菲利普斯曲线的Mittag-Leffler拟合

2022-5-11 04:24:56

Phillips CurveTomas SkovranekInstitute of Control and Information of Production Processs的Mittag Le Fitter Fitting Kosicenemcovej3 042 00 Kosice，Slovak Republic电话：+421556025143电子邮件：tomas。skovranek@tuke本文首次提出了一个基于单参数Mittag-Le-Fuel函数的数学模型来描述失业率和通货膨胀率之间的关系，也称为菲利普斯曲线。菲利普斯曲线在文献中通常以指数形状表示。另一方面，菲利普斯在其基础论文中在模型定义中使用了幂函数。考虑到普通和广义的Mittag-Le-fier函数表现为纯指数函数和幂函数之间的关系，在定义用于描述代表菲利普斯曲线的数据之间关系的模型时，很自然地要实现它。出于建模目的，使用了两个不同的欧洲经济体（Fra nc e和瑞士）的数据，并进行了“样本外”预测，以比较Mittag-Le-Freeger模型与幂型和指数型模型的性能。结果表明，在描述经济关系和现象（如P-hillips曲线）时，Mittag-L e-fluer函数拟合数据的能力可以使用，这些数据表现出伸缩势、振荡甚至阻尼振荡的迹象。关键词：经济计量模型；识别；菲利普斯曲线；Mittag Le Figer Function 1简介正是“因为”或“感谢”保罗·安东尼·萨缪尔森（Paul Anthony Samuelson）和罗伯特·默顿·索洛（Robert Merton Solow，1960），世界各地的经济学家将工资变化率（或物价波动率）和失业率之间的负相关称为菲利普斯曲线（PC）。

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kedemingshi

2022-5-11 04:25:00

不太为人所知的是，这一想法发生在30多年前，在欧文·费舍尔（Irving Fisher，1926）的著作中发表了阿尔班·威廉·豪斯戈（Alban William Housego）的著名论文（Phillips，1958年）。费舍尔并不是唯一一个值得以他的名字命名的如此重要的“发现”。阿瑟·约瑟夫·布朗（Arthur Joseph Br）在他的书（布朗，1955年）中准确地描述了工资和物价波动与失业率之间的反比关系，这本书比菲利普斯的论文早3年出版。AlsoRichard George Lipsey（Lipsey，1960）在个人电脑的诞生、理论基础的创建和普及方面发挥了重要作用。萨缪尔森和索洛在他们的论文（萨缪尔森和索洛，1960）中首次提到了政策含义。在英国的实证研究（布朗，1955年；菲利普斯，1958年；利普西，1960年）和联合国各州的实证研究（鲍恩，1960年；萨缪尔森和索洛，1960年；博德金，1966年）中，工资变化率和失业率之间的反比关系得到了证明。

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2022-5-11 04:25:03

政策制定者一开始广泛使用该政策，利用贸易效应，以较小的额外流动成本减少就业——“牺牲率”。从那时起，许多作者对PC进行了研究、扩展和重新制定。个人电脑的一种“现代”形式是通过模型来表示的，在这种模型中，预期不是以向后看的行为为基础的，而是可以跳跃式地响应当前和预期的政策变化——新凯恩斯主义的产出影响交易理论。被称为新凯恩斯主义菲利普斯曲线（NKPC）的模型建立在泰勒（Taylor，1979年，1980年）和卡尔沃（Calvo，1983年）的著作之上，在那里发展了有标签的合同模型，并建立在罗滕伯格和伍德福德（Rotemberg，1982年；Rotemberg和伍德福德，1997年）的二次价格调整成本模型之上，所有这些都与弗里德曼和菲尔普斯（Friedman，1968；Phelps，1968）的预期增强PC有相似的表述。Clarida e t al.（Clarida et al.，1999）的工作说明了该模型在货币政策理论分析中的广泛应用。随着焦点从失业率转移到产出缺口，菲利普斯的关系已经变成了一条总供给曲线，但想法仍然是一样的。McCallum（McCallum，1997）称其为“最接近标准规格的产品”。在90年代末和21世纪初，NKP作为一种理解通货膨胀动力学的理论也很流行。在这项工作中（Galiand Gertler，1999；Galiet al.，20012005），NKPC被转化为一个混合版本，它将通货膨胀与预期未来的通货膨胀、滞后通货膨胀和实际边际成本联系起来。当马格努斯·古斯塔夫·米塔格·勒菲耶在他的著作（米塔格·勒菲耶，1903a，b）中提出一个新的函数Eα（x）时，他肯定没有想到指数函数exhe的重要推广是如何发展起来的。

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2022-5-11 04:25:07

ML函数及其推广介于纯指数定律和类似幂律的行为之间，它们自然出现在分数阶积分微分方程的求解、随机游动、列夫函数、复杂系统的研究和其他领域。在众多作品中，研究了ML型函数的推广和应用。（Hille和Tamarkin，1930年；Dzhrbashyan，1966年；Caputo和Mainardi，1971年；Blair，1974年；Torvik和Bagley，1984年；Samko等人，1993年；Goren-flo和Vessella，1991年；Goren-flo和Mainardi，1996年，1997年；Goren-flo等人，2002年，2014年；Kilbas等人，2004年；Mainardi和Goren-flo，1996年；Srivastava和Saxena，2001年；Srivastava和Tomovski，2009年；West等人，2003年；Haubold等人al.，2011年；Garrappa，2015），并开发了用于评估MLF功能的计算程序，例如（Goren Flo等人，2002年；C hen，2008a，b；Podlubny，20052011；Garrappa，2015年；Matychyn，2017年）。Mittag-Le-Friener（ML）函数不仅在血液美容师中具有重要的用途，而且由于其特殊的性质和解决应用问题的巨大潜力，它在心理流变学（Blair，1974）、电工学（Capelas de Oliveira et al.，2011；Petras et al.，2012；Sierociuk et al.，2013）等领域也具有适用性，对扩散（Maindardi，2018）、燃烧（Samuel等人，2016）、宇宙膨胀（Zeng等人，2015）等过程进行建模。

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2022-5-11 04:25:10

几位作者阐述了使用分数阶微积分和ML函数对经济学和经济物理学领域的现象进行建模的想法（Scalas等人，2000年；Goren-flo等人，2001年；Mainardi等人，2000年，2002年；Cartea和del C astillo-Negrete，2007年；Vilela Mendes，2008年；加里波第和Scalas，2010年；Skovranek等人，2012年；Tejado，2015年，2018年；塔拉索夫，2016年；塔拉索夫和塔拉索夫，2017年；塔拉索夫和塔拉索夫，2018年；塔拉索夫，2018年，2019年，a，b，C）。本文首次使用单参数ML函数来模拟失业率和通货膨胀率之间的关系——菲利普斯曲线，并将其性能与幂型模型和指数型模型进行了比较。从portalEconStatsTM（Econstats.com，2019）获取1980年至2017年期间的法国和瑞士经济计量数据，以确定这些经济体的PC。数据集分为两个子集，“建模”子集用于识别模型参数，较短的“样本外”子集用于评估模型的预测性能。所有三个模型的性能都是基于拟合标准进行评估的，即误差平方和（SSE）。结果以图表和表格的形式呈现，其中列出了拟合曲线对“建模”子集的SSE、拟合曲线对“样本外”子集的SSE、拟合曲线对完整数据集的SSE，以及一些其他关于拟合优度的质量标准。本文的组织结构如下。第2节概述了Mittag-Le-freger泛函及其推广。第3节介绍了原始菲利普斯曲线以及用于拟合菲利普斯曲线的Mittag-Le-filer模型。数值结果和对实验的讨论见第4节。

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能者818

2022-5-11 04:25:13

最后，第5.2节序言中给出了结论：Mittag-Le-figuer函数及其推广1903年，M.G.Mittag-Le-figuer（Mittag-Le-figuer，1903a，b）引入了一个新的函数Eα（x），它是经典指数函数ex的推广，直到今天被称为单参数ML函数。使用Erd’elyi的符号（Erd’elyi et al.，1955），其中使用z代替x，函数可以写成：Eα（z）=∞Xk=0zkΓ（αk+1），α∈ C、 Re（α）>0，z∈ C、（1）式中，Γ表示（完全）伽马函数，其性质为Γ（n）=（n）-1)!. 在（Mittag Le Frienger，1904，1905；Wiman，1905a，b；Pollard，1948；Agarwal，1953；Humbert，1953；Humbert and Agarwal，1953）中进一步研究了单参数ML函数及其性质，随后一些作者将其推广到了一个称为Wiman函数的双参数ML型函数（一些作者将其归功于Agarwal）。在theErd’elyi的han dbook之后，公式的形式是（Erd’elyi等人，1955年）：Eα，β（z）=∞Xk=0zkΓ（αk+β），α，β∈ C、 Re（α）>0，Re（β）>0，z∈ C.（2）上述函数和其他ML类型函数的主要属性可在Erd’elyi等人（Erd’elyi等人，1955年）的书中找到，Dzhrbashyan（Dzhrbashyan，1966年）的书中有详细概述。为了证明ML型函数的广义概念，让我们指出，单参数（1）的ML函数是双参数ML函数的特例，即如果我们在（2）中替换β=1。因此，经典指数f函数是单参数MLF函数的特例，其中α=1:Eα，1（z）=∞Xk=0zkΓ（αk+1）≡ Eα（z），E（z）=∞Xk=0zkΓ（k+1）=∞Xk=0zkk！=简单1971年，T.R.引入了ML型（2）双参数函数的推广。

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kedemingshi

2022-5-11 04:25:18

Prabhakar（Prabhakar，1971）在级数表示方面：Eγα，β（z）=∞Xk=0（γ）kzkΓ（αk+β）k！，α, β, γ ∈ C、 Re（α）>0，Re（β）>0，z∈ C、（3）其中（γ）是波奇哈默的符号（Rainville，1960），定义为：（γ）k=Γ（γ+k）Γ（γ）=1，（k=0，γ6=0），γ（γ+1）。（γ+k）- 1），（k）∈ N、 γ∈ C）。（3）中定义的函数是指数函数ez、单参数ML函数eα（z）和Wiman函数eα，β（z）的自然推广。2007年，Shukla和Prajapati（Shukla和Prajapati，2007）提出并研究了函数Eγ，qα，β（z），定义为：Eγ，qα，β（z）=∞Xk=0（γ）qkzkΓ（αk+β）k！，α, β, γ ∈ C、 Re（α）>0，Re（β）>0，Re（γ）>0，z∈ C、 q在哪里∈ (0, 1) ∪ N、（γ）qkdenotes是广义的波克哈默符号：（γ）qk=Γ（γ+qk）Γ（γ），它特别简化为：qqk=qYr=1γ+r- 1qk、如果q∈ N.其他作者也介绍和研究了ML函数的进一步推广，但为了证明ML函数的潜力，这四种指数函数的推广是有效的。3建模菲利普斯曲线在许多科学领域和应用领域，例如在经济学中，为了描述两个变量之间的关系，通常使用回归分析。人们可以使用不同的回归模型，从简单的线性模型、指数型和幂型模型，到多项式，以及许多其他更复杂和复杂的模型。关于线性或非线性的讨论，以及PC的凸形或凹形，如果它被认为是非线性的，仍在进行中。一些作者支持凸形（Cover，1992；Karras，1996；Nobay and Peel，2000；Schaling，2004），一些凹形（Stiglitz，1997），以及一些他们的组合（Filardo，1998）。

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2022-5-11 04:25:21

在本讨论中，ML类型函数用于描述PCF的应用是完美的。3.1《菲利普斯曲线图》（Phillips，1958年）中的“原始”菲利普斯曲线图使用了英国经济计量数据——由贸易委员会和劳动部提供的货币下注率变化率（由PhelpsBrown和Sheila Hopkins（Brown和Hopkins，1950年）计算），以及贝弗里奇的相应百分比就业数据，《自由社会的充分就业》，表22。但是，为了进行更简单的评估，首先对数据进行了预处理，即计算了6个不同失业水平（0-2、2-3、3-4、4-5、5-7、7-11）的货币工资率变化率和失业率的平均值。图1中的十字表示这些平均值。如果失业率保持在指定的失业率水平不变，则每个十字表示与该失业率相关的工资变化率的近似值。最后，菲利普斯用一个形式为：y+a=BxC的模型向十字军发射了一个电流=> （4） log（y+a）=log b+c log x，其中y是工资率的变化率，x是失业率。使用最小二乘法对常数b和c进行估计，以确定位于0-5%失业率之间的四个交叉点，并选择常数a确定位于5-11%失业率之间的其余两个交叉点。

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kedemingshi

2022-5-11 04:25:24

根据这一“拟合标准”，菲利普斯确定了模型（4）的参数如下：y+0.900=9.638 x-1.394=>对数（y+0.900）=0.984- 1.394对数x.图1:“原始”菲利普斯曲线（菲利普斯，1958）。3.2拟合菲利普斯曲线的米塔格-勒菲涅尔模型使用ML型函数来描述经济计量数据（代表菲利普斯曲线）的想法自然来自对两个事实的观察：o菲利普斯在其论文（菲利普斯，1958）中使用的模型的简单性，如（4）所示，如果使用幂型回归拟合数据，则模型可定义为：y（x）=bxc- a、 a，b，c∈ R、（5）o文献中使用的PC的美国形状，这提醒了指数型函数：y（x）=b ec x-a、 a，b，c∈ R、（6）其中，对于这两种情况，（5）和（6），x代表未经修正的分配率，y f代表通货膨胀率。基于这些事实，单参数ML函数似乎是一个通用模型，用于拟合PC关系，因为它的行为介于纯指数函数和幂函数之间。图2显示了ML函数的一些可能表现形式（使用Igor Podlubny（Podlubny，2011）发布的Matlab演示生成的图）。（1）中定义的单参数ML函数，包括α=1时的特殊情况，即经典指数函数，用于建模待研究的计量经济数据。通常，建议的拟合模型可以写成如下：y（x）=ceα（bxα），α∈ C、 Re（α）>0，b，C∈ R、（7）参数α、b、c需经过优化程序，以最小化数据点和拟合曲线之间垂直力集的平方和。

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2022-5-11 04:25:27

为了评估单参数ML函数，使用了Podlubny、Chen和Garrappa（Podlubny，2005年、2011年；Chen，2008a、b；Garrappa，2015年）创建的Matlab函数，所有这些函数都给出了相同的结果。4数值结果和讨论为了评估拟议的ML模型（7）与动力型模型（5）和指数型模型（6）相比的性能，使用了两个欧洲国家（法国和瑞士）的经济计量数据，这些数据来自EconStatsTMportal（Econstats.com，2019）。1980年至2017年期间的失业率和通货膨胀率。表3.0 5 10 15 20-0.4-0.20.20.40.60.8原始函数带噪数据拟合（a）y（x）=c Eα（b xα）0 5 10 200.20.40.60.81.2原始函数带噪数据拟合（b）y（x）=exerfc(√x） 0 5 10 15 20-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8原始函数带噪数据拟合（c）y（x）=e-αxcos（x）0 5 10 15 20-1.5-1-0.50.51.5原始函数有噪数据ML拟合（d）y（x）=cos（x）图2：使用不同的函数y（x）生成数据的Mittag Le Fitter fitting（Podlubny，2011）。4.1拟合优度统计和数据预处理拟合模型和所用数据之间的平方误差之和（SSE）作为拟合标准，数值接近0表示模型的随机误差分量较小。此外，还评估了其他一些质量指标，即区间[0,1]的R平方，其值接近1，表明模型考虑的方差比例更大（例如。

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2022-5-11 04:25:30

值为0.7325意味着该系数解释了平均值相关数据总变化的73.25%；调整后的R-squ是一种统计数据，其值较小或等于1，其中接近1的值表示较好；均方根误差（RMSE），其值接近于0，表示对预测更有用（MathWorks，2019）。所使用的数据集，其中失业率对应于x坐标，通货膨胀率对应于每个样本的y坐标，代表从研究y期间开始的每年这两个指示器的状态，首先分为两个子集，“建模”子集用于识别模型参数，用于评估预测的“样本外”子服务执行模型的ce。对于这两个经济体，即法国ADSWIs，所有三个模型都首先通过最小化SSE，识别最佳参数，从“建模”子集（由31个样本组成）的数据中拟合。然后使用获得的参数计算识别模型到“样本外”子集（由失业率最大值的7个样本组成）的SSE，以及匹配模型到完整数据集的SSE。4.2实验第一个实验使用法国计量经济数据进行。31个样本的“mo-delling”子集用于识别目的。所有三个模型，即幂型模型（5）、指数型模型（6）和最大似然模型（7），都适用于这些数据，从而使SSE最小化，从而获得最佳参数。然后使用识别的模型计算38个样本（包括“样本外”子集）的完整数据集的SSE。表1显示了SSE对“mo-delling”子集、SSE对“样本外”子集和SSE对法国菲利普斯曲线完整数据集的结果，以及R平方、调整后的R平方和RMSE的值。

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2022-5-11 04:25:34

在所有列出的统计指标中，TheML模型都优于比较模型，SSE对“样本外”子集的影响是指数型模型的两倍，几乎是幂型模型的三倍（见表1，粗体代表betterresult）。表1：法国菲利普斯曲线拟合的统计结果。幂型模型指数型模型ML模型从样本子集10.9024 8.0347 3.9904SSE到“建模子集157.8422 155.8276 149.6035SSE到”完成数据集168.7446 163.8623 153.5939R平方0.5634 0.569 0.5862调整后的R平方0.5322 0.5382 0.5567RMSE2.374 2.359 2.311模型y（x）=BxC- a y（x）=b ec x-a y（x）=c Eα（b xα）定义a=1.552 a=-0.0187α=1.358识别b=1.009e+04 b=563.6 b=-0.6378参数c=-3.471 c=-0.571摄氏度=-149.9图3还显示了法国菲利普斯曲线拟合的结果，其中可以观察到所有三种模型的类似现象，即随着失业率的增加，通货膨胀率呈指数下降。然而，对于最后的样本，与幂型和指数型模型相比，ML模型的减少速度减慢。ML模型的这种行为显然比复制“样本外”子集的趋势更好。这一点也可以通过“样本外”子集的拟合曲线的最小SSE值来证实（见表1）。6 7 8 10 11 12失业率[%]“建模”子集“样本外”子功率型模型指数型模型Mittag-Leffler模型图3：拟合法国菲利普斯曲线。与法国的情况相同，瑞士的经济计量数据（失业率和通货膨胀率）首先进行了预处理。

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2022-5-11 04:25:37

完整的数据集被分成由31个样本组成的“建模”子集，用于确定功率型模型（5）、指数型模型（6）和ML模型（7）的最佳参数。“建模”子集和拟合曲线之间的误差再次被用作拟合标准。使用确定的模型参数，计算评估模型对38个样本（包括“样本外”子集）的完整数据集的SSE。为了将模型SSE的预测性能与“样本外”子集进行比较，以及与“建模”子集拟合和SSE的SSE值与瑞士菲利普斯曲线的完整数据集进行比较，表2显示了R平方、调整后的R平方和R MSE的值。观察图4所示的瑞士菲利普斯曲线拟合的结果，我们可以看到一个有趣的例子，尽管所有比较模型都呈指数下降，但代表推荐的ML模型的曲线介于幂型和表2：瑞士菲利普斯曲线拟合的统计结果之间。幂型模型指数型模型ML模型从样本子集6.8961 4.6826 5.0041SSE到“建模子集39.6506 40.0588 39.2992SSE到”完成数据集46.5466 44.7414 44.3033R平方0.6389 0.6351 0.642经调整的R平方0.6131 0.6091 0.6165RMSE1.19 1.196 1.185模型y（x）=BxC- a y（x）=b ec x-a y（x）=c Eα（b xα）定义a=-551.3 a=-0.7809α=0.7733识别b=-548.6 b=6.364 b=-1.468参数c=30.85e- 04 c=-1.376 c=8.823指数型模型，形成一种剪刀。对于“样本外”子集，可以观察到该子集中的两个点发生偏差，具有比其他点更高的偏差值。这严重影响了拟合结果。

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2022-5-11 04:25:40

在这种情况下，指数型模型在视觉上表示“样本外”子集的效果略好于ML m模型，这也可以通过指数型模型相对于“样本外”子集的较小SSE值来证明（见表2）。尽管如此，ML模型在所有其他使用的统计指标上都优于比较模型，包括完整数据集的Smallerse，证明了它的能力。此外，如果从“样本外”子集中过滤这两个异常值，ML模型更能反映数据趋势。5结论本文通过对两个欧洲经济体的计量经济数据（菲利普斯曲线）进行拟合，证明了Mittag-Le-fier函数在幂型和指数型函数之间表现的能力，以及对拉伸指数、振荡或阻尼振荡的许多迹象进行拟合的能力。充分利用Mittag-Le-freger函数及其推广的潜力，以及将模型参数与相应的经济指标相关联，将是进一步工作的主题。确认本研究部分由斯洛伐克研究与发展机构APVV-14-0892、SK-SRB-18-0011、SK-AT-2017-0015、APVV-18-0526支持；部分由斯洛伐克科学拨款机构根据VEGA 1/0365/19拨款；部分是通过成本行动CA15225的框架。0 1 2 3 4 5失业率[%]-1“建模”子集“样本外”子功率类型模型指数类型模型Mittag-Leffler模型图4：拟合瑞士菲利普斯曲线。作者声明没有利益冲突。参考Samuelson，P.A。；索洛，R.M.反通货膨胀政策的分析方面。《美国经济评论》1960年，第50期，第177-194期。菲利普斯，A.W.《1861-1957年英国失业率与货币下注率变化率之间的关系》。

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2022-5-11 04:25:45

Economica 1958，25283-299。Fisher，I.失业和价格变化之间的统计关系。《1926年国际劳工评论》，13785-792。《我发现了菲利普斯曲线：失业和物价变化之间的统计关系》，政治经济杂志，81（2，第1部分），第496-502页。布朗，A.J.1939-1951年的《大潮》；牛津大学出版社，伦敦，1955年。Lipsey，R.G.《1862-1957年英国失业率与货币下注率变化率之间的关系：进一步分析》。Economica 1960，27，1-31。《战后时期的工资行为：一项实证分析》；普林斯顿，1960年。Bodkin，R.G.《工资-价格-生产率关系》；费城，1966年。Taylor，J.B.宏观模型中的交错工资设定。《美国经济评论》1979,69108-113。Taylor，J.B.聚合动力学和交错合同。《政治经济学杂志》1980，88，1-23。Calvo，G.A.在效用最大化框架下交错定价。《货币经济学杂志》，1983年，12383-398。Rotemberg，J.J.垄断性价格调整和总产出。1982年经济研究综述，49517-531。罗滕伯格，J.J。；M.伍德福德。货币政策评估的基于优化的计量经济学框架。NBER宏观经济学年刊，马萨诸塞州剑桥：MITPress 1997，第297-346页。《货币政策的作用》。《1968年美国经济评论》，第58页，第1-17页。菲尔普斯，E.S.货币工资动态和劳动力市场均衡。《政治经济杂志》，1968年，76678-711页。克拉丽达，R。；加尔i，J。；货币政策科学：新凯恩斯主义视角。《经济文学杂志》，1999年，371661-1707年。麦卡勒姆，英国广播公司评论。NBER宏观经济学年刊，马萨诸塞州剑桥：麻省理工学院出版社1997，12355-359。加尔i，J。；《通货膨胀动力学：结构计量经济分析》。

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2022-5-11 04:25:48

《货币经济学杂志》，1999年，第44195-222页。加尔i，J。；格特勒，M。；欧佩兹·萨利多，J.D.欧洲通货膨胀动态。《欧洲经济评论2001》，第451237-1270页。加尔i，J。；格特勒，M。；欧佩兹·萨利多，J.D.纽凯恩斯-菲利普斯混合曲线估计的稳健性。货币经济学杂志2005，521107-1118。Mittag Le Figuer，M.G.S ur la nouvelle Fontion Eα（x）。1903年、137554年至558年的科学成就。Mittag Le Figuer，M.G.拉普拉斯-阿贝尔积分的推广。1903年、137537年至539年的《科学杂志》。希尔，E。；Tamarkin，J.D.关于线性积分方程的理论。《数学年鉴》1930年、31479年至528年。Dzhrbashyan，M.M.复平面中函数的积分变换和表示；诺卡，莫斯科，俄罗斯，1966年。卡普托，M。；麦纳迪，F.滞弹性固体中耗散的线性模型。1971年，161-198年。《心理流变学：过去和现在之间的联系》。《纹理研究杂志》1974年5月3日至12日。Torvik，P.J。；Bagley，R.L.关于分数阶导数在真实材料行为中的出现。应用力学杂志1984年，51294-298。桑科，S.G。；基尔巴斯，A.A。；Marichev，O.I.分数阶积分和导数：理论和应用；戈登和布雷克，纽约，纽约，美国，1993年。戈伦·弗罗，R。；Vessella，S.Abel积分方程：分析和应用；1991年，德国柏林斯普林格，数学讲师；pp.–。戈伦·弗罗，R。；Mainardi，F.分数阶振荡和Mittag-Le-fluer函数。技术报告1-14/96，柏林自由大学，柏林，德国，1996年。戈伦·弗罗，R。；连续介质力学中的分形与分数微积分；斯普林格，柏林，德国，1997年；第二章分数微积分：分数阶积分和微分方程，第223-276页。戈伦·弗罗，R。；卢奇科，J。；卢奇科，Y。

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2022-5-11 04:25:52

Mittag-Le-fluer函数Eα，β（z）及其导数的计算。分数微积分与应用分析2002，5491–518。戈伦·弗罗，R。；基尔巴斯，A.A。；迈纳尔迪，F。；Rogosin，S.V.Mittag Le Frienger函数、相关主题和应用；斯普林格数学专著，斯普林格·维拉格，柏林海德堡，2014年。基尔巴斯，A.A。；Saigo，M.关于Abel-Volterra型积分方程的解。微分和积分方程1995，8993–1011。基尔巴斯，A.A。；Saigo，M.关于Mittag-Le-freger型函数，分数阶微积分运算和积分方程解。积分变换和特殊函数1996,4355–370。基尔巴斯，A.A。；塞戈，M。；萨克塞纳，R.K。广义Mittag-Le-finger函数和广义分式演算算子。积分变换和特殊函数2004,15,31-49。迈纳尔迪，F。；Goren Flo，R.，边值问题，特殊函数和分馏函数。在边值问题、特殊函数和分数阶微积分中；基尔巴斯，A.A.，Ed。；白俄罗斯明斯克白俄罗斯国立大学，1996年；《黎曼-刘维尔分数微积分》中的米塔格函数，第215-225页。迈纳尔迪，F。；Goren Fl o，R.关于分数进化过程中的Mittag-Le-fluer型函数。计算与应用数学杂志2000，118283-299。斯利瓦斯塔瓦，H.M。；Saxena，R.K.分数积分算子及其应用。应用数学与计算2001，118，1-52。斯利瓦斯塔瓦，H.M。；Tomovski，Z.具有积分算子的分数阶微积分，其核中包含广义Mittag-Le-figer函数。应用数学与计算2009、211、198–210。韦斯特，B。；毛罗·博洛尼亚，M。；Grigolini，P.《分形算子物理学》；斯普林格·维拉格，纽约，2003年。豪博尔德，H.J。；马泰，上午。；Saxena，R.K.Mittag Le-freger函数及其应用。应用数学杂志2011，2011，51。

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2022-5-11 04:25:55

文章ID 298628Garrappa，R.两参数和三参数Mittag Le-figer函数的数值计算。暹罗数值分析杂志2015，531350–1369。Chen，Y.广义Mittag-Le-funger函数；MathWorks，Inc.Matlab中央文件交换，url:http://www.mathworks.com/matlabcentral/fi leexchange/208492008。Chen，Y.广义Mittag-Le-funger函数；MathWorks，Inc.Matlab中央文件交换，url:http://www.mathworks.com/matlabcentral/fi leexchange/214542008。Podlubny，I.Mittag Le Figuer f Function；MathWorks，Inc.Matlab中央文件交换，url:http://www.mathworks.com/matlabcentral/fi leexchange/87382005。Podlubny，I.使用Mittag-Le-fluer函数拟合数据；MathWorks，Inc.Matlab中央文件交换，url:http://www.mathworks.com/matlabcentral/fi leexchange/321702011。Garrappa，R.Mittag-Le-fluer函数；MathWorks，Inc.Matlab中央文件交换，url:http://www.mathworks.com/matlabcentral/fi leexchange/48154，2015年。Matychyn，I.矩阵Mittag-Le-freger函数；MathWorks，Inc.Matlab中央文件交换，url:http://www.mathworks.com/matlabcentral/fi leexchange/62790，2017年。卡佩拉斯·德·奥利维拉，E。；迈纳德一世。；Vaz Jr.，J.基于Mittag-Le-Freeer函数的电介质反常弛豫模型。欧洲物理杂志专题2011、193、161–171。佩特拉斯，我。；西罗丘克，D。；我是波德鲁·布尼。半阶系统参数的识别。IEEE信号处理交易2012，605561–5566。西罗丘克，D。；波德鲁布尼，I。；Petras，I.加法器和嵌套梯形图的变阶行为的实验证据s.控制系统技术IEEE交易2013,21459–466。Maindardi，F.《线性血管弹性中的分数微积分和波：数学模型介绍》（第二修订版）；帝国理工学院出版社，2018年。塞缪尔，S。；Ricon，J。；波德鲁比，I。

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2022-5-11 04:25:59

使用Mittag-Le-filer函数对内燃机中的燃烧进行建模。国际食品药品监督管理局第16届会议：分馏及其应用国际会议，塞尔维亚诺维萨德，2016年7月18日至20日，2016年，第551-552页。曾国强，C。；陈，Y。；Podlubny，I.我们的宇宙加速动力学是分数阶的吗？2015年8月2日至5日，波士顿，2015年ASME/IEEE机电一体化和嵌入式系统及应用国际会议。文件编号：DETC2015-46216。Scalas，E。；戈伦·弗罗，R。；Mainardi，F.《分数微积分与连续时间金融》。Physica A：统计力学及其应用2000，284376–384。戈伦·弗罗，R。；迈纳尔迪，F。；Scalas，E。；Raberto，M.《分数阶微积分与连续时间金融III：差异极限》。数学金融：数学金融研究项目研讨会，德国康斯坦茨，2000年10月5日至7日；巴塞尔：巴塞尔，2001年；第171-180页。迈纳尔迪，F。；拉贝托，M。；戈伦·弗罗，R。；Scalas，E.《分数阶微积分与连续时间金融II：等待时间分布》。物理学A：统计力学及其应用2000，287468–481。迈纳尔迪，F。；拉贝托，M。；Scalas，E。；Goren Flo，R.《金融波动的实证科学——经济物理学的出现》；斯普林格日本，2002年；第二章通过Mittag-Le-Frienger函数的LIFFE债券期货的生存概率，第195-206页。Cartea。；del Castillo Negrete，D.跳跃市场中期权价格的分数差异模型。Physica A：统计力学和IT应用2007，374749–763。Vilela Mendes，R.fr作用波动率模型的分数微积分解释。非线性动力学2008，55395。加里波第，美国。；Scalas，E.经济物理学中的有限概率方法；剑桥大学出版社，2010年。斯科夫拉内克，T。；波德鲁布尼，I。；Petras，I.《状态空间中国民经济的建模：分数微积分方法》。

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2022-5-11 04:26:02

经济建模2012，291322–1327。特加多，I。；瓦莱里奥，D。；佩雷斯，E。；《经济增长模型中的分数微积分：西班牙和葡萄牙案例》。内特·J·戴恩。控制2015，5208-222。特加多，I。；佩雷斯，E。；《七国集团经济增长建模中的分数微积分》。SSRN电子。J.2018年。塔拉索夫，V.E。；塔拉索娃，V.V.《经济学中的长记忆与短记忆：分数阶差异与差异》。IRA Int.J.Manag。Soc。Sci。2016, 5, 327–334.塔拉索夫，V.E。；塔拉索娃，V.V.《量子与经济物理学中具有记忆的含时分数动力学》。物理学年鉴2017，383579–599。塔拉索娃。；塔拉索夫，V.E.经济学中的动态记忆概念。《非线性科学与数值模拟通讯》2018年第55期，第127–145页。塔拉索夫，V.E。；Tarasova，V.V.具有长动态记忆的宏观经济模型：分数微积分方法。阿普尔。数学计算机。2018, 338, 466–486.塔拉索夫，V.E.具有幂律记忆的经济模型。在分馏和应用程序手册中；第8卷：工程、生命和社会科学应用，B部分；第一章；德格鲁伊特：德国柏林，2019年；ISBN 978-3-11-0570922。塔拉索夫，V.E。；塔拉索娃，V.V.菲利普斯模型，具有指数分布滞后和幂律记忆。计算机。阿普尔。数学2019, 38, 13.塔拉索夫，V.E。；塔拉索瓦，V.V.哈罗德-多马增长模型，具有记忆和分布滞后。公理2019，8，9。塔拉索夫，V.E。；塔拉索娃，V.V.带记忆和滞后的动态凯恩斯经济增长模型。数学2019，7178，17。经济统计局。通用域名格式。经济统计：世界经济展望（WEO）数据，国际货币基金组织。[onlin e]提供：http://www.econstats.com[查阅日期：2019年5月21日]。埃尔德·埃尔伊，A。；马格努斯，W。；Oberhtinger，F。；Tricomi，F.G.高等超越函数；第三卷，麦格劳·希尔，纽约，纽约，美国，1955年；pp.–。米塔格·勒松耶尔，M.G.索普拉·拉福齐昂·阿法（x）。

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2022-5-11 04:26:06

1904年、13年、3月至5日的科学成就。Mittag Le Figuer，M.G.Sur la repr\'Estation analytique d\'une bran che Uniformed d\'une Founction mon og\'ene-cinqui\'eme note。数学学报1905,29101-181。Wiman，A.¨位于Eα（x）功能区Teorie de Funktionen的Uber den Fundamentalsatz。数学学报1905，29191-201。Wiman，A.¨在Eα（x）中的作用。数学学报1905，29217-234。Pollard，H.Mittag-Le-fluer函数Ea的完全单调性(-x）。1948年美国数学学会公报，541115-1116。阿加瓦尔，R.P.M.皮埃尔·亨伯特的提案。1953年、236年、2031年至2032年的《埃米德科学》杂志。Humber t，P.Quelques r\'esultats relatifs\'a founction de Mittag Le fluer。巴黎科学院，1953年，236年，1467-1468年。亨伯t，P。；阿加瓦尔，R。P.在执行其他任务时。科学数学公报1953、77、180–185。Prabhakar，T.R.一个奇异积分方程，核中有一个广义的Mittag-Le-freger函数。《横滨数学杂志》，1971年，第19期，第7-15期。雷恩维尔，E.D.特殊功能；麦克米伦，美国纽约，1960年。Shukla，A.K。；Prajapati，J.C.关于Mittag-Le-freuer函数及其性质的推广。数学分析与应用杂志2007，336797–811。Cover，J.P.正面和负面货币供应冲击的不对称影响。《经济学季刊》1992，1071261-1282。Karras，G.货币政策的产出效应是否不对称？来自欧佩克国家样本的证据。O 1996年xf ord经济与统计公报，58267–278。诺贝，A.R。；皮尔，D.A.具有非线性菲利普斯曲线的最优货币政策。《经济学快报》2000年，第67期，第159-164期。Schaling，E.《非线性菲利普斯曲线与通货膨胀预测目标：对称性与非对称性货币政策规则》。

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