部分观测数据统计估计中的降维

2022-5-25 11:09:01

部分观测多尺度过程统计估计中的降维Sandrew PAPANICOLAOU+和KONSTANTINOS SPILIOPOULOS摘要。我们考虑部分观测到的多尺度扩散模型，这些模型被指定为一个未知的矢量参数。我们建立了一类非常普遍的测试函数，即原始模型的过滤器收敛到降维过滤器。然后，该结果用于证明基于降维模型但使用原始可用数据对感兴趣的未知参数进行统计估计的合理性。这允许在低维环境中学习未知的感兴趣参数，而不是使用原始的高维系统。仿真研究支持并说明了理论结果。关键词。数据同化、过滤、参数估计、均匀化、多尺度差异、降维。主题分类。93E10 93E11 93C70 62M07 62M861。介绍本文考虑一个具有多时间尺度的一般滤波问题的统计推断。关于概率空间(Ohm, （Ft）t≤T、 P）T<∞, 对于正整数m，k，nw，我们考虑（m+k+n）维过程（Xδ，Uδ，Yδ）={（Xδt，Uδt，Yδt）∈ Rm×Rk×Rn，0≤T≤ T}∈ C（[0，T]；Rm×Rk×Rn），满足0<δ的随机微分方程（SDE）系统 1，dYδt=hθXδt，Uδtdt+dWt（观测值）dUδt=gθXδt，Uδtdt+τθXδt，UδtdVt（隐藏）dXδt=δbθXδt，Uδtdt公司+√ΔσθXδt，UδtdBt（隐藏），（1.1），其中（Wt）t≤T、（Bt）T≤坦德（Vt）t≤Rn、RMAN和Rk中分别存在皮重（未观测到）独立的维纳过程。在金融应用的背景下，一种可能的解释是，向量Ytis是连续金融数据流的一部分，隐藏过程Xδ和Uδt是astochastic模型中的因子，例如参见【Fouque et al.，2011】。

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2022-5-25 11:09:05

一种不同的可能解释是，Yδ是癫痫发作期间大脑活动的信号，正如【Jirsa等人，2014年】所述，多尺度动力系统被用作癫痫发作动力学的模型。其他应用包括海洋学和气候建模中的多尺度建模，例如参见【Majda等人，2008年】。最初，（1.1）中的模型没有具体说明，随着数据的到来，我们可以了解参数值θ。我们让Yδt表示由数据生成的σ-代数，Yδt=σ{（Yδs）s≤t} ，主要目标是计算最大似然估计量（MLE）。给定Yδt，我们将对数似然函数表示为ρδt（θ），我们将其最大化以获得估值器^θδt=arg maxθρδt（θ）。+纽约大学坦顿工程学院金融与风险工程系，纽约布鲁克林MetroTech中心6号，邮编：11201ap1345@nyu.edu.波士顿大学数学与统计系，马萨诸塞州波士顿市卡明顿街111号，邮编02215，kspiliop@math.bu.edu.部分工作得到了NSF拨款DMS-1312124和NSF职业奖dms1550918的支持。例如，在金融应用中，尤其是在高频交易中，市场和限额指令需要在精确的时间点执行，精度为纳秒级。因此，估计值（如MLE）可能非常准确，但也可能需要重新计算时间，这对于交易而言太长了。一般来说，众所周知，即使没有多重尺度的影响，标准蒙特卡罗粒子过滤器也可能非常慢。然而，在小δ极限下，维数显著降低，因为过程Xδ通过遍历理论得到“平均值”，这使得过滤Uδ和推断θ的算法更快。本文的创新之处在于两个层面。

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2022-5-25 11:09:09

在第一级，我们证明（1.1）的非线性滤波器对于θ的任何参数值都收敛，并且在由真实参数值参数化的度量下，极限为降维滤波器。对于同时依赖于慢和快未知分量X和U的测试函数，我们证明了这一结果；testfunctions可能是无界的，但我们确实施加了矩界。这一结果扩展了【Imkeller等人，2013年】和【Papanicolaou和Spiliopoulos，2014年】之前的工作。在第二个层次，我们利用滤波器的收敛结果证明了基于降维模型的极大似然估计产生了一致和渐近正态估计量，并确定了估计量的极限方差。我们将我们的方法应用到示例中，其中简化程序允许使用经典卡尔曼滤波类型的方法来解决高度非线性的问题，而不具有小δ渐近性。我们的例子展示了如何将高度非线性问题的统计推断简化为线性和降维问题的统计推断，因此从计算角度来看，要求明显降低。简化系统中非线性问题的滤波器计算要复杂得多，通常需要粒子滤波器；我们请读者参考【Givon等人，2009年，Papavasiliou，2007年】，了解多尺度设置中的一些相关结果。另一个实现问题是模型学习/估计，这有时是通过期望最大化（EM）算法完成的（见Elliott，1993）。本文的结果直接适用于多尺度框架下参数模型的学习；模型由θ参数化，与原始模型相比，使用简化模型可以获得极大似然估计。论文的其余部分组织如下。

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2022-5-25 11:09:14

在第2节中，我们阐述了特定条件下的利益问题，并给出了一些在整个过程中都有用的初步众所周知的结果。在第3节中，我们给出了原始问题的滤波方程，并导出了与降维问题相关的滤波器。在第4节中，我们给出了关于滤波收敛的第一个主要结果，这是使用原始可用数据Yδtbut进行推理的主要依据，基于降维模型。在第5节中，我们介绍了参数估计的主要结果。特别地，我们证明了在适当的条件下，降维问题的极大似然估计是一致的且渐近正态的→ ∞. 在第6节中，我们考虑几个示例来说明和补充可以使用经典卡尔曼滤波技术的理论结果。给出了仿真数据以支持理论推导。2、问题制定和初步结果。Letθ∈ Θ Rdbe是根据（1.1）生成的数据估计的未知相关参数。假设我们只观察Yδ过程，我们得到θ的一致渐近正态极大似然估计。我们考虑一下情况δ 1，在这种情况下，Xδ是快分量，Uδ是慢分量。我们通过观察δ来降低问题的高维性↓ 0限制并利用基于降低的可能性的极大似然估计的统计特性。对于（1.1）中给出的模型，我们将分别为快速过程中的最小生成器Xδ和过程Uδ编写lf和ls。即，LFθ，uf（x）=bθ（x，u）·Dxf（x）+trσθ（x，u）σ>θ（x，u）Dxf（x）LSθ，xf（u）=gθ（x，u）·Duf（u）+trτθ（x，u）τ>θ（x，u）Duf（u）（2.1）接下来，我们提出了本文关于（1.1）系数的增长和规律性的主要条件。

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2022-5-25 11:09:17

这些条件保证（1.1）具有明确的强解，快组分Xδ是遍历的，慢组分Yδ是明确的均匀化极限，如δ↓ 适当意义上的0。【Pardoux和Veretennikov，2001】针对均质化和【Bain和Crisan，2009】第3章针对过滤给出了保证这些特性的假设，如下所述：条件2.1。i）。为了遍历性的目的，我们将假定递归条件lim | x|→∞supθ∈Θsupu∈Rkbθ（x，u）·x=-∞.在此假设下，满足与Hasminskii的快速动力学X相关的不变度量存在的Lyapunov型条件【Hasminskii，1980年】。ii）。为了保证X不变测度的唯一性，我们假设σθ（X，u）σTθ（X，u）在θ中是一致非退化的，即存在λ（θ）>0，这样对于所有（X，u）∈ X×U |ξσθ（X，U）|≥ λ（θ）|ξ|，对于所有（θ，ξ）∈ Θ×Rm。iii）。函数bθ（x，u）和σθ（x，u）是C2+α，2b（Rm×Rk）和α∈ （0，1），θ均匀∈ Θ。即θ一致∈ Θ，它们在x和u上有两个有界导数，所有偏导数都是H¨older连续的，指数α，关于x，uniformlyin u.iv）。我们假设gθ∈ C（Rm×Rk），存在K和q，使得| g（x，u）|≤ K（1+| x |）（1+| u | q）。v）。对于每个N>0，存在一个常数C（N），使得对于所有u，u∈ RMAD | x |≤ N、扩散矩阵τ满足τ（x，u）-τ（x，u）|≤ C（N）| u- u |。此外，存在K>0和q>0，使得|τ（x，u）|≤ K（1+| u | 1/2）（1+| x | q）。vi）。hθ∈ C（Rm×Rk）在（x，u）中有界且全局Lipschitz∈ Rm×Rk在θ中均匀分布∈ Θ。vii）。

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2022-5-25 11:09:21

函数hθ、bθ、σθ、gθ、τθ在θ中是Lipschitz连续的∈ Θ和Θ Rdis边界打开集。在这种假设和扩散系数σθ（x，u）σ>θ（x，u）的非简并性下，对于Ut=u的情况，过程x是唯一的不变度量，我们将用μθ（dx；u）表示。对于给定函数f∈ L（uθ），将其平均值定义为“fθ（u）=ZRmf（x，u）uθ（dx；u）。众所周知，Yδ·在C（[0，T]；Rn）中的分布收敛于过程Y（例如[Bensoussan等人，1978年，Pardoux和Veretennikov，2003年]），其中yt=Zt'hθ（'Us）ds+Wt.（2.2），其中d'Ut='gθ“”Utdt+’τ0，θ“”UtdVt，带？τ0，θ（u）=τθ（·，u）τ>θ（·，u）1/2。（2.3）事实上，由于观测过程Yδthas是常数差，条件2.1和遍历定理保证了对任何θ都有更强的结果∈ Θ，即每ε>0Pθsup0≤T≤TYδt- 年初至今≥ ε→ 0，作为δ↓ 0θ∈ Θ。（2.4）3。过滤方程式。数据包含在过滤δt=FYδt=σ{（Yδs）s中≤t} ，它是右连续的，Yδ包含所有P-可忽略的集合。对于任何θ∈ Θ，我们定义了一个新的度量值P*θ开(Ohm, F）通过关系dPθdP*θ、 =Zδ，θT=expZThθ（Xδs，Uδs）dYδs-ZT公司hθ（Xδs，Uδs）ds！。（3.1）在适当的假设Zδ下，θ是指数鞅，因此概率测度θ和P*θ彼此绝对连续，且（Uδ，Xδ）在Pθ和P下的分布相同*θ。此外，过程Yδ是P*θ-布朗运动与（Uδ，Xδ）无关。接下来，对于f:X×U→ R使E*θf（Xδt，Uδt）< ∞, 我们将f上的测度值过程φδ，θ定义为φδ，θt[f]。=E*θhZδ，θtf（Xδt，Uδt）Yδti，（3.2）对于f∈ 众所周知，Cc（X×U）是以下方程式的唯一解（见【Rozovsky，1991】）：dφδ，θt【f】=Δφδ，θt【LFθf】+φδ，θt【LSθf】dt+φδ，θt[hθf]dYδs，P*θ-a.s.，φθ[f]=Eθf（Xδ，Uδ）。

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kedemingshi

2022-5-25 11:09:24

（3.3）方程（3.3）是用于非线性滤波的Zakai方程。此外，φδ，θ实际上是一个非规范化的概率度量，它通过KalianpourStriebel公式，πδ，θt[f]产生规范化的后验期望Eθhf（Xδt，Uδt）Yδti=φδ，θt[f]φδ，θt[1]Pθ，P*θ-a.s。（3.4）如果f（x，u）=hθ（x，u），则我们有新息过程，νδ，θt.=Yδt- Y-Ztπδ，θs[h]dsT∈ [0，T]。过程νδ，θ是由观察到的Yδ过程生成的过滤下的Pθ-布朗运动，但只有当θ等于真实参数值时，才可以观察到布朗运动。对于可测量的测试函数f:X×U→ R、在非线性Kushner-stratonovich方程中使用新息过程来描述πδ，θt[f]，dπδ，θt[f]的演化=Δπδ，θt【LFθf】+πδ，θt【LSθf】dt公司+πδ，θt【fhθ】-πδ，θt[f]πδ，θt[hθ]dνδ，θtPθ-a.s.（3.5）接下来让我们考虑降维近似问题的滤波方程。考虑“平均”指数“Zδ，θt.=expZt'hθ（'Us）dYδs-Zt公司\'hθ（\'Us）ds公司, （3.6）(R)Zθt.=经验值Zt'hθ（'Us）d'Ys-Zt公司\'hθ（\'Us）ds公司. （3.7）对于f∈ Cc（U），我们定义了新的后验测度φδ、θt[f]和φθt[f]，它们满足随机演化方程dφδ、θt[f]=？φδ、θt[LSθf]dt+？φδ、θt[？hθf]dYδt、？φδ、θ[f]=Eθf（？U），（3.8）d？θφt[f]=？φθt[LSθf]dt+？t[\'hθf]d\'Yt，\'φθ[f]=Eθf（\'U）。（3.9）很容易用It^o引理验证“平均”Zakai方程（3.8）和（3.9）有解φδ，θt[f]=E*θhfθ（\'Ut）\'Zδ，θtYδti，（3.10）(R)φθt[f]=E*θhfθ（\'Ut）\'Zθt\'\'Yti，（3.11），其中\'\'Yt=F\'\'Yt=σ{（\'Ys）s≤t} 是右连续σ-代数和Y包含所有P-可忽略设置。我们将平均滤波器定义如下：’πδ，θt[f]=’φδ，θt[f]’φδ，θt[1]和‘πθt[f]=’φθt[1’。

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2022-5-25 11:09:28

很容易看出，’πθt[f】=Eθhf（’Ut）\'\'Yti。我们在本节结束时提到，在Pθ下，方程式（3.4）定义了测量值过程Pδ，θ·，条件分布，公式如下Pδ，θt，f= πδ，θt[f]=Eθhf（Xδt，Uδt）Yδti。类似地，我们通过以下公式定义概率测度值过程“Pδ、θ”和“Pθ·”\'Pδ，θt，f= πδ，θt[f]和\'Pθt，f= πθt[f]尤其是测度值过程Pθ，将便于证明基于约化估计的极大似然估计的相合性和渐近正态性。4、过滤器的收敛性。考虑η>0并定义以下测试函数类别aθη=（f∈ C（X×U）∩L（X×U；uθ）：supδ∈（0,1）支持∈[0，T]Eθf（Xδt，Uδt）2+η<∞).然后，我们得到了以下结果，这是【Imkeller等人，2013年】和【Papanicolaou和Spiliopoulos，2014年】结果的推广。定理4.1。假设条件2.1。对于任何α，θ∈ Θ，以下值一致保持int∈ [0，T]i）。让f∈ Cb（X×U）。然后，对于每个ε>0limδ↓0Pαφδ，θt【f】-(R)φδ，θt[(R)f]≥ ε= 0ii）。假设η>0，使得f∈ Aθη。然后，πδ，θt[f]在Pα-均方中收敛到πθ，αt[f]，即limδ↓0Eαπδ，θt[f]- πδ，θt[\'f]= 0。此外，我们还有limδ↓0Eαπδ，θt[\'f]- πθt[\'f]= 0。对于f∈ Cb（U），对于α=θ的情况，这在【Imkeller等人，2013年】中得到了证明。同样，对于hθ（x，u）=hθ（x），bθ（x，u）=bθ（x）和σθ（x，u）=σθ（x），即当模型不包括隐藏的慢过程u时，定理4.1在【Papanicolaou和Spiliopoulos，2014】中得到了证明。因此，定理4.1将【Imkeller等人，2013年，Papanicolaou和Spiliopoulos，2014年】的结果扩展到了案例f∈ Aθη和under参数不匹配。我们在此强调，由于我们对参数估计感兴趣，我们自然有兴趣确保滤波器在由真实参数值参数化的度量下收敛于任何参数值。

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2022-5-25 11:09:31

该定理的证明见附录A.5。基于约化似然函数的统计推断。定理4.1表明，对于参数估计，我们可以近似条件对数似然ρδT（θ）=logφδ，θT[1]=log E*θhZδ，θTYδTi（5.1）乘以“约化”对数似然度ρδT（θ）=对数φδ，θT[1]=对数E*θh'Zδ，θTYδTi（5.2）注意到，通过引理3.29，在【Bain和Crisan，2009】中，我们得到了ρδT（θ）=log(R)φδ，θT[1]=ZT'πδ，θs['hθ]dYδs-ZT公司\'πδ，θs[\'\'hθ]ds（5.3）以下条件是关于'hθ（u）作为θ函数的正则性∈ Θ。条件5.1。有常数C>0，p≥ 1和q>1，对于任何θ，θ∈ Θ，supu∈U | hθ（U）-\'hθ（u）| p≤ C |θ- θ| q.i.e.，θ7→\'hθ（u）在u中均匀连续∈ U、允许任意初始条件，进程集Xδ，Uδ，Pδ，θ，’Pδ，θ,Xδ，Uδ，(R)Pδ，θ和\'U，\'Pθ是C中的Markov-Feller过程（[0，∞); Rm+k）×C（[0，∞), P（Rk）），C（[0，∞); Rm+k）×C（[0，∞), P（Rk））和C（[0，∞); Rk）×C（[0，∞), P（Rk））。设∏δ，θ（t，·），‘∏δ，θ（t，·）和∏θ（t，·）为相应的转移函数。为了使平均问题asT具有足够的遍历性→ ∞ 我们作出以下假设，例如参见【Kushner，1990年】。第6节中考虑的示例满足条件5.2。条件5.2。转移函数∏θ（t，·）有一个唯一的不变测度∏θ（·）。此外，集合{Ut，t<∞} 很紧，很紧→∞supt'Pθt（{| u |>N}）=0。我们还需要以下识别条件。条件5.3。我们假设对于任何θ∈ Θ，任何 > 0，T<∞ 对于每个t∈ （0，T），一个hasinfα∈Θinf |θ-α|>Eα？πθt[？hθ]- ？παt[？hα]> 0.让我们定义‘θδT.=arg maxθ∈Θ′ρδT（θ）。（5.4）由于我们假设Θ是有界的，所以我们得到了θδT∈ cl（Θ），概率为1。然后我们有以下定理：定理5.1。假设条件2.1、5.1、5.2和5.3。

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2022-5-25 11:09:35

基于（5.2）的最大似然估计与第一个δ非常一致↓ 0然后T→ ∞, i、 e.，对于任何ε>0极限→∞limδ↓0Pα\'θδT- α> ε= 0.证明。在Pα下，我们回忆起创新过程νt.=Yδt- Y-Ztπδ，αs[hα]dsT∈ [0，T]是由观测到的Yδ过程产生的过滤下的Pα-布朗运动。因此，根据α，我们有‘ρδT（θ，α）=‘ρδT（θ）=ZT‘πδ，θs[’hθ]dYδs-Zt公司\'πδ，θs[\'\'hθ]ds=ZT？πδ，θs[？hθ]·πδ，αs[hα]-\'πδ，θs[\'\'hθ]ds+ZT'πδ，θs['hθ]dνs，其中'πδ，θs['hθ]·πδ，αs[hα]表示Rn中Y坐标上的内积。然后，我们得到了α(R)ρδT（θ，α）- (R)ρδT（θ，α）P≤ C supu∈U | hθ（U）-\'hθ（u）| p1+EαZT | hθ（Xδs，uδs）| ds！，≤ C |θ- θ| q，（5.5），其中我们使用条件5.1。常数C可能会随着行的变化而变化，但我们不会在符号中指出这一点。根据定理4.1，我们得到了thatlimδ→0ZTEαπδ，αs【hα】- ？παs[？hα]ds=0。（5.6）定理4.1、（5.5）和（5.6）通过【Billingsley，1968】中的定理12.3暗示，我们在均匀度量中，过程ρδT（·，α）的分布收敛于ρT（·，α），其中ρT（θ，α）=ZT？πθs[？hθ]·？παs[？hα]-？πθs[？hθ]ds+ZT'πθs['hθ]dνs=-ZT公司？πθs[？hθ]- ？παs[？hα]ds+ZT？παs[？hα]ds+ZT'πθs['hθ]dνs（5.7）因此，类似于[库托扬茨，2004年]第61页命题1.32的证明，我们有limδ↓0Pα\'θδT- α> ε= limδ↓0Pαsup |θ-α|>εT′ρδT（θ，α）>sup |θ-α|≤εT′ρδT（θ，α）！=Pαsup |θ-α|>εT′ρT（θ，α）>sup |θ-α|≤εT′ρT（θ，α）！。同时，对于任何η>0，我们有pαTZT'πθs['hθ]dνs> η！≤ηTEαZT？πθs[？hθ]ds公司≤ηtc对于一些不依赖于T的常数cT。

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2022-5-25 11:09:39

因此，在Pα中-极限概率→∞“TZT'πθs['hθ]dνs#=0。让我们定义'ρT（θ，α）=-ZT公司？πθs[？hθ]- ？παs[？hα]ds+ZT？παs[？hα]ds，并回顾条件5.2，我们得到‘’ρ∞（θ，α）使得→∞ET’’ρT（θ，α）-\'\'ρ∞（θ，α）= 0。因此，我们获得了→∞limδ↓0Pα\'θδT- α> ε= 限制→∞Pαsup |θ-α|>εT′ρT（θ，α）>sup |θ-α|≤εT′ρT（θ，α）！≤ 限制→∞Pαsup |θ-α|>εT′ρT（θ，α）>sup |θ-α|≤εT′ρT（θ，α）！=Pαsup |θ-α|>ε’’ρ∞（θ，α）>sup |θ-α|≤ε′ρ∞（θ，α）！=0，（5.8），其中上次计算使用了可识别性条件5.3。在此基础上，我们总结了定理的证明。让我们研究基于约化似然函数的最大似然估计的下一个渐近正态性。我们知道最大化子就是方程的解θ的θ′ρδT=0∈ Θ。因此，该方程的最大值|θ=|θδTof将满足方程ztθ′πδ，|θs[(R)h|θ]dYδs- πδ，|θs[|h|θ]ds= 0。（5.9）我们在这里提到，（5.4）和（5.9）不等同；（5.4）包含ρδT（θ）的所有局部极小值和局部极大值，可能不止一个。此外，等式（5.9）甚至可能没有正概率的Θ中的解。例如，假设θδ为（5.9）的解，并假设θ∈ （θ`，θu），然后'θδT='θδT[{'θδT∈（θ`，θu）}]+θ`[°θδT≤θ`}]+θu[{∧θδT≥θu]。接下来，我们研究了对应于约化对数似然的极大似然估计的渐近正态性。我们作出以下假设。条件5.4。存在一个严格的正定义矩阵I（α），因此我们在度量PαI（α）=limT→∞坦桑尼亚先令α′παs[\'hα]>·α′παs[’hα]ds。（5.10）很明显，在“hθ（u）=”hθ的情况下，条件5.4满足常数矩阵I（α）=α′hα·α′hα。在第6节中，我们将研究一个更复杂的示例，在这个示例中，还可以以封闭形式显式计算事物。

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何人来此

2022-5-25 11:09:42

实际上，I（α）只是Fisher信息矩阵。根据定理5.1，基于θ′πδ，θs[’hθ]作为θ的函数，在条件5.4下，对应于约化对数似然的极大似然的渐近正态性成立。准确地说，我们有以下定理。定理5.2。假设条件2.1、5.1、5.2、5.3、5.4以及θ′πδ，θs[’hθ]几乎肯定是作为θ的函数连续的。基于（5.2）的最大似然估计在Pα下是渐近正态的，即。√T\'θδT- α=> N0，I-1（α）第一个为δ↓ 0，然后为T→ ∞, （5.11）式中，I（α）是（5.10）给出的Fisher信息。证据我们写出πδ，θs[\'hθ]=θ′πδ，θs[’hθ]，以便于标记。基于（5.9）和θ=’θ=’θδT，我们写出了一些α*使得|α*- α|≤ |\'θ- α| 0=ZT˙'πδ，'θs['h'θ]dYδs- ？πδ，？θs[？h？θ]ds=ZTπδ，’θs[’h’θ]dYδs- πδ，αs[\'hα]ds-(θ - α） πδ，α*s[(R)hα*]ds公司=ZTπδ，’θs[’h’θ]dYδs-ZTπδ、？θs[？h？θ]·πδ、αs[？hα]ds-（°θ）- α） ZTπδ，θs[\'hθ]·πδ，α*s[(R)hα*]ds。经过一些项重排，我们得到√T\'θδT- α=TZTπδ，’θs[’h’θ]·πδ，α*s[(R)hα*]ds！-1.√TZTπδ、？θs[？h？θ]dνs+TZTπδ、？θs[？h？θ]·πδ，α*s[(R)hα*]ds！-1.√TZTπδ，’θs[’h’θ]·πδ，αs【hα】- ？πδ，αs[？hα]ds，取δ→ 0，遍历性和定理4.1保证limδ→0EαZTπδ，αs【hα】- ？πδ，αs[？hα]ds=0。（5.12）后一种说法和条件5.4向我们保证，在Pα中，概率为第一个δ↓ 0和thenT→ ∞TZTπδ，’θs[’h’θ]·πδ，α*s[(R)hα*]ds！-1.√TZTπδ，’θs[’h’θ]·πδ，αs【hα】- ？πδ，αs[？hα]ds公司→ 0。

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2022-5-25 11:09:46

（5.13）为了便于标注，让我们定义随机矩阵fδT（θ，θ）=TZTπδ，θs[\'hθ]·θπδ，θs[\'hθ]ds。因为在Pα下，新息过程νt.=Yδt- Y-Ztπδ，αs[hα]dsT∈ [0，T]是一个Pα-布朗运动，对于我们注意到的随机积分：TZTπδ，\'θs[\'h\'θ]·πδ，α*s[(R)hα*]ds！-1.√TZTπδ，’θs[’h’θ]dνs=fδT（°θ，α*)-1.√TZTπδ、？θs[？h？θ]dνsSinceα*- α|≤ |\'θδT- α|，定理5.1暗示→∞limδ↓0Pα（|α*- α|>ε）≤ 限制→∞limδ↓0Pα\'θδT- α> ε= 0对于任何ε>0，因此，通过|πδ，θs[|hθ]作为θ函数和条件5.4的几乎确定的连续性，我们得出Pα概率为δ↓ 0然后T→ ∞fδT\'θ，α*→ I（α）。然后，【Kutoyants，2004】中的命题1.21和Slutsky定理暗示，在分布中，Firstasδ↓ 0，然后为T→ ∞,TZTπδ，’θs[’h’θ]·πδ，α*s[(R)hα*]ds！-1.√TZTπδ，’θs[’h’θ]dνs=> N0，I-1（α）. （5.14）极限（5.13）和（5.14）暗示了Slutsky定理对组合表达式的陈述。6、示例。在这一节中，我们考虑几个数值例子来说明本文的结果。尽管本文的理论是在hθ有界的假设下发展起来的，但本节的数值结果表明，这一假设具有一定的灵活性，并且结果应具有更广泛的适用性。设θ为有限维参数，并考虑方程组δt=a（θ）λXδtUδtdt+∑dWt（观测值）dUδt=-β（θ）qXδtUδtdt+γ（θ）dVt（隐藏）dXδt=δbθXδtdt公司+√ΔσθXδtdBt（隐藏）（6.1），其中β（θ）>0，a（θ）6=0，γ（θ）6=0，∑6=0，Y，U，X取R中的值。

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2022-5-25 11:09:49

在不损失一般性的情况下，出于表述目的，本文的理论是针对∑=I发展的，但正如我们在这里看到的一样，只要∑是非退化的，∑6=I的结果也是相同的。让我们进一步假设我们知道X的不变度量，它由u（dx）给出。然后，我们知道（6.1）的概率极限为δ↓ 0 isd'Yt=a（θ）'λ'Utdt+∑dWtd'Ut=-β（θ）’q’Utdt+γ（θ）dVt。（6.2）相对容易看出，扩散系数∑可以视为一个比例因子。在Pα下，过程{νt，t∈ [0，T]}由方程νT=定义Yδt- Y-Ztπδ，αs[hα]dsT∈ [0，T]是由观测到的Yδ过程产生的过滤下的Pα-布朗运动。最大满意度∑ZTθ′πδ，|θs[(R)h|θ]dYδs- πδ，|θs[|h|θ]ds= 0，Fisher信息变成beI（α）=limT→∞T∑ZTα′παs[\'hα]>·α′παs[’hα]ds。限制系统（6.2）使用著名的Kalman-Bucy滤波器。【Kutoyants，2004】研究了极限线性系统（6.2）的推理问题。在【Kutoyants，2004】中，作者基于（6.2）开发了θ的极大似然估计，即使用数据“Yt”。然而，我们的设置与其他文献的不同之处在于，我们希望根据观测值Yδt来估计θ，Yδt来自多尺度模型（6.1），而不是极限模型（6.2）。当然，使用极限问题是为了推导估计量的性质，但实际的推断是基于多尺度模型的观测值。让我们写下'a（θ）=a（θ）'λ，'β（θ）=β（θ）'q。注意，在第2节的符号中，我们有'hθ（u）=a（θ）u和'gθ（u）=-β（θ）u。让我们计算该模型的Fisher信息矩阵I（α），并导出I（α）严格正且模型可识别的条件。让我们首先表示^Ut=E[Ut | Yt]。

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2022-5-25 11:09:54

众所周知，^utsatifies the equationd^Ut=-β（θ）Utdt+？a（θ）σt（θ）∑年初至今- \'a（θ）^Utdt, （6.3）式中^σt（θ）=E（\'Ut-^Ut）求解Ricatti方程d^σt（θ）dt=-2’’β（θ）^σt（θ）-\'a（θ）（^σt（θ））∑+γ（θ）。（6.4）接下来让我们定义ζ（θ）=q′β（θ）+γ（θ）’a（θ）/∑-β（θ）=κ（θ）-β（θ）。很容易看出，如果^σ（θ）=∑a（θ）ζ（θ），那么对于所有t≥ 0，这意味着∑a（θ）ζ（θ）是（6.4）的稳定解。另一方面，如果^σ（θ）6=∑a（θ）ζ（θ），则^σt（θ）以指数形式快速收敛到∑a（θ）ζ（θ），请参见【Kutoyants，2004】第3.1.1节。因此，为了简化事情，让我们假设（6.3）和（6.4）处于静止状态。在这种情况下，如果Uis N的初始分布πθ[°hθ]，∑a（θ）ζ（θ）然后“Ut”~ Nπθ[°hθ]，∑a（θ）ζ（θ）对于所有t≥ 0.在这种情况下，\'πθt[\'hθ]=\'a（θ）^\'ut将满足方程d'πθt[\'hθ]=-\'β（θ）\'πθt[\'hθ]dt+ζ（θ）年初至今- ？πθt[？hθ]dt. （6.5）现在请注意，如果θ=α（即真实参数值），则νtde由d？νt=∑定义年初至今- ？πθt[？hθ]dt是一个Pα布朗运动。在一般情况下，πθt[\'hθ]满足平均线性SDE（6.5），因此当θ=α时，我们有παt[\'hα]=\'πα[\'hα]e-(R)β（α）t+ζ（α）∑中兴通讯-β（α）（t-s） dνs，从中可以清楚地看出，’παt[’hα]是具有不变定律N的高斯分布0，ζ（α）∑β（α）.接下来，考虑到πθt[\'hθ]相对于θ的导数，在θ=α时，我们发现παt[\'hα]满足SDEdπαt[\'hα]=-β（α）’παt[’hα]-κ（α）˙παt[\'hα]dt+˙ζ（α）∑d′νt，（6.6），因此我们得到˙παt[\'hα]=˙πα[\'hα]e-κ（α）t-β（α）中兴通讯-κ（α）（t-s） (R)παs[(R)hα]ds+˙ζ（α）中兴通讯-κ（α）（t-s） ∑d'νs，（6.7），其中Fubini定理给出'παt['hα]=Zte-κ（α）（t-s）˙κ（α）-β（α）eζ（α）（t-s）∑d？νs+o（1）。（6.8）因此，通过使用（6.8）直接计算，我们可以计算极大似然估计的渐近方差。特别地，我们得到在Pα概率i（α）=limT→∞T∑ZTπαs[\'hα]ds=˙β（α）˙β（α）+κ（α）2κ（α）- 2˙β（α）˙κ（α）˙β（α）+κ（α）。（6.9）现在让我们假设条件6.1。

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何人来此

2022-5-25 11:09:57

对于任何紧凑型 Θ和任何 > 0oinfθ∈Θ|β（θ）+κ（θ）|> 0，oinfθ∈inf |α-θ|>|\'-β（α）-β（θ）+κ（α）- κ（θ）|> 0.【Kutoyants，2004】第3.1.1节中的相关案例证明，在具体示例中，条件6.1本质上意味着条件5.3，即我们具有模型的可识别性，并且渐近方差是严格正的，即i（α）>0。接下来，我们将根据模型问题（6.1）进行一些模拟研究。我们考虑了三个不同的例子。实例缺乏hθ假设的有界性，表明本文的理论结果具有更广泛的适用性。6.1。模拟示例1。设过程为标量（Yδ，Uδ，Xδ）∈ R×R×R，并考虑（6.1）中系统的以下示例：dYδt=eXδtUδtdt+∑dWt（观测值）dUδt=-Uδtdt+dVt（隐藏）dXδt=δθ- Xδtdt+σ√δdBt（隐藏）。（6.10）该示例的一个关键特征是，过程Xδ的行为类似于乘性噪声因子。图6.1显示了参数化系统的实现，其中T=25，δ=0.01，∑=σ=0.1，以及真α=0和离散时间步长t=.02.0 5 10 15 20 25-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.04A样本观察和隐藏状态观察Y避免扩散\'hθUtt过滤器'πδ，θt['hθU]t、参数θ=α图6.1。从（6.10）中给出的系统实现的样本，真实参数α=0。在这种情况下，δ=1的X过程的不变测度μθ（dx）是对应的toN（θ，σ/2）。还请注意，我们可以从（6.9）中以闭合形式计算Fisher信息，并得到（α）=e4α+σ2∑（1+e2α+σ/2/σ）3/2。表6.1列出了估计器经验误差的标准误差以及Fisher信息的预测误差。下表显示了trueparameter不同值的比较。

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kedemingshi

2022-5-25 11:10:02

在图6.2中，我们给出了α参数真值的三种不同情况的柱状图，以及定理5.2给出的拟合理论正态曲线。θ真参数不同值的统计信息。θ估计量经验标准误差。理论标准err0-0.0170 0.0982 0.09001 0.9844 0.0618 0.05421.5 1.4591 0.0503 0.0422表6.1模型（6.10），500次模拟计算，T=25，δ=0.01，∑=σ=0.1。此表显示了估计器、经验标准误差和定理5.2预测的标准误差。参数空间Θ-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5经验密度00。0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05CLT对于简化的MLE估计量，(R)θδtHistogram weights normal PDF参数SpaceΘ0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25经验密度00。0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05CLT对于简化的MLE估计量，(R)θδtHistogram weights normal PDF参数SpaceΘ1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2经验密度00。010.020.030.040.050.060.070.08CLT对于简化的MLE估计量，’θδtHistogram weights normal Pdfigure 6.2。左上角：α=0。右上角：α=1。底部：α=1.5.6.2。模拟示例2。设过程为标量（Yδ，Uδ，Xδ）∈ R×R×R，并考虑（6.1）中系统的以下示例：dYδt=Uδtdt+∑dWt（观测值）dUδt=-eXδtUδtdt+dVt（隐藏）dXδt=δθ- Xδtdt+σ√δdBt（隐藏）。（6.11）该示例的一个关键特征是过程Xδ影响Uδ过程的平均回复率。图6.3显示了参数化系统的实现，其中T=25，δ=0.01，∑=σ=0.1，以及真α=0和离散时间步长t=.02.0 5 10 15 20 25-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.03A观察到的样本和隐藏状态YtHidden Diffusion Ut公司t过滤器'πδ，θt【U】t、参数θ=α图6.3。

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2022-5-25 11:10:05

从（6.11）中给出的系统实现的样本，真实参数α=0。与示例1的情况一样，δ=1的X过程的不变度量μθ（dx）是对应于N（θ，σ/2）的度量。还请注意，我们可以从（6.9）中以闭合形式计算Fisher信息，并得到（α）=eα+σ+e4α+σ1/σ+e2α+σ3月2日- 2e3α+3σq1/σ+e2α+σeα+σ+q1/σ+e2α+σ表6.2显示了估计器的标准偏差和真实参数各种值的理论预测。在图6.4中，我们给出了α参数真值的三种不同情况的柱状图，以及定理5.2给出的拟合理论正态曲线。θ真参数不同值的统计信息。θ估计量经验标准误差。理论标准错误0。5 0.5396 0.2385 0.23031 1.0268 0.1943 0.19171.5 1.5346 0.1815 0.1734表6.2模型（6.11），500个模拟计算，T=25，δ=0.01，∑=σ=0.1。此表显示了估计器、经验标准误差和定理5.2预测的标准误差。参数空间Θ-1-0.5 0.5 1 1.5 2经验密度00。010.020.030.040.050.060.07CLT对于简化的MLE估计量，’θδtHistogram weights normal PDF parameter SpaceΘ0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2经验密度00。010.020.030.040.050.060.070.08CLT对于简化的MLE估计量，’θδtHistogram weights normal PDF参数SpaceΘ0.5 1.5 2 2.5 3经验密度00。010.020.030.040.050.060.070.080.090.1CLT对于简化的MLE估计量，’θδtHistogram weights normal PDF图6.4。左上角：α=0。右上角：α=1。底部：α=1.5.6.3。模拟示例3。

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2022-5-25 11:10:08

设过程为标量（Yδ，Uδ，Xδ）∈ R×R×R，并考虑以下系统：dYδt=Xδtdt+∑dWt（观测值）dXδt=δUt公司- Xδtdt+σ√δdBt（hidden），（6.12），其中U是一个连续时间马尔可夫链，取{0，1}中的值，转移强度θ>0，即isddtP（Ut=0）P（Ut=1）= θ-1 11-1.P（Ut=0）P（Ut=1）.该示例与（6.1）中的系统不同，因为U过程不是一种差异；它与【Park等人，2011年】中考虑的模型相比较。事实上，UTI是一个离散的空间马尔可夫链，而不是一个连续的分歧，因此本文的理论并不适用，但我们推测，可以通过计算得出类似的结果。图6.5显示了该示例的实现和过滤器。表6.3显示了估计器的标准偏差和理论0 5 10 15 20 25-0.03-0.02-0.0100.010.020.03A样本观察和隐藏状态观察Y隐藏马尔可夫链Utt过滤器'πδ，θt【U】t、参数θ=α图6.5。从（6.12）中给出的系统实现的样本，真实参数α=0.7。预测各种真参数值，但在这种情况下，我们没有Fisher信息的闭合形式表达式，因此我们用数值计算了它。然后，在图6.6中，我们给出了α参数真实值的三种不同情况的柱状图，以及确定的经验正态曲线。由于out理论不包括这种情况，我们无法提供估计量的理论方差。然而，正如数值模拟所表明的，一个中心极限定理有望成立。附录A.定理4.1的证明。θ真参数不同值的统计信息。θ估计量经验标准误差。数值计算标准err0。7 0.7349 0.2305 0.19171 1.0469 0.2697 0.22531.8 1.8990 0.3968 0.3058Ta表6.3模型（6.12），500次模拟计算，T=25，δ=0.01，∑=σ=0.1。

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2022-5-25 11:10:13

此表显示了估计值和经验标准误差。参数空间Θ0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6经验密度00。0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.045CLT对于简化的MLE估计量，’θδtHistogram weights normal PDF参数SpaceΘ-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5经验密度00。0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05CLT对于简化的MLE估计量，(R)θδtHistogram weights normal PDF参数SpaceΘ0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5经验密度00。0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05CLT对于简化的MLE估计量，’θδtHistogram weights normal PDF图6.6。左上角：α=0.7。右上角：α=1。底部：α=1.8。在更简单的环境中，定理4.1的版本已出现在【Imkeller等人，2013年，Park等人，2008年，Park等人，2011年，Park等人，2010年】的文献中。与之前的工作相比，定理4.1的第一个主要区别在于，在由trueparameter值参数化的度量下（即进行观测的度量），滤波器将收敛于任何参数值。此外，第二个主要区别是，我们需要证明滤波器的收敛性是针对空间Aθη中的测试函数，而【Imkeller等人，2013年】中的结果使用了仅依赖于慢运动的有界平滑测试函数。引理A.1。假设条件2.1。让我们考虑（eXδ，eUδ，’eU）的一个副本，它与（Xδ，Uδ，’U）具有相同的定律，但独立于（Xδ，Uδ，’U）。那么，我们有limδ↓0E*θ经验值Zthθ（~Xδs，~Uδs）hθ（Xδs，Uδs）ds- 经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds= 0andlimδ↓0E*θ经验值Zt'hθ（'Us）'hθ（'eUs）ds- 经验值Zth（Xδs，Uδs）(R)hθ（(R)eUs）ds= 0.证明。

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2022-5-25 11:10:18

我们只会证明第一个陈述，因为第二个陈述的证明是相同的。凸性不等式| ea- eb |≤ （ea+eb）| a-b |用于获得*θ经验值Zthθ（~Xδs，~Uδs）hθ（Xδs，Uδs）ds- 经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds≤ E*θ经验值Zthθ（~Xδs，~Uδs）hθ（Xδs，Uδs）ds+ 经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds|Ξδt|≤ 2eT khθk∞E*θΞδt |，其中我们定义了过程Ξδt=Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）hθ（Xδs，Uδs）-\'hθ（\'Us）ds。还有待证明这一项为零。通过支配收敛定理和对（X，U）和（ΞX，ΞU）的独立性，遍历理论适用于联合过程（X，U，ΞX，ΞU），特别是我们看到*θ|Ξδt |=E*θZthθ（￠Xδs，￠Uδs）hθ（Xδs，Uδs）-\'hθ（\'Us）ds公司→ 0，作为δ↓ 0。这证明了L中的收敛性。从|Ξδt开始，从支配收敛定理再次证明了L中的收敛性|≤ 2Tkhθk∞, 总结引理的证明。引理A.2。让我们考虑有界f:X×U→ R并假设条件2.1。对于任何θ∈ Θ，我们在t∈ [0，T]E*θφδ，θt【f】-φδ，θt[(R)fθ]→ 0为δ→ 0，其中'fθ：U→ 定义为“fθ（u）=Rf（x，u）uθ（x，u）dx。证据让我们考虑（eXδ，eUδ）的一个独立副本，它与（Xδ，Uδ）具有相同的定律，但与（Xδ，Uδ，W）无关。

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2022-5-25 11:10:21

我们有*θφδ，θt【f】-φδ，θt[(R)fθ]= E*θφδ，θt[f-\'fθ]= E*θ“E*θf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）经验值Zthθ（Xδs，Uδs）dYδs-Zt公司hθ（Xδs，Uδs）ds公司Yδt#= E*θ“E*θ“f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）×经验值Zt公司hθ（Xδs，Uδs）+hθ（eXδs，eUδs）dYδs-Zt公司hθ（Xδs，Uδs）+hθ（eXδs，eUδs）ds公司Yδt##=E*θ“E*θ“f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）×经验值Zt公司hθ（Xδs，Uδs）+hθ（eXδs，eUδs）dYδs-Zt公司hθ（Xδs，Uδs）+hθ（eXδs，eUδs）ds公司FU，~U，X，~Xt##=E*θ“f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）经验值Zthθ（Xδs，Uδs）hθ（eXδs，eUδs）ds#= E*θ“f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）×经验值Zthθ（Xδs，Uδs）hθ（eXδs，eUδs）ds- 经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds!#+ E*θ\"f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds#.

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2022-5-25 11:10:25

（A.1）在上述显示的第二行到最后一行中，该项通过引理A.1变为零，E*θ“f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）×经验值Zthθ（Xδs，Uδs）hθ（eXδs，eUδs）ds- 经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds!#≤ 4kfk∞E*θ经验值Zthθ（Xδs，Uδs）hθ（eXδs，eUδs）ds- 经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds→ 0，并且显示器（A.1）最后一行中的项变为0，如下所示，E*θ“f（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）f（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds#≤ 4kfk∞E*θ经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds- 经验值Zt公司-hθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds+E*θ“E*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）FUδ，Ut-∨ F▄Uδ，▄Xδtif（eXδt，eUδt）-\'fθ（eUδt）经验值Zt公司-hθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds#≤ 4kfk∞E*θ经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds- 经验值Zt公司-hθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds+ 2kfk∞E*θ“E*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）FUδ，Ut-∨ F▄Uδ，▄Xδti经验值Zt公司-hθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds#= 4kfk∞E*θ经验值Zthθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds- 经验值Zt公司-hθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds+ 2kfk∞E*θ“E*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）FUδ，Ut-我经验值Zt公司-hθ（￠Xδs，￠Uδs）(R)hθ（￠Us）ds#→ 4kfk∞E*θ经验值Zt'hθ（'Us）'hθ（'Us）ds- 经验值Zt公司-\'hθ（￠Us）\'hθ（(R)Us）dsasδ↓ 0其中 > 0可以任意小。限值取δ→ 0，条件期望按以下方式处理：E*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）FUδ，Ut-∨ F▄Uδ，▄Xδti=E*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）FUδ，Ut-iby（Uδ，Xδ）与（▄Uδ，▄Xδ），=E的独立性*θhE*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）Xδt-, Uδt-我FUδ，Ut-我→ 0，最后一次收敛是由于E*θhf（Xδt，Uδt）-\'fθ（Uδt）Xδt-, Uδt-我→ 0为δ→ 0 forany > 0，因为条件2.1隐含的遍历性。此外，由于条件2.1对hE的消耗*θ经验值Zt'hθ（'Us）'hθ（'Us）ds- 经验值Zt公司-\'hθ（￠Us）\'hθ（(R)Us）ds→ 0，作为 → 0被支配收敛定理。

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2022-5-25 11:10:28

因此，剩余项是任意小的，我们得出结论，所有项随δ收敛到零。引理A.3（引理6.7 in【Imkeller等人，2013年】）。假设hθ有界，那么对于anyq∈ [1，∞) 我们有那个支持∈[0，T]supδ∈（0,1）E*θ| Zδ，θt | q+支持∈[0，T]supδ∈（0,1）Eθ| Zδ，θt|-q<∞ .引理A.4。让我们考虑有界f:U→ R并假设条件2.1。对于任何α，θ∈ Θ，我们在t∈ [0，T]Eαπδ，θt[f]- πδ，θt[f]→ 0为δ→ 0，式中，’πδ，θt[f]=’φδ，θt[f]/’πδ，θt[1]是（3.10）给出的平均滤波器。证据让我们考虑（eXδ，eUδ，’eU）的一个独立副本，它与（Xδ，Uδ，eU）具有相同的定律，但独立于（Xδ，Uδ，’U，W）。我们有*θφδ，θt【f】-(R)φδ，θt[f]≤:E*θφδ，θt【f】-φδ，θt[(R)fθ]+ E*θφδ，θt[(R)fθ]-(R)φδ，θt[f]最后一次显示的第一项通过引理A.2变为零。我们的第二个任期*θφδ，θt[(R)fθ]-？φδ，θt[？fθ]= E*θE*θh'fθ（Uδt）Zδ，θt-\'fθ（\'Ut）\'Zδ，θtYδti= E*θhE*θh（(R)fθ（Uδt）Zδ，θt-\'fθ（\'Ut）\'Zδ，θt）（\'fθ（~Uδt）~Zδ，θt-\'fθ（￠Ut）￠Zδ，θt）Yδtii=E*θhE*θh（(R)fθ（Uδt）Zδ，θt-\'fθ（\'Ut）\'Zδ，θt）（\'fθ（~Uδt）~Zδ，θt-\'fθ（￠Ut）￠Zδ，θt）Fδ，U，~U，X，~Xtii=E*θ\'fθ（~Uδt）\'fθ（Uδt）expZth（~Xδs，~Uδs）h（Xδs，Uδs）ds-\'fθ（\'Ut）expZth（～Xδs，～Uδs）～hθ（～Us）ds+ E*θ\'fθ（\'Ut）\'fθ（\'Ut）expZt'hθ（'Us）'hθ（'eUs）ds-\'fθ（Uδt）expZth（Xδs，Uδs）(R)hθ（ Us）ds→ 0，作为δ↓ 0。

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2022-5-25 11:10:32

（A.2）上一项的收敛是由于引理A.1的过程，如引理A.2的证明。然后，我们有概率收敛性，P*θ（|φδ，θt[f]-(R)φδ，θt【f】|≥ ) ≤E*θφδ，θt【f】-(R)φδ，θt[f]→ 0asδ→ 全部为0 > 接下来，我们注意到对于r，r>1，使得1/r+1/r=1和pr≤ 2E类*θφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]p=E*θφδ，θt[f]？φδ，θt[1]-φδ，θt[f]φδ，θt[1]φδ，θt[1]φδ，θt[1]P≤ CE公司*θφδ，θt[1]？φδ，θt[1]公关部！1/rE*θφδ，θt[f]？φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]φδ，θt[1]公关部1/r≤ CE公司*θφδ，θt[1]？φδ，θt[1]公关部！1/rE*θφδ，θt【f】-(R)φδ，θt[f]pr+E*θφδ，θt[1]-(R)φδ，θt[1]公关部1/r≤ CE*θφδ，θt[1]2pr+E*θ(R)φδ，θt[1]2pr1/rE*θφδ，θt【f】-(R)φδ，θt[f]pr+E*θφδ，θt[1]-(R)φδ，θt[1]公关部1/r使用f的有界性。通过组合引理A.2和（A.2），我们得到*θφδ，θt【f】-(R)φδ，θt[f]pr+E*θφδ，θt[1]-(R)φδ，θt[1]公关部→ 0（A.3）此外，我们有*θφδ，θt[1]2pr≤ E*θZδ，θt-2pr=E*θE*θZδ，θt-2pr|FUδ，Xδt= E*θhe（2pr+pr）Rt | hθ（Xδs，Uδs）| dsi<∞. （A.4）同样，我们也可以获得E*θ(R)φδ，θt[1]2pr<∞. 把这些陈述放在一起，我们得到了thatlimδ↓0E*θφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]p=0。（A.5）然后，通过Cauchy-Schwartz不等式，我们得到了eαπδ，θt[f]- πδ，θt[f]= Eαφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]≤E*αZδ，αtQ1/季度E*αφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]P1/p≤supδ∈（0,1）E*αZδ，αtQ1/q！E*θφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]P1/p→ 0，等于δ↓ 通过引理A.3和（A.5）得到0。第三行，即*αφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]p=E*θφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-(R)φδ，θt[f]/(R)φδ，θt[1]p、因为φδ，θtand'φδ，θtare是Yδ的泛函（没有其他随机变量），Yδ在两个测度p下都是布朗运动*α和P*θ。在继续之前，我们应该澄清引理A.4证明中的最后一步。

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2022-5-25 11:10:35

应该明确的是，Yδ只被观察到是P*α时的α布朗运动∈ Θ表示测量值Pα下的参数值。在证明中，我们总是在无条件检验算子E下处理Yδ*θ、这实际上是一个期望，条件是真实参数值为θ的基本真值。这种表示法可以用以下方式更明确地表示：对于路径Yδ的任何函数f，E*θf（Yδ）=E*[f（Yδ）|真参数值=θ]=Ef（W）θ∈ 其中W是布朗运动。因此，我们可以说*αf（Yδ）=E*θf（Yδ）α、 θ∈ Θ。现在定理4.1的证明如下：证明。[定理4.1的证明]让我们只证明定理的第二部分，因为第一部分来自切比雪夫不等式和引理a.2。我们首先证明f∈ Cb（X×U）。然后，我们在假设η>0的条件下证明了f∈ Aθη。那么，让我们假设f∈ Cb（X×U）。我们首先证明limδ↓0Eαπδ，θt[f]- πδ，θt[f]= 0。设fθ（u）=Rf（x，u）uθ（x，u）dx，引理A.2意味着在P*概率，P*θφδ，θt【f】-φδ，θt[(R)fθ]> ≤E*θφδ，θt【f】-φδ，θt[(R)fθ]→ 0 > 0，现在考虑任何f∈ Cb（X×U），再次使用Cauchy-Schwartz不等式，limδEαπδ，θt[f]- πδ，θt[f]= limδEαπδ，θt[f]- \'πδ，θt[\'fθ]≤ limδEαπδ，θt[f]-πδ，θt[(R)fθ]+:Eαπδ，θt[(R)fθ]- \'πδ，θt[\'fθ]（引理A.4）=limδE*αZδ，αtπδ，θt[f]-πδ，θt[(R)fθ]≤ limδE*αZδ，αtQ1/季度E*απδ，θt[f]-πδ，θt[(R)fθ]P1/p≤ supδ∈（0,1）E*αZδ，αtQ1/q{z}<∞limδE*θπδ，θt[f]-πδ，θt[(R)fθ]P1/p=0，（A.6），其中supδ的完整性∈（0,1E*αZδ，αt引理A.3和limδE的以下内容*θπδ，θt[f]-πδ，θt[(R)fθ]p=极限δE*θφδ，θt[f]/φδ，θt[1]-φδ，θt[(R)fθ]/φδ，θt[1]p=0如下（A.5）。

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kedemingshi

2022-5-25 11:10:38

这证明了L中的收敛性，以及L中的收敛性来自于支配收敛，因为假设测试函数f是边界的，因此πδ，θt[f]- πδ，θt[f]≤ 2kfk∞. 这就完成了f的证明∈ Cb（X×U）。让我们通过假设存在η>0这样的f来完成证明∈ Aθη。对于n∈ N、定义（x）=（x，| x |≤ nn符号（x），| x |>nand集合fn（x）=un（f（x））。类似地定义πδ，θt【fn】。=Eθhfn（Xδt，Uδt）Yδti，(R)fn，θ（u）=ZXfn（x，u）uθ（x，u）dx。由于fn是有界的，我们已经知道limδ↓0Eαπδ，θt【fn】- πθt【fn】= 0

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2022-5-25 11:10:42

所以，这足以证明→∞lim supδ↓0Eαπδ，θt[f]-πδ，θt【fn】= 0和下限→∞lim supδ↓0Eαπδ，θt[f]- πδ，θt【fn】= 这两种说法都来自观察结果：对于η>0，f∈ Aθη我们有| f（x，u）- fn（x，u）| 2+η/2≤ 22+η/2 | f（x，u）| 2+η/2[| f（x，u）|>n]≤ 22+ηn-η/2 | f（x，u）| 2+η，特别是让C=22+η，p=p（2+η）/4，使2p=2+η/2和q=1-q2+η，然后采取以下类似的步骤，如方程式（A.6）中所示，我们有limn→∞lim supδ↓0Eαπδ，θt[f]-πδ，θt【fn】≤ 画→∞lim supδ↓0EαEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）Yδti≤ 画→∞lim supδ↓0E*αZδ，αtEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）Yδti≤ 画→∞lim supδ↓0E*α（Zδ，αt）q1/季度E*αEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）Yδ尖端1/p≤ 画→∞lim supδ↓0E*α（Zδ，αt）q1/季度E*αEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）2p级Yδti1/p=极限→∞lim supδ↓0E*α（Zδ，αt）q1/季度E*θEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）2p级Yδti1/p=极限→∞lim supδ↓0E*α（Zδ，αt）q1/季度Eθh（Zδ，θt）-1Eθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）2p级Yδtii1/p≤ C极限→∞lim supδ↓0n-η/2pE*αZδ，αtQ1/季度Eθ（Zδ，θt）-Q1/季度Eθf（Xδt，Uδt）2+η1/p=0。上述第五行中的相等，即*αEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）2p级Yδti=E*θEθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）2p级Yδt由于Eθhf（Xδt，Uδt）-fn（Xδt，Uδt）2p级YδTi是Yδ的函数（没有其他随机变量），并且Yδ在两个测度P下都是布朗运动*α和P*θ。limn可以显示相同的限制→∞lim supδ↓0Eαπδ，θt[f]- πδ，θt【fn】, 但用'Zδ，θtand'Zδ，αtused代替。由于遍历性，limδ的证明↓0Eαπδ，θt[f]- πθt[f]= 0，如下所示，因此省略。定理的证明到此结束。参考文献【Bain和Crisan，2009】Bain，A.和Crisan，D.（2009）。随机滤波基础。斯普林格，纽约州纽约市。【Bensoussan等人，1978年】Bensoussan，A.，Lions，J.，和Papanicolaou，G.（1978年）。

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