用资产价格预测趋势

2022-5-8 19:44:55

资产价格预测趋势。在本文中，我们考虑一个随机资产价格模型，其中趋势是不可观测的Ornstein-Uhlenbeck过程。我们首先回顾了卡尔曼滤波的一些经典结果。可以预期，参数的选择对于将其付诸实践至关重要。为此，我们得到了封闭形式的可能性，并提供了该函数的两个在线计算。然后，我们研究了统计估计量的渐近行为。最后，我们用连续时间错误指定的卡尔曼滤波器量化了错误校准的影响。数值例子说明了在金融时间序列中进行趋势预测的困难。动机资产价格可以用随机游走很好地描述。Louis Bachelier（见[2]）于1900年提出的经济基础是，在一个高效的市场中，价格变化反映了新的信息，因此近似于随机变化。1959年，奥斯本（见[29]）提出了第一种分析和现实的方法，他将收益建模为普通的随机游走。在这种情况下，未来的回报是不可预测的。然而，人们对这一主题有不同的看法，趋势跟踪策略是大宗商品交易顾问的主要回报来源（见[21]）。此外，大多数定量策略都基于从资产价格中提取趋势的假设（见[24]，[26]）。该组件包含有关全球变化的信息，有助于预测。由于高测量噪声，这种估计是一个非常困难的问题。

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2022-5-8 19:44:58

例如，考虑具有常数trenddStSt=udt+σSdWSt的简单模型：时间t的最佳趋势估计为but=Trtdsss。如果| but |>qασs，学生的t检验将在时间t拒绝假设u=0√T、 qα>1（qα=1.96，相当于5%的显著水平）。例如，当σS=30%时，如果T>qα900年，估计值buT=1%在统计上是相关的。通常，考虑未观察到的随机趋势，并使用过滤方法（见[19]、[30]、[20]或[4]）。大多数过滤器都引入了参数化趋势模型。因此，这些方法面临着参数的选择。基于贝叶斯方法（例如卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器或粒子滤波器）或定量金融、实验室MAS、CentraleSup elecBNP-Paribas全球市场最大似然估计（见[22]、[28]、[3]、[9]或[11]），过去已经对隐过程的推断进行了几项研究。许多研究人员将这些方法应用于金融时间序列，但他们通常关注随机波动过程（见[16]、[13]、[18]或[10]）。这项工作的目的是评估由未观察到的均值回复差异建模的预测趋势的可行性。论文组织如下：第一部分介绍了模型，并回顾了卡尔曼滤波的一些结果。第二部分致力于利用离散时间观测推断参数。由于所有的统计估计都是基于似然的，因此给出了该函数的两个递归计算。

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2022-5-8 19:45:01

基于Valentine-Genon-Catalot的结果（详情参见[15]），通过给出统计估计的渐近行为，并以闭合形式提供Cramer-Rao界，来评估统计估计的性能。在第三节中，我们介绍了连续时间误码卡尔曼滤波器（如[25]中所述，作者考虑了Anaset的情况，其趋势在未知随机时间发生变化），该滤波器考虑了参数的错误校准。首先，参数规格错误对趋势过滤的影响通过过滤器（规格错误与否）和隐藏过程之间的残差法进行量化。然后，我们推导出了在知道一个正估计的情况下，有一个正结果的概率。由于趋势和过滤器之间的非零相关性，该概率始终优于0。5.最后，数值例子说明了这种校准的困难，并表明参数规格错误对趋势过滤的影响不容忽视。1.框架本节首先介绍模型，该模型对应于未观察到的均值回复差异。在离散模型后，我们回顾了卡尔曼滤波方法。1.1. 模型1.1.1. 连续时间模型。以一个生活在惊世骇俗基础上的金融市场为例(Ohm, F、 F，P），其中F={Ft}是对Ohm, andP是客观的概率度量。假设风险资产S的动态由以下公式给出：dStSt=utdt+σSdWSt，（1）dut=-λutdt+σudWut，（2）带有wsw和u两个不相关的维纳过程，且u=0。我们还假设（λu，σu，σS）∈ R*+×R*+×R*+趋势μ和布朗运动是F适应的。备注1.1。让FS=FSt是价格过程产生的强化过滤。只有FS适应的过程是可观察的，这意味着该市场的代理商没有观察到趋势u1.1.2。离散时间模型。设δ为离散时间步长。

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能者818

2022-5-8 19:45:05

为了简化符号，k用于tk=kδ。离散时间模型为：yk+1=Sk+1- SkSkδ=uk+1+uk+1，（3）uk+1=e-λΔuk+vk，（4）其中英国~ N0，σSδ和vk~ N0,σu2λu1.- E-2λuδ. 系统（3）-（4）对应于AR（1）加噪声模型。1.2. 最佳趋势估计器。1.2.1. 离散卡尔曼滤波器。在本小节中，参数θ=（λu，σu）和σ是已知的。离散时间系统（3）-（4）对应于线性高斯空间状态模型，其中观测为y，状态为u（详见[5]）。在这种情况下，卡尔曼滤波器给出了最佳估计量，它对应于条件期望E[uk | y，…，yk]。下面，为了简化符号，bXk/lrepresents E[Xk | y，…，yl]。附录A详细介绍了离散卡尔曼滤波器。该过滤器包含两个不同的阶段：（1）给定^uk+1/和Γk+1/k=E[（uk+1）的先验估计-^uk+1/k）（uk+1）- ^uk+1/k）T. 这个估计是使用过渡方程（4）进行的。（2）后验估计。当新的观察结果可用时，对第一个估计值进行校正，以获得^uk+1/k+1和Γk+1/k+1=E（uk+1）- ^uk+1/k+1）（uk+1- ^uk+1/k+1）T. 这种校正的标准是最小二乘法。因此，μk/kis是趋势μk的最小方差线性无偏估计。为此，它是线性高斯模型的最佳递归状态估计。形式上，迭代方法由以下公式给出：buk+1/k+1=e-λμδbuk/k+Kk+1yk+1- E-λδbuk/k, （5） Γk+1/k+1=（1）- Kk+1）Γk+1/k，（6）其中Kk+1=Γk+1/kΓk+1/k+σSδ，Γk+1/k=e-2λuΔΓk/k+σu2λu1.- E-2λuδ.1.2.2. 平稳极限和连续时间表示。

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大多数88

2022-5-8 19:45:09

寻找Γk+1/k+1=Γk/k（对应于稳态状态），我们发现：∞=g（σS，λu，σu）- f（σS，λu，σu）2e-2λuδ，其中f（σS，λu，σu）=σSδ+σu2λu1.- E-2λuδ,g（σS，λu，σu）=sf（σS，λu，σu）+2σSσ∑λ∑Δ（e-2λuδ- E-4λuδ).使用平稳协方差误差Γ∞, 稳定增益K∞定义并将估计值改写为修正的指数平均值：bun+1=K∞∞Xi=0e-λδi（1）- K∞)艾因+1-i、（7）稳态卡尔曼滤波器也有一个连续的时间限制，这取决于资产回报率：方案1。dbut=-λμβ（λu，σu，σS）butdt+λu（β（λu，σu，σS）- 1） dStSt，（8）其中β（λu，σu，σS）=1+σ-λ-σS. （9）证据。根据[19]，卡尔曼滤波器由以下公式得出：ut | FSt= φ（t）bu+σSZtP（u）φ（u）dSuSu,φ（t）=e-λut-σSRtP（u）du，其中估计误差方差P是以下Riccati方程的解：P（t）=-1σSP（t）- 2λuP（t）+σu。在这个稳态区域，P（t）=0。然后，这个方程的正解是：P∞= σSλu（β（λu，σu，σS）- 1）稳态卡尔曼滤波器如下：but=φ∞（t）bu+σSZtP∞φ∞（u）德苏,φ∞（t） =e-λμβ（λu，σu，σS）t.自：dφ∞（t） φ∞（t） =-λμβ（λu，σu，σS）dt，稳态卡尔曼滤波器满足随机微分方程（8）。这种连续表示法可用于趋势跟踪策略的风险收益分析（详见[7]）。卡尔曼滤波器是高斯不确定性线性系统的最优估计器。实际上，参数θ=（λu，σu）是未知的，必须进行估计。2.趋势参数的推断在本节中，将处理参数推断的问题。基于离散时间观测，可以考虑两类方法。第一种基于回溯测试。每组参数定义一个趋势估计器，并可应用于多个交易策略。

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2022-5-8 19:45:13

可以使用回溯测试来选择参数，但即使使用了几个样本内和样本外周期，也无法确保模型的良好性能。还有另一种更严格的方法：使用统计估计器。例如，最大似然度和贝叶斯估计具有良好的性质（如一致性）。为此，考虑了第二种方法。对于模型（3）-（4），Peter Lakner（见[14]）和Ofer Zeitouni（见[12]）开发了基于算法EM的方法，以获得最大似然估计量，但Fabien Campillo和Franois Le Gland建议在某些情况下应首选直接最大化（详见[8]）。由于贝叶斯估计也基于似然性，我们给出了该函数的两个在线计算。使用Valentine-Genon-Catalot的结果（详情参见[15]），我们通过分析统计估计量的渐近行为和提供封闭形式的Cramer-Rao界来结束本节。2.1. 可能性计算。这种可能性可以用两种方法计算。第一种方法基于直接演算，而第二种方法使用卡尔曼滤波器。2.1.1. 直接计算可能性。第一种方法是直接计算可能性。离散时间模型（3）-（4）的矢量表示为：Y伊恩=u...uN+U联合国,其中（u，··，uN）和（u，··，uN）T，已知θ=（σu，λu），是两个独立的高斯过程。因此，向量（y，·，yN）T，已知θ，也是一个高斯过程。然后，通过平均值My1:N |θ和协方差∑y1:N |θ：My1:N |θ=0（假设为u=0），（10）∑y1:N |θ=∑u1:N |θ+∑u1:N |θ，（11）其中∑u1:N |θ=σSδin和∑u1:N |θ=（Cov（ut，uS））1≤t、 s≤N.由于提取u是一个奥恩斯坦-乌伦贝克过程，那么：Cov（ut，us）=σu2λe-λu（s+t）e2λus∧T- 1..

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2022-5-8 19:45:16

（12）最后，可能性由以下公式给出：f（y，…yN |θ）=（2π）N/2√det∑y1:N |θe-1（y，…，yN）∑-1y1:N |θ（y，…，yN）T. （13）备注2.1。当维数N较大时，直接将协方差矩阵∑y1:N |θ求逆并计算该矩阵的确定度非常困难。可以使用迭代法代替，其细节见附录B.2.1.2。使用卡尔曼滤波器计算可能性。这种可能性也可以通过预测误差分解来评估（详见[31]）：f（y，…yN |θ）=f（yN | y，…yN-1，θ）f（y，…yN-1|θ) .=NYn=1f（yn | y，…yn-1，θ），条件定律由以下命题给出：命题2。过程（yn | y，…yn）-1，θ）是高斯函数：（yn | y，…yn-1, θ) ~ NMyn |n-1，瓦林| n-1.,安德明|n-1=e-λΔ^un-1/n-1，瓦林| n-1=e-2λΔΓn-1/n-1+σu2λ1.- E-2λδ+σSδ。趋势的后验估计-1/n-1和协方差误差-1/n-1由卡尔曼滤波给出（见等式（5）和（6））。证据因为过程yn是高斯的，所以过程（yn | y-1，θ）也是高斯分布。此外，使用方程（3）-（4），我们有：Myn |n-1=^un/n-1+0，μn/n-1=e-λΔ^un-1/n-1+0，安德瓦林| n-1=Γn/n-1+σSδ，Γn/n-1=e-2λΔΓn-1/n-1+σu2λ1.- E-2λδ.备注2.2。在实践中，波动性并不是恒定的。然而，如果对波动率σFS进行调整，则可以对这两种方法进行调整和实施。如果波动率是一个连续的时间过程，则满足该假设。2.2. 统计估计器的性能。在这一小节中，我们研究了经典估计量的渐近行为。2.2.1. 统计估计的渐近行为。离散时间模型（3）-（4）可以使用以下命题重新表述（详见[15]）：命题3。考虑（λu，σu，σS）的模型（3）-（4）∈ R*+×R*+×R*+.

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2022-5-8 19:45:19

在本例中，过程（yi）是ARMA（1，1）。经典估计量的渐近行为如下。事实上，在平稳ARMA高斯过程中，最大似然估计的可识别性和渐近正态性是众所周知的（见[6]，第10.8节）。此外，过程（yi）的ARMA（1，1）性质也保证了贝叶斯估计量的渐近行为。如果先验密度函数在实数参数的开放邻域中是连续且正的，则贝叶斯估计量是渐近正态的（参见[32]，其中给出了平稳“短记忆”过程的广义Bernstein-Von Mises定理，或者[27]讨论了阿尔玛过程的贝叶斯分析）。2.2.2。克拉默·拉奥去了。这个界是无偏估计量的最小方差。下面是Cramer-Rao边界定理的推论，给出了CRB的形式化描述。推论2.3。考虑模型（3）-（4）和N个观测值（y，···，yN）T。假设（λu，σu，σS）∈ R*+×R*+×R*+. 如果θ是θ=（λu，σu）的无偏估计量，我们有：Covθ^θN> CRB（θ）。这个界由CRB（θ）=I给出-1N（θ），其中IN（θ）是fishering信息矩阵：（IN（θ））i，j=-E对数f（y，…yN |θ）θiθj,IN（θ）=NI（θ）。此外，最大似然估计量bθmln满足这个界限：√NbθMLN- θ→ N0，我-1(θ).这个结果是命题3的结果（见[6]第10.8节）。我们还可以提供Fisher信息矩阵的解析表示：定理2.4。对于模型（3）-（4），如果（λu，σu，σS）∈ R*+×R*+×R*+,我们有：I（θ）=4∏Z∏-πf-2θ(ω)fθθi（ω）fθθj（ω）dω1.≤i、 j≤2，其中fθ是过程的光谱密度（yi）：fθ（ω）=σu2λu1.- E-2λuδ+σSδ1+e-2λuδ-2e-λ|ΔσSδcos（ω）1+e-2λuδ- 2e-λuδcos（ω）。证据Whittle公式（详见[33]）给出了Fisher信息矩阵的积分表示。

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nandehutu2022

2022-5-8 19:45:23

由于过程（yi）是ARMA（1，1），其光谱密度的表达式如下（见[6]第4.4节）。最后，可以使用定理2.4.3计算趋势参数的Cramer-Rao界。参数错误规格的影响在本节中，我们考虑在稳态状态下校准不良的连续时间卡尔曼滤波器。首先，我们描述了过滤器（是否指定错误）和隐藏过程之间的残差定律。最后，我们研究了参数错误指定对检测积极趋势的影响。3.1. 上下文假设风险资产S由带θ的模型（1）-（2）给出*=σ*u, λ*u, 假设一个代理认为这些参数等于θ=（σu，λu）。假设稳态区域，并使用这些估计和命题1，代理实现连续时间错误指定的卡尔曼滤波器：dbut=-λuβbutdt+λu（β- 1） dStSt，（14），其中β=β（λu，σu，σS）（见等式（9））和bu=0。下面的引理给出了错误指定卡尔曼滤波器的定律：引理3.1。考虑带有θ的模型（1）-（2）*=σ*u, λ*u. 在这种情况下，方程式（14）的错误规定的连续时间滤波器由以下公式给出：but=λu（β- 1） e-λβt中兴λμβsu*sds+σSZteλ|βsdWSs. （15）此外，bu是一个中心高斯过程，其方差为：Var[but]=Ebut=λu(β - 1)σ*uλ*uλuβ - λ*u\"1 - E-(λuβ+λ*u）tλμβ+λ*u+2e-(λuβ+λ*u）t- E-2λ*ut- E-2λμβtλμβ- λ*u+e-2λβt- 12λuβ#+λu(β - 1） σS2β1.- E-2λβt.证据将其^o引理应用于函数f（bu，t）=eλμβtbut，并从0积分到t，方程（15）如下。因此，bu也是高斯过程。其平均值为零（因为*= 0).

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2022-5-8 19:45:26

因为这个过程*假设Ws是独立的，则bu的方差由等式（15）中各项的方差之和给出。此外：Var中兴λβdWSs=e2λβt- 12λβ，Var中兴λμβsu*十二烷基硫酸钠=中兴通讯λμβ（s+s）Covu*s、 u*sDSD和Covu*s、 u*s由等式（12）给出。过程的变化如下。3.2. 过滤参数规格错误。参数规格错误对趋势过滤的影响可以通过过滤器和隐藏过程之间的差异来衡量。下面的定理给出了残差定律。定理3.2。考虑带有θ的模型（1）-（2）*=σ*u, λ*u以及公式（15）中定义的趋势估计。在这种情况下，过程bu-u*是一个中心高斯过程，其方差有一个平稳极限：limt→∞Var[but- u*t] =σS2βλu(β - 1)+ λ*u(β*)- 1.λ*uβ + λuλuβ + λ*u,（16）其中β=β（λu，σu，σS）和β*= βλ*u, σ*u，σS（见等式（9））。此外，如果（σu，λu）=σ*u, λ*u, 等式（16）变成：limt→∞Var[bu*T- u*t] =λ*σS（β）*- 1) . （17）证据。使用方程式（15），可以得出过程bu- u*是一个中心高斯过程。这种差异的方差可以用封闭形式计算：Var[but- u*t] =Var[but]+Var[ut]*[t]- 2.*Cov[but，u*t] ，其中Var[u*t] =（σ）*u)2λ*u1.- E-2λ*ut, Var[but]由引理3给出。1.由于工艺和工艺*应该是独立的，我们有：Cov[but，u*t] =λu（β）- 1)σ*u2λ*u1 - E-(λuβ+λ*u）tλμβ+λ*u-E-2λ*ut- E-(λuβ+λ*u）tλβ- λ*u！。渐近方差是通过使t趋于一致性：limt获得的→∞Var[but- u*t] =λu（β）- 1)2β\"(β - 1） σS-σ*u(β + 1)λ*uλuβ + λ*u#+σ*u2λ*u，方程式（16）如下。最后，通过将θ趋向于θ得到方程（17）*. 备注3.3。考虑具体情况（σu，λu）=σ*u, λ*u. 利用等式（17），可以得出以下结论：limt→∞Var[bu*T- u*t] Var[u*t] =1+s1+（σ）*u)(λ*u）σS。

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2022-5-8 19:45:30

（18）然后，特定残差的渐近相对方差是λ的递增函数*μ和σ的递减函数*u.3.3. 检测到积极的趋势。在实践中，趋势估计（是否有误）可用于投资决策。例如，积极的估计会导致多头仓位。所以，知道正趋势的概率，知道正估计，是很有趣的。我们以封闭形式导出这个概率。下面的命题给出了趋势（μ）的渐近条件定律*t|^ut=x）：命题4。考虑带有θ的模型（1）-（2）*=σ*u, λ*u以及公式（15）中定义的趋势估计。在这种情况下：（u）*t|^ut=x）L→T→∞NM∞u*|^u，Var∞u*|^u, （19）与：M∞u*|^u=λ*uβ(β*)- 1.(β - 1)λuβ + λ*u(β*)x、（20）Var∞u*|^u=Var∞u*1.-λ*uλuβ(β*)- 1.λ*u+ λuβλuβ + λ*u(β*)!, （21）凡∞u*=(σ*u)2λ*u.此外，如果（σu，λu）=σ*u, λ*u, 等式（19）变成：（u）*t|^u*t=x）L→T→∞Nx、 2Var∞u*β*+ 1., （22）在哪里*= βλ*u, σ*u，σS（见等式（9））。证据自估算以来^u和趋势^*是两个中心相关的高斯过程（见引理3.1和定理3.2的证明），条件定律（u*t|^ut=x）是高斯分布，其均值和方差为：Mu*t|^ut=Cov（^ut，u*t） Var[^ut]x，Varu*t|^ut=Var[u*[t]-冠状病毒（微特，微特）*t） Var[^ut]。使用引理3.1和Cov的表达（^ut，u*t）在第3.2条的证明中：limt→∞Mu*t|^ut=M∞u*|^u，limt→∞Varu*t|^ut=Var∞u*|式（19）如下。此外，公式（22）是通过将θ趋向于θ得到的*. 以下命题是前一命题的结果。它给出了正趋势的渐近概率，知道正估计等于x。命题5。考虑带有θ的模型（1）-（2）*=σ*u, λ*u以及公式（15）中定义的趋势估计。

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能者818

2022-5-8 19:45:34

在本例中：limt→∞P（u）*t> 0|^ut=x）=P∞(u*> 0|^u=x，（23）式中∞(u*> 0|^u=x）=1- Φ-M∞u*|^u=xqVar∞u*|^u=x, （24）其中M∞u*|^u=x和Var∞u*|^u=方程（20）和（21）中定义的x，Φ是标准正态分布律的累积分布函数。此外，如果x>0且（σu，λu）=σ*u, λ*u, 这种渐近概率成为σ的递增函数*μ和λ的递减函数*u.证据等式（23）和（24）来自命题4。现在，考虑一下具体情况（σu，λu）=σ*u, λ*ux>0。使用等式（22），可以得出以下结论：Var∞u*|^u*=x=fσ*u, λ*u，σS,何处σ*u, λ*u，σS=σ*uλ*u1+s1+（σ*u）σS（λ）*u)!.自从Fλ*uσ*u, λ*u，σS=-σ*uλ*u1+s1+（σ*u）σS（λ）*u)+(σ*u）σS！≤ 0,Fσ*uσ*u, λ*u，σS=λ*uσ*σSs1+（σ*u）σS（λ）*u)σ*u+ σSλ*u≥ 0表示具有正趋势的渐近明确概率，知道等于x的正估计是σ的递增函数*μ与λ的增函数*u. 备注3.4。这个概率是x的一个递增函数。事实上，高估计比低估计更容易检测到真实趋势的迹象。而且，这个概率总是优于0。5.这是由于趋势和过滤器之间的非零相关性。如前几节所示，趋势过滤更容易，现货波动较小。这里，良好检测的概率也是σS.4的递减函数。模拟在本节中，计算数值示例是为了让读者了解趋势过滤问题。首先，在不同的趋势模式下，说明了使用统计估计器进行趋势预测的可行性。然后，还讨论了不良预测对趋势过滤和积极趋势检测的影响。4.1. 趋势预测的可行性。

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大多数88

2022-5-8 19:45:38

假设只有离散时间观测可用，且离散时间步长等于δ=1/252。在这种情况下，代理使用风险集的每日收益来校准趋势。我们还假设代理使用无偏估计。考虑到T年的观测，Cramer-RaoBound由以下公式得出：CRBT（θ）=I-1（θ）T* 252，其中I（θ）由定理2.4给出。该矩阵得到了最小置信域。在实践中，参数θ的实际值未知，并计算渐近置信域（用Fisher信息矩阵I中的估计值^θ代替θ）^θ).由于本小节的目的是评估这个问题的可行性，我们假设我们知道参数的实际值。然后可以计算出真正的Cramer-Rao界。假设参数θi的目标标准偏差xi是固定的。在这种情况下，为了达到精度xi，观测值的长度必须优于：Txi=我-1(θ)ii252* xi我们考虑固定现货波动率σS=30%，每个参数θi的两个目标精度，并计算几个配置的txi。图1、2、3和4代表了结果。众所周知，对于高测量噪声，这意味着高现货波动性，由于低信噪比，问题更难解决。波动率越高，观测时间就必须越长。在这里，我们观察到，漂移波动率σu越高，λu越低，问题就越容易解决。事实上，漂移值更高，更容易检测。此外，仿真结果表明，经典估计器不能适应如此微弱的信噪比。即使经过长时间的观察，估计量也表现出很高的方差。事实上，最短的观测周期优于29年。

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2022-5-8 19:45:42

它对应于实际参数λu=1的目标标准偏差等于0.5，趋势标准偏差等于σu（2λu）-1/2≈ 63%. 因此，对于这种配置，经过30年的观察，标准偏差等于实际参数值λu的50%。742年后，这个标准偏差等于10%。即使在这种情况下，趋势预测也不可能达到很高的精度。达到标准的时间（σ^u）=0.05σμλ1 1.5 2.5 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.97891011121314图1。达到目标标准偏差的时间σu等于0.05（ln（年））达到标准偏差的时间σu=0.01σuλ11.52.53.54.50.1 0.20.30.40.40.50.5 0.6 0.70.8 0.910111213114151617图2。达到目标标准偏差的时间σu等于0.01（ln（年））达到标准偏差的时间（λ^）=0.5σuλ1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.94681012141618图3。达到目标标准偏差的时间λu等于0.5（ln（年））达到标准偏差的时间（λ^）=0.1∑λ1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.968101214161820图4。达到目标标准偏差λu等于0.1（ln（年））4.2的时间。参数规格错误对趋势过滤的影响。本小节说明了参数规格错误对趋势过滤的影响。利用定理3.2的结果，我们表示，对于不同的配置，以及对于良好和错误指定的情况，趋势和过滤器之间残差的共有标准偏差。图5和图6代表了不同配置在特定情况下（代理使用参数的实际值）趋势和残差的渐近标准偏差。

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2022-5-8 19:45:45

如等式（17）所示，特定残差的渐近标准偏差是漂移波动率σ的递增函数*u和参数λ的递减函数*u. 对于λ*u=1和σ*u=90%，残差的标准偏差（\'44%）低于趋势的标准偏差（\'64%）。对于高λ*u和微小漂移波动，这两个量大致相等。该图得出的结论与等式（18）相同。事实上，与校准问题一样，趋势过滤问题在λ最小的情况下更容易解决*u和高漂移波动率σ*u.现在考虑最坏的配置σS=30%，λ*u=5和σ*u=10%. 图7表示不同估计（λu，σu）的残差的渐近标准偏差。该状态对应于等于σ的趋势标准偏差*u2λ*u-1/2≈ 3.2%，在特定情况下，残差的标准偏差等于3.16%。如果代理使用λu=1和σu=90%的卡尔曼滤波器，残差的标准偏差将优于25%。最后，考虑最佳配置σS=30%，λ*u=1和σ*u= 90%. 图8表示不同估计（λu，σu）残差的渐近标准偏差。该制度对应于等于σ的趋势标准偏差*u2λ*u-1/2≈ 63%，在特定情况下，残差的标准偏差等于44%。如果代理使用λu=5和σu=10%的卡尔曼滤波器，残差的标准偏差将超过60%。即使有一个良好的制度，参数误判对趋势过滤的影响也不容忽视。σ*λ1 1.5 2.5 3.5 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.00.10.20.30.40.50.6图5。

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2022-5-8 19:45:49

趋势的渐近标准偏差作为趋势参数的函数，σS=30%。σ*λ1 1.5 2.5 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.050.100.150.200.250.300.350.400.45图6。特定卡尔曼滤波器残差的渐近标准偏差，作为趋势参数的函数，σS=30%。σ*λ1 1.5 2.5 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.050.100.150.200.25图7。误指定卡尔曼滤波器残差的渐近标准偏差，作为趋势估计参数的函数，σS=30%，λ*u=5和σ*u= 10%.σμλ1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.450.500.550.60图8。误指定卡尔曼滤波器残差的渐近标准偏差，作为趋势估计参数的函数，σS=30%，λ*u=1和σ*u= 90%.4.3. 检测到积极的趋势。在本小节中，使用等式（24）说明了具有正趋势的渐近概率，已知等于阈值x的趋势估计。为了比较不同趋势状态的概率，我们选择了一个等于过滤器标准偏差的阈值。首先，这个数量在实践中是可分的。此外，由于连续时间错误指定的滤波器^u是一个中心高斯过程，因此^u达到或低于其标准偏差的概率与参数无关σ*u, λ*u，σu，λu，σS. 首先，假设代理使用参数的实际值，并考虑渐近概率（u）*> 0|^u*=pV^u*有一个积极的趋势，知道一个估计等于它的标准偏差。图9代表了不同制度的这种可能性。如命题5所示，在特定情况下，这种概率是趋势波动率σ的递增函数*μ和λ的递减函数*u.

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2022-5-8 19:45:52

与校准和滤波问题一样，较小的λ更容易检测*u和高波动性。现在，假设代理使用了错误的估计值（σu，λu）。在这种情况下，代理实施连续时间错误指定卡尔曼滤波器。图10和图11表示渐近概率Pu*> 0|^u=pV^u对于图9中最好和最差的配置。如备注3.4中所述，即使参数校准不好，该概率也始终小于或等于0.5。在每种情况下，如果知道一个估计值等于其标准偏差，则出现正趋势的概率不会随着参数的误差而有很大变化。这一数量似乎对参数规格具有鲁棒性。σ*λ1 1.5 2.5 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.500.550.600.650.700.750.800.85图9。给定一个明确的估计值，其正四分之一的渐近概率等于其标准偏差，σS=30%。σ*λ1 1.5 2.5 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.800.810.820.830.840.85图10。给定一个误报估计值等于其标准偏差且σS=30%，λ为正的渐近概率*u=1和σ*u= 90%.σ*λ1 1.5 2.5 3.5 4 4.5 50.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.51000.51050.51100.51150.51200.51250.51300.5135图11。给定一个误报估计值等于其标准偏差且σS=30%，λ为正的渐近概率*u=5和σ*u= 10%.5. 结论本研究试图用一个基于未观察到的均值回复差异的模型来说明趋势过滤的困难。

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2022-5-8 19:45:55

该模型属于线性高斯空间状态模型。这种系统的优点是有一种在线估计方法：卡尔曼滤波器。在实践中，模型参数未知，因此过滤参数的校准至关重要。线性和高斯情形允许以闭合形式计算可能性。卡尔曼滤波器也可用于此演算。这些方法可以推广到非常数波动率，经典估计量可以很容易地应用。虽然这种框架特别便于预测，但分析结果表明，经典估计量并不适应如此微弱的信噪比。此外，线性和高斯模型也存在不足。在实践中，由于跳跃、波动和波动，金融资产回报率是重尾的（见[23]）。因此，在很长的观测范围内，这种稳定性是无法保证的。然后，与线性和高斯框架相比，用真实数据进行趋势过滤的问题更加困难。在这个简单的模型中，可接受精度所需的观测范围太长。因此，不能保证收敛性，错误规定对趋势过滤的影响也不容忽视。我们肯定得出结论，不可能精确地估计趋势。尽管存在这些困难，但趋势和估计值之间的非零相关性（无论是否有误报）可用于检测正（或负）趋势。附录A：离散卡尔曼滤波器框架。本节以[17]为基础。离散卡尔曼滤波器是一种递归方法。考虑两个对象：观测值{yk}和系统状态{xk}。该滤波器基于高斯-马尔可夫一阶模型。

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大多数88

2022-5-8 19:45:58

考虑以下系统：xk+1=Fkxk+vk，yk=Hkxk+uk。第一个方程是一个先验模型，即系统的过渡方程。矩阵FK是转移矩阵，vkis是转移噪声。第二个方程是测量方程。矩阵XHKIS命名为测量矩阵，UK表示测量噪声。其目的是确定潜在的过程{xk}。这两种噪声分别为白噪声、高斯噪声、中心噪声和去相关噪声。特别是：E“ukvkulvlT#=Ruk0 Rvkδkl。这两种噪声也被认为与x无关，并且初始状态是高斯的。所以，可以用一个递归证明，所有状态都是高斯的。因此，只需要平均值和协方差矩阵来描述状态。估计分两步进行。第一个是给定^xk+1/k和Γk+1/k=E的先验估计（xk+1）- ^xk+1/k）（xk+1）- ^xk+1/k）T. 当新观测值可用时，对估计值进行校正，以获得^xk+1/k+1和Γk+1/k+1=E（xk+1）- ^xk+1/k+1）（xk+1- ^xk+1/k+1）T.这是一个后验估计。后验估计所考虑的标准是最小二乘法，它对应于Γk+1/k+1轨迹的最小化。滤器

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2022-5-8 19:46:02

预测（先验估计）由^xk+1/k=Fk^xk/k，Γk+1/k=FkΓk/kFTk+Rvk给出。后验估计是对先验估计的修正。引入增益进行校正：^xk+1/k+1=^xk+1/k+Kk+1yk+1- Hk+1^xk+1/k.如上所述，增益Kk+1是通过最小二乘法得到的，它对应于查出Γk+1/k+1Kk+1=0。利用矩阵的经典求导引理，得到了增益：Kk+1=Γk+1/kHTk+1Hk+1Γk+1/kHTk+1+Ruk+1-1，Γk+1/k+1=（Id）- Kk+1Hk+1）Γk+1/k.附录B：协方差矩阵的逆矩阵和行列式的迭代方法在本附录中，我们提供了协方差矩阵的逆矩阵和行列式的迭代方法。协方差矩阵的逆矩阵。在方程（10）上使用矩阵逆引理得到：∑-1y1:N |θ=∑-1u1:N |θ- Σ-1u1:N |θA-1N∑-1u1:N |θ，式中AN=ΔσSIN+∑-1u1:N |θ。然后，我们必须计算矩阵ANand∑u1:N |θ的逆。矩阵的逆。假设-1Nis计算。矩阵AN+1可以分解为四个子矩阵：AN+1=BBBB,式中b=ΔσS+2λueλδ+e-λuδσu（eλδ）- E-λδ），B=-2λμ∑u（eλμδ）-E-λuδ)0 ··· 0,B=BT，B=AN。因此，矩阵AN+1可以按块反转。矩阵的逆∑u1:N |θ。使用了以下引理（详见[1]）：引理5.1。设u为参数θ=（λu，σu）的Ornstein-Uhlenbeck过程。u的协方差矩阵。。，uNis∑u1:N |θ。那么：∑-1u1:N |θ=2λμ∑u（eλμδ-E-λδ）BN，BN=eλδ+e-λuδ-1 0 ··· ··· 0-1eλδ+e-λuδ-1.0-1eλδ+e-λuδ-1.-1eλδ+e-λuδ-1 0......-1eλδ+e-λuδ-10 ··· ··· 0 -1eλδ.因此，矩阵∑u1:N+1的逆式为：∑-1u1:N+1 |θ=2λu（eλuδ+e-λλδ）σu（eλδ）-E-λuδ)-2λμ∑u（eλμδ）-E-λuδ)0 ··· 0-2λμ∑u（eλμδ）-E-λuδ)...Σ-1u1:N |θ.程序

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2022-5-8 19:46:06

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nandehutu2022

2022-5-8 19:46:09

技术报告，Lyxor，2011年。[8] 坎皮洛和勒格兰。部分观测差异的最大似然估计：方向最大化与em算法。随机过程及其应用，1989。[9] R.卡萨林和J.M.马林。在线数据处理：贝叶斯正则化粒子滤波器的比较。技术报告，INRIA，2007年。[10] S.Chib、F.Nardari和N.Shephard。随机波动模型的马尔可夫链蒙特卡罗方法。《计量经济学杂志》，2002年6月。[11] K.达希亚。特别是新过滤方法。重新标记导航在测量高度方面的应用。Fourier大学博士论文，2005年1月。[12] A.Dembo和O.Zeitouni。部分观测连续时间随机过程的EM算法参数估计。《应用可能性年鉴》，2007年。[13] B艾瑞克。差异模型的Mcmc分析及其在金融中的应用。《商业与经济统计杂志》，1998年。[14] H.弗莱德曼和P.莱克纳。HiddenMarkov过程的最大似然估计。《应用概率年鉴》，2007年。[15] V.Genon Catalot。噪声观测随机微分方程的参数估计。最大可能性和过滤技术。利帕里生物数学暑期学校，2009年。[16] E·杰奎尔、N·G·波尔森和P·E·罗西。随机波动率模型的贝叶斯分析，1994年。[17] R.E.卡尔曼。线性滤波和预测问题的新方法。基础工程杂志，1960年。[18] S.Kim、N.Shephard和S.Chib。随机波动率：似然推断和与arch模型的比较。《经济研究评论》，第361-393页，1998年。[19] P.莱克纳。投资者的最优交易策略：部分信息的情况。随机过程及其应用，1998。[20] J.M.拉斯克里和P.L.狮子。

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