马尔可夫定价核风险溢价的内在界

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收藏 2022-05-07

英文标题：
《The Intrinsic Bounds on the Risk Premium of Markovian Pricing Kernels》
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作者：
Jihun Han, Hyungbin Park
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
The risk premium is one of main concepts in mathematical finance. It is a measure of the trade-offs investors make between return and risk and is defined by the excess return relative to the risk-free interest rate that is earned from an asset per one unit of risk. The purpose of this article is to determine upper and lower bounds on the risk premium of an asset based on the market prices of options. One of the key assumptions to achieve this goal is that the market is Markovian. Under this assumption, we can transform the problem of finding the bounds into a second-order differential equation. We then obtain upper and lower bounds on the risk premium by analyzing the differential equation.
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中文摘要：
风险溢价是数学金融学的主要概念之一。它是投资者在收益和风险之间进行权衡的一种度量，由相对于每单位风险的资产所赚取的无风险利率的超额收益来定义。本文的目的是根据期权的市场价格确定资产风险溢价的上限和下限。实现这一目标的关键假设之一是市场是马尔可夫的。在这个假设下，我们可以把求边界的问题转化为一个二阶微分方程。然后通过分析微分方程得到风险溢价的上界和下界。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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The_Intrinsic_Bounds_on_the_Risk_Premium_of_Markovian_Pricing_Kernels.pdf
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能者818

2022-5-7 03:54:44

马尔可夫定价核的风险溢价的内在界*和Hyungbin Park+美国纽约大学库兰特数学科学研究所第一版：2014年11月9日最终版：2015年3月3日摘要风险溢价是数学金融的主要概念之一。它是投资者在收益和风险之间进行的交易的一种衡量标准，由相对于每单位风险的资产所赚取的无风险利率的超额收益来定义。本文的目的是根据期权的市场价格来确定资产风险溢价的上下限。实现这一目标的关键假设之一是市场是马尔可夫的。在这个假设下，我们可以将求边界的问题转化为二阶微分方程。然后，通过分析微分方程，我们得到了风险溢价的上界和下界。1简介风险溢价或风险的市场价格是商业金融的主要概念之一。风险溢价是衡量投资者在收益和风险之间进行交易的一种指标，由相对于每单位风险的资产所赚取的无风险利率的超额收益来确定。风险溢价决定了客观度量和风险中性度量之间的关系。客观指标描述市场的实际随机动态，风险中性指标决定期权的价格。最近，许多作者提出，风险溢价（或相当于客观指标）可以从风险中性指标中确定。Ross[37]证明了风险溢价可以由风险中性度量唯一确定。他的模型假设存在一个有限状态马尔可夫过程，在离散时间t内驱动经济∈ N

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mingdashike22

2022-5-7 03:54:47

许多作者使用状态空间R的马尔可夫扩散过程将他的模型扩展到连续时间环境；参见，例如[7]、[10]、[14]、[20]、[32]、[35]和[39]。不幸的是，在连续时间模型中，风险溢价不是通过风险中性度量唯一确定的[20]，[32]。*jihunhan@cims.nyu.edu+hyungbin@cims.nyu.edu, hyungbin2015@gmail.comTo确定风险溢价是唯一的，上述所有作者都假设有关客观衡量的某些信息已知，或将过程限制在某个类别。Borovicka、Hansen和Scheinkman[7]提出了一个假设，即过程在客观测度下是随机可调的。在[10]中，Carr和Yu假设这个过程是一个有界过程。Dubynskiy和Goldstein[14]研究了具有反映边界条件的马尔可夫扩散模型。在[32]中，Park假设XT在客观指标下不被吸引到左边（或右边）。Qin和Linetsky[35]以及Walden[39]假设该过程在客观度量下是持续的。如果没有这些假设，就无法唯一地确定风险溢价。本文的目的是研究风险溢价的界限。如上所述，在没有进一步假设的情况下，风险溢价不是唯一确定的，而是确定风险溢价的上下限。为了确定这些界限，我们需要考虑金融市场中资产的风险溢价是如何确定的。本文的一个关键假设是，对于某些正常数β和正函数φ（·），定价k的倒数用形式eβtφ（Xt）表示。

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mingdashike22

2022-5-7 03:54:50

例如，在基于消费的资本资产模型[11]，[27]中，定价核心以ab ove形式表示。我们将看到，在这种情况下，r isk premiumθ由θt=（σφ′φ）给出-1）（Xt），（1.1），其中σ（Xt）是Xt的波动率。确定风险溢价界限的问题可以转化为二阶微分方程。我们将证明φ（·）满足以下微分方程：Lφ（x）：=σ（x）φ′（x）+k（x）φ′（x）- r（x）φ（x）=-对于未知的正数β。因此，我们可以通过研究（σφ′φ）的界来确定风险溢价的界-1）（·）对于正解φ（·）。我们将证明Lh=0的两个特殊解对风险溢价θt的界限起着重要作用。下面对本文进行概述。在第2节中，我们陈述了马尔可夫定价核的不确定性。在第3节中，我们研究资产的风险溢价，并了解如何将确定风险溢价边界的问题转化为二阶微分方程。在第4节中，我们找到了资产风险溢价的上限和下限，这是本文的主要结果。在第5节中，我们将看到如何应用该结果来确定资产的回报范围。最后，第6节总结了本文。2马尔可夫定价核金融市场被定义为一个概率空间(Ohm, F、 P）具有过滤F=（Ft）的布朗运动∞t=0由Bt生成。本文中的所有过程都被假定为与最终的F相适应。P是该市场的客观衡量标准。假设1。在金融市场中，有两种资产。

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可人4

2022-5-7 03:54:53

一个是利率过程为RTA的货币市场账户RTSDS，另一个是风险资产STDS=utStdt+vtStdBt。在本文中，随机贴现因子是货币市场账户。让Q成为市场中的风险中性指标(Ohm, F、 P）使-Rtrsds是Q下的局部鞅。将Radon-Nikodym导数∑t=dQdPFt，这是一个已知的鞅过程(Ohm, F、 P）。我们可以用SDE公式d∑t=-θt∑tdbt其中θt:=ut- rtvt（2.1）是风险溢价或风险的市场价格。众所周知，由dwt=θtdt+dBt（2.2）定义的wt是Q下的布朗运动。我们通过Lt=eRtrsds/∑t定义定价核的倒数。使用伊藤公式，得到dLt=（rt+θt）Ltdt+θtLtdBt=rtLtdt+θtLtdWt（2.3）。假设2。假设定价核的倒数Ltis马尔可夫意义上有一个正函数φ∈ C（R），一个正数β和一个状态变量xtlt=eβtφ（Xt）φ-1（X）。（2.4）在这种情况下，我们说（β，φ）是Xt的主对。我们对定价内核施加了一种特殊的结构。回收文献中通常假设这种特殊形式，如[7]、[10]、[14]、[20]、[32]、[35]、[37]和[39]中所述。一般来说，ltc可以表示为slt=eβtφ（Xt）φ-1（X）mt，其中mt是Q-鞅。请参阅[22]了解此通用表达式。假设2的鞅项mt等于1。现在我们将注意力转移到β>0的假设上。在大量有关资产定价理论的文献中，β是代表代理人的贴现率，通常为正数。例如，在基于消费的资本资产模型[11]，[27]中，价格用βtU′（c）U′（ct）表示，其中U是代表代理人的效用，cti是总消费过程，β是代理人的贴现率。假设3。

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nandehutu2022

2022-5-7 03:54:57

状态变量X是一个满足以下SDE的时间齐次马尔可夫扩散过程。dXt=k（Xt）dt+σ（Xt）dWt，X=ξ。假设k（·）和σ（·）是事先已知的。该过程在某个时间间隔i内获取端点c和d的值，-∞ ≤ c<d≤ ∞. 假设b（·）a和σ（·）在平面上是连续的，在（c，d）上是连续可微的，并且σ（x）对于x大于0∈ （c，d）。假设4。短期利率由Xt决定。更准确地说，存在一个连续的正函数r（·），使得rt=r（Xt）。在这些假设下，下一节将演示如何将确定风险溢价边界的问题转化为二阶微分方程。我们还将描述微分方程正解的性质。3风险溢价这篇文章的目的是确定风险溢价θt的上界和下界。首先，我们研究了如何用马尔可夫定价核确定风险溢价θ。将伊藤公式应用于（2.4），我们得到了=β +(σφ′′φ-1）（Xt）+（kφ′φ-1）（Xt）Ltdt+（σφ′φ-1）由（2.3）可知，我们知道dLt=r（Xt）Ltdt+θtLtdWt。通过比较这两个方程，我们得到了σ（x）φ′（x）+k（x）φ′（x）- r（x）φ（x）=-βφ（x）和θt=（σφ′φ-1）（Xt）。（3.1）定义一个极小算子L byLφ（x）=σ（x）φ′（x）+k（x）φ′（x）- r（x）φ（x）。定理3.1。在假设1-4下，设（β，φ）为Xt的主对。然后，（β，φ）满足φ=-βφ .我们还有（2.2）和（2.1）的定理。定理3.2。风险溢价为byθt=θ（Xt），其中θ（·）：=（σφ′φ-1)(·). 因此，dBt=-θ（Xt）dt+dWt。这个定理解释了风险溢价和定价核Lt之间的关系。本文的目的是基于k（·）、σ（·）和r（·）确定θ（·）的上下界。假设正函数φ（·）和正函数rβ未知。

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kedemingshi

2022-5-7 03:55:00

其主要思想是确定所有可能的φ（·）和β的性质，然后确定可能的（φ′φ）的上界和下界-1）（·）价值观。从（3.1）中，我们可以确定风险溢价θt的界限。我们对Lh=-λh与正函数h。有两种可能性。（i）任何λ都不存在正解h∈ R、 o R（ii）存在一个数β，使得它对于λ<β有两个线性独立的正解，对于λ>β没有正解，对于λ=β有一个或两个线性独立的解。参见[33]中的第146页和第149页。在本文中，我们通过假设2隐式假设了第二种情况。定义4.1。对于每个λ和λ≤β、如果（λ，h）是Lh=-λh，如果h（ξ）=1（即h被归一化）。我们用cλ定义候选集：={h′（ξ）∈ R | Lh=-λh，h（ξ）=1，h（·）>0}。已知Cλ是连通紧集。参考[32]或[33]。分别用Hλ和Hλ表示对应于最大Cλ和最小Cλ的函数。假设Hλ（ξ）=Hλ（ξ）=1。对于h>0的解对（λ，h），很容易检查eλt-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（ξ）是Q下的局部鞅ale。要成为Radon-Nikodym导数，这应该是鞅。因此，我们对诱导鞅的解对感兴趣。定义4.2。设（λ，h）为候选对。我们认为y（λ，h）是λt的可容许对-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（ξ）是Q下的鞅。在这种情况下，由theRadon Nikodym导数·dQ从风险中性测度Q获得的测度Ft=eλt-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（ξ）被称为关于对（λ，h）的变换测度。现在我们研究风险溢价的界限。

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kedemingshi

2022-5-7 03:55:03

我们开始l : = inf{0≤ λ ≤β|（λ，hλ）是容许对}L:=inf{0≤ λ ≤β|（λ，Hλ）是容许对}。两个函数hlHL将在确定风险溢价θt的界限中发挥关键作用。要看到这一点，我们需要以下命题。建议见4.1。设α<λ且（λ，h）为候选。然后，（h′αh）-1α）（x）≤ （h′h-1）（十）≤ （H′αH）-1α）（x）。有关证据，请参见附录A。这个命题表示，如果λ>0的候选对（λ，h）是容许对，那么（h′）lH-1.l)（十）≤ （h′h-1）（十）≤ （H′LH-1L）（x）。这个等式给出了风险溢价的上限和下限。我们知道的关于主对（β，φ）的唯一信息是β>0，并且（β，φ）是容许对。因此，我们可以得出结论（h′）lH-1.l)（十）≤ (φ′φ-1）（十）≤ （H′LH-1L）（x）。通过定理3.2，我们得到了本文的主要定理。定理4.1。（风险溢价的内在收益）让θt作为风险溢价。然后，（σh′）lH-1.l)（Xt）≤ θt≤ （σH′LH）-1L）（Xt）。这个定理意味着，当给出风险中性度量时，我们可以确定风险溢价的范围。然后可以使用期权价格计算上限和下限。在下一节中，作为一个例子，我们展示了在经典的Black-Scholes模型中，风险溢价-2rv≤ θt≤ vwr是利息率，v是股票的波动率。推论4.2。让θt作为风险溢价。然后，（σh′h）-1）（Xt）≤ θt≤ （σH′H）-1）（Xt）。这为风险溢价提供了粗略的预测。一般来说，两种解决方案比h更容易找到l还有HL。如果已知X的一些P-动力学信息，我们可以找到更好的界。如第1节所述，如果XT在客观指标下是经常性的，那么我们可以找到确切的风险溢价。因此，边界不是信息性的。例如，如果状态变量是利率，而利率通常在客观指标下是经常性的，那么我们可以找到精确的风险溢价。

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何人来此

2022-5-7 03:55:06

有关更多详细信息，请参见[7]、[32]、[35]和[39]。当已知状态变量在客观测度下不吸引到左（或右）边界时，我们可以找到更好的边界。在某些情况下，这是一个合理的假设。例如，股票价格过程通常不会吸引到零边界。4.2中的建议。当h=hλ时，在关于（λ，h）的变换测度下，过程xtt不被吸引到left边界。参见[32]以获取证据。类似地，仅当h=hλ时，在关于（λ，h）的变换测度下，过程xT不吸引到右边界。这个命题说明了下面的定理。定理4.3。如果状态过程Xt不吸引到左边界，则风险溢价θtsatis fies（σH′βH-1β（Xt）≤ θt≤ （σH′LH）-1L）（Xt）。类似地，如果状态过程X不被吸引到右边界，则风险溢价θt为（σh′）lH-1.l)（Xt）≤ θt≤ （σh′βh）-1β）（Xt）。5股票收益在本节中，我们研究了当状态变量Xt是股票价格过程St时，风险溢价的界限。在实践中，标准普尔500指数过程（理论上可以被视为股票价格过程）被用作状态变量[2]。在这种情况下，我们可以确定股票过程St的收益率的上下界，即St=Xt，利率为常数r。在风险中性度量下，XtisdXt=rXtdt+σ（Xt）XtdWt的动态。根据定理4.1，风险溢价满足（σh′）lH-1.l)（十）≤ θ（x）≤ （σH′LH）-1L）（x）其中hl以及相应的解决方案。我们使用方程（2.1）获得了返回utb的上下界。r+（σh′）lH-1.l)（Xt）≤ ut≤ r+（σH′LH）-1L）（Xt）。作为一个例子，我们探讨了股票价格的经典Black-Scholes模型。dXt=rXtdt+vXtdWt，对于v>0，X=1。

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mingdashike22

2022-5-7 03:55:09

极小算子isLh（x）=vxh′（x）+rxh′（x）- 右（x）。可以很容易地证明，Lh的每个解对=-λh导出一个鞅，即每一个candidate pa ir都是一个可容许对。由此得出：l = L=0。我们想找到Lh=0，h（0）=1的正解。解由h（x）=cx给出-2rv+（1）- c） xfor 0≤ C≤ 1.砰（x）=x-2rv，H（x）=x。风险溢价θtsatis fies-2rv≤ θt≤ v、返回utof xtis的上下限由-R≤ ut≤ r+v。如果我们知道股价不受零边界吸引，我们可以找到更好的边界。通过直接计算，我们得到了β=（r+v）2vand tha tHβ（x）=x-rv，H（x）=例如，根据定理4.3，风险溢价θt-房车≤ θt≤ v、 t的上下界由v给出≤ ut≤ r+v.6结论本文利用期权的市场价格确定了市场风险溢价的可能范围。实现这一结果的一个关键假设是，市场是马尔可夫的，由一个状态变量Xt驱动。在这个假设下，我们可以把界的确定问题转化为一个二阶微分方程。然后，通过分析微分方程，我们得到了风险溢价的上限和下限。我们解释了如何将风险溢价问题转化为二阶微分方程描述的问题。风险溢价由θt=（σφ′φ）确定-1）（Xt）具有正函数φ（·）。我们证明了φ（·）满足Lφ=-βφ对于某些p正数β，其中L是由期权价格决定的二阶算子。我们证明了两种特殊的解决方案hl对于确定风险溢价的上下限起着至关重要的作用。

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mingdashike22

2022-5-7 03:55:13

风险溢价θtsatis fies（σh′）lH-1.l)（Xt）≤ θt≤ （σH′LH）-1L）（Xt）。我们还讨论了当已知状态变量不被左（或右）边界吸引时更好的边界。说明了如何应用该结果来确定资产的收益范围。建议对未来的研究进行以下扩展。首先，将流程XT扩展到一个多维流程或一个带有jump的流程会很有趣。第二，当过程是非马尔可夫过程时，确定风险溢价的界限是很有意义的。本文只讨论了时间齐次马尔可夫过程。第三，探索定价核心的更一般形式是很有必要的。我们只讨论了定价核的倒数形式为eβtφ（Xt）的情况。作者高度赞赏裁判员详细而有价值的评论。4.1上命题的证明此后，在不丧失普遍性的情况下，我们假设X=0，即XTI范围的左边界-∞ 以及XTI范围的右边界∞.引理A.1。设α<λ且（α，g）和（λ，h）为候选对。n，Z-∞五、-如果h′（0），则2（y）dy是有限的≥ g′（0），Z∞五、-如果h′（0），则2（y）dy是有限的≤ g′（0）。其中g=vq，q（x）=e-Rxk（y）σ（y）dy.证明。写h=uq。假设h′（0）≥ g′（0），等价于u′（0）≥ v′（0）。定义Γ=u′u-v′v.ThenΓ′=-Γ-2v′vΓ-2(λ - α)σ.因为Γ（0）≥ 对于x<0，我们有Γ（x）>0，因为如果Γ曾经接近于0，那么-2(λ-α） σ在等式的右边占主导地位。选择x小于0的x。对于x<x，我们有-2v′（x）v（x）=Γ′（x）Γ（x）+Γ（x）+2（λ- α） σ（x）·Γ（x）。从m到x积分，-2 lnv（x）v（x）=lnΓ（x）Γ（x）+ZxxΓ（y）dy+Zxx2（λ- α） σ（y）·Γ（y）dy导致v（x）v（x）≤Γ（x）Γ（x）eRxxΓ（y）dyfor x<x。

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mingdashike22

2022-5-7 03:55:16

因此，Zx-∞v（y）dy≤ （常数）·Zx-∞Γ（y）eRyxΓ（w）dwdy=（常数）·1.- E-Rx-∞Γ（w）dw≤ （常数）∞ .这意味着-∞五、-2（y）dy是有限的。同样，我们可以证明∞五、-如果h′（0），则2（y）dy是有限的≤ g′（0）。引理A.2。写Hλ=vqa和Hλ=vq，其中q（x）：=e-Rxk（y）σ（y）dy.T h en，Z-∞五、-2（y）dy=∞ 安兹∞五、-2（y）dy=∞ .证据我们只能证明这一点-∞五、-2（y）dy=∞. 一般（标准化为h（0；c）=1）解=-λh用h（x；c）表示：=hλ（x）1+c·ZxV-2（y）dy,因此我们有H′（0；c）=H′λ（0）+c。因为H′λ（0）是定义的最大值，所以我们有c≤ 0.支持-∞五、-2（y）dy<∞ 然后我们可以选择一个小的正数c，这样h（x；c）就是一个正函数。这是矛盾的。我们现在证明命题4.1。证据我们只展示了x<0的不等式。我们证明了（h′αh）-1α）（x）<（h′h-1）（x）对于x<0。设q（x）：=e-Rxk（y）σ（y）dy。写h=uq和hα=vq。然后我们有h′（0）>h′α（0），等价于yu′（0）>v′（0）。这是因为，如果不是，根据引理A.1，我们有z∞五、-2（y）dy<∞ ,这与引理A.2相矛盾。现在我们定义γ=u′u-v′v.然后γ′=-γ-2v′vγ-2(λ - α)σ.因为γ（0）>0，对于x<0，我们有γ（x）>0，因为如果γ接近0，那么-2(λ-α） σ在等式的右边占主导地位。因此，对于x<0，可以得出（v′v-1）（x）<（u\'u-1）（x），这意味着（h′αh-1α）（x）<（h′h-1）（十）。我们现在证明（h′h）-1）（x）<（H′αH-1α）（x）写Hλ=vq。那么我们有H′（0）<H′α（0），等价于u′（0）<V′（0）。定义Γ：=u\'u-V′V.然后Γ′=-Γ-2V′VΓ-2(λ - α)σ.我们声称Γ（x）<0表示x<0。假设存在x<0这样的tΓ（x）≥ 那么对于allz<x，可以得到Γ（z）>0，因为如果Γ曾经接近于0，那么-2(λ-α） σ支配着等式的右边。

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能者818

2022-5-7 03:55:19

对于z<x，我们有-2V′（z）V（z）=Γ′（z）Γ（z）+Γ（z）+2（β- λ） σ（z）·Γ（z）。从上到下集成，-2 lnV（y）V（x）=lnΓ（y）Γ（x）+ZyxΓ（z）dz+Zyx2（λ）- α） σ（z）·Γ（z）dz导致V（x）V（y）≤Γ（y）Γ（x）eRyxΓ（z）dzy<x。因此，Zx-∞五、-2（y）dy≤ （常数）·Zx-∞Γ（y）eRyxΓ（w）dwdy=（常数）·1.- E-Rx-∞Γ（w）dw≤ （常数）∞ .这意味着-∞五、-2（y）dy是有限的。这与引理A.2相矛盾。参考文献[1]Amrein，W.O.，A.M.Hinz和D.B.Pearson。斯图姆·刘维尔理论，过去和现在。（2005）柏林波士顿巴塞尔Birkhauser Verlag。[2] 奥德里诺、F、R.惠特马和M.路德维希。Ross RecoveryTheorem的实证分析。（2014）工作文件。SSRN。[3] 班萨尔，R.和A.亚龙。长期风险：资产定价的潜在解决方案（2004）《金融杂志》，第59卷，第4期，1481-1509。[4] Berkowitz，J.关于奇异Sturm-Liouville问题谱的离散性。（1959）纯数学和应用数学通讯，第12卷，第3期，第523-542页。[5] 比约克，T。连续时间中的Arb-itrage理论。（2009）牛津大学出版社。[6] Bocher，M.《二阶非振荡线性微分方程》。（1900）公牛。艾默尔。数学Soc。，第一卷，第33-340页。[7] Borovicka，J.，L.P.Hansen和J.A.Scheinkman。错误的恢复。（2014）国家经济研究局工作论文。[8] Borovicka，J.，L.P.Ha nsen，M.Hendricks和J.A.Scheinkman。风险价格动态。（2011）《金融计量经济学杂志》，第9卷，第3-65页。[9] Breeden，D.T.具有随机消费和投资机会的跨期资产定价模型（1979年）《金融经济学杂志》，第7卷，265-296。[10] Carr，P.和J.Yu。风险、回报和恢复。（2012）衍生工具杂志。第20卷第1期第38-59页。[11] 坎贝尔，J.和J。

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kedemingshi

2022-5-7 03:55:22

《习惯力下的Cochr ane：基于消费的集合股票市场行为解释》（1999）《政治经济学杂志》，第107卷，第2205-251号[12]克里斯滕森，t.M.估计动态资产定价模型的长期影响。（2013）[13]达维多夫，D.和V.莱恩茨基。标量微分的定价选择：特征函数展开法。（2003）运筹学，第185-290页。[14] Dubynskiy，S和R.Goldstein从金融衍生品中恢复漂移和偏好参数（2013）[15]Durrett，R.随机演算：实用介绍。（1996）华润出版社。[16] Eliason，S.B.和L.W.White关于二阶椭圆偏微分方程的正解（1982）广岛数学。J.，第12卷，469-484[17]弗里德里希，K.O.离散光谱标准。（1950）纯数学和应用数学通讯，第3卷，第4期，第39-449页。[18] 富尔顿，C.，S.普鲁斯和Y.谢。Sturm-Liouville问题的自动分类。《应用数学与计算杂志》，接受。[19] 甘特马赫，F.R.矩阵理论。第二卷。（1959）切尔西出版公司。[20] 古德曼、J.和H.帕克（2014）价格决定了客观指标吗？工作纸。[21]Gorovoi，V.和V.Linetsky。布莱克的利率模型包括期权、特征函数扩张和日本利率。（2004）数学金融，第14卷，第1期，第978页。[22]汉森、L.P.和J.A.舍因克曼。长期风险：运营商方法。（2009）计量经济学，第77卷，第77-234页。[23]赫尔、J.C.期权、期货和其他衍生产品。（1997）Pea r son Prentice Hall。[24]伊藤，K.和H.P.麦肯。不同的过程及其示例路径。（1974）斯普林伯格，柏林，海德堡，纽约。[25]Jorgens，K.s二阶普通微分算子的谱理论。（1964）阿胡斯大学，马特马蒂斯克研究所。[26]Karat zas，I.和S.E.Shreve。

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能者818

2022-5-7 03:55:26

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