阿尔法预测的最优交易

2022-5-7 08:26:09

与Alpha Predictor的最优交易菲利波·帕塞里尼*和塞缪尔·E·V·阿斯克斯+*普林斯顿大学物理系，新泽西州普林斯顿08544物理实验室，法国巴黎高等师范学院，75005+Vega Edge LLC，纽约华尔街48号11楼，纽约10005，2015年1月19日摘要我们使用线性成本和临时影响的一般阿尔法预测来研究最优交易问题。我们在随机优化的框架内，使用限价和市价指令，在有限的水平上实现这一点。与其他研究一致，我们发现，线性成本的存在在使用市场指令时会导致“无交易”区域，在使用限价指令时会导致相应的“做市”区域。我们表明，当结合市场订单和限价订单时，问题会进一步划分为几个区域，在这些区域中，我们使用市场订单进行更积极的交易。尽管我们没有解析地解决完全优化问题，但我们给出了显式和简单的分析“配方”，这些配方近似于完全解决方案，并且易于在实践中实现。使用蒙特卡罗模拟测试算法，并展示它们如何改善我们的利润和损失。1简介在本文中，我们从一个普通交易者的角度出发，希望从阿尔法的所有可能来源中获利，包括预测因素，甚至可能是限价指令的做市。因此，受汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方法的启发，我们提出了一个非常通用和实用的框架。我们不寻求找到优化问题的精确解析解，而是引入一些算法“配方”，可以在实际交易中轻松实现。我们允许使用这两种限制*filippop@princeton.edu+svazquez@vegaedge.comand市场订单和一般阿尔法预测。

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2022-5-7 08:26:14

我们证明了文献中许多流行的优化问题都可以看作是我们框架的特例。线性成本下最优交易的研究由来已久。我们不会在这里回顾所有文献，而是让读者阅读以下文献：[1]。以前的工作主要集中在最优投资的情况下，即代理人可以选择风险资产和储蓄账户，或者在最优消费的情况下（参见[2,3]）。此外，最流行的设置是有限时间范围内的随机控制优化。这些研究都证实，最佳策略包括在以马科维茨投资组合为中心的非交易区（NT）边界进行即时交易。顾名思义，在这个区域内，代理商不交易。许多作者使用不同的近似方法（参见[4,5,6]）估算了该区域的宽度。然而，没有已知的封闭形式的解决方案。事实上，完全优化问题是相当棘手的。关于线性成本的大多数文献没有考虑风险资产的可预测性（除了漂移）。值得注意的例外是：[7,8,9]。在这些论文中，NT区域的显式宽度是在小线性成本和均值回复预测因子的限制下估计的。价格下滑的另一个原因是价格影响，参见[10]。这一影响只有在我们对每日量的一小部分进行权衡时才重要。众所周知，影响可分为暂时性影响和暂时性影响。从经验上看，我们发现暂时性影响会导致总成本，它是总交易量Q:C（Q）的幂~ 第三季度/第二季度。为了数学上的简单性，许多关于优化的论文用一个更简单的二次成本模型来简化这种幂律行为：C（Q）~ Q

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2022-5-7 08:26:18

事实上，用二次成本交易均值回复阿尔法预测值的问题可以在封闭形式下解决[11]。[12]最近研究了暂时冲击下的最优清算问题。文献[13]研究了线性成本和二次成本同时存在时的最优投资问题。另一个相对独立的文献流研究了限制指令在流动[14,15]和做市[16]-[20]中的使用。[21,22,23]研究了在部分执行的可能性下，市场订单与限制订单的最优分配问题。对于做市商而言，主要问题是限价订单的最优价格和库存风险。如果我们忽略部分执行，可以得到HJB方程的显式解[14,18]。这些文章中缺少的一点是添加了一般阿尔法预测因子，因为重点主要是做市或清算。[20]在价格过程中引入了一些基本的可预测性。限价订单的另一个问题是，与线性成本（市场订单）的情况相比，优化问题可能更加棘手。在本文中，我们试图将所有这些工作的成分结合起来，为一般阿尔法交易者制定一个优化问题。我们在有限的时间范围内做到这一点。这种边界条件的选择是基于交易的现实。除外汇市场外，大多数资产在特定的交易时间内进行交易，并在交易日结束时按市值计价。事实上，标准会计惯例是将每日损益总额分为交易部分（交易至收盘）和未平仓部分（收盘至收盘）。作为交易者，我们只能控制今天的交易，也可能控制我们希望在下一天保留的隔夜风险。

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2022-5-7 08:26:21

这对高频交易者和做市商尤为重要，因为他们必须限制隔夜风险的水平。关于交易的另一个重要事实是，我们经常使用每日数据计算的信号，这些数据通常只有在市场收盘时间之后才可用。这可能是由于操作原因或数据的性质。在这种情况下，直觉告诉我们，为了最大限度地利用每日信号的阿尔法（或尽量减少时间延迟），第二天就应该尽快交易。我们的优化结果确实导致了这种行为。直觉也告诉我们，高频信号对于交易日常或缓慢移动的目标应该是有用的。事实上，我们将把我们的优化写为一个跟踪问题，寻求最小化我们的投资组合和每日马科维茨投资组合之间的剩余风险。与大多数工作不同的是，我们不寻求HJB方程的精确或数值解（除了一些简单的情况）。相反，利用解的一般性质，我们将学习如何构造简单的近似，以便在实践中使用。虽然我们允许存在暂时的市场影响，但我们对线性成本更感兴趣。因此，重点将是寻找NT或做市商区域边界的简单表达。对于限价订单，我们不考虑部分执行。我们发现，在阿尔法预测因子的存在下，一个人可能处于发送市场订单的最佳区域。此外，一旦我们接近NT区（在本例中为做市区），使用定向限价指令就更为可取。在本文中，我们没有详细研究超限价订单（即其价格）的优化问题。然而，我们指出，这可以很容易地包含在我们的形式主义中。

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2022-5-7 08:26:25

为了测试我们的算法，我们使用由均值回复信号源驱动的简单蒙特卡罗模拟。我们发现，与使用市场订单对每日马科维茨投资组合进行暗示交易相比，我们的策略提高了损益的全球夏普。在本节的剩余部分中，我们将介绍我们的符号，并介绍一些将在下文中使用的定义。在第2节中，我们只描述了市场订单的优化问题。引入目标函数，推导出相关的HJB方程。我们提出了HJB方程的近似解，并讨论了近似解的有效性。利用蒙特卡罗模拟对从HJB近似解得到的交易策略进行了测试。在第3节中，我们将重新讨论优化问题，同时考虑限额和市场订单。同样对于这种情况，我们推导了相关HJB方程的近似解，并使用蒙特卡罗模拟测试了相关的交易策略。附录A包含关于Ornstein-Uhlenbeck过程的基本事实，该过程用于对预测值进行建模。附录B描述了一般瞬态冲击函数情况下的HJB方程。附录C、D和E考虑了简化优化问题的不同制度。特别是，在附录C中，我们展示了在零波动信号的情况下，可以使用Euler-Lagrange变分原理精确地解决优化问题。在附录D中，HJB方程在二次影响和零线性成本的情况下精确求解。

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2022-5-7 08:26:28

在附录E中，我们重点讨论了价格影响较大的情况，并定义了一种微扰方案，以递归求解HJB方程。1.1注：我们可以从今天的开盘时间到今天的收盘时间T进行交易。后续市场日收盘之间的时间间隔等于T，因此昨天的收盘时间为0，明天的收盘时间为2T。我们将从今天交易时间内的某个时间t开始优化综合损益，即t∈ [topen，T]，直到明天的关门时间，也就是2T。相关时间如图1中的时间箭头所示。图1：交易时间箭头。我们将今天的开放时间表示为topenan，将今天的闭幕时间表示为T。前一天的收盘时间为0，第二天的收盘时间为2T。为简单起见，我们将考虑价格为Pt的单一资产。价格动态由dpt=αtdt给出+√νdWt（1），其中dt是我们交易决策的时间尺度，wt是标准的维纳过程。时间上的随机依赖性将用下标表示，如dPt。在不丧失普遍性的情况下，我们将漂移αtinto分解为一个常数α和日内分量xt0，平均值为零：αt:=\'\'α+xt，E[xt]=0（2），其中通常，E[…]表示无条件期望，条件期望表示为E[…|条件]。我们可以将“α”视为来自每日预测值的α，而XT则来自日内或高频信号。在这一点上，我们让xt的动力学变得非常一般：dxt=u（t，xt）dt+pη（t，xt）dZt（3），其中漂移u（t，xt）和方差η（t，xt）允许依赖于时间t和信号xt。我们通常将快速信号建模为Ornstein-Uhlenbeck过程，即具有恒定波动性的均值回复过程：dxt=-κxtdt+√ηdZt。

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2022-5-7 08:26:31

附录A中收集了关于Ornstein-Uhlenbeck均值回复过程的基本结果。为方便起见，我们引入了以下微分算子：^Dt，x：=t+u（t，x）x+η（t，x）x（4）是时间转换的最小生成器，它对（3）中描述的过程有影响。我们将高频信号的综合增益定义为：g（t，x）：=Z2TtE[xs | xt=x]ds（5），它对从今天交易小时的时间t到明天交易结束的日内信号相关增益进行编码。利用费曼-卡克公式，我们可以证明综合收益与以下关系：^Dt，x·g（t，x）+x=0（6）我们头寸qt的演变由：dqt=utdt（7）给出，其中uti是时间t的交易率。优化问题归结为找到使某个目标函数最小化的最优交易率。总的来说，我们预计场外交易率是时间、我们当前头寸和我们的预测值的局部函数：ut:=u（t，xt，qt）。在下文中，我们将利用正部分函数（x）+，定义为（x）+:=xθ（x）（8），其中θ（x）是θ（0）=0.2优化的重阶梯函数，在本节中，我们研究了使用市场指令进行交易的情况。为了便于记法，我们假定一半的排列是恒定的。然而，放松这一限制非常简单，无论传播的动态如何，我们的最终（近似）结果都是有效的。我们专注于一天的交易。因此，我们被允许在公开市场时间内的某个时间t进行交易，直到今天收盘，也就是时间t。

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2022-5-7 08:26:36

然而，为了考虑夜间风险和可能的阿尔法，我们将优化综合损益，从今天的某个时间t到下一个交易日的收盘，即2T。在我们的假设下，相关目标函数如下所示：Ohm（t，x，q）=min{us|s∈（t，t）}EZTtC | us | ds+KZTtusds-Z2Ttαsqsds+λνZ2Ttqsdsqt=q，xt=x（9）其中，最佳交易策略是为交易提供最小可能价值的策略Ohm（t，x，q）。（9）中RHS的第一项是市场订单的成本，其中C是投标报价的一半，假定为常数。第二任期是对交易规模的控制或监管。特别是，常数K的大值意味着平均贸易规模小，反之亦然。然而，它也可以被解释为来自暂时的市场影响。事实上，我们也可以为一般指数p建立一般影响函数KR | us | pds的模型。为了简单起见，在正文中我们将重点讨论二次影响函数。一般指数p的情况在附录B中讨论。鉴于我们在一天内优化交易，因此（9）中的第一项和第二项编码了与交易相关的贡献，因此在从初始时间到今天收盘之间进行了整合。第三项是来自资产阿尔法的收益。这包括每日α的贡献（在所考虑的交易日内保持不变）和高频分量XT。（9）中的最后一项是风险控制，它与损益的方差成正比。常数λ是一个风险规避参数。

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2022-5-7 08:26:39

我们注意到，第三项和第四项都是在下一个交易日结束前进行积分的，以便对隔夜风险和α进行建模。利用汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）原理，我们可以写出目标函数的下列关系式Ohm（t，x，q）定义在（9）中：Ohm（t，x，q）=min{us|s∈（t，t）}E（C | u |+Ku）- （？α+x）q+λνq）dt+Ohm（t+dt，x+dx，q+dq）qt=q，xt=x（10）应用它的o引理，从关系式（10）中，我们可以推导出以下目标函数的HJB方程：^Dt，x·Ohm（t，x，q）- （？α+x）q+λνq+分钟C | u |+Ku+Ohm曲= 0（11），其中微分算子^Dt，xis在（4）中定义。为了对优化问题有更好的直觉，可以方便地使用稍微不同版本的目标函数（9）。事实上，正如我们将要展示的，我们可以把优化写成一个投资组合跟踪问题。为此，我们引入了每日马科维茨投资组合：\'q:=\'αλν（12）和一个新的目标函数：V（t，x，q）：=Ohm（t，x，q）+g（t，x）q+λν\'q（2T）- t）（13）其中g（t，x）是与HF信号相关的增益，如等式（5）所定义。两个函数sv（t，x，q）和Ohm（t，x，q）不同于不依赖于交易率us的术语，这意味着它们正在建模相同的优化问题。也就是说，我们可以模糊地使用两个目标函数中的一个来计算最优交易率。在下文中，我们将始终使用v（t，x，q）。为了理解目标函数V的意义，将其写成V（t，x，q）=min{us|s是很有用的∈（t，t）}EZTt（美国）- g（s，xs）us）ds+KZTtusds+λνZ2Tt（qs）- q）dsqt=q，xt=x（14）第一项是市场秩序的有效成本，一旦我们考虑到高频预测因素。因此，日内信号可以用来降低交易成本，原则上也可以是负值。

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2022-5-7 08:26:42

最后一项是努尔头寸和每日马科维茨投资组合之间差异的综合剩余风险（方差）。这个术语将交易推向每日马科维茨投资组合“q”，这是每日信号建议的目标头寸。因此，最初的优化问题与使用快速信号跟踪马科维茨投资组合是双重的。这种分解虽然相当随意，但在实践中非常有用，因为交易者可以简单地用来自每日回测的理想投资组合替换“q”。使用定义（13）和HJB方程Ohm （11），可以写出V:^Dt，x·V+λν（q）的hjb方程- q）+minC | u |+Ku+五、Q- GU= 0（15），我们使用关系式（6）。边界条件由表达式（14）得出，由以下公式给出：V（T，x，q）=λνT（q- q）（16）这正是一天结束时，马科维茨投资组合的剩余方差。优化问题归结为用边界条件（16）求解HJB方程（15）。为了将方程（15）简化为标准偏微分方程，我们推导了交易率u，该交易率u使termhC | u |+Ku最小+五、Q- G用户界面。这样，交易率u与收益g、线性成本C以及目标函数相对于初始头寸的导数有关，即五、q、 u的显式表达式取决于（t，x，q）空间中的位置。特别是，（t，x，q）空间被分为三个区域，并且在每个区域中，u呈现不同的表达式。这些是我们买卖或不交易的地区。具体来说，三个区域和相应的交易率u由以下公式给出：问题的另一个可能公式是假设恒定的离散化交易率，即u∈ [-Q、 0，Q]。我们将在下一节中考虑这个模型，在那里我们也允许限制订单。1.g>C+五、Q

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2022-5-7 08:26:45

在这种情况下，u>0，所以我们购买：u=2KG- C-五、Q(17)2. g<-C+五、q、在这种情况下，u<0，所以我们销售：u=-2K-G- C+五、Q(18)3. -C+五、Q≤ G≤ C+五、q、在这种情况下，我们不交易，即：u=0（19）。卖出区和不交易区（NT）之间的边界是一个嵌入（t，x，q）空间的二维模型。我们通过显式参数化q=b来描述它-（t，x）。同样，购买区和NT区之间的边界被描述为q=b+（t，x）。从方程（17）、（18）可以看出，b±（t，x）由以下方程隐含定义：g C=五、Qq=b±（20）最佳交易轨迹，从买入区开始，进入NT区，直到一天结束，如图2所示。正如我们在附录C中所示，这种情况是在零波动率均值回复信号的情况下实现的。对于随机信号的情况，通常一个人可以在一天中多次进出NT区域。如图2所示，NT区域的宽度在一天结束时增加。这意味着我们在一天开始的时候更具侵略性。请注意，这与我们在日常信号存在的情况下的直觉是一致的。由于每日信号只是一个漂移，我们通过在一天开始交易来最大化我们的利润。我们可以将交易率u总结为：u=2KG- C-五、Q+-2K-G- C+五、Q+（21）其中（8）中定义了正部分函数（x）+。V（15）的方程现在可以写成紧凑的形式：^Dt，x·V+λν（q- “q）- Ku=0（22），其中u在（21）中给出，边界条件在（16）中定义。HJB方程（22）通常很难求解。在本节剩下的部分中，我们考虑t“t”q“卖出$Zone$Buy$Zone$No/Trading$Zone$Trading”轨迹“b@（t，x）”b+（t，x）”的近似值。图2：图中显示了卖出、买入和不交易（NT）区域。

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2022-5-7 08:26:49

我们表示为b-（t，x）（b+（t，x））销售（购买）区域和NT区域之间的边界。我们展示了一个交易轨迹，初始位置在买入区。交易将仓位移向新界区，当达到该位置时，交易停止。源项-忽略了Kuin方程（22）。我们认为，对于价格不受影响的市场，这是一个很好的近似值，即在极限K内→ 0，并使用蒙特卡罗模拟来描述我们在这种情况下的交易策略的实施。在信号波动率为零的情况下，不存在不确定性，优化问题可以用欧拉-拉格朗日变分原理求解。我们在附录C中讨论了这种情况，在附录C中，我们能够推导出任何确定性信号的边界b±的显式表达式。我们还计算了确定性均值反向信号情况下的最佳交易轨迹，表明在这种情况下，一旦我们进入无交易（NT）区域，我们会一直呆在那里直到一天结束。该解决方案的另一个一般特征是→ 0我们立即到达NT区域的一个边界（如果我们出去了）。另一种完全可解的情况是，当我们将线性成本设置为零时，即C=0。在这种情况下，我们只剩下二次成本，问题变得非常类似于[11]中研究的离散时间优化。

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2022-5-7 08:26:54

在附录D中，我们使用Feynman-Kac定理明确地解决了一般信号的这个问题。我们注意到[8]中讨论的问题基本上与本节中描述的优化问题相对应，但在有限的时间范围内，在NT区域边界瞬间到达的情况下（无价格影响）。2.1近似HJB解决方案我们已经展示了如何用目标函数表示最优策略，由HJB方程（22）确定。这个方程的精确解析解似乎遥不可及，因此出于实际目的，我们建议使用忽略源项得到的解-奎因（22），即：V≈λν（2T）- t）（q）- q）（23）使用这个近似目标函数V，我们得到五、q=λν（2T）- t）（q）- q）（24）和方程（20）可以显式求解，以获得边界b±（t，x）。结果是：b±（t，x）=q+λν（2T）- t）（g（t，x） C）（25）我们注意到（25）相当于确定性情况（63）的对应表达式，其中确定性增益被随机增益取代。在哪种情况下，我们可以证明近似值（23）？在极限K→ ∞, 随着美国经济的增长，交易率降至零~ 1/K，因此源项也会变为零-库~ 1/K。因此，在这种情况下，作为一阶近似，我们可以忽略源项，使用解（23）。事实上，正如我们在附录E中所描述的那样，我们也可以用1/K定义系统扩展。另一个更实际的限制是当K→ 0，这对应于价格影响可以忽略不计的情况，对于小交易者来说是一个很好的近似值。在这种情况下，根据直觉和附录C中确定性案例的结果，我们会立即（当我们离开NT区域时）向NT区域的边界进行交易。

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2022-5-7 08:26:58

有人可能会说，在这种情况下，u是不同的，但在实践中，交易规模必须是有限的，即isdq=u dt=FINITE（26）。此外，在实践中，dt是有限的（例如1秒），因此当K变为零时，u仍然是有限的，我们可以证明我们的近似值是正确的-库≈ 0.当然，这不是一个正式的数学证明，而只是一个论点，允许我们在忽略市场影响的情况下使用结果（25）。2.2实施和模拟我们现在描述如何在实际交易中实施我们的形式主义。我们考虑的是asmall trader的情况，其价格影响可以忽略不计。正如我们已经讨论过的，这对应于极限K→ 0，其中近似值（23）是可靠的。在这个制度下，如果我们不在NT区，我们会立即向其中一个边界进行交易。特别是，我们与b进行贸易-（t，x）边界，如果我们在销售区，则为边界b+（t，x），如果我们在购买区。（25）给出了边界b±（t，x）的表达式。基本交易决策量表设置为dt。我们可以将每日马科维茨仓位q作为每日回溯测试的理想仓位。因此，拉格朗日乘数λ可以写成：λ≈每日目标的年化夏普比率每日目标的年化波动率（27）。我们假设我们可以将高频预测值建模为均值回复过程。在实践中，根据z分数或信号分解我们的日内alpha XT是有用的两次[t] =0和VAR[t] =1。

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2022-5-7 08:27:02

我们可以写：xt:=β√νtdt=-κtdt+√2κdZt（28）常数β可以方便地用理想HFposition的年夏普比qt=t/√ν:β ≈高频信号的年化夏普比√252T（29）那么增益是：g（t，) =β√νκ1.- E-κ（2T）-（t）≈β√νκ（30），如果预测值的时间尺度远小于一天，则最后一个近似值有效。我们用蒙特卡罗模拟测试了我们的算法，结果如图3所示。在模拟中，决策时间标度为dt=1分钟，当我们离开NT区域时，我们一次直接交易到NT区域的边界。日内信号的平均回复时间为30分钟，日信号在一天中保持不变，但每天都在变化，平均回复时间为10天，年夏普为2.1。其他相关参数包括价格方差ν=0.01，半价差C=0.01，风险规避λ=37.4。我们用β=1参数化HF，如（28）所示，对应于HF Sharpe=16.5。在图3中，蓝线是每日信号的累积损益，其中交易都在一天的开始，线性成本被忽略。绿线与考虑了线性成本的损益相同。红线是我们从HJB方法中获得的策略损益，该方法还考虑了交易成本。我们看到，由于高频信号和日内交易，我们的策略优于每日策略。

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2022-5-7 08:27:05

事实上，当交易成本被忽略时，我们的损益也高于每日损益，这意味着由于高频信号，我们可以跟随每日信号，产生负交易成本。2011年3月2011年7月2011年11月2011年3月2012年7月2012年7月2012年3月2013年7月2013年7月2013年7月累计损益每日目标不含成本（2.08）每日目标（1.88）HJB日内目标（2.33）图3：该图显示了几个累计损益，图例中括号内的数字是对应的夏普比率。蓝线是日常策略的损益，不考虑直线成本。绿线是考虑线性成本的相同策略。红线是日内交易的策略，也考虑了交易成本。高频平均回复时间为30分钟，日信号平均回复时间为10天。相关参数为：ν=0.01，C=0.01，λ=37.4，β=1.3极限订单优化。我们现在重新讨论前面章节中描述的优化问题，也允许极限订单。我们可以使用相同的HJB框架，现在（7）中定义的交易率可以从市场订单和限制订单中获得分配。具体来说，我们的立场现在将按照以下方式演变：dqt=（m+t）- M-t+1+tl+t- 1.-热释光-t） dt，m±t，l±t≥ 0（31），其中m±和l±皮重分别为市场和限制订单的大小。如果在间隔dt内执行限制指令，则指示器为1±tequalsone，否则为零。因此，我们假设我们的限价订单足够小，可以一次性完成（我们忽略部分订单）。为简单起见，我们将假设价差是恒定的（一个刻度），因此只有在中间价朝正确方向移动时，才会执行限价指令。如前一节所述，我们将一半排列表示为C。在间隔dt结束时，所有待定的限额订单都将被取消。

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kedemingshi

2022-5-7 08:27:08

我们还认为，我们会将限价订单放在书的顶部，因此不会优化其价格。我们将在本节末尾讨论如何实施价格优化。设P+，P-是在下一个时间步长dt内完成限价买卖订单的条件概率。到目前为止，我们已经将决策区间dt中的价格建模为一个差异过程。然而，在现实生活中，dt内部存在离散的价格运动（滴答滴答）。这些都是P±必须预测的运动。因此，对于限价指令，我们必须有一个非常短期的预测因子，它可能不同于较长期的日内阿尔法xt。因此，fill probability可以是时间的函数，我们不同的日内α流：P±（t，x，y）：=E[1±t | xt=x，yt=y]（32）。在实践中，我们预计yt将通过比xt短得多的平均逆转时标来主导fill probability。此外，理想情况下，两个阿尔法源都是不相关的。我们将在第3.2节回到这一点。我们将忽略价格影响，简单地限制交易规模，以便：∈ [0，Q]（33）l±∈ [0，Q]（34）米±+l±∈ [0，Q]（35）其中Q>0。请注意，如下文所述，在没有影响期限的情况下，最后一个限制只会选择限制或市场秩序。HJB方程（15）的形式如下：0=^Dt，x，y·V+λν（q- “q）+minm，l”m+C+五、Q- G- P+l+C-五、q+g+M-C-五、q+g- P-L-C+五、Q- G（36）其中，如前一节所述，C是买卖价差的一半，假设为常数，而^Dt，x，y是时间的最小生成器，它是我们预测集的差异。我们的交易决策基于HJB方程（36）中m±，l±的优化。与市场订单一样，我们发现了不同的交易区域。特别是，我们发现了一个销售区域、一个购买区域和一个做市区域。

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2022-5-7 08:27:11

销售和购买区域分为两个子区域，即我们发送市场订单的市场订单区域和我们发送限制订单的限制订单区域。总的来说，我们的策略包括五个区域：我们发送卖出市场订单的区域、我们发送卖出限价订单的区域、我们做市的区域、我们发送买入限价订单的区域和我们发送买入市场订单的区域。具体而言，我们刚才描述的五个区域由以下表达式定义：1。g>C1+P+1-P++五、我们发送了一份购买市场订单。2.C+五、q<g<C1+P+1-P++五、我们发出限购订单。3.-C+五、Q≤ G≤ C+五、我们同时发送买入和卖出限价指令（做市）。-C1+P-1.-P-+五、q<g<-C+五、我们发出限价销售订单。5.g<-C1+P-1.-P-+五、我们发送一份销售订单。我们注意到，造市区域的边界仅在市场订单的情况下与新界区相同。因此，使用与上一节相同的符号，它们由G定义 C=五、Qq=b±（37），其中b+（t，x）（b）-（t，x））现在将做市区域与买入（卖出）限制区域分开。我们将b+（t，x，P+）定义为买入市场区域和买入限制区域之间的边界，以及b-（t，x，P）-) 作为卖出市场区域和卖出限制区域之间的边界。它们由以下等式隐含定义： C1+P±1- P±=五、Qq=~b±（38）五个交易区域和所有边界如图4所示。这是一个示意图，其中x，P+，P-在白天是恒定的。实际上，它们是随机量。请注意，当我们远离做市区域（即我们远离理想的每日仓位“q”）时，该策略需要市场订单，当我们接近该区域时，该策略需要限价订单。

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2022-5-7 08:27:15

因此，当我们远离最佳位置，与直觉不一致时，策略会变得更具攻击性。在第3.2节中，我们使用蒙特卡罗模拟来测试我们的策略。在我们的简化模型中，我们发现同时发送买入和卖出限价指令（做市）是次优的。原因是，在我们的简单模拟中，我们永远不会同时执行两个订单，我们被迫在未来进行更多交易。相反，最好不要在该地区进行贸易。因此，在我们的模拟中，我们将用非交易区域取代做市区域。交易率Q的最佳值是什么？与市场订单一样，在没有影响的情况下，我们希望尽可能多地进行交易。然而，我们不应该跨越交易区域，因为这将导致未来更多不必要的来回交易。因此，我们认为，在我们当前贸易区域的边界进行贸易是最佳的。请注意，我们没有优化[14,18]中的限价订单价格。尽管我们不会在本文中详细研究这个问题，但我们应该指出，这种优化在我们的框架中实现起来非常简单。例如，假设价差始终为一个刻度，让C+δ±T“T”q“买入$MARK$Zone$MARK。使$Zone$b；（T，x）“b+（T，x）”买入$Limit$Zone$Sell$MARK$Zone$Sell$Limit$Zone$b；（T，x，P；）”b+（t，x，P+）“~~图4：本图显示了具有限制指令的情况下的五个区域。我们表示为b-（t，x）（b+（t，x））卖出（买入）限制区域和做市区域之间的边界。卖出（买入）市场区域和卖出（买入）限制区域之间的边界表示为b-（t，x，P+）-)). 对于图形曲线，我们表示常数x，P+，P的情况下的区域-.是限价订单与中间价的价格距离，其中δ±≥ 0

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何人来此

2022-5-7 08:27:19

价格距离为C+δ±的alimit订单的完全概率定义为asP±（δ±，t，x，y）：=E[1±，t | xt=x，yt=y]（39）。那么我们的优化问题现在又包括两个维度：minm±，l±，δ±m+C+五、Q- G- P+（δ+，t，x，y）l+C+δ+-五、q+g+M-C-五、q+g- P-(δ-, t、 x，y）l-C+δ-+五、Q- G（40）包括最优订单安排在内的问题的详细研究和模拟将留给未来的工作。3.1近似HJB解在市场订单的情况下，HJB方程的完整解似乎没有希望。因此，在这种情况下，我们也将V近似为非交易区的值函数：V（t，x，q）≈λν（2T）- t）（q）- q）（41）哪一个五、q=λν（2T）- t）（q）- q）（42）方程（37）和（38）可以显式求解，以获得边界b±（t，x）和∧b±（t，x，P）。结果是：b±（t，x）=q+λν（2T）- t）（g（t，x） C） ~b±（t，x，P±）=q+λν（2T）- （t）g（t，x） C1+P±1- P±（43）3.2实施和模拟我们已经使用蒙特卡罗模拟测试了我们的交易策略。特别是，我们在第3.1节中描述的近似条件下工作，其中各个区域的边界给出了不等式（43）。正如我们已经提到的，我们正处于零影响因子的近似值，因此贸易会瞬间到达我们所在地区的边界。在我们的模拟中，为了捕捉与订单相关的价格的非常短期的行为，我们将我们的日内阿尔法分解为一个缓慢的过程(t）而且很快t）预测因素。

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nandehutu2022

2022-5-7 08:27:22

也就是说：dPt=（\'α+xt）dt+√νdWtxt=√νβt+-βTDt=-κtdt+√2κdZtd▄t=-~κ~tdt+√2κdZt（44）只有在以下情况下，快速信号才会主导短期价格可预测性： β ,~β~κβκ（45）事实上，~斜纹布的数量级为dt:~κ~ 1/dt（46）在这种情况下，所有概率都是√ 只是，而长期综合增益将只是t:P±≈ P±（）) = Φ√ν~ -2Cdtpνdt！，g（t，) ≈β√νκ（47），其中Φ是单位正态分布的累积函数。在图5中，我们展示了使用简单的限额/市场订单算法进行蒙特卡罗模拟的结果。所有参数与第2节中的模拟相同。对于快速信号√t、我们采用1分钟的平均回复时间标度（即，它等于dt）和β=13。与之前的模拟一样，我们会立即向我们的区域边界进行交易。尽管我们的模拟没有考虑做市，但我们发现使用限价订单有轻微的改善。2011年3月、2011年7月、2011年11月、2011年3月、2012年7月、2012年2月、2013年7月、2013年7月、2013051015累计损益每日目标（不含成本）（2.08）每日目标（1.88）HJB日内目标（2.33）HJB日内目标（含L.o）（2.42）图5：图例中的前三个累计损益与图3中描述的交易策略相同。图例中的最后一条损益（浅蓝色线）与HJB策略有关，该策略包括日内交易、市场交易和限价订单。交易成本也被考虑在内。相关参数如图3所示，快速预测的平均回归时间尺度为1分钟，β=13.4结论在本文中，我们开发了一个通用框架，以得出利用任何可能的α来源的最佳交易策略。

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2022-5-7 08:27:26

我们使用了汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）理论，尽管HJB方程无法精确求解（除了一些简化限制），但我们提出了几个算法，这些算法受精确解的一般特征启发，可以在实际交易中轻松实现。我们的框架使用有限的地平线优化。事实上，我们在一天内优化了交易，并考虑了隔夜风险和可能的隔夜阿尔法。我们将预测因子的日常组成部分从当天的第一天分离出来。通过这种方式，在任何一个交易日内保持不变的每日阿尔法确定了一个理想的头寸或马科维茨投资组合，交易者应该达到该头寸或马科维茨投资组合。我们的策略规定了如何利用日内信号达到每日信号指示的理想位置。我们考虑了两个滑动来源：临时市场影响和线性成本。前者意味着交易率的降低。后者，在我们只允许市场指令的情况下，会产生一个以马科维茨投资组合为中心的无交易（NT）区域，其边界取决于日内预测值的值。在NT地区之外有头寸的交易者向NT地区边界交易。参见图2。在我们同时允许市场和限价指令的情况下，NT区域被做市区域取代，交易员在该区域同时发送买入和卖出限价指令。在这种设置中，买卖区域被分别划分为两个子区域，以所使用的订单类型为特征。例如，卖出区域分为卖出限制区域（交易员发送卖出限制指令）和卖出市场区域（交易员发送卖出市场指令）。

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2022-5-7 08:27:29

market Order地区距离Markowitz投资组合最远，因此与直觉一致，在这些地区，我们交易更积极，发送市场订单。参见图4。总而言之，我们的框架以一种统一的方式将限额和市场指令结合起来，允许交易人员利用每日阿尔法信号、日内阿尔法信号和围绕最佳每日仓位的做市。我们已经使用蒙特卡罗模拟测试了我们的分析算法，重点是一个小交易者的情况，其中价格影响可以忽略不计。这些数字表明，对于一个天真地遵循马科维茨投资组合的交易员来说，我们的策略增加了累积利润和损失。在本文中，我们没有对限价订单的价格进行优化，只是简单地考虑了最接近中间价格的订单（即，位于订单簿顶部的限价订单）。此外，我们的简单蒙特卡罗法不允许对做市进行数值模拟，我们将该区域替换为非交易区域。我们很自然地期望，适当优化限价单价格和引入做市将进一步改善我们模拟中的利润和损失。我们把这个留给未来的研究。感谢Adela Baho、Slava Belyaev、Arthur Berd、Jim Gatheral、Petter Kolm、JungWoo Lee和Matthew Lorig的讨论。F.P.的工作得到了玛丽·居里国际离任奖学金FP7-PEOPLE-2011-IOF项目298073（ERGTB）的支持。Ornstein-Uhlenbeck均值回复过程Ornstein-Uhlenbeck过程描述为：dxt=κ（`x- xt）dt+√κt等于ηx的过程，它意味着。在主要文本中，我们通常认为“x=0”，然而，本附录中的结果是针对完整性得出的一般结果。

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kedemingshi

2022-5-7 08:27:32

方差η被视为常数，Zt是标准的维纳过程。在边界条件xt=x的情况下，（48）的解由xs=`x+（x）给出- \'x）e-κ（s）-（t）+√ηZste-κ（s）-r） dZr（49）x为正态分布，其期望值和方差由边界条件xt=x决定，由[xs | xt=x]=\'x+（x）给出- \'x）e-κ（s）-t） Var[xs | xt=x]=η2κ（1）- E-2κ（s-t）（50）将过程XS视为高频信号，我们可以计算公式（5）中定义的增益g（t，x）。结果是g（t，x）=x（2T- t） +x- \'-xκ（1）- E-κ（2T）-t））（51）并且可以明确地检查一般条件（6）是否满足。它遵循dg（t，x）=-x dt+√ηκ(1 - E-κ（2T）-t））dZt（52）增益g（s，xs）也是正态分布的，条件平均值M（s）和条件方差∑（s）由M（s）给出：=E[g（s，xs）| xt=x]=“x（2T- s） +x- \'-xκ（1）- E-κ（2T）-s））e-κ（s）-t） ∑（s）：=Var[g（s，xs）|xt=x]=η2κ（1）- E-2κ（s-t））（1- E-κ（2T）-s））（53）具有一般价格影响函数的HJB方程在本附录中，我们记录了具有一般临时影响函数KR | us | pds且p>1的情况下的HJB方程。将目标函数（14）推广为以下函数v（t，x，q）=min{us|s∈（t，t）}EZTt（美国）- g（s，xs）us）ds+KZTt | us | pds+λνZ2Tt（qs）- q）dsqt=q，xt=x满足HJB方程^Dt，x·V+λν（q- q）+minC | u |+K | u | p+五、Q- GU= 0（54）与正文中讨论的二次型情形一样，由于u的最小化，解被分为三个交易区域：1。g>C+五、q、在这种情况下，u>0，所以我们购买：u=主键P-1.G- C-五、QP-1(55)2. g<-C+五、q、在这种情况下，u<0，所以我们销售：u=-主键P-1.-G- C+五、QP-1(56)3. -C+五、Q≤ G≤ C+五、Q

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2022-5-7 08:27:35

在这种情况下，我们不交易（u=0）。贸易汇率u简写为：u=主键P-1.G- C-五、QP-1+-主键P-1.-G- C+五、QP-1+（57）和HJB方程（54）可以写成：^Dt，x·V+λν（q）- “q）- K（p- 1） |u | p=0（58）C零挥发性信号我们考虑HF信号x具有零挥发性的近似值，即isdx（t）=u（t，x（t））dt（59）。在这种情况下，优化问题是完全确定的，最优策略（定义为最小化目标函数（14）的策略）可以使用变量原理计算。当初始仓位位于买入区或卖出区时，最好向非交易区（NT）交易。我们假设我们在市场收盘前到达新界区，一旦我们进入新界区，我们就一直呆在那里直到一天结束。正如我们将要展示的，对于指数信号（或零信号）的情况，这是一个正确的假设。然而，总的来说，NT区域的边界取决于x，因此人们可以多次进出该区域，对于非终止信号也是如此。在我们的假设下，如果初始位置q（t）=q位于销售区域，我们销售直到到达b-, 销售和NT区域之间的阈值。也就是说，我们一直销售到q（t）=b-（^t，x（^t））。类似地，如果初始仓位位于买入区，我们买入直到达到b+，即买入区和NT区之间的阈值。也就是说，直到时间t达到q（t）=b+（t，x（t））。我们表示为V-（V+）我们从销售（购买）区域开始的案例的目标函数（14）。

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可人4

2022-5-7 08:27:38

显式地，V±（t，x，q）=min{q（s）|s∈（t，t）}“Z^tt±C˙q（s）- g（s）˙q（s）+K˙q（s）+λν（q（s，x（s））- “q）ds+λν（2T）-^t）（q（^t）- “q）= min{q（s）|s∈（t，t）}V±[q（s）]（60）在最后一行中，我们定义了V±[q（s）]，交易轨迹q（s）的函数，满足边界条件q（t）=q和˙q（s）：=dq（s）/ds。我们的信号x（s）是确定性的，边界条件x（t）=x，增益定义为g（s，x（s））=R2Tsx（r）dr，这是（5）中定义的增益的确定性限制。最优策略由使V±[q（s）]最小的轨迹q（s）给出，并可使用欧拉-拉格朗日变分原理导出。也就是说，我们要求V±[q（s）]对于最小轨迹周围的任何容许函数是静止的。初始位置是固定的，因此我们不允许在初始时间出现波动，即δq（t）=0。然而，总的δq（^t）6=0，这也将产生在时间^t时计算的边界项的运动方程。我们有δq（s）V±[q（s）]=λν（2T）-^t）q（^t）- “q”±C-g（^t，x（^t））δq（^t）+Z′ttds(-2K–q（s）+g（s，x（s））+λν（q（s）- Δq（s）（61），其中我们使用了˙q（\'t）=0。事实上，公式（21）显示，当我们接近NT区域时，交易率为零。因此，使成本函数最小化的轨迹由两个方程描述：0=λν（2T-^t）q（^t）- “q”±C-g（^t，x（^t））0=-2K–q（s）+g（s，x（s））+λν（q（s）- q）（62）我们提醒，^t是头寸到达交易区域边界的时间，因此q（^t）相当于b-（^t，x（^t））（b+（^t，x（^t）））如果我们从销售（购买）区域开始。

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2022-5-7 08:27:41

因此，第一个方程可以用以下方式写成b±（^t，x（^t））=\'q+λν（2T-^t（g（^t，x（^t）） C）（63）这是贸易区域边界的明确表达。为了积分第二个方程并解决优化问题，我们考虑了signalx（t）的显式动力学。C.1确定性均值回复高频信号我们开始考虑形式为dx（t）=-κx（t）dt（64）可整合为tox（s）=xe-κ（s）-t）（65）对于s>t，相关增益由g（s，x（s））=xκ（e）给出-κ（s）-（t）- E-κ（2T）-t）（66）第二个方程可以在施加初始条件q（t）=q的情况下进行积分。结果是q（s）=xe-A（s）-（t）- E-κ（s）-t） 2Kκ- λν+a esA（1- E-2（s）-t） A）+q（1）- E-A（s）-t））+q e-A（s）-t）（67）式中，A=qλν2ka是一个待确定的积分常数。停止时间^t和积分常数a由以下系统确定：˙q（^t）=0q（^t）=b±（^t，x（^t））（68）在这个公式中，^t是停止时间。然而，改变K，^t的值可以跨越整个交易区间[topen，t]，因此我们可以替换t→^t在（63）中，并将（63）解释为（t，q，x）空间中交易区域边界的表达式。在第二个等式中，我们取b-如果我们从卖出区开始，如果我们从买入区开始，则为b+。这个系统可以用数值方法求解。在图6中，我们绘制了初始位置位于销售区时的解（67），表明结果与二次规划得到的数值优化完全一致。我们考虑常数K的各种值，正如预期的那样，K→ 0我们立即到达NT区域的一个边界（如果我们不在）。

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