非马尔可夫BSDE的密度分析及其在生物学和生物学中的应用

2022-5-10 20:23:01

非马尔可夫BSDE的密度分析及其在生物学和金融中的应用。Thibaut-Mastrolia*2018年10月8日摘要在本文中，我们提供了确保随机Lipschitz BSDEs可容许Alliavin可微解的条件。我们研究了一般路径依赖随机Lipschitz-BSDES解的第一组分的密度存在性问题，并在特殊情况下得到了第二组分的结果。我们将这些结果应用于生物学中的基因表达模型研究和数学金融中的经典定价问题。关键词：BSDEs，Malliavin演算，努尔丁-维恩斯公式，基因表达，期权定价。AMS 2010学科分类：初级：60H10；中学：60H07、91G30、92D20。1简介随机过程密度的存在性问题，例如随机微分方程（SDE）的解，在过去二十年中一直是一个非常活跃的研究领域，参见[26,35]。证明arandom变量定律允许密度的一个非常有用的标准是Bouleau和Hirsch的标准，参见例[35，定理2.1.2]。密度分析一直是处理随机偏微分方程（SPDs）的几项工作的主题，其中我们可以提到对随机热方程、随机波动方程（例如参见[33]、[36]、[31]）、Navier-Stokes方程[11]以及最近形成Xwellian分子的Landau方程（参见[12]）的研究。

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2022-5-10 20:23:04

此外，这些论文中的大多数都使用[34]中介绍的Nourdin和Viens公式研究了SPDE解的尾部估计，以便更好地理解这些过程。尽管S（P）DEs的密度存在问题及其尾部的估计一直是一个繁荣的领域，但反向随机微分方程（BSDE）的相应理论在文献中并未受到同样的关注。为了研究系统随机控制问题及其与庞特里亚金最大原理的联系，Bibiut于1973年首次在[5]中引入了BSDE。BSDEs的理论在90年代正式形成并发展起来，发表了开创性的论文[38,39]和[17]。在过去几十年中，BSDE一直是一个不断增长的目标*巴黎多芬大学，Ceremed UMR CNRS 7534，塔西尼广场，75775巴黎Cedex 16，法国，mastrolia@ceremade.dauphine.frinterest，因为这些方程自然出现在金融问题中，例如瞬时定价问题（见[17]）和效用最大化问题（见[45]，[22]）。据我们所知，三篇论文研究了BSDE解的密度存在性。[3]中首次提供了确保LipschitzBSDE溶液的第一组分Y具有密度的条件。在本文中，作者还研究了现有密度的估计及其光滑性。然后，在[1]中获得了确保特定BSDE解的第二分量Z存在密度的结果，其中生成器与其Z变量呈线性关系。最近，在[29]中研究了带二次增长发生器的BSDE解的Y和Z分量的这个问题。

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2022-5-10 20:23:09

然而，[3,29]只考虑马尔可夫BSDE，即数据ξ和ω7-→ 这类方程的f（s，ω，y，z）仅通过马尔可夫过程是随机的，[1]只考虑了半马尔可夫情形，即只有ω7的情形-→ f（s，ω，y，z）是马尔可夫的。尽管之前的研究从数学角度来看很有趣，但这些结果似乎对应用来说太过局限。例如，考虑一个价格问题，它可以简化为解决以下BSDE（详见[17]）dYt=（rtYt+θtZt）dt+ZtdWt，YT=ξ，其中r表示市场利率，θ表示风险的市场价格，ξ表示风险。正如在[16]中所注意到的，假设r是有界的，例如，是不现实的。这一评论促使[16]的作者定义了一类新的BSDE，其生成器满足所谓的随机Lipschitz条件。在[16]中首次获得了这类BSD的存在性和唯一性结果，然后在[4,48,8]等中进行了扩展。关于随机Lipschitz BSDEs解的组分律的密度存在性问题，目前还没有研究过，更重要的是在非马尔可夫框架下，即当终端条件ξ和ω7都不存在时-→ f（s，ω，y，z）通过马尔可夫过程依赖于随机性。为了解决这些问题，本文给出了ξ和f的条件。此外，尽管众所周知，在数据的适当条件下，非马尔可夫随机Lipschitz BSDEs允许唯一解（见[16,48,4,8]），但在一般情况下，尚未研究此类BSDEs解的Malliavin可微性。

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2022-5-10 20:23:13

为了应用Bouleau和Hirsch准则（[35，定理2.1.2]）来解决Yand Z定律的密度存在性问题，本文还提供了一些条件，确保非马尔可夫随机Lipschitz BSDE的分量Y和Z解是Malliavin可微的。本文的结构如下。在第2节的一些预备知识和注释之后，我们在第3节中提供了两种方法来研究随机Lipschitz BSDE解的Malliavin微分性。事实上，从经典文献的角度来看，我们区分了两类假设，它们提供了随机Lipschitz BSDE解的存在性和唯一性。一方面，我们有[16,4,48]中关于β空间的假设（见下文S2p，β和H2p，β），另一方面，我们有[8]中关于数据BMO范数的假设（主要）。然后，我们在本文中得到了两种条件，确保随机Lipschitz BSDE的解（Y，Z）的分量是Malliavin可微的。第一个是在第3.1节中研究的，基于文献[16,4,48]。使用[48，命题3.6]中获得的随机Lipschitz BSDE解的先验估计，我们对此类BSDE的数据有条件，这些条件提供了Y和Z的Malliavin可微性（参见假设（DsLp，β））。第二种方法在第3.2节中进行了研究，它基于论文[8,2]。我们给出了与[30]中获得的假设类似的假设，见假设（sH1，∞) 和（sH2，∞) 确保Y和Z是可区分的。然后，我们在第3节中比较这两种方法以及相应的条件。3.利用第3节的结果，我们在第4节讨论了非马尔可夫情形下随机Lipschitz BSDE解的密度存在性问题。

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2022-5-10 20:23:16

在第4.1节中，我们使用布劳和赫希准则给出了确保随机Lipschitz BSDE解的Y分量定律存在密度的条件。我们在第4.2节中为非马尔可夫Lipschitz BSDE的解的Y分量提供了较弱的条件。然后我们转到第5节中的Z分量。我们首先在第5.1节中提供了条件，以确保ZT分量定律对特定类别的BSDE具有密度，从而扩展了[1]的结果。然后，我们在第5.2节中解释了为什么我们无法将[29]的证明适用于一般非马尔可夫BSDE解的Z分量的非马尔可夫框架，并指出了未来研究的路径。最后，我们将第6节和第7节中的研究分别应用于生物学和金融。在第6节中，我们建议用Malliavin演算对[46]中介绍的蛋白质合成模型进行数学研究。事实上，为了验证他们的模型，[46]的作者需要将通过求解BSDE获得的时间t的蛋白质浓度规律与Gillespie方法产生的数据进行比较（见[20]）。然而，在[46]中，作者含蓄地假设，考虑中的BSDE的第一个分量Y的定律允许相对于勒贝格测度的密度。本文可以被视为对[46]中开发的模型的数学强化，通过使用所谓的努尔丁和维恩斯公式来获得密度的高斯估计。此外，我们建议将他们的模型扩展到非马尔可夫环境，这在我们研究某些模型中的蛋白质合成时可能非常相关（例如参见[7,27,18]）。在第7节中，我们研究了经典的定价问题。如[17]所示，这个问题可以简化为求解随机线性BSDE。

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2022-5-10 20:23:20

在本节中，我们的目标是将前面几节中获得的结果应用于Vasìcek模型中的亚洲和回望期权，以获得关于价值函数规律性和最优策略规律性的信息。2序言和注释2。1符号用λ表示R上的勒贝格测度。设T>0为固定时间范围。允许Ohm := C（[0，T]，R）是从[0，T]到R的连续函数ω的正则维纳空间，使得ω（0）=0。我们用W:=（Wt）t表示∈[0，T]正则维纳过程，即对于[0，T]中的任何时间T，Wt（ω）：=ωT对于[0，T]中的任何元素ωOhm. Weset Fow的自然过滤。在维纳测度P下，过程W是标准布朗运动，我们用F:=（Ft）t表示∈[0，T]方正P的通常右连续和完全增广。为了简单起见，我们用E表示P下的所有期望，并设置任意T∈ [0，T]Et[·]：=E[·| Ft]。此外，所有关于元素可测性的概念Ohm 我们设置h:=L（[0，T]，R），其中B（[0，T]）是[0，T]上的Borelσ-代数，并考虑hhf，gi上的以下内积：=ZTf（T）g（T）dt，（f，g）∈ h、与常模k·kh相关。现在让H成为Cameron-Martin空间，这是函数空间Ohm 对于平方可积导数是绝对连续的，从0:H开始：=h:[0，T]-→ R˙h∈ h、 h（t）=Zt˙h（x）dx，T∈ [0，T].对于h中的任何h，我们总是用˙h表示其相对于勒贝格测度的氡Nykodym密度。注意，H是一个Hilbert空间，对于任意（H，H）都有内积hh，hiH:=H˙H，˙hiH∈ H×H，与相关规范khkH:=H˙H，˙hih。让p≥ 1.

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2022-5-10 20:23:23

将Lp（K）定义为在希尔伯特空间K中取值的所有FT可测量随机变量F的集合，并且kF kLp（K）<+∞,其中kF-kLp（K）：=E[kF-kpK]1/p，其中范数K·kk是内积在K.Wede finelp（[t，t]；K）：=（f:[t，t]-→ K、 Borel可测量，s.t.ZTtkf（s）kpKds<+∞).将BMO（P）设为平方可积连续R值鞅M suchthatkMkBMO:=esssupτ的空间∈TTEτh（MT- Mτ）i∞< +∞,哪里有t∈ [0，T]，T是以[T，T]为单位的F停止时间的集合。因此，HBMOI是R值和F可预测过程的空间Z，因此KZKHBMO：=Z.ZsdWsBMO<+∞.用E（M）表示半鞅M的随机指数，我们得到了以下结果定理2.1。[25，定理2.3]如果M∈ BMO（P）那么E（M）是一致可积的。对于任何非负F适应过程α，我们定义了以下递增且连续的过程aαt:=Ztαsds。设p>，β>0，α为非负F适应过程，我们定义2p，β，α：=Y适应和cádlág，kY k2pS2p，β，α：=Esup0≤T≤TepβAαt | Yt | 2p< +∞.H2p，β，α：=（Y逐步可测量，kY k2pH2p，β，α：=E“中兴βAαs|Ys|ds！p |”+∞).Ha2p，β，α：=（Y逐步可测量，kY k2pHα2p，β，α：=E“ZTαseβAαs|Ys|2pds#+∞).为了与[8]中的符号相匹配，我们定义了任何实p>0的空间Spand HpbySp:=（Y自适应和cádlág过程，kY kSp:=E）sup0≤T≤T|Yt|p1.∧1/p<+∞)惠普：=Z可预测过程，kZkHp:=EZT | Zs | ds！p/21.∧1/p<+∞.特别地，对于任何p>我们有S2p=S2p，0，α和H2p=H2p，0，α。请注意，以下不等式适用于任何p>、β>0和任何非负fadapt过程αkY k2pS2p+kZk2pH2p≤ kY k2pS2p，β，α+kZk2pH2p，β，α。（2.1）2.2 Malliavin演算的元素我们在本节给出了一些关于Malliavin演算的结果，我们将在本文中使用这些结果。

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2022-5-10 20:23:27

现在让我们来看看圆柱泛函的集合，也就是f=f（W（h）形式的随机变量的集合，W（hn）），（h，…，hn）∈ Hn，f∈ C∞b（Rn），对于某些n≥ 1，（2.2）式中W（h）：=RT˙hsdws对于h中的任何h，式中C∞b（Rn）表示边界映射的空间，这些边界映射与有界导数完全连续可微。对于形式为（2.2）的S中的任何F，Malliavin导数F中的F定义为以下H值随机变量：F:=nXi=1fxi（W（h），W（hn））hi，（2.3）式中fxi:=dfdxi。然后，人们习惯于确认身份F与随机过程(tF）t∈[0，T]。然后用D1表示S关于Malliavin Sobolevsemi范数k·k1，p的闭包，定义为：kF k1，p:=（E[|F | p]+E[kF kpH]）1/p。我们设置D1，∞:=总磷≥2D1，p.我们使用符号DF来表示导数F作为：tF=ZtDsF ds，t∈ [0，T]。为了避免在非马尔可夫情况下出现任何歧义，我们需要立即引入一些进一步的符号。对于从[0，T]×开始的任何映射fOhm x Rinto R，我们假设Df（t，y）是在ω7的点（t，y）处计算的Malliavin导数-→~f（t，ω，y）。如果Df对y是连续可微的，我们用（Df）y对y的导数来表示。现在，y是一个f-逐步可测的实过程，y为y∈ 时间t时的D1,2∈ [0，T]。使用链式规则公式（例如，参见[35]），用Df（t，Yt）表示的Df at（t，Yt）的Malliavin导数由Dv，uf（t，Yt）：=Dv（Duf）（t，Yt）+（Duf）y（t，Yt）DvYt，0给出≤ u、五≤ t、（2.4）设h为h，τ为下列移位运算符τh：Ohm -→ Ohm 定义为τh（ω）：=ω+h，ω∈ Ohm.注意，h属于h的事实确保τhis在维纳空间上是可测量的位移。

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2022-5-10 20:23:31

在本文中，我们将使用Malliavin可微性的特征，作为Lp中差商的收敛，在[30]中介绍，如下所示。定理2.2（文献[30]中的定理4.1]）。设p>1和F∈ Lp（R）。那么F属于D1，pif，且仅当Lp（H）中存在DF且存在q时∈ [1，p）使得对于任何h inHlimε→0EFo τεh- Fε- hDF，嗨Q= 0.在这种情况下，DF=F现在我们回顾一下我们将用来检查随机变量F关于勒贝格测度的绝对连续性的标准。定理2.3（布劳-赫希准则，参见[35]中的定理2.1.2]）。设F为D1，p为p>1。假设kDF kh>0，P-a、那么F有一个概率分布，它对于R上的勒贝格测度是绝对连续的。让F使得kDF kh>0，P-a、那么，前面的标准意味着，关于勒贝格测度，定律ofF允许密度ρfw。假设存在一个可测映射ΦF和ΦF:Rh→ h、使DF=ΦF（W），wethen set:gF（x）：=Z∞E-尤厄*[hΦF（W），FΦuF（W）ih]F- E（F）=西都，x∈ R、其中FΦuF（W）：=ΦF（e）-uW+√1.- E-2uW*) 和W*概率空间上W定义的独立副本(Ohm*, F*, P*), 还有E*表示P下的期望值*（ΦFbeingextended on）Ohm × Ohm*). 我们回顾了[34]中的以下结果。定理2.4（Nourdin-Viens公式）。关于勒贝格测度，随机变量F的定律有一个密度ρfw，当且仅当随机变量gF（F-E[F]）是正的a.s。

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2022-5-10 20:23:34

在这种情况下，用supp（ρF）表示的ρF的支撑是R和所有x的一个封闭区间∈ supp（ρF）：ρF（x）=E（|F）- E[F]|）2gF（x- E[F]）exp-Zx-E[F]udugF（u）！。3随机Lipschitz BSDE解的Malliavin可微性非马尔可夫Lipschitz BSDE解的Malliavin可微性已在[17]和[30]中首次研究过，最近在[19]中也对Lévy驱动BSDE进行了研究。在[19]中，作者使用了Sugita在[47]中引入的Malliavin导数asGèteaux导数的著名特征，并获得了与[17]中类似的布朗条件（参见[19，第4节，（Af）]，而[30]利用了Malliavin可微性的新特征（参见定理2.2）改进了[17]中获得的条件。这里，我们将[30]的结果推广到随机Lipschitz情形。我们考虑以下非马尔可夫BSDEYt=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs，T∈ [0，T]，P- a、 s.（3.1），其中ξ是FT可测的随机变量，f:[0，T]×Ohm ×R-→ R是一个渐进可测量的过程，通常忽略ω依赖性。3.1 BSDE的规律性（3.1）：一种受[16,48]启发的方法，我们考虑以下关于p>和β>0的假设（sLp，β）。（i）存在两个非负F-适应过程r和θ，使得| F（t，y，z）- f（t，y，z）|≤ rt|y- y |+θt | z- z |，（t，y，y，z，z）∈ [0，T]×R.（ii）设at:=rt+|θT |对于任何T∈ [0，T]。我们假设在>0时，dt dP-a.e.，e[AaT]<+∞ 和f（t，0，0）在∈ H2p，β，a.（iii）ξ满足βAaT|ξ2pi<+∞.（iv）如果p∈ （，1），存在一个正常数L，使得AaT<L，P-a.s.注3.1。注意，案例a≡ 根据（ii）排除0。

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2022-5-10 20:23:39

然而，这个案例很容易研究，因为≡ 0意味着f相对于y和z是常数。然后，我们可以为这种BSDE的解提供一个显式表达式。本研究的主要困难在于，在假设（sLp，β）下，过程a是无界的，且a的随机积分不是BMO鞅。我们回顾了[48]中的以下结果，并扩展了[16]中的结果。定理3.1（定理4.1和[48]中的命题3.6）。设p>和β>max{2/（2p）- 1); 3} 假设这个假设（sLp，β）成立。然后BSDE（3.1）在（S2p，β）中允许一个唯一的解（Y，Z）∩ Ha2p，β）×H2p，β。此外，（i）如果p≥ 1，存在一个正常数Cp，β，仅依赖于p和β，例如kY k2pS2p，β，a+kY k2pHa2p，β，a+kZk2pH2p，β，a≤ Cp，βEhepβAaT |ξ| 2pi+f（t，0，0）at2pH2p，β，a！，（3.2）（ii）如果p∈ （，1），存在一个正常数Cp，β，L，仅取决于p，β，L，因此估计值（3.2）与Cp，β，L保持一致。我们现在讨论假设（sLp，β）下BSDE（3.1）解的Malliavin可微性。这样的结果需要我们现在列出的其他假设。假设（DsLp，β）。存在p>和β>0，因此对于任何h∈ H、（i）ξ∈ D1,2，limε→0E“epβAaTξ o τεh- ξε- Hξ、嗨2p#=0，且βAaT | hξ、 hiH|i<+∞.（ii）ω7-→ f（t，ω，y，z）∈ D1,2对于任何（t，y，z）∈ [0，T]×R×R，limε→0f（t，ω）o τεh，Yt，Zt）- f（t，ω，Yt，Zt）ε- Hf（t，Yt，Zt），你好H2p，β，a=0和Hf（t，Yt，Zt），你好H2，β，a<+∞.（iii）设（εn）n∈（0，1）中的一个序列，使得limn→+∞εn=0，设（Yn，Zn）n为一个随机变量序列，对于任意（p，β），该序列收敛于S2p，β，a×H2p，β，a∈(, 1) × (0, +∞), 对某些人来说（Y，Z）。

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能者818

2022-5-10 20:23:43

然后存在η>0，这样对于所有h∈ H、下面的收敛概率为kfy（·，ω+εnh，Yn·，Z·）- fy（·ω，Y·，Z·）kL2+η（[0，T]）-→N→+∞0，ess supt∈[0，T]fz（·ω+εnh，Yn·，Zn·）- fz（·，ω，Y·，Z·）at-→N→+∞0（3.3）orkfy（·ω+εnh，Yn·，Zn·）- fy（·ω，Y·，Z·）kL2+η（[0，T]）-→N→+∞0，ess supt∈[0，T]fz（·，ω+εnh，Y·，Zn·）- fz（·，ω，Y·，Z·）at-→N→+∞0.（3.4）（iv）对于任何q≥ 1,嗯RTrsds齐+∞.备注3.2。关于假设（DsLp，β）的性质（ii），请注意，对于固定（y，z），过程（s，ω）7-→ Df（s，ω，y，z）定义在一个P-可忽略集之外，该集通常依赖于（y，z）。因此，目前尚不清楚这一过程在（Ys（ω），Zs（ω））点是否得到了很好的定义。然而，在适当的连续性条件下，映射（y，z）7-→ Df（s，·，y，z），这些可忽略的集合实际上可以聚合成一个宇宙，在这个宇宙之外，Df（s，Ys，Zs）确实定义得很好。尽管如此，让我们指出一种替代方法，对于f的马利维衍生物，不需要额外的条件。主要问题是，随机变量的Malliavin导数通常仅定义为P-a.s（非线性随机变量除外），作为随机变量序列的概率极限（每ω定义一次，因为它们是柱形函数）。然而，存在一个极限的概念，称为中间极限（简称lim med），它的特殊性质是，在非常一般的集合论公理（见下文）下，我们得到以下结果（见例[32]）：设（Zn）为随机变量序列，则Z（ω）：=lim medn→+∞Zn（ω）是普遍可测的，如果Zn收敛到某个随机变量ZPin概率，那么Z=ZP，P-a.s。在我们的例子中，设F在D1,2中，存在一个圆柱元素序列fn，它在D1,2中收敛到F。

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2022-5-10 20:23:48

因此，DFn在L（H）中收敛到由DF表示的Malliavin导数ofF，定义了P-a.s。让GDF为DFn的中间极限，定义了每个ω。根据上述结果，DF=gDF，P- a、这种方法，据我们所知，以前没有在Malliavin演算的背景下考虑过（但关于随机积分的使用，请参见[37]），允许对D1,2中任何随机变量的Malliavin导数给出完整的路径定义。尽管如此，我们仍然强调，中间极限的存在取决于集合论框架，例如Zermelo Fraenkel集合论，加上选择公理（简称ZFC），以及连续统假设或马丁公理（与连续统假设的否定相容）。参见[42，备注4.1]中的脚注，了解更多解释和确保中间极限存在的已知最弱条件。在进一步讨论之前，我们将这些假设与[30]中的假设进行比较。考虑到定理3.1，假设（DsLp，β）（i）和（ii）似乎相当合理，以证明Yt和Zt的Malliavin导数定义为下面S2，β，a×H2，β，ato中的解。现在我们转向假设（DsLp，β）（iii），它比[30]中的等价物（H）更自然、更强。事实上，如果我们将（3.3）与[30]中的等价物（H）进行比较，我们首先注意到我们假设存在η>0，这样kfy（·ω+εnh，Yn·，Z·）- fy（·ω，Y·，Z·）kL2+η（[0，T]）-→N→+∞0，它提供了严格大于2的顺序条件，这与[30]中处理Lnorm的假设（H）不同。这个假设对于我们的研究是必要的，事实上直接来自定理3.1中的先验估计（见[48，命题3.6]）和H2p，β，a的定义。我们现在转向（3.3）中的第二个假设。

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nandehutu2022

2022-5-10 20:23:51

这一假设非常有力，并且与事实Z有内在联系∈ H2p，β，a。事实上，为了在下面定理3.2的证明中获得（3.10），我们不能在没有这个假设的情况下得出结论，因为一个H"older不等式将在积分中提供一个Z2+η项，并且鉴于空间H2p，β，a的定义，我们不能证明收敛性。关于（iv），该假设与下面第3.2节中得到的假设非常相似，并且只要r的随机积分是瞬时BMO鞅就满足了。劳伦特·丹尼斯（Laurent Denis）在评论作者的博士论文时指出了这一差距，他在[30]中提出了与（DsLp，β）相对应的假设（D）。下一篇论文还必须考虑备注3.2。因此，我们有以下定理。定理3.2。让p进来∈, 1., β>最大值{2/（2p）- 1); 3} 假设假设（sL1，β）和（DsLp，β）成立。那么，无论如何∈ [0，T]，Yt∈ D1、2和Z∈L（[t，t]；D1，2）。此外，（DuYt，DuZt）0的一个版本≤U≤t、 0≤T≤T、作为有效BSDE的解给出：DuYt=Duξ+ZTt（Duf（s，Ys，Zs）+fy（s，Ys，Zs）DuYs+fz（s，Ys，Zs）ds-ZTtDuZsdWs。（3.5）证据。我们只考虑（3.3）在假设（DsLp，β）（iii）下成立的情况，因为其他情况可以类似地处理。我们的目标是将定理2.2应用于F=yt和F=RTtZsdWs。这个证明类似于[30]中定理5.1的证明，我们在这里回顾了主要思想。设ε>0，h∈ H和p∈, 1..

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2022-5-10 20:23:56

我们有o τεh=ξo τεh+ZTsf（r，Yr，Zr）o τεhdr-ZTsZro τεhdWr，s∈ [t，t]，P- a、因此，简单度yεs的设置：=ε（Yso τεh- Ys），Zεs:=ε（Zso τεh- Zs），ξε：=ε（ξ）o τεh- ξ），s∈ [t，t]，我们得到（Yε，Zε）解BSDE:Yεs=ξε+ZTs~Aεr+~Ay，εrYεr+~Az，εrZεr博士-ZTsZεrdWr，（3.6）带Ay，εr:=Zfy（r，·+εh，Yr+θ（Yro τεh- Yr），Zr）dθ，~Az，εr:=Zfz（r，·+εh，Yro τεh，Zr+θ（Zro τεh- Zr）dθ，~Aεr:=ε（f（r，·+εh，Yr，Zr）- f（r，·，Yr，Zr））。现在，让我们考虑一下[t，t]上的以下随机函数BSDE，它允许一个唯一的解（~Yh，~Zh）∈ （S2，β，a）∩Ha2，β，a）×H2，β，aa根据定理3.1假设（DsLp，β）~Yhs=hDξ，˙hiL（[0，T]）-ZTsZhrdWr+ZTshDf（r，Yr，Zr），˙hiL（[0，T]）+~Yhrfy（r，Yr，Zr）+~Zhrfz（r，Yr，Zr）因此，利用定理3.1和不等式（2.1），我们得到了kyε-~Yhk2pS2p+kZε-~Zhk2pH2p≤ kYε-~Yhk2pS2p，β，a+kZε-~Zhk2pH2p，β，a≤ C1，βΞp，a，βε+XεT+Xy，εT+Xz，εT式中Ξp，a，βε：=EhepβAaT |ξε- Hξ、 hiH | 2pi，XεT：=~Aεt- Hf（t，Yt，Zt），你好2pH2p，β，a，Xy，εT：=~Yht~Ay，εt- 财政年度（t，Yt，Zt）2pH2p，β，a，Xz，εT：=~Zht~Az，εt- fz（t，Yt，Zt）在首先注意，在假设（DsLp，β）（i）和（ii）下，我们有limε→0Ξp，a，βε+XεT= 0.（3.8）我们现在转向Xy，εT。我们有Xy，εT=E“ZTeβAat |Yht|εt- 财政年度（t，Yt，Zt）dt！p#。根据假设（DsLp，β）（iii），存在η>0，从而εt- 财政年度（t，Yt，Zt）2+ηL2+η（[0，T]）=ZTεt- 财政年度（t，Yt，Zt）2+ηdtproba-→ε→因此，使用q>1的H"older不等式，使2q=2+η，并用q的共轭表示，并使用∈ S2，β，a，对于一些常数C>0ZTeβAat |Yht|εt- 财政年度（t，Yt，Zt）dt≤ CZTeqβAat | | Yht | 2qdt！1/qεt- 财政年度（t，Yt，Zt）L2+η（[0，T]）≤ CkYhkS2，βεt- 财政年度（t，Yt，Zt）L2+η（[0，T]）-→ε→00，概率。现在，让η>0足够小，使得2（p+η）∈ (1, 2).

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2022-5-10 20:23:59

然后，注意到存在一个正常数cεt-财政年度（t，Yt，Zt）≤ crt，自| fy（t，y，z）|≤ rtforany（t，y，z）∈ [0，T]×Rand从（iv）开始，存在一个正常数C，即supε∈（0,1）E中兴βAat | | Yht|εt- 财政年度（t，Yt，Zt）dt！p+η≤ 行政长官“监督”∈[0，T]e（p+η）βAat|Yht|2（p+η）#+∞,因为2（p+η）<2和~Yh∈ S2，β，a。因此，使用德拉瓦莱-普桑准则，我们得出随机变量族（中兴通讯βAat | | Yht|εt- 财政年度（t，Yt，Zt）dt！p），ε∈ （0，1），是一致可积的。因此，通过支配收敛定理，我们推导出了thatXy，εT-→ε→00.（3.9）我们现在转向Xz，εT。通过类似的过程，我们得到了Xz，εT=E“ZTeβAat | | | Zht|Az，εt- fz（t，Yt，Zt）在dt！p#。根据假设（DsLp，β）（iii）并使用以下事实：∈ H2，β，awe知道对于任何t∈ [0，T]ZTeβAat | | | Zht|Az，εt- fz（t，Yt，Zt）在dtproba-→ε→00.（3.10）让η>0足够小，使得2（p+η）∈ (1, 2). 然后，我们可以类似地证明存在一个正常数C，比如supε∈（0,1）E中兴通讯βAat |Zht|Az，εt- fz（t，Yt，Zt）在dt！p+η≤ 总工程师中兴通讯βAat | | Zht | dt！p+η< +∞,因为2（p+η）<2和~Zh∈ H2，β，a。因此，利用德拉瓦莱-普桑准则（3.10）和支配收敛定理，我们推导出thatXz，εT-→ε→00.（3.11）最后，从（3.8）、（3.9）和（3.11）中，我们得到p∈, 1.kYε-~Yhk2pS2p+kZε-~Zhk2pH2p-→ε→然后，剩下的证明类似于[30]中定理5.1的证明，通过应用定理2.2，我们推导出Yt∈ D1,2使用[39，引理2.3]，可以证明Zbelongs到L（[t，t]；D1,2）。

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能者818

2022-5-10 20:24:02

此外，我们可以证明（DuYt，DuZt）0的一个版本≤U≤t、 0≤T≤T、作为有效BSDE的解给出：DuYt=Duξ+ZTt（Duf（s，Ys，Zs）+fy（s，Ys，Zs）DuYs+fz（s，Ys，Zs）ds-ZTtDuZsdWs，根据假设（DsLp，β）和定理3.1，或[16]，承认BSDE（3.1）的S2，β，a×H2，β，a.3.2正则性的唯一解：一种受[2,8]启发的方法，在本节中，我们将使用[8]中发展的理论研究随机Lipschitz情况下BSDE（3.1）的Malliavin可微性。[2]中也提出了一个类似的理论，使用了B理论，但针对特定的随机Lipschitz BSDE（见[2，第4节]中的BSDE（16））。我们回忆起假设A1。A2。从[8]开始。（BC）假设存在一个真实的可预测过程K，其下限为1和常数α∈ （0，1）使得（i）对于每个t∈ [0，T]，（y，z）7-→ f（t，y，z）是连续的，（ii）对于任何（t，y，y，z，z）∈ [0，T]×R×（L（[0，T]），（y）- y）（f（t，y，z）- f（t，y，z））≤ K2αt | y- y |和| f（t，y，z）- f（t，y，z）|≤ Ktkz- zkL（[0，T]）。（iii）存在常数C>0，因此对于任何停止时间τ≤ T:E“ZTτ| Ks | dsFτ#≤ C.我们用N表示满足该陈述的最小常数C。请注意，如果之前的假设（BC）（iii）满足，则任何∈ L（[0，T]），其中1=kukL（[0，T]），Mt:=RtKsusdWsT∈[0，T]是BMO鞅，kM kBMO=N。现在让Φ（p）：=1+扑通一声2p- 12（p- 1)- 1，q？使得Φ（q？=N.然后我们定义了p？q的共轭？，定义byq+p？=1.我们现在回顾假设A3。和A4。共[8]。（BC）存在p？>p？>1.这样|ξ| p+ZT | f（s，0，0）| ds！P< +∞.（BC）存在一个非负的可预测过程ZT | Fs | ds！P< +∞,和（t，y，z）∈ [0，T]×R×R，| f（T，y，z）|≤ Ft+K2αt | y |+Kt | z |，P- a、然后，我们对BSDE（3.1）的解有以下先验估计。定理3.3（见[8]中的推论3.4和定理3.5]）。

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2022-5-10 20:24:06

假设（BC）、（BC）和（BC）假设成立。然后，BSDE（3.1）允许一个唯一的解决方案（Y，Z）∈任何p<p？的Sp×Hp？。此外，对于每个p∈ （p？，p？），kY kSp+kZkHp≤ 总工程师|ξ| p+ZT | f（s，0，0）| ds！PP×1+EZTK2αs+Ksds！PP, （3.12）其中P？=p（p？+p）/（p？- p） C是一个正常数。我们现在设定以下假设（sD∞) 对于任何p>1，ξ属于D1，pandω7-→ f（t，ω，y，z）属于L（[0，t]；D1，p）。（sH1，∞) 对于任何p>1和任何h∈ Hlimε→0E“ZTf（s，·+εh，Ys，Zs）- f（s，·，Ys，Zs）ε- hDf（s、·、Ys、Zs），˙hihds！p#=0。（sH2，∞) 设（εk）k∈（0，1）中的一个序列，使得limk→+∞εk=0，设（Yk，Zk）kbe为一个随机变量序列，对于任何p<p*对某些人来说（Y，Z）。那么不管怎样∈ H、下面的收敛概率为kfy（·，ω+εkh，Yk·，Z·）- fy（·，ω，Y·，Z·）kL（[0，T]）-→K→+∞kfz（·，ω+εkh，Yk·，Zk·）- fz（·，ω，Y·，Z·）kL（[0，T]）-→K→+∞0，（3.13）orkfy（·ω+εkh，Yk·，Zk·）- fy（·，ω，Y·，Z·）kL（[0，T]）-→K→+∞kfz（·，ω+εkh，Y·，Zk·）- fz（·，ω，Y·，Z·）kL（[0，T]）-→K→+∞0.（3.14）备注3.3。注意这个假设（sH1，∞) 这意味着（BC2）和（BC3）对于任何p都是真的*> 1.因此，定理3.3在（BC1）和（sH1）下成立，∞) 不等式（3.12）适用于任何p>1且具有相应p的情况*可以选择大于P的选项*定义人（BC1）。我们现在可以陈述本节的主要结果。定理3.4。假设（BC）-（BC），（D1，∞), （sH1，∞) 和（sH2，∞) 持有然后，对于任何p>1和t∈ [0，T]，Yt∈ D1和Z∈ L（[t，t]；D1，p）。此外，（DuYt，DuZt）0的一个版本≤U≤t、 0≤T≤T、作为有效BSDE的解给出：DuYt=Duξ+ZTt（Duf（s，Ys，Zs）+fy（s，Ys，Zs）DuYs+fz（s，Ys，Zs）ds-ZTtDuZsdWs。（3.15）证据。这个证明类似于定理3.2。我们只考虑假设（sH1）中（3.13）成立的情况，∞) 因为另一个可以被类似地对待。

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2022-5-10 20:24:10

首先请注意，假设（sD）∞), （BC）-（BC）并根据定理3.3和备注3.3，对于任何p>1，kY kSp+kZkHp<+∞ . 我们的目标是将定理2.2（见[30]）应用于F=yt和F=RTtZsdWs。这个证明非常接近于[30]中定理5.1的证明，我们在这里回顾了主要思想。设ε>0和h∈ 我们有oτεh=ξoτεh+ZTsf（r，Yr，Zr）oτεhdr-ZTsZroτεhdWr，s∈ [t，t]，P-a、 s.（3.16）因此，简单度yεs的设置：=ε（Yso τεh- Ys），Zεs:=ε（Zso τεh- Zs），ξε：=ε（ξ）o τεh- ξ），s∈ [t，t]，我们得到了（Yε，Zε）解BSDE:Yεs=ξε+ZTs（~Aεr+~Ay，εYεr+~Az，εrZεr）dr-ZTsZεrdWr，（3.17）带Ay，εr:=Zfy（r，·+εh，Yr+θ（Yro τεh- Yr），Zr）dθ，~Az，εr:=Zfz（r，·+εh，Yro τεh，Zr+θ（Zro τεh- Zr）dθ，~Aεr:=ε（f（r，·+εh，Yr，Zr）- f（r，·，Yr，Zr））。因此，在假设（BC）-（BC），（sD1，∞), 根据定理3.3，（Yε，Zε）是任意p>1的BSDE（3.16）在Sp×hp中的唯一解。现在考虑一下[t，t]上的以下随机函数BSDE，它允许一个唯一解（~Yh，~Zh）∈ 根据定理3.3，在假设（BC）-（BC），（sD1，∞),~Yhs=hDξ，˙hiL（[0，T]）-ZTsZhrdWr+ZTshDf（r，Yr，Zr），˙hiL（[0，T]）+~Yhrfy（r，Yr，Zr）+~Zhrfz（r，Yr，Zr）博士

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2022-5-10 20:24:13

（3.18）因此，利用定理3.3，我们得到了任意p*> p>1kYε-~YhkSp+kZε-~ZhkHp≤ 总工程师|ξε- hDξ，˙hiL（[0，T]）p+ZT | Xεs+Xy，εs+Xz，εs | ds！PP×1+EZT（K2αs+Ks）ds！P/2.1便士？,式中，xεs:=Aεs- hDf（s，Ys，Zs），˙hiL（[0，T]）Xy，εs:=Yhs（~Ay，εs）- fy（s，Ys，Zs））Xz，εs:=~Zhs（~Az，εs- fz（s，Yr，Zr））。请注意，在（BC1）（iii）项下ZT（K2αs+Ks）ds！P/2.< +∞.因此，在进行了与[30]中定理5.1或上述定理3.2的证明相同的计算之后，我们推导出，对于任何t∈ [0，T]和任何p>1，Yt∈ D1和Z∈ L（[t，t]；D1，p）以及它们的Malliavin导数是（3.15）的解。3.3结果的讨论和比较我们从假设（DsLp，β）和受[48]启发的第一种方法开始。即使根据[48]中的理论，假设（i）没有太大的限制性，但在实践中，我们可能会有一些困难来验证（ii）和（iii）。事实上，在（ii）中，我们必须控制H2p、β、aof 1/at中的范数，并且（iii）需要控制fw相对于z的导数的ess sup。只要r和θ是随机的，这些假设就显著限制了可能的应用范围。如上所述，这些假设与[48]中获得的先验估计密切相关，这建议修改[48]中的证明，尽可能获得较弱的条件。关于第二种方法，先验估计（3.12）似乎更好，因为它们类似于在Lipschitz或二次型情况下得到的估计（见[9]）。然而，请注意，这些先验估计的顺序密切依赖于Lipschitz常数K的Stocstic积分的BMO范数，这在实践中可能很难控制。我们在D1，pf中提供了任何p>1的条件，因为y和Z的范数控制顺序取决于这个BMO范数。

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nandehutu2022

2022-5-10 20:24:21

假设（sD）∞) 和（sH1，∞)这并不奇怪，因为它们与[30]中第7节处理二次增长BSDE时获得的条件类似。从现在开始，我们设定以下两个假设。（EKHp，β）让假设（sL1，β）和（DsLp，β）保持不变。（BC）假设（BC）-（BC），（sD）∞), （sH1，∞) 和（sH2，∞) 持有3.4示例：具有无界系数的一个随机Lipschitz BSDE我们现在研究非马尔可夫情形下的一个特殊随机Lipschitz BSDE：Yt=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs，T∈ [0，T]，P- a、 s.（3.19）其中f:[0，T]×Ohm ×R×R-→ R（t，ω，y，z）7-→ λs（ω）+us（ω）y+νs（ω）z，其中ξ是FT可测的随机变量，λ，u，ν：[0，T]×Ohm -→ R是逐步可测量的过程。备注3.4。本节研究的BSDE（3.19）对[2，BSDE（5）]进行了推广，因为（3.19）的生成器在Y和Z中都是有效的。通过在满足[2]中假设（A3）的生成器中添加关于Y和Z的aLipschitz系数，可以证明我们严格扩展了[2，第3节]。此外，我们坚持λ、u和ν是无界的，这也扩展了[30，第6.2节]中的结果。（A）存在一个常数C>0，使得对于任何停止时间τ≤ T:E“ZTτ|νs | dsFτ#≤ C.（A）对于任何p>1，（i）expR·|us | ds∈ Sp和（ii）Eh |ξ|p+RT |λt | dt圆周率+∞.在进一步讨论之前，请注意（A）相当于说r·νsdWsis是一个BMOmartingale，它对应于[2]中的假设（A2）或假设A1。在[8]中。然而，我们并不认为同样的说法适用于R·uSDW。事实上，在（A）中，我们只是假设过程R·usdsT∈[0，T]具有异序的指数矩。定理3.5。假设假设（A）和（A）成立。然后，BSDE（3.19）允许一个唯一的解决方案（Y，Z）∈ 对于任何p>1的情况，Sp×Hp。此外，估计（3.12）对任何1<p<p*.证据

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2022-5-10 20:24:25

（A）和（A）（i）是比（BC）弱的假设，因此我们不能直接应用[8]中的推论3.4和定理3.5。然而，通过复制[8]中的引理3.2、引理3.3、推论3.4和定理3.5的证明，我们注意到，我们只需要对R·νSDW具有BMO性质，因为只有[8]中对应于（a）（i）的关系（2）用于处理依赖于u的项。因此，对于有效的BSDE（3.19），我们可以用假设（a）和（a）替换假设（BC）。然后我们推断BSDE（3.19）允许唯一解（Y，Z）∈ Sp×Hp适用于任何p>1，而（3.12）适用于任何p<1*.在这种特殊情况下，假设（sD∞), （sH1，∞) 和（sH2，∞) 对于任何p>1，ξ都属于D1，且随机过程（t，ω）7-→ λt（ω）、ut（ω）、νt（ω）属于L（[0，t]；D1，p）。（DA）设（εk）k∈（0，1）中的一个序列，使得limk→+∞εk=0，设随机变量的（Yk，Zk）kbea序列，对于任意p>1到某些（Y，Z），该序列收敛于Sp×hpa。那么不管怎样∈ H、以下收敛概率ku·（ω+εkh）- u·（ω）kL（[0，T]）-→K→+∞0，kν·（ω+εkh）- ν·（ω）kL（[0，T]）-→K→+∞0.定理3.6。假设（A）、（A）、（DA）和（DA）保持不变。然后，通过表示（Y，Z）（3.19）的唯一解，对于任何p>1和t∈ [0，T]，Yt∈ D1，潘兹∈ L（[t，t]；D1，p）。此外，（DuYt，DuZt）0的一个版本≤U≤t、 0≤T≤T、作为有效BSDE的解给出：DuYt=Duξ+ZTt（Duλs+DuusYs+DuνsZs+usDuYs+νsDuZs）ds-ZTtDuZsdWs，（3.20）证明。在（A）和（A）项下，根据定理3.5，BSDE（3.19）允许一个唯一解（Y，Z）∈ 对于任何p>1的情况，Sp×Hp。现在，假设（sD）∞), （sH1，∞) 和（sH2，∞) 自动满足（DA）和（DA）的要求。

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nandehutu2022

2022-5-10 20:24:29

因此，通过应用定理3.4，我们推导出对于任何p>1和t∈ [0，T]，Yt∈ D1和Z∈ L（[t，t]；D1，p）和（DYt，DZt）的一个版本由BSDE（3.20）的解给出。1随机Lipschitz情形我们现在的目标是将Bouleau和Hirsch准则（见定理2.3）应用于BSDE（3.1）解（Y，Z）的Y分量。我们设置了以下假设（Ap，β），让p为in∈, 1., β>最大值{2/（2p）- 1); 3} 假设（ELK）p，β成立，并且假设r·θsdWs∈ BMO（P），其中θ在假设中定义（sL1，β）。注意，在假设（Ap，β）或假设（BC）下，我们已经证明了Yt∈D1和Z∈ L（[0，T]；D1，p）对于一些p>1，并且它们的Malliavin导数（DrYt，DrZt）满足线性BSDE（3.5）（见定理3.2和3.4）。然后，我们得到了以下定理，该定理给出了条件，确保在给定时间t的情况下，非马尔可夫BSDE（3.1）解的第一分量Y的定律允许密度。定理4.1。让（Ap，β）或（BC）保持。用（Y，Z）表示BSDE（3.1）的唯一解。如果存在 Ohm 使得P（A）>0，并且t的以下两个假设之一∈ （0，T]和s∈ [t，t]（sH+）Duξ≥ 0，Duf（s，Ys，Zs）≥ 0，λ（du）- a、 e.，和Duξ>0，λ（Du）- a、 e.关于（sH-）Duξ≤ 0，Duf（s，Ys，Zs）≤ 0，λ（du）- a、 e.，和Duξ<0，λ（Du）- a、 e.在a上，那么Ytis定律对于Lebesgue测度是绝对连续的。证据

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2022-5-10 20:24:33

在假设（Ap，β）或（BC）下，我们分别从定理3.1和3.2或定理3.3和3.4得知，BSDE（3.3）允许一个唯一解（Y，Z），该解是Malliavin可微的，其Malliavin导数（DuYt，DuZt）为0≤U≤T≤以下线性方程组的解析式为：BSDEDuYt=Duξ+ZTt（Duf（s，Ys，Zs）+fy（s，Ys，Zs）DuYs+fz（s，Ys，Zs）DuZs）ds-ZTtDuZsdWs，0≤ U≤ T≤ T、 P- a、注意，对于任何（t，y，z）∈ [0，T]×R，| fz（T，y，z）|≤ θtunder假设（Ap，β）或| fz（t，y，z）|≤ 假设下的KT（BC）。因此，我们可以通过dqdp定义一个概率度量：=EZTfz（s，Ys，Zs）dWs！=eRTfz（s，Ys，Zs）dWs-RT | fz（s，Ys，Zs）| ds，其中ER·fz（s，Ys，Zs）dWs是根据[25，定理2.3]的一致可积鞅。根据Girsanov定理改变布朗运动，并使用线性化（见[17]），我们得到任何0≤ U≤ T≤ TDuYt=EQt“DuξeRTtfy（s，Ys，Zs）ds+ZTteRstfy（s，Ys，Zs）duDuf（s，Ys，Zs）ds#≥ 0，杜数据处理- a、此外，设a为P（a）>0，且a上的Duξ>0。我们得到duyt≥ EQthADuξeRTtfy（s，Ys，Zs）dsi>0。因此，kDYtkL（[0，T]）>0，P- a、根据定理2.3，关于勒贝格测度，Ytis定律是绝对连续的。假设下的证明（sH-）类似。4.2非马尔可夫Lipschitz BSDE在本节中，我们研究了一类特殊的随机Lipschitz BSDE（3.1），它的生成元是空间变量中具有非负Lipschitz常数的Lipschitz。我们提供了比条件（sH+）和（sH-）更弱的条件，以确保相应Lipschitz BSDE溶液的组分Y定律具有密度。我们考虑以下非马尔可夫Lipschitz-BSDEYt=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdWs，T∈ [0，T]，P- a、 s.（4.1），其中ξ是FT可测的随机变量，f:[0，T]×Ohm ×R-→ R是一个渐进可测过程，通常忽略ω依赖性。

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2022-5-10 20:24:37

我们设定以下假设（L）（i）映射（y，z）7-→ f（·，y，z）是可微分的，其连续偏导数一致地由一个正常数m限定。我们用fy（resp.fz）表示f相对于y（resp.z）的导数。（ii）我们有“|ξ|+ZT | f（s，0，0）| ds#+∞.定理4.2（[17]）。在假设（L）下，存在一对唯一的适应过程（Y，Z），它在S×H中求解BSDE（4.1）。现在我们来讨论BSDE（4.1）的解（Y，Z）的Malliavin可微性。[39]中研究了具有Lipschitz系数（即当数据ξ，f（t，·，y，z）是布朗SDE解的函数）的马尔可夫情形下的这个问题。在[17]中，它扩展到了具有Lipschitz系数的非马尔可夫案例。然后，在[19]中，对于Lévy驱动的BSDE，以及[30]中研究了这个问题，在[17]中，条件改善了这些问题（见[30，第6.3节]）。在本节中，我们回顾了[30]的结果，其中证明了一个确保随机变量在D1,2中的新标准。设置以下假设（lD）–ξ∈ D1,2，对于任何（y，z）∈ R、（t，ω）7-→ f（t，ω，y，z）在L（[0，t]；D1，2）中，f（·y，z）和Df（·y，z）是f-逐步可测的，并且“ZTkD·f（s，Ys，Zs）khds#+∞.– 存在p∈ （1，2）对于任何h∈ Hlimε→0E“ZTf（s，·+εh，Ys，Zs）- f（s，Ys，Zs）ε- hDf（s，Ys，Zs），˙hihds！p#=0，设（εn）n∈（0，1）中的一个序列，使得limn→+∞εn=0，设（Yn，Zn）nbe为一个随机变量序列，该序列收敛于S×Hto（Y，Z）。那么不管怎样∈ H、下面的收敛概率为kfy（·，ω+εnh，Yn·，Z·）- fy（·，ω，Y·，Z·）kh-→N→+∞kfz（·，ω+εnh，Yn·，Zn·）- fz（·，ω，Y·，Z·）kh-→N→+∞0，（4.2）orkfy（·ω+εnh，Yn·，Zn·）- fy（·，ω，Y·，Z·）kh-→N→+∞kfz（·，ω+εnh，Y·，Zn·）- fz（·，ω，Y·，Z·）kh-→N→+∞0.（4.3）定理4.3（文献[30]中的定理5.1]）。设（Y，Z）为BSDE（4.1）在假设（L）下的解。

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2022-5-10 20:24:41

假设（lD）满足，那么对于任何t∈ [0，T]，Yt∈ D1、2和Z∈ L（[t，t]；D1，2）。此外，通过将DYt（分别为DZt）表示为Yt（分别为Zt）的Malliavin导数，这对（DY，DZ）满足以下（线性）BSDEDuYt=Duξ+Zt（Duf（s，Ys，Zs）+fy（s，Ys，Zs）DuYs+fz（s，Ys，Zs）DuZs）ds-ZTtDuZsdWs，0≤ U≤ T≤ T、 P- a、 s.（4.4）我们现在的目标是将Bouleau和Hirsch的标准（见[35]中的定理2.1.2]）应用于BSDE（4.1）解（Y，Z）的Y分量。YTT密度的存在性∈ （0，T]当f在其空间变量中为Lipschitz时，在[3]中对马尔可夫情形进行了求解。我们想将这个结果推广到非马尔可夫情形。下面的定理给出了一些条件，确保在给定时间T的情况下，非马尔可夫BSDE（4.1）解的第一个分量Y允许（L）和（lD）下的密度。这些条件类似于[3，定理3.1]在Lipschitz-Markovian情况下的条件。在[3,1,29]之后，让A是Ohm 使得P（A）>0。我们设定ξ：=max{M∈ R、杜ξ≥ M、杜 P- a、 e.}，df（t）：=max{M∈ Rs∈ [t，t]Duf（s，Ys，Zs）≥ M、杜 P- a、 e.}，dξa:=max{M∈ R、杜ξ≥ M、杜- a、 e.在a.}，dξ：=min{M∈ R、杜ξ≤ M、杜 P- a、 e.}，df（t）：=min{M∈ Rs∈ [t，t]Duf（s，Ys，Zs）≤ M、杜 P- a、 e.}，dξa:=min{M∈ R、杜ξ≤ M、杜- a、 e.在}上。定理4.4。设（Y，Z）为假设（L）和（lD）下BSDE（4.1）的解。修好一些t∈ （0，T）。如果存在 Ohm 使得P（A）>0且以下两个假设之一成立（H+）dξe-sgn（dξ）m（T）-t） +df（t）ZTte-sgn（df（t））m（s-t） ds≥ 0dξAe-sgn（dξA）m（T）-t） +df（t）ZTte-sgn（df（t））m（s-t） ds>0（H-）dξe-sgn（dξ）m（T）-t） +df（t）ZTte-sgn（df（t））m（s-t） ds≤ 0dξAe-sgn（dξA）m（T）-t） +df（t）ZTte-sgn（df（t））m（s-t） ds<0，那么对于勒贝格测度，它是一个绝对连续的定律。证据该证明与[3，定理3.1]中的证明遵循相同的路线。

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2022-5-10 20:24:45

假设（H+）成立。我们的目标是应用布劳-赫希准则（文献[35]中的定理2.1.2]）。根据定理4.3，Yt∈ D1、2和Z∈ L（[t，t]；D1，2）。让0≤ U≤ T≤ T，使用BSDE的线性化方法（见[17]），我们有duyt=Duξ+ZTt（Duf（s，Ys，Zs）+fy（s，Ys，Zs）DuYs+fz（s，Ys，Zs）ds-ZTtDuZsdWs，=EQt“DuξeRTtfy（s，Ys，Zs）ds+ZTteRstfy（α，Yα，Zα）dαDuf（s，Ys，Zs）ds#≥ dξEQtheRTtfy（s，Ys，Zs）dsi+df（t）EQt“ZTteRstfy（α，Yα，Zα）dαds#≥ dξe-sgn（dξ）m（T）-t） +df（t）ZTte-sgn（df（s））m（s）-t） ds。因此，杜伊特≥ 0，杜 P- a、此外，设a为P（a）>0，我们得到duyt≥ dξaeqthaertfy（s，Ys，Zs）dsi+df（t）EQt“ZTteRstfy（α，Yα，Zα）dαds#>0。因此，kDYtkL（[0，t]）>0，P- a、根据定理2.3，关于勒贝格测度，Ytis定律是绝对连续的。假设（H-）下的证明类似。4.3具有无界系数的BSDE我们研究BSDE溶液的第一组分是否存在密度（3.19）。我们设定λ（t）：=max{M∈ Rs∈ [t，t]Duλs≥ M、杜 P- a、 e.}，andλ（t）：=min{M∈ Rs∈ [t，t]Duλs≤ M、杜 P- a、 e.}。我们还设置了以下假设（P+）让（Yt，Zt）成为BSDE（3.19）对任何t的唯一解∈ [0，T]。那么，无论如何∈ [0，t]，DuusYs+DuνsZs≥ 0，杜 P- a、 s.（P）-) 让（Yt，Zt）成为BSDE（3.19）对任何t的唯一解决方案∈ [0，T]。那么，无论如何∈ [0，t]，DuusYs+DuνsZs≤ 0，杜 P- a、美国评论4.1。注意，如果（Y，Z）是BSDE（3.19）的唯一解，因此使用线性化方法（见[17]）Yt:=EQt“ξeRTtusds+ZTtλseRtsuαdαds#，只要ξ和λ为非负，即为非负，其中dqdp:=eRTνsdWs-RT |νs | ds，只要ER·νsdWs是鞅（参见下面的假设（BMO）和[25，定理2.3]）。因此，只要Y是非负的，如果u是半鞅，我们就可以使用Lamperti变换给出确保Du是非负的条件（参见。

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2022-5-10 20:24:49

[1，定理3.3证明的步骤1]）。关于Z过程，在[13]中仅在马尔可夫情况下获得了确保Z非负的条件。就我们所知，在非马尔可夫的情况下，这个问题仍然存在。然而，如果ν是确定性的，则条件（P+）和（P-) 可以简化（见第7节）。定理4.5。假设（A），（A），（DA）和（DA）保持并让（Y，Z）成为BSDE（3.19）的解。如果存在 Ohm 使得P（A）>0，并且以下两个假设之一保持（aH+）Duξ≥ 0，λ（du）-a、 e.，Duξ>0，λ（Du）-a、 e.关于a，dλ（t）≥ 0和（P+）保持不变-) 杜ξ≤ 0，λ（du）-a、 e.，Duξ<0，λ（Du）-a、 e.关于a，dλ（t）≤ 0和（P-) 就勒贝格测度而言，这是一个绝对连续的定律。证据我们在假设（aH+）下证明了前面的定理。让我们∈ 从定理3.5和定理3.6可知，BSDE（3.19）允许唯一解（Yt，Zt）T∈[0，T]以至于∈ D1和Z∈ L（[t，t]；D1，p）对于任何p>1且其导数（DYt，DZt）满足以下线性BSDEDuYt=Duξ+ZTt（Duλs+DuusYs+DuνsZs+usDuYs+νsDuZs）ds-ZTtDuZsdWs，0≤ U≤ T≤ T、 P- a、 s.设置由DQDP定义的概率度量：=EZTνsdWs！=eRTνsdWs-RT |νs | ds，其中ER·νsdWs是符合[25，定理2.3]的一致鞅。根据Girsanov定理改变布朗运动，并使用线性化，我们得到任何0≤ U≤ T≤ TDuYt=EQt“DuξeRTtusds+ZTt（Duλs+DuusYs+DuνsZs）eRstudαds#（4.5）。因此，通过重复定理4.4的证明，我们证明了kDYtkL（[0，T]）>0，P-a、根据定理2.3，Ytis定律对于Lebesgue测度是绝对连续的。（aH-）项下的证据类似。备注4.2。在与前一个定理相同的假设下，假设（aD+）成立（resp.（aD-）成立），证明表明事实上DuYt≥ 0，杜P-a、 e.（分别）。

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