一个非对称ARCH模型及聚类和聚类的非平稳性

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收藏 2022-05-09

英文标题：
《An asymmetric ARCH model and the non-stationarity of Clustering and
Leverage effects》
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作者：
Xin Li and Carlos F. Tolmasky
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We propose a new volatility model based on two stylized facts of the volatility in the stock market: clustering and leverage effect. We calibrate our model parameters, in the leading order, with 77 years Dow Jones Industrial Average data. We find in the short time scale (10 to 50 days) the future volatility is sensitive to the sign of past returns, i.e. asymmetric feedback or leverage effect. However, in the long time scale (300 to 1000 days) clustering becomes the main factor. We study non-stationary features by using moving windows and find that clustering and leverage effects display time evolutions that are rather nontrivial. The structure of our model allows us to shed light on a few surprising facts recently found by Chicheportiche and Bouchaud.
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中文摘要：
基于股市波动的两个典型事实：集群效应和杠杆效应，我们提出了一个新的波动模型。我们用77年的道琼斯工业平均指数数据按领先顺序校准了模型参数。我们发现，在短时间尺度（10到50天）内，未来波动率对过去收益的迹象非常敏感，即不对称反馈或杠杆效应。然而，在长时间尺度（300到1000天）中，聚类成为主要因素。我们通过使用移动窗口来研究非平稳特征，发现聚类和杠杆效应显示的时间演化相当平凡。我们模型的结构使我们能够阐明奇切帕蒂切和布沙德最近发现的一些令人惊讶的事实。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Statistical Finance 统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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An_asymmetric_ARCH_model_and_the_non-stationarity_of_Clustering_and_Leverage_effects.pdf
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nandehutu2022

2022-5-9 15:03:12

非对称ARCH模型与Li中聚集效应和杠杆效应的非平稳性*Carlos F.Tolmasky+Abstracts我们基于股票市场波动性的两个典型事实提出了一个新的波动性模型：集群效应和杠杆效应。我们用77年的道琼斯工业平均指数数据，按领先顺序校准模型参数。我们发现，在短期范围内（10至50天），未来波动率对过去回报的迹象非常敏感，即不对称反馈或杠杆效应。然而，在长时间尺度（300到1000天）中，聚类成为主要因素。我们通过使用移动窗口来研究非平稳特征，发现聚类和利用对显示时间演化的影响非常重要。我们模型的结构使我们能够阐明Chicheportiche和Bouchaud[1]最近发现的一些令人振奋的事实。1简介过去40年来，有各种各样的工作来模拟金融资产波动的过程。这种兴趣在很大程度上来自布莱克和斯科尔斯理论中波动率参数所起的作用。即使在其原始形式B中，拉克-斯科尔斯的模型未能解释观察到的相关影响，例如微笑，波动过程演变的研究也只是随着时间的推移而获得了相关性。其原因是，取消参数为常数的假设，并在其中添加随机成分，有助于理解微笑效应。平心而论，很难为资产价格的持续波动打下基础。对波动性建模的一个关键步骤是识别我们希望模型能够适应的程式化事实。两个最重要的程式化事实是集群效应和杠杆效应。

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能者818

2022-5-9 15:03:16

聚类指的是波动性倾向于持续的事实：高（低）波动期之后往往是高（低）波动期。另一方面，杠杆效应指的是波动率对正回报而非负回报的反应不对称。在试图通过增加随机性来处理波动性的模型中，我们可以区分两种不同类型：ARCH-GARCH系列模型和随机波动性模型。前者遵循时间序列文学中的思想。Engle[2]于1982年引入了自回归条件异方差（ARCH）模型，并对其进行了大量修改，这些修改的例子包括GARCH（p，q）、IGARCH（集成）、EGARCH（本质）、QARCH（二次）和TGARCH（阈值）模型。即使在ARCH和GARCHMODEL中，回报效应也是以对称的方式存在的，他们的一些竞争对手提到了在考虑杠杆效应的能力方面的建设。*明尼苏达大学物理与天文学学院，明尼苏达州明尼阿波利斯55455。+明尼苏达大学数学及其应用研究所和MCFAM，明尼苏达州明尼阿波利斯市，邮编：55455。在最近的一篇论文中，Chicheportiche和Bouchaud[1]对源自Sentana[3]的二次拱模型进行了彻底的研究。它的最一般形式是σt=s+∞Xτ=1L（τ）r（t- τ) +∞Xτ，τ′=1K（τ，τ′）r（t- τ）r（t）- τ′（1）其中r（t）是定义为r（t）=lnp（t+1）的回报- lnp（t），p（t）是资产时间t的价格。σ是r（t）的条件方差。L（τ）和K（τ，τ′）是表征过去收益如何影响条件方差的一些核。Chicheportiche和Bo uchaud通过用美国股票收益率校准模型，发现反馈内核表现出一些意想不到的特性。

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大多数88

2022-5-9 15:03:20

他们的一个主要结果是，二次核的反对角线项，即τ6=τ′的K（τ，τ′），虽然很重要，但比对角线元素K（τ，τ）小一个数量级。此外，对于大滞后，反对角线项为负值。他们还发现K（τ，τ）以对数幂律的形式衰减，与波动性的长记忆一致，L（τ）有两个时间尺度，如他们的两个指数函数所示。他们指出，观察到的内核中的复杂结构令人惊讶，并且与模型不兼容。我们将在后面看到，我们的模型确实可以提供这些特征的简单解释。在ARCH-GARCH模型家族中，模型的中心对象是条件波动率σt。在σ的动力学被指定后，如等式（1），瞬时回报被构造为r（t）=σt（t），式中，（t）是从规定的分布中独立得出的，其零均值和方差等于1（例如，标准正态分布）。各种各样的模型以许多不同的方式描述了动态。一种常见的方法是对条件方差σt如何依赖于r（t）等量进行建模-τ）或σt-τ在过去。然而，人们也直接或更普遍地对条件波动率σt进行建模。为了回顾这些模型以及它们与简单GARCH（1,1）的比较，我们请感兴趣的读者参考Hans en和Lunde[4]的论文。本文采用了一种略有不同的方法对金融时间序列进行建模。我们首先假设σtdepe在过去返回{r（t- τ），τ>0}，这是所有拱形模型所基于的假设，然后假设从过去返回到当前波动的反馈是“小”的，并且在扰动理论的框架内工作。

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nandehutu2022

2022-5-9 15:03:23

我们在我们的框架中寻找最简单的模型，可以捕捉数据的典型事实，即聚集波动性和杠杆效应。我们发现的特定模型与Zakoian[5]研究的TGARCH模型非常相似，但如下图所示，我们没有像大多数TGARCH模型研究那样对模型进行ca REFL统计测试，而是专注于寻找模型参数在用数据校准时所表现出的定性特征。通过这种方式，我们希望我们的分析能为我提供有关股票市场的有用见解。pap e r的其余部分组织如下。第2节讨论了导致我们的不对称波动率模型的一般假设和指导原则。它与其他模型的关系是简单的。第3节定义了各种相关函数，并在我们的模型中计算了它们的前导阶表达式。第四节在平稳假设下进行了实证研究，即假设模型参数在整个周期内保持不变。讨论了模型参数的性质。第5节放松了平稳假设，展示了这些参数是如何随时间变化的，以及在时间演化中发现的非平凡模式。最后，第6节总结了我们的发现并总结了本文。2不对称ARCH模型我们在本节基于一些一般假设提出了不对称波动率模型。时间t的股票收益率通常定义为r（t）=ln（p（t+1）/p（t），其中p（t）是股票的价格。r（t）是一个随机变量，可以写成r（t）=σ（t）（t）的形式。我们认为σ（t）和（t）都是随机的。（t）独立于过去式，条件E（t）=0，E（t）=1。E表示非条件期望值。

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能者818

2022-5-9 15:03:26

如果σ（t）在对t之前的所有信息进行条件化后是确定的，那么该模型与ARCH-GARCH模型非常相似；如果σ（t）在所有信息都给定的情况下仍然是随机的，则该模型属于随机波动率模型。我们进一步假设无条件期望Eσ（t）=σ（t），其中σ（t）是时间t的确定函数，与过去的retur n r（t）无关- τ). 由于σ（t）的随机性或不规则性已被“平均化”，我们期望σ（t）是t的一个缓慢变化且表现良好的函数。人们注意到，σ（t）作为一个期望值，并没有被直接观测到，因为人们无法区分观测到的收益率r（t）的哪个部分是由σ（t）引起的，哪个部分是由（t）引起的，所以我们不能每次只观测σ（t）at，我们只知道r（t）是两个r和OM变量σ（t）和（t）的乘积。在总结中，我们可以写出股票收益率的一般表达式，如下所示。r（t）=σ（t）·（t）；E（t）=0，E（t）（t′）=δtt′，Eσ（t）=σ（t）（2），其中δtt′是克朗克的δ函数。公式（2）在ARCH-like和sto-chasticvolatility模型中都有效，这是我们的出发点。如果波动率是确定的且恒定的，σ（t）=σ，且（t）服从标准正态分布，我们得到布朗运动模型。为了考虑聚集波动率，将随机性引入波动率σ（t）。我们遵循ARCH-GARCH模型的方法，并假设随机性来自过去的重复。因此，我们可以把σ（t）写成过去r次的确定函数。σ（t）=σ（t）+J（t；{r（t）- τ), τ > 0}); ej（t；{r（t）- τ），τ>0}）=0（3）广义函数J≡ J（t；{r（t）- τ），τ>0}）封装了对过去收益的所有可能的复杂依赖。

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kedemingshi

2022-5-9 15:03:30

由于这种过去的依赖性，不同时间的波动率变得相互关联，从而导致波动率聚集。回归r（t）的一些一般性质直接遵循式（2）和（3）。例如，用τ≥ 1E r（t）r（t）- τ） =E r（t）- τ）（Eσ（t）（t）| Ft-1） =E r（t）- τ） σ（t）（E（t）|Ft-1） =0（4）其中|英尺-1表示对时间t之前可用的信息或时间t之前的信息进行调节-1.因此，不同时间的回报仍然是不相关的。以类似的方式工作，我们看到观察到的波动类型r（t）大于σ（t）（注Ej=0，由等式（3）），Er（t）=σ（t）+Ej（5）。通过引入波动的随机性，观察到的波动增加。接下来，我们考虑J的具体形式，即cons traint E J=0。我们进一步假设平稳条件，即σ（t）=σ是常数，J不明确地依赖于时间t。如果J是过去收益的线性ar函数，J（{r（t））- τ)}) =∞Xτ=1K（τ）r（t- τ）（6）那么它实际上属于一种QARCH模型。实际上，我们可以计算条件期望σt=E（r（t）|Ft-1），σt=σ+2σ∞Xτ=1K（τ）r（t- τ) +∞Xτ，τ′=1K（τ）K（τ′）r（t- τ） r（t）- τ′）（7）与式（1）相比，我们发现上述线性模型属于QARCH型模型，核L（τ）=2σK（τ）和K（τ，τ′）=K（τ）K（τ′）。这个例子表明，函数J的简单形式可能导致条件方差的更复杂结构，这在许多ARCH-GARCH模型中起着核心作用。正如杠杆效应所表明的，当前的波动性不同地取决于过去的回报率是正还是负。而不是线性函数方程。

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mingdashike22

2022-5-9 15:03:33

（6）因此，提出非对称波动率反馈更为合理。r（t）=σ（t）（t）=[σ+J（{r（t）]- τ），τ>0}）·（t）J（{r（t- τ), τ > 0 }) =∞Xτ=1K+（τ）（r+（t- τ) - E-r+）+∞Xτ=1K-（τ）（r）-（t）- τ) - ER-)（8）其中r+（t）=r（t）·I（r（t）>0）和r-（t） =r（t）·I（r（t）<0），I（E）是一个指示函数，如果事件E为真，I（E）=1，否则I（E）=0。Er±=Er（t），是平稳假设下的常数。为了简单起见，我们假设（t）是从标准正态分布中得出的，尽管其他具有厚尾的分布也可以考虑。如果K+（τ）=K-（τ）然后将上述非线性模型简化为线性情形eq.（6）。当给定过去的历史和K±（τ）时，σ（t）是确定的。从一般性质来看，r（t）=0；Er（t）r（t′）=σδtt′（9）σ=Er（t）是观察到的方差。式（8）中的J可视为相对于r+（t）的一阶展开式-τ）和r-（t）-τ） Around Er+和Er-. 通过使用r（t）=r+（t）+r-（t）和| r（t）|=r+（t）- R-（t），我们可以重写J asJ=∞Xτ=1KV（τ）（|r（t- τ)| - E | r |）+∞Xτ=1KL（τ）r（t- τ） KV（τ）=（K+（τ）- K-(τ))/2; KL（τ）=（K+（τ）+K-（τ））/2（10）KV（τ）表征了以τ为时间单位的返回量对电流波动性的影响。这与ARCH模型非常相似，在ARCH模型中，条件波动率取决于过去收益的绝对值。KL（τ）g表示过去收益率符号的依赖性，这提供了不对称行为。我们注意到如果K+（τ）=-K-（τ），那么KL（τ）=0。J只取决于过去收益的绝对值。类似于KL（τ）的术语也包含在一些类似GARCH的模型中，以考虑杠杆效应。

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mingdashike22

2022-5-9 15:03:37

然而，如果一个人对待r+（t-τ）和r-（t）-τ）作为自变量，聚集波动率和杠杆效应自然产生。让我们进一步评论一下我们的模型和现有挥发性模型之间的关系。我们的模型从σt开始，而不是从方差σ开始，与Taylor[6]、Schwert[7,8]和Zakoian[5]研究的挥发性模型非常相似。其中，Zakoian[5]研究的TGARCH模型最接近。在他的论文中，他对一个名为TARCH（5）的特殊模型进行了仔细的统计测试，并认为过去正回报和负回报之间的差异是显著的。我们符号中的模型是σt=α+Xi=1α+τr+（t- τ) -Xi=1α-τr-（t）- τ）（11）这相当于我们的模型在τmax=5处截断。我们不再对模型进行深入的统计测试，而是以不同的方式研究模式l，并用数据对其进行校准。我们不将模型限制在一些小的滞后，而是允许它变大，并查看当模型与数据进行比较时，模型参数的模式，如α±τ。我们希望我们的方法将重新揭示对称ARCH模型的新方面，并对波动过程提供有用的见解。3.模型校准：为了校准模型并获得有关参数K±（τ）的信息，我们将各种相关函数定义为可从数据中导出的“可观测值”，然后根据K±（τ）在我们的模型中计算它们。我们研究了以下可观测的s.L+（t，τ）=E r（t）r+（t- τ) - Er（t）·Er+（t- τ） L-（t，τ）=er（t）r-（t）- τ) - Er（t）·Er-（t）- τ） L（t，τ）=er（t）r（t）- τ） =L+（t，τ）+L-（t，τ）V（t，τ）=er（t）r（t）- τ) - Er（t）·Er（t）- τ）（12）在平稳假设下，上述函数与时间t无关，仅与τ上的nd有关。

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可人4

2022-5-9 15:03:40

Bouchaud、Matacz和Potters[9]首次提出了可观测的L（τ）=L（t，τ），直至归一化因子，以研究杠杆效应。杠杆效应由L（τ）的以下性质表征。L（τ）=（0，τ<0<0，τ≥ 0（13）在我们的框架中，时间对称是一个内置功能，因为当前的volatitydepe依赖于过去而不是未来。为了进一步探索公式（8）模型的后果，我们需要评估公式（12）中定义的相关函数。eq.（8）中的表达式J可视为r±的一阶泰勒展开式，并期望K±（τ）在某种意义上较小，例如，K±（τ）<1。在计算相关函数时，我们只保留k±（τ）的一阶。由于K±（τ）和r（t）都很小，预计高阶修正会被抑制。我们将在后面通过查看获得的结果讨论一阶计算是否合理。在K±（τ）的前导顺序中，L+（τ）可以表示为L+（τ）=E（σ+2σJ+J）r+（t- τ) - （σ+ej）·eR+（t- τ)≈ 2σE Jr+（t- τ)= 2σ∞Xτ′=1K+（τ′）（er+（t- τ′）r+（t- τ) - Er+Er++2σ∞Xτ′=1K-（τ′）（Er-（t）- τ′）r+（t- τ) - ER-E r+（14）注意括号中的期望值乘以K±（τ）。为了计算L+（τ）的主次，我们可以使用r（t）=∑（t）来评估这些期望值，与这个结果的任何偏差都是K±（τ）的高阶。因此，E r+（t- τ′）r+（t- τ) - E r+E r+≈ σ·（E+（t- τ′）+（t- τ) - E+E+=σ（E）+- （E+）Δττ′=1.-πσΔττ′（15），其中+（t）=（t）I（（t）>0）和-（t） =（t）I（（t）<0），我们使用了（t）是从标准正态分布独立提取的。同样，E r-（t）- τ′）r+（t- τ) - ER-ER+≈ σ·（E-（t）- τ′）+（t- τ) - E-E+=σ（E+）Δττ′=2π∑Δττ′（16），其中+（t）·-（t） =0和E-= -E+被使用。

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大多数88

2022-5-9 15:03:43

我们有L+（τ）的表达式。L+（τ）=σ(1 -π） K+（τ）+πK-(τ)（17） L也是一样-（τ），L-(τ) = σπK+（τ）+（1）-π） K-(τ)（18） L±（τ）的总标度由σ给出。我们可以在第一阶中用观测到的方差σ来近似σ，因为σ=σ+E，并且在第二阶中出现了许多修正。不同的权重值（1/π和1- 式（17）和（18）中的1/π）引入了L+（τ）和L之间的对称性-(τ). 得到了L±（τ），我们得到了杠杆函数的表达式。L（τ）=L+（τ）+L-（τ） =2σKL（τ）≈ 2σKL（τ）（19）本文首次研究了杠杆函数L（τ）（直至系数σ）。作者认为，如果当前价格由过去价格的某个平均值决定，并且假设波动率与当前价格成正比，那么就可以得到一个普遍关系limτ→0L（τ）/σ=-2.在我们的模型中，只有当KL（τ→ 0) ~ -σ.在我们的模型看来，宇宙常数-2表示τ较小的参数kl（τ）的sc ale由-σ. 这种规模是完全可以理解的，因为人们预计，当市场出现大幅下跌，意味着大幅波动时，杠杆效应更为显著。因此，KL（τ）很可能与σ有关。我们不进一步假设关于KL（τ）或K+（τ）和K的任何假定性质-（τ）相反，K±（τ）是由可观测值L±（τ）通过等式（17）和（18）导出的。K+（τ）=（π）- 1） L+（τ）- L-(τ)σ(π - 2） K-(τ) = -L+（τ）- (π - 1） L-(τ)σ(π - 2）（20）上述方程完全符合我们的模型参数K+（τ）和K-（τ），然后它们可以用来计算其他观测值，并与数据进行比较。通过这种方式，我们可以对我们的模型进行一致性检查，并计算前置顺序。

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何人来此

2022-5-9 15:03:48

让我们计算V（τ）=V（t，τ），t通常用于说明波动率聚类。V（τ）=E（σ+2σJ+J）r（t- τ) - （σ+ej）eR（t- τ)≈ 2σE Jr（t- τ)= 2σ∞Xτ′=1K+（τ′）（er+（t- τ′）r（t- τ) - Er+Er）+2σ∞Xτ′=1K-（τ′）（Er-（t）- τ′）r（t- τ) - ER-E（r）≈ 2σK+（τ）（E+- E++K-（τ）（E-- E-)=rπσ（K+（τ）- K-（τ）（21）因此，V（τ）=2rπσKV（τ）（22）我们从等式（19）和等式（22）中看到，KL（τ）和KV（τ）确实分别对杠杆效应和集群波动性负责。我们可以计算收益r（t）的偶数矩，这为检查我们的模型和一阶计算提供了另一个方面。将标准化偶数矩函数定义如下。Mn=ern（t）（er）n/2，n在高斯情况下为偶数（23），即r（t）=∑（t），很容易得到Mn的表达式。Mn0=En=n/2√πΓ（n+1）=1·3·5·n- 3） ·（n）- 1）（24）为了计算K±（τ）的前导非零阶中的mn，我们首先计算er（t）。Er（t）=σ+Ej=σ+∞Xτ，τ′=1K+（τ）K+（τ′）（Er+（t- τ） r+（t- τ′) - E r+E r+）+∞Xτ，τ′=1K-（τ） K-（τ′）（Er-（t）- τ） r-（t）- τ′) - ER-ER-)+ 2.∞Xτ，τ′=1K+（τ）K-（τ′）（Er+（t- τ） r-（t）- τ′) - Er+Er-)≈ σ·1+（E+- （E+）∞Xτ=1K+（τ）+K-(τ)!+ 2（E+）∞Xτ=1K+（τ）K-(τ)= σ·\"1 +(1 -π)∞Xτ=1（K+（τ）+K-(τ))+ (π- 1)∞Xτ=1K+（τ）K-(τ)#= σ(1 + （K））（25）在哪里（K） =（1）-π)∞Xτ=1（K+（τ）+K-(τ))+ (π- 1)∞Xτ=1K+（τ）K-（τ）（26）是E r（t）或E J的前导非零校正≈ σ（K）。现在，让我们计算偶数n的rn（t）≥ 2以K的前导顺序，或等效地，以K的前导顺序（K）。E rn（t）=En·（σn+n（n- 1） σn-2E J+…）≈ σnEn·1+n（n）- 1)（K）（27）因此，保持（K）在明尼苏达州。锰≈ Mn0（1）-N（K） )1+n（n）- 1)（K）≈ Mn01+n（n）- 2)（K）（28）我们已经用函数K±（τ）在前导阶计算出了可观测的L±（τ）、V（τ）和mn。

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kedemingshi

2022-5-9 15:03:52

简单的前导顺序结果使我们能够轻松校准模型并解释数据。4实证研究：一个固定案例为了对模型进行实证研究，我们分析了从1939年3月15日到2015年10月16日77年间形成道琼斯工业平均指数的30只股票的每日收盘价。这些股票的价格出现了跳跃，比如股票分割、红利发行、股票分割和指数成分替换。如果价格在一天内上涨超过15%，我们只需通过设置返回零来放弃这些分数。这种正则化条件不应在我们的分析is中引入太多偏差，因为它们只占一只股票的19800个数据点总数的0.1%。我们还将这一比例调整为10%~ 25%，我们的结论是一样的。对于这一部分，我们在平稳假设下工作，并假设函数K±（τ）仅依赖于时滞τ。在下一节中，我们将放松平稳假设，研究K±随时间的变化。整个期间数据的时间平均值用于估计上一节中定义的不同期望值。跨越77年的静态消耗当然过于简单，但我们发现函数K±的定性行为变化不大。在本节中，我们将重点讨论K（τ）如何依赖于τ，并根据DowJones数据检查我们的简单模型。τdays0 200 400 600 800L±/σ-0.2-0.10.2DDτdays0 200 400 800L±/σ-0.2-0.10.2GEτdays0 200 400 600 800L±/σ-0.2-0.10.10.2PGτdays0 200 400 800L±/σ-0.2-0.10.2UTX不同股票的图1:L±（τ）/σ。图1显示了不同股票的L±（τ）。我们选择了股票代码为DD、GE、PG和UTX的4只股票，因为在整个研究期间，它们在道琼斯工业平均指数中只剩下s个股票。我们注意到条件相关函数l±（τ）的三个主要特征。

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可人4

2022-5-9 15:03:55

首先，我-(τ) ≈ -L+（τ），尤其是对于大τ。这一事实表明K-(τ) ≈-K+（τ），表示千伏（τ）>> KL（τ）。波动性反馈在很大程度上取决于过去收益的大小，而不是直接取决于收益本身。与波动性的相关性相比，杠杆效应很小。第二，我-（τ）而L+（τ）确实表现出与小τ不同的行为。例如| L-（τ=1）|>L+（τ=1）和L-（τ）衰变速度比l+（τ）稍快。在短时间尺度上的这种显著差异在于，平均效应虽然很小，但在短时间内却非常显著。第三，对于不同的股票，L±（τ）是不同的。对于GE和UTX等一些股票，相关函数比PG和DD等其他股票的相关函数更准确。这种差异可能是因为股票来自不同的行业。给定L±（τ），我们可以通过等式（20）获得K±（τ）。我们以UTX为例详细研究函数K±（τ），因为UTX的L±（τ）相对较小，所以一阶计算的结果更可靠。t天100 200 300 400 500 600 700 800K±（t）-0.4-0.3-0.2-0.10.10.20.3UTXK+K安装K+适用于UTX的K图2:K±（τ）。图2说明了函数K±（τ）的行为。为了考虑相关函数的快衰减和慢衰减，我们提出了指数截断幂律拟合函数forK±（τ），如下所示。K（τ）=Aτbe-τ/T（29）当b=0时，它是一个指数衰减，更适合拟合GE这样的股票；当T→ ∞ 或者T>τmax（在我们的例子中τmax=800），这是一种幂律衰减，对PG这样的股票有效。UTX的固定函数是（95%置信区间）K+（τ）=（0.26±0.02）·τ-0.17±0.02e-τ/（245±20）K-(τ) = (-0.34 ± 0.02) · τ-0.20±0.02e-τ/（247±20）（30）拟合参数A±、b±和T±定量地说明了K±（τ）的不同行为。

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mingdashike22

2022-5-9 15:03:59

我们已经看到| A-| > A+和b-> b+T-≈ T+|A.-| > A+表明，当过去的回报率为负时，对当前波动性的反馈更为强烈。b对函数K（τ）的贡献是通过因子τ来实现的-b、对于小τ，τ的值-bis对参数b非常敏感。参数b在短时间内表征反馈效应。b越大，|K（τ）|下降越快。参数T给出了相关关系的长期时间尺度。这种长期相关性是众所周知的，并导致聚集波动率，其具有与反馈函数K±（τ）相似的时间尺度。因此，我们有两个关于波动性反馈效应的时间序列。为了估计两个时间尺度，我们可以用两个指数函数交替地拟合K（τ）。K+（τ）=0.14 e-τ/9+0.13 e-τ/200K-(τ) = -0.18 e-τ /12- 0.15 e-τ/200（31）我们看到UTX的短时间尺度约为10天，而长时间尺度为200天。对其他股票进行类似的两次指数拟合，得出的短期标度通常为10~ 50天，而长时间范围可以是300天~ 1000天。这两个时间尺度与Chichepatiche和Bouchaud对QARCH模型的研究[1]中发现的两个时间尺度一致。为了进一步了解QARCH模式l中二次核的特征，我们使用squareEq。(10).σt=···∞Xτ=1（KV（τ）+KL（τ））r（t- τ) +∞Xτ6=τ′KL（τ）KL（τ′）r（t- τ）r（t）- τ′）+·（32）省略的项是常数项，r（t）中的线性项-τ）或| r（t）-τ）|，以及像r（t）这样的质量术语-τ） |r（t）-τ′）|和| r（t）-τ） | | r（t）-τ′)|(τ 6= τ′). 如果我们假设一个QARCHEQ模型。（1），相关函数或广义矩，如E r（t）r（t- τ）矿石r（t）r（t）- τ） r（t）- τ′）将用于校准QARCH模型。

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何人来此

2022-5-9 15:04:03

这与文献[1]中校准QARCH模型的方式非常相似，文中使用了组合广义矩方法（GMM）和最大似然估计（MLE）。然而，如果假设我们的模型方程（10），在K±（τ）的前导顺序中，只有两个项出现在q中。（32）将对E r（t）r（t）作出贡献-τ） r（t）-τ′). 因此，我们在模型asK（τ，τ′）中有一个二次核的估计≈（KV（τ）+KL（τ），τ=τ′KL（τ）KL（τ′），τ6=τ′（33）借助于上述方程，可以从KV（τ）和KL（τ）的角度理解K（τ，τ′）的特征。因为KV（τ）>> |KL（τ）|，QARCH模型的四对角项大于其有效对角项。这是因为σt很大程度上取决于|r（t- τ） |不是r（t）- τ）以及| r（t）的贡献- τ） |可以进入K（τ，τ′）的对角线元素，但不能进入其反对角线项。也可以理解，对于大滞后τ，反对角线项可能是负的。的确，K+（τ）~ -K-（τ）对于大τ和KL（τ）=（K+（τ）+K-（τ））/2，因此KL（τ）和KL（τ′）的符号可以完全相反，这使得一些对角元素为负。我们已经从条件相关函数L±（τ）中获得了函数K±（τ），然后我们可以使用公式（30）中的固定函数来计算其他观测值。τdays0 50 100 150 200 250 300L（τ）/σ-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020.020.04杠杆函数L（τ）数据1exp fitK±fit图3：比较杠杆函数L（τ）的结果。图3将两个函数与杠杆函数L（τ）进行了比较。这对于数据来说是一个很好的拟合，因为L（τ）=L-（τ） +L+（τ）和K±（τ）分别由L±（τ）确定，但它确实表明，正如以往文献[9,10]中通常所做的那样，L（τ）的一个指数低估了短期内单个股票的杠杆效应。

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能者818

2022-5-9 15:04:07

事实上，τ=1时的杠杆效应是指数函数结果的两倍。L（τ）中的大噪声也表明，最好使用L±（τ）来研究平均效应并校准模型。τdays0 100 200 300 400 500 600 700 800V（τ）/σ-0.10.10.20.30.40.50.60.70.8波动率V（τ）数据计算的相关函数图4：将计算的波动率相关性V（τ）与数据图进行比较。4表明V（τ）主要由固定函数复制。计算结果低估了小τ处的V（τ），其中K±（τ）变大，且Leading Orders计算不太准确。n2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ln（Mn）偶数矩MNDataGaussian1阶图5：将一阶计算偶数矩与dataFig进行比较。5显示了偶数矩函数mn，最大n=10，图为对数刻度。MN仅在n=2,4,6,8,10时进行评估，这些值之间的连线显示了MN随n的增长情况。我们发现，一阶结果比高斯情况下的数据总体上更好。为了总结平稳假设下的实证研究，我们对UTX股票收益率的前序模型进行了校准，并检查了前序结果是否一致。我们发现K±（τ）有两个时间序列。在短时间尺度内，τ=10~ 50天| K-（τ） |>K+（τ）；在长时间尺度下，τ=300~ 1000天，K+（τ）≈ -K-(τ). 我们通过将数据与计算的V（τ）和Mn进行比较，检验了模型和计算的一致性，结果与微扰理论的预期非常吻合。5实证研究：非平稳情况在1939年至2015年的整个期间，反馈系数K±（τ）不太可能相同。一般来说，它们可能会不时发生变化。

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大多数88

2022-5-9 15:04:10

为了评估这种时间依赖性，我们使用前面的数据计算时间t的观测值，如L±（t，τ）t天，即小窗口处的数据[t- t+1，t]。我们需要选择一个合适的t、它应该足够大以得出任何有意义的结果，足够小以反映反馈系数K±（t，τ）可能的时间依赖行为。我们开始t=400天，与聚集波动的时间尺度相当。由于现在我们的数据集要小得多，我们无法可靠地估计大τ滞后的K±（t，τ），而是使用第一个的平均值τlags。ave raged“L”（t）和“K”（t）定义如下。\'L±（t）=ττXτ=1L±（t，τ），\'K±（t）=ττXτ=1K±（t，τ），（34）我们还需要选取一个合理的τ . 它不能太大，因为对于大τ，K±（t，τ）很小，但噪声很大。我们开始τ=10天，与杠杆效应的时间尺度相当。为了分离杠杆效应和聚集波动性的影响，我们进一步将平均“KL（t）和”KV（t）定义为“KL（t）=（K+（t）+”K-（t））/2，\'KV（t）=（\'K+（t）-“K”-（t））/2（35）`KL（t）和`KV（t）测量杠杆效应和聚集波动性如何随时间变化。这些函数是针对单个股票定义的。一般来说，每种股票的价格都不一样。对于非平稳研究，我们将重点放在将这些函数作为一个整体使用市场指标。因此，我们需要对不同仓库中的“KL（t）”和“KV（t）”进行平均，以获得具有代表性的市场估计。这里采用简单的算术平均值。与静态情况不同，我们不确定只研究在整个时期内存活的指数中的股票。我们的目的是估计市场作为一个整体的状态，而取代旧股票的新股票来自我们试图估计的同一个市场。毕竟，我们最终对所有30只股票进行了平均。

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nandehutu2022

2022-5-9 15:04:15

指数中的库存替换不应该对我们的平均结果有太大影响。为了进行比较，我们分析了一个更为传统的市场指标，即指数收益率的波动性。指数returnRind（t）定义如下。外皮（t）=ln（I（t+1）/D（t+1））- ln（I（t）/D（t））（36），其中I（t）是t时刻的道琼斯指数值，D（t）是使指数值连续的道琼斯指数除数。时间t时指数收益率的波动率σR（t）被定义为时间窗口[t]期间指数收益率的标准偏差- t+1，t]。图6显示了“L”-（t）和‘L+（t）是非平稳的，表现非常不同。“L”的变化-（t）显著大于“L+（t）”。这正是我们对待雷加·丁格的方式-（t） r+（t）作为独立变量。从“L”（t）可以得到“K”（t）或“KV（t）”和“KL（t）。图7显示了千伏（t）如何随时间变化。它当然不是恒定的，它经历了交替的高低。在同一移动平均窗口中，指数收益率的波动性也绘制在图7中。集群波动性表现为交替的高低高原。这些平台表明，我们确实可以将波动性和波动性反馈系数KV（t）视为一个小时间窗口的常数。我们进一步注意到，\'KV（t）的跳跃比指数波动的跳跃更规则，即我们可以计算hlyt天×100 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2L±（t）-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050.050.10.15条件相关函数L±L+L图6:\'L±（t）随时间的变化×100 0.2 0.0.4 0.8 1.1 1 1 1 1 1.8 2K v01.6。20.40.6聚类波动率随时间变化×100 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2σR0。010.020.03指数波动率图7:\'千伏（t）和\'σR（t）随时间变化将整个历史中的\'千伏（t）值分为三个“阶段”。

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mingdashike22

2022-5-9 15:04:18

如图7中的3条水平虚线所示，低挥发性馈线为“KV（t）~ 0.06，中等水平为0.13，高水平大于0.20，这通常发生在金融危机时期。Wenote'KV（t）在大多数情况下小于0.6且在0.1左右，这充分证明了在我们的微扰计算中K±（t，τ）是一个很小的量。我们注意到，较大的波动性通常由较大的“KV（t）”值引起。这意味着一阶反馈不足以解释大波动性的出现，因此“KV（t）”本身需要变大才能拟合数据。处理模型内收益率的这种大偏差的一种可能方法是假设创新（t）不是高斯分布，而是一些重尾分布。我们仍然可以按K±（τ）的一阶计算，但现在有些常数像1-1/π将根据所选的特定分布进行更改。这样的修改可能会使K±（τ）更稳定，但它不会定性地改变图像。t天×100 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2KL-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020.020.04杠杆效应随时间变化X:19871030Y:-0.072图8:\'KL（t）随时间变化。8描述了“KL（t）”的演变。“KL（t）的规模为-0.08~ 0.02比千伏（t）小得多。令人惊讶的是，KL（t）并不总是负的，在某些时期它可能是正的。近年来，尤其是在1987年的大崩盘之后，它一直处于低零水平。虽然在1987年之后，它的价值有时会跃升到零以上，但它大致上会左右波动-0.02金融危机除外。与“KV（t）”的情况一样，也可以根据“KL（t）”的值将市场状态分类为3个“s相”。这种“相变”是近十年来最早出现的。如果我们如图9所示绘制从2005年到2015年的“KL（t）”，可以很容易地看到模式切换行为。

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能者818

2022-5-9 15:04:22

2008年金融危机之前，杠杆反馈很小~ -0.02. 在2008年期间~ 2010年和2011年~ 2013年，杠杆反馈为大“KL（t）~ -0.06. 2013年~ 2014年，KL（t）回到-0.02，但在2014年底，它降到了一个中等水平-0.03，一直呆在这里，直到2015年夏季的崩盘，这使其价值下降到-0.0 6. 同一时期的指数波动率如下图所示。9.我们已经看到，高波动性通常意味着巨大的杠杆反馈，但“KL（t）”包含市场的其他微妙特征，这些特征很难在波动性中看到。例如，2011年期间的波动性~ 2013年比2008年小得多~ 2010年，但这两个时期的杠杆反馈是相似的。虽然2008年之前和2013年之后的波动性都很小，但这两个时期的杠杆效应相当不同。6结论在总结中，我们提出了另一种波动率模型框架，并研究了非对称波动率反馈模型。这种不对称性确实表现在条件相关函数L±（τ）中。我们定义了反馈函数K±（τ），并将我们的一阶计算结果与道琼斯成分公司的数据进行比较，我们发现近年来反馈效应有两个KL-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02杠杆效应σR0。0050.010.0150.020.025指数波动率图9:\'KL（t）和\'σR（t）随时间尺度变化。通常在一个月内的短期回报对过去的回报率是正是负非常敏感，因此产生杠杆效应。从300天到1000天的长时间尺度是长期聚集波动的原因。在这样长的时间范围内，反馈是对称的。我们使用移动平均条件相关函数作为市场指标来研究这些函数的时间演化。

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能者818

2022-5-9 15:04:25

它们不是常数，表现出一种相当不平凡的行为：一种交替跳跃和高原的模式。对于波动性较大的市场而言，波动性反馈Kv和杠杆反馈|KL |都变得较大，这可能意味着反馈机制不足以产生数据中观察到的较大偏差。我们还发现，杠杆效应在1987年之后变得更加强烈，在最近十年中，杠杆效应的模式转换行为更加清晰。提出的模型本质上是现象学的，看看市场状况会导致这里研究的函数K±（τ）的特征，这将是非常有趣的。参考文献[1]Rmy Chichepatiche和Jean-Philippe Bouchaud。波动性反馈的具体结构I：多尺度的自我波动性。Physica A：统计力学及其应用，410:174–195，2014。[2] 罗伯特·F·恩格尔。自回归条件异方差与英国通货膨胀的方差估计。《计量经济学》，第50（4）页：987-1007页，1982年。[3] 恩里克·森塔纳。四边形拱模型。《经济研究评论》，62（4）：639–6611995。[4] 彼得·R·汉森和阿斯格·隆德。波动率模型的预测比较：所有的都是GARCH（1,1）吗？《应用计量经济学杂志》，20（7）：873–889，2005年。[5] Jean-Michel Zakoian。阈值异方差模型。《经济动力与控制杂志》，18（5）：931-9551994。[6] 斯蒂芬·J·泰勒。模拟金融时报系列。约翰·威利父子有限公司，1986年。[7] 威廉·施韦特。为什么股票市场的波动性会随时间而变化？《金融杂志》，44（5）：第1115-1153页，1989年。[8] 威廉·施韦特。股票波动和87年的崩溃。《金融研究评论》，3（1）：第77-1021990页。[9] Jean-Philippe Bouchaud、Andrew Matac z和Marc Potters。金融市场中的杠杆效应：延迟波动模型。菲斯。牧师。

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mingdashike22

2022-5-9 15:04:30

莱特。，2001年11月87:228701。[10] 乔塞普·佩雷洛和乔姆·马斯奥利弗。金融市场中的随机差异和杠杆效应。菲斯。牧师。E、 2003年3月67:037102。

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