲线图。例5.7。最后，考虑示例2.2g（t，πt）=（rt）的保证金支付函数- rLt）π-twith K=(-∞, 1] ，它用负回扣率和禁止从货币账户借款来模拟卖空。~gKis Nt的有效域=(-∞, rLt- rt]。因此，qt（πt）∈ 反作用力（πt）≥ 2rt- rLtand条件g（t，πt）- πtqt（πt）=gK（t，qt（πt））读取（rt- rLt）π-t+πt[ht（πt）- rt]=[ht（πt）- rt]+。

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2022-5-7 02:57:39

(5.9)-10-8.-6.-4.-2 0-0.04-0.03-0.02-0.0100.020.030.04πh（π）γ=0γ=0.2γ=0.42r- rL图3：由（5.6）给出的不同γ值的h曲线图，其中u=0.07，λ=1，r=0.03，rL=0.05，f（y）=ey- 1和F（dy）=10e-10yy≤0dy。0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10-9-8.-7.-6.-5.-4.-3γ^π图4：由（5.10）给出的作为γ函数的^π图。如果ut>2rt- rLtalso认为，可以很容易地检查以下投资组合权重^πt=H-1t（2rt）- rLt），ht（0）<2rt- rLt0，2rt- rLt≤ ht（0）<rth-1t（rt），ht（1）<rt≤ ht（0）1，rt≤ ht（1）（5.10）满足ht（πt）≥ 2rt- rLtand（5.9）。因此，它是最优的。注意，在2rt条件下- rLt≤ ht（0）<rt，最优投资组合^πt=0不依赖于风险厌恶指数γ。图3和图4包含不同γ值的ht（π）图，以及γ函数的最佳组合^πtas图。参考文献[1]托马斯·比约克、尤里·卡巴诺夫和沃尔夫冈·隆格尔迪耶，《存在标定点过程的债券市场结构》，数学。《金融7》（1997），第2期，211-239页。[2] Pierre Br’emaud，《点过程和队列》，统计中的Springer系列，SpringServerLag，纽约-柏林，1981年。[3] Giorgia Callegaro和Tiziano Vargiolu，《纯跳跃多维不完全市场中hara效用函数的最佳投资组合》，国际期刊《风险评估与管理》第11期（2009），第1/2期，180–200页。[4] Claudia Ceci，《部分观测高频数据模型的风险最小化对冲》，随机78（2006），第1期，第13-31页。[5] ，带标记点过程的最优投资问题，随机分析研讨会，随机场与应用VI，Progr。Probab。，第63卷，Birkh–auser/Springer Basel AG，巴塞尔，2011年，第385–412页。[6] Claudia Ceci和Anna Gerardi，《部分信息下的高频数据模式：过滤方法》，国际J.Thero。阿普尔。《金融》第9期（2006年），第。

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大多数88

2022-5-7 02:57:42

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1, 31–48.[18] 何华和Neil D.Pearson，《不完全市场和卖空约束下的消费和投资组合政策：有限维案例》，J.Economo。理论54（1991），第2期，259-304页。[19] Jean Jacod和Albert Shiryaev，随机过程的极限定理，Grundlehren der mathematischen Wissenschaften（288册），Springer，2002年。[20] Robert Jarrow和Dilip Madan，《利用利率期限结构对冲资产回报系统性不连续性的期权定价》，数学版。《金融》第5期（1995），第4期，第311-336页。[21]Monique Jeanblanc，Marc Yor和Marc Chesney，《金融市场的数学方法》，斯普林格金融，英国伦敦斯普林格，2009年。[22]Jan Kallsen，指数L’evy过程的最优投资组合，数学。MethodsOper。第51（2000）号决议，第357-374号。[23]Ioannis Karatzas，John P.Lehoczky，Steven E.Shreve和Gan Lin Xu，不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法，暹罗J.控制优化。29（1991），第3702-730号。[24]I.Klein和L.C.G.Rogers，《具有市场摩擦的最优投资和消费问题中的二元性》，数学。《金融》第17期（2007），第2225-247号。[25]D.Kramkov和W.Schachermayer，效用函数的渐近弹性和不完全市场中的最优投资，Ann。阿普尔。Probab。9（1999），第3904-950号。[26]奥斯卡·欧佩兹和尼基塔·拉塔诺夫，《随机跳跃电报过程驱动的期权定价》，J.阿普尔。Probab。49（2012），第3838-849号。[27]奥斯卡·欧佩兹和拉斐尔·塞拉诺，马尔可夫调制纯跳跃模型中最优投资组合消费问题的鞅方法，随机模型31（2015），第2期，261–291。[28]Daniel Michelbrink和Huiling Le，带跳跃差异的最优组合鞅方法，暹罗J.控制优化。50（2012），第1583-599号。[29]Jean-Luc Prigent，具有一般标记点过程的期权定价，数学。奥普。物件。

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