具有持续收入流的最佳数字产品维护

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收藏 2022-05-07

英文标题：
《Optimal Digital Product Maintenance with a Continuous Revenue Stream》
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作者：
James Fan and Christopher Griffin
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
We use a control framework to analyze the digital vendor\'s profit maximization problem. The vendor captures market share by focusing costly effort on post-launch product maintenance, which influences user perception of the product and drives a revenue stream associated with product use. Our theoretical results show necessary and sufficient conditions for product maintenance to decline over a product\'s life-cycle, thus showing conditions when Lehman\'s 7th law of software evolution holds. We also numerically illustrate control paths under different market conditions.
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中文摘要：
我们使用一个控制框架来分析数字供应商的利润最大化问题。供应商通过将成本高昂的工作重点放在产品发布后的维护上来获取市场份额，这会影响用户对产品的感知，并推动与产品使用相关的收入流。我们的理论结果显示了产品维护在产品生命周期内下降的充分必要条件，从而显示了雷曼第七软件进化定律成立的条件。我们还用数字说明了不同市场条件下的控制路径。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：General Finance 一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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Optimal_Digital_Product_Maintenance_with_a_Continuous_Revenue_Stream.pdf
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何人来此

2022-5-7 07:09:55

具有连续收入流的最佳数字产品维护James Fana，Christopher Griffi nbaSmeal商业学院，宾夕法尼亚州立大学公园，邮编16802，电子邮件：jamesfan@psu.edubMathematics马里兰州安纳波利斯美国海军学院教育部，邮编：21402，电子邮件：Griffixnch@ieee.orgAbstractWe使用控制框架分析数字供应商的利润最大化问题。供应商通过将成本效益集中在产品发布后的维护上来获取市场份额，这会影响用户对产品的感知，并推动与产品使用相关的收入流。我们的理论结果显示了产品维护在产品生命周期内下降的必要和充分条件，从而显示了莱曼软件进化第七定律成立的条件。我们还对不同市场条件下的控制路径进行了数值说明。1.简介软件应用的数字分销平台代表了一个巨大且不断增长的产品分销环境。这是一个软件供应商面临独特利益和挑战的环境。例如，由于软件质量在发布后可能会发生变化，FirmScan希望通过关注产品维护来最大化市场份额。高度重视维护；然而，保持这种奉献精神是昂贵的，而且随着时间的推移，回报率会不断下降。因此，开发人员必须平衡当前和未来的支出成本，以最大限度地提高产品生命周期的收益。我们认为这个问题现在尤其重要，因为数字分销平台（如iTunes、Goog lePlay、Steam）已经彻底改变了消费者购买数字产品的方式，如音乐、移动应用程序和提交给运筹学信函2018年9月18日的视频预印本。

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何人来此

2022-5-7 07:09:58

这些平台也是一个重要的宣传场所；例如，仅在2014年第一季度，苹果iTunes的收入就超过了40亿美元[1]。虽然数字市场代表着潜在销售的巨大机遇，但希望从数字分销软件中获得最大收益的企业必须首先了解数字市场及其特殊挑战。在本文中，我们对通过数字媒体（如在线商店）交付的产品（如软件）的维护资源分配问题进行了建模。我们假设该产品在其生命周期内（例如，数字订阅模式）提供持续的收益，并且该公司不仅在总利润中拥有既得利益，而且在总的寿命终止市场份额中也拥有既得利益。特别是，这一市场份额可能决定其下一个产品发布的净初始收入。我们将这一问题建模为一个优化控制问题，其中产品维护（例如版本缺陷、小改进等）的影响不仅影响收入流，还影响消费者的消费。我们的理论和数字发现表明，在生产维护边际成本增加的情况下，只要产品的预期质量达到一定阈值，企业就应该在产品的整个生命周期内稳定地降低对维护的关注。这些结果得到了已有的软件进化文献的支持；因此，我们的模型为雷曼兄弟的软件进化第七定律提供了分析基础，该定律指出，“E型系统的质量似乎会下降，除非严格维护并适应运行环境的变化”[2]。

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何人来此

2022-5-7 07:10:03

该定律在文献中常被称为“质量下降”定律。本文的主要贡献是：（i）我们使用数字产品维护的简约最优控制模型，为一般条件下的Lehman软件进化第七定律提供分析基础；（ii）我们证明了该模型的结构导致了一组关于最优控制的简化必要条件，以及（iii）我们使用这些简化必要条件来推导企业的分析结果和规则。最后，（iv）我们将这些结果与矩阵Riccati方程结合起来，推导出具有边界条件的微分方程系统形式的优化的必要和有效条件。2.相关工作建模自20世纪70年代以来，大型软件系统的开发一直是一个研究领域[3]。自90年代初以来，包括成本在内的软件可靠性模型也在文献[4]中进行了研究。甚至在现代数字生态系统出现之前，在过去二十年中，数字分发已经成为软件工程和管理科学的热门研究课题。本文研究了软件产品上市维护的最优策略，以实现企业收益最大化；因此，我们的研究处于软件工程和运筹学的交叉点。因此，在本节中，我们将重点介绍与本文相关的两种文献流，以及我们对文献的贡献。在软件工程文献中，随着时间的推移，软件系统的质量受到了极大的关注。莱曼的开创性工作提出了软件进化的八条定律，这些定律一直是严格的实证研究[2]的主题。例如，Munson指出，为软件度量开发度量标准是软件工程[5]中的一个关键元素。

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kedemingshi

2022-5-7 07:10:05

作者提出了软件故障的精确定义，作为衡量软件系统质量下降的一种手段，并为第七定律提供了实证支持。其他研究也为传统软件设置[6][7][8][9]和移动应用程序设置[10]中的质量下降规律找到了实证支持。据我们所知，我们的论文首次为经常被观察到的第七定律提供了分析支持。在运营管理（OM）文献中，优化控制模型已被用于研究软件开发[11]、软件系统的增强和寿命[12]以及开源开发[13]。动态优化问题也被用于合作广告研究（[14,15]），该研究在不同的博弈中研究两个企业之间的战略互动。我们的论文使用控制理论来研究上市后产品维护的最佳路径，以最大限度地提高企业利润。我们的关键发现为一个经过充分研究的软件演化经验定律提供了分析支持。3.模型和分析结果我们考虑单个企业在数字分销平台上销售产品。市场份额根据下文所述的维持中介谣言传播模型而变化。该公司的目标是通过控制产品维护（而不是开发新产品或新版本）所需的时间，在产品上市后的生命周期内最大限度地提高市场份额和利润。定义：R+→ [0, ∞) 是时间的单值函数，它捕获了与维护高质量产品相关的所有影响，ut=0表示对产品维护没有影响。让我们来看看∈ [0,1]表示在时间t时采用供应商产品的用户比例，即在时间t时企业的比例市场份额。为便于注释，我们删除下标t。

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可人4

2022-5-7 07:10:09

我们首先考虑企业面临的更一般的控制问题，然后提供一个具体的例子，其中包含收入流R（u）的线性函数和产品维护π（u）的值函数。3.1。一般情况下，公司的最优控制问题是：最大ψ（x（T））+ZTR（u）x- Cudts。t、 ˙x=π（u）x（1）- x） x（0）=x>0，u≥ 0（1）我们假设x（t），u（t）∈ L[0，∞) 我们还要求u（t）几乎在任何地方都是可区分的。我们将在[16]的等式3中找到˙u的光滑表达式。在一般形式中，R（u）表示收入流作为u的函数，我们假设R（u）是递增的、凹的、二次微分的、非负的。R（u）的单位为美元，按市场份额比例计算。常数C是产品维护的成本系数，因此成本是维护效率的二次方。在我们的背景下，这说明了随着一家公司在产品上投入更多的时间和人力，资源的边际成本不断增加。这被证明是数字商品中合理的建模假设（见[17]）。函数ψ（x（T））是终端时间T的市场份额残值；i、例如，公司对该产品的报废市场份额的重视程度。我们假设ψ在x（T）中是可微的、凹的、单调递增的。状态动力学由修正的巴斯方程[18,19,20,21]给出，在这种情况下，该方程是谣言传播的逻辑模型，由副产品质量介导。这里，π（u）是u的函数值，表示用户从产品中获得的效用相对于次优选项。在我们的模型中，π（u）控制着运动方程的符号——只有当用户喜欢某个产品而不是下一个最佳替代品时，它才能体验到市场的增长。增加π，我们假设u是凹的。

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nandehutu2022

2022-5-7 07:10:12

为了得到分析结果，我们使用变量的变化来简化模型。根据运动方程，我们得到：dxx（1- x） =π（u）dt。假设右手边对be:V（t）=Zπ（u（t））dt的形式反导数。我们可以将状态变量重写为：x=1+A exp(-V），（2）其中exp(-V）=e-五、 andA=eV1- xx>0是由x和V（0）=V确定的积分常数。这允许我们重写作为V（T）函数的ψ：ψ（V（T））=ψ1+A经验(-V（T））.这个函数在V（T）中是单调的，因此我们对ψ的假设是伪凹的。方程式1现在可以写成修正后的问题：最大ψ1+A经验(-V（T））+ZTR（u）1+A经验(-V）- Cudts。t、 ˙V=π（u）V（0）=V，u≥ 0.（3）继续之前，请注意：1。假设R（u）是递增的和凹的。2.1/（1+A经验）(-V）正在增加。3.π（u）是一个递增和凹的假设。4.-Cuis凹面。因为R（u）是递增的，而且ui是对称的，所以我们可以安全地忽略控制约束u≥ 0.我们在方程式6（如下）中表明，这一假设是正确的。修正后的最优控制问题的哈密顿量f为：H=R（u）1+A exp(-V）- Cu+λπ（u），其中λ是共态e。共态e动力学必须满足：dλdt=-HV=-经验(-V）R（u）（A exp(-V）+1）=-R（u）x（1）- x），（4）且横截性条件要求：λ（T）=ψ′1+A经验(-V（T））经验(-V（T））（1+A exp(-V（T））=ψ′（x（T））x（T）（1）- 因为：x（1- x） =经验(-V）（1+A经验(-V））。（5）然而，请注意，这是以V表示的共态，以x表示。由于R（u）>0，最终时间值λ（T）为正，λ的时间导数严格为负。因此我们有：引理1。一直以来≥ 0时，共态λ为正态且递减。哈密顿量在控制u中（严格地）是凹的，因此我们有：引理2。有什么解决办法吗*Hu=0满足必要条件：1。胡=0和2。

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可人4

2022-5-7 07:10:15

Huu<0，强Legendre-Clebsch条件，因此，它在所有时间都使哈密顿量最大化。引理2中的两个条件以及V*（十）*, 分别）λ*求解由此产生的欧拉-拉格朗日两点边值问题，形成最优控制问题的一整套必要条件。当我们增加相应的Riccati方程在[0，T]上有界的附加要求时，这些条件构成了弱局部最大最优控制器的充分条件[22]。我们将在第3.3节中讨论这一有效条件。给出了最优控制问题的必要条件，研究了Hu=0的解。Hu=0的解得到隐式方程：u（t）=2CR′（u（t））A exp(-V（t））+1+λ（t）π′（u（t））=2C（R′（u（t））x（t）+λ（t）π′（u（t））（6）我们还注意到*（t）≥ 因为R′（u），π′（u）>0。因此，我们假设忽略约束u≥ 0现在是正确的。命题1。假设你*是最优控制问题的解决方案。那么，产品维护（即美国*) 当且仅当if:π（u）>π′（u）R（u）R′（u）时是递减的。证据将方程6与t进行微分，并用V（见方程4）代替˙λ的值得出：˙u=AeV（π（u）R′（u）- R（u）π′（u））（A+eV）（（A+eV）（2C）- λ（t）π′（u））- eVR′（u））（7）通过假设π′（u），R′（u）>0和π′（u），R′（u）<0。因此，方程式7的分母始终为正。分子为正当且仅当：π（u）R′（u）- R（u）π′（u）>0<==> π（u）>π′（u）R（u）R′（u）命题1指出，如果产品的估值超过由R（u）、R′（u）和π′（u）之间的关系确定的阈值，那么对产品维护的关注就会减少。

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kedemingshi

2022-5-7 07:10:18

也就是说，当消费者重视简单化时，我们使用了ATM。如果企业的产品高于下一个最佳替代方案，超过某个阈值，则减少对产品维护的关注符合企业的最佳利益。这在实践中经常被观察到，当市场上的一种产品被确定为最佳选择时。减少产品维护实际上是企业的首选策略，因为感知产品价值是一个更高的门槛。命题1还提供了一个通用的分析结果，以支持雷曼的第七软件进化定律。由于严格维护和适应操作环境变化的成本高昂，数字产品的质量似乎随着时间的推移而下降。这并不是说实际产品质量必须随着时间的推移而降低，因为可能无法开发下一个产品迭代。在下一节中，我们将研究当R（u）和π（u）是线性的，说明在这个假设下u总是递减的情况。线性情况也允许我们导出最优控制的更简单形式。3.2. 线性case假设R（u）和π（u）是线性的，形式为R（u）=αu和π（u）=β·（pu）- π），其中β>0是市场份额变化的系数。假设ψ（x（T））=ρx（T），对于ρ≥ 0，根据需要为非递减和凹形。f或β值越大，市场份额的变化越大。公司的最优控制问题可以改写为：最大αT（ZTρ）+ux- Cudts。t、 ˙x=β·x（1- x）（P u）- π） x（0）=x，u≥ 0.（8）现在，π>0是用户从下一个最佳替代方案中得出的显式值，假设在产品的生命周期中是恒定的。在变量变化下：dVdt=βP u- βπ.而方程2仍然适用于x的V。

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kedemingshi

2022-5-7 07:10:22

利用这些信息，我们可以简化方程8:ZTαux的修正问题目标函数中的积分- Cudt=ZTαu1+A exp(-V）- Cudt=ZTαβP1+A exp(-V）dV+απP1+A exp(-V）- Cudt=αβPlog（A+exp（V））|T+ZTαπP1+A exp(-V）- 库特。简化的最优控制问题的废品值为：△ψ（V（T））=ρ1+A exp(-V（T））+αβPlog（A+exp（V（T）））。（9）这个简单问题的修正哈密顿量是：H=απP1+A exp(-V）- Cu+λβ（pu- π).引理2中讨论的必要条件仍然成立。因此，求解hu=0会导致表达式：u≡βP2Cλ。（10）由于微分方程的欧拉-拉格朗日系统是必要条件，我们知道状态和共状态必须满足：˙V=（βP）2Cλ- βπ,˙λ = -απPA exp(-V）（1+A经验(-V））。（11）利用这些方程，我们现在可以找到一个简单的微分方程组，控制u和原始状态变量x，这必然会被最优控制问题的任何解决方案所满足。推论3。方程8的最优状态和控制必然满足以下两点边值问题：˙x=βx（1- x）（P u）- π） ˙u=-αβπ2Cx（1）- x） x（0）=xu（T）=2C（αx（T）+βPρx（T）（1）- x（T）））。（12）证据。给出了系统的状态动力学和初始条件。将方程11的结果代入方程10，利用方程5，我们得到˙u:˙u=-βP2CαπPA exp(-V）（1+A经验(-V））=-αβπ2Cx（1）- x）。（13）将方程9与V进行差分并构造横截性条件得到：λ（T）=ρA exp(-V（T））（1+A exp(-V（T））+αβP1+A exp(-V（T））=ρx（T）（1）- x（T））+αβPx（T）。用λ（T）和方程10求解u（T）得到：u（T）=2C（βPρx（T）（1- x（T））+αx（T））。这就完成了证明。很明显，在线性情况下，˙u应该减小，因为π′（u）=Pand R′（u）=α。

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大多数88

2022-5-7 07:10:26

因此：ππ′=u-πP<u=RR′。这与推论3所示的结果一致，其中显然˙u≤ 0.动力学的右侧在x和u中都是平滑的。因此，从时间范围[0，T]上的任何起点开始，在x中有一条唯一的解曲线- 满足边界条件的u相空间。因此，假设你*是最优控制的形式，这条曲线是问题的唯一解。此外，请注意˙u<0。因此，u（0）>0和u（T）≥ 0，因为x（受其动力学约束）保持在区间[0，1]内，且所有参数均假定为非负。˙u<0这一事实表明，在最优性条件下，关注产品维护是一个单调递减函数。在R（u）和π（u）为线性的特定情况下，企业应始终在产品生命周期的开始阶段对产品维护提供最大的帮助，并随着时间的推移不断缩小维护工作量。推论4。假设x和u是状态和最优控制。然后：x（u）=C-CPαπu+2Cαu，（14）式中：~C=x（T）+CPαπu（T）-2Cαu（T）。（15）也就是说，x在u型曲线中呈二次变化。从推论3中给出的微分方程组中，我们可以将x单独表示为u的函数。注：˙x˙u=dxdu=-2Cαπ（pu- π) . （16）积分方程（16）得出状态变量作为控制函数的表达式：x（u）=C-CPαπu+2Cαu其中C是积分常数。我们有一个表达式f或u（T）：u（T）=αx（T）+βPρx（T）（1）- x（T））2c因此，我们可以解方程15中给出的C。推论5。假设最优控制由表达式13给出。以下其中一项完全成立：1。u（0）>π/P，u（T）≥ π/P和x（T）≥ x（0）和市场份额呈单调增长。2.

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kedemingshi

2022-5-7 07:10:30

u（0）>π/P，u（T）<π/P和市场份额先增加后减少，x（T）和x（0）之间的最终关系由u（T）和u（0）之间的关系决定。u（0）≤ π/P和x（T）≤ x（0）和市场份额单调下降。证据u中x的闭环表达式（方程式14）在u=P/π时最大化。因此，如果u（0）>P/π，随着u减小到P/π，x值以二次（单调）方式增加。在这一点上，x开始减少ifu下降到P/π以下。（示例见第4节。）从推论4和推论5中，我们可以描述三种不同市场条件下产品维护的最优路径。我们将在第4节中说明这些路径。在下一节中，我们将展示通用模型的效率条件。3.3. 对于这一节，设f（V，u）=π（u）和H（V，u，λ）为问题8的哈密顿量，并将其转化为极小化问题：H=-R（u）1+A经验(-[23,24,22,25,26,27,28,29]中广泛讨论了最优控制问题的V）+Cu+λπ（u）充分条件，以及（矩阵）Riccative方程的有界性，该方程源于一个辅助最小化问题[23,29]：-˙S=HV V+2fVS- （HuV+fuS）H-1US（T）=-ψV | t=t当V和λ解Euler-Lagrange方程时，假设引理2中的条件满足，区间[0，t]足以确保确定的最优控制为（弱）局部最大值。注意我们有-ψV V | t=比ψV V | t=Tas更重要的是，我们已将其转换为一个极小化问题。在这种情况下，我们可以回到状态x（而不是V）的公式，并为u开发一套完整的必要和有效条件*tobe a（弱局部）最优控制，因为在没有u（t）的闭合形式表达式的情况下，很难确定方程2中的未知参数。

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可人4

2022-5-7 07:10:33

首先注意：˙x=π（u）x（1- x）从方程4中我们推断：˙λ=R（u）x（1- x）因为R的符号在目标函数中发生了变化。注：λ现在为负，并且随着符号变化而增加（与引理1相反）。从方程7中，我们推断：˙u=（R′（u）π（u）- π′（u）R（u））x（1- x） 2C- R′（u）x+λπ′（u）。这产生了与之前相同的˙u符号标准（这是预期的），但现在˙u表示为原始状态x和变换问题的共状态λ。根据x、u和λ重写Riccati方程得到：˙S=R（u）（1）- 2x）x（1）- x） +（R′（u）x（1）- 十）- π′（u）S）2C- R′（u）x+λπ′（u）。最后，我们可以计算-ψV | t=x（t）的Tin项：- ψV|t=t=（ψ′（x（t））（2x（t）- 1) - ψ′′（x（T））x（T）（1）- x（T）））x（T）（1- x（T））。最后，我们得出以下结论：命题2。假设x*, U*, λ*和S*求解下列微分方程组：˙x=π（u）x（1- x），˙λ=R（u）x（1）- x），˙u=（R′（u）π（u）- π′（u）R（u））x（1- x） 2C- R′（u）x+λπ′（u），˙S=R（u）（1）- 2x）x（1）- x） +（R′（u）x（1）- 十）- π′（u）S）2C- R′（u）x+λπ′（u），x（0）=x，λ（T）=-ψ′（x（T））x（T）（1）- x（T）），2Cu（T）=R′（u（T））x（T）- λ（T）π′（u（T）），S（T）=-ψV | t=t，（17）S在区间[0，t]上是有界的，并且一直是t∈ [0，T]和u（T）满足定点条件：2Cu（T）=R′（u（T））x（T）- λ（t）π′（u（t））。然后（x）*, U*) 是问题1的（弱局部）最优状态和控制。证据If（x）*, U*, λ*, s*) 是一个解，那么对应的V*λ*对于修改后的原始问题，必须满足Euler-Lagrange方程。假装你*满足固定点属性确保其解Hu=0，当Huu>0时，这意味着哈密顿量最小化。

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mingdashike22

2022-5-7 07:10:36

从[23,22]中，S在[0,T]上有界的事实足以确保（x*, U*) 是一个弱的局部最优状态/控制解，因为引理2的必要条件是满足的。虽然很难用封闭形式证明这一点，但一般来说，这并不是不合理的，因为钻机的右手侧在其组成未知中是光滑的，但必须检查这一点以确保最优。如第3.2节所述，条件命题2实质上简化了线性情况。推导过程是直接的，省略了空格。4.线性情况的数值示例我们将第3节中我们的模型获得的理论结果与不产生简单理论分析的更复杂模型进行比较。目的是展示在更复杂的情况下更简单的modelhold的经验法则。特别是，我们在目标函数中添加了折扣系数，以更准确地反映货币的时间价值。我们还考虑了创新系数A>0的更复杂的通用Bass模型[18,19,20,21]。由此产生的最优控制问题如下：中兴通讯-rt[αux- Cu]dts。t、 ˙x=β（A（1- x） +x（1）- x））（π（u）- π） ut>0，x∈ [0,1]，x（0）=x（18）为了简单起见，我们设置ρ≡ 0，以便在维护期结束时，相关公司不会明确关注市场份额。其余参数的取值如下：T=4；α = 2; β = 0.5; π= 0.5; P=1；r=0.05；C=1；A=0.05；我们将这些图分为推论5中所示的三种情况。每个案例代表着不同的星级市场份额；我们发现，产品维护的最佳控制路径在很大程度上取决于x。在图1中，我们看到了Corollar y 5案例1下的产品维护和企业市场份额的最佳控制路径。

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nandehutu2022

2022-5-7 07:10:39

在这一市场份额水平上，可以保持相对较高的图1维护水平：x=0.5的市场条件使收入最大化。市场份额在产品生命周期内单调增加，尽管产品维护随着时间的推移而减少，这符合雷曼第七定律。案例1代表的是一个拥有巨大、固定市场份额的供应商。凭借对维护的大力投入，该公司能够在整个产品生命周期内确保更多的市场份额。图2:x=0.3的市场条件在图2中，我们看到推论5案例2下的企业维护和市场份额的OPT ima控制路径。当x=0.3时，严格维护产品不再有利；因此，在产品生命周期内，市场份额单调下降。案例2代表了一家市场份额较小的供应商，他们希望在不产生高成本的情况下实现收入最大化。在我们的模式中，这家公司获得市场份额的成本太高。相反，该公司在市场份额恶化之前利用短期利润。与案例1相比，案例2中每个时间点的维护效率都要低得多。图3:x=0.4的市场条件在图3中，我们看到了推论5的案例3中企业产品维护和市场份额的最佳控制路径。由于数字样本对初始值敏感，xof降低10%有助于改善最优控制路径和市场份额行为。每次都很少关注维护。市场份额先上升，达到峰值，然后下降。从推论5中，我们知道当nu=πP时达到峰值。与第一种情况不同，供应商没有动力维持必要的维护效果或持续的市场增长。在这种情况下，产品维护的重点介于案例1和案例2.5之间。

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能者818

2022-5-7 07:10:42

结论和未来方向在本文中，我们提出了一个简约的最优控制问题来模拟企业在软件开发和分销过程中的动态决策过程。我们研究了在数字市场中运营时，市场份额和产品维护之间的关系。我们的理论分析表明，市场份额行为可以被描述为产品维护投入和特定条件的函数；尽管在产品生命周期内，市场份额可能会增加或减少，但只要产品的感知价值高于某个阈值，维护效率就应该始终降低。这一发现独立于初始条件和期末市场份额的残值，为雷曼的软件演化第七定律提供了分析基础。为了帮助可视化我们的发现，当维护工作量总是随着时间的推移而减少时，我们使用了线性大小写的数字示例。这些数字澄清强调了不同市场条件下的不同最优控制路径。正如预期的那样，初始市场份额和产品维护成本在供应商的决策过程中起着关键作用。我们的理论结果既支持贴现，也支持创新系数。对于未来的工作，确定最优性的充分条件是否可以进一步简化，或者这个问题是否本质上难以确定所导出的必要条件的解决方案的可行性，这将是有益的。其他模型扩展将包括将市场份额纳入生产成本C或考虑更一般的收入函数R（u，x）。

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何人来此

2022-5-7 07:10:46

在一个更基本的流行病模型中考虑市场份额增加的问题也很有趣。我们还希望通过在数字市场环境下分析多个Evendors的案例来扩展我们的研究。其他公司的加入增加了竞争，将模型的动态从最优控制问题转变为不同的博弈，因为每家公司必须在每次t时考虑所有其他公司的行动。我们希望更好地理解我们的结果在这种博弈论环境中是如何维持的。另一种研究途径是将同行评议反馈参数化，将其作为一个内生变量，企业可以通过营销和产品维护进行影响。这将增加模型的丰富性，并可能有助于更好地拟合经验数据，但代价是更简洁的模型。参考文献[1]苹果新闻信息，苹果-新闻信息-苹果报告第一季度结果（2014年）。统一资源定位地址https://www.apple.com/pr/library/2014/01/27Apple-Reports-First-Quarter-Results.html[2] M.Lehman，J.Ramil，P.Wernick，D.Perry，W.Turski，《软件演化的度量与规律——九十年代的观点》，第四届国际软件度量研讨会论文集（第四届国际软件度量研讨会）。内政部：10.1109/公制。1997.637156.[3] R.W.Wolverton，《开发大规模软件的成本》，计算机，C-23（6）（1974）615–636上的IEEE交易。内政部：10.1109/T-C.1974.224002。[4] F.Zahedi，N.Ashra fi，基于结构、效用、价格和成本的软件可靠性分配，IEEE软件工程交易17（4）（1991）345–356。内政部：10.1109/32.90434。[5] J.C.Munson，《软件测量：问题和实践》，软件工程年鉴1（1）（1995）255-285。内政部：10.1007/BF02249053。[6] K.Johari，A.Kaur，《软件演化对软件度量的影响》，载于：ACM SIGSOFT软件工程注释，2011年第36卷，第1页。内政部：10.1145/2020976.2020987。[7] N。

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