具有不可观测市场参数和确定性的最优投资组合

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收藏 2022-05-07

英文标题：
《Optimal portfolio with unobservable market parameters and certainty
equivalence principle》
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作者：
Nikolai Dokuchaev
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We consider a multi-stock continuous time incomplete market model with random coefficients. We study the investment problem in the class of strategies which do not use direct observations of the appreciation rates of the stocks, but rather use historical stock prices and an a priory given distribution of the appreciation rates. An explicit solution is found for case of power utilities and for a case when the problem can be embedded to a Markovian setting. Some new estimates and filters for the appreciation rates are given.
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中文摘要：
我们考虑了一个具有随机系数的多股票连续时间不完全市场模型。我们研究了一类策略中的投资问题，这些策略不使用对股票升值率的直接观察，而是使用历史股价和给定的升值率分布。对于电力设施和问题可以嵌入到马尔可夫环境中的情况，找到了明确的解决方案。给出了升值率的一些新估计和过滤器。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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Optimal_portfolio_with_unobservable_market_parameters_and_certainty_equivalence_.pdf
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能者818

2022-5-7 11:16:22

具有不可观测市场参数和确定性等价原则的最优投资组合2018年9月18日摘要我们考虑了一个具有随机系数的多股票连续时间不完全市场模型。我们在一类策略中研究投资问题，这些策略不使用股票升值率的直接观察，而是使用历史股票价格和估值率的先验分布。对于电力设施和问题可以嵌入到马尔可夫环境中的情况，找到了明确的解决方案。给出了升值率的一些新估计和过滤器。关键词：最优投资组合，连续时间市场模型，不可观测参数，滤波器分类：D52，D81，D84，G11数学主题分类：49K45，60G15，93E201简介本文研究了一个由局部无风险资产和一个有限数n，假设股价向量s（t）根据一个It^o随机微分方程演化，该方程包含升值率向量a（t）和波动矩阵σ（t）：dSi（t）=Si（t）[ai（t）dt+Xjσij（t）dwj（t）]，i=1。。。，n、这个问题可以追溯到默顿（1969年），他发现了解决优化问题的策略，其中EU（X（T））最大化，其中X（T）代表最终T的财富，U（·）是一个效用函数。如果观察到市场参数，则最优策略（即股票持有的当前向量）是当前向量（a（t）、σ（t）、S（t）、X（t））的函数；例如，参见Hakanson（1997）和Karatzas and Shreve（1998）的调查。

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何人来此

2022-5-7 11:16:27

然而，在实践中，过程（a（t），σ（t））不是直接给出的，必须根据对市场动态的一些事先假设的价格观察进行估计。已经有人尝试构建不使用这些参数的赢取策略；例如，见Dokuchaev和Savkin（2002年），Dokuchaev（2002年和2007年）。然而，主流方法是考虑模型，其中a（t）和σ（t）必须根据历史库存价格或其他观察过程进行估计。有许多论文致力于（a（t），σ（t））的估计，主要基于卡尔曼-布西滤波或最大似然原理的修正；参见例如：Lo（1988）、Chen和Scott（1993）、Pearson和Sun（1994）。不幸的是，在实时市场中，过程a（t）通常很难估计，因为漂移项a（t）通常被扩散项σ（t）所掩盖。另一方面，σ（t）原则上可以从股票价格中找到；见下文（4）。因此，仍然存在不可观测a（t）的最优投资问题。这个问题的一个流行工具是所谓的“确定性等价原理”：知道直接可观测A（t）情况下最优投资问题的解的代理可以通过替换E{A（t）| S（τ），τ<t}（参见Gennotte（1986），Feldman（2007））来解决不可观测A（t）的问题。不幸的是，这一原则不适用于非原木公用事业的一般情况（seeKuwana（1995））。请注意，这一原则与Frittelli（2000）著作中的“确定性等价价值”概念无关。事实上，问题在于线性过滤。如果Ri（t）是第i个股票的收益率，那么dr（t）=a（t）dt+σ（t）dw（t），因此给定{R（τ），τ<t}（或{S（τ），τ<t}）的a（t）的估计是一个线性滤波问题。

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可人4

2022-5-7 11:16:30

如果a（·）是条件高斯分布，则卡尔曼滤波器提供了在均方意义上最小化误差的估计。事实上，在这种情况下，给定过去价格的a（t）的条件均值和条件方差完全描述了a（t），Pa（t）（·S（τ），τ<t）的条件分布。在这种情况下，威廉姆斯（1977年）、德坦普尔（1986年）、多坦和费尔德曼（1986年）、根诺特（1986年）、布伦南（1998年）使用卡尔曼布西过滤器解决了投资问题。该解在一类可容许策略中是最优的，这类策略是电流的函数X（t），S（t），Pa（t）（·S（τ），τ<t）. 但一般来说，对于非高斯a，基于所有历史价格的最优策略不在此集合中，因此他们的方法不会给出最优策略。Karatzas（1997）、Karatzas和Zhao（1998）、Dokuchaev和Zhou（2000）、Dokuchaevand Teo（2000）在π（t）=f（{S（τ）：τ<t}）形式的策略类中获得了最优投资组合策略，其中f（·）是一个确定性函数，当a（t）是随机且不可观测的，但在a和σ是时间独立的关键条件下。该假设确保了最优财富的形式为X（t）=H（S（t），t，其中H（·，·）满足具有NSTOCK的市场的n维确定性抛物线反向方程。即使人们接受了这个限制条件，对于大n（例如，n>4），问题的解决方案也很难在实践中实现，因为通常很难解决抛物线方程。Karatzas（1997）给出了一个股票的目标实现问题的显式解，该股票具有条件范数增长率。Karatzas和Zhao（2001）使用线性滤波（通过鞅）和动态规划来解决一般效用函数n>1、σd对角线和常数，以及具有已知（非高斯）分布的随机a的问题。

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mingdashike22

2022-5-7 11:16:34

在Dokuchaev和Zhou（2000）中，增加了对最终财富的额外限制，从而解决了实现目标的问题。Dokuchaev和Teo（2000）进一步推广了允许的约束和效用函数。三篇开创性论文放宽了常数系数的限制：Karatzasand Xue（1991）和L akner（1995），（1998）。Karatzas和Xue假设布朗运动比股票更多。他们假设r和σ与可观测的S相适应。在投影到产生与S相同滤波的n维布朗运动后，他们得到一个简化的、完全可观测的模型；最优投资组合的存在是允许的，但最优策略通常只被隐式定义。Lakner（1995），（1998）假设S和w有相等的维数（和我们一样），并且r和σ是确定性的。这再次保证了S的过滤是布朗的。过滤理论的结果给出了最优投资组合的表示，当aiare Ornstein-Uhlenbeck过程独立于w.Zohar（2001）提出了一种基于Cameron-Martin公式的替代方法，用于特殊的单只股票模型，参数由Ornstein-Uhlenbeck过程描述时，最优投资组合在Malliavin导数的条件期望方面是明确的。我们还考虑了具有随机不可观测a（t）的最优投资问题，并允许随机系数r，σ依赖于时间。与往常一样，我们的做法是提出一项索赔，以获得最佳的终端财富；因此，该声明的复制策略将是最佳策略。对于非常一般的模型，复制策略被认为是一个Malliavin导数的条件期望。

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可人4

2022-5-7 11:16:38

在本论文中，我们正在尝试其他方法，可以为一些特殊情况提供更明确的解决方案。我们针对两种特殊情况：（i）当U（x）=xδ时；（ii）当nba（t）可以表示为扩散马尔可夫过程的一部分时，它可能具有更高的维度。首先，对于log实用程序和一些power实用程序，我们可以直接计算套期保值组合，对r、a、σ几乎没有限制（至少在log情况下）。对于这些实用程序，可以通过以下更正重新表述“确定性等价原则”：必须导出a（t）的“等价过滤器”（在E{a（t）| S（τ），τ<t}的地方）。一般来说，它既不是E{a（t）|S（τ），τ<t}，也不是Pa（t）的任何其他函数（·S（τ），τ<t）。我们证明了对于a（·）和对数效用的一般先验分布，a（t）的等价滤波器实际上是ba（t）= E{a（t）|S（τ），τ<t}。如果a（t）是高斯的，那么这当然是卡尔曼-布西滤波器；Lakner（1995）、（1998）和Dokuchaev（2005）对该案进行了审议。此外，对于电力效用的情况，即使在高斯假设下，等效滤波器也不是pA（t）（·S（τ），τ<t）的函数。然而，我们证明了在一个新的测度下，这个估计可以写成a（t）的条件期望。因此，在a（t）上的阿加西假设下，等效滤波器可以通过卡尔曼-布西滤波器获得，但需要对参数进行一些修正。换句话说，我们的结果给出了新的滤波器（对于高斯先验），它是经典的K-alman-Bucy滤波器，但具有修改的参数。Cvitani’c et all（2002）提出了U（x）=δ的高斯先验不可观测参数的显式优化策略-1xδ，但仅适用于δ<0的情况。

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nandehutu2022

2022-5-7 11:16:41

我们的方法也得到了显式解，但对于正δ；实际上，我们只讨论δ=（l）的情况- 1） /l，l=2，3。。。。第二类考虑的问题包括可以嵌入到阿马尔科夫环境中的问题。Dokuchaev和Zhou（2001）建议，当系数在时间上是常数时，使用线性抛物线方程来复制最佳主张；在这种情况下，最优索赔可以表示为终端时间股价向量的函数（另见Dokuchaev和Teo（2000））。我们将这种方法扩展到一个更一般的模型，该模型涵盖了Θ是一个Ornstein-Ulenbek过程，或Θ是一个完全有价值的马尔科夫过程的情况；在第一种情况下，解决方案需要解一个维数为n+2的线性抛物方程，在第二种情况下，解一个维数等于马尔可夫过程的可能值个数的抛物方程。因此，我们提出了一种比动态规划更简单的方法：将非线性抛物型Bellman方程替换为线性抛物型方程。请注意，Sass和Haussmann（2003）解决了一个更一般的问题，即参数由一个单位值马尔可夫链驱动的情况，但他们的解决方案将复制策略表示为Malliavin导数的条件期望。在第2节中，我们收集了符号和定义，并建立了模型。问题在第3节中说明，在第4节中，在一般情况下给出了最优索赔的公式。第5节详细介绍了一些电力设施的解决方案。在第6节中，我们考虑问题可以嵌入到马尔可夫环境中的情况。

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大多数88

2022-5-7 11:16:44

附录包含了大部分证据。2.在给定的概率空间上建立市场模型(Ohm, F、 P）在满足一般条件的情况下，考虑由价格为B（t），t的本地无风险资产或银行账户组成的市场模型≥ 0，以及价格为Si（t），t≥ 0，i=1，2。。。，n、其中n<+∞ 已给出。股票的价格根据以下等式变化：dSi（t）=Si（t）ai（t）dt+dXj=1σij（t）dwj（t）, t>0，（1）其中(表示转置）w（t）=（w（t），wd（t））是一个标准的d维布朗运动，a（t）=（a（t），安（t）））是升值率的向量，σij（t）是波动系数。初始价格Si（0）>0为非随机常数。低风险资产的价格根据以下方程式B（t）=B（0）exp演变Ztr（t）dt, （2）式中，B（0）取为1，不失一般性，r（t）为渐进可测随机利率过程。写出n×d维矩阵过程的σ（t）={σij（t）}。通过dRi（t）=dSi（t）/Si（t），Ri（0）=0定义时间t的回归，并引入回归向量R（t）=（R（t）。。。，注册护士（t））超额收益的和seri（t）=Ri（t）-Rtr（τ）dτ。Letbr（t）=r（t）（1，…，1）∈ Rn，ea（t）=a（t）-br（t）。然后dr（t）=a（t）dt+σ（t）dw（t），deR（t）=ea（t）dt+σ（t）dw（t）。（3）备注2.1。第一个问题是如何校准该模型，即使用什么AIA和σIJ。我们可以观察价格，因此可以观察收益、利率和超额收益，但不能观察布朗运动w。波动系数原则上可以从R（·）或R（·）估计。实际上，Ztσ（τ）σ（τ）dτ=<R>t=<eR>t，（4）R-oreR的（可观察的）四次变化过程。事实上，我们假设σ是超额收益的非随机函数。尤其是由于在短期内，波动性占主导地位，因此更难估计ap准确率ai（t）。

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能者818

2022-5-7 11:16:48

我们采用阿巴斯式的方法。设{FR，rt}是由{R，R}加上F的空集生成的过滤。它是观察过滤，也由{S，B}或{eR，R}（加上增强）生成。为了描述a（·）的先验分布，我们假设存在一个可分离的线性范数空间E，一个Borel可测集T E、和一个随机向量Θ：Ohm → T与分布ν成正比。此外，我们假设我们得到了可测函数A:[0，T]×T×C（[0，T]；Rn）→Rn，α：[0，T]×C（[0，T]；Rn）→ Rn×n和ρ：[0，T]×C（[0，T]；Rn）→ R、这样的时间（t，ω）≡ A.t、 Θ（ω），eR（·ω）|[0，t], σ（t，ω）≡ α（t，eR（·，ω）|[0，t]），r（t，ω）≡ ρt、 Θ（ω），eR（·ω）|[0，t].这里f（s，ω）|[0，t]=f（s）∧t、 ω）。这里f（s，ω）|[0，t]=f（s）∧ t、 ω）。假设2.1Θ和w（·）是相互独立的；supt，f，θ（|ρ（t，θ，f）|+|α（t，f）|）∞ a、 s。；存在一个函数K（·）和一个常数Kosuchthatsupt，f | a（t，θ，f）|≤ K（θ）<∞,|A（t，θ，f）- A（t，θ，g）|≤ K（θ）supτ∈[0，t]| f（τ）- g（τ）||α（t，f）- α（t，g）|≤ Kosupτ∈[0，t]| f（τ）- g（τ）|；α（t，f）α（t，f）≥ cIn，其中c>0是常数，Ini是Rn×n中的单位矩阵OhmW= C（[0，T]；Rn），设fw是Ohm由w（·）生成，设f是由Θ生成的T子集的σ-代数的完备。此外，设pw是由w（·）生成的fw上的概率度量。根据定义，ν是FT上的概率度量。在不丧失一般性的情况下，我们假设概率空间(Ohm, F、 P）是这样的Ohm = T×Ohmw、 F是FT的完成 Fw，P是ν×Pw的完成。备注2.2。（i）这些条件意味着（1）、（2）和（3）的解是明确的。（ii）对于独立于w（·）的p（t）过程，最简单的模型有ea（·）=Θ（·）。像往常一样，使用等效的度量值P将是有成效的*其中，标准化财富过程（参见下一节）是一个鞅。

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mingdashike22

2022-5-7 11:16:53

塞茨= expZT（σ（t）-1ea（t））dw（t）+ZT |σ（t）-1ea（t）|dt！。（5）显然，存在可测函数f:T×OhmW→ R以至于-1=f（Θ，w（·））。因为Θ和w是独立的，|σ（·）-1ea（·）|≤√Ck（Θ），然后根据富比尼定理，它遵循-1=ZTν（dθ）ZOhmwP（dωw）f（θ，ωw）=ZTν（dθ）1=1，因为A和α上的Lipschitz条件允许我们构造，因此对于Θ的每个值θ，Z。定义P*按dP*/dP=Z-1.让我们一起来*是相应的期望。注意dP/dP*= 根据Girsanov定理，过程（eR（t），FR，r）是关于P的鞅*.我们需要E的表达式*（Z | FR，rT）。为做好准备，定义Q（t，ω）=（σ（t，ω）σ（t，ω）)-1，对于每个θ∈ 引入过程z（θ，T）作为方程的解dz（θ，t）=z（θ，t）At、 θ，eR（·）|[0，t]Q（t）deR（t），z（θ，0）=1。（6）现在设定“Z”=ZTdν（θ）z（θ，T）。这是P相对于P所需的条件密度*根据观察结果。提议2.1 E*（Z|FR，rT）=Z.备注2.3。命题2.1实际上适用于更一般的σ（不是α形式）。它只要求它几乎肯定是路径有界的，σ（t）σ（t）≥ 中国。s、 σ和w是相互独立的。在这些条件下，A还可以额外依赖于r和σ. 现在K（θ）变成了K（θ，q，ρ），其中最后两个参数代表p athsofσ和r。证据见附录。3问题陈述投资者持有工具组合；这对（π（t），π（t））描述了投资组合的时间t：过程π（t）是对债券的投资，πi（t）是对股票的投资，π（t）=（π（t），πn（t））, T≥ 0.设X>0为t=0时代理人的财富，即投资组合的初始值，设X（t）为t>0时的财富，X（0）=X。然后X（t）=π（t）+nXi=1πi（t）。（7）如果dX（t）=π（t）dr（t）+π（t），则该投资组合称为自融资博士（t）。

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能者818

2022-5-7 11:16:59

对于这样的端口组合dx（t）=r（t）X（t）dt+π（t）deR（t），（8）π（t）=X（t）-nXi=1πi（t），因此π单独用于指定投资组合；这被称为自我融资策略。如果我们需要（t）= B（t）-1X（t），theneX（t）=X（0）+ZtB（s）-1π（s）德（s）。（9）对于每个π，我们用Xπ，eXπ来表示对应的X oreX。投资者的问题是根据某些条件选择π。首先，我们注意到投资者必须在时间t的基础上做出决定，即{S（S），r（S）：S≤t} 或等价地{R（s），R（s）：s≤ t} 。因此，为了满足代理的可观测性要求，π必须适应于FR，r。设fta是由r，r，a所生成的过滤，由F定义的零集扩充。3.1设a（相应地Aa）是所有{FR，rt}可测量（相应地{Ft}可测量）过程π（·）的类，使得（i）rt |π（t）|dt∞ a、存在常数qπ，使得P{eX（t）- 十、≥ qπ，T∈[0，T]}=1。一个过程π（·）∈ 据说A是一种可接受的策略。对于这样的π，（9）中的积分定义得很好。对于每个π∈ A、 eXπ（t）是P*-带E的超鞅*eXπ（t）≤ 桑德*|eXπ（t）|≤ |X |+2 | qπ|。以下定义为标准定义。定义3.2设ξ为给定的随机变量。如果Xπ（T）=ξa.s，则可容许策略π（·）被称为复制权利要求ξ。我们观察到，当不施加可观测性要求时，即默顿解决的问题时，Aa表示可容许策略的类别。让T>0，letbD R是凸的，在下面有界，设X∈可能会有。

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kedemingshi

2022-5-7 11:17:05

乐土（·）：bD→ R∪ {-∞} 使U（X）>-∞.我们可以将我们的一般问题陈述如下：找到一个可接受的自我融资策略π（·），它解决了以下优化问题：最大化EU（eXπ（T））超过π（·）∈ A（10）受eXπ（0）=X，eXπ（T）∈bD a.s.（11）条件xπ（T）∈bD代表了最小标准化终端财富的要求，如果bD=[k+∞), k>0。大致来说，这个问题的解决方法如下。通过构造最大化找到最佳终值，然后通过复制该终值找到最佳π。确保复制可能性的额外限制是*因此我们想要解：maxξ{EU（ξ）|ξ∈bD，E*ξ=X}，或者，使用一个格兰杰乘数λ，以及ξ是FR，rte可测量的事实*最大ξ∈屋宇署\'ZU（ξ）- λξ+ λX.（12）为了使这个程序工作，我们假设U，XandbD满足以下三个条件。条件3.1存在一个可测量集∧ [0, ∞), 一个可测函数F（·，·）：（0，∞) × Λ →bD，对于每个z>0，bx=F（z，λ）是优化问题的一个解- λx/x∈bD.（13）这个条件允许我们解决（12）中的最大化问题。当然，效用假设暗示了这种情况，但也涵盖了更普遍的效用假设。条件3.2存在sbλ∈ ∧使E*|F（`Z，bλ）|<+∞ 还有E*F（`Z，bλ）=X。在这个条件下，我们现在知道bλ是正确的乘法器。还将看到，可积性意味着最优效用具有明确的预期。问题（10）-（11）在条件3.1-3.2下的最优解是在Aain Dokuchaev和Haussmann（2001）类中在一些附加条件下得到的。

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kedemingshi

2022-5-7 11:17:29

通过Aa的定义，对于某些可测函数，该解的形式为π（t）=（t，S（·）|[0，t]，ea（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]）。如果a（·）是高斯过程且U=log，则已知该问题可以通过卡尔曼滤波和“确定性等价”原理来解决，参见Gennotte（1986）。更准确地说，像已知a一样解决问题，以获得π（t，a）和find m（t）的最优策略= E{a（t）|Ft}（卡尔曼滤波器）。π（t，m）是给定问题的最优解。这个结果对于非对数效用函数是不正确的，cf Kuwana（1995）；然而，如果我们允许m定义3.3以外的其他函数的代理，我们可以对其他一些效用函数进行修正。让π（t）=Γ（t，S（·）|[0，t]，ea（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]）成为Aa类问题（10）-（11）的最优解，其中Γ是一个可测函数。此外，设bπ（t）是A类问题（10）-（11）的非最优解，并设存在一个n维{FR，rt}自适应随机向量过程b（t），使得bπ（t）≡ Γ（t，S（·）|[0，t]，ba（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]）。Thenba（t）被认为是关于问题（10）-（11）的等效滤波器。注意，我们并没有假设ba（t）是ea（t）的当前条件分布pea（t）（·FR，rt）的函数。4最优索赔和策略的存在我们分两步解决问题。首先，我们证明了EU（F（`Z，bλ））是π（·）的归一化终端财富预期效用的上界∈ A.然后我们证明复制权利要求B（T）F（`Z，Bλ）的aportfoliobπ（·）存在。这就建立了最优的yOfBπ（·）。我们在下一节中展示了两个效用函数的bπ，然后在下一节中处理一般情况。设U+（x）= 最大值（0，U（x）），U-（十）= 麦克斯（0，-U（x））。

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mingdashike22

2022-5-7 11:17:33

设F（·）与条件3.1相同。定理4.1在假设2.1和条件3.1,3.2下，letbξ= F（`Z，bλ）（14）与条件3.2中的bλ相同。然后（我）你-（bξ）<∞,bξ∈bD a.s.（ii）欧盟（bξ）≥ EU（eXπ（T）），π(·) ∈ A.（iii）权利要求B（T）Bξ在A中是可实现的，并且在A中存在复制策略。该策略对于问题（10）-（11）是最优的。证据在Ap pendix中。备注4.1现在可以得出，最优终端财富为B（T）F（`Z，Bλ），最优策略通过复制隐式确定。所以我们有一种等价原理：继续处理完全可观测的问题，但替换Z，P的密度*, 由Z表示Z的条件期望，参见命题2.1。定理的前两部分在备注2.3中提到的较弱条件下成立，但我们不能求助于鞅表示定理来获得第（iii）部分的复制。如果我们有另一种技术来建立这种复制，那么这个定理在较弱的假设下成立。我们将在下一节中探讨这个想法。5采用短视策略和等效滤波器的复制我们现在考虑两个特殊的效用函数，U（x）=log（x+δ），δ≥ 对于某些δ，U（x）=xδ，但在备注2.3中较弱的假设下。在这些情况下，我们可以直接计算复制策略，从而明确地解决问题。我们还发现超额累积率SEAI的等效过滤器。引理5.1设U（x）≡ 对数（x+δ），δ≥ 0，X>0和（0+∞) 那么问题（10）-（11）的A类最优解是bπ（t）= （X+δ）B（t）RTdν（θ）z（θ，t）At、 θ，eR（·）|[0，t]，σ（·）σ（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]Q（t）=（Xbπ（t）+δB（t））RTdν（θ）z（θ，t）At、 θ，eR（·）|[0，t]，σ（·）σ（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]RTdν（θ）z（t，θ）Q（t）（15）和xbπ（t）=B（t）（X+δ）ZTdν（θ）z（θ，t）- δ对于所有的t.（16）证明：我们必须复制索赔B（t）Bξ。

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nandehutu2022

2022-5-7 11:17:37

根据条件3.1，F（z，λ）=z/λ-δ、因此，条件3.2给出了sbλ=E*Z/（X+δ）=1/（X+δ）*\'Z=E*E*（Z | FR，rT）=E*Z=EZ-1Z=1。为X+δ写Xδ。因此bξ=F（\'Z，bλ）=Xδ\'Z- δ=XδRTdν（θ）1+RTz（θ，t）At、 θ，eR（·）|[0，t]，σ（·）σ（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]Q（t）deR（t）- δ=X+RTB（t）-1bπ（t）deR（t）=eX（t）（17）ifbπ（t）= B（t）XδZTdν（θ）z（θ，t）At、 θ，eR（·）|[0，t]，σ（·）σ（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]Q（t）。因此，该策略复制了B（T）Bξ，因此是最优的。MoreoverXbπ（t）=B（t）eXbπ（t）=B（t）X+ZtB（s）-1bπ（s）德(s)= B（t）XδZTdν（θ）z（t，θ）- δ,实际上是bπ（t）= （X（t）+δB（t））RTdν（θ）z（θ，t）At、 θ，eR（·）|[0，t]，σ（·）σ（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]RTdν（θ）z（t，θ）Q（t）。推论5.1（i）在引理5.1的条件下，A（t）isba（t）=RTdν（θ）z（θ，t）A的等价滤波器t、 θ，eR（·）|[0，t]，σ（·）σ（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]RTdν（θ）z（θ，t）。（18）（ii）假设E | K（Θ，σ（·），σ（·）, r（·））|<∞. 由（18）定义的过程Ba（t）是这样的：Ba（t）=E{ea（t）|FR，rt}，也就是说，它是基于（S，r）（或（r，r））到时间t的观测值的估计类中的最小方差估计，假设Θ的先验ν。最佳预期效用isE对数（eXbπ（T）+δ）=EZTba（T）Q（t）ba（t）dt+log（X+δ）。（19）如果我们回想一下，aaa中的最优策略是π（t），那么第（i）部分是显而易见的= （X（t）+δB（t））ea（t）Q（t），参见Dokuchaev和Haussmann（2001）（或者假设t是一个独生子女），和Use（15）。我们在附录中给出了第（二）部分的证明。观察ifea（t）是有条件的高斯分布，即dea（t）=c（t，eR（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]）- c（t，eR（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]）ea（t）dt+c（t，eR（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]）dw′与Θ=w′（·）一个独立的布朗运动，那么卡尔曼滤波器可以用来计算teba和hencebπ（t）=Xbπ（t）Q（t）ba（t）。这个结果扩展了Lakner（1998）的例子4.4。我们现在可以进一步描述“Z”；这将在第6节中有所帮助。

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能者818

2022-5-7 11:17:41

我们补充说，在我们更一般的假设下，下面的推论也给出了Lakner（1998）定理3.1的结果。推论5.2定义Z（t）= E*（\'Z|FR，rt），ba（t）= E（ea（t）| FR，rt）。然后‘Z=’Z（T）和‘Z（T）=exp中巴(s)Q（s）deR（s）-中巴(s)Q（s）ba（s）ds. （20）证明：我们取δ=0，X=1。那么（17）意味着\'Z=eXbπ（T），所以\'Z（T）=eXbπ（T），因为后者是a（P*, FR，rt）-鞅；因此，对数Z（t）=Y（t，bπ），其中Y与滚动5.1的证明相同。结果遵循f rom（46）。我们还可以对某些幂函数执行该程序，对于这些幂函数，函数F的形式为F（z，λ）=CzL，l>1，即U（x）=xδ/δ，δ=1-l、如果我们进一步假设A和σ。具体来说，A在θ和rt |σ中应该是线性的-1A（t，θ，eR，σ）, r） |dt必须是确定性的，这实际上意味着我们认为Θ是一个过程，ea（t）=Θ（t），σ是非随机的。此外，我们需要一些可积性，例如=ZTldν（θ）·dν（θl）γ（θ，…，θl）<∞, （21）式中γ（θ，…，θl）= 经验lXi，j=1i<jZTθi（t）Q（t）θj（t）dt.这里每个θ都是一个n维函数，一个ea的样本路径。我们注意到γ和G是非随机的。引入符号“T”很方便={Plk=1θk:θi∈ T，i=1，l} ，让χDbe作为D的指示符，并在“Tby”（D）上定义一个度量单位=RTlχD（Plθk）Dν（θ）·Dν（θl）γ（θ，…，θl）RTldν（θ）·Dν（θl）γ（θ，…，θl）。定理5.1假设A（·，θ，f，q，ρ）=θ（·），σ确定性，（0+∞) bD，X>0，U（X）≡ xδ/δ，δ=（l- 1） /l表示一些整数l>1，而G<∞. 然后（i）F（z，λ）≡ zlλ-landbλ=X-1/l（E）*\'\'Zl）1/l.（ii）问题（10）-（11）的A类最优解是bπ（t）= XB（t）R′Td′ν（θ）z（θ，t）θ（t）Q（t）=Xbπ（t）R′Td′ν（θ）z（θ，t）θ（t）R′Td′ν（θ）z（θ，t）Q（t）、（22）和XBπ（t）=XB（t）z′Td′ν（θ）z（θ，t）。（23）MoreoverEU（eXbπ（T））=XδG1-δ/δ. （24）备注。

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mingdashike22

2022-5-7 11:17:51

下面我们将看到，在定理5的假设下，等效滤波器ba（t）。1与E{ea（t）|FR，rt}不同，一般来说，不是当前条件分布Pea（t）（·FR，rt）of ea（t）的函数。然而，如果我们改变了度量，我们可以将EBA写为对AII的条件期望。当我们将T上定义的ν替换为T上定义的ν时，让P由P给出。推论5.3在定理5.1的条件下，a（t）isba（t）=Q（t）的等价滤波器-1bπ（t）lXbπ（t）=l-1 `E{ea（t）| FR，rt}（25），其中Xbπ（t）是由（23）定义的财富。特别是，ifea（·）=Θ是时间无关的高斯函数，具有密度函数ν，thenG<∞ 只有ifRTQ（t）dt非常小，以至于对数Φ（x，…，xl）是一个负的定义比率形式（加上一个有效项），其中Φ（x，…，xl）=ν（x）··（xl）explXi，j=1i<jxiZTQ（t）dt！xj.因此，ifeΘ=（Θ，…，Θl）被定义为具有密度函数Φ（x，…，xl）/G，则eΘ为高斯分布，因此pLi=1Θi的分布为Θν（·）为高斯分布。这意味着可以使用卡尔曼滤波来计算EBA（t）。Cvitani\'c et all（2002）提出了针对U（x）=δ的高斯先验的不可观测参数的显式优化策略-1xδ，但仅适用于δ<0的情况。我们的方法非常不同，涵盖δ>0，但仅限于δ=（l-1） /l，l=2，3。。。。尽管我们在一定程度上推广了m市场动态（两种情况下均为r随机，第一种情况下为σ随机），但由于所用效用函数的特殊性质，上述两种特殊情况的兴趣有限。然后，让我们找到更多一般效用函数的最优策略，但在我们更严格的假设下，参见。

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能者818

2022-5-7 11:17:56

假设2.1.6嵌入到马尔可夫环境中，为了一般用途，我们可以使用基于偏微分方程的方法进行复制，从而解决我们的问题，如果要复制的声明（这里的函数为“Z”）是马尔可夫过程的函数。下面我们举三个例子。假设存在一个大于0的整数M，一个确定性函数φ：RM→ R、一个M维马尔可夫过程y（·），使得Z=φ（y（T）），y（·）是一个It^o方程的解dy（t）=f（y（t），t）dt+b（y（t），t）deR（t），y（0）=y∈ RM，（26）式中f（·）：RM×R→ RM，b（·）：RM×R→ RM×nare是可测函数。我们可以附加方程式deR=deR，所以如果需要，我们可以假设Er包含在y中。然后我们假设α（t，eR（·））=α（t，y（t））。为b（y，t）α（t，y）写“b（y，t）”。我们假设函数b（y，t），f（y，t）是H¨older的，并且¨b（y，t）|+f（y，t）|≤ 常数（|y |+1）。此外，我们假设\'b（y，t）/Y\'b（y，t）/Yf（y，t）/y和f（y，t）/是一致有界的，并且是H¨older。让我来*（·）表示（26）枯萎（·）被ER取代的溶液*（·）=R·α（t，eR*（t）引入函数u:RM×[0，t]的Banach空间→ R和诺姆库（·）基=上| u（y）*（t），t）|+EZTUx（y）*（t），t）dt！1/2.命题6.1让C（·）：RM→ R是一个可测函数，使得EC（y*（T）+∞和EC（y）*（T））=X。然后存在一个容许策略π（T）=（π（T），πn（t））∈ A复制了权利要求B（T）C（y（T））。此外，π（t）=B（t）B（y（t），t）五、y（y（t），t），eXπ（t）=V（y（t），t），其中五、我们注意到V相对于第一个参数的梯度，以及函数V=V（y，t）：RM×[0，t]→ R是这样的五、t（y，t）+五、Y（y，t）f（y，t）+Tr{五、y（y，t）\'b（y，t）\'b（y，t）}=0，（27）V（y，t）=C（y）。

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可人4

2022-5-7 11:17:59

（28）问题（27）-（28）在类Y中允许一个解。设V（x，t，λ）：RM×[0，t]×∧→ R是偏微分方程（27）的解，条件v（y，T，λ）=F（φ（y），λ）。（29）下面的结果是即时的。定理6.1设函数F（·）为*F（`Z，bλ）<+∞. （30）与条件3.2中的bλ一样，存在容许的自我融资策略π（·）∈ A使权利要求B（T）F（`Z，Bλ）生效。这个策略是问题（10）（11）和π（t）=B（t）B（y（t），t）的最优解五、y（y（t），t，bλ），eXπ（t）=V（y（t），t，bλ）。（31）例1。让我们重复一下Dokuchaev（2005年）对Lakner（1998年）用不同方法首次解决的问题的简单解决方案。两种解决方案都涉及卡尔曼滤波器。假设我们得到了可测量的确定性过程α（t），β（t），b（t）和δ（t），使得dea（t）=α（t）[δ（t）-ea（t）]dt+b（t）deR（t）+β（t）dW（t），（32）式中α（t）∈ Rn×n，β（t）∈ Rn×n，b（t）∈ Rn×n，δ（t）∈ 其中W是n维维纳过程(Ohm , F、我们假设α（t）、β（t）、b（t）和δ（t）在t中是H¨older，因此矩阵β（t）是可逆的和d |β（t）-1| ≤ c、当e c>0是常数时。此外，我们假设ea（0）遵循一个具有已知平均向量和协方差矩阵γ的n维正态分布。我们注意到，这个设置覆盖了NEA是一个具有均值回复漂移的n维Ornstein-Uhlenbeck过程的情况。设y（t）=（y（t）。。。，yn+2（t））=（by（t），yn+1（t），yn+2（t））是Rn+2中的一个过程，其中（t）=E{ea（t）| FR，rt}，yn+1（t）=Rtby（s）Q（s）deR（s），yn+2（t）=exp-Rtby（s）Qby(s)ds.显然，yn+2（t）∈ （0，1），因此，ψ（yn+2（t））≡ yn+2（t）。

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能者818

2022-5-7 11:18:03

Liptser and Shiryaev（2000）第396页的定理10.3给出了方程forba（t）=by（t），因此y（t）的方程是by（t）=[A（t）by（t）+α（t）δ（t）]dt+[b（t）σ（t）+ γ（t）]Q（t）deR（t），dyn+1（t）=by（t）Q（t）deR（t），dyn+2（t）=-ψ（yn+2（t））乘（t）Q（t）乘以（t）dt。这里γ（t）是由Riccati方程定义的n×n维矩阵dγdt（t）=-[b（t）σ（t）+ γ（t）]Q（t）[b（t）σ（t）+ γ（t）]-eα（t）γ（t）- γ（t）eα（t）+ β（t）β（t）,γ（0）=γ，（33）A（t）= -eα（t）-γ（t）Q（t）。注意，相应的f，b满足所需的条件。由于σ与y无关，因此y（t）的方程可以写成（26），相应的f，b满足所需条件。由于σ与y无关，因此推论5.2不要求σ是y的一个组成部分，因此'Z=φ（y（T）），其中函数φ（·）：Rn+2→ 对于y=（y，…，yn+1，yn+2），R是φ（y）=yn+2exp-yn+1。因此，理论的所有假设。如果（30）满足，则1满足。特别是，如果F有界，则（30）满足；ifF（\'Z，β，λ）是关于\'Z\'的多项式，如果a（t）的方差足够小，则满足（30）。注意，Lakner（1998）中的解通过对最优索赔的条件期望来表达最优策略；我们从Dokuchaev（2005）那里得到的解决方案更具建设性，前提是我们可以解决Cauchy问题（27）、（29）。对于欧几里德空间E，我们将用B（[0，T]；E）表示有界可测函数集f（T）：[0，T]→ 例2。假设EA的可能路径数是有限的。假设σ是非随机的，A（t，θ，f）=θ（t），存在一个整数d>1和一个集合{θi（·）：i=1，…，d}B（[0，T]；Rn）使得Pdi=1pi=1，其中pi= P（ea（·）=θi（·））。集合y（t）= （y（t）。。。，yd（t））,易（t）在哪里= z（θi，t）。

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大多数88

2022-5-7 11:18:06

LetbF（y）= F（py、 bλ），D= (0, + ∞ )d×[0，T），设b（y，T）：d→Rd×n，使得b的第i行是yiθi（t）. 然后dy（t）=b（y（t），t）Q（t）deR和（27），（29）变成五、t（y，t）+tr[五、y（y，t）b（y，t）Q（t）b（y，t）] = 0，V（y，t）→bF（y）as t→ T- 0y、请注意，该方程通常是退化的，因此可能不容易求解。然而，该定理给出了V的最优策略。例3。在此，ea（t）演化为一个单位值马尔可夫过程的函数。对于隐式，设n=1。假设ea（t）=A（t，θ（t），R（t））和σ（t）=α（t，R（t）），其中过程θ（t）是一个随机马尔可夫过程，使得P（θ（t）∈ ∧=1，∧={θi:i=1，…，d}是给定的有限集，d>1是整数。我们假设A（t，·）：λ×R→ R和α（t，·）：R→ R是满足假设2.1的可测函数。我们得到了θ（0）的初始d分布，也就是说，我们得到了“yi”= P（θ（0）=θi），我们得到了有界函数lij（·）：[0，T]→ R使得pij（t，s）=δij+ZtsdXk=1lki（τ）pkj（τ，s）dτs≤ t、其中pij（t，s）= P（θ（t）=θi |θ（s）=θj），其中δij是K ronecker三角洲，参见Liptser and Shiryaev（2001），Lemm a 9.1。这是规格。设M= d+2，y（t）= （y（t）。。。，yM（t））, 图1（t）= P（θ（t）=θi | FR，rt），i=1。d、 yd+1（t）=eR（t）；yd+2（t）=\'Z（t）。根据Liptser和Shiryaev（2001）第355页的定理9.1，我们得到dyi（t）=Pdk=1lki（t）yk（t）dt+yi（t）α（t，eR（t））-2.A（t，θi，eR（t））-Pdk=1A（t，θk，eR（t））yk（t）德（t）-Pdk=1A（t，θk，eR（t））yk（t）dt,yi（0）=yi，i=1。d、（34）为了保持线性界，我们引入了有界光滑函数ψ（·）∈ C∞（R）使得ψ（x）=x(十、∈ [0,1]）（显然，存在这样一个函数）。易建联∈ [0,1]，i=1，d、根据需要，我们可以用ψ（yi）替换此类yi。

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