社会选择对应关系的坚决改进

2022-5-8 09:54:43

社会选择对应的坚决要求*Daniela Bubbolonidi Partitiono di Scienze per l\'Economia e l\'Impersonaniversation\'a degli Studi di Firenzevia d elle Pandette 9，50127，Firenze，Italy电子邮件：Daniela。bubboloni@unifi.ittel:+39 055 2759667米歇尔·戈里迪门托科学研究院（michele Goridipartmento di Scienze per’Economia e l’Impersonaniversation’a degli Studi di Firenzevia d elle Pandette 9，50127，Firenze，Italy）电子邮件：米歇尔。gori@unifi.ittel:+39 055 2759707 2018年6月19日摘要许多经典的社会选择对应关系只有在两个选择和奇数个个体的情况下才是坚决的。因此，在大多数情况下，他们承认几个决定性的因素，每个因素都自然地被解释为打破平局的规则，满足不同的性质。在这篇论文中，我们寻找社会选择对应的类别，这些类别支持匿名性和中立性的合适版本。特别是，假设个体和备选方案已被外生地划分为子委员会和子类，我们对su B委员会和子类的规模给出了算术条件，这些条件对于做出任何社会选择都是必要的，并且对于子委员会来说是有效的、匿名的，对于子类中立，并且可能不受反转偏差的影响，定义一个共享相同属性的坚决对手。关键词：社会选择对应；坚定；匿名中立；反转偏倚；群论。JEL分类：D71。1引言考虑一个委员会有h≥ 2个必须在一组n中选择一个或多个元素的成员≥ 2种选择。进一步假设，用于做出选择的程序仅取决于委员会成员对备选方案的偏好，且此类偏好以线性误差表示。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:54:46

将偏好文件称为任何h偏好列表，其中每个都与委员会中的一个个人相关，选择程序可以用社会选择协调（scc）表示，即从偏好文件集到备选方案集非空子集集的函数。*Daniela Bubboloni得到了INdAM的GNSAGA的支持。文献中提出并研究了许多SCC。其中大多数都满足三个要求，即效率、匿名性和中立性，社会选择理论家认为这三个要求非常可取。回想一下，如果scc没有为每个偏好文件选择一个被另一个替代方案一致击败的替代方案，则称其为有效；匿名如果个体的身份与决定社会结果无关，也就是说，它为任何一对偏好文件选择相同的社会结果，这样我们就可以通过排列个体名称从另一个中得到一个；中性如果备选方案被平等对待，也就是说，对于每一对首选方案，我们通过排列备选名称从另一个中得到一个，那么与它们相关的社会结果将共同包含到所考虑的排列中。由于在许多情况下，集体决策过程需要选择一个独特的替代方案，因此果断的SCC在社会选择理论中扮演着重要的角色，即那些将个体与任何参考文件相关联的SCC。不幸的是，传统的SCC很少能满足坚定的态度。例如，如第3节所述，Borda、Co peland、Minimax和Kemenysccs都是有效的、匿名的和中立的，但当且仅当替代者的数量为两个且个体的数量为奇数时，它们才是合理的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:54:50

因此，如果一个委员会的成员想要使用一个经典的scc来做出他们的集体选择，并且需要一个独特的结果，那么他们还需要一个打破平局的规则来适用于chosenscc选出的替代方案。搭售规则的概念可以根据scc的要求自然地形式化。LetC和C′是两个SCC。如果对于每个偏好文件，C\'选择的一组备选方案是C\'选择的一组备选方案的子集，那么我们说C\'是C的一个补充。因此，C\'的补充可以被认为是减少C所做选择的模糊性的一种方法。特别是，C的坚决补充消除了导致唯一赢家的任何模糊性，这样他们就可以遵守打破平局的规则。当然，如果C不是坚决的，那么它承认比一个单独的问题更重要。因此，一个有趣的问题是了解是否有可能找到C的分解元素，使其满足合适的性质，使其更具吸引力。在本文中，我们重点讨论了先前描述的高效性、匿名性和中立性，以及对反转偏差的免疫力。回想一下，如果一个scc从未将同一个单子同时与一个偏好文件和一个通过假设每个委员会成员对他/她自己的备选方案排名的想法完全改变而获得的结果相关联（即，最佳备选方案得最差，次优备选方案得第二差，依此类推），则scc被认为不受普遍偏见的影响。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:54:53

Saari（1994）首次提出的对反转偏差的免疫力尚未得到广泛探讨，实际上只有两篇论文完成了对它的研究，即Saari和Barney（2003）以及Bubboloni和Gori（2016），我们希望对这种属性的重要性进行广泛讨论。需要立即了解的是，高效scc的任何坚决要求都是有效的。然而，匿名[中立；不受逆转偏见影响]SCC的坚决反对通常不是匿名[中立；不受逆转偏见影响]。例如，对于使用两种标准方法来打破关系的坚决抵抗来说，这种情况就会发生。第一种方法由Moulin（1988）提出，基于打破平局的ag e nda，即对备选方案进行外源性的排名；第二种是基于被任命为平局打破者之一的偏好。当然，通过打破平局议程建立起来的坚定的利益不能是中立的，而通过打破平局议程建立起来的利益不能是匿名的。还请注意，Moulin（1983）的一个有趣结果表明，有效、匿名、中立和坚决scc的存在等同于强条件gcd（h，n！）=1（定理6）。因此，在大多数情况下，鉴于有效的scc，我们无法获得任何匿名和中立的坚决回应。因此，在这些情况下，我们只能寻找满足匿名性和中立性原则较弱版本的SCC。Bubboloni和Gori（2015）提出了一种削弱匿名原则的可能方法，假设个人被划分为小组委员会，并要求在每个小组委员会中，个人平等地影响最终的集体决策，而不同小组委员会中的人可能拥有不同的决策权。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:54:56

他们还提出了中性原则的较弱版本，假设备选方案被划分为子类，并要求每个子类中的备选方案都得到同等对待，而不同子类中的备选方案可能会得到不同的对待。这些匿名性和中立性的版本当然是很自然的，并且在许多实际的集体决策过程中得到了实际应用。例如，当一个委员会担任主席，或者当一个委员会对性别歧视的求职者进行评估时，这种情况就会发生。在前一个例子中，委员会成员可以被认为分成两个小组委员会（第一个小组委员会的成员，第二个小组委员会的所有其他成员），每个小组委员会中都有匿名人士；在后一个例子中，可将备选方案分为两个亚类（第一类为女性，第二类为男性），因此，与同一亚类中的其他备选方案相比，没有任何备选方案具有外生优势。在本文中，我们找到了子委员会和子类的大小s的算术条件，这些条件对于存在有效的再溶质scc是必要的，对于子委员会来说是非对称的，对于子类来说是中性的[并且不受反转偏差的影响]（定理7）。然后，我们证明，相同的条件确保任何有效的scc，对于子委员会来说是匿名的，对于子类来说是中立的[并且不受普遍偏见的影响]，都允许一个具有相同性质的坚决对手（定理8）。除其他外，这些结果推广了Moulin之前提到的定理。虽然第一个结果的证明简单自然，但第二个结果的证明以及其他有趣的结果需要一定的工作量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-8 09:55:01

这些论点主要基于Bubboloni和Gori（2014年、2015年）提出的代数方法，在社会福利函数的框架内，群体在集合上的行为的概念被自然而有效地用于研究匿名性、中立性和较弱版本的问题，以及反转对称性。在这里，我们通过定义一个关于一个群体的scc一致性的一般和广泛的概念（第2.4节），将代数推理适应于scc的框架，其中包括关于小组委员会的匿名性、关于子类的中立性以及作为特殊情况的对逆转偏差的免疫力。一致性的不确定性提供了一个统一的框架，一方面可以使证明更简单、更直接，另一方面可以获得非常普遍的结果（定理15）。值得注意的是，本文中开发的代数方法还提供了潜在构建所有所需元素的方法。在第6.2节和第6.3.1节中，我们讨论了一些例子，解释了如何明确应用理论结果。2初步定义和事实本文给出了A、B和C集合，f:A→ B和g:B→ C函数，我们用gf表示f和g从右到左的组合，即从A到C定义的函数，用于everya∈ A、当gf（A）=g（f（A））.2.1群和置换本文中使用的所有群论结果都可以在J acobson（1974年，第1章）中找到。在下文中，我们简要介绍了一些众所周知的概念，这些概念将有助于全面理解本文件，直到第4节结束。第4节阐述并评论了本文的主要定理。有限群G是一个具有满足结合性的二元运算的有限集，允许中性元素1G，并且每个元素都有逆。以g为例∈ G

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:05

我们设定g=1Gand，对于每一个s∈ N、我们用gsg表示g自身的乘积s次。我们还用| g |表示顺序。值得一提的是，坎贝尔和凯利（2011、2013）也介绍了匿名和中立原则的一些弱版本。对于g，也就是最小s∈ N使得gs=1G。G的子集U称为G的子群，如果在G中的运算下U是闭合的，也就是说，如果对于每个U，U∈ U、我们有uu∈ 如果U是G的a群，我们使用符号U≤ G.设X为非空有限集，则sym（X）表示从X到自身的双射函数组，其乘积定义为每个σ，σ∈ Sym（X），由σσ表示∈ Sym（X）。Sym（X）的中性元素由恒等式函数给出，用id表示。Sym（X）被称为X上的对称群，其元素被称为X上的置换∈ N、 groupSym（{1，…，k}）简单地用Sk表示。SKM中的元素通常是通过不相交的循环通过标准表示法编写的。例如，ψ=（134）（26）∈ 如果由ψ（1）=3，ψ（3）=4，ψ（4）=1，ψ（2）=6，ψ（6）=2，ψ（5）=5.2.2偏好关系定义的排列从现在开始，让n∈ N加N≥ 2是固定的，让N={1，…，N}是替代者的名字集。N上的偏好关系是N上的线性序，而不是完全的、传递的、反对称的二元关系。N上的偏好关系集用L（N）表示。给定q∈ L（N）和x，y∈ N，我们写xqy代替（x，y）∈ q、还有xqy代替（x，y）∈ qand x 6=y，根据q如果x，我们说x比y优先qy。让q∈ L（N）固定。每ψ∈ Sn，我们将ψq定义为L（N）的元素，因此，对于每个yx，y∈ N、（x，y）∈ ψq当且仅当（ψ）-1（x），ψ-1（y））∈ q、考虑Sn中的顺序反转置换，即置换ρ∈ 已定义，用于eve ry r∈ {1, . . .

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:09

，n}，作为ρ（r）=n- r+1。显然，我们有|ρ|=2。注意，当n为奇数时，ρ实际上有一个固定点，当n为偶数时，ρ没有一个固定点。例如，如果n=3，我们有ρ=（13），2是唯一的固定点；如果n=4，我们有ρ=（14）（23）且没有固定点。定义Ohm = {id，ρ}，其中id∈ Sn。注意Ohm ≤ SNI是一个交换群，它允许作为唯一子群{id}和Ohm. 我们定义ρ∈ L（N）作为L（N）中的元素，对于每个x，y∈ N、（x，y）∈ qρ当且仅当（y，x）∈ Qq id=q。请注意，根据定义，对于每个x，y∈ N和ψ∈ Sn，我们有xqyif且仅当ψ（x）ψqψ（y）；十、qy当且仅当yqρx.函数rankq:N→ {1，…，n}被定义为∈ N、 byrankq（x）={y∈ N:是的qx}|。这样的函数称为x的秩∈ N在q中是双射的。注意，对于每一个ψ∈ Sn，秩ψq（x）=rankq（ψ）-1（x））和rankqρ（x）=ρ（rankq（x））。现在考虑由v（n）={（xr）nr=1给出的n个不同分量的向量集∈ Nn:xr=xr=> r=r}，并认为每个向量（xr）nr=1∈ V（N）作为列向量到r，即，（xr）nr=1=十、xn= 函数f:V（N）→ L（N）与（xr）nr=1关联∈ V（N）偏好关系{（xr，xr）∈ N×N:r，r∈ {1，…，n}，r≤ r} ，以及函数f:Sn→ L（N）与σ有关∈ 偏好关系{（σ（r），σ（r））∈ N×N:r，r∈ {1，…，n}，r≤ r} 是双射的，因此，特别是，|Sn |=|V（N）|=|L（N）|=N！。注意-1（q）={（xr）nr=1∈ V（N）：R∈ {1，…，n}，rankq（xr）=r}，f-1（q）={σ∈ 序号：R∈ {1，…，n}，rankq（σ（r））=r}。还要注意，对于每一个ψ∈ Snandρ∈ Ohm, 如果f-1（q）=[x，…，xn]T，thenf-1（ψq）=[ψ（x），…，ψ（xn）]T和f-1（qρ）=[xρ（1）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:12

，xρ（n）]T；如果f-1（q）=σ，然后f-1（ψq）=ψσ和f-1（qρ）=σρ。因此，函数fand和fwe可以识别偏好关系q和向量f-1（q）和置换f-1（q），自然地解释V（N）和Sn中的乘积ψq和qρ。例如e，如果n=4和q={（4,2），（2,1），（1,3），（4,1），（4,3），（2,3），（4,4），（2,2），（1,1），（3,3）}∈ L（{1，2，3，4}），那么q和f都是相同的-1（q）=[4,2,1,3]T∈ V（{1,2,3,4}）和f-1（q）=（143）∈ S、因此，4的秩为1，2的秩为2，1的秩为3，3的秩为4。因此，如果ψ=（342）∈ S、然后我们可以写出ψq=（342）[4,2,1,3]T=[2,3,1,4]和qρ=[4,2,1,3]T（14）（23）=[3,1,2,4]T，以及ψq=（342）（143）=（123）和qρ=（143）（14）（23）=（132）。一方面，通过向量识别偏好关系使计算变得简单直观。另一方面，通过排列识别偏好关系，可以将SNN的群属性转移到偏好关系和排列之间的乘积。特别地，通过结合律和相消律，对于e veryψ，ψ∈ Snandρ，ρ∈ {id，ρ}，我们有ψq=ψq当且仅当ψ=ψ；qρ=qρ当且仅当ρ=ρ；（ψ）q=ψ（ψq）；q（ρ）＝（qρ）ρ；（ψq）ρ=ψ（qρ）。每ψ∈ Sn，ρ∈ Ohm 还有X L（N），我们定义ψXρ={ψqρ∈ L（N）：q∈ 十} 。注意，对于每一个ψ∈ Sn，ρ∈ Ohm 还有X Y L（N），ψXρ ψYρ，特别是ψL（N）ρ=L（N）。现在给出ψ∈ Snandρ∈ {id，ρ}，我们最后强调，上述讨论使得产品ψq和qρ有有趣的解释。事实上，如果q代表某个个体的偏好，那么ψq代表该个体的偏好∈ N，备选方案x称为ψ（x）；qρ表示如果每个r∈ {1, . . .

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:16

，n}，秩为r的替代方案被移动到秩ρ（r）。2.3从现在开始，让h∈ N和h≥ 2是固定的，让H={1，…，H}是个人的名字集。偏好文件是L（N）h的一个元素。集合L（N）his由P表示。如果P∈ 潘迪∈ H、 p的第i分量用pian表示，代表个人的偏好。任何p∈ P可以用n×h矩阵识别，其第i列是表示所有i的列向量∈ H.让我们考虑集合G=Sh×Sn×Ohm. 请注意，G是一个按组分进行的乘法，也就是说，对每一个（ψ，ψ，ρ）进行定义∈ G和（ψ，ψ，ρ）∈ G、（ψ，ψ，ρ）（ψ，ψ，ρ）=（ψ，ψ，ρ）。对于每（ψ，ψ，ρ）∈ G a和p∈ P、定义P（ψ，ψ，ρ）∈ P作为偏好，例如∈ H、（p（ψ，ψ，ρ））i=ψp~n-1（i）ρ。因此，p根据以下规则（适用于任何顺序）获得偏好文件p（ψ，ψ，ρ）：∈ H、个人i更名为а（i）；每x∈ N，备选方案x为ψ（x）；每一个r∈ {1，…，n}，秩为r的备选方案被移动到秩ρ（r）。例如，如果n=3，h=7和p=3 1 2 3 2 1 12 2 1 2 3 3 31 3 3 1 1 2 2, ψ=（134）（25），ψ=（12），ρ=ρ=（13），那么我们有p（ψ，id，id）=3 2 3 2 1 1 12 3 2 1 2 3 31 1 1 3 3 2 2, p（id，ψ，id）=3 2 1 3 1 2 21 1 2 1 3 3 32 3 3 2 2 1 1,p（id，id，ρ）=1 3 3 1 1 2 22 2 1 2 3 3 33 1 2 3 2 1 1, p（ψ，ψ，ρ）=2 2 2 3 3 1 11 3 1 2 1 3 33 1 3 1 2 2 2.很容易验证，如果n=2，那么p（id，ρ，id）=p（id，id，ρ）表示一个ll p∈ P如果n≥ 3，那么就不存在了∈ 尚德ψ∈ 因此，对于伊芙·瑞普来说∈ P、 P（ψ，ψ，id）=P（id，id，ρ）。换言之，自上而下的反向偏好不能归结为个人和其他人姓名的改变。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:19

在下面的内容中，我们将第i分量p（φ，ψ，ρ）简单地写成p（φ，ψ，ρ）i，而不是（p（φ，ψ，ρ））i.2.4社会选择对应关系社会选择对应关系（scc）是从p到n的非空子集集的函数。SCC的集合用C表示∈ C、我们说C是坚决的，如果，对于每一个p∈ P、 | C（P）|=1。我们说C′∈ C是C的一个元素，如果，对于每一个p∈ P、 C′（P） C（p）。请注意，C允许一个唯一的坚决条件，当且仅当C是坚决的。现在想想吧，帕尔∈ C定义，每p∈ P、 a sP ar（P）={x∈ N: Y∈ N\\{x}，我∈ H使得x皮伊。（1） PAR被称为帕累托scc。请注意，P ar（P）包含至少在pi中排名第一的备选方案。特别是，P ar（P）6=.我们说C∈ C是有效的，如果C是P ar T hus的一个替代品，有效的scc永远不会选择一个被另一个一致击败的替代品。当然，每一个有效率的企业都是有效率的。给定一个分区y={Yj}sj=1of H，其中s∈ N、我们定义了setV（Y）={~n∈ Sh:~n（Yj）=所有j的Yj∈ {1，…，s}，我们说C对于Y，brie fly Y是匿名的，如果，对于每一个p∈ P和φ∈ V（Y），我们有C（p（φ，id，id））=C（p）。因此，将Y的要素解释为小组委员会，我们有Y匿名SCC将相同的决策权赋予sa me小组委员会中的个人。注意V（Y）≤ 现在给定一个参数Z={Zk}tk=1of N，其中t∈ N、我们定义了setW（Z）={ψ∈ Sn:ψ（Zk）=Zk表示所有k∈ {1，…，t}，一个非空集X的一个划分是X的一组非空的两两不相交子集，其并集是X。我们说C是中性的，相对于Z，br ie fly Z-中性，if，对于每一个p∈ P和ψ∈ W（Z），我们有C（p（id，ψ，id））=ψC（p）。因此，将Z的元素解释为子类，我们发现Z-中性SCC无法区分同一子类中的替代品。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-8 09:55:23

注意W（Z）≤ Sn。当然，如果Y={H}[Z={N}]，那么V（H）=Sh[W（Z）=Sn]，因此匿名性[中立性]的经典要求对应于Y-匿名性[Z-中立性]的要求。此外，Cis anonymous[neutral]当且仅当对于H[Z]的所有分区Y，C是Y-匿名[Z-中立]的。继Bubboloni和Gori（2016）之后，我们最后说C对反转偏差免疫，如果∈ 当| C（P）|=1时，我们有C（P（id，id，ρ））6=C（P）。换言之，如果scc从未将sa me uniq ue winnerboth与偏好文件p以及通过p反转每个人的偏好文件相关联，则scc不受反转偏差的影响。3一些经典SCC的分析帕累托SCC、博尔达SCC、科普兰SCC、极小极大SCC和凯梅尼SCC是文献中深入研究的经典SCC。回想一下，P ar在（1）中定义，而对于每一个P∈ P、我们有这个bor（P）=argma xx∈NhXi=1（n- rankpi（x）），Cop（p）=argmaxx∈NY∈ N:wp（x，y）≥h+1-Y∈ N:wp（y，x）≥h+1,最小值（p）=argmaxx∈n米尼∈N\\{x}wp（x，y），Kem（p）=nx∈ N: Q*∈ argmaxq∈L（N）kp（q）与rankq*（x） =1o。在哪里，每一个p∈ P、 x，y∈ N和q∈ L（N），我们有setwp（x，y）={i∈ H:xpiy}|，kp（q）=Xxqywp（x，y）。众所周知，下列命题成立。提议1。PAR、Bor、Cop、Min和Kem是高效、匿名和中立的。特别是，所有考虑的SCC对于H的任何划分都是匿名的，对于N的任何划分都是中性的。在下一个命题中，我们找到了关于个体数和备选方案数的条件，这些条件是必要和有效的，以使这些SCC与反转偏差和坚决性保持一致。为了简化符号，给出ψ∈ 斯南德X N、我们写ψX而不是ψ（X）。对于博尔达scc，我们指的是著名的博尔达伯爵。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:27

所有其他定义均取自Fishburn（1977）。提议2。PAR、Bor、Cop和Kem对反转偏差免疫。证据Borda和Copeland SCC的这一事实在Bubboloni和Gori（2016年，提案3）中得到了证明。因此，我们只能考虑C∈ {par，Kem}并证明如果，对于一些P∈ P和X，y∈ N、我们有C（p）={x}和C（p（id，id，ρ））={y}，然后x 6=y。下面，对于每个p∈ P、我们将把Pρ写成P（id，id，ρ）。假设对于某些P，P ar（P）={x}和P ar（Pρ）={y}∈ P和x，y∈ 然后，特别地，我们有rankp（x）=1和rankpρ（y）=1。因此，rankp（y）=n6=1=rankp（x），表示x6=y。现在考虑一下Kem。我们开始定义每一个p∈ P、 L（N）K（P）=argmaxq的非空子集∈L（N）kp（q）并表明，对于每一个p∈ P、 K（Pρ）=K（P）ρ。（2）事实上，考虑到p∈ P、很快就会发现，对于每一个x，y∈ N，我们有wpρ（x，y）=wp（y，x）。因此，对于每一个q∈ L（N），我们有kpρ（qρ）=Xxqρywpρ（x，y）=Xyqxwp（y，x）=kp（q）。现在给出^q∈ K（p）ρ，注意^q=q*ρ为合适的q*∈ K（p）。然后，对于每一个q∈ L（N），我们有kp（q*) ≥ kp（q），因此kpρ（q*ρ） =kp（q）*) ≥ kp（q）=kpρ（qρ）。因为L（N）ρ=L（N），这意味着^q=q*ρ∈ K（pρ）。因此，K（p）ρ K（pρ）。同样的论点也适用于pρgivesK（pρ）ρ K（p）。因此K（pρ） K（p）ρ，完成了（2）的证明。现在假设对于某些p，Kem（p）={x}和Kem（pρ）={y}∈ P和x，y∈ N.皮克*∈ K（p）注意rankq*（x） =1。另一方面，通过（2），q*ρ∈ K（pρ），所以*ρ（y）=1，即rankq*（y） =n。因此，x和y的替代品按Q排列*, 这意味着x 6=y。下面的结果由Bubboloni和Go ri（2016，T heorem A）证明。提议3。当且仅当h≤ 3或n≤ 3或（h，n）∈{(4, 4), (5, 4), (7 , 4), (5, 5)}.提议4。帕尔并不坚定。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:30

考虑p∈ P使得rankp（1）=1，rankp（2）=1。然后{1，2} P ar（P）使P ar不是孤立的。提议5。让C∈ {Bor，Cop，Min，Kem}。那么C是坚决的当且仅当n=2且h为isodd。证据如果n=2且h为奇数，则Bor、Cop、Min和Kem同意简单多数，因此他们是坚决的。然后我们要证明h是偶数还是n≥ 3.那么阿蒙博尔，警察，我在，肯姆是坚决的。假设一开始是偶数。定义q=[1,2，（3），…，（n）]T，q=[2,1，（3），…，（n）]并考虑任何偏好文件p∈ P使得|{i∈ H:pi=q}|=H，|{i∈ H:pi=q}|=H。立即验证Bor（p）=Cop（p）=M in（p）={1,2}。此外，还可以检查kp（q）=kp（q）=maxq∈L（N）kp（q）=（N）- N- 1）因为Kem是有效的，所以Kem（p）={1，2}。现在假设≥ 3和h是奇数。然后存在r，t∈ 带t的{0,1}≤ r和k∈ Nsuch茅草H=3+2r+2t+6k。定义q=[1,2,3，（4），（n）]T，q=[1,3,2，（4），（n）]T，q=[2,1,3，（4），（n）]T，q=[2,3,1，（4），（n）]T，q=[3,1,2，（4），（n）]T，q=[3,2,1，（4），（n）]T，并考虑任何偏好文件p∈ P使得|{i∈ H:pi=q}|=1+k+r，|{i∈ H:pi=q}|=k+t，|{i∈ H:pi=q}|=k，|{i∈ H:pi=q}|=1+k+t，|{i∈ H:pi=q}|=1+k，|{i∈ H:pi=q}|=k+r。立即验证Bor（p）=Cop（p）=Min（p）={1,2,3}。此外，可以检查kp（q）=kp（q）=kp（q）=maxq∈L（N）kp（q）=5+3r+3t+9k+（N）- N- 6）因此，由于Kem是有效的，Kem（p）={1,2,3}。4上一节中所示的主要问题和结果，经典的社会选择问题通常不能令人满意。如果scc C不是坚决的，那么它会接受不同的条件，每一个条件都自然地被解释为C的打破平局规则。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:35

因此，人们可能想知道，是否有可能找到具有特殊和理想性能的坚定的企业。Moulin（1983年，第23页）证明了关于帕累托scc以及匿名性和中立性的一个有趣结果。定理6。当且仅当ifgcd（h，n！）=1（3）定理6的一个重要结果是，任何有效的scc只有在（3）的情况下才具有匿名和中立的决定性条件。不幸的是，由于（3）是关于个体数量和备选方案数量的一个非常强的算术条件，在大多数情况下，没有匿名和中立的条件可用。当scc没有匿名和中立的再解决问题时，人们可能会关注那些坚定的问题，即匿名和中立的较弱版本。事实上，本文致力于这类调查。更准确地说，考虑到第2.4节中讨论的属性，我们解决了以下问题。主要问题。给定scc C、个体的划分Y和备选方案的划分Z，在C、Y和Z上找到条件，确保C允许Y-匿名和Z-中立的坚决竞争[且不受反转偏差的影响]。我们提出的第一个结果为分区的结构提供了算术条件，这些条件对于存在帕累托scc的决定性元素是必要的，这些元素对于这些分区来说是匿名和中立的[并且不受反转偏差的影响]。Dogan和Giritligil（2015）最近主要在假设（3）下对SCC的匿名、中性和单调的决定性因素进行了分析。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:40

同样值得一提的是Campbelland Kelly（2015）的贡献，他指出，如果存在n>h（因此（3）个失败）和匿名、中立和坚决的SCC，那么这些SCC表现出的不良行为甚至比效率更高。定理7。设Y={Yj}sj=1b是H的一个划分，Z={Zk}tk=1b是N与|Zk的一个划分*| = max{Zk}tk=1。（i）如果P ar承认一个坚决的对手是Y-匿名和Z-neu-tral，t hengcdgcd（| Yj |）sj=1，|Zk*|!= 1.（4）（ii）如果P ar承认存在Y-匿名、Z-中立且不受普遍偏见影响的坚决反对，则为GCDgcd（| Yj |）sj=1，lcm（| Zk）*|!, 2 )= 1.（5）证据。（i）让C坚定、高效、Y匿名、Z中立。自相矛盾地假设（4）不成立。然后存在一个素数π除以gcdgcd（| Yj |）sj=1，|Zk*|!.然后，对于每一个j∈ {1，…，s}，π| | Yj |和π≤ |Zk*|. 考虑π不同的选择x，xπ∈Zk*用y表示，伊恩-π剩余的备选方案。每一个j∈ {1，…，s}，设hj=|Yj |和ij，ijhj可能是Yj中所有元素的列表。定义φ=（i…ih）（i…ih）。（是……是）∈ Sh（6）和ψ=（x…xπ）∈ Sn。请注意∈ V（Y）和ψ∈ W（Z）。然后考虑偏好关系p∈ L（N）定义的byxPpxπpyP派恩-π、对于每个j∈ {1，…，s}和r∈ {1，…，hj}，由pijr=ψr表示-1便士。一个简单的检查表明，par（P）={x，…，xπ}和thatp=（P（φ，id，id））（id，ψ，id）。现在让我们来看看x*∈ N等于C（p）={x*}. 然后{x*} = C（p）=C（p（φ，id，id））（id，ψ，id）= ψC（p（φ，id，id））=ψC（p）={ψ（x）*)} P ar（P）。因此x*是ψ属于{x，…，xπ}的一个固定点，这是一个矛盾。（ii）让C是绝对的、有效的、Y-匿名的、Z-中性的，并且不受反转偏差的影响。自相矛盾地假设（5）不成立。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:43

然后存在一个素数π，它划分gcdgcd（| Yj |）sj=1，lcm（| Zk）*|!, 2 ). 如果π≥ 3，那么我们就有了，对于e非常j∈ {1，…，s}，π| | Yj |和π≤ |Zk*|. 因此，我们完全按照（i）的证明进行，并找到矛盾。如果π=2，那么对于每j∈ {1，…，s}，hj=|Yj |是偶数。让我，IJHJ是Yj中所有元素的列表。设ψ定义为（6）和ψ=id∈ Sn。请注意∈ V（Y）和ψ∈ W（Z）。考虑为每个j定义的偏好文件∈ {1，…，s}和r∈ {1，…，hj}，通过pijr=ρr-1.一个简单的检查显示p=（p（id，id，ρ））（ν，id，id）。那么C（p）=C（p（id，id，ρ））（Ф，id，id）= C（p（id，id，ρ））6=C（p），一个矛盾。请注意，（5）显然意味着（4），（4）和（5）是等价的，如果Z元素中有一个的大小大于1。此外，考虑到Y={H}和Z={N}，（4）和（5）都等价于（3）。因此，定理7（i）暗示了定理6的“仅当”部分。现在让我们介绍一下论文的主要结果。它表明，考虑到满足定理7中描述的算术条件的个体和备选方案的划分，对于具有相同性质的任何scc，存在一个关于给定划分的匿名和中立的决定性条件[且不受反转偏差的影响]。与理论7不同的是，这个结果的pro是相当技术性的，将在第6节中作为第5节中开发的理论的结果进行介绍。定理8。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:47

设Y={Yj}sj=1b是H的一个划分，Z={Zk}tk=1b是N与|Zk的一个划分*| = max{Zk}tk=1。（i）如果C∈ C是Y-匿名和Z-中立的，并且（4）成立，那么C承认一个坚决的对手是Y-匿名和Z-中立的。（ii）如果C∈ C是Y-匿名、Z-中性且不受反转偏差影响的，并且（5）是正确的，那么C承认一个坚决的对手是Y-匿名、Z-中性且不受反转偏差影响的。注意，如果（3）成立，那么（4）和（5）都满足Y={H}和Z={N}。因此，从定理8中，我们得到（3）意味着每一个匿名和中立的scc[并且不受反转偏差的影响]都承认一个匿名和中立的坚决反对[并且不受反转偏差的影响]。这特别表明，定理8（i）暗示了定理6的“如果”部分。为了更好地理解定理8如何应用于具体情况，我们考虑成立一个委员会，其目的是在一定的候选人中选出唯一的获胜者。假设一个委员会的成员已经就使用C匿名且中立[且不受反转偏见影响]的特定SCC C C达成一致意见。如果C不是坚决的，那么联合委员会成员需要确定一个打破平局的规则，即C的坚决对手。根据定理8，如果委员会成员和候选人的特征自然地建议将他们分成满足（4）[（5）]的组，对于所考虑的分区，可以设计一个匿名且中立的C的绝对值[且不受反转偏差的影响]。作为一个值得注意的例子，假设委员会是一个个人，比如说个人i，在委员会中有特殊的角色。例如，当委员会有一位主席时，就会发生这种情况。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:50

在这种情况下，可以合理地假设主席的决策权可能与委员会中任何其他成员的决策权有所不同。这导致考虑Y={i}，H\\{i}给出的H的划分，它决定了对决策过程的结果具有同等影响的人群。现在考虑到N的分区Z={N}，这给了任何选择一个非齐次的优势，我们得到Y和Z满足（5），所以也满足（4）。定理8适用，我们知道存在一个C的绝对值，它是Y-匿名和中立的[并且不受反转偏差的影响]。最后，我们要强调的是，一般来说，定理8所确定的决定性条件可能很多，因此很难区分它们。然而，第5节提出的理论提供了一种潜在地建立和计算所有这些因素的方法。这使得它们之间的比较更加容易。为了描述这种方法的工作原理，请参见第6节。2.我们建立并统计所有匿名、中立且不受帕累托、博尔达、科普兰、极大极小值和凯梅尼SCC普遍偏见影响的决定性因素，当个体为五个且替代方案为四个时。在第6.3.1节中，我们考虑了三个个体和三个备选方案的情况，并分析了前面提到的每一个SCC的所有决定性因素，即{1,2}，{3}匿名、中立和对逆转免疫。在这个例子中，个体3与个体1和2是不同的，而个体1和个体2是无法区分的。5一般理论在这一大节中，我们发展了结果背后的一般理论。agroup在集合上的作用概念是所使用的ma in工具（见Jacobson，1974年，第1.12节）。5.1 U-一致的坚决sccs let F表示坚决sccs的状态。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:53

显然是F C和每个坚决的SCC可以自然地定义为一个社会选择函数，即从P到N的函数f。我们将在本文的其余部分采用这种识别。让C∈ C.用C的一组元素表示，用F的一组元素表示∩ C的绝对条件。C的每个绝对条件都与社会选择函数f:P相一致→ 每一个p∈ P、 f（P）∈ C（p）。（7）假设U是G的子群，我们说C是U-相容的，如果，对于每一个p∈ P和（ψ，ψ，ρ）∈ 如果ρ=id，则U，C（p（φ，ψ，ρ））=ψC（p），如果ρ=ρ和| C（p）|=1，则U，C（p（φ，ψ，ρ））6=ψC（p）。（9）注意，如果ρ=ρ且|C（p）|=C（p）（p）（p（φ，ψ，ρ））等于1，则条件（9）相当于toC（p（φ，ψ，ρ））6=ψC（p）。（10） U-cons-sistent SCC的集合用CU表示；集合F∩ FU提出了一致性绝对SCC。FU中的每个scc都有一个社会选择函数f:P→ N因此，forevery p∈ P和（ψ，ψ，ρ）∈ U、如果ρ=id，f（p（φ，ψ，id））=ψf（p），如果ρ=ρ，f（p（φ，ψ，ρ））6=ψf（p）。（11）我们还设置了CUC=CC∩ CU和FUC=FC∩ 傅。Fuc中的每一个scc都将被称为C的U-一致坚决对应项，并用社会选择函数f:P识别→ N这样，对于每个人∈ P、 bo th（7）和（11）是正确的。scc与G的子群U的一致性概念能够通过子群U的适当选择捕捉scc的兴趣需求。特别地，对于H的每一部分，C是Y匿名的当且仅当C∈ CV（Y）×{id}×{id}；对于N的每个分区Z，C是中性的当且仅当C∈ C{id}×W（Z）×{id}；当且仅当ifC时，C不受反转偏差的影响∈ C{id}×{id}×Ohm.5.2 G对偏好集的作用如下命题，在Bubboloni和Gori（2015，命题2）中得到证明，表明G的任何子群U自然作用于偏好集P。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:55:57

回想一下，这意味着存在从U到Sym的同态。提案9。让你≤ G.然后：（i）每p∈ P和（φ，ψ，ρ），（φ，ψ，ρ）∈ U，我们有p（ψ，ψ，ρ）=（p（ψ，ψ，ρ））（ψ，ψ，ρ）；（12）（ii）函数α：U→ Sym（P）定义为每（ψ，ψ，ρ）∈ U、通过α（ψ，ψ，ρ）：P→ P、第7页→ p（ψ，ψ，ρ）是一个很好的定义，它是U组在集合p上的一个动作。下面的命题10是支持命题9的一个有趣的结果。特别地，它说，给定一个scc C，一个H的分区Y和一个N的分区Z，我们得到C是Y-匿名的，Z-中立的当且仅当C∈ CV（Y）×W（Z）×id}；C是Y-匿名的，并且对白化病免疫，当且仅当C∈ CV（Y）×{id}Ohm; C是Z-中性的，当且仅当C∈ C{id}×W（Z）×Ohm; C是Y-匿名的，Z-中性的al，当且仅当ifC时对反转偏差免疫∈ CG。在陈述命题10之前，请记住，如果X是群G的子集，则由X生成的G的子群定义为包含X的G的所有子群的交集，它由hXi生成。众所周知，hXi由X中元素的所有有限乘积组成。如果X，X是G的子集，我们写hX，Xi而不是hX∪ xi有关更多详细信息，请参见Jacobson（1974年，第1.5节）。提议10。每一次我∈ {1,2}让我来≤ Sh×Sn，Ri≤ Ohm Ui=Zi×Ri。然后∩ CU=ChU，Ui。尤其是傅∩ FU=FhU，Ui。证据自从胡伊≤ G包含ua和U，我们立即得到ChU，Ui 铜∩ 铜。现在让我们来看看C∈ 铜∩ 并证明∈ 朱伊。定义，每k∈ N、集合hU，Ui是hU，Ui中可以写成U的k个元素的乘积的元素∪ U

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:56:01

然后我们有hu，Ui=Sk∈NhU，Uikand要拿到C∈ 朱，这足以证明以下两个事实：（a）对于每一个k∈ N、每p∈ P和g=（ψ，ψ，id）∈ 胡，Uik，（8）是正确的；（13）（b）每k∈ N、 p∈ P和g=（ψ，ψ，ρ）∈ 胡，Uik，（9）是正确的。首先，对于每个g=（ψ，ψ，ρ）∈ G、 defi neg=（ψ，ψ，id）∈ G.我们开始展示这一点，为everyk∈ N、 g∈ 胡，Uikimpliesg∈ 胡，乌伊克。（14）如果ρ=id，则无需证明。假设ρ=ρ。因为，每一次我∈ {1，2}，我们有thatUi=Zi×rizi和Zi≤ Sh×Shand Ri≤ Ohm, 那么（14）对于k=1肯定成立。如果k≥ 2，pickg=g··gk=（ψ，ψ，ρ）∈ hU，Uik，其中g，gk∈ U∪ 由于ρ的阶数为二，因此j的个数∈ {1，…，k}使得gjisρ的第三分量是奇数。选择j∈ {1，…，k}使得gj=（ψj，ψj，ρ）。在k=1的情况下，我们得到了thatgj=（ψj，ψj，id）∈ U∪ U、 sothatg=g。gj-1gjgj+1。gk∈ hU，Ui，其第一和第二分量与g的分量相等。此外，g中作为第三分量ρ的因子数为偶数，这表示SG=（ψ，ψ，id）。我们现在通过对k的归纳来表示（a）。如果k=1，我们有g∈ 胡，Ui=U∪ Uand so（13）由C担保∈ 铜∩ 铜。假设（13）达到某个k∈ N，并表明它也支持fork+1。让p∈ P和g=（ψ，ψ，id）∈ 胡，Uik+1。然后就有了g*= (φ*, ψ*, ρ*) ∈ hU，Uikand g=（ψ，ψ，ρ）∈ U∪ 通常认为g=gg*= (φφ*, ψψ*, ρρ*). 我们想证明c（pg）=ψψ*C（p）。注意g=gg*由（14）可知*∈ 胡伊坎德g∈ U∪ U.然后，使用（12）并将（13）的归纳假设应用于togand和g*, 我们得到C（pg）=C（pgg*) = C（（pg*)g） =ψC（pg）*) = ψψ*C（p）。我们下一个节目（b）。让k∈ N、 p∈ P、 g=（ψ，ψ，ρ）∈ 胡，Uikand | C（p）|=1。我们需要证明C（pg）6=ψC（p）。首先要注意的是，由于hU，Ui包含一个元素w和第三个元素ρ，那么我们必须有R=Ohm 或R=Ohm, 所以（id，id，ρ）∈ U∪U

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:56:06

此外，我们可以将g表示为g=g（id，id，ρ），并用（14）表示g∈ 胡，乌伊克。因此，通过（12）and（a），我们得到C（pg）=C（（p（id，id，ρ））g）=ψC（p（id，id，ρ））。另一方面，因为（id，id，ρ）∈ U∪ UandC∈ 铜∩ 我们根据需要得到C（p（id，id，ρ））6=C（p）和so C（pg）=ψC（p（id，id，ρ））6=ψC（p）。最后，由于铜∩ CU=ChU，Ui，我们还有那个FU∩FU=CU∩铜∩F=ChU，Ui∩ F=FhU，Ui。作为命题1、2、3和10的直接结果，我们得到以下结果。提议11。（i）每C∈ {par，Bor，Cop，min，Kem}，C∈ CSh×Sn×{id}P ar.（ii）对于每个C∈ {par，Bor，Cop，Kem}，C∈ CGP应收账款（三）百万元∈ CGP arif，且仅当下列条件之一成立时：（a）h≤ 3.（b） n≤ 3.（c）（h，n）∈ { (4, 4), (5, 4), (7, 4), (5, 5)}.命题9还允许使用关于一组在集合上的动作的符号和结果。我们回忆起我们将要使用的基本事实。修理你≤ G.每p∈ P、集合pU={pg∈ P:g∈ U} 被称为p的U轨道和由StabU（p）={g定义的U的s子群∈ U:pg=p}在U中被称为p的稳定器。众所周知，集PU={PU:p}∈ P} U轨道的一部分是P的一部分。我们使用PUas索引集，并用j.A向量（pj）j注释其元素∈聚氨酯∈ ×j∈PUPis可以表示一个U轨道代表s的系统，如果，对于每个j∈ 普，pj∈ j、 U轨道的代表系统集用S（U）表示。If（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ 那么，对于每一个p∈ P、存在j∈ PUand（ψ，ψ，ρ）∈ 使得p=pj（φ，ψ，ρ）。注意，对于某些j，j，ifpj（φ，ψ，ρ）=pj（φ，ψ，ρ）∈ pu和一些（φ，ψ，ρ），（φ，ψ，ρ）∈ U，thenj=jand，by（12），-1φ, ψ-1ψ, ρ-1ρ) ∈ 斯塔布（pj）。p-in-U的稳定剂通过作用以自然方式进化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:56:09

也就是每p∈ 潘德g∈ U、我们有StabU（pg）=g StabU（p）g-1.这意味着如果V是U和p的正规子群∈ P、然后是斯塔布（P）≤ V如果且仅如果Stabu（pg）≤ V代表所有g∈ 现在，由于G中的Sh×Sn×{id}正规，通过一个初等群论结果，我们得到了U∩ （Sh×Sn×{id}）在U中是正常的。因此，上述论点保证，对于每一个j∈ PU，下面两个条件中正好有一个是正确的：-对于每一个p∈ j、斯塔布（p）≤ Sh×Sn×{id}；-每p∈ j、斯塔布（p）6≤ Sh×Sn×{id}。然后我们定义nePU=J∈ 聚氨基甲酸酯：P∈ j、斯塔布（p）≤ Sh×Sn×{id}, （15）浦=J∈ 聚氨基甲酸酯：P∈ j、斯塔布（p）6≤ Sh×Sn×{id}. （16）当然，普∪ PU=PU和PU∩ PU=. 特别是，Pu和PUcannot都是空的。显然，如果你≤ Sh×Sn×{id}，那么PU= PU=PU6=.Pu和Pup在检查两个给定的U一致SCC是否相等方面起着重要作用，如下结果所示。提议12。让你≤ Sh×Sn×{id}和C，C′∈ 铜。假设存在（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈S（U）使得所有j的C（pj）=C′（pj）∈ 聚氨基甲酸酯。那么C=C′。证据让p∈ 并证明C（P）=C′（P）。我们知道存在j∈ PUand（ψ，ψ，id）∈ 通常p=pj（φ，ψ，id）。然后，C（p）=C（pj（φ，ψ，id））=ψC（pj）=ψC′（pj）=C′（pj（φ，ψ，id））=C′（p）。（17）提议13。让你≤ G使得u6≤ Sh×Sn×{id}和C，C′∈ 铜。假设存在（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ S（U）和（ψ）*, ψ*, ρ) ∈ U使得C（pj）=C′（pj）对于所有j∈ PUandC（pj（~n）*,ψ*,ρ））=C′（pj（）*,ψ*,ρ））尽管如此∈ 聚氨基甲酸酯。那么C=C′。证据让p∈ 并证明C（P）=C′（P）。L和j∈ 阴毛独特的轨道，使p∈ j、如果存在（ψ，ψ，id）∈ 这样，p=pj（ψ，ψ，id），那么我们得到C（p）=C′（p）的表达式，如（17）所示。假设，对于每一个（φ，ψ，ρ）∈ 使得p=pj（ψ，ψ，ρ），我们有ρ=ρ。（18）我们证明（18）意味着StabU（pj）≤ Sh×Sn×{id}。事实上，通过矛盾来支持存在的（ψ，ψ，ρ）∈ 斯塔布（pj）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:56:12

Pick（ψ，ψ，ρ）∈ U使得p=pj（φ，ψ，ρ），注意，通过（12），p=pj（φ，ψ，ρ）=（pj（φ，ψ，ρ））（φ，ψ，ρ）=pj（φ，ψ，ψ，id），这与（18）相矛盾。因此，j∈ Pu和pj*,ψ*,ρ））=C′（pj（）*,ψ*,ρ)). （ψ，ψ，ρ）∈ U使得p=pj（φ，ψ，ρ），并注意到，通过（12），p=pj（φ，ψ，ρ）=（pj（φ*,ψ*,ρ))(φφ-1.*,ψψ-1.*,因此，由于C和C′是U-一致的，我们最终得到C（p）=C（pj（~n）*,ψ*,ρ))(φφ-1.*,ψψ-1.*,（身份证）= ψψ-1.*C（pj（φ）*,ψ*,ρ))= ψψ-1.*C′（pj（φ）*,ψ*,ρ））=C′（pj（~n）*,ψ*,ρ))(φφ-1.*,ψψ-1.*,（身份证）= C′（p）。命题12和命题13表明，scc的一致性水平是识别它的工具。的确，让C，C′∈ 假设我们有兴趣知道C=C′。一旦证明C和C′都在CU中，就可以得到一个合适的U≤ G、它需要检查等式C（p）=C′（p）在p的一个小子集上是否成立，这基本上与U轨道表示系统一致。因为最大的是U，U轨道的数量是最小的，所以处理最大的U轨道可以减少要进行的检查的数量。5.3正则子群Bubboloni和Gori（2015）引入正则子群的概念，以处理对称的社会福利函数。G的子群U是正则的，如果，对于每一个p∈ P、存在ψ*∈ sn与ρ共轭，使之稳定（p）（Sh×{id}×{id}）∪ （Sh×{ψ）*} × {ρ}) .（19）注意，在我们的符号中，有两个置换σ，σ∈ 如果存在u，则陷阱共轭∈ sn使得σ=uσu-1.在Bubboloni和Gori（2015，定理14和引理17）中证明的以下结果，确定了G.定理14的一类有趣且相当大的正则子群。设Y={Yj}sj=1b是H的一个划分，Z={Zk}tk=1b是N与|Zk的一个划分*| = max{Zk}tk=1和R≤ Ohm. 那么V（Y）×W（Z）×R是正则的当且仅当ifgcdgcd（| Yj |）sj=1，lcm（| Zk）*|!, |R |）= 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:56:16

（20）特别地，G是正则的当且仅当gcd（h，n！）=1.下面的定理15是定理18和20的推论，在接下来的章节中得到证明，它清楚地表明了正则子群概念在sccs中的重要性。定理15。让你≤ G要有规律。然后，每个U一致的scc都承认一个坚决的U一致性。现在让我们收集一些关于我们将在续集中使用的正则子群的事实。回想一下，PUF和PUF的子集分别在（15）和（16）中定义。引理16。让你≤ G要有规律。（i）浦=J∈ 聚氨基甲酸酯：P∈ j、斯塔布（p）≤ Sh×{id}×{id},浦=J∈ 聚氨基甲酸酯：P∈ j、斯塔布（p）6≤ Sh×{id}×{id}.（ii）如果p∈ P等于StabU（P）6≤ Sh×{id}×{id}，然后是置换ψ*∈ 斯宁（19岁）是独一无二的。（iii）如果W≤ U、而W也是正常的。特别地，G是正则的当且仅当G的每个子群是正则的。证据（i）这是Pu和Pu以及正规子群定义的直接结果。（ii）假设StabU（p）（Sh×{id}×{id}）∪ （Sh×{ψ）*} ×{ρ}）以及StabU（p）（Sh×{id}×{id}）∪ （Sh×{ψ）**} ×{ρ}），适用于合适的ψ*, ψ**∈ Snand pick（ψ，ψ，ρ）∈ 斯塔布（p）。那么，我们有ψ=ψ*以及ψ=ψ**, 所以ψ*= ψ**.（iii）简单地观察，对于每一个p∈ P、 StabW（P）=W∩ 斯塔布（p）。在附录中，假设U是G的正则子群，我们将讨论当NPU6= 或PU6=.5.4 U的存在——U的一致坚决要求≤ Sh×Sn×{id}在本节中，我们重点讨论集合FUC，其中U是包含在Sh×Sn×{id}中的G的正则子群，C是U一致的scc。17号提案。让你≤ Sh×Sn×{id}是正则的，（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ S（U）和C∈ 铜。为了每个人∈ 浦，让xj∈ C（pj）。然后存在一个唯一的f∈ 所以，对于每一个j∈ PU，f（pj）=xj。证据让我们考虑f∈ F定义，每p∈ P、如下。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:56:19

给定p∈ P、以独特的j为例∈ PUsuch tha t p∈ j和非空设置={（ψ，ψ，id）∈ U:p=pj（ψ，ψ，id）}。拾取（ψ，ψ，id）∈ 让f（p）=ψ（xj）。我们需要证明f（p）的值不依赖于Up中选择的特定元素。的确，let（ψ，ψ，id），（ψ，ψ，id）∈ 向上并重新调用（ν）-1φ, ψ-1ψ，id）∈ 斯塔布（pj）。因为U是正则的，所以ψ=ψ，特别是ψ（xj）=ψ（xj）。我们证明f s满足所有期望的性质。首先，自从你≤ G、我们有（身份证，身份证，身份证）∈因此，f的定义直接意味着f（pj）=xj。现在让我们证明f∈ 傅。然后考虑p∈ P和（ψ，ψ，id）∈ 并表明f（p（φ，ψ，id））=ψf（p）。设p=pj（ψ，ψ，id）表示合适的j∈ PUand（ψ，ψ，id）∈ U因此，f（p）=ψ（xj），通过（12），f（p（φ，ψ，id））=f（pj（φ，ψ，ψ，id））=ψ（xj）=ψ（xj）=ψf（p）。接下来让我们证明f∈ FC。然后考虑p∈ P并显示出f（P）∈ C（p）。对于合适的j，Letp=pj（ψ，ψ，id）∈ PUand（ψ，ψ，id）∈ 因此，f（p）=ψ（xj），因为C是一致的，ψ（xj）∈ ψC（pj）=C（pj（ψ，ψ，id））=C（p）。最后，为了证明唯一性，让f′∈ 操对于all j，f′（pj）=xj∈ 聚氨基甲酸酯。然后f′和f在（pj）j上重合∈聚氨基甲酸酯∈ S（U）和命题12适用于给定f′=f≤ Sh×Sn×{id}是正则的，（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ S（U）和C∈ 铜。设Φ：×j∈普C（pj）→ FUCbe是与eve ry（xj）j关联的函数∈聚氨酯∈ ×j∈PUC（pj）独特的f∈ 该死的提议17。当然，Φ取决于U，（pj）j∈PU和C，但我们不强调符号中的依赖性。还要注意Φ是内射的。定理18。让你≤ Sh×Sn×{id}是正则的，（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ S（U）和C∈ 铜。ThenFUC=Φ×j∈临市局（pj）.此外，我们还有| FUC |=Yj∈聚氨酯C（pj）尤其是FUC6=.证据以f为例∈ 注意，对于每个j∈ 浦，f（pj）∈ C（pj）和Φ（f（pj））j∈聚氨酯= F那么Φ是双射的，所以| FUC |=×j∈普C（pj）=Qj∈聚氨酯C（pj）.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 09:56:23

因为，对于每一个j∈ PU，C（pj）6=, 最终得出的结论是FUC6=.5.5 U的存在——U 6的一致坚决要求≤ Sh×Sn×{id}在本节中，我们重点讨论集合FUC，其中U是G的正则子群，不包含在Sh×Sn×{id}中，C是U一致的scc。我们从一些关键的定义开始。让你≤ G要有规律，以便U 6≤ Sh×Sn×{id}，C∈ CU，（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ S（U）和（ψ）*, ψ*, ρ) ∈U.定义，对于每一个j∈ PU，setAC（pj）={（y，z）∈ C（pj）×C（pj（φ）*,ψ*,ρ））：z 6=ψ*（y）（21）并且，对于每一个j∈ 普，美国国家经贸委（pj）=十、∈ C（pj）：ψj（x）6=x, （22）式中，ψjis是sn中唯一的元素，即stabu（pj）（Sh×{id}×{id}）∪ （Sh×{ψj}×{ρ}）。（23）注意，由L e mma 16（ii）保证的ψjis的唯一性。如果PU6=, 然后defineac=×j∈PUAC（pj），如果PU6=, 然后defineac=×j∈PUAC（pj）。当然，上面定义的所有集合都取决于U，（pj）j∈PU，（~n）*, ψ*, ρ）但我们不强调符号中的依赖性。提议19。让你≤ G要有规律，以便U 6≤ Sh×Sn×{id}，（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ S（U），*, ψ*, ρ) ∈ U和C∈ 铜。每一个j∈ PU，let（yj，zj）∈ AC（pj）和，对于每个j∈ PU，letxj∈ AC（pj）。然后存在一个唯一的f∈ f（pj）=yjand f（pj（φ）*,ψ*,ρ））=zjforall j∈ PU和f（pj）=xj代表所有j∈ 聚氨基甲酸酯。证据给定j∈ PU，考虑一下set KU（pj）=σ ∈ Sn：ψj=σρσ-1., 其中ψjis在（23）中定义。因为U是正则的，KU（pj）是非空的，所以我们可以选择元素σjin-KU（pj）。注意，对于每个j∈ PUand（ψ，ψ，ρ）∈ StabU（pj），我们有ψ=σjρσ-1j。让我们考虑一下f∈ F定义，每p∈ P、如下。给定p∈ P、以独特的j为例∈ PUsuch那p∈ j和非空设置={（ψ，ψ，ρ）∈ U:p=pj（ψ，ψ，ρ）}。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝