从量子力学到金融：跳跃、尖峰的微观基础

2022-5-25 16:29:06

从量子力学到金融：扩散价格过程中跳跃、尖峰和高波动阶段的微观基础*德国路德维希马克西米利安大学数学研究所（Mathematisches Institute der Ludwig Maximilians Universit，at M¨unchenTheresienstrasse 39，80333 M¨unchen，Germany2016年9月）摘要我们提出了一个基于代理行为的微观模型，该模型在交易资产的价格过程中诱导跳跃、尖峰和高波动阶段。我们将量子力学背景下讨论的未激发/激发双态系统的热激活跳跃动力学转移到agent社会经济行为，并提供微观基础。在我们将内生代理行为与价格动态联系起来之后，我们建立了在大市场限制下，动态收敛到It^o差异价格过程的环境。关键词：行为金融、分化过程、微观基础、基于代理的模型、经济物理学、跳跃、尖峰SC2010:60F05、60J60、60K35、91D30、91B69、91B80*汉高。christof@gmail.com1导言和方法1.1导言1900年，法国数学家路易斯·巴塞利尔建议使用布朗运动来模拟巴黎股市的价格波动（见巴塞利尔[4]），从而奠定了现代金融数学的基础。上个世纪以来，尤其是自1970年引入BlackScholes模型以来（见Black and Scholes[8]），It^o差异化过程成为金融资产建模和定价的标准工具。另一方面，人们意识到单一资产价格过程是许多微观因素的宏观结果，例如个体交易者行为。

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2022-5-25 16:29:11

因此，不足为奇的是，许多不同的概率模型不仅被用来研究个体代理人的交易行为，而且还研究他们之间的相互作用。在F¨ollmer和Schweizer[12]以及Horst[17]中，股票价格是在离散时间内作为临时均衡序列建模的。这些问题的出现是多个代理的供需同时匹配的结果。Bayraktar、Horst和Sircar【6】、【7】解释了这种异步订单到达，以及Horst和Rothe【18】使用了Mandelbaum、Pats等人【26】和Mandelbaum、Massey andReiman【25】之前研究过的排队论数学框架作为其模型。此外，卢森堡（Lux）[23]和卢森堡（Lux）[24]中解释的模型考虑了异步订单到达，使用了所谓的做市商，该做市商匹配供需并相应地改变价格。因此，个体代理人的行为取决于他的意见。进一步的基于观点的模型包括二进制（如F¨ollmer[11]、Arthur[3]、Orl'ean[27]、Weisbuch和Boudjema[31]、Sznajd Weron和Sznajd[29]）和连续谱的观点，例如，用于描述大型社交网络或评级（参见Duffe antet al[9]、g'omez Serrano、Graham和LeBoudec[14]或Weisbuch、Deffuant和Ambrard[32]）。尽管各个模型中描述了代理的特征和相互作用，但在更广泛的意义上，它主要可以被分类为具有指定状态的交互对象，形成与其他科学领域的链接。

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2022-5-25 16:29:14

尤其是经济物理学术语下的物理学方法和动力学的应用越来越流行，本文也搭建了一座从物理学到社会经济学和金融的桥梁。我们将微观市场模型的扩展版本用于帕坎宁（Pakannen）[28]的差异价格过程，该模型在汉克尔（Henkel）[16]中给出，并将Bauer、Bernard和Tilloy（分别为Tilloy、Bauer和Bernard）[30]的量子系统动力学应用于代理人的社会行为。我们将量子系统中热激活跳跃中观察到的统计特性转移到市场参与者的平均动力学中，并在大市场限制下诱导相同的价格差异过程。因此，我们提供了资产价格过程跳跃的微观解释，正如ait等人[1]所观察到的那样，而没有使用跳跃过程，例如Deng[10]所使用的跳跃过程。此外，我们的动态引发了峰值和高波动阶段，这些阶段也出现在各种价格过程中（例如，Ham【15】）。我们的内容结构如下。在第一部分中，我们将一般市场框架设置为一个交互代理池。为了描述他们的交互行为，我们为每个代理分配了一个非均匀的兴奋状态，类似于inBauer、Bernard和Tilloy等两级量子系统的兴奋状态，并将总体市场兴奋表示为这些兴奋状态的分布。此外，我们还陈述了一些条件，在这些条件下，作为一个类似平均场的结果，整体市场兴奋可以表示为大型市场限制中的一个单一差异过程。然后，通过定义代理人的交易倾向，并通过指定对资产价格的影响，我们将内生市场动态与资产价格变动联系起来。

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2022-5-25 16:29:19

我们规定了条件，在此条件下，在大型市场中，资产价格的发展可以通过差异价格过程来近似，并以总结差异近似的命题来结束。1.2方法本文提出的模型用统计编程语言R（Ihaka和Gentler[19]）实现，以模拟相关的分布和随机过程，并说明轨迹。特别是，使用Euler-Maruyama方案（参见Glasserman等[13]）对函数进行了说明，这些函数表示为随机微分方程的解，而不提供封闭的分析形式。所有R脚本均可根据请求使用。2内生动力在我们将代理人行为与资产价格联系起来之前，我们指定了直接影响市场参与者之间互动的所有模型组件。设An={1，…，n}，n∈ N是一组试剂。继Bauer、Bernard和Tilloy[5]之后，我们考虑状态空间S={S，S}={0，1}，其中S=0表示“未激发”状态，S=1表示“激发”状态。所有个体状态的向量取配置空间C中的值：=SAn={x=（xa）na=1，xa∈ S} 。在timet期间∈ [0，∞) 每个代理都可以考虑状态转换。第k次审议的时间由Tk指定≥ 0，k∈ N、稍后将详细描述动作时间，但我们在以下定义中使用术语来描述离散时间内状态的发展。时间Tkis时代理a的状态定义为xaTk∈ S、我们通过过程（xak）k捕捉代理a状态的发展∈N： =（xaTk）k∈n维过程（xk）k对所有agent状态的发展∈N=（xak）k∈N、 a∈一

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2022-5-25 16:29:22

我们假设初始状态向量分布在一些n维分布函数之后，特别是x~ Fnx，并分配给每个代理a∈ Anan初始状态xa∈ S、定义2.1（市场兴奋度）。我们通过市场兴奋度mk=nnXa=1{1}（xak），k来衡量Tkb时市场上兴奋剂的比例∈ N、（1）此外，我们表示FnxasFnM引起的市场兴奋的初始分布。请注意，通过构造，MK是所有代理的平均兴奋度，是对C.definition 2.2（内生市场历史）的概率度量。我们捕获所有内生信息，直到内生市场历史，由西格玛代数Gk给出：=σ（Ti，Ai，Mi，i≤ k）。这里是tupel（Tk，Ak，Mk），k∈ N代表Ak在Tk和由此产生的市场兴奋度Mk。我们假设只有一个代理在特定时间点改变其状态。虽然这一假设似乎相当有力，但它是合理的，因为转换是在连续时间内执行的，不太可能同时发生。定义2.3（过渡强度）。为了非均匀地指定主体倾向于考虑状态转变，我们为每个主体指定了一个转变强度ua=nγa，这是一个依赖于主体的常数γa∈ R+倍参与市场的代理数量。接下来，我们确定是阿赫塔想要重新评估其状态的可能性。试探性地，我们通过所有交易强度之和来加权单个转移强度，我们称之为聚合转移强度，并用uAn=Pna=1ua表示。总之，P（Ak=a | Gk-1） =uauAn=γaPn^a=1γ^a.（2）接下来，我们描述了状态转移定律，即。

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2022-5-25 16:29:26

代理人a从兴奋变为未兴奋的概率，反之亦然，因为他是一个考虑状态变化的人，在我们得出市场兴奋的动态之前。定义2.4（转移概率）。我们使用以下符号表示两个独立的状态转移概率。∏1,2n，a（Mk-1） =βapa2γan+ηah1,2（Mk-1）（3）π2,1n，a（Mk-1） =βa1-pa2γan+ηah2,1（Mk-1），（4）式中，βa，pa，ηa∈ [0，1]是依赖于代理的常数andhi，j（y）=（1-y） iyj，y∈ [0，1]，i 6=j∈ {1，2}。（5）我们在转移矩阵中捕获每个代理的所有状态转移概率，即定义∏n，a（Mk-1） =1- ∏1,2n，a∏1,2n，a∏2,1n，a1- ∏2,1n，a！（Mk-1）。（6）备注2.5。出于以下原因，我们选择方程（3）和（4）中给出的这种明确形式的转移概率。sum的第一部分为兴奋的个体内在倾向建模。因此，pa分别为1-pa，捕捉代理a的实际兴奋状态和个人偏好之间的距离。因此，当与个人偏好的距离较大时，我们试探性地反映出更高的转换驱动力。除了自主行为之外，我们还希望模拟其他因素对个体兴奋状态的影响（以便稍后研究对最终价格过程可能产生的影响）。为此，我们使用第二个加数，该加数考虑到所有代理的平均兴奋度，从而模拟羊群行为。通过选择hi，j（方程式（5））的形式，一种未引燃剂（xak-1=0）在市场兴奋度较大的情况下，具有更高的转换概率。类似地，当市场兴奋度较低时，也就是说，如果大多数代理未被引用，则未被引用的转移概率较大。

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可人4

2022-5-25 16:29:30

除了简单和对称之外，hi，jalso在大市场限额中诱导了与aNote相同的动力学，即∏1,2n，ais仅与未引用的代理相关（xak-1=0）和类似的∏2,1n，A仅适用于含XAK的试剂-1=1。因此，方程式（3）和（4）中的简化形式。量子系统的连续测量，这进一步支持了选择。我们通过常数βa和ηa分别对自主行为和他律这两个方面进行加权。此外，我们通过ua对第一部分进行缩放，以获得设计良好的概率度量，并对市场较大时放牧的重要性不断增加进行建模。由于平均意见Mkcan从时间tkt到时间Tk+1，其变化为±或保持不变，因此n+1值晶格L上的值从0到1，即。Mk公司∈ Lk≥ 0，带L：=0，n，n- 1n，1. （7）总之，（Mk）k≥0是L上的马尔可夫链，具有与值相关的转移概率，这在下一个引理中说明。引理2.6（离散市场兴奋动力学）。p给出的任何激发剂未被激发，因此Mk降低1/nis的概率Mk公司- Mk公司-1=-nGk公司-1.=Pna=1βa（1- pa）Mk-1+nηaγa（1- Mk公司-1） Mk公司-1.2nPna=1γa（8），类似地，市场兴奋度增加1/n的概率由p给出Mk公司- Mk公司-1=nGk公司-1.=Pna=1βapa（1- Mk公司-1） +nηaγa（1- Mk公司-1） Mk公司-1.2nPna=1γa（9）证明。

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mingdashike22

2022-5-25 16:29:35

使用Mk-1是C的概率度量，以及方程式（2）、（3）和（4）中定义的表示。引理来自基本计算。为了嵌入马尔可夫链（Mk）k≥0在连续时间内均匀分布，因此通过时间齐次马尔可夫过程来描述市场兴奋度，我们进一步刻画了代理人决定进行转移的时间点。定义2.7（过渡时间）。过渡时间（τk）k≥1定义为τk：=Tk- Tk公司-1，k≥ 1、因为为了简单起见，我们希望过渡时间是无记忆的，即P（τk>t+h |τk>h，Gk-1） =P（τk>t | Gk-1），t，h≥ 0。（10）假设过渡时间呈指数分布。启发式地，我们假设指数分布的速率由聚集的跃迁强度，即P（τk）给出∈ [0，t]| Gk-1） =1- e-ntPna=1γa，t≥ 0，（11）参见Bauer、Bernard和Tilloy【5】。定义2.8（市场兴奋指数）。T=0后，我们可以通过以下方式确定市场兴奋指数：=∞Xk=0Mk[油箱，油箱+1）（t），t≥ 0。（12）注意，通过构造，Qntis c'adl'ag和定义良好的时间齐次纯跳跃型马尔可夫过程。它的存在在下面的引理中说明。引理的基础建立了综合定理（如Kallenberg[21]的定理12.18），该定理使用指数分布的等待时间将离散马尔可夫链嵌入到连续时间中。引理2.9（存在）。存在一个概率空间(Ohm, F、 P）其中（Qnt）t∈[0，∞)是一个时间齐次纯跳跃马尔可夫过程，速率核kn（q，s）：=nnXa=1γakn（q，s），（13）转移核kn（q，s），s∈-n、 0，n是条件分布p（M）的常规版本- M=s | M=q），由引理2.6给出。证据通过构造马尔可夫链（Mk）k≥0和定义2.7中的假设综合定理（例如。

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2022-5-25 16:29:38

Kallenberg[21]的定理12.18指出，（Qnt）t∈[0，∞)是一个纯跳型马尔可夫过程，并给出了速率核。时间均匀性由（Mk）k的递归定义给出≥0（参见Kallenberg[21]的命题8.6）作为传递矩阵∏n，ais独立于时间。虽然允许异质代理具有单独的参数，但为了确保在大市场限制下收敛到一个类似平均场的单一方程，当市场参与者的数量趋于一致时，标度参数应趋向于其平均值。这在下一个假设中得到了总结。假设2.10。我们假设1。FnMn公司→∞----→ FM2.Pna=1γann→∞----→ γ、 Pna=1ηann→∞----→ η3。Pna=1βa2nn→∞----→ β和PNA=1pan→∞----→ p对于某些常数β、γ、η、p和fm为概率分布。现在，我们准备说明市场兴奋指数的大市场限制。提案2.11（大市场近似值）。如果假设2.10成立，则（Qnt）t∈[0，∞)L-→ （Qt）t∈[0，∞)在D[0,1][0中，∞), （14）带（Qt）t∈[0，∞)作为随机微分方程（SDE）的唯一强解，dQt=β（p- Qt）dt+γ√η（1- Qt）QtdBt，Q=θ，（15），其中（Bt）t∈[0，∞)是一维标准布朗运动，与θ无关~FM。证据见附录5.1。为了说明大市场极限qt的性质，我们在下面的图1和图2中展示了方程（15）的两条曲线，其中p=0.6，η=β=1。该过程的出现在很大程度上取决于γ的值。对于较小的γ，如图1所示，γ=1，市场兴奋指数在常数p处趋于平衡∈ [0，1]，这是个人偏好水平pa的平均值（见假设2.10 3）。设定一个高值γ（见图2，其中γ=10），市场兴奋指数被拉向两个状态s=0和s=1，中间有跳跃和尖峰。

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2022-5-25 16:29:42

虽然通过γ值分为两种情况（即一个或两个平衡）的分离在潜在的SDE（15）中并不明显，但它是从微观建模中预期的。在个体转移概率中（见等式（3）和（4）），γ代表个体自主性，因此代表放牧风险。γ分别反映了平均放牧强度。Lux【23】中已经显示了类似的设置，轻微的放牧行为导致单一平衡，而强烈的放牧行为导致两个具有相变的临时平衡。在我们的模型中，这两种状态和S被视为两个临时平衡，其中跳跃表示相变，而尖峰表示不成功的跳跃尝试。请注意，处于平衡状态的概率等于p（见Tilloy、Bauer和Bernard【30】），并且其行为类似于Kramer的双阱势（见Kramer【22】）。图1：Qtforγ=1图2：Qtforγ=10备注2.12。虽然方程式（15）中的SDE与Bauer、Bernard和Tilloy[5]中的SDE完全相同，但出现的情况有所不同。在Bauer、Bernard和Tilloy[5]中，SDE是在测量单个量子系统时从离散时间过渡到连续时间的结果，而在我们的模型中，SDE是由趋向于完整的相互作用对象的数量引起的。此外，大盘涨停的根源也截然不同。而在鲍尔、伯纳德和蒂洛伊（5）的模型中，跳跃和尖峰是严密监控的结果，在我们的模型中，这两者都是Agent社会行为的结果。在这里，跳跃和尖峰的根本原因是代理人的个体暴露于相互干扰γa，这是他的放牧行为。当平均羊群行为较强时（即。

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2022-5-25 16:29:47

γ较大），代理人兴奋的快速蔓延导致炒作。我们在第3节中指出，这些炒作导致了价格高波动的阶段，在这些阶段，价格过程中的跳跃表明了向炒作的过渡，而峰值则是不成功的跳跃尝试。3价格动态在本节中，我们将前一节的内生动态与资产价格的动态联系起来。我们为每个交易者分配一个量化其交易倾向的单独交易强度和一个表征买卖股票数量的超额需求函数。然后，我们定义了一个定价规则，根据该规则，买卖股票的数量会影响价格。为了进一步展示我们模型的灵活性，我们引入了另一组称为基础论者的交易者。最后一个特征是，他们的行为基于实际价格和基本值F之间的差异∈ R、特别是，当价格低于（高于）F时，他们会认为资产便宜（昂贵），并想购买（出售）。我们假设原教旨主义者是同质的，即。F是公共的，基本值是时不变的。设An={1，…，n}，n∈ N是一组代理，其中固定子集Fn Anwith | Fn |=kn∈ {0，…，n}是原教旨主义者，其余的是噪音交易者。我们用φn=kn/n表示基础主义者的部分。我们假设原教旨主义者没有被引用，也没有改变他们状态的意愿，即。一∈ Fn:xa=0，βa=ηa=0。请注意，或者我们可以将原教旨主义者作为一个额外的国家引入。然而，当前的设置说明了由异质转移概率引起的灵活性。我们假设市场的任何变化都是代理人行为的直接后果。行为主义者给出的行为可以是状态的改变，也可以是资产的交易。

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nandehutu2022

2022-5-25 16:29:50

我们通过k对这些动作进行索引∈ N以及定义2.2中定义的内生市场历史与交易行为之间的关系。定义3.1（第k次行动，市场历史）。第k个动作的特征是tupel（▄Tk，Ak，Pk，Mk，Bk），k∈ N、式中▄Tkis为动作发生的时间，Ak∈ Anis是时间Tkand Bk的代理∈ {0，1}是一个actionindicator，用于指示代理是否交易（Bk=1）或更改其状态（Bk=0）。PKI的价格和上述市场的兴奋。所有信息都记录在markethistory中，它由▄Gk：=σ（▄Ti，Ai，Pi，Mi，Bi，i给出≤ k）。与转移强度（定义2.3）类似，我们设置了一个函数，用于捕获每个代理交易资产的倾向，并调用两个动作率的总和。定义3.2（交易强度、行动率）。我们假设代理人的交易倾向由交易强度λa=(R)λa+Cexak给出-1，（16）带|λa∈ R+依赖于代理人的基本交易强度和Ce∈ R+一个正常数，反映了兴奋对交易倾向的积极影响。此外，我们引入了每种药剂的作用速率，其中νa=ua+λa。（17）然后给出了聚合作用速率，即νAn=nXa=1νa=CeMk+nXa=1（nγa+(R)λa）（18）类似于方程式（2），我们通过加权相应的强度函数来确定作用药剂和相关作用。定义3.3。（代理概率）代理a在指定的asP（Ak=a，Bk=1 | Gk）下交易的概率-1） =λaνAn。（19）类似地，我们定义了代理a改变其状态的概率byP（Ak=a，Bk=0 |Gk-1） =uaνAn。（20）此外，第k个动作是状态转移的概率设置为asP（Bk=0 |Gk-1） =nXa=1uaνAn=uAnνAn，（21），类似地，第k个动作是交易的概率由p给出（Bk=1 | Gk-1） =λAnνAn=1- P（Bk=0 | Gk-1）。（22）接下来，我们确定每个代理人决定交易后的交易数量。

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可人4

2022-5-25 16:29:54

因此，我们区分了噪音交易者和原教旨主义者。原教旨主义者将他们的超额需求建立在最后已知价格和基本价值之间的差异上，而噪音交易者则根据随机信号（ξk）k进行交易≥1假设为i.i.d.，E[ξ]=0且σξ：=E[ξ]<∞.因此，交易量的方差由市场激励Mk的方差决定。定义3.4（超额需求函数）。总之，我们设置了以下超额需求函数a（Pk-1，Mk-1，ξk）=√n（F- 主键-1），a∈ FnξkγaηaMk-1（1- Mk公司-1），a/∈ Fn，。（23）代理人决定交易后，时间TK的新价格将由做市商设定，做市商负责处理所有交易，并根据代理代理人的超额需求和旧价格制定定价规则。我们假设新旧价格的差异在交易量上是线性的，根由市场参与者的数量来衡量。isPk=rn（ea（Pk-1，Mk-1，ξk），Pk-1），（24），其中（q，x）=x+α√nq。（25）按结构（Pk）k≥0和（Mk）k≥0现在是两个相互作用的马尔可夫链。为了将它们均匀地嵌入到连续时间中，从而用时间齐次马尔可夫过程描述价格和特征，我们进一步刻画了代理决定采取行动的时间点。定义3.5（行动内时间）。内部作用时间（|τk）k≥1定义为▄τk：=▄Tk-Tk-1，k≥ 1、与定义2.7类似，我们假设指数分布的速率由聚合作用速率给出，即P（|τk∈ [0，t]|Gk-1） =1- e-tνAn，t≥ 0，（26）更准确地说，为了确保随机化来源与价格以及市场特征之间的有效独立性，我们需要假设行动内时间（△τk）k≥1由|τk：=ψkνAn，k给出∈ N、（27）式中（ψk）k≥1 ARE i.i.d。

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nandehutu2022

2022-5-25 16:29:58

与（Pk，Mk）k无关的随机变量≥0带ψ~ 实验（1）。定义3.6（价格过程）。设定初始价格P后~ fp和fixing▄T=T=0我们可以定义价格过程为：=∞Xk=0Pk[油箱，油箱+1）（t），t≥ 0。（28）我们用下面的价格过程扩展引理2.9。引理3.7（存在）。如果上述假设成立，则概率空间Ohm,~F，~P）存在，它以（Xnt，Qnt）t的方式承载模型∈[0，∞)是一个时间齐次纯跳跃马尔可夫过程，ratekernelKn（x，q，dy，s）：=νAnkn（x，q，dy，s），（29），其中转移核kn（x，q，dy，s）是条件分布P（P- P∈ dy，M- M=s | P=x，M=q），s∈ {-n、 0，n}。证据类似于引理2.9。在我们能够说明市场兴奋指数和价格过程的大市场限制之前，我们假设原教旨主义者的比例是稳定的。此外，我们要求原教旨主义者和噪音交易者的交易强度平均趋同。假设3.8。我们假设1。φnn→∞----→ φ2。nPna公司∈Fn'λan→∞----→(R)λF3。nPna公司/∈Fn'λan→∞----→对于某些常数φ∈ [0，1]，(R)λF∈ R+和|λN∈ R+。接下来，我们陈述了SDE，其解近似于一个大市场中的内生动力学和价格过程，即一个有许多参与者的市场。命题3.9（扩散近似）。如果假设2.10和3.8成立，则（Xnt，Qnt）t∈[0，∞)L-→ （Xt，Qt）t∈[0，∞)在DR×[0,1][0中，∞), （30）其中（Xt，Qt）t∈[0，∞)是SDEs的唯一强大解决方案dQt=β（p- Qt）dt+γ√η（1- Qt）QtdBt，Q=θdXt=(R)λF（F- Xt）dt+σξp'λN+CeQtγ√η（1- Qt）QtdWt，X=ζ（31），其中（Bt）t∈[0，∞)和（Wt）t∈[0，∞)是独立的一维标准布朗运动，ζ~ fp与Wt和θ无关~ fm独立于Bt.Proof。见附录5.2。方程式（31）总结了我们在大市场限额下的模型。

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2022-5-25 16:30:02

内生行为由第一次SDE给出的QT描述，QT不取决于价格过程XT，与前一节相同。相反，XT取决于Qt。不仅QT的挥发性系数再次出现在SDE定义Xt中，而且QT还通过因子λN+CeQt来衡量Xt的挥发性。最后，当大多数代理兴奋时，会导致高波动性阶段。（Xt，Qt）t的性质≥0我们显示了两条轨迹。因此，为了方便读者，我们重复上一节中的QT图。在图3和图4中，我们显示了第一种情况，其中x的轨迹为F=50，φ=0.2，δ=2，内部动力学为Qt，参数p=0.6，η=β=1，γ=1。在20%的代理人是原教旨主义者的推动下，XT转向了基本价值观。因此，波动率更稳定，因为qt在p=0.6时有一个单一平衡，其余的波动系数由常数组成。我们在图5和图6中用相同的参数说明了第二种情况，但设置γ=10。在那里，QT的峰值和相变转移到价格过程，并导致峰值和跳跃。此外，如上所述，Qtat s=1的暂时平衡阶段符合Xt的高波动阶段，因为当QT较大时，因子λN+CeQT会增加Xt的波动系数。LAST影响的强度具体由恒定Ce控制。图3:Qtforγ=1图4:Xtforγ=1图5:Qtforγ=10图6:Xtforγ=10备注3.10（泊松跳跃过程近似值）。由于Qtin方程（31）的SDE与Tilloy、Bauer和Bernard[30]中的SDE完全相同，我们可以利用命题2中给出的统计性质的结果。

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能者818

2022-5-25 16:30:06

当γ较大时，尖峰和跳跃的位置（即局部极大值和极小值的位置）可以用两个泊松点过程Nton和Nton[0，1]×R+来近似，并具有强度d∧=βpdthδ（1- Nt）dNt+dNt（Nt）i，N=θd∧=β（1- p） dthδ（Nt）dNt+dNt（1-Nt）i，N=1- θ、（32）其中δ是δ函数。备注3.11。虽然Bauer、Bernard和Tilloy[5]分别讨论了Qt的统计信息，Tilloy、Bauer和Bernard[30]，但尚未研究Xt的统计信息（尤其是尖峰的结构），尽管它们是Qt的直接结果。我们可以使用福克普朗克近似来近似Xnt的平稳分布，分别是Xt，以获得更多的洞察力。此外，为了研究Xt，可能还值得研究下面的马尔可夫链（Pk）k≥0。但是，两者都超出了本文的范围。4结论与展望我们提出了一个基于微观主体的模型来解释不同价格过程中的跳跃、尖峰和高波动阶段。利用汉克尔[16]的数学框架，我们建立了一个连续时间内异质主体相互作用的网络。因此，代理人的行为受到量子系统中激发粒子动力学的启发（见Bauer、Bernard和Tilloy[5]）。在第二步中，我们通过指定代理人的个人交易倾向和超额需求函数以及总体价格，将内生动力学与资产价格过程联系起来。此外，我们还展示了当市场参与者的数量趋于一致时，平均代理人兴奋度和价格过程收敛到差异过程的条件。

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2022-5-25 16:30:09

由于我们的模型诱导了大量的市场动态，这些动态同样出现在与热浴耦合的量子系统的讨论中，并进行持续监控（见Bauer、Bernardand Tilloy[5]），因此我们在量子力学和金融数学之间架起了一座桥梁。因此，我们可以利用量子轨迹的统计特性，将Tilloy、Bauer和Bernard[30]的结果应用到我们的资产价格模型中，通过两个泊松过程来近似出现的跳跃和尖峰。为了简单起见，已经做出了一些假设，这也表明了模型的局限性。例如，价格过程对内生动态的缺失反馈以及模型的强马尔可夫性似乎是不现实的。虽然第一个问题可以通过更复杂的状态转移概率（同时考虑资产价格）更容易解决，但马尔可夫性质对于收敛到扩散过程至关重要。未来可以研究导致非马尔可夫极限的更复杂的微观模型，例如随机微分延迟方程的解（见Arriojas等人[2]），尽管这种情况下极限定理形式的文献要少得多。5附录5.1命题2.11的证明我们应用汉克尔定理3.6【16】。请注意，我们的模型在汉高[16]的框架内，具有市场特征和市场特征指数，这在汉高[16]的定义2.3和2.16中定义，由Mk=（1- Mk，Mk），Vnt=（1- Qnt，Qnt）和d=1。

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mingdashike22

2022-5-25 16:30:13

当n→ ∞ 由BN（x，v）=nnXa=1ua（2+n，a（v））给出- ∏2-n、 a（v））=nnXa=1ua[（1- v） ∏2,1n，a（v）- v∏1,2n，a（v）]=nnXa=1ua（1）- v）（βapa2γan+ηa（1- v）五）- v（βa1- pa2γan+ηa（1- v）五）=nnXa=1βa（pa- v） bn（x，1）=nnXa=1ua（π1+n，a（v）- ∏1-n、 a（v））=-bn（x，v）（33）（cn（x，v））=nnXa=1ua（2+n，a（v）+2-n、 a（v））=nnXa=1ua[（1- v） ∏2,1n，a（v）+v∏1,2n，a（v）]=nnXa=1ua（1）- v）（βapa2γan+ηa（1- v） v）+v（βa1- pa2γan+ηa（1- v）五）=nnXa=1βa（pa- 2vpa+v）2n+γaηa（1- v）五（cn（x，v））=nnXa=1ua（1+n，a（v）+1-n、 a（v））=（cn（x，v））（c1,2n（x，v））=（c2,1n（x，v））=-（cn（x，v））（34）现在，假设21.0亿=（十亿，十亿）n→∞----→ b：=-1.β（p- v）（35）和CN=cnc1,2nc2,1ncn！n→∞----→ c：=1-1.-1 1！γ√η（1- v） v.（36）So，根据Henkel【16】Vntn的定理3.6→∞----→ Vt，其中Vt是Vt=b（Vt）dt+c（Vt）dBt的解，V=（1- θ、 θ）（37），因此Qntn→∞----→ Qt，其中Qt是Qt=β（p- Qt）dt+γ√η（1- Qt）QtdBt，Q=θ，（38）因为Qt=Vt.5.2命题3.9的证明，所以这里我们也应用汉克尔定理3.6。由于qnt的动力学不依赖于Xnt，因此qnt的收敛性及其极限由命题2.11给出。

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2022-5-25 16:30:17

还显示了xNt的收敛性，并确定了当n→ ∞, 我们计算了预期的总超额需求和交易量σn（见汉高[16]定义3.1和3.3）。zn（x，v）=n-1/2nXa=1λaE[ena（x，v，s）]=√nnXa公司∈Fn？λaE√n（F- x）+nXa公司/∈Fn公司（39）σn（x，v）=nnXa=1λaE[ena（x，v，s）]=nnXa公司∈Fn？λaEn（F- x）+nXa公司/∈Fnλaσξγηq（1- q）=nnXa公司∈Fn？λaEn（F- x）+ σξγηq（1- q）（nXa/∈Fn'λa）+δnq（40）根据假设2.10和3.8，我们有Zn（x，v）n→∞----→(R)λF（F- x）（41）和σn（x，v）n→∞----→ （(R)λN+Ceq）σξγηq（1- q）（42）在意识到汉克尔[16]的假设3.5已满后，我们应用汉克尔[16]的定理3.6，得到命题3.9。参考文献【1】Y.Ait-Sahalia、J.Cacho Diaz和R.J.Laeven。使用相互激励跳跃过程建模金融传染。《金融经济学杂志》，117（3）：585–6062015。[2] M.Arriojas、Y.Hu、S.-E.Mohammed和G.Pap。一个延迟的black和scholes公式。《随机分析与应用》，25（2）：471–4922007。[3] W·B·亚瑟。经济中不断增加的回报和路径依赖。密歇根大学出版社，1994年。[4] L.单身汉。这是一个很好的例子。Gauthier Villars，1900年。[5] M.Bauer、D.Bernard和A.Tilloy。计算测量诱发量子跳跃的速率。物理学杂志A：数学与理论，48（25）：25FT022015。[6] E.Bayraktar、U.Horst和R.Sircar。具有惯性投资者的金融市场的极限定理。运筹学数学，31（4）：789–8102006。[7] E.Bayraktar、U.Horst和R.Sircar。金融价格波动的排队论方法。运筹学与管理科学手册，15:637–6772007。[8] F.Black和M.Scholes。期权和公司负债的定价。《政治经济杂志》，第637-6541973页。[9] G.Deffuant、D.Neau、F.Amblard和G.Weisbuch。

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2022-5-25 16:30:21

在相互作用的主体之间混合信念。《复杂系统的进展》，3（01n04）：87–982000。[10] S.邓。能源商品价格的随机模型及其应用：带跳跃和尖峰的均值回归。加州大学伯克利分校能源研究所，2000年。[11] 霍尔默。具有许多相互作用主体的随机经济体。《数理经济学杂志》，1（1）：51-621974年。[12] H·F¨ollmer和M·Schweizer。股票价格差异模型的微观经济学方法。《数学金融》，3（1）：1–231993年。[13] 格拉斯曼。《金融工程中的蒙特卡罗方法》，第53卷。施普林格科学与商业媒体，2003年。[14] J.G'omez Serrano、C.Graham和J.-Y.Le Boudec。观点动力学的有界置信模型。《应用科学中的数学模型和方法》，22（02），2012年。[15] 汉密尔顿（J.D.Hamilton）和林毅夫（G.Lin）。股市波动与商业周期。《应用计量学杂志》，11（5）：573–5931996年。[16] C.汉高。基于agent行为的扩散价格过程模型，应用于相变和振荡。arXiv预印本arXiv:1606.082692016。[17] U.地垒。具有多个相互作用主体的股票市场模型中的金融价格波动。《经济理论》，25（4）：917–9322005。[18] U.Horst和C.Rothe。排队、社会互动和金融市场的微观结构。宏观经济动态，12（02）：211–2332008。[19] 伊哈卡和绅士。R：一种用于数据分析和绘图的语言。《计算与图形统计杂志》，5（3）：299–3141996。[20] J.Jacod和A.N.Shiryaev。随机过程的极限定理。Springer，2003年。[21]O.Kallenberg。现代概率的基础。斯普林格，2002年。【22】H.A.Kramers。力场中的布朗运动和化学反应的扩散模型。Physica，7（4）：284–304，1940年。【23】T.勒克斯。羊群行为、泡沫和崩溃。

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