不完全信息下的F \“ollmer-Schweizer分解

2022-5-9 12:27:54

此外，我们还讨论了部分可观测马尔可夫模型的应用，在该模型中，我们通过过滤问题明确计算这种分解。值得一提的是，F"ollmer-Schweizer分解在金融领域有着相关的应用。更准确地说，在适当的假设下，被积函数β是平方可积随机变量的分解，代表给定的欧洲型或有权益的贴现支付，Providescaudia Ceci，意大利比斯卡拉Viale Pindaro Chieti Pescara的G.D\'Annunzio大学经济系，I-65127 Pescara，42。电话号码+39 085 453 7579Katia Colaneri，佩鲁贾大学经济系，Via A.Pascoli，20，I-06123佩鲁贾，意大利。电话号码+39 075 585 5218亚历山德拉·克雷塔罗拉，佩鲁贾大学数学和计算机科学系，西亚尔。Vanvitelli，意大利佩鲁贾，I-06123，1号。电话号码+39 075 585 5021E邮件地址：c。ceci@unich.it凯蒂亚。colaneri@unipg.it，亚历山德拉。cretarola@unipg.it.2C.CECI、K.COLANERI和A.Cretarola在由半鞅驱动的不完全金融市场中的局部风险最小化套期保值策略，更多细节请参见示例[12,24]。有几篇论文讨论了完整信息案例，例如[23,20,24,10]。部分信息设置的结果见[7,6]。在我们的设置中，完整的信息流由过滤F描述：={Ft，t∈ [0，T]}，其中T表示固定和有限的时间范围，而可用的信息水平由较小的过滤H给出：={Ht，T∈ [0，T]}。在给定的概率空间上(Ohm, F、 P），我们考虑满足关于全信息流F的结构条件的（F，P）-半鞅S和平方可积FT可测随机变量ξ。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:27:57

其目的是在H给出的受限信息下，即ξ=U+ZTβHtdSt+AT，P-a.S.，当以下过滤条件保持不变时，推导并表征ξ相对于S的F"ollmer-Schweizer分解 Ht Ft其中fst将Stup生成的σ-代数表示为时间t∈ [0，T]。这里是平方可积F可测随机变量，βHis是H-可预测S-可积过程，a是平方可积（F，P）-鞅，在弱意义上与S的鞅部分正交，详见[7]。值得一提的是，在这种分解中，（F，P）鞅之间正交性的类别定义被H-弱正交性的概念所取代，参见[8，7]。在[8]中，作者研究了实词概率测度下S是局部鞅的情况，并导出了平方可积FT可测随机变量在受限信息下的Galtchouk Kunita Watanabe分解。半鞅情形已经在[5]的基准方法下进行了研究，该方法允许简化为局部鞅情形，并且在[7]中，其中，作者提供了部分信息下工作的F"ollmer-Schweizer分解的一个版本，这得益于部分信息框架下由cádlág F-鞅驱动的倒向随机微分方程解的存在性和唯一性结果。然而，如何明确地刻画这种分解中出现的被积函数仍然是一个悬而未决的问题。在[6]中研究了随机变量ξ相对于较小的σ-代数可测的情况，作者在假设S是拟左连续过程的情况下，刻画了分解中的项。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:01

在这里，我们从两个方向扩展这些结果；准确地说，我们考虑了一个不一定是HT可测的随机变量，并且我们还消除了S上的拟左连续性假设。我们的第一个成果是由定理3.7给出的，它显示了平方可积FT可测随机变量ξ在部分信息下的Off"ollmer-Schweizer分解与其相对于HT的投影之间的关系，即e[ξ| HT]。因此，我们可以提供一种计算上述分解中被积函数β的操作方法，见命题3.10。最后，我们讨论了这些表示结果在马尔可夫框架中的应用，其中我们假设潜在的半鞅动力学受不可观测的

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:04

在第3节中，我们给出了F"ollmer-Schweizer分解中被积函数在FT可测平方可积随机变量ξ的部分信息下的一个特征。在第4节中，我们将讨论马尔可夫框架中的一个应用程序，并应用过滤参数来显式计算分解。2.不完全信息模型我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P），赋予过滤F:={Ft，t∈ [0，T]}满足权利连续性和完整性的通常条件，其中T>0是一个固定且有限的时间范围；此外，我们假设F=FT。在这个概率空间上，我们考虑了一个R值平方可积的cádlág（F，P）-半鞅S={St，t∈ [0，T]}满足T=S+Mt+ZtαFudhMiu，T给出的结构条件（详见[24]）∈ [0，T]，（2.1）其中S∈ L（F，P），M={Mt，t∈ [0，T]}是一个R值的平方可积（cádlág）（F，P）-鞅，从null开始，hmi={hM，M it，T∈ [0，T]}表示其F-可预测的二次变异过程，αF={αFt，T∈ [0，T]}是一个R值的、F-可预测的过程，比如rtαFsdhMis<∞ P-a.s。。在该设置中，受限信息框架由另一个较小的过滤H:={Ht，t描述∈ [0，T]}，即Ht Ft，t∈ [0，T]。用FS表示：={FSt，t∈ [0，T]}过程S的自然过滤，即FSt=σ{Su，0≤ U≤ T≤ T}。我们注意到，所有过滤都应该满足完整性和连续性的通常假设。现在，我们做以下假设 Ht，t∈ [0，T]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-9 12:28:07

（2.2）这是在给定平方可积FT可测随机变量部分信息下提供F"ollmer-Schweizer分解存在性的有效要求，参见[7，命题3.3]。根据过滤条件（2.2），过程S也是（H，P）-半鞅，因此它对H进行半鞅分解，即St=S+Nt+Rt，t∈ [0，T]，（2.3）式中N={Nt，T∈ [0，T]}是一个R值的平方可积（H，P）-鞅，N=0，R={Rt，T∈ [0，T]}是一个R值、H可预测的有限变化过程，R=0。特别是，sinceR是H-可预测的，即使这种分解是唯一的（参见[22，第三章，定理34]）。给定一个σ-代数G和一个概率测度Q，空间L（G，Q）表示所有G-可测随机变量H的集合，使得|H|=ROhm|H|dQ<∞.4 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAWe将使用符号px表示给定过程X={Xt，t的P下H的可预测投影∈ [0，T]}satisf-ying E[|Xt|]∞ 每一个t∈ [0，T]，定义为唯一的可预测过程，即pxτ=E[Xτ| Hτ- ] 关于{τ<∞} 对于每个H-可预测的停止时间τ。在[6]中，作者证明了当半鞅S是拟左连续的时，半鞅S关于filtrationh的结构条件。这里我们证明了这个结果适用于任何特殊的半鞅。为此，我们引入了与SM（dt，dz）=Xs的跳跃相关的整值随机测度：Ss6=0δ（s，Ss）（dt，dz），其中δ表示a点的狄拉克量度。然后，我们分别定义了S（参见[16，第二章，第2节]）（BF，CF，νF）相对于toF和（BH，CH，νH）相对于H的特征。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-9 12:28:11

这里BF={RtαFrdhMir，t∈ [0，T]}和BH=rd分别注意分解（2.1）和（2.3）中的F-可预测和H-可预测有限变化过程。此外，CF=CH=hMci=hNci（更多细节参见[18]或[19]）和νF（dt，dz）和νH（dt，dz）分别是P下m（dt，dz）相对于F和H的可预测双重投影。根据[16，第二章，命题2.9]，我们可以找到满足bft=ZtbFsdUFs，CF=ZtcFsdUFs，νF（dt，dz）=νFt（dz）dUFt，t∈ [0，T]，BHt=ZtbHsdUHs，CH=ZtcHsdUHs，νH（dt，dz）=νHt（dz）dUHtt∈ [0，T]，其中uf和uh分别增加，F-可预测和H-可预测过程。此外，Uf和Uh是连续的当且仅当S是拟左连续的。最后，bF、Cf和bH、cHare F-可预测和H-可预测过程分别是F-可预测核和H-可预测核。注意，特性（BF，CF，νF）和（BH，CH，νH）满足νFt（{0}）=0，νHt（{0}）=0，BFt=ZzνF（{t}，dz），BHt=ZzνH（{t}，dz），cF=0开{UF6=0}，cH=0开{UH6=0}，请参见[10]f或更多详细信息。引理2.1。鞅M和N有以下表示mt=Mct+ZtZRz（M（ds，dz）- νF（ds，dz）），t∈ [0，T]，（2.4）Nt=Nct+ZtZRz（m（ds，dz）- νH（ds，dz）），t∈ [0，T]，（2.5），其中mca和nc分别表示M和N的连续部分。不完全信息下的FS分解。通过[16，第二章，推论2.38]以及S是一个特殊的半鞅这一事实，我们得到如下（f，P）-半鞅表示St=S+Sc，Ft+ZtZRz（m（ds，dz）- νF（ds，dz））+PFt，t∈ [0，T]，其中PF={PFt，T∈ [0，T]}是有限变化的F-可预测过程，Sc，Fis是S的连续F鞅部分。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:14

通过（F，P）-半鞅分解的唯一性，我们得到了（2.4），特别是对于每个t∈ [0，T]，借助于S的结构条件（2.1）。类似地，我们得到S的（H，P）-半鞅分解由T=S+Sc，Ht+ZtZRz（m（ds，dz）给出- νH（ds，dz））+PHt，t∈ [0，T]，对于合适的H-可预测过程PH={PHt，T∈ [0，T]}有限变分，其中Sc，His是S的连续鞅部分。同样，通过（H，P）-半鞅分解的唯一性，我们得到（2.5）。备注2.2。从引理2.1可以清楚地看出，S、M和N没有相同的跳跃。然而，由于M和N的跳跃集是s的跳跃集的子集，因此它们是FS自适应的。M和N的可预测q值变化过程分别由hmit=hMcit+ZtZRzνF（ds，dz），t给出∈ [0，T]，hNit=hMcit+ZtZRzνH（ds，dz），T∈ [0，T]。注意，M和N的可预测二次变化分别取决于过滤F和H。然而，如果不产生歧义，我们将始终编写hM i=FhMi和HNI=HhNi来简化符号。在续集中，我们用vp，Hthe（H，P）-R值，cádlág，F-适应过程v={vt，t的可预测对偶投影表示∈ [0，T]}的可积变分，定义为可积变分的唯一R值、H-可预测过程，例如ZT k tdvp，Ht= EZT~ntdvt,对于每一个R-值、H-可预测（有界）过程∈ [0，T]}，详见[8]第4.1节。然后，S也满足了过滤H的结构条件。更准确地说，我们得到了以下结果。提议2.3。假设是这样ZTαFsdhMis< ∞. （2.6）然后，在条件（2.2）下，（F，P）-半鞅满足关于h的结构条件，即St=S+Nt+ZtαHsdhNis，t∈ [0，T]，6 C.塞西，K.科拉内里和A。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:17

其中hNi与hMi的（H，P）-可预测双重投影相一致，即hNi=hMip，手值，H-可预测过程αH={αHt，t∈ [0，T]}由αHt:=d给出RtαFsdhMisp、 HdhMip，Hs，t∈ [0，T]满足类似于（2.6）的可积条件。证据该证明的论点与[6，命题3.2]的论点相同。注意，多亏了toLemma 2.1，这里我们不需要要求S只有（F，P）-完全不可访问的跳转时间。备注2.4。命题2.3的结果表明，对于任何R值、H-可预测的过程，都是令人满意的ZT k udhMiu< ∞,以下等式成立Zt~nsαFsdhMis= EZt~nsαHsdhNis= EZt~nsαHsdhMis, T∈ [0，T].3。不完全信息下的F"ollmer-Schweizer分解在本节中，我们研究了可测平方可积随机变量部分信息下的F"ollmer-Schweizer分解，定义如下3.4。为此，我们介绍了以下几类可容许被积函数。定义3.1。空间Θ（H）（分别为Θ（F））由所有R值、H可预测（分别为F可预测）过程θ={θt，t组成∈ [0，T]}满足以下可积条件“ZTθudhNiu”+ZT |θu |αHu | dhNiu#< ∞,分别是“ZTθudhMiu”+ZT |θu |αFu | dhMiu#< ∞!.注意，如果θ∈ Θ（H）（分别为θ）∈ Θ（F）），θ关于S的随机积分，即{RtθrdSrt∈ [0，T]}是一个定义良好的平方可积（H，P）-半鞅（分别是（F，P）-半鞅）。为方便读者阅读，我们回顾了[8]中引入的平方可积（F，P）鞅之间的H-弱正交性的概念。定义3.2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:21

我们说一个平方可积（F，P）-鞅O={Ot，t∈ [0，T]}是H-弱正交于平方可积（F，P）-鞅M={Mt，T∈ [0，T]}如果下列条件成立OTZT~ntdMt= 0，（3.1）对于所有R值、H-可预测过程∈ [0，T]}令人满意ZT k udhMiu< ∞.不完全信息下的FS分解7备注3.3。因为对于任何H-可预测的过程，过程1（0，t）（s）~ns≤ T是H-可预测的，条件（3.1）意味着OTZt~nsdMs= 0, T∈ [0，T]，通过对Ft的调节，我们得到OtZt~nsdMs= EZt~nsdhM，Ois= 0, T∈ [0，T]。因此，如果O和M是强正交的（即hM，Oit=0p- a、每一个t∈ [0，T]）那么它们也是H-弱正交的。此外，在完全信息的情况下，即H=F，或当O和M区域也是（H，P）-鞅时，H-弱正交性等价于强正交性条件（参见引理2和定理36，第四章，第180页，共[22]页，以获得严格证明）。下面给出了[7]中给出的给定平方可积随机变量部分信息下F"ollmer-Schweizer分解的定义。定义3.4。给定ξ∈ L（FT，P），我们说，如果存在一个随机变量U，ξ允许F"ollmer-Schweizer分解关于H和S的次部分信息∈ L（F，P），一个可预测的过程βH∈ Θ（F）与平方可积（F，P）-鞅a={At，t∈ [0，T]}A=0，H-弱正交于S的F-鞅部分M，使得ξ=U+ZTβHtdSt+ATP- a、 s。。（3.2）在续集中，我们做出以下假设。假设3.5。（i）存在一个确定性函数ρ：R+→ R+，ρ（0+）=0，P-a.s.，hMit- hMis≤ ρ（t）- s） ,， 0≤ s≤ T≤ 这里存在一个常数k≥ 0使得|αFt |≤ kSt（P hM i）- a、 e。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:24

在…上Ohm ×[0，T]。在[7]中，证明了分解（3.2）是存在的，并且在条件（2.2）和假设3.5或条件（3.3）和常数c的存在下分解是唯一的≥ 0使得|αFt |≤ c、（P hMi）- a、 e.onOhm ×[0，T]。让ξ∈ L（英尺，P）。现在的问题是如何在分解（3.2）中计算被积函数。如果过程S有连续的轨迹，则可通过切换到特定的马尔可夫测度P来计算被积函数*, 所谓的最小鞅测度，并计算P下ξ关于S的Galtchouk KunitaWatanabe分解*. 关于更一般的情况，即当S仅为cádlág时，文献中几乎没有结果，例如，当ξ是HT可测量时，完整信息情况见[10]，不完整信息设置见[6]。这里的想法是处理ξ相对于HT的投影，即oξ：=e[ξ| HT]。（3.4）8 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola根据Jensen不等式，我们得到thatoξ∈ L（HT，P），由于S根据条件（2.2）进行H-适应，在适当的假设下（见下文备注3.6 b），oξ承认关于S和H的（经典）F"ollmer-Schweizer分解，即存在一个随机变量U∈ L（H，P），一个过程βH∈ Θ（H）anda平方可积（H，P）-鞅A={At，t∈ [0，T]}与＠A=0，这是H-强正交于S的H-鞅部分N，这样oξ=＠U+ZT＠βHtdSt+ATP- a、 s。。（3.5）备注3.6。分解（3.5）存在唯一的一个充分条件是均值-方差交换过程K的一致性：={Rt（αHu）dhNiu，t∈ [0，T]}在T和ω中（见[20，定理3.4]），或hN i和αHof假设在3.5上的完整性。在续集中，我们证明了分解（3.2）和（3.5）中的被积函数是一致的，也就是说，对于每个t∈ [0，T]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:28

因此，我们可以在最小鞅测度P下计算oξ关于S和H的Galtchouk KunitaWatanabe分解的βHin项*（如果存在），请参见下面的定义3.8和命题3.10。定理3.7。让ξ∈ L（英尺，P）。在条件（2.2）和假设3.5下，根据（3.2）中给出的部分信息，随机变量ξ允许F"ollmer-Schweizer分解，andoξ允许F"ollmer-Schweizer分解（3.5），其中)U=E[U | H]，βHt=βHt)At=E[At | Ht]+E[U | Ht]-~U，t∈ [0，T]。证据回想一下，在条件（2.2）和假设3.5下，由于[7]的结果，随机变量ξ在（3.2）中给出的部分信息下允许F"ollmerSchweizer分解。通过（3.4）和关于HT的条件方程（3.2），我们得到oξ=E[U | HT]+ZTβHtdSt+E[AT | HT]P- a、 s。。设置在：=E[At | Ht]+E[U | Ht]- E[U | H]，每t∈ [0，T]。Thenoξ=E[U | H]+ZTβHtdSt+^ATP- a、 s。。很容易验证^A={^At，t∈ [0，T]}是一个（H，P）-鞅，使得^A=0。如果我们证明βH∈ Θ（H）和^A与N是强正交的，我们得到了选择ΘU=E[U|H]，ΘβH=βHand^A=^A的命题。第一部分，我们证明了Θ（F）中的每个H-可预测过程也属于Θ（H）。设θ为Θ（F）中的一个可预测过程。然后，关系hN i=hMip，HimpliesEZTθsdhNis= EZTθsdhMis.另一方面，我们得到了ZT（θsαHs）dhNis≤ EZT（θsαFs）dhMis.不完全信息下的FS分解9然后，由于注释2.4，选择了φs=θsαhs和Cauchy-Schwarz不等式，我们得到了ZT（θsαHs）dhNis= EZTθsαHsαFsdhMis≤EZT（θsαHs）dhNisEZT（θsαFs）dhMis.因此，θ∈ Θ（H）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:31

关于强正交性，考虑到备注3.3，我们证明了条件^ATZT~nsdNs= 0（3.6）适用于所有R值、H-可预测过程ZT k udhMiu< ∞.首先，我们明白了^ATZT~nsdNs= EATZT~nSDN+ EηZT~nsdNs= EATZT~nSDN,式中η：=E[U|HT]- E[U|H]和{Rt|sdNs，t∈ [0，T]}是T=0时的（H，P）-鞅空。最后，由于A与M是H-弱正交的，根据可预测投影的性质ATZT~nSDN= EATZT~nsdMs+ EATZT~ns（αFsdhMis）- αHsdhNis）= E中兴通讯-~ns（αFsdhMis）- αHsdhNis）= 0，其中最后一个等式由备注2.4表示，由此得出（3.6）。回顾一下关于过滤F定义3的最小鞅测度的定义是很有帮助的。8.等价鞅测度P*对于具有平方可积密度Dp的S*如果P为，则称为最小鞅测度*= 如果可积（F，P）-鞅中与S的F-鞅部分M强正交的每一个平方也是（F，P）*)-鞅。我们认为- αFtMt>0 P- a、美国。 T∈ [0，T]，（3.7）安第斯山脉经验ZTαFtdhMcit+ZTαFtdhMdit< ∞, （3.8）其中md表示（F，P）-鞅M的不连续部分，并定义过程L={Lt，t∈[0，T]}通过设置lt:=E-ZαFudMut、 t∈ [0，T]，其中符号E（Y）指的是（F，P）-半鞅Y的Doléans-Dade指数。假设在条件（3.7）和（3.8）下，Ansel-Stricker定理（见[1]）假设最小鞅测度P是平方可积的*对于S，定义为t=dP*数据处理Ftt∈ [0，T].10 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola在本文的其余部分中，我们也做了以下假设。假设3.9。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:34

假设oξ∈ L（HT，P*) 圣∈ L（Ht，P*), 每个t∈ [0，T]。因为S是（H，P*)-鞅，随机变量oξ允许P下关于S和H的Galtchouk Kunita Watanabe分解*, i、 e.oξ=bU+ZTHHudSu+GTP*- a、（3.9）其中∈ L（H，P）*), HH={HHt，t∈ [0，T]}是一个满足EP的R值H-可预测过程*hRT（HHu）dhSiui<∞, G={Gt，t∈ [0，T]}是s平方可积（H，P*)-G=0的鞅，在P下与S强正交*.定义过程VH={VHt，t∈ [0，T]}通过设置vht:=EP*[oξ| Ht]，t∈ [0，T]。（3.10）通过分解（3.9），我们得到vht=bU+ZtHHudSu+GtP*- a、 s。；（3.11）因此，我们可以计算hhasht=d*,HhVH，Sitd*,HhSit∈ [0，T]，（3.12）其中*,Hh·i表示相对于H和P计算的尖括号*.以下结果是βH命题3.10过程的特征。让ξ∈ L（英尺，P）。在假设3.5和3.9下，部分信息（3.2）下F"ollmerSchweizer分解的总β由βHt=HHt+φHt，P给出- a、科技部∈ [0，T]，（3.13），其中hh是P下oξ关于S和h的Galtchouk Kunita Watanabe分解中的被积函数*, 见（3.9），见（3.12）和φHt=dHh[G，S]，R·αHrdNritdHhSit，P- a、科技部∈ [0，T]，（3.14），其中尖括号shh·i是根据H和P.证明计算的。根据定理3.7，我们得到每t的βHt=eβHt∈ [0，T]。然后，通过[6，命题4.8]中的公式（4.6）我们得到（3.13），其中hh由（3.12）给出。最后，利用定理3对φh进行了刻画。2和[10]第860页的备注。半鞅S的F-可预测（分别为H-可预测）二次变差，用hSi（分别为HHSI）表示，是二次变差过程[S]的F-可预测（分别为H-可预测）补偿器。不完全信息下的FS分解11推论3.11。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:37

在命题3.10的假设下，假设S只有（F，P）-完全不可接近的跳跃时间，那么βHt=HHt+φHt，P- a、科技部∈ [0，T]。（3.15）其中hh由（3.12）给出，φHt=dHh[G，S]，R·αHrdNritdHhNit，P- a、科技部∈ [0，T]，（3.16），其中尖括号根据P.证明计算。注意，S的H-可预测二次变化由hhsi=HhNi+Ps给出≤t(Rs）。然后，结果由命题3.10和观察得出，如果S有（F，P）-完全不可访问的循环次数，那么S的半鞅分解中关于F和H的有限变化部分是连续的。这意味着HHNI=HhSi，并且（3.14）的表达离子还原为（3.16）。请注意，表示法（3.15）显示了有关VH分解（3.11）的知识如何成为计算βH的基本工具。在下一节中，我们将讨论马尔可夫框架中的一个应用。4.部分可观测马尔可夫模型的应用我们考虑一个部分可观测马尔可夫模型，其中半鞅S的动力学受一个不可观测的外部因素的影响，由一个用X表示的马尔可夫过程建模，使得该对（X，S）变成一个（F，P）-马尔可夫过程。在这里，我们假设可用信息与半鞅的自然过滤一致，精确地说，H=FS。然后，我们考虑一个随机变量ξ∈ L（FT，P）的形式为ξ=H（T，XT，ST），（4.1），其中H（T，s，x）是给定的确定性函数。本节的目的是描述（4.1）中给出的随机变量ξ的F"ollmer-Schweizer分解中的被积函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:41

为了实现这一目标，前几节中提出的所有假设都被认为是充分的。为了应用命题3.10计算βH，有必要提供ξ相对于HT的投影表示，即oξ=e[H（T，ST，XT）|HT]。在假设Ht=FSt的情况下∈ [0，T]，投影oξ可以写成关于P的滤波π，π（f）={πT（f），T∈ [0，T]}，通过设置πT（f）：=E[f（T，Xt，St）|FSt]=ZRf（T，x，St）πT（dx）定义，T∈ [0，T]，（4.2）对于任何可测函数f（T，x，s），使得E|f（T，Xt，St）|∞, 每一个t∈ [0，T]。过滤器是一个概率度量值过程，它提供了

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:44

（4.5）证据。由于πT（H）=RRH（T，x，ST）πT（dx）依赖于ω到（ST（ω），πT（ω）），那么*)三重态（X，S，π）的马尔可夫性质，我们得到vht=EP*[oξ| Ht]=EP*【πT（H）| Ht】=EP*[EP*[πT（H）| Ft]| Ht]=EP*hg（t，Xt，St，πt）其中g（t，x，s，p）是其参数（t，x，s，p）的可测函数∈ [0，T]×R×P（R），使其充满。下一个引理给出了函数g的表示形式，作为最终条件问题的解。引理4.3。设（t，x，s，p）∈ D（L）*) 以至于L*例如（t，x，s，p）=0，（t，x，s，p）∈ [0，T）×R×P（R）eg（T，x，s，P）=P（H）=ZRH（T，y，s）P（dy），（x，s，P）∈ R×P（R）。（4.6）那么，对于每一个t，eg（t，Xt，St，πt）=g（t，Xt，St，πt）P-a.s∈ [0，T]。证据设（t，x，s，p）∈ D（L）*) 是（4.6）的解决方案。然后，通过（4.3），我们得到过程{eg（t，Xt，St，πt），t∈ [0，T]}是一个（F，P）*)-最终值为eg（T，XT，ST，πT）=πT（H）的鞅。As序列eg（t，Xt，St，πt）=EP*[πT（H）| Ft]，对于每T∈ [0，T]，这意味着论文。不完全信息下的FS分解通常，向量过程（X，S，π）取有限维空间R×P（R）中的值。然而，如果X组包含很多值，那么滤波器π也是有限的，这将有限维状态问题简化为有限维状态问题。确切地说，我们假设X取集D={X，…，xd}中的值，其中有xi∈ 每i=1，d、然后，对于任何函数f（t，x，s），我们可以写出πt（f）=dXi=1E[f（t，Xt，St）1{Xt=i}| Ht]=dXi=1f（t，xi，St）πt（fi），（4.7），其中fi（x）=1{x=xi}和πt（fi）=P（Xt=i | Ht）。然后，滤波器完全由条件概率πt（fi），i=1，每一个t都是d∈ [0，T]。用π表示条件概率向量：={πt，t∈ [0，T]}与πT:=（πT（f）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:47

，πt（fd）），我们得到过程（X，S，π）在有限维空间R×[0，1]d中取值*)-带生成元L的马尔可夫过程*, Proposition 4.2中的关系（4.4）可以写成VHT=EP*hg（t，Xt，St，πt）嗯∈ [0，T]，其中，g（T，x，s，p）现在表示[0，T]×R×[0，1]上的一个可测函数，如g（T，Xt，St，πT）=EP*hπT（h）Fti=EP*“dXi=1H（T，xi，ST）πT（fi）英尺#，每t∈ [0，T]。与引理4.3类似，我们可以如下描述函数g（t，x，s，p）。引理4.4。设（t，x，s，p）∈ D（L）*) 以至于L*例如（t，x，s，p）=0，（t，x，s，p）∈ [0，T）×R×[0，1]deg（T，x，s，p）=dXi=1piH（T，xi，s），（x，s，p）∈ R×[0，1]d.（4.8）那么，对于每一个t，eg（t，Xt，St，πt）=g（t，Xt，St，πt）P-a.s∈ [0，T]。证据该证明与引理4.3和方程（4.7）的证明相同，它们描述了假设多个值的状态过程的过滤器。4.1. 一个部分可观测的jum p扩散模型。在本节中，我们讨论了一个部分可观测的模型，其中s由几何跳跃扩散过程描述，漂移和跳跃特性取决于不可观测的

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:51

其中N（dt，dζ）是可测可分空间（Z，Z）上具有有限强度η（dζ）dt的（F，P）-泊松随机测度，W:={Wt，t∈ [0，T]}是独立于N（dt，dζ）的（F，P）-布朗运动，系数u（T，x，s），σ（T，s）>0，K（ζ；T，x）和K（ζ；T，x，s）是其参数的R值可测函数，因此系统（4.9）存在唯一的强解，例如参见[21]。这里，K（ζ；t，x）取集合K中的值：={kij=xi- xj:i6=j，i，j=1。。。d} 。表示byeN（dt，dζ）给出的（F，P）补偿随机测度byeN（dt，dζ）=N（dt，dζ）- η（dζ）dt。我们回顾了与m（dt，dz）=Xs给出的S的j umps相关的整值随机测度的定义：Ss6=0δ（s，Ss）（dt，dz）。每一个t∈ [0，T]，集Dt:={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-, 圣-) 6=0}并假设EhRTη（Dt）dti<∞. 然后m（dt，dz）的（F，P）-可预测的对偶投影由νF（dt，dz）=νFt（dz）dt给出，其中νFt（A）=η（DAt），DAt:={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）- , 圣- ) ∈ A\\{0}，对于任何A∈ B（R）（更多详细信息参见示例[9,3]）。注意，νFt（dz）依赖于ω到（Xt）- （ω），圣- （ω），即νFt（dz）=νF（t，Xt）- , 圣- , dz）。此外，νFt（R）={νFt（R）=η（Dt），t∈ [0，T]}提供点过程{m（（0，T]×R），T的（F，P）-强度∈[0，T]}，其中m（（0，T]×R）给出了截至时间T的S的跳跃数。假设强度为严格正，即η（Dt）>0 P-a.S∈ [0，T]。此外，我们还认为ZT|u（t，Xt，St）|+σ（t，St）+η（Dt）+ZZ | K（ζ；t，Xt，St）|η（dζ）dt< ∞, （4.10）EZTη（Dt）+ZZ | K（ζ；t，Xt）|η（dζ）Dt< ∞, （4.11）式中Dt:={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）- ) 6=0}每t∈ [0，T]。提案4.5。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:28:56

在（4.10）和（4.11）中，对（X，S）是一个（F，P）-马尔可夫过程，其生成函数X，Sde定义为byLX，Sf（t，X，S）=Ft+u（t，x，s）sFs+σ（t，s）sFs+ZZf（ζ；t，x，s）η（dζ），（4.12）式中f（ζ；t，x，s）：=ft、 x+K（ζ；t，x），s（1+K（ζ；t，x，s））- f（t，x，s），对于每个函数f（t，x，s），关于x有界且可测，对于（t，s）C1，2。此外，followi-ng半马丁盖尔分解保持Sf（t，Xt，St）=f（0，x，s）+ZtLX，Sf（u，Xu，Su）du+Mft，其中Mf={Mft，t∈ [0，T]}i是不完全信息下的（F，P）-鞅的byFS分解=FsStσ（t，St）dWt+ZZf（ζ；t，Xt）-, 圣-) （N（dt，dζ）- η（dζ）dt）。（4.13）证明被推迟到附录A。为了简单起见，在续集中，我们假设每（t，x，s）一个都是u（t，x，s）<c，0<c<σ（t，s）<cand K（ζ；t，x，s）<c，（4.14）∈ [0，T]×R×R+，ζ∈ 对于一些常数c，c，c，c，我们定义了过程I={It，t∈ [0，T]}通过设置它：=Wt+Ztu（u，Xu，Su）- πu（u）σ（u，Su）du，t∈ [0，T]，（4.15），其中滤波器π在（4.2）中定义。过程I是一个（H，P）-布朗运动，称为创新过程（参见。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:29:00

[14] [17]了解更多细节）。此外，假设Ht=FSt，对于每一个t∈ [0，T]，整值随机测度m（dt，dz）的（H，P）-可预测对偶投影由νHt（dz）dt给出，并且下面的关系式保持νHt（dz）dt=πT- （νF（dz））dt，多亏了[2，命题2.2]。根据[3，定理3.1]的相同论点，我们得到跳跃扩散模型中关于P的过滤方程由以下Kushner-Stratonovich方程给出，πt（f）=f（0，x，s）+Ztπs（LX，Sf）ds+Zths（f）dIs+ZtZRwf（s，z）（m（ds，dz）- νHs（dz）ds），t∈ [0，T]，对于每个函数f（T，x，s），关于x有界且可测，对于C1，2关于（T，s），其中ht（f）：=πT（uf）- πt（u）πt（f）σ（t，St）+Stσ（t，St）πtFs,wf（t，z）：=dπt-（fνf）dνHt（z）- πt- （f）+dπt-（Lf）dνHt（z），（4.16）在（4.12）和Lf（t，x，s，A）中给出的发生器LX，Sis:=RdA（t，x，s）f（ζ；t，x，s）η（dζ），A∈ B（R）和da（t，x，s）：={ζ∈ Z:K（ζ；t，x，s）∈ A\\{0}。由于X取有限集D中的值，根据（4.7），我们只需要计算指示函数fi（X）=1{X=xi}，i=1，d、然后，我们得到dπt（fi）=bi（t，St，πt）dt+γi（t，St，πt）dIt+ZRwfi（t，z）（m（dt，dz）- νHt（dz）dt），（4.17）16 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola，对于每一个i=1，d、这里，bi（t，s，p）和γi（t，s，p）是[0，t]×R+×[0，1]dgivenbybi（t，St，πt）=πt（LX，Sfi）=ZZ上的可测函数dXj=1πt（fj）1{K（ζ；t，xj）=xi-xj}- πt-（fi）η（dζ），γi（t，St，πt）=ht（fi）=πt（fi）u（t，xi，St）- πt（fi）Pdj=1πt（fj）u（t，xj，St）σ（t，St）对于每个i=1。。。，d、和t∈ [0，T]。备注4.6。值得强调的是，在这个框架中，滤波器可以递归计算，并转化为d方程和d未知数线性系统的唯一解，参见，例如。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:29:03

[4].现在，我们计算（4.1）中随机变量ξ关于S的F"ollmer-Schweizer分解中的被积函数，其行为在（4.9）中描述，以及过滤FS。请注意，这里的进程只有完全不可访问的跳转时间，那么我们可以应用推论3.11。首先，这需要构造最小鞅测度P*对于这个型号。为了使用Ansel Stricker定理（见[1]），过程必须满足关于F的结构条件。通过动力学（4.9），我们得到S关于F的正则分解由t=S+Mt+BFt，t给出∈ [0，T]，其中M是满足dmt=Stσ（T，St）dWt+St的平方可积（F，P）-鞅-ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)eN（dt，dζ）=Stσ（t，St）dWt+ZRz（m（dt，dz）-νFt（dz）dt）和BF={BF，t∈ [0，T]}是由dbft=St给出的R值F-可预测的有限变化过程-u（t，Xt）- , 圣- ) +ZZK（ζ；t，Xt）- , 圣- )η（dζ）dt=圣- u（t，Xt）- , 圣- ) +ZRzνFt（dz）dt。这里，M的F-可预测二次变化相对于Lebesguemeasure是绝对连续的，也就是说，d hM it=atdt，其中T=St-σ（t，St）- ) +ZZK（ζ；t，Xt）- , 圣- )η（dζ）= 圣-σ（t，St）- ) +ZRzνFt（dz），t∈ [0，T]。然后，半鞅S满足关于F，St=S+Mt+ZtαFsdhMis，t的结构条件∈ [0，T]αFt=u（T，Xt-, 圣-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）St-σ（t，St）- ) +RZK（ζ；t，Xt）- , 圣- )η（dζ）=圣-u（t，Xt）-, 圣-) +RRzνFt（dz）St-σ（t，St）- ) +RRzνFt（dz），（4.18）每t∈ [0，T]。注意，在条件（4.14）下，αFis定义良好，且条件hRT（αFt）dhMiti<∞ 已满。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:29:07

然后，我们可以应用命题2.3，它为S提供了关于H的结构条件，即St=S+Nt+ZtαHsdhNis，t∈ [0，T]，不完全信息下的FS分解，其中dnt=Stσ（T，St）dIt+ZRz（m（dt，dz）- νHt（dz）dt），αHt=St-πt-（u）+RRzνHt（dz）St-σ（t，St）- ) +RRzνHt（dz），每t∈ [0，T]。引入最小鞅测度P*, 我们假设αFtMt<1， T∈ [0，T]，E经验ZT（αFt）dhMcit+ZT（αFt）dhMdit< ∞. （4.19）E给出了（4.19）的充分条件经验ZTη（Dt）Dt< ∞, （见[6]中的备注5.6）。然后，我们可以应用Ansel Stricker定理，定义概率测量P的等效变化*数据处理FT=LT，其中过程L由LT=E给出-ZαFrdMrt每t∈ [0，T]是严格正（F，P）-鞅，这要归功于（4.19）。假设L也是平方可积的。在P之下*, 这对（X，S）的动力学可以写成dXt=ZZK（ζ；t，Xt）- )N（dt，dζ），X=X∈ D、 dSt=St-σ（t，St）dW*t+ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)EN*（dt，dζ）, S=S>0，其中W*= {W*t、 t∈ [0，T]}是（F，P）*)-满足布朗运动*t=Wt+ZtSuαFuσ（u，Su）du，t∈ [0，T]（4.20）安第斯山脉*（dt，dζ）是P下的补偿泊松测度*吉文·拜恩*（dt，dζ）=N（dt，dζ）- η*t（dζ）dt，带η*t（dζ）=（1-αFtSt-K（t，Xt）-, 圣-))η（dζ）每t∈ [0，T]和αf存在于（4.18）。我们会假设*ZTη*t（Dt）+η*t（Dt）+ZZ | K（ζ；t，Xt）|η*t（dζ）dt< ∞. （4.21）由于概率测度的变化是马尔可夫的，即αFt=αF（t，Xt）- , 圣- ), 过程（X，S）仍然是an（F，P）*)-马尔可夫过程和下面的结果提供了它的P*-发电机提案4.7。在条件（4.21）下，过程（X，S）是an（F，P*)-带生成元的马尔可夫过程*十、 Sf（t，X，s）=Ft+σ（t，s）sFs+ZZf（ζ；t，x，s）η*t（dζ）-FssZZK（ζ；t，x，s）η*t（dζ），（4.22）和对于每个函数f（t，x，s），关于x有界且可测量，对于（t，s）C1，2。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:29:11

结果如下[6，命题5.7]。18 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAWe用νF表示，*t（dz）dt the（F，P*)-整值随机测度m（dt，dz）和由νH的可预测对偶投影，*t（dz）dt-its（H，P*)-可预测的双重投影。然后，νF之间的关系，*t（dz）dt和νH，*t（dz）dt可以表示为关于P的滤波器*, π*（f） ={π*t（f），t∈ [0，T]}，由π定义*t（f）：=EP*[f（t，Xt，St）|FSt]=ZRf（t，x，St）π*t（dx），对于任何可测函数f（t，x，s），使得*|f（t，Xt，St）|∞, 每一个t∈ [0，T]。π，偶π*是一个概率测度值过程，它提供了给定信息流的

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:29:14

, π*t（fd）），我们得到π*t（fi）=fi（0，x，s）+Ztb*i（s，Ss，π）*s） ds+ZtZRwfi，*（s，z）（m（ds，dz）- νH，*s（dz）ds），其中b*i（t，s，p）是[0，t]×R+×[0，1]dsatisfyingb上的可测函数*i（t，St，π）*t） =ZZdXj=1π*t（fi）1{K（ζ；t，xj）=xi-xj}- π*t（fi）η*t（dζ）i=1。。。，d、下面的结果表明向量（X，S，π）是an（F，P）*)-马尔可夫过程及其P*发电机不完全信息下的FS分解。假设条件（4.21）成立。那么，向量（X，S，π）是an（F，P）*)-带发电机L的马尔科夫过程*鉴于拜尔*f（t，x，s，p）=Ft+l（t，x，s，p）dXi=1γi（t，s，p）Fpi+dXi=1bi（t，s，p）F圆周率-dXi=1ZRFpiwi（t，x，s，p，z）νH（t，x，s，p，dz）+σ（t，s）sFs+dXi=1σ（t，s）sγi（t，s，p）Fspi+dXi，j=1γi（t，s，p）γj（t，s，p）F圆周率pj+ZZf（ζ；t，x，s，p）η*（t，x，s，dζ）-FssZZK（ζ；t，x，s）η*（t，x，s，dζ），（4.24）对于每个函数f（t，x，s，p）关于x有界且可测，对于（t，s，p）C1，2,2关于wi（t，s，p），其中wi（t，x，s，p，z）是可测函数，使得wi（t，Xt- , 圣- , πt- , z） =wfi（t，z），wfi（t，z）给定in（4.16），选择f（t，x，s）=fi（x）=1{x=xi}，l（t，x，s，p）：=u（t，x，s）-Pdi=1u（t，xi，s）piσ（t，s）- sσ（t，s）αF（t，x，s），η*（t，x，s，dζ）：=[1- αF（t，x，s）s K（t，x，s）]η（dζ），νH（t，x，s，p，dz）：=kXi=1νF（t，xi，s，dz）pi，f（ζ；t，x，s，p）：=ft、 x+K（ζ；t，x），s（1+K（ζ；t，x，s）），p+p（ζ；t，x，s）- f（t，x，s，p），p（ζ；t，x，s）：=(P以及pi:=wfi（t，sk（ζ；t，x，s））1{K（ζ；t，x，s）6=0}（ζ），i=1。。。，d、最后，以下定理提供了（4.1）中给出的F"ollmer-Schweizer分解中被积函数在ξ部分信息下的显式表达式，关于本节中描述的马尔可夫模型的S和Fs。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:29:18

在续集中，我们使用以下符号：git=g（t，xi，St，πt），git-= g（t，xi，St-, πt-)吉特（z）=g（z；t，xi，St，πt）=gt、 xi街- + z、（π）-+ wfi（t，z））i=1，。。。，D- g（t，xi，St- , πt-)定理4.10。设g（t，x，s，p）是[0，t]×R×R+×[0，1]数据上的一个可测函数，它解决了问题（4.8）。当ξ的F"ollmer-Schweizer分解中的积分egrand，参见（4.1），关于fss，由βHt=HHt+φHt，T给出∈ [0，T]，其中20 C.CECI，K.COLANERI和A.CRETAROLAHHt=Pdi=1-σ（t，St）-)π*T-（fi）吉特-sSt-σ（t，St）-) +Pdj=1吉特-pjγj（t，St-, πt-)圣-σ（t，St）-) +RRzνH，*t（dz）+Pdi=1RRgit（z）（π）*T-（fi）+wfi，*（t，z））+git-wfi，*（t，z）zνH，*t（dz）St-σ（t，St）- ) +RRzνH，*t（dz），（4.25）φHt=RRnPdi=1RRgit（z）（π）*T-（fi）+wfi，*（t，z））+git-wfi，*（t，z）Z- HHtzozαHtνHt（dz）St-σ（t，St）-) +每t的RRzνHt（dz），（4.26）∈ [0，T]。证据注意（H，P*)-S的半鞅分解由dst=Stσ（t，St）dI给出*t+ZRz（m（dt，dz）- νH，*t（dz）dt）。现在，我们回忆起VHT=EP*hg（t，Xt，St，πt）Hti=dXi=1gitπ*t（fi）t∈ [0，T]。为了计算VHwe的动力学，首先将It^o公式应用于g（t，xi，St，πt）。考虑π的动力学（见（4.17））和公式（4.15）、（4.20）和（4.23），我们得到dgit=hitdt+吉特sStσ（t，St）+dXj=1吉特pjγj（t，St，πt）dI*t+ZR吉特（z）（m（dt，dz）- νH，*（dz）dt）对于合适的H-可预测过程hi={hit，t∈ [0，T]}。特别是，由于函数g是问题（4.8）的解，VHHT的动力学由DVHT=dXi=1π给出*t（fi）吉特sStσ（t，St）+dXj=1吉特pjγj（t，St，πt）dI*t+dXi=1ZZn吉特（z）π*T-（fi）+wfi，*（t，z）+ 吉特-wfi，*（t，z）o（m（dt，dz）- νH，*t（dz）dt）。然后，在P*是由hht=d给出的*,HhVH，Sitd*,HhSit∈ [0，T]得到（4.25）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:29:22

为了计算ξ的F"ollmer-Schweizer分解中的被积函数β，我们观察到dgt=dVHt- 不完全信息下的HHtdStFS分解[G，S]，Z·αHsdNst=H*Xr≤TGrSr，ZtαHsZRz（m（dr，dz）- νHr（dz）dr）+。最后，通过推论3.11我们得到βHt=HHt+φHt，其中φHt=dHh[G，S]，R·αHsdNsitdHhNitis由（4.26）给出。备注4.11。注意，如果过程S有连续的轨迹，那么根据定理4.10我们得到βHt=HHt=dXi=1π*T-（fi）吉特-s+Pdi=1Pdj=1π*T-（fi）吉特-pjγj（t，St-, πt-)圣- σ（t，St）- ).事实上，在这种情况下，给定随机变量在P下的F"ollmer-Schweizer分解与P下的相应ding Galtchouk Kunita Watanabe分解一致*, 参见[24，定理3.5]。另外，如果随机变量ξ是可测的，那么βHT=HHt=dXi=1π*T-（fi）吉特-s=p，*βFt，（4.27），其中p，*βf对应于（H，P*)-过程βF={βFt，t的可预测投影∈ [0，T]}，其中βFt=g（t，Xt）-,圣-)s、 [6，引理5.1]对g（t，x，s）进行了表征。在完全信息下，βfre表示ξ的F"ollmer-Schweizer分解的积分，这与极小鞅测度P下ξ关于F和S的Galtchouk-Kunita-Watanabe分解一致*. 我们注意到，关系式（4.27）也适用于[6，命题4.6]。参考文献[1]J.P.安塞尔和C.斯特里克。最小限度的存在。在J.Azéma、P.A.Meyer和M.Yor《概率论》第二十七卷第1557卷《数学课堂讲稿》的编辑中。，第22-29页。Sp ringer Berlin H eidelberg，1993年。[2] C.塞西。部分观测高频数据模型的风险最小化套期保值。随机，78（1）：13-31，2006年。[3] C.塞西和K.科拉内里。跳跃扩散观测的非线性滤波。Adv.应用。Probab。，44(3):678–701, 2012.[4] C.塞西和K.科拉内里。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-9 12:29:26

跳跃扩散观测的非线性滤波Zakai方程：存在性和唯一性。阿普尔。数学Optim。，69(1):47–82, 2014.[5] C.塞西、K.科拉内里和A.克雷塔罗拉。在部分信息的情况下，一款基准应用程序可以实现风险最小化。保险数学。经济。，55:129–146，2014年。[6] C.塞西、K.科拉内里和A。克雷塔罗拉。在资产价格信息受限的情况下，局部风险最小化。电子J.Probab。，20(96):1–30, 2015.[7] C.塞西、A.克雷塔罗拉和F.鲁索。部分信息和财务应用下的BSDEs。斯托克。过程应用程序。，124(8):2628–2653, 2014.[8] C.塞西、A.克雷塔罗拉和F.鲁索。受限信息下的GKW表示定理。应用托里斯克最小化。斯托克。戴恩。，14（2）：1350019（23页），2014年。[9] C.塞西和A.杰拉尔迪。部分信息下的高频数据模型：过滤方法。Int.J.Theor。阿普尔。《金融》，9（4）：2006年1月至22日。[10] T.Choulli、N.Vandaele和M.Vanmaele。F"ollmer-Schweizer分解：比较和描述。随机过程。应用程序。，120(6):853–872, 2010.[11] S.N.Ethier和T.G.Kurtz。马尔可夫过程：特征和收敛。威利·塞尔。Probab。统计数据：约翰·威利和S·奥斯公司，2008年。[12] H.F"ollmer和M.Schweizer。不完全信息下的未定权益套期保值。M.H.A.Davis和R.J.Elliott，《应用随机分析》编辑，第389-414页。Gordon and Break，1991.22 C.CECI，K.COLANERI和A.CRETAROLA[13]R.Frey和W.R unggaldier。不完全信息下的信用衍生品定价：非线性过滤方法。金融斯托赫。，14(4):495–526, 2010.[14] G.藤崎骏、M.卡利安普尔和H.库尼塔。非线性滤波问题的随机微分方程。大阪J.数学。，9(1):19–40, 1972.[15] B.Grigelionis和R.Miku Levious。跳跃随机过程的非线性滤波方程。在D。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝