套利定价模型中的期望效用最大化

2022-5-9 03:19:19

在RBITRAGE定价模型中最大化预期效用Mikl\'os R\'asonyi*2018年3月27日摘要我们考虑一个由数学经济学驱动的有限维优化问题。在著名的“套利定价模型”中，我们使用概率和函数分析技术来证明，对于最大化其预期效用的投资者，存在最优策略。2010年理学硕士学科分类：初级：91B16、91G10；第二：46N10,93E20关键词：效用最大化、大型金融市场、套利、优化策略、风险中性措施、有限维凸优化1简介本论文讨论的是一个来自微观经济学的有限维优化问题。在概述了经济理论背景之后，我们回顾了数学金融领域随后的发展，并解释了一些相关的挑战，以便将我们的贡献放在背景中。然后我们提供论文的另一个概览。经济理论的一个普遍原则是，金融市场中给定资产的预期回报率应该是其与市场投资组合的一致性的（近似）线性函数，参见例[12]。S.A.Ross在其开创性的论文[38]中，基于资产数量有限的市场模型中的套利考虑，为这一原则提供了一个新的证明。[38]中的Ar比特率定价模型（简称APM）已在[13]中建立在固定的数学基础上，并已成为数学经济学课程的教材。受APM的启发，[14]中提出了一个针对“多”资产市场的abstra ct框架。[19,20,15,18,21,8,29,30,2,22,23,1,35,5,10]对此类“大型金融市场”的理论进行了深入研究。最近，人们对此类模型的兴趣也有所回升，见[25,6]。

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nandehutu2022

2022-5-9 03:19:22

在优化的背景下，[9]和[26]是我们之前唯一了解的研究。简单来说，大型金融市场被理解为包括∈ N、具有N项资产和这些有限“细分市场”的市场模型，或*匈牙利科学院阿尔弗雷恩伊数学研究所，布达佩斯。“小市场”相互嵌套。人们可能会自然而然地在细分市场上定义港口组合策略。然而，与由此获得的投资组合值相对应的随机变量集在任何合理拓扑中都无法闭合。在研究优化问题时，这是一个障碍，因为优化问题的最低要求是目标函数的域应该是封闭的。为了使这种可能性有意义，需要引入投资组合价值的某种闭包，以获得一个优化的闭合域。可以预期，该领域的每一个元素都有一个自然的解释，即涉及（可能）有限数量资产的投资组合，详情见下文备注4.8，以及对之前工作的评论。在本文中，我们考虑偏好为vonNeumann Morgens tern类型的代理（见[40]或[11]第2章）。我们假设代理人有一个递增的凹效用函数，他们的目标是从投资回报中最大化预期效用。对于这个优化问题，我们将证明最优投资组合的存在性，见下面的定理4.7。Weexhibit是一个自然的策略类，它是封闭的（见引理3.10），可以在其中找到优化器。我们考虑的优化问题与通常研究的问题不同：它是有限维的，不仅因为概率空间是有限的（大多数金融模型都是如此），而且时装集的数量（以及投资组合的维度）也是有限的。

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2022-5-9 03:19:25

我们的论点依赖于概率和函数分析技术，并利用了[29,30]之前的结果（也基于函数分析论点）。在orem 4.7的版本中，我们引入了一个新的递归过程，利用投资组合值和等效风险中性度量之间的相关性。虽然资产数量是有限的，但在APM中只有一个时间步。我们希望将我们的结果扩展到更一般的大型金融市场的设置，并进行持续交易。这确实很有挑战性，因为找到合适的可接受策略类别似乎很困难，请参见备注4。8.我们在第2节中描述了APM。在第3节中，我们回顾了各种套利概念，以及模型参数如何反映这些概念。第4节给出了我们的主要结果，定理4.7，关于最优策略的存在性。在第4.11节中，我们还利用效用考虑建立了AP M的某些等效风险中性度量（州价格密度）的存在性。最后，第5节研究了如何找到几乎最优的策略，这些策略只投资于大量资产。2模型我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P）。关于测度为Q的随机变量x的期望(Ohm, F）由EQX表示。如果Q=Pwe，则删除下标。Lp（Q）是关于Q的p-可积r和om变量的集合，对于p≥ 1.如果Q=P，我们只写Lp而不是Lp（Q）并使用L∞表示（本质上）有界随机变量族（关于P）。当X∈ Lwe将其方差定义为VaR（X）：=E（X- 前）。象征~ 表示度量的等价性，符号N（a，b）指的是均值a和方差b的高斯定律。根据[38]，我们的金融市场模型由资产/投资的可数单位组成。

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2022-5-9 03:19:28

资产收益率i是随机变量Ri，其中r:=r；Ri:=ui+’βiεi，1≤ 我≤ MRi:=ui+mXj=1βjiεj+？βiεi，i>m。资产0是具有恒定收益率r的无风险资产∈ R.随机变量εi，i=1，m是影响所有资产回报率的因素≥ 1而εi，i>m是特定于单个资产Ri，i>m的随机源，它们负责所谓的“特殊风险”。为了简单起见，我们从现在开始设置r=0。我们假设εi是平方可积的独立随机变量，满足εi=0，Eεi=1，i≥ 1，因此常数u等于预期收益ERi；βj和βi是实常数，我们假设βi6=0，i≥ 1.备注2.1。在[38,13]中，εi仅被假定为不相关。我们的目的需要更强的独立性假设。此外，如[15]中所述，我们认为“经济指数”Ri，i=1，m是我们模型中的交易资产。我们有可能理解后一种假设：假设n个可逆矩阵[aij]i，j=1，。。。，m、也就是说，第一质量集可以是经济因素εi，i=1。m、这种模型产生的投资组合价值与我们所使用的模型相同。εi，1的独立性≤ 我≤ m也可能因更复杂的论点而被削弱，但我们看不到任何方法可以放松对特殊风险成分εi，i>m的独立假设。我们在这里没有追求更大的普遍性。对于任何k≥ 1我们将kth市场称为包含资产R，仅此而已。定义2.2。第k个细分市场中的投资组合ψ是一个任意序列ψi，0≤ 我≤ 满足kxi=0ψi=0的实数的k。（1）备注2.3。

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2022-5-9 03:19:31

这种定义可以如下所示：对于每个≥ 1我们可以想象一种资产的存在，它在时间0（今天）时价值1美元，在固定的未来日期（明天）时价值1+美元。那么定义2.2就是当集合i=0，初始资本为0的k，参见[11]的第1章。我们可以很容易地合并一个非零的初始值。对于kth细分市场中的投资组合ψ，其回报率定义为asV（ψ）：=kXi=0ψiRi。由于R=0，ψ的分布与soV（ψ）=kXi=1ψiRi无关。（2）这意味着第k段中的投资组合具有任意序列ψ，ψkof确定ψ（分别为V（ψ））到（1）（分别为（2））的实数。可以方便地引入新参数sbi:=-ui′βi，1≤ 我≤ M比：=-ui′βi+mXj=1ujβji′βj′βi，i>m。资产回报采用以下形式：Ri=’βi（εi- bi），1≤ 我≤ MRi=mXj=1βji（εj- bj）+βi（εi- bi），i>m。显然，对于kth市场细分市场中的任何策略ψ，v（ψ）=kXi=1φi（εi）- 对于一些实数φi，i=1，φi，i=1，…，之间有一对一的对应关系，k和ψi，i=1，k（由于βi6=0）。设E表示序列集φ={φi，i≥ 1}的实数，对于某些k≥ 1，φi=0，i≥ k、每个φ∈ E我们设定v（φ）：=∞Xi=1φi（εi）- bi），其中总和为，单位为：。如上所述，这是对符号的一种无害滥用，因为对于某些k=k:={V（φ）：φ，一组随机变量在第k个市场段中表示投资组合的值∈ E} 。从现在起，我们称之为E基本策略的要素。由于K在任何有用的拓扑结构中都不可能是封闭的，我们应该将这类策略扩展到某些可能包含许多资产的投资组合中。

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2022-5-9 03:19:34

数学上自然的选择是将可接受策略集定义为：l哪里l:= {（φi）i≥1:∞Xi=1φi<∞},也就是说，平方可和序列族携带了一个具有normkφk的Hilbert空间结构l:=武特∞Xi=1φi，φ∈ l.假设∞i=1bi<∞ （我们将在第3节中看到，这种参数限制在无套利市场中必然成立）。εi在Lhence中是正交的，很明显，对于任何φ∈ A、序列号∞i=1φi（εi）- bi）收敛于Lso，我们可以定义为（φ）：=∞Xi=1φi（εi）- bi）作为可容许投资组合φ的值∈ A.（该级数也几乎可以通过科尔莫戈罗夫定理收敛，参见[17]的第4章。）备注2.4。对A的经济解释并不简单。让φ∈ 答案是肯定的。采取立场，第1，k（以及剩余资产中的零头寸）迫使我们采取立场-Pki=1φiin资产0（在无风险资产中）。现在，倾向于∞ 有了k，很可能会发生。-Pki=1φi指向-∞ （我们只能保证PKI=1φ是无效的）。这意味着我们允许产生“有限债务”的某些投资组合。然而，必须强调的是，积累这些债务仍然有一定的限制：即P∞i=1φi<∞ 必须坚持。下面的引理3.10表明，尽管有经济方面的考虑，但正如直觉所暗示的，对于可容许策略的类别，正确的选择是A。备注2.5。在数学的连续时间模型中，允许的策略集通常是受限的，只有那些允许的策略具有从下方限定的avalue函数（在我们的上下文中，这意味着V（φ）≥ -爸爸。s、对一些人来说（d）。

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2022-5-9 03:19:38

这是必要的，因为在这些模型中使用全套策略将产生仲裁。在本文中，这种限制是不必要的（在适当的条件下，没有套利持有，见下面的定理3.7），它将导致一个平凡的优化域（在假设3.5下，只有φ=0满足（φ）≥ -d.a.s.，显而易见）。此外，即使是在连续时间市场的情况下，效用最大化问题的优化器也没有一个从下到下的有界函数，需要（小心地）扩大可接受策略的类别，以便包含优化器，参见例[39]。3套利的概念套利的概念是数学函数中的基本概念。无风险通常伴随着风险中性度量的存在（在我们的设置中，集合M的元素，见下文）。风险中性测度不仅为衍生产品提供了公平的定价规则，而且也是解决最优投资问题的重要技术工具。有关套利、风险中性措施和最优投资的更多信息，请参见[11]。在大型金融市场中，随着时间的推移，各种渐近套利的概念已经被引入。在此，我们首先回顾[38]中的原始定义。定义3.1。我们认为，如果在第k个细分市场中存在一系列端口对价ψ（k），相应的投资组合返回V（ψ（k））满足V（ψ（k））的条件，则存在渐近套利→ ∞, var（V（ψ（k）））→ 0，（3）作为k→ ∞. 如果不存在这样的序列，我们就说不存在渐近性悲剧。定义3.2。

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2022-5-9 03:19:41

如果存在一系列的交易策略φ（k），我们说存在一个渐进的免费午餐∈ E su ch thatV（φ（k））→ 十、 k→ ∞在概率中，X是a[0，∞]-P（X>0）>0的有值随机变量。如果不存在这样的序列，那么我们就说不存在渐进免费午餐。ar比特率的缺失允许不同的公式，每一种公式通常相当于存在一些对应于定价函数的对偶变量，参见[11]关于大量资产的经典案例，以及[14,19,20,15,18,21,29,30]关于大型金融市场的经典案例。下一个定义介绍了本文的双重变量。定义3.3。我们称之为概率Q~ P给定市场的等效风险非均衡度量，如果≥ 1，EQRi=0，（4）也就是说，如果所有资产在Q下的预期收益等于无风险回报。等价风险中性度量的集合用M表示。很明显，Q∈ M i eff EQεi=所有i≥ 1.对于合适的Q和bi，我们需要（4）扩展到所有可接受的投资组合。引理3.4。让Q∈ M带dQ/dP∈ 土地假设∞i=1bi<∞. 那么，无论如何∈ A、方程（φ）=0。证据这足以表明，这一系列∞i=1φi（εi）- bi）收敛于L（Q）。对于任何n，m，柯西不等式mXi=nφi（εi）- bi）≤pE（dQ/dP）VuTemxi=nφi（εi）- bi）！安德普∞i=1φi（εi）- bi）在L中收敛，这证明了L（Q）-收敛。我们的主要结果需要对我们现在提出的εi进行更严格的假设。假设3.5。每x≥ 0，波辛菲≥1P（εi>x）>0和infi≥1P（εi<-x） >0（5）秒保持。此外，苏皮∈NE[εi{|εi|≥N} ]→ 0，N→ ∞. （6）备注3.6。注意，（6）是εi族的一致可积性∈ N个随机变量。这是一个关于εi矩的温和假设。假设（5）似乎更严格。然而，我们注意到，假设存在极端风险（即。

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2022-5-9 03:19:44

εi在正轴和负轴上都有无限支撑）是大多数市场模型的标准特征。例如，考虑Black-Schole s市场（见[3]），在0<T<Tare时，股票的价格ST，STof agiven，使得ST=STX（T，T）和ST，X（T，T）独立对数正态随机变量。在这种情况下，股票收益率- 它有一个在两个方向上都有无限支持的定律。粗略地说，（5）中的条件规定（可能的极端）价格变化的风险对每项资产“一致存在”。例如，如果P:={Law（εi）：i≥ 1} 是一个有限集，它的每个元素都是一个支撑，在R的两个方向上都是无界的，然后假设3。5次。提供合适的有限族也是非常容易的P：让每一个∈ P满意度h（z）≤ u（{x≤ -z} )≤ Cz-θh（z）≤ u（{x≥ z} )≤ Cz-θ表示所有z≥ 常数C>0，θ>2，函数h:[1，∞) →(0, ∞) （例如h（z）=cz-η和一些η≥ θ和另一个常数c>0或h（z）=ce-czc，c>0）。以下定理阐明了marke t参数与各种无套利概念之间的关系。定理3.7。考虑以下条件。1.没有免费的午餐。2.对于每个P′~ P存在Q∈ 带dQ/dP′的M∈ L∞.3.存在Q∈ M带dQ/dP∈ L.4。∞Xi=1bi<∞5.不存在渐进套利。然后1。<=> 2.=> 3.=> 4.<=> 5.等待。在消耗3.5的情况下，所有条件1-5.两者相当。证据等价物1。<=> 2.遵循[29]的定理1（通过凸集的有限维分离参数，这在更大的一般性中是正确的）。4.<=> 5., 3. => 4.分别是[30]中的定理1和命题3（由泛函分析参数再次推导）。从2号开始。=> 3.重要的是，必须建立4。=> 1.假设3.5。设φ（n）∈ E使得V（φ（n））→ 对于某个随机变量X，X a.s∈[0, ∞].

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2022-5-9 03:19:47

设knbe使得φl（n）=0表示l≥ 千牛。我们可能会也将要讨论所有n.首先让我们考虑一下supn | |φ（n）的情况||l= ∞.通过提取一个子序列（我们继续用n表示），我们可以并将假定| |φ（n）||l→ ∞, N→ ∞. 定义φi（n）：=φi（n）/| |φ（n）||l对于所有的n，i.显然，~φ（n）∈ E和Lim infn→∞V（△φ（n））=lim infn→∞V（φ（n））kφ（n）kl≥ 0 a.s.（7）设M:=pP∞i=1bi。我们显然有| P∞i=1|φi（n）bi |≤ M代表所有n，自φ（n）k起l= 1.因此，沿着子序列（仍由n表示），一个∞Xi=1φi（n）bi→ d、 n→ ∞有一段时间∈ R.我们现在区分两个子类别。子情形1：当χn:=max{| |φi（n）|，i=1，…，kn}→ 0，n→ ∞. 固定η，δ>0。假设3.5意味着，对于一些N=N（δ），我们有E[εi{|εi|≥N} 【参考译文】尽管我≥ 1.选择n，使η/χn≥ N.注意var（Pkni=1φi（N）εi）=1和knxi=1E[~φi（N）εi{|φi（N）εi|≥η}] ≤knXi=1E[)φi（n）εi{χn|εi|≥η}] ≤ δknXi=1φi（n）=δ。由于这适用于任意η，δ，我们得出结论，林德伯格条件适用于和V（)φ（n）），n≥ 1，所以中心极限定理（参见[4]第9章）适用。它遵循这个定律（V（～φ（n）））→ N(-d、 1）弱为n→ ∞.特别是，P（V（～φ（n））<0）→ 对于某些f>0的情况，与（7）直接矛盾。所以子类1实际上从未出现过。子类2：当c>0和1时≤ l（n）≤ 请确认| |φl（n）（n）|≥ c、对于所有n.集Ji:=εi- 比，我≥ 1.注意Xi6=l（n）~φi（n）bi≤ k~φ（n）klkbkl≤ M、根据马尔可夫不等式，对于每一个H>0，PXi6=l（n）~φi（n）Ji>H≤Pi6=l（n）~φi（n）bi+ EPi6=l（n）~φi（n）εiH≤M+Pi6=l（n）~φi（n）H≤M+1H→ 0，（8）作为H→ ∞, 在n中是均匀的，尤其是P（Pi6=l（n）~φi（n）Ji≤ H）≥ 所有n的1/2保持，一些H>0足够大。然而，假设3.5意味着存在q>0这样的p（εl（n）<-（H+M+1）/c）≥ q、 P（εl（n）>（H+M+1）/c）≥ q2都适用于所有n。注意|)φl（n）（n）bl（n）|≤ M

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2022-5-9 03:19:50

因此我们得到了p（V（∧φ（n））≤ -1) ≥ P■φl（n）（n）Jl（n）≤ -H- 1，Xi6=l（n）~φi（n）Ji≤ H≥ q/2，通过εl（n）与εi的独立性，i6=l（n），与（7）的另一个矛盾。这意味着子类2也不会出现。现在我们来讨论一下supn | |φ（n）||l< ∞. 然后有一个子序列，它在空间上弱收敛l根据应用于l, φ（n）（我们继续表示φ（n））的凸组合满足φ（n）- φ*Kl=∞Xi=1（φi（n）- φ*（一）→ 0，n→ ∞为了一些*∈ A=l. 因此，通过系统εi的正交性，i≥ 1英寸长，E（V（φ（n））- V（φ）*))→ 0，n→ ∞.由于Lconvergence意味着概率收敛，我们得到V（φ）*) = X.如果φ*i=0，然后X=0，我们就完蛋了。否则就会有我≥ 比如说，用φ*l> 0（案例φ*l<0（如下所示）。我们将证明这是不可能发生的。事实上，如（8）所示，PXi6=lφ*iJi>H≤M+Pi6=l（φ*i） H≤M+1H<1/2时，H为零。ThenP（V（φ）*) ≤ -1) ≥ Pφ*lJl≤ -H- 1，Xi6=lφ*i（n）Ji≤ H> 0，根据独立性和假设3.5，与v（φ*) = 十、≥ 0.备注3.8。如果sage定理是一个重要的自由条件。应该可以。使用数理经济学的术语，后一个条件意味着给定市场的总夏普比率是有限的。然而，对我们来说，定理3.7的有用性来自2：它提供了∈ M具有强附加性质（有界P-密度）。例3.9。我们不知道假设3.5是否可以被削弱。然而，对于定理3.7的有效性，εnar的一些附加假设是必要的，如下例所示。对于所有n，设bn=0≥ 设εn，n≥ 2.独立于法律εn=n+nq1+n-N-N= 1.-n、 Pεn=-n+nq1+n-N-N=n、为了所有人≥ 2.对于所有n，可以检查Eεn=0和Eεn=1≥ 2.

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mingdashike22

2022-5-9 03:19:53

设ε是任意的，独立于εn，n≥ 2平均值和单位方差为零。定义φi（k）：=1,2≤ 我≤ k、 φi（k）：=0，i>k，i=1，Bor-el-cantellimma表明，对于a.e.ω∈ Ohm 存在m=m（ω），使得εi（ω）≥ 1/（2i）代表我≥ 这意味着v（φ（k））（ω）=kXi=2εi（ω）→ ∞a、当k→ ∞, i、 e.这一系列策略产生了一个渐进的免费午餐，即使bn=0对所有n都成立。因此，其含义为4。=> 1.（我们在第4节中的论点）在刚才的例子中失败。用K表示K的闭包，以便在概率上收敛。我们现在利用定理3.7的论点来证明以下自然但远不是显而易见的结果。定义K:={V（φ）：φ∈ A} 。引理3.10。假设3.5和P∞i=1bi<∞,K=K.（9）证明。注意，E A每一天∈ A、 V（φ（n））→ V（φ）在陆地上的概率也是如此，w he reφ（n）∈ E等于φi（n）=φi，i≤ n、 φi（n）=0，i>n。因此，证明Kis在概率上是闭合的就足够了。设φ（n）∈ A应为V（φ（n））→ 几乎可以肯定的是，一些（无数值）随机变量X为n→ ∞. 我们可以并将假定φ（n）∈ E、 n∈ N.如果我们有supn | |φ（N）||l= ∞ 然后，重复定理3.7（子类1和子类2）的论点，我们得到了V（∧φ（n））→ 0 a.s.和Lim infn→∞P（V（)φ（n））<0）≥ 对于一些f>0的情况，两者都成立：a矛盾。因此supn | |φ（n）||l< ∞ 我们不能找到，就像定理3.7的证明一样，φ*∈ 带V（φ）的A*) = 十、例3.11。通过εi的正交性，i≥ 1在Lit中很明显，thatKis在L中是封闭的。然而，这并不支持随后证明最优策略存在的论点，我们需要更强大的概率封闭性。后一个属性很容易失败：考虑一下例子3中描述的模型。9和策略序列λi（k）：=1/ln（k），2≤ 我≤ k、 λi（k）：=0，i>k，i=1。由Borel Cantelli le mma为a.e。

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2022-5-9 03:19:56

ω、只有这些函数的许多项ki=1εi（ω），k≥ 1与kxi=1i+iq1+i的差异-我-后者是ln（k）阶渐近的。由此得出V（λ（k））→ 1a。s、作为k→ ∞ X（ω）：=1，ω∈ Ohm 不在K中，因为它与Hilbert spa ce L中的所有εi正交。很容易看出，对于相同的序列εi，i≥ 1，即使对于任意序列bi，i≥ 1.令人满意∞i=1|bi|<∞: 的确，X∈K在e之前，但var（X）=0，而var（V（φ））在每个φ中为6=0∈ A不等于0，因此Kis的概率不闭合。很高兴知道假设3.5在理论4中是如何被削弱的。7.如果Kb不以概率闭合，似乎很难证明在第4节的设置中存在优化器。因此，刚刚概述的Counter示例表明，需要对εi进行一些额外的假设（即独立性、零均值和单位方差本身不起作用）。4效用最大化我们用效用函数u:r约束投资者→ R.我们假设在剩余部分中，u是凹的且不递减。凹度表示风险厌恶，非递减属性意味着投资者更喜欢更多的钱而不是更少的钱。我们将使用以下简单引理。引理4.1。如果u不是常数，则存在c，c>0，使得u（x）≤-c | x |+c代表所有x≤ 0.证明。就像我们拥有你一样(-∞) = -∞ 在这种情况下，有x*≤ 使得u（x），x≤ 十、*+ 1是严格递增函数，u（x*) < 0.用d表示*:=u′（x）*-) > 0它的左手边导数，we haveu（x）≤ u（x）*) + （十）- 十、*)D*, 十、≤ 十、*.另一方面，u（x）≤ |u（0）|≤ -D*|x |+d*|十、*| + |u（0）|代表x*≤ 十、≤ 0.设置c:=d*C:=d*|十、*| + |u（0）|，声明如下。为了x∈ R、我们表示x+：=max{0，x}，x-:= 麦克斯{-x、 0}。备注4.2。

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2022-5-9 03:19:59

当u（0）=0时，引理4.1得出，对于任何x≤ 0，| x |≤U-（x） c+Cc。在投资者的效用函数从上到下是有界的情况下，我们首先断言最优投资的存在性。证据将基于EOREM 3.7。提案4.3。假设Q的存在∈ M带dQ/dP∈ L∞. 乐土：R→ R从上面被限制。然后是X∈Ksuch thatEu（X）=supφ∈AEu（V（φ）），（10）其中K表示Kw关于概率收敛的闭包。证据注意，u在上面有界，Eu（V（φ））对所有φ都有意义∈ A.设φ（n）是一个序列，使得supφ∈AEu（V（φ））=limn→∞Eu（V（φ（n））和Eu（V（φ（n））>-∞ 对于所有n.那么，s inc e u有界于上面，supnEu-（V（φ（n））<∞. constant u的情况是微不足道的，或者说是不重要的-（φ（n））<∞保持，由艾玛4.1。然后也是supnEQV-（φ（n））<∞. 它来自引理3。4对于所有n，EQV（φ（n））=0，因此，supnEQ|V（φ（n））|<∞.根据L（Q）中应用的Koml’os定理（见[24]），V（φ（n））的凸x组合几乎肯定会收敛到某个随机变量x。因为它是凸的，X∈ K.通过u的凹性和（相反）法图引理，Eu（X）≥ 画→∞Eu（V（φ（n）））。推论4.4。让假设3.5生效并假设∞i=1bi<∞. 乐土：R→ R从上面被限制。然后是前总统*∈ A这样的eu（V（φ）*)) = supφ∈AEu（V（φ））。（11）证据。这些假设暗示了Q的存在∈ M带dQ/dP∈ L∞, 根据定理3.7。集合Kis由引理3.10封闭，因此有φ*∈ 这样的X=V（φ*).推论4.5。假设假设3.5生效∞i=1bi<∞ Eu（V（φ））对所有φ都是有限的∈ A.此外，设u严格递增，并与有界u′连续可微。如果（11）成立，则存在SQ∈ M使得dqdp=u′（P∞i=1φ*i（εi）- bi）Eu′（P∞i=1φ*i（εi）- bi）。证据修好我∈ N让φ*如（11）所示，选择最佳策略。

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nandehutu2022

2022-5-9 03:20:02

考虑函数g（x）：=Eu（xJl+Pi6=lφ*iJi），x∈ R、式中Ji=εi- 比，我≥ 1.显然，g在x=φ时达到最大值*l、根据中值定理，对于每个φ∈ 兰德h∈ (-我们有U[φ+h]Jl+Xi6=lφ*伊吉- UφJl+Xi6=lφ*伊吉= u′ξ（h）Jl+Xi6=lφ*伊吉对于φ和φ+h之间的随机变量ξ（h），我们让h→ 由于u′是有界的，勒贝格定理暗示g′（φ）存在并等于E[u′（φJl+Pi6=lφ）*iJi）Jl]。因此0=g′（φ*l） =Eu′φ*lJl+Xi6=lφ*伊吉Jl.对于每一个l，我们得到Q∈ 我注意到u严格递增，因此所有x的u′（x）>0。备注4.6。Co rollary 4.5的构建在众多资产的背景下是标准的，见[7]。我们现在不一定是在上面。在这个设置中，优化域将是a′（u）：={φ∈ 答：欧盟-（V（φ））<∞}所以期望值Eu（V（φ））对所有φ都有意义∈ A′（u）。注意a′（u）从来都不是空的，φi=0，i≥ 1在其中。下一个结果是本文的主要定理。定理4.7。让假设3.5生效，并假设∞Xi=1bi<∞. （12）设u为常数C≥ 0，u（x）≤ C（xα+1），x≥ 0.（13）带0≤ α < 1. 然后存在φ*∈ A′（u）使得eu（V（φ*)) = supφ∈A′（u）Eu（V（φ））<∞. （14）备注4.8。现有文献中唯一与我们密切相关的文献是[9]和[26]，当投资者的预期效用在一组“广义投资组合”的连续时间大型金融市场中最大化时。第一篇论文是关于最大化终端效用的，而第二篇论文是关于消费效用的，允许随机效用函数和精确时钟。注意，在这些论文中，效用函数u定义在正轴R+上，而这里我们考虑u:R→ R允许分析与损失相关的风险。

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2022-5-9 03:20:05

参见最近的[32]关于u:R连续时间大型市场的一些进展→ R.“广义投资组合”是指在适当的拓扑结构（Emery拓扑结构）下，市场细分中投资组合价值过程的终结过程。这意味着，一个广义投资组合的价值可以通过许多资产的投资机会价值以任意精度近似。这样的选择是合理的，而且通过[6]的例子，可能是不可避免的。然而，我们希望看到一般化的投资组合表现为对许多资产的投资，并明确说明每项资产的头寸大小。上述定理4.7发现了A类（u）中的优化器，其元素在众多资产的投资组合中具有明显的解释力。为了使我们的观点更清晰，让εibe表示一个任意的随机变量序列，片刻。概率K的闭包在这种情况下没有内在特征，即对于某些X∈K我们可以找到φ（n）∈ E使得v（φ（n））→ 几乎可以肯定，但要确定是否存在X=P的序列φ并不容易∞i=1φi（εi）- bi）。例3.9表明，即使在独立εi的情况下，这个问题也可能出现。然而，在套利定价模型的特定设置和规定假设3.5的情况下，k的这种表征成为可能。我们还参考了最近的小规模配套论文[31]，其中（5）被简化为一个简单的无套利条件，代价是要求εi的一致指数可积性，而不是（6）。备注4.9。关于连续时间半鞅模式ls中u的标准假设是合理的渐近弹性，se e[39]。在离散时间市场中，这种情况可以稍微减弱[34]。在目前的情况下，甚至更少（即，（13）以上）的支持。

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mingdashike22

2022-5-9 03:20:10

我们不能允许（13）中的α=1，因为定理4.7的结论显然适用于线性u。定理4.7的证明。该论点基于一个递归过程，以命题4.3和推论4.5为出发点。假设这个理论。对于大约1>αn，已经建立了7≥ 0时，我们使用同伦4.5得到M的一个元素，这反过来有助于建立定理4.7，对于某些αn+1>αn.作为αn→ 1，n→ ∞ 将保持不变，我们最终将得到所有α<1的定理4.7。修正0<<1，让我们定义（x）：=x- 1，x<0，u（x）：=-1（1+x），x≥ 0.这是一个凹且连续可微的函数，其推论为4。4和4.5显然适用，因此我们得到Q∈ M带dQ/dP∈ L∞和dP/dQ∈L2/（1+）sinceP∞i=1φ*i（εi）- bi）∈ 土地1/u′（x）=（1+x）+1/代表x≥ 0.自2/（1+）→ 2 as→ 0，我们可以得出结论，对于p:=2，有Q=Q（）∈ M带dQ/dP∈ L∞和dP/dQ∈ Lp-，每个。现在让我们假设，对于n≥ 1，pn≥ 2对于任何0<<1，存在Qn=Qn（）∈ M带dQn/dP∈ L∞和dP/dQn∈ Lpn-. 我们继续证明，这意味着对于任何满足α<pn/（pn+1）的凹的、不减损的u（13），存在一个优化子。修正Q∈ M.通过给u加一个常数，我们可以并且将假定u（0）=0。添加一个常量pre可以证明（13）的有效性（可能带有不同的C），并且也不会影响a′（u）。常数u的情况是独立的，否则我们可以假设引理4.1的结论成立。设φ（k）∈ A′（u），k∈ N使eu（V（φ（k））→ supφ∈A′（u）Eu（V（φ）），k→ ∞.以下估算是受[33]中引理3.13的启发。假设dQ/dP在上面有界，每个φ的等式（V（φ））=0∈ 一个由外稃3。4.对任何人来说都是如此∈ 应用H¨older不等式和备注4.2，我们得到了A′（u），Eu+（V（φ））≤ C+CE[V+（φ）α]≤ C+C（EQV+（φ））α=C+C（EQV-(φ))α≤ C+C（电动汽车）-(φ))α≤ C（欧盟）-（V（φ）））α+C（15），常数C:=C[E（dP/dQ）α/（1）-α)]1-α、 C:=C（ess。

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nandehutu2022

2022-5-9 03:20:14

sup dQ/dP）α，C:=max{C+CCα/Cα，C/Cα}，其中C，C来自引理4.1，我们使用了（x+y）α的事实≤ xα+yα，x，y≥ 0.注意α/（1）- α） <pnso one c an choose Q:=Qnsuch the c<∞ 以及dQn/dP∈ L∞亨切克，C<∞ 等等。我们甚至可以假设E（dP/dQ）θ/（1）-θ)< ∞ 对于某些α<θ<1。如果我们有supkEQ（[V（φ（k））]+）=∞ 然后，通过（15），（沿着由k表示的子序列）Eu-（V（φ（k）））→ ∞, K→ ∞ 将保持，henceEu（V（φ（k））=Eu+（V（φ（k）））- 欧盟-（V（φ（k）））≤ C（欧盟）-（V（φ（k）））α+C- 欧盟-（V（φ（k）），倾向于-∞ 作为k→ ∞, 矛盾。因此，supkEQ | V（φ（k））|=2 supkEQ（[V（φ（k））]+）<∞ Koml’os定理暗示了满足V（φ（k））的φ（k）（仍用φ（k）表示）的凸组合的存在性→ 对于一些随机变量X，通过K的凸性和闭性（见引理3.10），我们得到X=V（φ*) 为了一些*∈ A.自（x+y）θ/α≤ 2θ/α（xθ/α+yθ/α）表示x，y≥ 很明显，[u+（V（φ（k））]θ/α≤ [C（V+（φ（k））α+1）]θ/α≤ CV+（φ（k））θ+C，其中C:=2θ/αCθ/α，就像在（15）中一样，我们得到[u+（V（φ（k））]θ/α≤ C+C（EQV）-（φ（k））θ≤ C+C（EQ | V（φ（k））|）θ，对于C:=C[E（dP/dQ）θ/（1）-θ)]1-θ. 因为右边被证明是以k为界的（凸组合不会改变这一点），所以familyu+（V（φ（k）），k∈ N是不可积且supφ∈A′（u）Eu（V（φ））<∞.结合u+（V（φ（k））的一致可积性和u的Fatou引理-（V（φ（k）），我们得到了eu（V（φ）*)) ≥ 林克→∞Eu（V（φ（k）），表示φ*∈ A′（u）和（14）。现在定义κn:=pn/（pn+1）- .

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2022-5-9 03:20:17

应用函数un（x）：=κnx+1，x<0，u（x）：=（1+x）κn，x的推论4.5≥ 0Q∈ M带dQ/dP∈ L∞和dP/dQ∈ πn=2/（1）的Lπn- κn）。Asπn=πn（）→ 2pn+2当→ 0，对于pn+1:=2pn+2，对于任何>0，我们可以断言Qn+1=Qn+1（）的存在∈ M带dQn+1/dP∈ L∞和DP/dQn+1∈ Lpn+1-.重复上面的过程，我们得到了α<pn/（pn+1）对于所有n存在一个优化子。这显示了定理m的陈述，因为pn/（pn+1）→ 1，n→ ∞.备注4.10。当u是严格凹的，标准参数s表示φ*这是独一无二的。推论4.11。让假设3.5生效并假设∞i=1bi<∞.每p≥ 1存在Q=Q（p）∈ 我就是这样的dQ/dP∈ L∞和DP/dQ∈ Lp。此外，dQ/dP可以从形式dqdp=u′（P∞i=1φ*i（εi）- bi）Eu′（P∞i=1φ*i（εi）- （16）带u:R→ R严格递增，凹且连续可微，有界u′。证据这在自pn以来的orem 4.7的证明中得到了证明→ ∞, N→∞.备注4.12。在具有固定多个资产的多周期离散时间模型中，如果存在风险中性度量Q~ P那么它总是可以被选择来满足YDQ/dP∈ L∞. 然而，在连续时间模型中，找到这样一个P-密度有界的Q是相当罕见的。此外，在一般情况下，控制dP/dQ的大小也不是必要的，参见[37,36]。推论4.11是一个强大的结果，因为在一个拥有可数资产的模型中，它提供了Q∈ 满足强条件的dQ/dP，dP/dQ。备注4.13。攻击（11）的标准路径是通过其对偶问题，其中凸泛函在M上最小化，见e。g、 [16,39]，在适当的条件下，二次极小值由类似于（16）的公式给出。我们的方法直接作用于原始问题，所以我们不需要引入对偶设置。

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2022-5-9 03:20:20

必须承认，尽管我们对4.7的证明以一种间接的方式严重地利用了对偶性：一个极大值序列的相对紧性是用一些Q证明的∈ M具有适当的可积性。5几乎最优的策略理论4.7确定了*∈ A′（u）达到supφ∈A′（u）Eu（V（φ））。然而，在实际情况下，只有对特定细分市场的投资才是可行的。因此，一个有趣的问题是，E上的问题的值是否等于整个域上的问题的值，即SUPφ∈A′（u）Eu（V（φ））=supφ∈E′（u）Eu（V（φ）），（17），其中E′（u）：={φ∈ E:欧盟-（V（φ））<∞}.这个问题似乎很难解决，它有点类似于一般的问题，即在连续半鞅模型中，效用最大化问题的值是否是一个沿着一系列“简单”策略不可解的问题，其中简单可能取决于上下文。我们在下面报告部分结果。在本节中，u:R→ R是u（0）=0的非减量函数。定义Φ（x）：=-u(-x），x≥ 0.假设5.1。莱特利姆→∞Φ（x）/x=∞, （18） lim supx→∞Φ（2x）/Φ（x）<∞ （19）等等。定义共轭函数ψ（y）：=supx≥0{xy- Φ（x）}并假设→∞ψ（2y）/ψ（y）<∞. （20）备注5.2。上述假设意味着Φ，ψ是年轻函数（对于Φ，这由（18）规定，然后它自动跟随ψ），并且Φ，ψ都属于类（这是（19）和（20）的内容），有关定义和细节，请参见[27]和[28]。如果满足（18）和（19），我们说u是中等的。中等效用函数以“类似于权力”的方式在-∞. 指数u（即u（x）=-E-x）是一个典型的效用函数，它不是模式速率。诚然，适度是限制u的一个条件，但它仍然允许大量有趣的案例。

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2022-5-9 03:20:24

ψ的条件（20）相对温和，这是标准的“合理弹性条件”所暗示的，见[39]的推论4.2。定理5.3。让你：R→ R为凹形，且u（0）=0时不减损，因此假设5.1有效。然后（17）成立。在假设3.5、（12）和（13）下，最优策略φ*u（V（φ）*)) = 画→∞Eu（V（\'φ（n）），其中\'φj（n）=φ*j、一,≤ J≤ n、 φj（n）=0，j>n，每n≥ 1.证据。固定φ∈ A′（u）。过程：=-∞Xj=1φjbj+tXj=1φjεj，t∈ N∪ {∞}是关于过滤系数的（收敛）鞅：={, Ohm}, Ft:=σ（ε，…，εt），F∞:= σ（εj，j）∈ N），所以Zt:=Y-这是一个次鞅。（注意，这里的参数t没有解释为“时间”。）定义Φ（x）：=-u(-x），x≥ 0, φ ∈ A′（u）包含EΦ（Z）∞) < ∞. 由于（18）和（20）保持不变，这意味着Φ（δsupnZn）<∞对于s omeδ>0，参见[27]中的命题A-3-4和随后的讨论。（事实上，这个结果是针对鞅的，但对于非负次鞅，证明也是同样的。）利用（19），我们很容易推导出Φ( supnZn）<∞ （21）每 > 0。定义φj（n）=φj，1≤ J≤ n、 φj（n）=0，j>n。注意V-（φ（n））≤ 锌+磷∞j=1 |φjbj |≤ Zn+Q，其中Q:=kφklkbkl.从（21）我们推断eΦ（supnV-（φ（n）））≤EΦ（2 supnZn）+Φ（2Q）< ∞, （22）通过Φ的凸性。特别是φ（n）∈ E′（u），n∈ 联合国主导的趋同意味着欧盟-（V（φ（n）））→ 欧盟-（V（φ））乘（22），而勒法托引理暗示着Eu+（V（φ））≤ 林恩芬→∞Eu+（V（φ（n））sosupφ∈A′（u）Eu（V（φ））≤ supφ∈E′（u）Eu（V（φ））如下。另一个不等式很小，我们得到（17）。在假设3.5、（12）和（13）下，存在一个最优φ*作者：提奥·雷姆。7.将上述论点应用于φ*= 我们也给出了定理的第二种表述。致谢。衷心感谢匈牙利科学院“L end–ulet”基金LP2015-6的支持。

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何人来此

2022-5-9 03:20:27

这篇论文的想法是在2015年都柏林城市大学的一次研究访问中构思出来的；我感谢保罗·瓜索尼的邀请。我也很感谢约瑟夫·泰奇曼在2014年盛情邀请苏里奇参加会议：正是与他进行的讨论重新激发了我对这里治疗的模型的兴趣。最后，我真诚地感谢非匿名裁判的宝贵意见。参考文献[1]A.Balb\'as和A.Downarowicz。许多证券和资产定价的基本原理。梅迪特尔。J.数学。，4:321– 341, 2007.[2] 巴兰先生。大型金融市场的渐进定价。数学MethodsOper。Res.，66:1-202007。[3] T.比约克。连续时间套利理论。第二版，牛津大学出版社，2004年。[4] 于。周世华，泰彻。概率论：独立性，可互换性，m-art ingales。施普林格·维拉格，柏林，1978年。[5] L.坎皮。大型金融市场的均值-方差套期保值。斯托克。肛门。应用程序。，27:1129–1147, 2009 .[6] C.库奇罗、I.克莱恩和J.泰奇曼。大型金融市场资产定价基本定理的新视角。Probab理论。应用程序。，60:561–579, 2016.[7] M.H.A.戴维斯。不完全市场中的期权定价。摘自：Dempster，M.A.H.和Pliska，S.R.，教育版，《衍生证券数学》，216–226，剑桥大学出版社，1997年。[8] 多诺先生。关于大型金融市场完整性的说明。数学《金融》，14:295–315，2004年。[9] 多诺先生、瓜索尼先生和普拉·泰利先生。大型金融市场中的超级复制和效用最大化。随机过程。应用程序。，115:2006–2022, 2005.[10] G.Di Nunno和I.B.E ide。大金融市场中的最小方差套期保值：随机领域方法。斯托克。肛门。应用程序。，28:5 4–85, 2010.[11] 霍尔默和席德。随机金融：离散时间介绍。Walter de Gruyter&Co.，柏林，2002年。[12] 黄春福和R.H。

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2022-5-9 03:20:30

伊茨·恩伯格。金融经济学基础。Elsevier，1988年。[13] G.胡伯曼。套利定价理论的一种简单方法。J.经济。《理论》，28:289-2971982。[14] 于。M.Kaba nov和D.O.Kramkov。大型金融市场：渐进性、连续性。Probab理论。应用程序。，39:182–187, 1994.[15] 于。M.卡巴诺夫和D.O.克拉姆科夫。大型金融市场中的渐进套利。金融斯托赫。，2:143–172, 1998.[16] 于。卡巴诺夫先生和斯特里克先生。关于指数效用最大化的最优投资组合：对六位作者论文的评论。数学《金融》，2002年12:125-134。[17] O.卡伦伯格。现代概率论的基础。第二版，斯普林格，2002年。[18] 克莱因。大型金融市场资产定价的基本定理。数学《金融》，2000年10:443-458。[19] 克莱恩和沙切迈耶。非完全大型金融市场中的渐近套利。Probab理论。应用程序。，41:780–788, 1996.[20] 克莱恩和沙切迈耶。哈尔莫斯-萨维奇定理的定量和双重版本，并应用于数学金融。安。Probab。，24:8 67–881, 1996.[21]I.克莱因。为具有连续价格过程的大型金融市场提供免费午餐。安。阿普尔。Probab。，13:1494–1503, 2003.[22]克莱因。市场免费午餐和大型金融市场。安。阿普尔。Probab。，16:2055–2077, 2006.[23]I.克莱因。没有一个交感神经的午餐会在光照下或空间里被评论。收录：S’eminaire de Probabilit’es vol.XLI，C.Donati Martin，M.Emery，A.Rouault and Ch.Stricker（编辑），443–454，斯普林格，2008年。[24]J.Koml\'os。斯坦豪斯问题的推广。数学学报。阿卡德。Sci。亨加。，18:217–229, 1967.[25]E.L\'epinette和L.Ostafe。在有摩擦的大型金融市场中，渐近稳定性是一个问题。数学财务部。经济。，6:313–335, 2012.[26]O.莫斯托夫伊。在大型市场中实现效用最大化。预印本，2014年。arXiv:1403.6175[27]J.Neveu。

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