这可以重写以显示其与交互信息I（X:Y | Z）=I（X:Y，Z）的关系- I（X:Z）通常按照互信息链规则重新排列[9]I（X:Y，Z）=I（X:Y | Z）+I（X:Z）。（2.4）定义2.1。假设X、Y和Z是三个随机变量。我们呼叫X→ Y→ Za Markov链也编写了asX⊥⊥ Z | YifI（X：Z | Y）=0，即随机变量X与给定Y的Z无关。从链式规则公式（2.4）中，我们得到了数据处理不等式公式2.1。如果X→ Y→ Z是马尔可夫链，thenI（Z:X）≤ 具有恒等式的I（Y:X）当且仅当X→ Z→ Y与微分熵相反，互信息和条件互信息是标度不变的，即对于三个d i f同胚映射φx，φy，φz，我们有[16]i（φx（x）：φy（y））=i（x:y）i（φx（x）：φy（y）|φz（z））=i（x:y | z）。（2.5）示例2.2。设X和Y为点正态分布，平均u、边际方差σX、σ和协方差σXY。我们计算i（X:Y）=h（X）+h（Y）- h（X，Y）=对数2πeσX+日志2πeσY-对数（2πe）+对数σXσX- σXY=日志σXσY-日志σXσX（1- ρXY）= -日志1.- ρXY式中，ρXY=σXYσXσyde表示X和Y之间的相关系数。类似地，我们可以询问需要多少信息来估计随机量Xup到某种精度。形式上，假设X具有方差σ的正态分布。现在，在获得测量值后，剩余方差，即测量误差，被减少到σM。然后，通过以下问题提供基准：我们需要多少信息。

我们有信心知道X到m个小数？为此，在目前的情况下，我们要求σM≈-M受X将分布在测量值^X w周围，95%置信区间的事实激励≈ [^x- 2σM，^x+2σM]。相应地，所需信息由H（X）给出- h（Xmeasured）=对数2πeσ-日志2πeσM= 日志σσM因此，在正态分布的情况下，所需信息是所需不确定性减少的非线性函数，通过标准偏差σM=4·10mσ的比率测量。2.2福克-普朗克方程我们从n+1维随机微分方程（SDE）开始，dSt=u（vt）Stdt+f（vt）StdWtdvt=β（vt）dt+γ（vt）dWt（2.6）st表示时间t的股票价格，vt是推动股票下跌的波动过程。因为我们不想处理正则性问题β、γ和f是光滑的。此外，我们假设均匀椭圆度，这意味着γ（vt）对于所有| vt |>0都是可逆的。Wt和Wt=（Wt，…，Wnt）分别是一维和n维标准维纳过程，可以进行耦合，也就是说，我们允许dWtdWt=（ρ，…，ρn）dt，对于i=1，…，ρi6=0，n、 式（2.6）的第二个SDE对应于线性福克-普朗克方程tpt（v）=-（β（v）pt（v））+nXi，j=1我jγ（v）γT（v）ijpt（五）（2.7）对于概率密度，其中i=d/d和 = (, . . . , n） 。我们称一个解为ptof theFokker-Planck方程的平稳解，如果tpt（v）=0，也就是说，pt不再依赖于t，我们写下pt=ρ。如果SDE读取SDVT，则我们将n维挥发性过程称为s强度为1的噪声引起的梯度流=√2dWt- V（vt）dt（2.8），具有平滑电势V。式（2.8）对应于线性福克-普朗克方程tp=· (p+pV）。（2.9）不可能计算任意电势的时间相关解。

然而，e-Vis a普通微分方程的解0=· (p+pV）如果e-Vis可积我们可以确定吉布斯分布ρ（x）=Ze-V（2.10），其中归一化常数Z是分区fu nc tionZ=Ze-五、 一般来说，e的可积性-Vdoes不能保证稳定解的存在。我们仔细研究了一维情形下这种平稳解的存在性和唯一性。我们确定概率电流=-副总裁- pVv表示式（2.9）的解p。对于平稳解ρ，概率流必须是恒定的。因此，如果它在某个点v消失，则任何v都必须为零。如果是这种情况，我们可以立即对概率流的表达式进行积分，从而得到表达式Q。（2.10）。对于等式（2.9）的时间相关解p，概率电流可写成=-e-五、v执行副总裁在平稳的情况下，其中S是常数，因此对于任意的Sρ=Ze-五、-Se公司-积分常数的VZeVOne由归一化zρ=1确定。另一个常数必须根据边界条件确定，因此问题是必须使用哪些边界条件。Feller[11]将所有边界条件分类为一维。用xmin和xmax表示平稳分布ρ域的边界点（也包括xmin=-∞ 和xmax=∞). 这种平稳解的存在迫使概率流S在xmin和xmax处消失，因此在任何点上都为0，也就是说，xmin和xmax需要是反射边界。这就产生了自然边界条件p（xmin）=p（xmax）=0，其中p表示梯度流方程（2.9）的解。在这种情况下，任何与时间相关的解都会收敛到平稳解方程（2.10），这证明了唯一性。更多详细信息，请参阅【22】中的第5章。我们总结了EMMA 2.2中的这些见解。

如果等式（2.9）有一个固定解ρthen1。S≡ 02.e-Vis可积3。ρ为u ni que，符合吉布斯分布方程（2.10）4。ρ（xmin）=ρ（xmax）=0。我们回到n维情形。如果五、≥ λIn×nv∈ Rnandλ>0，（2.11）也就是说，V的Hessian由正r ealλ一致地从零开始，从[2]可以得出ρ=e-五、-log（Z）ful定义了对数S-obolev不等式。也就是说，对于任何情绪∈ L（Rn，ρ）（平方可积函数空间w.r.t.测度ρ）Zglog gdρ-Zgdρ测井Zgρdρ≤λZ|g | dρ（2.12）保持不变。I f gis归一化，公式。（2.12）可重写asD（g | |ρ）≤2λI（g | |ρ）（2.13），其中Kullback-Leibler散度D等式（2.2）和相对鱼类信息I（g | |ρ）=Z对数ρg、 对数Sobolev不等式推广了S-tam-Gross不等式[25，13]，其中ρ被假定为正态分布。对数Sobolev不等式公式（2.12）适用于任何分布ρ，无论它是否是公式（2.9）的平稳解，只要Hessian-logρful定义了界限等式（2.11）。如果ρ是福克-普朗克方程方程（2.9）的解，初始分布ρs.t.D（ρ| |ρ）<∞, 我们有ddtd（ρt | |ρ）=-ZI（ρt | |ρ），与公式（2.13）和Gronwall不等式d（ρt | |ρ）结合产生≤ e-2λtD（ρ| |ρ）（2.14），表示方程式（2.9）的任何溶液朝着平衡mρ呈指数级快速趋势。更多细节和证据见【19】及其参考文献。3推断波动性我们根据动力学公式（2.6）定义并计算股票波动性的回报信息内容。在续集中，我们假设假设3.1。福克-普朗克方程方程式（2.7）具有唯一的稳态解ρ。3.1随机波动率模型中的信息计算SDE方程的Euler近似。

（2.6）读数SST+τ- St=u（vt）Stτ+f（vt）St√τvt+τ- vt=β（vt）τ+γ（vt）√τ，其中ε和ε是1维和n维标准正态分布s.t.E[ε]=（ρ，…，ρn），相关系数ρiof等式（2.6）。定义rt+τ=St+τ-结果是一个独立的返回过程，其中每个rt+τ与平均u（vt）τ和标准偏差f（vt）呈正态分布√τ、 也就是说，rt+τ=u（vt）τ+f（vt）√τεvt+τ- vt=β（vt）τ+γ（vt）√τ。（3.1）因此，（rt+τ，vt+τ）由vt共同生成，该过程是马尔可夫过程。例如，过去的轨迹{r，v}t-mτ=（rt-mτ，vt-mτ），（rt-τ、 vt公司-τ） ，和未来的{r，v}t+nτ=（rt+τ，vt+τ），（rt+nτ，vt+nτ）提供了vt形式的马尔可夫链为2.1{r，v}t-mτ→ vt公司→ {r，v}t+nτ。注意，如果过程VT不是近似值，则这仍然是正确的。因此，欧拉近似回归过程是一个隐马尔可夫过程，其中观测值rt+τ依赖于vt，并且由于杠杆效应vt+τ。图（1）示出了应用程序的结果。利用这些条件独立密度，我们可以近似地得到信息r（n-1） τrnτr（n+1）τ。v（n-2） τv（n-1） τvnτv（n+1）τ。图1:SDE公式（2.6）的Euler近似值。I（f（vt）√τ：rtt-nτ）历史返回SRTT-nτ=rt-nτ，rt（3.2）提供关于波动率f（vt）的信息√τ命题3.2。I（f（vt）√τ：rtt-nτ）≤ I（vt：vt-τ） +I（vt:rt | vt-τ） 证明。从互信息的标度不变性方程。

（2.5）followsI（f（vt）√τ：rtt-nτ）=I（f（vt）：rtt-nτ）。注意这一点-nτ→ vt公司→ f（vt）是马尔可夫链，数据处理等于2.1 yieldsI（f（vt）：rtt-nτ）≤ I（vt：rtt-nτ）。此外，I（vt:rtt-nτ）≤ I（vt：vt-τrtt-nτ）=I（vt:vt-τ） +I（vt:rtt-nτ| vt-τ） =I（vt:vt-τ） +I（vt:rt-τt-nτ| vt-τ） |{z}=0+I（vt：rt | vt-τ、 rt公司-τt-nτ）=I（vt:vt-τ） +I（vt:rt | vt-τ） 按条件独立vt⊥⊥ rt公司-τt-nτ| vt-τ和（vt，rt）⊥⊥ rt公司-τt-nτ| vt-τ。一个类似的论证和计算也会产生过去的回溯所提供的关于未来回溯的信息的上界。提案3.3。I（rt+τ：rtt-nτ）≤ I（rt+τ：vt）证明。I（rt+τ：rtt-nτ）≤ I（rt+τ：rtt-nτ，vt）=I（rt+τ：vt）+I（rt+τ：rtt-nτ| vt）=I（rt+τ：vt）。因此，为了计算互信息I（vt：rtt）的上界-nτ）和I（rt+τ：rtt-nτ）需要计算（vτ：v）I（vτ：rτ| v）I（rτ：v）（3.3），其中我们在前两种情况下设置了w.l.o.g.t=τ，在最后一种情况下设置了t=0。因为对于连续随机变量，可以获得很多信息（实际上，公式（3.3）中的前两项偏离到∞ ifτ→ 0），评估是否从回报观察中获得了大量信息需要基准。信息增益可能被解释为不确定性降低。我们的初始不确定性是指未来收益率rτ或波动率f（vτ）√τ由其熵量化。在进行任何观察之前，我们认为rτ大致呈标准偏差正态分布√τZf dρ≡√τσfi。e、 v 7的期望值→ f（v）w.r.t平稳分布ρ次√τ。因此，根据示例2.1，随机变量rτreadsh（rτ）=log（2πeσfτ）的熵。由于vτ是从熵为h（vτ）的平稳分布ρ中得出的，因此挥发度yf（vτ）√τ随熵h（f（vτ）平稳分布√τ） 。

如果f是一维过程vτ的变形坐标变化，则波动率的熵ish（f（vτ）√τ） =h（vτ）+Zlog | f′（v）√τ| dρ（v）。与示例2.2类似，我们可以计算需要多少信息才能知道rτ和f（vτ）√τ达到一定精度。我们认为rτ以百分比表示，每天的精度为0.01，而f（vτ）√τ与标准普尔500指数波动率指数VIX一样被引用。波动率指数以百分比点为单位，精度高达0.01，并大致换算为标准普尔500指数在未来30天内的预期波动（假设68%的可能性，即一个标准差），然后进行年度化。这符合以下OUR设置。假设我们有SDE等式（2.6）的年度时间刻度，并读取每日回报（我们在第4.1小节中遇到的情况）。然后τ=1/252（一年有252个交易日），欧拉近似下的每日收益波动率为f（vτ）√τ。然而，由于波动率是每年报价的，我们对随机变量f（vτ）而不是f（vτ）更感兴趣√τ。根据示例2.2，我们必须计算差值sg≡ h（rτ）-日志2πeσM= 日志σf√τσMGf（v）≡ h（f（vτ））-日志2πeσM（3.4）其中σM=-4因为我们希望精度达到0.01%。如果我们在一维环境中，有一个微分函数f，那么第二个恒等式读数为sgf（v）=h（vτ）+Zlog | f′dρ-日志2πeσM.然而，如果SDE公式（2.6）的参数是根据每日时间标度引用的，则τ=1，我们必须将波动率f（vτ）重新标度为f（vτ），现在是每日的波动率f（vτ）√252，以使结果与波动率指数相比较。因此，我们得到了方程gr≡ h（rτ）-日志2πeσM= 日志σfσMGf（v）≡ h（f（vτ））+对数（252）-日志2πeσM（3.5）σM=-4.3.2一般解我们推导出地层相互作用方程的上界和代理。

（3.3）在随后的理论中。定义3.1。我们定义了互信息proxyI（vτ，v）=h（v）-兹洛格nπne检测γ（v）γT（v）τndρ（v），其中h（v）=-Zlogρ（v）dρ（v）表示平稳分布的熵。定理3.4。在欧拉近似方案图（1）中，我们得到I（vτ：v）=I（vτ，v）+O（τ）和I（rτ：vτ| v）=-lognnXi=11- ρi！对于i=1，n其中ρi=dwitdwtar是SDE公式（2.6）中的相关性。证据我们引入了福克-普朗克算子f P（v）=-β（v）+nXi，j=1我jγ（v）。然后，从Eu-ler近似得到的正态分布也可以重写为asp（vτ| v）=eτLF P（v）δvτ-五=1+τLF P（v）+O（τ）δvτ-vwhereδxdenotes x处的δ分布。考虑到两侧的特征函数，这很容易遵循形式，但也可参见[22]第4章的证明。实际跃迁概率q（vτ| v）的Kramer-Moyal前向展开，即初始条件vf为τ=0的福克-普朗克方程（2.7）的解也是q（vτ| v）=1+τLF P（v）+O（τ）δvτ-v、 Hencep（vτ| v）ρ（v）=（p（vτ| v）- q（vτ| v））ρ（v）+q（vτ| v）ρ（v）=O（τ）δvτ-vρ（v）+q（vτ| v）ρ（v）=O（τ）ρ（vτ）+q（vτ| v）ρ（v）。由于福克-普朗克方程方程式（2.7）是线性的，所以解的任何叠加都是很好的解。因此，q（vτ）=Zq（vτ| v）dρ（v）是初始条件为ρ的解，即方程（2.7）的定常解，也就是造林，我们得到p（vτ）=Zp（vτ| v）dρ（v）=ZO（τ）ρ（vτ）+q（vτ| v）dρ（v）=1+O（τ）ρ（vτ）。因此，转换规则Eq。

（2.1）对于熵产率-Zlog p（vτ）dp（vτ）=-Zlogρ（vτ）dρ（vτ）+Zlog1+O（τ）dρ（vτ）=h（v）+O（τ），因此，从示例2.1和p（vτ| v）正态分布的事实中，我们得到了协方差矩阵γ（v）γT（v）τi（vτ：v）=h（vτ）- h（vτ| v）=h（v）+O（τ）+Zp（vτ| v）log p（vτ| v）dvτdρ（v）=h（v）+O（τ）-兹洛格nπne检测γ（v）γT（v）τndρ（v）=I（vτ，v）+O（τ）第二互信息读数si（rτ：vτ| v）=h（rτ| v）- h（rτ| vτ，v）。在公式（3.1）的规则近似方案中，rτ随方差f（v）τ正态分布。Henceh（rτ| v）=Zlog2πef（v）τdρ（v）。由于存在平稳解，边界0是反射的，因此我们几乎肯定| v |>0，并且由于等式（2.7）的一致椭圆性，矩阵γ（v）是可逆的，我们得到ε=√τγ（v）-1（vτ- β（v）τ）由于式（3.1）中的E[εε]=（ρ，…，ρn）=ρ，返回读数srτ=u（v）τ+f（v）√τε=u（v）τ+f（v）√τnnXi=1ε=u（v）τ+f（v）√τnnXi=1ρiεi+q1- ρizi=u（v）τ+f（v）√τnnXi=1q1- ρizi+f（v）√τnhρ，εi=u（v）τ+f（v）√τnnXi=1q1- ρizi+f（v）nhρ，γ（v）-1（vτ- β（v）τ）i其中zi是相互独立的标准正态随机变量，也与ε无关。h·，·i表示标准标量积。因此，rτ提供了vτ和粘正态分布的平均u（v）τ+f（v）nhρ，γ（v）-1（vτ- β（v）τ）i和方差f（v）τnnXi=11- ρi因此（rτ| vτ，v）=Zlog2πef（v）τnnXi=11- ρi！dρ（v）。因此，I（rτ：vτ| v）=Zlog2πef（v）τdρ（v）-Zlog2πef（v）τnnXi=11- ρi！dρ（v）=-ZlognnXi=11- ρi！dρ（v）=-lognnXi=11- ρi！备注3.1。互信息I（vτ：v）上的代理I（vτ，v）取决于向量vτ的参数化。2.

如果波动过程的维数n是一维的，而f是一个差同态，则由于互信息和条件互信息的变化，我们可以分别替换定理3.4中的vτ和vby f（vτ）和f（v）。在该小节的剩余部分，我们假设平稳分布ρful满足对数Sobolev不等式等式（2.12），参数λ>0。此外，我们引入了Fisher信息矩阵xi（rτ；v）ij=Zvilog p（rt | v）vjlog p（rτ| v）p（rτ| v）drτ，i，j=1，n对于条件密度p（rτ| v）和Fisher信息i（rτ；f（v））=Zddylog p（rτ| y）y=f（v）！p（rτ| f（v））条件密度p（rτ| f（v））的drτ。Fisher信息可以分别解释为关于vand f（v）的信息，该信息存在于返回rτ中。有关特性的详细讨论和Fisher信息的解释，请参见[9]。定理3.5。设ρfull fill公式（2.12），λ>0。ThenI（rτ：v）≤2λZTr（I（rτ；v））dρ（v）。（3.6）如果有一个因子，即平滑函数|u：R→ R s.t.~uo f（v）=u（v），thenTr（I（rt；v））=I（rτ；f（v））|f（v）|（3.7）=（°u′）o f（v））τ+2|日志f（v）|证明。如果我们在公式（2.12）中设置g=pp（rτ| v），我们得到i（rτ：v）=H（rτ）- H（rτ| v）=-Zp（rτ）log p（rτ）drτ+Zp（rτ，v）log p（rτ| v）dvdrτ=-Z Zp（rτ| v）dρ（v）对数Zp（rτ| v）dρ（v）+Zp（rτ| v）log p（rτ| v）dρ（v）drτ≤λZ|pp（rτ| v）| dρ（v）drτ=2λZnXi=1vip（rτ| v）p（rτ| v）dρ（v）drτ=2λZnXi=1vilog p（rτ| v）p（rτ| v）dρ（v）drτ=2λZnXi=1I（rτ；v）iidρ（v）=2λZTr（I（rτ；v））dρ（v），如果u（v）=uo f（v）第二个恒等式来自p（rτ| v）=p（rτ| f（v）），即条件分布仅依赖于f（v），链规则vilog p（rτ| v）=vif（v）ddylog p（rτ| y）y=f（v），对于i=1，n

最后，我们计算DYLOG p（rτ| y）=ddylog√2πτye-（rτ-u（y）τ）2yτ=ddy-对数y-（rτ- u（y）τ）2yτ= -y-2τ-2（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy- 2y（rτ- u（y）τ）y=-y-τ（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy+（rτ）- ^1u（y）τ）y其屈服强度SZτ（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy+（rτ）- u（y）τ）y-y√2πτye-（十）-u（y）τ）2yτdrτ=Zτ（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy+（rτ）- u（y）τ）y+-yτ（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy+（rτ）- u（y）τ）y+y√2πτye-（十）-u（y）τ）2yτdrτ=Zτ（（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τ）y+τ2（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy+τ（rτ）- u（y）τ）y+-yτ（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy+（rτ）- u（y）τ）y+y√2πτye-（十）-u（y）τ）2yτdrτ=￠u′（y）τy+y-y+y=△u′（y）τy+yHence，如果我们用f（v）代替y，我们得到i（rτ；f（v））=（△u′o f（v））τf（v）+f（v），因此（rτ；f（v））|f（v）|=（°u′）o f（v））τf（v）+f（v）|f（v）|=（°u′）o f（v））τ+2|日志f（v）|备注3.2。如果有一个常数因子|u，则上界不再依赖于τ。因此，previous返回rtt-nτ不能提供比定理3.5中导出的τ独立上界所建议的更多关于未来收益率rt+τ的信息，即使τ→ 0和n→ ∞.等式（3.6）和恒等式（3.7）一般适用，即对于任何光滑条件密度p（rτ| v）。等式（3.6）的不等式有一个很好的解释：互信息I（rτ：v）由加权Fisher信息I（rτ；v）限定，每个收益在特定的波动率v上产生，权重为ρ（v）。互信息的上限公式（3.6）取决于v的参数化，其中互信息I（rτ：v）本身是不变的。5、召回，定理3.4 yieldsp（vτ）=Zp（vτ| v）dρ（v）=ρ（vτ），其中p（vτ| v）是初始条件δv下福克-普朗克方程（2.7）的解。根据方程（2.3），互信息I（vτ：v）readsI（vτ：v）=d（p（vτ，v）| p（vτ）p（vτ）p（v））=Zp（vτ，v）logp（vτ，v）p（v）p（vτ）dvτdv=Zp（vτ| v）logp（vτ| v）ρ（vτ）dvτdρ（v）=ZD（ρτ|ρ）dρ，其中ρτ=p（vτ| v）是福克-普朗克方程。

（2.7）初始条件ρ=δv。形式为ally D（δv | |ρ）=∞. 在形式上，人们可以说，波动率并不精确，我们用平均值和小方差s.t.D（ρv | |ρ）的初始分布ρvw来近似狄拉克分布δvb∞. 在平稳分布满足对数Sobolev不等式等式（2.12）的情况下，我们从等式（2.14）I（vτ：v）中获得≤ e-2λτZD（ρv | |ρ）dρ因此，假设不等式右侧的积分是有限的，我们有一个正式的论点，即互信息I（vτ：v）在一段时间内呈指数递减。6、如备注3.1所示，如果波动率向量为一维且f不同构，则定理3.5.4随机波动率模型中的I（rτ，f（v））可替换为I（rτ，f（v））。我们计算各种随机波动率模型的相互影响式（3.3）。4.1均值回复单因素模型我们遵循[8]，并考虑六种随机波动率模型，形式为DST=rStdt+√vtStdWtdvt=γvat（θ- vt）dt+κvbtdwt，其中dWtdWt=ρdt，其中a∈ {0，1}和b∈ {1/2，1，3/2}。Jones[15]证明了当a=0且b>1时，存在唯一的平稳解。在b=1的情况下，类似的参数产生平稳解（因此，根据引理2.2，也是唯一的）；a=0、1和b=1/2；a=0。在这些情况下，我们计算平稳分布和互信息方程（3.3）的上界或代理。如果b=1/2，a=1，我们可以证明存在非平稳解。我们从引理4.1开始。如果v存在平稳分布ρ，则我们有i（vτ，v）=h（v）-对数（2eπκτ）- bZlog vdρ（v）I（rτ：vτ| v）=-日志（1- ρ） 证明。根据定理3.4，我们有i（vτ，v）=h（v）-兹洛格2πeκv2bτdρ（v）=h（v）-日志2πeκτ- bZlog vdρ（v）。第二个等式直接跟在n=1后面。为了明确计算各种模型的平稳解，我们将VT的SDE转换为梯度流方程。

（2.8）表格。引理4.2。定义（v）=√κ（1- b） v1-bif b 6=1g（v）=√如果b=1且σ=g（v），则为κlog v。Thendσt=√2dWt+V′（σt）dtwithV′（σ）=√(-γκθσκ（1- b）√一-b1级-b-σκ（1- b）√一-b+11-b+b（1- b）√σ） 如果b 6=1V′（σ）=√-γκθe（a-1） κ√σ- eaκ√σ+κ如果b=1屋顶。对于b 6=1，我们有g′（v）=√κvbg′（v）=-b√κv1+bv=σκ（1- b）√1.-带It^o公式屈服强度σ=g′（vt）dvt+g′（vt）dvtdvt=√κvbtγvat（θ- vt）dt+κvbtdWt-bκ√v1+btκvbtdt公司=√2dWt+√2γκva-b（θ- vt）dt-bκ√vb-1吨=√2dWt+√（γκσκ（1- b）√一-b1级-bθ-σκ（1- b）√1.-b-b√2（1- b） σ）dt=√2dWt+√（γκθσκ（1- b）√一-b1级-b-σκ（1- b）√一-b+11-b-b√2（1- b） σ）dt。对于b=1，我们有g′（v）=√κvg′（v）=-√κvv=eκσ/√It^o的公式yieldsdσ=g′（vt）dvt+g′（vt）dvtdvt=√κvtγvat（θ- vt）dt+κvtdWt-κ√vt（κvt）dt=√2dWt+√2γκva-1t（θ- vt）dt-κ√dt公司=√2dWt+√γκθe（a-1） κ√σ-eaκ√σ-κ为了应用定理3.5，下列引理证明是有用的。引理4.3。函数ρ（σ）=2βαΓ（α）σ2α-1e级-βσ定义了所有α、β>0的概率密度。σ是γ分布，形状为α，速率为β。密度ρful表示λ=2β的对数Sobolev不等式等式（2.12）。此外，假设过程vt具有平稳分布ρ（v），v=g（σ），g（σ）=ησbb∈ {-2，2}，η>0和α>1，thenI（rτ：v）≤2（α- 1） 。证据我们首先检查u=h（σ）=σ是否为γ分布，形状为α，速率为β。概率密度的转换规则产生ρ（u）=ρh类-1（u）h′（h-1（u））=ρ(√u）√u=2βαΓ（α）uα-1/2e-βu√u=βαΓ（α）uα-1e级-βu是形状为α、速率为β的伽马分布。因此，ρ（σ）也是一个密度。此外，如果我们写ρ（σ）=e-V（σ）我们得到V（σ）=βσ- （2α- 1） 对于常数Z，logσ+Z。HenceV′（σ）=2β从下方以2β>0为界，ρful定义了对数Sobolev不等式。

由于互信息是标度不变性的，所以σ=g-1（v）I（rτ：v）=I（rτ：σ）。我们应用定理3.5，得到λ=2βf（σ）=pg（g-1（v））=qησb=√ησb/2；b∈ {-2，2}（4.1）~u′=0，其中最后一个恒等式来自漂移项恒定的事实。因此，我们得到i（rτ：σ）≤4βZddσlog f（σ）dρ（σ）=2βZσdρ（σ）=2βZσ2βαΓ（α）σ2α-1e级-βσdσ=Z2βα-1Γ（α）σ2（α-1） e类-βσdσ=Γ（α- 1） 2Γ（α）=2（α- 1） 其中，第二个恒等式来自等式。（4.1）。备注4.1。在b=1/2和b=3/2的情况下，我们得到引理4.2v=σκ（1-b）√1.-b、 也就是说，我们有引理4.3中要求的转换规则。此外，对于b=3/2，我们处理σ<0，如果涉及σ的对数或根，则在后续计算中需要小心。推论4.4。假设b=3/2，a=0。If3κsθγ>1。（4.2）thenI（rτ：v）≤√α′型- 4β′Z-∞σdρ（σ）ρ（σ）=Z(-σ） e类-α′（σ-β′/α′）ρ（v）=Z′ve-α（1/v-1/θ）I（vτ，v）=h（v）-对数（2eπκτ）-Zlog vdρ（v），α′=γκθβ′=γ。α=γθκ证明。V′（σ）=√(-γκθ-σκ√--σκ√!-√σ） =γ√κθσκ√-σκ√!-σ=γθκσ- σ-σ=4（α′σ- β′σ）-σ表示α′=γκθβ′=γ。这意味着V′（σ）=4（3α′σ- β′）+σV（σ）=α′σ- 2β′σ- 3日志(-σ） =α′σ-β′α′型-β′2α′- 3日志(-σ） 你可以读到e-Vis可积，在这种情况下，Gibbs分布方程（2.10）读取ρ（σ）=Z(-σ） e类-α′（σ-β′/α′）。Z需要用数值计算。我们通过计算三阶导数来检查等式（2.11）。0=V′′（σ′）=24α′σ′-σ′3<=> σ′2=r4α′，产生λ≡ V′（σ′）=4（3α′σ′2- β′）+σ′2=6√α′型- 4β′+6√α′=12√α′型- 4β′（4.3），大于零i ff3√α′>β′，即3κsθγ>1。如果该条件成立，平稳分布的对数Sobolev不等式与λ保持一致，如等式（4.3）所示，我们可以应用定理3.5。由于与lemma4.3中相同的原因，我们得到了I（rτ：v）=I（rτ：σ），并且通过与lemma4.3中的证明类似的计算，我们得到了I（rτ：σ）≤√α′型- 4β′Zσdρ（σ）。我们计算方差v本身的平稳性。

根据引理4.2，我们有σ=vκ，因此有2σg′（v）=-vκ。这就得到了vρ（v）=Z′的平稳分布(-σ） e类-α′型vκ-β′α′型-1σv=Z′ve-α（1/v-1/θ）和α=α′κ=γθκ推论4.5。假设b=3/2，a=1。ThenI（rτ：v）≤2（α- 1） ρ（v）=βαΓ（α）v-一-1e级-β/vI（vτ，v）=α+对数Γ（α）β-α-ψ（α）-log（2eπκτ），其中Γ是γ函数，ψ是Digamma函数，α=2γκ+2β=2γθκ。证据V′（σ）=√(-γκθ-σκ√--σκ√-1.-√σ） =γκθσκ-σκ-σ=2β′σ-（2α- 1） σ，α=2γκ+2β′=γθ。这意味着V′（σ）=2β′+（2α- 1） σ>2β′≡ λ表示所有σV（σ）=β′σ- （2α- 1） 日志(-σ） 因此，平稳分布ρful定义了对数Sobolev不等式等式（2.12），并读取ρ（σ）=Z(-σ） 2α-1e级-β′σ。因此，σ是以形状eα和速率β′分布的γ，我们认识到分区函数z=Γ（α）2β′α。使用Gamma fun ActionΓ。引理4.3证明了互信息i（rτ：v）的不等式。最后，我们有σ=g（v）=κvand，因此方差v具有平稳分布ρ（v）=2β′αΓ（α）κvα-1/2e-β′κv√κv3/2=β′καΓ（α）v-α+1/2v-3/2e-β′κv=βαΓ（α）v-一-1e级-β/v，即速率α和形状β=8β′κ=2γθκ的反γ分布，我们得到（v）=α+对数（βΓ（α））- （1+α）ψ（α）Zlog v dρ（v）=logβ- ψ（α），其中ψ表示Digamma函数。引理4.1给出了代理I（vτ，v）的表达式。推论4.6。假设b=1，a=0。ThenI（rτ：v）≤2（α- 1） ρ（v）=βαΓ（α）v-α-1e级-β/vI（vτ，v）=α（1- ψ（α））+logΓ（a）-用伽马函数Γ、Digamma函数ψ和α=2γκ+1β=2γθκ证明对数（2eπκτ）。V′（σ）=√n-γκθe-κ√σ- 1.+κo=-βκ√e-κ√σ+κ√2γκ+1= -βκ√e-κ√σ+ακ√α=2γκ+1β=2γθκ，因此′（σ）=βκe-κ√σV（σ）=βe-κ√σ+ακ√σ。可以看出，V′不是一致有界的远离零，e-Vis可积。如果我们定义σ′=√v=e-κ√σ然后是平稳分布ρEq。

（2.10）对于σ′，读数ρ（σ′）=Ze-V（σ）eκ√σ=Ze-βσ′2e-ακ√σeκ√σ=Ze-κ√σ（2α-1） e类-βσ′2=Zσ′2α-1e级-βσ′2。即σ′2is伽马分布，形状为α，速率为β。引理4.3 yieldsZ=Γ（α）2βαI（rτ：σ′）≤2（α- 1） 与b=3/2、a=1的情况一样，我们检查库存过程的方差v是否与s hapeα和rateβ呈反向分布。推论4.7。假设b=a=1和2γθκ- 1>1。ThenI（rτ：v）≤2（α- 1） ρ（v）=βαΓ（α）vα-1e级-βvI（vτ，v）=α（1- ψ（α））+对数Γ（α）-对数（2eπκτ），γ函数Γ，Digamma函数ψ，α=2γθκ- 1β=2γκ证明。V′（σ）=√n-γκθ- eκ√σ+κo=2γκκ√eκ√σ+κ√1.-2γθκ= βκ√eκ√σ- ακ√α=2γθκ- 1β=2γκ，因此v′（σ）=βκeκ√σV（σ）=βeκ√σ-ακ√σ。V不受正实数和e的限制-如果α>0，则Vis on ly可积。在这种情况下，我们引入σ′=√v=eκ√σ和平稳分布w.r.t.σ′读取ρ（σ′）=Ze-V（σ）eκ√σ=Ze-βσ′2e-ακ√σeκ√σ=Ze-κ√σ（2α-1） e类-βσ′2=Zσ′2α-1e级-βσ′2。也就是说，方差v=σ′2is Gamma分布在形状α和速率β上。原点反映为α>1。对于形状为α、速率为β的伽马分布方差v，我们得到h（v）=α- 对数β+对数Γ（α）+（1- α） ψ（α）Zlog v dρ（v）=ψ（α）- logβ代理I（vτ，v）的表达式遵循引理4.1。推论4.8。假设b=1/2，a=0，2γθκ>1。ThenI（rτ：v）≤2（α- 1） ρ（v）=βαΓ（α）vα-1e级-βvI（vτ，v）=α-对数β+对数Γ（α）+- αψ（α）-用伽马函数Γ、Digamma函数ψ和α=2γθκβ=2γκ证明记录（2eπκτ）。V′（σ）=√(-γκθσκ√-1.-σκ√!+√σ） =γσ-4θγκσ+σ=2β′σ+（1- 2α）σ，α=2γθκβ′=γ。因此，V′（σ）=2β′- （1）- 2α）σV（σ）=β′σ+（1- 2α）对数σ。e-Vis可积函数α>1/2。σ是γ分布，形状为α，速率为β′，即ρ（σ）=2β′αΓ（α）σ2α-1e级-β′σ，原点反映i fα>1。方差v为γ分布，速率α和形状β=κβ′=2γκ。其他一切都遵循引理4.3和引理4.1。推论4.9。假设b=1/2，a=1。

然后，福克-普朗克方程tp=-v（γv（θ- v） p）+vv型κvp没有固定溶液。证据V′（σ）=√(-γκθσκ√-σκ√!+√σ） =-γκθσκ-σκ√!+σ=-γθσ+γκσ+σ，其中yieldsV（σ）=-γθσ+γκσ+对数σ及其他-V（σ）=σe-γκσ+γθσ不是（0，∞). 引理4.2中的坐标变化g是可微的且严格单调的。因此，存在稳定解ρ当且仅当ρ（σ）=ρg级-1（σ）g′g级-1（σ）,σ=g（v）时，是梯度流方程（2.9）的平稳解。假设存在等式的平稳解ρ。（2.9）边界为xminan和xmax。如果xmaxis有限，则V（xmax）=±∞ – 有关这一点，请参见[22]中的第5章。xmin也是如此。因此，唯一可能的边界是xmin=0和xmax=∞. 因此，由于引理2.2，吉布斯分布方程（2.10）定义为（0，∞) 和e-对于（0，∞) – 矛盾。备注4.2。据作者所知，这是第一次证明在b=1/2和a=1的情况下不存在平稳解。关于这个iss ue的简短讨论，另请参见[8]。我们已经收集了所有成分，用于实际计算相互信息。（3.3）对于具有（可能）平稳分布的五个模型。

模型的参数根据标准普尔500a bγθκλρ0 1/2 3.1146 0.0523 0.5826 9.00e的选项进行拟合- 5.-0.6520±1.50e- 3±3.13e-5±1.27e- 4±2.16e- 3±2.41e- 40 1 2.4730 0.0272 1.1884 4.37e- 3.-0.7116±1.12e- 3±6.84e-6±3.20e- 4±1.17e- 3±2.06e- 41 1 64.4378 0.0367 1.1214 1.93e- 3.-0.6749±3.95e- 2±1.91e-5±4.36e- 4±4.94e- 2±2.50e- 40 3/2 1.5384 0.0336 7.9501 7.91e- 4.-0.7169±2.22e- 3±3.65- 5±2.94e- 3±2.15e- 3±2.10e- 41 3/2 50.9140 0.0388 6.2593 3.36e- 4.-0.6854±4.08e- 2±2.86e-5±2.41e- 3±5.13e- 2±2.35e- 4由于标准误差相对较小，我们将在后继中忽略它们，仅计算信息值w.r.t.参数的平均值。此外，风险溢价λ不能与0显著区分。因此，我们省略它。回想一下，我们对交互信息很感兴趣(√vtτ：rtt-nτ）I（rt:rt-nτ）波动率之间√vtτ和以前的返回SRTT-nτ=rt-nτ，rt-（n）-1） τ，rt和以前的返回及其后续返回。在第3.1节中，我们推导了互信息I的建议3.2和3.3上界uf(√vtτ：rtt-nτ）和Uforthe互信息I（rt:rt-nτ），分别为。我们在定理3.4和3.5中根据SDE等式（2.6）的参数和波动过程的平稳分布计算了上边界D。由于[8]中的p参数γ、θ和κ是年度时间分辨率的参数，我们必须选择τ=（4.4），因为我们处理的是每日收益。前面的推论提供了上界uan和uw的显式公式，在存在平稳分布的情况下，可以很容易地计算出上界uan和uw。检查前一个表中的参数值，在a=0的情况下是否存在静态分布；b=3/2，a=1；b=1，但不适用于赫斯顿模型A=0和b=1/2。

我们列出了各种模型的上限U和U的值，包括Grand G的值√第3.1节末尾的vin公式（3.4）。a bαβUUGrG√v0 1/2 0.9598 18.35-- -- -- --0 1 4.502 0.09526 0.1428 2.230 12.67 7.3181 1 2.761 102.5 0.2839 2.506 16.14 7.5520 3/2 8.511e- 4.-- 0.1167 1.910 11.53 7.3431 3/2 4.599 0.1008 0.1389 2.190 11.54 7.323可以看出，过去的收益率从未积累足够的波动性信息。在所有情况下，过去和未来回报之间的依赖性都很弱。尽管我们已经在标记3.2中观察到，减少后续收益读取时间τ不会影响过去和未来收益之间互信息的上限，但过去收益和当前波动率之间互信息的上限会随着收益观察频率的增加而增加。因此，下表列出了必要的年收益率，即1/τ，以从收益率中获得足够的关于波动性的信息，而不是断言每日收益率没有产生足够的关于其波动性的信息。a、 b 0、1 1、1 0、3/2 1、3/21/τ6.62 e6 6.08 e6 1.32 e7 7.24 e6在所有情况下，我们都需要每两秒或三秒引用一次的返回数据。4.2指数Ornstein-Uhlenbeck过程4.2.1一个因素模型另一个流行的均值回复模型是[21]dSt=STMEVTDWTDDVT=-γvtdt+κdWt。该过程是一个Ornstein-Uhlenbeck过程。初始条件为visp（vτ| v）=s2γ2πκ（1）的相应fokkerplank方程的解- e-2γτ）e-γκ（vτ-ve公司-γτ）1- e-2γτ，（4.5），即平均值为ve的正态分布-γτ和方差κ2γ1.- e-2γτ.Ornstein-Uhlenbeck过程具有平稳分布ρ（v）=rγπκe-γv/κ，即均值为0，方差为κ2γ的正态分布。（4.6）推论4.10。我们有i（vτ：v）=-日志1.- e-2γτI（rτ：v）≤2γκ证明。因为我们知道解析表达式Eq。

（4.5）对于转移概率，我们可以通过示例2.1在没有代理3.1的情况下精确计算互信息I（vτ：v）。I（vτ：v）=h（vτ）- h（vτ| v）=对数πeκγ-πe1.- e-2γτκγ= -日志1.- e-2γτ此外，如果我们设置ρ（v）=e-对于某些常数Z，我们得到V（V）=γκV+zf，因此V′（V）=2γκ。因此，平稳分布满足λ=2γκ的对数Sobolev不等式，我们从定理3.5I（rτ：v）得到≤2λZddvlog mevdρ（v）=κ2γ。从[21]中，我们获得了τ=1天时p参数值γ=1.82 e的平均值- 3天-1κ=1.4 e- 2天-1ρ=-0.4 m=1.5 e- 3天-其中ρdt=dWtdWt。推论4.10和定理3.4和3.5分别为yieldI（mevτ：rττ-nτ）≤ I（vτ：v）+I（rτ：vτ| v）=-日志1.- e-2γτ-日志（1- ρ） =2.9andI（rτ：rττ-nτ）≤ I（rτ：v）≤2γκ=3.85。互信息I（rτ：v）的界很弱。因此，我们对互信息进行了数值计算。我们从示例2.1I（rτ：v）=h（rτ）- h（rτ| v）（4.7）=h（rτ）+Zp（rτ| v）log p（rτ| v）drτdρ（v）=h（rτ）-兹洛格2πeme2vdρ（v）=h（rτ）-log（2πem）=0.86，其中熵h（rτ）通过数值计算得出，rτisp（rτ）=Zp（rτ| v）ρ（v）dv=Z√2πme2ve-rτ2me2vrγπκe-γv/κdv。（4.8）由于我们处理的是每日收益，因此我们计算出引用收益和波动率所需的必要信息Grand Gmev，精度高达0.01%，如公式（3.5）所示，并获得Gr=logσfσM= 日志meκ4γσM= 6.0和GMEV=h（v）+Zlog（mev）dρ（v）+log（252）-日志2πeσM=日志2πeκ2γ+ 对数（m）+对数（252）-日志2πeσM= 日志κ√2γσM+ 对数（m）+对数（252）=7.5，σm=-我们在下表中总结了我们的结果。

如前所述，ude注意到互信息I的上界（mevτ：rττ-nτ）和u对于交互信息I（rτ：rττ-nτ）。UUGrGmev2.9 0.86 6.0 7.5与之前的模型一样，从股票数据估计指数Ornstein-Uhlenbeck设置的波动性几乎是不可能的。同样，在该模型中，收益仅弱相关。为了获得所需的波动率精度，我们每天需要至少9995个回报，即，我们需要n个早期第二报价回报。4.2.2双因素模型正如我们现在所示，在多因素模型的情况下，情况不会改善。在【1】中，上述模型的双因素版本，即dSt=Stmev1，t+v2，tdWtdv1，t=-γv1，tdt+κdWtdv2，t=-定义γv2、tdt+κdwt，并与上述单因素模型进行比较。本文假设所有布朗运动都是独立的，为了简单起见，我们也采用了独立的布朗运动。关于信息计算，在考虑多因素模型时，会出现两种复杂情况：o近似vt=（v1，t，v2，t）和rtt之间的信息-nτbyI（vt：rtt-nτ）≤ I（vt：vt-τ） +I（vt:rt | vt-τ） 与道具相同。3.2会夸大实际信息，因为回报不直接取决于v1和v2，而仅通过v1和t+v2之和，从而导致信息丢失虽然二维过程vt是马尔可夫过程，但波动过程σt=mev1，t+v2，t不再是这种情况。因此，我们需要从Pr op中求出t的界。3.2为了在I上获得更紧的界（σt:rtt-nτ）这是我们的主要兴趣。幸运的是，指数Ornstein-Uhlenbeck模型是完全可处理的，即使wt=v1，t+v2，它不是马尔可夫的，它仍然是一个高斯过程，具有平稳方差σw=κ2γ+κ2γ和协方差cw，n=κ2γe-γnτ+κ2γe-γnτ介于wt和wt+nτ之间。

特别是，我们可以根据wt计算wt的条件分布-τt-nτ和相互信息I（wt:wt-τt-nτ）=I（σt：σt-τt-nτ）。提案4.11。I（σt:rtt-nτ）≤ I（重量：重量-τt-nτ）证明。我们可以将信息绑定如下：I（σt:rtt-nτ）=I（wt:rtt-nτ）≤ I（重量：重量-τt-nτ，rtt-nτ）=I（wt:wt-τt-nτ）+I（wt:rtt-nτ| wt-τt-nτ）=I（wt:wt-τt-nτ）+I（重量：rt-τt-nτ| wt-τt-nτ）+I（wt:rt | wt-τt-nτ，rt-τt-nτ）=I（wt:wt-τt-nτ）+I（wt:rt | wt-τt-nτ）其中我们使用了wt⊥⊥ rt公司-τt-nτ| wt-τt-nτ，即当整个历史wt-τt-nτ可用。注意，由于我们假设没有杠杆效应，即ρ=ρ=0，最后一项消失。因此，我们只剩下基于高斯过程信息结构的界。表1包含信息I的数值（wt:wt-τt-nτ）使用[1]中的参数：m=2.32 e- 3天-γ=2.02 e- 2天-1κ=4.13 e- 3天-1γ=1.43天-1κ=4.14 e- 2天-1根据每年257个交易日的惯例，所有参数已转换为每日单位。为了便于说明，我们选择了加拿大美元汇率上的参数值，因为这些参数值会产生最大的信息值。历史长度n1 2 3 4 5 10 100I（σt:rtt-nτ）0.778 0.819 0.835 0.842 0.845 0.847 0.847表1:observingreturns rtt时关于波动性的互信息上限（在NAT中）-nτ。最后，当我们计算等式（4.7）中单因子模式的互信息I（rτ：v）时，我们在samemanner中计算互信息I（rτ：w），w=v1,0+v2,0，即数值。我们继续用vby和方差κ2γ乘以κ2γ+κ2γ信息公式（4.8），得到值i（rτ：w）=0.093。如前所述，我们计算公式中所需的信息Grand Gmewas。

（3.5），再次使用带有日单位的参数，并获得GR=logσfσM= 日志meκ4γ+κ4γσM= 4.6和gmew=h（w）+Zlog（mew）dρ（w）+log（252）-日志2πeσM=日志κ2γ+κ2γσM+ log（m）+log（252）=6.2其中σm=-这里，与单因素模型相比，当观察到长期历史时，信息的界限会增加。然而，与上述单因素模型相比，与所需信息相关的信息值要小得多，信息在大约10天后基本饱和。如【1】中所述，双因素模型通过利用过程v1、v2和t的两个非常不同的时间尺度改进了单因素模型。特别是，其中一个过程捕获挥发性的快速和瞬时变化，而另一个模型捕获长期依赖性。特别是瞬态过程大大降低了波动过程的时间依赖性。因此，如果对双因素模型性质的研究总体上成立，即跨资产类别，那么如果它们提供的关于隐藏波动过程的信息比其潜在错误的单因素相关信息更少，我们也不会感到惊讶。5结论我们建立了一个一般信息理论框架，用以估计随机波动率模型中，当从股票数据推断时，h idden波动率的不确定性。该框架还允许量化这些模型中子序列收益之间的依赖关系。在单因素模型中，报价波动率高达0.01%通常需要至少二次报价回报时间序列。即使如此，只有我们为过去收益率和当前波动率之间的相互信息所确定的上界，才能弥合等式（3.4）中计算的信息差距，而不一定是实际的相互信息本身。考虑双因素模型时，情况并未改善。

相反，正如我们在一个双因素组合的Ornstein-Uhlenbeck模型中所显示的那样，从回报数据中可以恢复的潜在波动性信息甚至更少。原因是实际波动率是一个高度变化的过程，更灵活的双因素模型可以更好地捕捉到这一点。因此，瞬时波动率的估计不能超过十天的回报数据。我们注意到，这些结果也适用于预测波动性，即大约十天后，最好的预测仅基于平稳分布。波动性估计的高内在不确定性使人们对基于预测性能比较波动性模型的标准实践产生了怀疑。至少，要获得关于不同模型相对性能的可靠且重要的声明，需要非常小心。据我们所知，这一点在文献中没有讨论过，更不用说以严格和定量的方式进行研究了。在此，我们证明，我们的信息理论框架非常适合解决这一问题，并得出精确的数据要求，例如，在第二分辨率下返回s，以获得可靠的波动率估计。从技术角度来看，值得注意的是，我们在定理3.5中通过对数Sobolevinequality推导出的过去收益和未来收益之间交互信息的上界。推导这样一个不等式本身就很有趣，因为通常很难推导出互信息的上界，因为它捕获了两个随机变量之间的所有依赖关系，因此比相关性更难处理。