快速还是持久？需要变通能力的战略投资

2022-5-8 09:05:38

快速还是持久？战略投资需求多功能性Jan Henrik Steg*Jacco Thijssen+摘要在本文中，我们分析了双寡头垄断中不确定性投资的动态模型，其中每家公司都可以选择从现有市场切换到新市场。我们在混合策略下构造了一个子博弈完美均衡，并证明了在典型的均衡路径上，自由和消耗都可以发生。为了确定磨损区域，需要解决一个二维约束最优停止问题，为此我们在状态空间中刻画了非平凡停止边界。我们明确地确定了消耗区的马尔可夫平衡停止速率，并证明了最终抢占的概率始终为正，这与模型的确定版本形成了对比。一个基于模拟的数值例子说明了该模型，并显示了在消耗和抢占区域发生投资的相对可能性。关键词：随机时间博弈，期权，消耗战，实物期权，马尔科夫均衡，二维最优停止。JEL主题分类：C61、C73、D21、D43、L13MSC2010主题分类：60G40、91A25、9 1A55、91 A601简介考虑以下听起来无害的投资问题，涉及两个在城镇经营类似特许经营权的合作商店。每个企业的竞争力都受到一些随机过程的影响，代表着需求、成本等变化的不确定性。每个企业都可以选择通过切换到竞争对手的特许经营权来进行产品差异化。

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2022-5-8 09:05:41

如果有的话，什么时候应该有固定交换机专营权？这种经济状况是一个非常基本的例子。*比勒费尔德大学数学经济学中心，德国比勒费尔德Postfach 10 01 31 33501。jsteg@uni-比勒菲尔德。de+约克大学约克管理学院，英国约克州赫灵顿弗雷博伊斯巷，约克YO10 5GD。杰科。thijssen@york.ac.ukThis这是一个游戏，因为一家公司的行为对另一家公司有影响，如果一家公司切换，另一家公司将成为原始特许经营中的（本地）垄断者。在有关计时游戏的文献中，通常区分消耗战和抢占战，这两种战争分别源于具有后发优势或先发优势的情况。在具有先发优势的游戏中，由于害怕被其他玩家抢先，玩家面临着比最佳状态更快行动的压力。Fudenberg和Tir ole（1985）的经典分析表明，成为领导者的先发优势被先发制人所消散，导致租金均衡，因为两家公司都获得了预期的后发或跟随者报酬。在具有第二移动优势的游戏中，情况完全不同，因为在这种游戏中，每个玩家都希望另一个玩家先移动。如亨德里克斯等人（1988）所示，这可能导致参与者承担等待不平衡的一些成本。例如，在产业组织文献中，时间博弈被用来解释处理技术采用（Fudenberg and Tirole，1985年）、双寡头企业退出决策（Fudenberg and Tirole，1986年）和专利追踪（Reinganu m，1982年）等问题的大量现象。

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2022-5-8 09:05:44

在不确定条件下投资的实物期权理论发展的相对早期，人们认识到实物期权不同于其金融机构，在理论上是非排他性的，因此需要一种博弈论方法。本文中的许多贡献都集中于分析具有先发优势的市场。关于具有后动优势的博弈论实物期权模型的文献并不成熟，Hoppe（2000）和Murto（2004）是显著的例外。在本文中，我们想考虑双寡头垄断，其中消耗和抢占都会发生，这取决于市场环境的演化，并为此类博弈构造一个子博弈完美均衡。正是在这样一个模型中，随机模型与确定性模型的真正力量变得清晰起来。通常，在具有先发优势或后发优势的模型中，无论该模型是确定性的还是随机的，在均衡状态下会发生什么都是先验的：先发优势下的抢占和后发优势下的消耗。只是时机不同：平均而言，投资在随机模型中发生得较晚。然而，在许多现实情况下，尚不清楚一个市场是否会发展为具有先发优势或后发优势的市场。在这种情况下，人们不得不求助于随机模型。回到公司特许经营的例子，任何一家公司的转换都会以两种方式改变公司的稳定性：（i）市场结构发生变化；（ii）新特许经营下的随机冲击遵循不同的过程。这里的经济冲突是指每家公司通过切换到另一家公司而对其竞争对手产生的影响。如果只有一家公司切换，那么每家公司都将在各自的市场中作为垄断者运营。

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2022-5-8 09:05:47

这对两家公司都有好处，但对不转换的公司来说可能最好，因为它确实是一个非详尽的贡献列表，包括斯梅茨（1991）、惠斯曼和科特（1999）、蒂森等人（2012）、韦兹（2002）、博耶等人（2004）、帕夫利纳和科特（2006）。在ChevalierIgnant和Trigeorgis（2011年）以及Azevedo和Paxson（2014年）中可以找到广泛的调查。不包括沉没成本。这可能会导致一场消耗战，也就是说，在这种情况下，每一家公司都可以选择自己的女巫，但每一家公司都希望另一家公司这样做。另一方面，如果新市场的竞争力高于当前市场，但又不足以在新市场中形成双寡头垄断，则可能会出现先发制人的情况。在这种情况下，企业可能会在最佳切换之前尝试切换。我们开发的模型的新颖之处在于，它可以同时处理消耗和抢占。我们通过使用二维状态空间来实现这一点，大致相当于两个市场中每一个市场的稳定性。在均衡状态下，该状态空间将有效地分为三个区域：一个双方都试图抢先的抢先区域，一个每个企业都希望其竞争对手投资的消耗区域，以及一个双方都不采取行动的延续区域。沿着示例路径，可能会发生以下情况。如果州ZF进入优先购买区，那么至少有一家公司会立即投资。如果国家通过消耗区，每个企业都会以一定的速度（消耗率）进行投资，直到抢占区被击中，或者消耗区被留在延续区。在后者内部，除非抢占区域被直接命中，或者攻击区域（再次）被命中，否则不会发生任何事情。这种模式的丰富性确实带来了一些技术挑战。

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2022-5-8 09:05:51

首先，在具有后动优势的制度中，纯战略均衡的回报通常是不对称的，每个企业都倾向于成为跟随者。因此，确定角色是一个（承诺）问题。通过考虑混合策略，我们可以让企业与众不同。然而，在不确定的情况下，混合发生的磨损区域可以进入并在dom中重复。尽管如此，我们还是在小时间间隔（所谓的损耗率）内获得了马尔可夫概率最高的均衡，而确定性模型通常包含一些关于支付的简化平滑假设。在后一种情况下，游戏的发展不仅完全可以预测，而且“缓慢”。因此，当第二者优势消失时，当抢占区域附近的损耗率变得无界时，在到达抢占区域之前停止。相比之下，在我们更快的随机动力学中，p重新出现的概率总是正的。另一个重要问题涉及领导者和追随者角色的价值功能。沿着一条示例路径，一旦进入抢占区域，游戏肯定会结束。这个结果在福登堡和蒂尔·奥莱（1985）对决定论先发制人博弈的分析中就已经知道了。在我们的论文中，子博弈完美导致了类似的均衡行为。因此，企业事先知道，一旦抢占区域第一次被击中，游戏就会“结束”。这意味着，企业在消耗区域选择战略时必须考虑到这一点。正如我们将看到的，在关节面，这对磨损区域本身有影响。确定这个区域需要解决一个真正的二维约束最优停止问题。

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2022-5-8 09:05:54

目前还没有已知的通用技术来解决此类问题（我们的问题不能像最优停止文献中考虑的一些模型那样转化为一维问题），但我们能够非常显著地表明，我们的模型具有足够的结构来充分描述磨损和抢占区域。最后，我们提出了一种基于仿真的方法对模型进行数值分析。该模拟显示，对于延续区域中的特定起点，许多采样路径实际上通过消耗区域到达抢占区域。这表明我们关于随机模型和确定性模型的结果在经济上是重要的。论文的结构如下。在第2节中，我们提出了一个市场的随机动态模型，在该模型中，第一和第二移动优势都可以出现。在第3节中，我们以非正式的方式描述了论文的结果。第4节对计时游戏进行了正式定义、分析和详细讨论。特别是在第4.4节中，我们在混合（马尔可夫）策略中构造了一个子博弈完美均衡。该构造的一个重要部分是解决第4.3节中的约束最优停止问题。第5节给出了一个数字样本，我们用它来讨论我们结果的经济内容，在第6节中，我们将s-ToCastic分析与其确定性版本进行了对比。最后，第7节给出了一些结论性的标记。2.具有先发优势和后发优势的模式：双寡头公司中的产品差异——两家生产同质商品的公司。例如，这两家公司可能是在一个镇上经营类似特许经营权的两家合作商店。每个企业的稳定性都受到一些随机过程的影响。每家公司都可以选择进行产品差异化，并切换到不同的特许经营B。这种切换涉及一些成本（例如翻新）。

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2022-5-8 09:05:57

为了让事情更具体，假设当企业经营相同的特许经营权时，伯特兰竞争意味着两家企业都没有利润。然而，如果企业经营不同的特许经营权，两家企业都可以被视为各自市场的垄断者，他们将获得一些利润流。fr锚定A和B中的垄断利润由过程X=（Xt）t给出≥0和Y=（Y）t≥分别为0，而在这两个专营权中都没有双头垄断优势。切换I>0的代价是未知的。为了完整性，我们考虑了c、CAA和cB分别表示的转换前后的一些额外运行成本，但这些没有质量影响，也可能被忽略。根据X和Y两家垄断公司的净现值以及转换的总成本，在任何时候，转换到新的市场、成为当前市场的垄断者或保持双头垄断都可能更有利。为了得到一些明确的结果，我们假设X和Y是几何布朗运动，特别是随机微分方程组的唯一解dxx=uXdt+σXdBXanddYY=uYdt+σYdBY（2.1），具有给定的初始值（X，Y）=（X，Y）∈ R+。BX和BY是可能与系数ρ相关的布朗运动，而uX、uY、σX和σY是一些常数，分别代表我们的专业过程X和Y的增长率的漂移和波动。我们假设σX、σY>0和|ρ|<1，以排除需要分离处理的潜在简并（第6节考虑了σX=σY=0的情况）。

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2022-5-8 09:06:01

我们还假设利润以普通且恒定的比率r>max（0，uX，uY）贴现，以确保后续支付过程和后续停止问题的确定值。在前面的讨论之后，基本薪酬现在可以通过过程SL、F和M来确定，它代表了（第一次也是唯一一次）转换为（i）一家单独转换并成为领导者的公司，（ii）一家保留并成为追随者的公司，以及（iii）一家分别与另一家同时转换的公司时的预期薪酬。随时≥ 0这些进程的值为lt:=-中兴通讯-rscds+EZ∞te-rs（Y）- cB）ds英尺- E-rtI=-cr+e-rtYtr- uY-cB- 铬- 我:= L（t，Yt），Ft:=-中兴通讯-rscds+EZ∞te-rs（Xs）- cA）ds英尺= -cr+e-rtXtr- uX-cA- 铬:= F（t，Xt）（2.2）和mt:=-Z∞E-RSCD- E-rtI=-铬- E-rtI。请注意，这些过程是连续的，因为它们各自由基础连续过程X和Y的连续函数表示。通过这些马尔可夫表示，我们还可以在任何停止时间评估支付过程，在该停止时间，开关可能发生，以获得正确的支付过程。所有支付过程都进一步限定在（e-rtXt）由可积随机变量限定。实际上，对于σX>0，我们有supte-rtXt=XeσXz，Z=suptBXt-t（r）-uX+σX/2）/σX，与速率2（r）呈指数分布-uX）/σX+σX（参见Revuz和Yor（1999），练习（3.12）4o). 因此，E[supte-rtXt]=X（1+σX/2（r）- uX）∈ R+，意味着（e-rtXt）属于（D）类；与σX<0和Y类似。如果切换发生在停止时间τ，则必须在τ处取条件期望，以确定适当的支付τ，例如，这通常不需要与一系列条件可积随机变量（cf）完全一致。

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2022-5-8 09:06:04

注3，它们会聚到-c/r=：L∞作为t→ ∞.我们假设只有一家公司可以切换，特别是（c- cA）/r+I≥ 0确保F≥ M，并且转换的单个企业的相对资本化总成本为非负，即（cB）- cA）/r+I≥ 0.当L>F时，企业将试图在s切换到特许经营权B时抢先，这是i ff（X，Y）的情况∈ P:=n（x，y）∈ R+y>（r）- uY）xr- uX+cB- 汽车+Io、因此，我们称P为进程（X，Y）的状态空间R+的抢占区域。当F>L时，如果发生切换，每个公司都会选择留下来，这可能会引发一场消耗战。我们将把这种战略冲突建模为一种时机博弈。3结果的非正式预览在这一阶段，非正式地分析模型并预测随后的均衡结构是有益的。首先，根据抢占游戏的文献，我们的游戏必须在P集被击中后立即结束。然而，要对这种先占结果进行建模，仅将随时间变化的分布函数视为（混合）策略是不够的。由于连续时间内没有“下一个时期”，因此必须使两家公司都能立即进行投资，但至少部分避免同时进行投资，尤其是在P的边界上，在P的边界上，它们仍然是不同的。我们遵循Fu denberg和T irole（1985）的内生方法，通过“强度”αi增强策略∈ [0,1]这决定了当两家公司试图同时投资时的结果，就像在一场完全重复的抢美元游戏中一样。抢先投资的公司。如果企业j以平稳概率αj>0进行抓取，则企业可以通过从不抓取获得跟随者报酬F，以及αjM+（1）- αj）L，概率为1。

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2022-5-8 09:06:07

因此，如果α=α=α=L，则在平衡状态下，两种作用之间的效果是不同的- 佛罗里达州- M∈ （0,1），这意味着预期的本地支付F（注意，我们有F≥ M）。对于对称强度，任一企业成为领导者的概率为α（1）- α) + (1 - α)α(1 - α) + · · · =1 - α2 - α.以极限为例，概率成为P的边界，其中α消失（见附录中关于极限结果的注释2）。然而，在P的内部，有一个由确定性时间t索引的正预期和一个通过t=τ（ω）的逐点构造。参见Hendricks和Wilson（1992）的平衡证明。概率α/（2）- α）代表抢占成本的同时投资，而不是更多的临时协调设备。现在考虑P以外的州。首先假设一些公司试图确定何时进行切换并获得领先值L是最佳的，这直接取决于Y。如果竞争对手无法抢占公司的先机，那么标准技术将意味着存在一个门槛*这将企业保持活跃的持续区域和企业进行切换的停止区域分开。因此，最佳停止时间是进程Y第一次进入集合[Y]的时间*, ∞) 而进程X在这个问题上根本不起作用。然而，企业应该意识到，一旦P被击中，游戏就结束了，并且它接收到了不可预测的Follower值，该值确实取决于X。因此，企业应该实际解决受约束的最优停止问题，直到P的第一次击中时间，成为领先者，这个问题的解决方案应该再次将（真正的二维）状态空间分为两组：连续集C和停止集a。这些区域之间的边界由映射x 7给出→ b（x），见图1。

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2022-5-8 09:06:10

b（x）增加玩具*为了x→ ∞, 从那时起，在等待接近无约束阈值y时达到P的概率*它很小。xyy*`yyPL=FP（L>F）Ab（x）C图1：延续区、消耗区和保留区。然而，对于较小的x值，如果Pis在Y<Y时命中，则陷入抢占的风险更高*. 因此，在P被设置为可能更低的值之前，最好确保当前的前导值。我们正式证明，严格提前停止是最优的∪ R+×[y*, ∞) 在约束停止问题中被击中，即停止边界b（x）位于该区域下方（尤其是当抢占“接近”时）。在stoppin gset A的内部，我们现在面临着一种类似于消耗战的情况：等待而不发生切换（受约束的领导者值预期会降低），但在该区域成为追随者将产生更高的回报F>L。y和YP的定义将在第4.3节中变得清晰。我们根据受约束领导者停止问题的s顶部边界b（x）来描述下面的消耗区域A，并将该区域的等待成本确定为L的漂移。在平衡状态下，如果对手退出，产生跟随者的回报，企业只愿意继续并承担成本。我们将提出对称的马尔可夫均衡投资风险率，称为损耗率，这使得两家公司在A中的持续性完全不同。如果我们在这里用λ表示这些风险率，给出一个启发性的论点，那么一家公司在一个小时间间隔[t，t+dt]内投资的概率是λtdt。

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2022-5-8 09:06:13

假设每家公司的等待时间不同，则平衡值（即预期收益）vt应满足vt=Ftλtdt+（1- λtdt）E[Vt+dt | Ft]=Ftλtdt+（1- λtdt）E[Vt+dVt | Ft]<=> λtdt=-E[dVt | Ft]Ft- 及物动词- E[dVt | Ft]。另一方面，我们应该在不同的情况下得出V=L，因为如果另一家公司以一定的利率投资，同时投资的概率为零。因此，E[dVt | Ft]是o（dt）阶Ltof的（此处为负）d裂谷，意味着λtdt=-E[dLt | Ft]Ft- Lt.我们将更一般地将策略建模为随时间变化的分布函数Gi（t），例如危险率实际上是λtdt=dGi（t）/（1）- Gi（t））。请注意，与线性发展的确定性模型（状态变量随时间t变化）不同，我们必须考虑s状态频繁且随机地进入和离开磨损区域的可能性，这使得差异更难验证。外源不确定性的一个显著特征是，在之前没有企业投资的情况下，总是有积极的可能性达到先占区域，尽管风险率λtgrow无限地为F- L→ 0p附近；后者确实加强了对确定性模拟的投资。4子博弈完美均衡的形式化分析在这一节中，我们展示并更详细地讨论了第3节非正式介绍的形式化结果。我们首先在第4.1节中对计时博弈（特别是策略和均衡概念）进行形式化，然后在第4.2节中为从抢占区域P开始的子博弈建立均衡。第4.3节分析了识别磨损区域A的约束最优停止问题。

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2022-5-8 09:06:16

在第4.4节中，我们为任意子博弈建立（马尔可夫）均衡策略。4.1计时博弈：策略与均衡我们使用子博弈完美均衡的框架，对随机计时博弈进行分析，并在Riedel和Steg（2014）中提出混合策略。存在固定概率空间(Ohm, F，P）捕捉关于世界现状的不确定性，特别是关于未来利润的不确定性。我们的企业可以决定在连续时间t内转向新市场B∈ R+。何时切换的决定可以基于一些外部动态信息，这些信息由过滤器表示=英尺T≥0满足us-ual条件（即F是正确的连续且完整的）。它包括当前对过程X和Y的观测，因此L、F和M也适用于F。连续时间内的可行决策节点都是停止时间。因此，任何停止时间都代表着子游戏的开始，其含义是之前没有任何公司切换过。让T表示所有停止时间的集合w.r.T.过滤F。我们将指定所有子游戏的完整行动计划，采取随时间变化的（随机）分布函数形式。这些规则必须是时间一致的，这意味着Bayes的规则必须适用于任何适用的地方。需要额外的策略扩展作为协调设备，以便在连续时间内适当地建模抢占。定义4.1。企业i的扩展混合战略∈ 在从θ开始的子游戏中{1,2}∈ T，也称为θ-策略，是一对过程Gθi，αθi分别取[0,1]中具有以下属性的值。（i） Gθiis改编。

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2022-5-8 09:06:21

对于所有t<a.s.（ii）αθi（t）=0，它是右连续的，且n随Gθi（t）=0递增。当αθi<1，a.s.（iii）αθi（t）>0时，它是右连续的=> Gθi（t）=1代表所有t≥ 0，a.s.我们进一步定义了Gθi（0-) ≡ 0，Gθi(∞) ≡ 1和αθi(∞) ≡ 每扩展一个混合策略1个。任何停止时间τ≥ θ可以解释为与Gθi（t）=t相对应的纯策略≥τ表示所有t≥ 0.如果Gθijump同时为1，则扩展αθide确定实际时间概率，因此在一定程度上可以避免同时停止。Fudenberg和Tirole（1985）首次为确定性游戏引入了α-成分。通常，映射αθi：Ohm ×[0，t]→ R、（ω，s）7→ αθi（ω，s）必须是Ft B（[0，t]）-对任何t都是可测量的∈ R+。这是一个比适应性更强的条件，但比可选性弱，这是我们通过右连续性自动拥有的条件。渐进可测性意味着αθi（τ）对于任何τ都是Fτ-可测的∈ T这意味着在概率为1的情况下，αθi（·）是完全连续的∈ [0, ∞) 其中αθi（t）<1。由于我们在这里只对对称博弈感兴趣，我们可能会要求扩展αθi（·）在取值为0的情况下是正确的，这简化了结果的定义。参见R iedel和Steg（2014）的第3节，了解不对称博弈和相应较弱的规则性限制的问题。并允许在连续时间内进行即时协调。它们还可以被视为衡量企业的“先发制人强度”，因为它们决定了每个企业成功投资的概率。特别是，at^τθ：=inf{t≥ θ|αθ（t）+αθ（t）>0}，范围αθ·确定最终结果概率λθL，i，λθL，jandλθMas在Riedeland Steg（2014）中定义，我们在附录A.2中提供了完整性。

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2022-5-8 09:06:24

这里λθL，i和λθL，j分别表示企业i成为领导者或追随者的概率。λθ估计两家公司同时投资的可能性。由于后一种结果从来都不是理想的（即企业宁愿成为跟随者，最终在同时投资的情况下结束），这种结果传统上被称为“协调失败”（例如，见Huisman和Kort，1999）。既然战略已经正式确定，我们就可以确定企业的薪酬。与战略一样，必须为每个子游戏确定这些薪酬。定义4.2。给出了两种扩展的混合策略Gθi，αθi,Gθj，αθj, i、 j∈ {1,2}，i6=j，子博弈中i的收益从θ开始∈ T isVθiGθi，αθi，Gθj，αθj:= EZ[0，^τθ）1.- θj（s）LsdGθi（s）+Z[0，^τθ）1.- θi（s）FsdGθj（s）+Xs∈[0,^τθ)θi（s）Gθj（s）Ms+λθL，iL^τθ+λθL，jF^τθ+λθMM^τθFθ.由于θ-策略需要在子游戏中聚合，我们需要引入时间一致性的概念。定义4.3。企业i的扩展混合战略∈ {1,2}在计时游戏中是一个家庭Gi，αi:=Gθi，αθiθ∈Tof扩展了所有子游戏的混合策略θ∈ T一种扩展的混合策略Gi，αi时间是否一致≤ θ′∈ Tθ\'≤ T∈ R+=> Gθi（t）=Gθi（t′）-) +1.- Gθi（θ′）-)Gθi（t）a.s.和θ≤ τ ∈ T=> αθi（τ）=αθ′i（τ）a.s.现在平衡概念是标准的。定义4.4。

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2022-5-8 09:06:27

计时博弈的子博弈完美均衡是一对G、 α,G、 α时间一致的扩展混合策略∈ T，i，j∈ {1,2}，i6=j，以及扩展的混合策略Gθa，αθaVθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）≥ Vθi（Gθa，αθa，Gθj，αθj）a.s.，即每对Gθ，αθ,Gθ，αθ在θ的子游戏中是平等的∈ 分别是T。4.2先发制人均衡我们通过考虑具有先发优势Lθ>Fθ的子博弈开始构建子博弈完美均衡，即从先发制人区域P开始，在这里我们可以参考以下已建立的均衡，其中至少有一个企业立即发痒。提案4.5（Riedel and Steg（2014），提案3.1）。修好∈ 假设θ=inf{T≥ θLt>Ft}a.s.那么Gθ，αθ,Gθ，αθ由αθi（t）=1Lt>FtLt定义- FtLt- 任何MTT∈ [θ, ∞) Gθi=1t≥θ，i=1，2，是θ子博弈中的均衡。由此产生的收益为Vθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）=Fθ。在这些平衡中，企业在停止和等待之间没有区别。后者意味着立刻成为跟随者，然后对手肯定地切换。如果Lθ>Fθ，则同时切换的可能性为正，这就是“赎回成本”，将支付降低到Fθ。特别令人感兴趣的是Lθ=Fθ的子博弈，其中每个企业都有可能在命题4.5的均衡中成为领导者或追随者（考虑到A.2节中定义的结果概率）。在τP（θ）：=inf{t的“连续”平衡中尤其如此≥ θLt>Ft}（因此游戏将以概率1结束）对于以Lθ开始的s ubgames≤ Fθ。通过这些持续均衡，企业知道如果达到先占区域，那么每个企业都可以期望在那时获得跟随者价值。

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2022-5-8 09:06:31

这一观察结果对于在磨损情况下建立平衡非常重要。4.3受约束领导者的停止问题我们现在转向从外部开始的子博弈的均衡，在那里我们将观察到一场消耗战，与文献中典型的战略实物期权模型形成对比，其中只考虑了先占。我们的平衡与一个特殊的首要问题密切相关，因此我们详细讨论了这个问题。它的价值（功能）也将是玩家在均衡状态下的持续价值，需要它的解来描述和理解非均衡策略。这个停车问题本身也是一个有趣的问题，因为它是二维的，因此在最优停车文献中根本不是标准的。根据命题4.5，每当州达到优先购买区域P时，我们就确定（均衡）支付。现在假设只有一家公司，比如说我，可以在达到P之前进行转换。然后，我可以决定什么时候成为打P的最佳领导者，游戏以F的当前值作为预期回报结束。让τP:=inf{t≥ 0 |（Xt，Yt）∈ P} =inf{t≥ 0 | Lt>Ft}表示抢占区域P的第一次命中时间，公司i现在面临最佳停止辅助支付过程的问题L:=L1t<τP+FτPt≥τP.显然有必要考虑停车时间τ≤ τP.我们也只对初始状态（X，Y）=（X，Y）感兴趣∈ Pc，这意味着FτP=LτPby连续性。那么我们的停止问题的值是vL（x，y）：=ess supτ≥0E~Lτ= ess supτ∈[0，τP]ELτ对于（X，Y）=（X，Y）∈ Pc（和V~L（x，y）：=Ffor（x，y）=（x，y）∈ P）。

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2022-5-8 09:06:35

由于强马尔可夫性，这个问题的解可以通过识别状态空间{（x，y）的停止区域来表征∈ R+| V)L（x，y）=Lfor（x，y）=（x，y）}=P∪ {（x，y）∈Pc | V!L（x，y）=L（0，y）}和延拓区域c:={（x，y）∈ Pc | V!L（x，y）>L（0，y）} Pc.根据L（resp.L）的连续性，当（X，Y）点击Cc时，停止确实是最佳选择。s Toping和continuation区域与无约束问题SUPτ的相关≥0ELτ, 这仅取决于Y及其初始值Y=Y。这是实物期权文献中的一个标准问题，例如，通过停止初始时间Y超过阈值Y，可以唯一地解决该问题*=ββ- 1（r）- uY）I+cB- 铬,当β>1时，二次方程q（β）的正根≡σYβ（β- 1） +μYβ- r=0。（4.1）在y*, 作为垄断者投资于B的净现值刚好足够高，在退化情况下，该解决方案也适用于Y=Y*= 0，i offl是恒定的，但它当然不是唯一的。等待的选择价值。现在，约束约束约束了，无约束问题的停止区域不完全包含停止区域P，如图1所示*> yP:=（r）- uY）cB- 汽车+I.事实上，停止L对Yt来说是最佳选择≥ Y*在无约束的情况下，它太受约束τ≤ τP.因此，如果y*≤ yP，有约束和无约束问题的连续区域f一致。在显示的案例中，y*> 然而，yP，我们有一个更复杂的，真正的二维停止问题。然后，L的停止区域延伸到P以下∪ {（x，y）∈R+| y≥ Y*} 因为当（X，Y）接近P但低于Y时，在较低的Y值处击中P的风险*.

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2022-5-8 09:06:38

然而，在值“y:=cB”以下，停车占主导地位- c+rI，其中L的漂移为正，因此也为“y<y”*如果其中一个是肯定的。此外，我们还表明，在下列情况下，始终值得等待，直到YE至少超过yP（如果小于y*). 然后，继续区域C和停止区域CforL确实由函数b（x）分隔，如图所示。4.6号提案。存在一个函数b:R+→ [min（yP，y*), Y*] 它是不减量的连续的，这样，直到原点，C={（x，y）∈ R+| y<b（x）} Pc和τCc:=inf{t≥ 0 |（Xt，Yt）∈ Cc}达到V)L（x，y）=ELτCc对于（X，Y）=（X，Y）∈ R+。起源属于C i ffy*> 0，即i ffy>0。在这种情况下，b进一步满足b（x）≥最小值y，yP+x（r- uY）/（r- uX））（否则b≡ Y*C=).在y之上*, 任何延迟所放弃的收入都是如此之高，以至于投资绝对是最优的。y以下*, 对投资成本的贬值效应是使等待严格最优的主要因素。yP≥ 根据我们对参数的假设为0。真正的二维问题及其自由边界由于其普遍的复杂性，在文献中很少被研究。有时会考虑二维问题，例如涉及一维扩散及其运行上确界，然后将其简化为一维、更标准的问题。例如，见Peskir和Shiryaev（2006年）。L的漂移，-E-rt（Yt）- y）dt，可以通过将其o的公式应用于（2.2）中的L（t，Yt）来推导。

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2022-5-8 09:06:43

与“y wealso haveLt”一起-cr+EZ∞te-rs（Y）- \'y）ds英尺.它认为y=0<=> Y*= 0，否则是y*/“y”∈ （0,1），因为βuY<r（显然如果uY≤ 如果uY>0，则为0，且Q（r/uY）>0 in（4.1）；此外，更重要的是- cA）/（cB- cA+rI）<uY/r，例如，如果cissu足够小，或者如果I或Cb足够大（而uY>0）。证据：见附录。我们在引理4.8中展示了th下面的b<y*如果yP<y*; 然而b（x）y*因为约束问题的值收敛到无约束问题的值asX→ ∞.根据命题4.6中确定的C的形状，一个确定永远不会超越e P的公司将在状态离开C时立即切换：{Y>b（X）}∩{F>L}将导致由L的漂移给出的运行预期损失，即-E-rt（Yt）- 这里的y）dt<0。然而，巫术会产生另一个，保持不变的奖励F>L。由于两家公司面临相同的情况，我们在受训练的停站问题的停站区域获得了消耗战：如果对手让步并切换，等待获得奖品会产生运行成本。因此我们称之为损耗区：={（x，y）∈ R+| y≥ b（x）}\\P.为了在抢占区域P之外得出平衡，我们需要准确地知道在A中放弃停止的预期成本。一般来说，这不需要仅仅是L，e的（负）漂移-rt（Yt）- \'y）dt≥ 在A中为0，因为状态可以非常频繁地在A和C之间转换。我们的等式验证使用了约束停止问题的后续特征，以及停止太晚的成本。根据最优停止的一般理论，停止问题的值过程V＠L（X，Y）：=U＠是支配支付过程L的最小上乘过程，称为斯奈尔包络。

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2022-5-8 09:06:46

作为一个超级艺人，它有一个组合U＠L=M＠L- 在鞅M下，一个非减量过程DL称为从DL（0）=0开始的补偿器。因此UL（0）- E[U)L（τ）]=E[D)L（τ）]≥ 如果只考虑在τ之后停止，则0是预期成本。考虑到我们在第4.6条建议中确定的A和C之间边界的几何形状，D的增量实际上由L的（绝对值）漂移给出，其中状态为第4.7条建议。对于命题4.6中的b（x）和（x，Y）6=（0，0），我们有ddL（t）=1t<τP，Yt≥b（Xt）e-rt（Yt）- y）所有t的dt（4.2）∈ R+a.s.如果（X，Y）=（0，0），（4.2）如果Y仍然成立*≤ 0或yP>0；其他方面≡ 0.正式来说，我们只有A=Cc∩ 根据命题4.6，我们更喜欢使用边界表示法。正是复写的副本∩ 当b（x）位于抢占边界yP+x（r）以下时-uY）/（r- uX），实际上b（0）=min（yP，y*), 所以我们有（0，0）∈ C∩ A i offy*> 0≥ yP，resp。A=Cc∩ 佩西*≤ 0或yP>0。这种等待成本的“开启和关闭”可能会导致非平凡行为，这取决于我们的流程（X，Y）在两个区域之间的边界上花费的本地时间（Y=b（X）。参见Jacka（1993）关于布朗运动的例子，其中当地时间是非平凡的。证据：见附录。有了斯奈尔包络的概念，我们现在可以证明b不是平凡的，也就是说，不仅仅是应用于无约束解的约束。引理4.8。如果yP<y*, 然后b<y*.证据假设b（^x）=y*> yP，因此是y*> 0.然后特别是对于所有X≥ ^x和Y=Y*,UL（0）=L=L=UL（0），具有L的超（无约束）S nell包络。对于任何停止时间τ，UL（0）- E[U＠L（τ）]=E[D＠L（τ）]=EZτ∧τPYt≥b（Xt）e-rt（Yt）- \'y）dt同样，对于无约束问题（0）- E[UL（τ）]=E[DL（τ）]=EZτYt≥Y*E-rt（Yt）- \'y）dt.现在让X>^X，Y=Y*τ=inf{t≥ 0 | Xt≤ ^x}∧ τP>0。

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2022-5-8 09:06:51

在{Yτ<Y上的UL（τ）<UL（τ）*}, 根据我们的非简并假设，它的概率为正，所以E[UL（τ）]<E[UL（τ）]。这与前两次显示中的所有其他术语相矛盾，因为它们是相等的。备注4.9。更明确地刻画b是一个困难的问题。然而，通过引理4.8证明中的类似论证，我们可以得到一个近似b的方案（参见第5节中的数值研究）。斯奈尔包络UL是类（D）的超鞅，在L（P）中收敛到UL(∞) =~L∞= LτP.它的鞅和单调部分在L（P）中收敛为t→ ∞, 分别地如果≥ b（X），我们进一步有UL（0）=L=L。因此，UL（0）- E[UL(∞)] = L- E[LτP]=EZτPe-rt（Yt）- \'y）dt= E[DL(∞)] = EZτPYt≥b（Xt）e-rt（Yt）- \'y）dt亨西呢≥ b（X）=> EZτPYt<b（Xt）e-rt（Yt）- \'y）dt= 0.（4.3）自y以来*≥ b、也可以使用τP∧ inf{t≥ 0年至今≥ Y*} 在（4.3）中。任何候选人都应该满足≥ 就像b本身一样。因此，如果^b（局部）太高（低），则（4.3）中的期望值将为Y=^b（X）的正（负）。当Y>0时，L的opt imal停止时间，即第一次Y超过Y*, 是唯一的（最多为空集），但在Y，yP<Y的约束问题中是不允许的*, 因此，类似地，U~L（τ）<UL（τ）在{Yτ<Y上*}.4.4子博弈完美均衡我们现在准备结合之前的结果来构造任意子博弈的均衡。如果状态达到P，则会有抢占权，某些公司会立即切换。在C区，企业只是等待。然而，在消耗区域A中，企业在特定的时间切换，使得另一方成为（更具优势的）跟随者的概率补偿了领导者薪酬的负漂移，使得每个人都等待或立即切换。4.10号提案。假设（X，Y）6=（0，0）或yP>0。修好∈ T和setτP:=inf{T≥θLt>Ft}。

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2022-5-8 09:06:55

然后Gθ，αθ,Gθ，αθ由DGθi（t）1定义- Gθi（t）=Yt≥b（Xt）（Yt）- \'y）dtXt/（r）- uX）- （Yt）- yP）/（r）- θ，τP）上的μY（4.4）和[τP]上的Gθi（t）=1，∞] αθi（t）=1Lt>FtLt- FtLt- 姆顿[θ，∞], i=1，2是θ子博弈中的一个均衡。由此产生的收益为Vθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）=V＠L（Xθ，Yθ）=ess supτ≥θE~LτFθ带＠L:=L1t<τP+FτPt≥τP.证明。修好我∈ {1,2}让j表示另一个企业。这些策略满足定义4.1的条件（假定[0，θ]上的Gθi（t）=αθi（t）=0）。特别注意，根据我们的非退化假设，τP=inf{t≥ θLt≥ Ft}除非（Xθ，Yθ）=（X，Y）=（0，0）和yp=0，因此除了f，在排除的情况下，（4.4）中的分母在τP之前不会消失。现在Y>Yt≥ b（Xt）意味着t≥ τPby b（x）≥ 最小值y，yP+x（r- uY）/（r- uX）和Hencet建议的停止率也是非负的。这些策略是在命题4.5的τpB下，即给定任何Gθi（τP-), [τP]上的Gθi（t）=1，∞] 所提出的αθi（t）是最优的Gθj，αθj与公司i相关的报酬是E(1 - Gθi（τP）-)1.- Gθj（τP）-)FτPFθ. 仍然需要证明Gθ离子[θ，τP]的最优性。由于Gθjis在[θ，τP]上是连续的，因此Riedel和Steg（2014）得出结论，没有必要考虑αθi（t）>0的可能性。鉴于[τP]上提出的最优αθi（t）=1，∞], 在给定拟定利率的情况下，τpand的相关支付，Gθi（t）=1- 经验{-Rtθ（1）- θi（s））-1dGθi（s）}在[θ，τP]上。Gθjup到τP的连续性，我们可以将任何Gθ离子[θ，τP）的支付写为vθiGθi，αθi，Gθj，αθj= EZ[0，τP]Z[0，s）FtdGθj（t）+1.- θj（s）LsdGθi（s）+（1）- Gθi（τP）-)1.- Gθj（τP）-)FτPFθ.此外，注意到（1）- Gθi（τP）-)1.- Gθj（τP）-)FτP=Gθi（τP）Gθj（τP）FτPandGθj（t）=0on[0，τP），我们得到vθiGθi，αθi，Gθj，αθj= EZ[0，τP]Si（s）dGθi（s）Fθ其中Si（s）=R[0，s]FtdGθj（t）+1.- θj（s）是的。

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2022-5-8 09:07:00

因此，当停止Si的时机相同时，Gθiis op timal i ffit会增加。我们现在证明，在磨损区域A或τP的任何地方都是这样。这个过程在{θ<τP}上是连续的，因为有LτP=FτPSi（τP）=Gθj（τP）FτP- LτP= 0.由于L是连续半鞅，且[0，τP]上的Gθjis单调且连续，因此Sisatis fiesdsi（s）=（Fs）- Ls）dGθj（s）+1.- θj（s）dLs。使用（Fs）- Ls）dGθj（s）=1.- θj（s）Y≥b（Xs）e-rs（Y）- 在[θ，τP）Yieldsdssi（s）上的y）ds=1.- θj（s）dLs+1Ys≥b（Xs）e-rs（Y）- \'y）ds.回顾第4.3小节中的L（τpad为θ进行了调整），以及提案4.7中提到的斯奈尔包络线UDlided，我们有事实上的DSI=1.- θj（s）d~Ls+dD~L（s）关于[θ，τP]，其中θ<τP。我们首先忽略（1- Gθj）并认为，在磨损区域A或τP处停止L+Dlany是最佳的。事实上，当UL=ML时- DLis最小的su permartingale支配L，UL+DL=ML必须是最小的Supermartingale支配L+DL，即L+DL的斯奈尔包络。作为MLis a M artingale，任何停止时间τ与ML（τ）=Lτ+DL（τ）<=> UL（τ）=Lτa.s.对于L+DL而言是最佳的，当建议的Gθii增加时（即在a或在τP处），这是令人满意的。韦比的4.6号提案，A∩ C只能在原点处达到，即（Xτ，Yτ）=（0，0）<=> （X，Y）=（0，0），如果yP=0（参见脚注14），我们已经排除了这一点。通过定义，U~L（τP）=Lτphold。实际上必须考虑，对于任何τ∈ [θ，τP]，Si（τ）- Si（θ）=Z[θ，τ]1.- θj（s）d~Ls+dD~L（s）=1.- Gθj（τ）~Lτ+D~L（τ）-Lθ- D~L（θ）+Z[θ，τ]~Ls+D~L（s）dGθj（s）。存在（1）- 因此，与停止θL+DθL相比，Gθj）起到了约束作用。

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2022-5-8 09:07:04

然而，Gθj有利地改变了其整体质量，因为它也只在最佳停止时增加。因此，最佳停止Si的回报确实是来自L+DL的回报，即ML（θ）=UL（θ）（DL（θ）=0），并且相同的停止时间是最佳的。证据现已完成。马尔可夫平衡停止率（4.4）是L的绝对值除以F的差值- 五十、如前所述，确保准确的补偿，使每个最终结果有所不同。如果（X，Y），等待是严格最优的∈ C、其中，平衡点payo fff为UL>L。尽管当州接近禁区时，s-Toping Rate（4.4）会变得无限大，因为分母F- 当分子从零开始有界时，L消失——累积停止概率不收敛于1。在设定优先购买权边界时，会留下一些质量。这是我们的随机模型的一个显著特征，在确定性版本中未观察到，参见第6节。4.11号提案。提案4.10中规定了战略Gθ在{τP<∞ } a、美国证明：见附录。关于αi的正则性，注意我们只能有L≤ 我在{Y≤ 根据我们的假设（c）- cA）/r+I≥ 0，在{（X，Y）上L>M∈ P∪ P} 如果X>0，则为a.s；所以αi是连续的，并且在{（X，Y）上消失∈ P} 。命题4.11背后的数学问题本身就很有趣。通过证明中使用的相同元素（随后变得更简单），我们可以证明，对于在a>0处开始的布朗运动，h asZτBtdt<∞a、其中τ=inf{t≥ 0 | Bt≤ 0}.

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2022-5-8 09:07:07

我们实际上考虑了过程Zt=Xt的倒数- 用几何布朗运动X，Y表示Y+a。在特殊情况下，X=0，X≡ 0和αi（t）=Lt- FtLt- MtLt>Ft=（Yt- yP）1Yt>yPYt- yP+（r- uY）（I）- （约- c） /r）。那么αI仍将持续I>（约- c） /r和{Y上的统一≥ I=（cA）的yP}- c） /r.由于所有的数量都是马尔可夫的，我们可以很容易地将均衡聚合为子博弈性能均衡。定理4.12。策略Gθi，αθiθ∈T、命题4.10中的i=1，2构成了一个子博弈完美等式。备注4.13。如果X=0<Y，游戏“在Y轴上”进行，导出的平衡如下。一旦Y超过抢占点yP，就有抢占权。任何小于b（0）=最小值（yP，y*) 在延拓区，所以有损耗*)+< yP，在这两点之间。如果Y=0，游戏“在x轴上”进行，实际上是确定的，因为我们有τP=∞ 根据我们的假设yP≥ 0.事实上，现在Ft>LtT∈ R+如果X∨ yP>0，DLT=e-是的。因此，如果≥ 0时，t的停止占主导地位∈ R+，严格地说，如果y>0或是收费[0，∞), 而所提出的均衡策略只需要充电[∞].如果y<0，也可以是b≡ Y*< 0，并且速率存在永久性损耗-dL/（F）- 五十）。在X=yP=0的完全退化情况下，命题4.10的停止率没有得到很好的定义。然而现在，我≡ F并且存在以下平衡：对于y>0，两家公司都会不确定地等待，对于y=0，任何没有关节质量点的策略对都是一个平衡，对于y<0，一家公司立即切换，另一家公司弃权。5.一个数值例子作为模型的说明，我们给出一个数值例子来说明迄今为止给出的结果的后果。

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2022-5-8 09:07:13

表1给出了基本情况的参数值。c=3.5 cA=4.5 cB=5 I=100 r=.1uY=.04uX=.04σY=.25σX=.25ρ=.4表1：数值示例的参数值在这种情况下，它认为Y*= 17.45. 抢占区域如图2a所示。寻找边界x7→ 命题4.6中描述的b（x）并非如备注4.9所示的微不足道。然而，从pricingAmerican期权数值方法的文献中（例如，参见Glasserman，2004年的概述）可以看出，分段线性或指数近似通常效果良好。在我们的例子中，我们对形式b（x）=y的指数边界进行了简化*- （y）*- y）e-γ（x）-其中，x是唯一的，因此（\'x，\'y）在P的边界上，γ是自由P参数。事实上，如果y=y*= 0，b≡ Y*= 0，而如果y>0<=> Y*> 0，然后b（Xt）>0表示X+yP>0byb（X）≥ 最小值y，yP+x（r- uY）/（r- uX）。现在，一个粗略的实现包括假设γ的值，然后模拟3000个样本路径，以获得接近该边界的几个起始值。最佳边界应使模拟的连续值一致地略大于引导值。通过手动搜索多个γ值，可以得出0.0984 anda边界值，如图2b所示。0 5 10 15 20 25 3005101520xyy*yPP（a）抢占区域0 5 10 15 20 25 3005101520xyb（x）y*YPCA（b）受约束前导值的最佳停止边界图2：数值示例的抢占、消耗和延续区域。一旦建立了边界，我们就可以使用定理4.12中的平衡策略来模拟平衡样本路径。图3和图4给出了两个样本路径及其磨损率（4.4）的实现。与路径平行，我们从各自的损耗率中得出投资决策。

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