布朗半平稳过程的混合格式

nandehutu2022

1732

收藏 2022-05-08

英文标题：
《Hybrid scheme for Brownian semistationary processes》
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作者：
Mikkel Bennedsen, Asger Lunde, Mikko S. Pakkanen
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
We introduce a simulation scheme for Brownian semistationary processes, which is based on discretizing the stochastic integral representation of the process in the time domain. We assume that the kernel function of the process is regularly varying at zero. The novel feature of the scheme is to approximate the kernel function by a power function near zero and by a step function elsewhere. The resulting approximation of the process is a combination of Wiener integrals of the power function and a Riemann sum, which is why we call this method a hybrid scheme. Our main theoretical result describes the asymptotics of the mean square error of the hybrid scheme and we observe that the scheme leads to a substantial improvement of accuracy compared to the ordinary forward Riemann-sum scheme, while having the same computational complexity. We exemplify the use of the hybrid scheme by two numerical experiments, where we examine the finite-sample properties of an estimator of the roughness parameter of a Brownian semistationary process and study Monte Carlo option pricing in the rough Bergomi model of Bayer et al. [Quant. Finance 16(6), 887-904, 2016], respectively.
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中文摘要：
我们介绍了一种布朗半平稳过程的模拟方案，该方案基于将过程的随机积分表示在时域中离散化。我们假设过程的核函数在零处有规律地变化。该方案的新特点是通过接近零的幂函数和其他地方的阶跃函数来逼近核函数。这个过程的结果近似是幂函数的维纳积分和黎曼和的组合，这就是为什么我们称这种方法为混合格式。我们的主要理论结果描述了混合格式的均方误差的渐近性，并且我们观察到，与普通的前向黎曼和格式相比，该格式在具有相同计算复杂度的情况下显著提高了精度。我们通过两个数值实验来举例说明混合格式的使用，其中我们检验了布朗半平稳过程粗糙度参数估计量的有限样本性质，并分别研究了拜耳等人[Quant.Finance 16（6），887-9042016]的粗糙Bergomi模型中的蒙特卡罗期权定价。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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Hybrid_scheme_for_Brownian_semistationary_processes.pdf
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大多数88

2022-5-8 12:52:27

布朗半平稳过程的混合格式Mikkel-Bennedsen*Asger Lunde+Mikko S.Pakkanen2017年5月16日摘要我们介绍了一个布朗半平稳过程的模拟方案，该方案基于对过程在时域中的随机积分表示进行离散化。我们假设这个过程的核函数在零处有规律地变化。该方案的新特点是通过接近零的幂函数和其他地方的astep函数来逼近核函数。这个过程的结果近似是幂函数的维纳积分和黎曼和的组合，这就是为什么我们称这种方法为混合格式。我们的主要理论结果描述了混合格式的均方误差的渐近性，并且我们观察到，与普通的前向黎曼和格式相比，该格式在计算复杂度相同的情况下，导致了精度的显著提高。我们通过两个数值实验举例说明了混合方案的使用，其中我们分别研究了布朗平稳过程的粗糙度参数估值器的有限样本性质，并研究了Beyer等人[10]的粗糙Bergomi模型中的蒙特卡罗期权定价。关键词：随机模拟；离散化；布朗半平稳过程；随机波动性；规律性变化；估计；期权定价；剧烈波动；微笑。JEL分类：C22、G13、C13MSC 2010分类：60G12、60G22、65C20、91G60、62M091简介我们研究布朗半平稳（BSS）过程的模拟方法，首先由巴恩多夫-尼尔森和施密格尔[8,9]介绍，这形成了一类灵活的随机过程，能够捕捉经验时间序列的一些常见特征，如随机波动性（间歇性）、粗糙性、平稳性和强依赖性。

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可人4

2022-5-8 12:52:31

到目前为止，这些过程已经完成*丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：mbennedsen@econ.au.dk+丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：alunde@econ.au.dk伦敦帝国理工学院数学系，英国伦敦SW7 2AZ南肯辛顿校区，丹麦奥胡斯大学。电子邮件：m。pakkanen@imperial.ac.ukapplied在各种情况下，尤其是在物理学中的湍流研究[7,16]和能源价格的金融模型[4,11]中。BSS过程X通过积分表示X（t）=Zt定义-∞g（t）- s） σ（s）dW（s），（1.1），其中W是一个双边布朗运动，提供基本的噪声创新，其振幅由随机波动（间歇）过程σ调制，该过程可能依赖于W。然后，该驱动噪声与确定的核函数g进行卷积，该核函数规定了X的依赖结构。过程X也可以被视为挥发性调制布朗噪声的移动平均值，设置σ（s）=1，我们可以看到平稳布朗移动平均值嵌套在这类过程中。在上面提到的应用中，X不是半鞅的情况是特别相关的。当核函数g的行为类似于接近零的幂律时，就会出现这种情况；更具体地说，什么时候∈ (-,) \\ {0}，g（x）∝ 小x>0时的xα。（1.2）我们在这里写道“∝” 为了表明非正式意义上的相称性，使用规则变化理论[15]预测第2.2节给出的这种关系的严格表述，这在我们随后的论点中起着重要作用。

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能者818

2022-5-8 12:52:34

情况α=-在（1.2）中，湍流的不稳定性建模非常重要[16]，因为它产生了与理想湍流的科尔莫戈罗夫标度定律兼容的过程。此外，与α类似类型的过程≈ -0.4最近被用于期权定价中，作为粗略波动率的模型[1,10,18,20]，见下文第2.5和3.3节。α=0的情况（粗略地说）会导致一个半鞅过程，因此被排除在外。在（1.2）下，X的轨迹在局部表现为类似于Hurst指数H=α的分数布朗运动的轨迹+∈ (0, 1) \\ {}. 虽然X的局部行为和粗糙度（根据H¨older正则性测量）由参数α决定，但X的全局行为（例如，该过程是否具有长记忆）取决于g（X）asx的行为→ ∞, 可以独立于α来指定。这应该与分馏布朗运动和相关的自相似模型形成对比，后者必须符合其H？older规则性（局部行为和粗糙度）和Hurst指数（整体行为）之间的限制性关系，如Gneiting和Schlather[21]所述。事实上，在BSSProcess领域，局部和全局行为可以方便地解耦，这突出了这些过程作为建模框架的灵活性。结合实际应用，能够模拟过程X是很重要的。如果波动过程σ是确定性的且在时间上是常数，那么X将严格平稳且为高斯分布。这使得X易于使用Cholesky分解或循环嵌入进行精确模拟，例如参见[2，第十一章]。然而，似乎很难（如果不是不可能的话）开发出一种适用于随机σ的精确方法，因为过程X既不是马尔可夫的，也不是高斯的。

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何人来此

2022-5-8 12:52:37

因此，在一般情况下，必须采用近似方法。为此，Benth等人[13]最近提出了一种基于傅里叶的方法来模拟BSSP过程，以及更一般的L’evy半平稳（LSS）过程，该方法依赖于在频域中近似核函数g。本文介绍了一种新的基于时域逼近核函数g的BSS过程离散化方案。我们的出发点是（1.1）的黎曼和离散化。Riemann和格式建立在使用阶跃函数逼近g的基础上，这有一个陷阱，即无法恰当地捕捉g在零附近的陡度。尤其是，在（1.2）下，当α∈ (-, 0). 在我们的新方案中，我们通过使用适当的接近零的幂函数和其他地方的阶跃函数来近似g来缓解这个问题。由此产生的离散格式可以实现为关于驱动布朗运动W的维纳积分和黎曼和的线性组合，这就是为什么我们称之为混合格式。混合方案的实现要求仅略高于伊曼和方案，并且这些方案的计算复杂度与离散单元的数量趋于一致。我们的主要理论结果描述了混合格式的均方误差（MSE）的精确渐近行为，以及作为特例的黎曼和格式的均方误差（MSE）的精确渐近行为。我们观察到，从黎曼和格式切换到混合格式大大降低了渐近均方根误差（RMSE）。仅使用混合格式的最简单变体，即在单个离散单元中使用幂函数，所有α的减少至少为50%∈ （0，）以及所有α的至少80%∈ (-, 0).

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何人来此

2022-5-8 12:52:41

当α接近时，RMSE的降低接近100%-, 这表明混合方案确实解决了影响黎曼和方案的低精度问题。为了评估混合格式在实际中的准确性，我们进行了两个数值实验。首先，我们检验了Barndor ff-Nielsen等人[6]和Corcuera等人[16]提出的粗糙度指数α估计器的有限样本性能。该实验使我们能够评估混合方案如何忠实地逼近BSS过程X的精细属性。其次，我们研究了Bayer等人[10]的粗糙Bergomi随机波动率模型中的蒙特卡罗期权定价。我们使用混合方案来模拟该模型中的波动过程，我们发现，由此产生的隐含波动微笑与使用涉及波动过程精确模拟的方法模拟的微笑是无法区分的。因此，我们能够提出一个解决方案，为文[10]中未提及的粗糙Bergomi模型找到一个有效的模拟方案。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了aBSS过程的严格定义，并介绍了我们的假设。我们还介绍了混合格式，陈述了关于均方误差渐近性的主要理论结果，并讨论了该格式对一类截断BSS过程的推广。第3节简要讨论了离散化方案的实现，并给出了上述数值实验。最后，第4节对本文给出的理论和技术结果进行了证明。2模型和理论结果2。1布朗半平稳过程(Ohm, F、 {Ft}t∈R、 P）是一个过滤概率空间，满足通常条件，支持（双边）标准布朗运动W={W（t）}t∈R

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可人4

2022-5-8 12:52:44

我们考虑布朗半平稳过程x（t）=Zt-∞g（t）- s） σ（s）dW（s），t∈ R、（2.1）式中σ={σ（t）}t∈Ris an{Ft}t∈具有局部有界轨迹的R-可预测过程，捕捉X和g的随机波动性（间歇性）（0，∞) → [0, ∞) 是一个Borel可测的核函数。为了确保积分（2.1）得到很好的定义，我们假设核函数g是平方可积的，即R∞g（x）dx<∞. 事实上，我们将很快介绍一些关于g的更具体的假设，这将暗示g的平方可积性。在本文中，我们还假设过程σ有有限的二阶矩，E[σ（t）]<∞ 尽管如此，t∈ R、这个过程是协方差的，即E[σ（s）]=E[σ（t）]，Cov（σ（s），σ（t））=Cov（σ（0），σ（|s）-t |），s，t∈ R.这些假设意味着X也是协方差平稳的，即E[X（t）]=0，Cov（X（s），X（t））=E[σ（0）]Z∞g（x）g（x+| s-t |）dx，s，t∈ R.然而，过程X不必是严格平稳的，因为挥发性过程σ和驱动布朗运动W之间的依赖关系可能是时变的。2.2上述核函数，我们考虑满足g（x）的核函数∝ 某些α的xα∈ (-,)\\当x>0接近零时，{0}。为了使这个想法更加严谨，并考虑到额外的灵活性，我们使用规则变化理论[15]以及更具体地说，缓慢变化的函数来计算我们对g的假设。为此，回想一下可测函数L:（0，1]→ [0, ∞) 如果任何t>0，limx→0L（tx）L（x）=1。此外，函数f（x）=xβL（x），x∈ （0,1]，其中β∈ R和L在0时缓慢变化，据说在0时有规律变化，β是规律变化的指数。备注2.1。按照惯例，缓慢和有规律的变化是在∞ [15，第6页，第17-18页]。然而，当且仅当x7时，L在0处缓慢变化（分别为规则变化）→ L（1/x）缓慢变化（分别为。

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可人4

2022-5-8 12:52:48

经常变化）在∞.慢变函数的一个关键特征是，它们可以夹在多项式函数之间，如下所示，这在续集中将非常重要。如果δ>0且L缓慢地在0处变化，且有界于0和∞ 在任意区间（u，1），u∈ （0,1），则存在康斯坦茨δ≥ Cδ>0，使得Cδxδ≤ L（x）≤ Cδx-δ、 x∈ （0,1]。（2.2）上述不等式是所谓的slowlyvarying函数Potter界的直接结果，见下文[15，定理1.5.6（ii）]和（4.1）。使δ非常小，我们看到慢变函数与多项式增长/衰减函数相比，渐近可忽略不计。因此，通过乘以幂函数和缓慢变化的函数，规则变化提供了一个灵活的框架来构造行为渐近类似幂函数的函数。我们关于核函数g的假设如下：（A1）对于某些α∈ (-,) \\ {0}，g（x）=xαLg（x），x∈ （0,1]，其中Lg:（0,1]→ [0, ∞) 是连续可微分的，在0处缓慢变化，从0处开始有界。此外，存在一个常数C>0，使得LGS的导数| Lg（x）|≤ C（1+x）-1），x∈ （0,1]。（A2）函数g在（0，∞), 使其导数最终单调且满足∞g（x）dx<∞.（A3）对于某些情况∈ (-∞, -),g（x）=O（xβ），x→ ∞.（在这里，以及在续集中，我们使用f（x）=O（h（x）），x→ a、表明lim supx→A.f（x）h（x）< ∞.此外，类似符号后来用于序列和计算复杂性。）鉴于界（2.2），这些假设确保g是平方可积的。值得指出的是，（A1）容纳了具有limx的函数→0Lg（x）=∞, e、 g.，Lg（x）=1- 对数x。假设（A1）影响过程x的短期行为和粗糙度。

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mingdashike22

2022-5-8 12:52:51

评估X粗糙度的一个简单方法是研究其变异函数（在湍流文献中也称为二阶结构函数）VX（h）：=E[|X（h）- X（0）|]h≥ 0，作为h→ 0.注意，通过协方差平稳性，VX（| s- t |）=E[| X（s）- X（t）|]s，t∈ R.在我们的假设下，我们对接近零的Vx的行为进行了以下描述，这概括了Barndor ff-Nielsen[3，p.9]的结果，并暗示X具有局部H？oldercontinuous修改。在下面，我们写下a（x）~ b（x），x→ y、来表明这一点→ya（x）b（x）=1。第4.1节对该结果进行了验证。命题2.2（局部行为和连续性）。假设（A1）、（A2）和（A3）保持不变。（i） X满足度vx（h）的变异函数~ E[σ（0）]2α+1+Z∞（y+1）α- yαdyh2α+1Lg（h），h→ 0，这意味着Vx在0处有规律地变化，指数为2α+1。（ii）过程X对任意φ的局部φ-H-连续轨迹进行了修改∈(0, α +).受命题2.2的启发，我们将α称为过程X的粗糙度指数。忽略（2.2）中的低变因子Lg（h），我们可以看到，对于h的小值，变差函数V（h）的行为类似于h2α+1，这让人想起赫斯特指数h=α+的分数布朗运动（fBm）增量的标度特性。因此，过程X的局部行为类似于fBm，至少在二阶结构和粗糙度方面是如此。（此外，因子2α+1+R∞（（y+1）α）- yα）dy与H=α+的fBm的Mandelbrot–Van Ness表示[24，定理1.3.1]中出现的归一化系数一致。）现在让我们来看两个满足我们假设的核函数g的例子。示例2.3（gamma内核）。所谓的伽马核（x）=xαe-λx，x∈ (0, ∞),参数α∈ (-,) \\ {0}和λ>0，在有关BSP过程的文献中被广泛使用。

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可人4

2022-5-8 12:52:54

这在湍流的统计建模方面尤其重要，见Corcuera等人[16]，但它也提供了一种方法来构造粗糙度的Ornstein–Uhlenbeck（OU）过程的推广，不同于通常的半鞅情况α=0，同时模拟OU过程的长期行为。此外，使用伽马核定义的BSS和LSS过程具有有趣的概率特性，参见[25]。对伽马核的深入研究可以在[3]中找到。设置Lg（x）：=e-λx，在0 sincelimx时缓慢变化→0Lg（x）=1，显然（A1）成立。因为g（x）以指数的速度衰减到0→ ∞,显然，（A3）也适用。要验证（A2），请注意g满意度（x）=αx- λg（x），g（x）=αx- λ-αx！g（x），x∈ (0, ∞),limx在哪里→∞（（αx）- λ)-αx）=λ>0，因此gis最终随g（x）增加≤ （|α|+λ）g（x），x∈ [1, ∞).因此，R∞g（x）dx<∞ 因为g是平方可积的。示例2.4（幂律内核）。考虑核函数g（x）=xα（1+x）β-α、 x∈ (0, ∞),参数α∈ (-,) \\ {0}和β∈ (-∞, -). 这个核函数在接近于零时的行为类似于伽马核，但g（x）随着x多项式衰减为零→ ∞, soit可以用来模拟长内存。事实上，如果β∈ (-1.-), 那么X的自相关函数是不可积的。显然，（A1）与Lg（x）保持一致：=（1+x）β-α、从limx开始，它在0处缓慢变化→0Lg（x）=1。此外，注意我们可以写eg（x）=xβKg（x），x∈ (0, ∞),其中Kg（x）：=（1+x）-1)β-α满足极限→∞千克（x）=1。因此，（A3）也成立。我们可以通过计算g（x）来检查（A2）=α+βxx（1+x）g（x），g（x）=α+βxx（1+x）+-α - 2αx- βxx（1+x）！g（x），x∈ (0, ∞),哪里-α-2αx-βx→ ∞ 当x→ ∞ （如β<-), 所以gis最终会增加。

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能者818

2022-5-8 12:52:57

此外，我们注意到g（x）≤ （|α|+|β|）g（x），x∈ [1, ∞),暗示∞g（x）dx<∞ 因为g是平方可积的。2.3混合模式∈ R，考虑根据X（t）在gridGn（t）上的积分表示（2.1）离散X（t）：={t，t-n、 t-n、 …}为了n∈ N.为了推导我们的离散化方案，让我们首先注意，如果波动过程σ变化不大，那么使用近似值x（t）是合理的=∞Xk=1Zt-kn+nt-kng（t）- s） σ（s）dW（s）≈∞Xk=1σT-千牛Zt-kn+nt-kng（t）- s） dW（s），（2.3）也就是说，我们在每个离散单元中保持σ常数。（在这里，以及在续集中，”≈” 代表纯粹用于启发目的的形式近似。）如果k是“小的”，那么由于（A1），我们可以近似于（t- （s）≈ （t）- s） αLg千牛, T- s∈K- 1n，千牛\\ {0}，（2.4）由于缓慢变化的函数lg比幂函数y7变化“小”→ yα接近于零，参见（2.2）。如果k是“大的”，或者至少是k≥ 2.然后选择bk∈ [k]-1，k]提供了足够的近似值（t- （s）≈ Gbkn, T- s∈K- 1n，千牛, （2.5）通过（A2）。将（2.4）应用于第一个κ项，其中κ=1，2。，和（2.5）到（2.3）中近似级数中的剩余项∞Xk=1σT-千牛Zt-kn+nt-kng（t）- s）德国西部(s)≈κXk=1Lg千牛σT-千牛Zt-kn+nt-千牛（吨）- s） αdW（s）+∞Xk=κ+1gbknσT-千牛Zt-kn+nt-kndW（s），（2.6）为了完整性，我们还允许κ=0，在这种情况下，我们需要b∈ （0，1），并将（2.6）右侧的第一个和解释为零。为了使数值实现可行，我们截断（2.6）右侧的第二个和，使两个和都有Nn≥ 总共κ+1项。

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nandehutu2022

2022-5-8 12:53:00

因此，我们得到了X（t）的一个离散化方案，我们称之为混合方案，给定byXn（t）：=71xn（t）+^Xn（t），其中71xn（t）：=κXk=1Lg千牛σT-千牛Zt-kn+nt-千牛（吨）- s） αdW（s），（2.7）^Xn（t）：=NnXk=κ+1gbknσT-千牛WT-kn+n- WT-千牛!, （2.8）和b:={bk}∞k=κ+1是一个实数序列，计算点，必须满足bk∈[k]- 1，k]\\{0}每k≥ κ+1，但在其他方面可以自由选择。目前，离散化网格Gn（t）取决于时间t，对于不同时间t同时采样Xn（t）而言，这似乎很麻烦。但是，请注意，当时间t和皮重被倍数ofn分开时，相应的网格Gn（t）和Gn（t）将相交。事实上，（2.7）和（2.8）中定义的混合方案可以有效实施，我们将在下面的第3.1节中看到。自从bkn= GT-T-bkn,退化情况κ=0，所有k的bk=k≥ 1对应于X（t）的常规Riemann-Sum离散化方案，其（It¨o型）的正向和来自（2.8）。从今往后，我们表示相关序列{k}∞k=κ+1由bFWD表示，其中下标“FWD”暗指正向和。然而，包括（2.7）给出的幂函数的维纳积分项，ishavingκ≥ 1，极大地提高了离散化的精度，我们将看到。有在间隔[k]内选择BK的途径- 1，k]\\{0}，所以函数g（t- ·) 在不一定属于Gn（t）的情况下进行评估，会导致额外的中度改善。求和（2.8）中的凸出意味着定义X的随机积分（2.1）在t处被截断-Nnn。实际上，参数nn的值应该足够大，以减轻截断的影响。

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kedemingshi

2022-5-8 12:53:04

为了确保截断点t-n打算-∞ 作为n→ ∞ 在我们的渐近结果中，我们引入了以下假设：（A4）对于某些γ>0，Nn~ nγ+1，n→ ∞.2.4均方误差的渐近行为我们现在准备陈述我们的主要理论结果，它给出了混合方案均方误差（MSE）的渐近行为的精确描述，即n→ ∞. 我们将这个结果的证明推迟到第4.2节。定理2.5（均方误差的渐近性）。假设（A1）、（A2）、（A3）和（A4）保持不变，那么γ>-2α+12β+1，（2.9）以及对于某些δ>0，E[|σ（s）- σ（0）|]=Os2α+1+δ, s↓ 0.（2.10）那么对于所有t∈ R、 E[|X（t）- Xn（t）|]~ J（α，κ，b）E[σ（0）]n-（2α+1）Lg（1/n），n→ ∞, （2.11）其中j（α，κ，b）：=∞Xk=κ+1Zkk-1（yα）- bαk）dy<∞. （2.12）备注2.6。注意如果α∈ (-, 0），则具有[|σ（s）- σ（0）|]=Osθ, s↓ 0表示所有θ∈ （0,1），确保（2.10）成立。（假设δ：=（1）-（2α+1））>0和θ：=2α+1+δ=α+1∈ (0, 1).)当混合方案用于在等距网格{0，n，n，…，bnT cn}上模拟BSS过程X，对于某些T>0（参见第3.1节关于实现细节），定理2.5的以下结果确保模拟过程的协方差结构与实际过程X的协方差结构近似。推论2.7（协方差结构）。假设定理2.5的假设成立。那么对于任何s，t∈ R和ε>0，| E[Xn（t）Xn（s）]- E[X（t）X（s）]|=ON-(α+)+ε, N→ ∞.证据让我们，t∈ R

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大多数88

2022-5-8 12:53:08

应用柯西-施瓦兹不等式，我们得到| E[Xn（t）Xn（s）]- E[X（t）X（s）]|≤ E[Xn（t）]1/2E[|X（s）- Xn（s）|]1/2+E[X（s）]1/2E[|X（t）- Xn（t）|]1/2。我们有晚餐∈NE[Xn（t）]1/2<∞ 自E[Xn（t）]→ E[X（t）]<∞ 作为n→ ∞, 根据定理2.5。此外，定理2.5和界（2.2）暗示E[|X（s）-Xn（s）|]1/2=O（n）-（α++ε）和[|X（t）- Xn（t）|]1/2=O（n）-（α++ε）对于任何ε>0。在定理2.5中，MSE（2.11）的渐近性由核函数g在零附近的行为决定，如（A1）所述。条件（2.9）确保接近零的G的误差渐近大于t处随机积分（2.1）截断引起的误差-Nnn。事实上，在一些额外的假设下，当（2.9）不成立时，可以导出MSE的不同类型的渐近性，其中截断误差占主导地位，但我们在本文中不追求这个方向。虽然（2.11）中的收敛速度完全由粗糙度指数α决定，而粗糙度指数α一开始似乎令人沮丧，但事实证明，数量J（α，κ，b）可以变化很大，这取决于我们如何选择κ和b，并且对X的近似精度有实质性影响。从（2.12）可以看出，增加κ会减少J（α，κ，b）。此外，对于给定的α和κ，可以直接选择b，使J（α，κ，b）最小化，如下面的结果所示。命题2.8（最优离散化）。让α∈ (-,) \\{0}和κ≥ 0.在所有序列中sb={bk}∞k=κ+1与bk∈ [k]- 1，k]\\{0}表示k≥ κ+1、函数J（α，κ，b）以及由此离散化引起的渐近均方误差被序列b最小化*交给byb*k=kα+1- （k）- 1)α+1α + 11/α，k≥ κ + 1.证据显然，序列b={bk}∞k=κ+1使函数J（α，κ，b）最小化当且仅当bk最小化kk-1（yα）- 任意k的bαk）dy≥ κ + 1.

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大多数88

2022-5-8 12:53:12

根据标准的L-空间理论，c∈ R使积分kk最小化-1（yα）- c） dy当且仅当函数y7→ yα- c在所有恒常函数中都是正交的。这无异于托兹克-1（yα）- c） dy=0，c yieldsc=kα+1的积分计算与求解- （k）- 1)α+1α + 1.设置b*k:=c1/α∈ （k）- 1，k）完成证明。了解κ增加多少，并使用最佳序列b*从命题2.8改进了近似，我们数值研究了渐近均方根误差（RMSE）pJ（α，κ，b）。特别是，我们使用渐近RMSE=-pJ（α，κ，b）-pJ（α，0，bFWD）pJ（α，0，bFWD）·100%。（2.13）结果如图1所示。我们发现使用κ的混合方案≥ 当α∈ (-, 0). 的确，当κ≥ 1，作为α的函数，渐近RMSE不会爆炸为α→ -, 当κ=0时，它是。这就解释了为什么渐近αRMSE-0.4-0.20.0.2 0.410-410-2100102κ=0κ=1κ=2κ=3α渐近RMSE的减少（%）-0.4-0.2 0.20.4020406080100κ=0κ=1κ=2κ=3∈ (-,) \\{0}对于κ=0，1，2，3，使用b=b*命题2.8（实线）和b=bFWD（虚线）的定义。右图：相对于由公式（2.13）给出的前向黎曼和格式（κ=0和b=bFWD）的渐近RMSE的减少，绘制为α的函数∈ (-,) \\{0}对于κ=0、1、2、3，使用b=b*（实线）和对于κ=1,2,3，使用b=bFWD（虚线）。在所有计算中，我们使用了备注2.9中概述的近似值，N=1 000 000。RMSE接近100%的α→ -.

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能者818

2022-5-8 12:53:15

当α∈ （0，），使用混合方案实现的改进较为温和，但仍然相当可观。图1还强调了使用最佳序列b的重要性*, 而不是bFWD，作为方案中的评估点，尤其是当α∈ (0,). 最后，我们观察到，增加κ超过2似乎不会导致显著的进一步减少。事实上，在我们的数值实验中，报告在第3.2和3节。3下面，我们观察到使用κ=1，2已经产生了良好的结果。备注2.9。数值计算J（α，κ，b）是非常重要的。通过显式计算（2.12）中的积分，我们可以用jn（α，κ，b）近似J（α，κ，b）：=NXk=κ+1k2α+1- （k）- 1)2α+12α + 1-2bαkkα+1- （k）- 1)α+1α+1+b2αk用一些大的N∈ N.当α∈ (-, 0），但当α→. 特别是函数α7的奇异性→ J（α，κ，b）很难用数值上可行的N值来捕捉。为了克服这个数值问题，我们在α的情况下引入了一个修正项∈ (0,). 修正项可以非正式地导出如下。根据中值定理*K≈ K-对于大k，我们有（yα）- bαk）=αξ2α-2（y）- （bk）≈αk2α-2（y）- k），b=bFWD，αk2α-2（y）- k+，b=b*,式中ξ=ξ（y，bk）∈ [k]- 1，k]，对于大k.因此，对于大N，我们得到j（α，κ，b）- JN（α，κ，b）=∞Xk=N+1Zkk-1（yα）- bαk）dy≈αP∞k=N+1k2α-2Rkk-1（y）- k） dy，b=bFWD，αP∞k=N+1k2α-2Rkk-1（y）- k+）dy，b=b*,=αζ(2 - 2α，N+1），b=bFWD，αζ（2- 2α，N+1），b=b*,式中ζ（x，s）：=P∞k=0（k+s）x，x>1，s>0是Hurwitz-zeta函数，可以使用精确的数值算法来计算。备注2.10。与Benth等人基于傅里叶的方法不同。

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可人4

2022-5-8 12:53:19

[13] 当α为时，混合格式不需要截断核函数g的奇异性∈ (-, 0），这有助于在α接近时保持方案的精度-. 让我们简要分析g的奇异性对近似误差的影响，参见[13，第75-76页]。考虑一下，对于任何ε>0的情况，修改后的BSS过程Xε（t）：=Zt-∞gε（t）- s） σ（s）dW（s），t∈ R、使用截断核函数gε（x）定义：=g（ε），x∈ （0，ε），g（x），x∈ (ε, ∞).以一种简单的方式修改定理2.5的证明，可以证明，在（A1）和（A3）下X（t）-~Xε（t）= E[σ（0）]Zεg（s）- g（ε）ds~2α + 1-α + 1+ 1| {z}=：J（α）E[σ（0）]ε2α+1Lg（ε），ε↓ 0，对于任何t∈ R.而收敛速度，如ε↓ 0，用gε代替g所产生的均方误差与混合格式的收敛速度类似，需要注意的是，因子J（α）变成了α↓ -. 实际上，~J（α）等于定义J（α，0，bFWD）和~J（α）的系列中的第一项~ J（α，0，bFWD），α↓ -,这表明截断奇点的效果，以MSE为单位，类似于在α接近时使用前向黎曼和格式离散过程的效果-.特别是，为了控制运行误差，截断阈值ε必须非常小。2.5截断布朗半平稳过程的推广将混合格式推广到一类与BSS过程密切相关的非平稳过程是有用的。这个扩展对于一个被称为粗糙Bergomi模型的应用非常重要，我们将在下面的第3.3节中讨论这个模型。

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可人4

2022-5-8 12:53:22

更准确地说，我们考虑了形式y（t）=Ztg（t）的过程- s） σ（s）dW（s），t≥ 0，（2.14），其中核函数g、波动过程σ和驱动布朗运动W与之前一样。我们称Y为截断布朗半平稳（T BSS）过程，因为Y是通过在0处截断（2.1）中的随机积分从BSS过程X获得的。在前面的假设中，只有（A1）和（A2）需要确保（2.14）中的随机积分存在——事实上，在（A2）中，只有g在（0，∞) 开始发挥作用。T BSS过程Y没有协方差平稳增量，因此我们将其（时间相关）变异函数定义为vy（h，T）：=E[|Y（T+h）- Y（t）|]，h，t≥ 0.扩展命题2.2，我们可以描述H7的行为→ VY（h，t）接近零，如下所示。因此，局部持续修改的存在是一个直接的结果。我们省略了对这个结果的证明，因为这将是对命题证明的直接改编。2.命题2.11（局部行为和连续性）。假设（A1）和（A2）保持不变。（i）任何t的Y满意度的变异函数≥ 0，VY（h，t）~ E[σ（0）]2α + 1+ 1(0,∞)（t） Z∞（y+1）α-yαdyh2α+1Lg（h），h→ 0，这意味着H7→ VY（h，t）在指数为2α+1的零处有规律地变化。（ii）过程Y对任意φ的局部φ-H-连续轨迹进行了修改∈(0, α +).注意，虽然Y的增量不是协方差平稳的，但VY（h，t）的渐近行为与VX（h）和h的渐近行为相同→ 0（参见命题2.2）表示任何t>0。

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能者818

2022-5-8 12:53:26

因此，Y的增量（除了从时间0开始的增量）在局部类似于X的增量。我们定义了混合方案来离散Y（t），对于任何t≥ 0，asYn（t）：=ˇYn（t）+^Yn（t），（2.15），其中ˇYn（t）：=min{bntc，κ}Xk=1Lg千牛σT-千牛Zt-kn+nt-千牛（吨）- s） αdW（s），^Yn（t）：=bntcXk=κ+1gbknσT-千牛WT-kn+n- WT-千牛!.因此，我们只需将（2.7）和（2.8）中的和与负实线上的积分和增量相对应。我们在第三部分对该计划的实施进行了说明。1，下面。T-BSS过程Y的混合格式的均方误差具有如下渐近行为asn→ ∞, 这实际上与BSS过程的混合模式的均方误差的渐近行为相同。我们省略了这个结果的证明，这将是对定理2.5的简单修正。定理2.12（均方误差的渐近性）。假设（A1）和（A2）保持不变，对于某些δ>0，E[|σ（s）- σ（0）|]=Os2α+1+δ, s↓ 0。然后对于所有t>0，E[| Y（t）- Yn（t）|]~ J（α，κ，b）E[σ（0）]n-（2α+1）Lg（1/n），n→ ∞,其中J（α，κ，b）如定理2.5和2.13所示。在定理2.12的假设下，推论2.7的结论经过修改后成立。特别是，当n时，离散化T-BSS过程的协方差结构接近Y→ ∞.3实现和数值实验3。1实际实现在等距网格{0，n，n，…，bnT cn}上模拟BSS进程X，对于某些T>0，使用混合方案需要生成xn在里面, i=0，1，bnT c.（3.1），前提是我们可以模拟随机变量Wni，j:=Zi+1nini+jn- sαdW（s），i=-Nn，-Nn+1，bnT c- 1，j=1，κ、（3.2）Wni:=Zi+1nindW（s），i=-Nn，-Nn+1，bnT c- 1，（3.3）σni:=σ在里面, 我=-Nn，-Nn+1。

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nandehutu2022

2022-5-8 12:53:30

，bnT c- 1，我们可以通过公式xn计算（3.1）在里面=κXk=1Lg千牛σni-科尼-k、 k |{z}=71xn（in）+NnXk=κ+1gB*千牛σni-科尼-k{z}=Xn（in）。（3.4）为了模拟（3.2）和（3.3），有必要注意到κ+1维随机向量Wni：=Wni，Wni，1，Wni，κ, 我=-Nn，-Nn+1，bnT c- i.i.d.是否根据均值为零的多元高斯分布，协方差矩阵∑由∑1,1=n，∑1，∑j=j，1=（j）给出- 1)α+1- （j）- 2） α+1（α+1）nα+1，∑j，j=（j）- 1)2α+1- （j）- 2） 2α+1（2α+1）n2α+1，对于j=2，κ+1，∑j，k=（α+1）n2α+1（j- 1） α+1（k）- 1） αF- α、 1，α+2，j- 1k- 1.- （j）- 2） α+1（k）- 2） αF- α、 1，α+2，j- 2k- 2.!, （3.5）对于j，k=2，κ+1，使得j<k，其中f代表高斯超几何函数，定义见[17，第56页]。（当k<j时，设置∑j，k=∑k，j。）为了方便读者，我们在第4.3节中提供了（3.5）的证明。因此，{Wni}bnT c-1i=-nn可以通过从多元高斯分布Nκ+1（0，∑）中独立抽取来生成。如果波动过程σ与W无关，则{σni}bnT c-1i=-可以单独生成NNP，可能使用精确的方法。（确切的方法可用，例如引言中提到的高斯过程，以及差异，见[14]。）在σ依赖于W的情况下，模拟{Wni}bnT c-1i=-n和{σni}bnT c-1i=-这就不那么直截了当了。这就是说，如果σ由标准布朗运动Z驱动，与W相关，比如说，我们可以依赖于一个因子复合Z（t）：=ρW（t）+p1- ρW⊥（t），t∈ R、（3.6）式中ρ∈ [-1，1]是相关参数，{W⊥（t） }t∈[0，T]是独立于W的标准布朗运动。

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能者818

2022-5-8 12:53:34

然后首先生成{Wni}bnT c-1i=-Nn，使用（3.6）生成{Z（i+1n）-Z（in）}bnT c-1i=-n并采用适当的近似方法产生{σni}bnT c-1i=-之后。然而，这种方法有一个警告，即它会导致额外的近似误差，而不是定理2.5中所量化的。备注3.1。在第2.5节介绍的T BSS过程Y的情况下，观测值Yn（In），i=0，1，混合方案（2.15）给出的bnT c可以通过viaYn计算得出在里面=min{i，κ}Xk=1Lg千牛σni-科尼-k、 k+iXk=κ+1gB*千牛σni-科尼-k、（3.7）使用随机向量{Wni}bnT c-1i=0和随机变量{σni}bnT c-1i=0。在混合方案中，通常需要κ最多为3。因此，在（3.4）中，firstsumˇXn（in）只需要微不足道的计算效果。相比之下，第二和^Xn（in）中的项数随着n的增加而增加→ ∞. 然后注意到^Xn是有用的在里面=NnXk=1ΓkΞi-k=（Γ？Ξ）i，其中Γk：=0，k=1，κ、 gB*千牛, k=κ+1，κ+2，Nn，Ξk:=σnkWnk，k=-Nn，-Nn+1，bnT c- 1.和Γ？Ξ代表序列Γ和Ξ的离散卷积。众所周知，使用快速傅里叶变换（FFT）可以有效地计算离散卷积。同时计算（Γ？Ξ）如果所有i=0，1，使用anFFT的bnT c是O（Nnlog Nn），参见[23，第79-80页]（A4）下的转换为O（nγ+1log n）。整个混合格式的计算复杂度为O（nγ+1logn），前提是{σni}bnT c-1i=-使用复杂度不超过O（nγ+1logn）的方案生成NNI。作为比较，我们提到使用循环嵌入精确模拟平稳高斯过程的复杂度为O（n logn）[2，第316页]，而Cholesky分解的复杂度为O（n）[2，第312页]。备注3.2。

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nandehutu2022

2022-5-8 12:53:37

对于T-BSS过程，via（3.7）混合方案的计算复杂度为O（n logn）。图2展示了使用κ=1、2和b=b的混合方案的BSS过程X的轨迹示例*. 我们选择核函数g作为λ=1的伽马核（例2.3）。我们还使用黎曼和格式，κ=0和b离散X∈ {bFWD，b*} （即，前向黎曼和格式及其对应的最佳选择的评估点）。我们可以做两个观察：首先，我们看到粗糙度参数α如何控制X轨迹的正则性——随着α的减小，X的轨迹变得越来越长。其次，也是更重要的一点，我们看到，尽管我们对驱动布朗运动使用了相同的创新，但来自塞里曼和和混合方案的模拟轨迹可能会有很大不同。事实上，混合方案（κ=1,2）的两种变体产生了几乎相同的轨迹，而黎曼和方案（κ=0）产生了相对平滑的轨迹，随着α的接近，这种差异变得更加明显-. 实际上，在α=-0.499时，两种不同的黎曼和格式都会崩溃，并产生变化很小的异常轨迹，而混合格式会继续产生精确的结果。事实上，混合方案能够重现粗糙BSS过程的精细特性，即使α值非常接近-, 下面一节将进一步报道这一点。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2.-10123α = -0.15tXn（t）κ=0κ=1κ=20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2.-10123α = -0.45Xn（t）t0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2.-10123α = -0.499Xn（t）t图2：BSS过程的离散化轨迹，其中g是伽马核（例2.3），λ=1，σ（t）=1表示所有t∈ R

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何人来此

2022-5-8 12:53:40

用混合方案（κ=1,2和b=b）生成了由n=50个[0,1]观测值组成的轨迹*) 和黎曼和格式（κ=0和b=b）*（实线），b=bFWD（虚线）），在所有情况下对驱动布朗运动使用相同的创新，Nn=b501。5c=353。对模拟过程进行归一化处理，使其具有单位（平稳）方差。3.2粗糙度参数的估计假设我们有观测值X（im），i=0，1，m、（2.1）给出的BSS过程X的∈ N.Barndor ff-Nielsen等人[6]和Corcuera等人[16]讨论了如何将粗糙度指数α一致地估计为m→ ∞. 该方法基于频率变化（COF）统计COF（X，m）=Pmk=5十、公里- 2XK-2米+ 十、K-4米Pmk=3十、公里- 2XK-1米+ 十、K-2米, M≥ 5，使用二阶增量和两种不同的滞后长度，比较X的已实现二次变化。Corcuera等人[16]已经证明，在对过程X的一些假设下，它认为^α（X，m）：=log，这些假设类似于（A1）、（A2）和（A3），尽管限制性稍强COF（X，m）2日志2-P-→ α、 m→ ∞. （3.8）关于该COF估计器的有限样本性能的深入研究见[12]。为了检验混合方案在规则性/粗糙度方面如何再现BSS过程的精细特性，我们将COF估计器应用于X的离散化轨迹，其中核函数g再次是λ=1的伽马核（例2.3），使用κ=1、2、3和b=b的混合方案生成*. 我们考虑波动过程满足σ（t）=1的情况，即过程X是高斯的。

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能者818

2022-5-8 12:53:43

这使我们能够通过最初将估计器应用于使用基于Cholesky分解的精确方法模拟的轨迹，来量化和控制估计方法本身的固有偏差和噪声（以标准偏差衡量）。然后，我们研究了在减小离散化方案步长的情况下，估计量在离散化轨迹上的行为。更准确地说，我们模拟了^α（Xn，m），其中m=500，Xn是X的混合方案，其中n=ms和s∈ {1, 2, 5}. 这意味着我们使用m个观测值来计算^α（Xn，m），这些观测值是通过对序列Xn（in），i=0，1，n、作为比较，我们重复这些模拟，用Riemann和方案替换混合方案，使用κ=0和b∈ {bFWD，b*}.结果如图3所示。我们观察到，M=500个观测值的估值器的固有偏差可以忽略不计，因此，根据离散化系数计算的估值偏差可归因于相应离散化方案产生的近似误差，如果正（或负）偏差表明模拟轨迹比过程X的轨迹更平滑（或更粗糙）。首先关注基线情况s=1，我们注意到，当α∈ (-, 0），而当α∈ （0，），从κ=1传递到κ=3时消失，即使α值非常接近。（在我们的模拟中，α的最大值为α=0.49；人们预计随着α的接近，性能会减弱，cf。

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nandehutu2022

2022-5-8 12:53:47

图1，但这个参数值范围似乎实际意义有限。）标准差表现出类似的模式。Riemann和方案的相应结果明显较差，显示出明显的偏差，同时使用了最佳评估点（b=b）*) 稍微改善一下情况。特别地，-0.4-0.2 0 0.2 0.4-0.4-0.200.20.4αBiass=1精确κ=0κ=1κ=2κ=3-0.4-0.2 0 0.2 0.40.040.050.060.070.08α标准偏差=1精确κ=0κ=1κ=2κ=3-0.4-0.2 0 0.2 0.4-0.4-0.200.20.4α偏差=2-0.4-0.2 0.2 0.40.040.050.060.070.08α标准偏差=2-0.4-0.2 0 0.2 0.4-0.4-0.200.20.4α偏差=5-0.4-0.2 0 0.2 0.40.040.050.060.070.08α标准偏差=5图3：粗糙度指数α的COF估计器（3.8）的偏差和标准偏差，当应用于具有伽马核（例2.3）的BSS过程的离散化轨迹时，λ=1，且σ（t）=1，对于所有t∈ R.使用基于Cholesky分解的精确方法生成轨迹，即混合方案（κ=1,2,3和b=b）*) 和黎曼和格式（κ=0和b=b*（实线），b=bFWD（虚线）。在实验中，产生了n=ms的观测值，其中m=500和s∈ {1,2,5}，在[0,1]上使用Nn=bn1。5c。然后对每一次观测进行二次抽样，得出m=500次观测，用于计算粗糙度指数α的估计值α（Xn，m）。蒙特卡罗复制次数：10000次。案例α中的偏差∈ (-, 0）为正，表明离散化轨迹过于平滑，这与具有α近邻的黎曼和格式的失败有关-, 如图2所示。当s=2和s=5时，两种方案的结果都有所改善。值得注意的是，在s=5的情况下，即使k=1，混合方案的性能也与精确方法相当。

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mingdashike22

2022-5-8 12:53:50

然而，当α接近时，由于存在相当大的偏差，黎曼和方案的改进更为微弱-.3.3粗糙波动下的期权定价作为另一个实验，我们研究了Bayer等人[10]的粗糙Bergomi（rBergomi）模型中的蒙特卡罗期权定价。在rBergomi模型中，标的物价格的对数现货方差由粗糙高斯过程建模，这是（2.14）的特例。通过粗略波动过程的验证，该模型很好地符合观察到的隐含波动率微笑[10，pp.893-895]。更准确地说，时间范围T>0的rBergomi模型中的标的价格是在一个等价鞅测度下定义的，即P，asS（T）：=S（0）expZtpv（s）dZ（s）-中兴电视台（s）ds, T∈ [0，T]，使用即期方差过程v（T）：=ξ（T）expη√2α+1Zt（t- s） αdW（s）|{z}=:Y（t）-ηt2α+1, T∈ [0，T]。上面，S（0）>0，η>0和α∈ (-, 0）是确定性参数，Z是由Z（t）：=ρW（t）+p1给出的标准布朗运动- ρW⊥（t），t∈ [0，T]，（3.9）式中ρ∈ (-1，1）是相关参数，{W⊥（t） }t∈[0，T]是独立于W的标准布朗运动。过程{ξ（t）}t∈[0，T]是所谓的前向方差曲线[10，p.891]，我们在这里假设，对于所有T，它是fl，ξ（T）=ξ>0∈ [0，T]。我们的目标是使用蒙特卡罗模拟计算到期日为T的K>0的欧式看涨期权的价格，它由c（S（0），K，T）：=E[（S（T）- K） +]。（3.10）拜耳等人[10]提出的方法涉及使用精确模拟在离散时间网格上采样高斯过程，然后使用欧拉分解近似S和v。我们修改了这种方法，使用混合方案模拟Y，而不是计算成本更高的精确模拟。

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可人4

2022-5-8 12:53:54

由于混合格式涉及模拟布朗运动W驱动Y的增量，我们可以使用表示（3.9）方便地模拟S的Euler离散所需的Z增量。表1：rBergomi模型中使用的参数值。S（0）ξηαρ1 0.2351.9-0.43-0.9-0.4-0.2000.20.40.60.8kIV（k，T）T=0.041精确κ=0κ=1κ=2-0.5 0 0.500.10.20.30.4kIV（k，T）T=1精确κ=0κ=1κ=2图4：与期权价格（3.10）相对应的隐含波动率微笑，使用蒙特卡罗模拟（500个时间步，100万次重复）计算，有两个到期日：T=0.041（左）和T=1（右）。用一种精确的方法——混合方案（κ=1,2和b=b）模拟了斑点方差过程v*) 和黎曼和格式（κ=0和b=b）*（实线），b=bFWD（虚线）。rBergomi模型中使用的参数值如表1所示。我们将期权价格C（S（0），K，T）映射到相应的Black-Scholes隐含波动率yiv（S（0），K，T），参见，例如[19]。使用log strike k:=log（k/S（0））重新参数化隐含波动率可以降低对初始价格的依赖性，因此我们会稍微滥用符号，并为相应的隐含波动率写入IV（k，T）。图4显示了使用混合和黎曼和模式模拟Y（如上所述）从rBergomi模型中获得的隐含有用性微笑，并将其与通过Cholesky分解使用精确模拟Y获得的微笑进行了比较。表1给出了参数值。它们是从拜耳等人[10]那里获得的，他们证明了它们能产生真实的波动性微笑。我们考虑两种不同的到期日：“短期”，T=0.041，“长期”，T=1。我们观察到Riemann和格式（κ=0，b∈ {bFWD，b*}) 能够捕捉隐含波动微笑的形状，但不能捕捉其水平。

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能者818

2022-5-8 12:53:57

唉，这种方法甚至会出现更极端的对数打击（价格如此之低，以至于用于计算隐含波动率的寻根算法将返回零）。相反，κ=1、2和b=b的混合方案*收益率隐含波动率微笑与使用XACT模拟获得的基准微笑无法区分。此外，使用κ=1和κ=2获得的微笑之间没有明显差异。如前一节所述，我们观察到混合方案确实能够产生非常精确的T-BSS过程轨迹，尤其是在α情况下∈ (-, 即使当κ=1.4证明通过下面的证明，我们也依赖于两个有用的不等式。第一个是0时缓慢变化的Potter边界，它紧跟着缓慢变化的相应结果∞ [15，定理1.5.6]。也就是说，如果L：（0，1]→ (0, ∞) 在0处缓慢变化，从0到∞ 在任意区间（u，1），u∈ （0，1），那么对于任何δ>0的情况，存在一个常数Cδ>0，使得L（x）L（y）≤ Cδmaxxyδ,xy-δ, x、 y∈ 第二个是初等不等式| xα- yα|≤ |α|（min{x，y}）α-1 | x- y |，x，y∈ (0, ∞), α ∈ (-∞, 1），（4.2），这可以很容易地用中值定理来表示。此外，我们使用Karamata定理的以下变体来表示0处的正则变分。它的证明类似于usualKaramata的正则变分定理∞ [15，提案1.5.10]。引理4.1（卡拉马塔定理）。如果α∈ (-1.∞) L:（0，1]→ [0, ∞) 在0时缓慢变化，然后zyxαL（x）dx~α+1yα+1L（y），y→ 0.4.1命题2.2的证明命题2.2的证明。

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何人来此

2022-5-8 12:54:02

（i）通过波动过程σ的协方差平稳性，我们可以表示任意h的变异函数V（h）≥ 0 asV（h）=E[|X（h）- X（0）|]=Zh-∞g（h）- u）-g(-u）一,(-∞,0）（u）E[σ（u）]du=E[σ（0）]Zhg（x）dx+Z∞（g（x+h）-g（x））dx.（4.3）调用（A1）和引理4.1，我们发现zhg（x）dx~2α+1h2α+1Lg（h），h→ 0.（4.4）我们可以清楚地假设h<1，这允许我们使用分解Z∞（g（x+h）-g（x））dx=Ah+Ah，其中h:=Z1-h（g（x+h）-g（x））dx，Ah:=Z∞1.-h（g（x+h）-g（x））dx。根据（A2），存在M>1这样的x7→ |g（x）|在[M]上不增加，∞).因此，利用中值定理，我们推导出| g（x+h）-g（x）|=|g（ξ）|h≤supy∈(1-h、 M]| g（y）| h，x∈ (1 - h、 M），|g（x）|h，x∈ [M，∞).式中ξ=ξ（x，h）∈ [x，x+h]。接下来就是Lim suph→0Ahh≤ （M）- 1） supy∈[1，M]g（y）+Z∞g（x）dx<∞,这反过来又意味着ah=O（h），h→ 0.（4.5）代换y=xh，我们得到ah=Z1-h（g（x+h）-g（x））dx=hZ1/h-1.g（h（y+1））- g（hy）dy=h2α+1Lg（h）Z∞Gh（y）dy，其中Gh（y）：=（y+1）αLg（h（y+1））Lg（h）- yαLg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1）（y，y）∈ (0, ∞).通过定义0时的缓慢变化，limh→0Gh（y）=（y+1）α- yα, Y∈ (0, ∞).我们将在下面展示函数Gh，h∈ （0，1），有一个可积占优。因此，根据支配收敛定理，啊~ h2α+1Lg（h）Z∞（y+1）α- yαdy，h→ 0.（4.6）自α<以来，我们有了limh→0Ahh2α+1Lg（h）=0乘以（2.2）和（4.5），我们得到（4.4）和（4.6）Zhg（x）dx+Z∞（g（x+h）-g（x））dx~2α+1+Z∞（y+1）α- yαdyh2α+1Lg（h），h→ 0，与（4.3）一起表示断言。仍然需要证明使用支配收敛定理来推导（4.6）。对任何人来说∈ （0，1），我们有波特界（4.1）和初等不等式（u+v）≤ 2u+2v，Gh（y）≤ 2（y+1）2αLg（h（y+1））Lg（h）+ 2y2αLg（hy）Lg（h）≤ 2Cδ（y+1）2（α+δ）+y2（α）-δ),我们选择的地方∈ （0，α+）以确保2（α-δ) > -1.那么就考虑一下y∈ [1, ∞).

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kedemingshi

2022-5-8 12:54:05

通过加和减项（y+1）αLg（hy）Lg（h）并再次使用不等式（u+v）≤ 2u+2v，wegetGh（y）=（y+1）αLg（h（y+1））Lg（h）- （y+1）αLg（hy）Lg（h）+（y+1）αLg（hy）Lg（h）- yαLg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1）（y）≤ 2（y+1）2αLg（h（y+1））- Lg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1）（y）+ 2.（y+1）α- yαLg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1）（y）.我们记得Lg:=infx∈（0,1]Lg（x）>0乘以（A1），所以Lg（h（y+1））- Lg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1）（y）≤Lg | Lg（h（y+1））- Lg（hy）|1（0,1/h）-1）（y）。利用中值定理和Lgfrom（A1）的导数的界，我们观察到| Lg（h（y+1））- Lg（hy）|=|Lg（ξ）|h（y+1）- hy|≤ hC1 +ξ≤ Ch+y,式中ξ=ξ（y，h）∈ [hy，h（y+1）]。注意到约束y<h- 1相当于h<y+1，我们进一步得到Lg（h（y+1））- Lg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1）（y）≤CLgh+y（0,1/h）-1）（y）≤CLgy+1+y≤CLgy+1，作为y≥ 1，然后我们用它来推导2（y+1）2αLg（h（y+1））- Lg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1）（y）≤18CLg（y+1）2（α-1).此外，我们观察到，通过（4.1）和（4.2），（y+1）α- yαLg（hy）Lg（h）（0,1/h）-1）（y）≤ 2CΔαy2（α-1+δ），我们选择δ∈ (0,-α），确保2（α-1 + δ) < -1.

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