具有预算约束的均值回复投资组合设计

2022-5-31 01:36:08

提交的论文1平均回报投资组合设计与IEEE学生成员赵子平（BudgetConstraintZhiping Zhao）和IEEE研究员Daniel P.Palomar（Daniel P.Palomar）摘要本文考虑了金融市场统计套利产生的平均回报投资组合设计问题。我们首先提出了一个通用问题公式，旨在通过优化表征平均回归强度的平均回归标准，并考虑投资组合的差异和投资预算约束，确定基础组成资产的投资组合。然后在一般公式的基础上考虑了几个具体问题，并提出了有效的算法。综合数据和市场数据的数值结果表明，我们提出的均值回复投资组合设计方法能够产生一致的结果，并优于传统设计方法和文献中的基准方法。指数术语投资组合优化、均值回归、协整、成对交易、统计套利、算法交易、定量交易。一、简介配对交易（Pairs trading）是一种著名的交易策略，由科学家格里·班贝格（Gerry Bamberger）和大卫·肖（David Shaw）以及由摩根士丹利（Morgan Stanley）NunzioTartaglia领导的定量交易集团在20世纪80年代中期率先提出。正如名称所示，这是一种同时关注一对资产的投资策略。采用这种策略的投资者或套利者不需要预测一对资产中每一项资产的绝对价格，这在本质上很难评估，但只需要预测这对资产的相对价格。作为一种反向投资策略，为了从市场上套利，投资者需要购买定价过低的资产，卖空定价过高的资产。

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2022-5-31 01:36:13

然后，当相对错误定价在未来自行纠正时，交易头寸解除后，利润就会锁定。更一般而言，只有两个交易资产的配对交易属于统计套利的范畴[7]，[8]，其中基本交易篮子通常由三个或更多资产组成。由于此类套利策略的收益不取决于一般金融市场的走势和条件，因此统计套利被称为一种市场中性策略[9]、[10]。如今，金融市场中的机构投资者、对冲基金公司和许多个人投资者广泛使用statisticalarbitrage。在【11】、【12】中，作者首先提出了协整的概念，以描述潜在非平稳时间的线性平稳和亨氏平均回复关系。作者是香港九龙清水湾香港科技大学（HKUST）电子与计算机工程系的成员（电子邮件：ziping）。zhao@connect.ust.hk；palomar@ust.hk)。本文的部分结果在[1]中作了初步介绍。被命名为协整的序列。后来，提出了协整向量自回归模型[13]–[17]来描述协整关系。经验和技术分析[18]–[21]表明，协整可以用来获得统计套利机会，这种关系在金融市场中确实存在。以普通股价格为例，众所周知，股价被观察并建模为非平稳随机游走过程，很难有效预测。

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2022-5-31 01:36:16

然而，同一金融部门或行业中的公司通常具有相似的基本特征，那么它们的股价可能会在相同的趋势下相互变动，基于此可以建立协整关系。两个例子是美国两家著名消费主食公司可口可乐（Coca-Cola）和百事可乐（PepsiCo）的股价，以及两家能源公司Ensco和Noble Corporation的股价。其他金融资产的一些例子包括E-mini标准普尔500指数和E-mini道琼斯指数的未来合约价格、SPDR标准普尔500指数和SPDR DJIA指数的ETF价格、不同国家的美元汇率以及不同到期日的美国利率。均值回归是金融市场可预测性的经典指标，用于获得套利机会。协整关系中的资产可用于形成资产组合或篮子，并根据其平稳均值回归特性进行交易。我们将这种设计的投资组合或基础资产组合称为均值回复投资组合（MRP），有时也称为“利差”的多空投资组合。价格自然表现出平稳性的资产也是价差。统计套利的好处直接来自于围绕长期均衡的利差均值回归交易。在实践中，MRP通常使用启发式或统计方法构建。传统的统计协整估计方法有Engle-GrangerNormal最小二乘法（OLS）[12]和基于Johansenmodel的方法[14]。在实践中，不同的MRP之间可能存在内在的相关性。然而，当有多个MRP时，它们通常被单独交易，而忽略了可能的连接。因此，一个自然而有趣的问题是，我们是否可以根据潜在利差设计出一个优化的MRP，该利差可能会跑赢每一个利差。

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2022-5-31 01:36:19

在本文中，这一问题得到了明确的解决。通过选择各种资产的比例来设计一个MRP通常是一个投资组合优化或资产配置问题[22]。如今，投资组合优化被认为是投资组合管理以及数学交易的重要组成部分。1952年，马科维茨（Markowitz）的开创性论文【23】奠定了现在普遍重新提交的论文2的基础，即均值-方差投资组合优化和现代投资组合理论。给定一组金融资产，传统的均值-方差投资组合设计问题的目的是在预期收益和方差衡量的风险之间找到折衷。与均值-方差投资组合设计的要求不同，为了设计均值回复投资组合，需要考虑两个主要因素：i）设计的MRP应表现出强烈的均值回复，表明其应具有频繁的均值交叉点，从而带来交易机会，ii）设计的DRP应显示出充分但受控的方差，以便每笔交易都能提供足够的收益，同时控制被认为的平均回归平衡下降的概率。在【24】中，作者首次提出通过优化表征平均回复强度的标准来设计MRP，这是一种无模型方法。后来，文献[25]中的作者意识到，解决文献[24]中的问题可能会得到方差非常低的投资组合，然后考虑方差控制，并为MRP设计问题提出了表征均值回归特性的新标准。在【24】，【25】中，使用半有限规划（SDP）松弛方法来解决非凸问题公式；然而，这些方法通常计算成本很高。

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2022-5-31 01:36:23

除此之外，【24】、【25】中的设计方法都是通过施加l-投资组合权重的范数约束。该约束为优化问题带来了数学上的便利，但其在金融应用中的实际意义值得怀疑，因为l规范在金融环境中没有意义。在本文中，我们建议在设计问题中使用投资预算约束。本文的贡献可以总结如下。首先，提出了MRP设计问题的一般问题公式，在此基础上，考虑不同的均值回归准则，详细阐述了几个具体问题公式。其次，考虑了两类常用的投资预算约束对投资组合权重的影响，即美元中性约束和净预算约束。第三，对所提出的问题公式提出了有效的算法，结果表明，通过求解著名的广义特征值问题（GEVP）和广义信赖域子问题（GTR），可以很容易地解决重新公式化后的一些问题。基于优化最小化（MM）框架，通过求解一系列GEVP和GTRSs，可以轻松解决其他问题，这两个问题分别被称为迭代加权广义特征值问题（IRGEVP）和迭代加权广义信赖域子问题（IRGTRS）。还提出了在每次迭代中具有闭式解的IRGEVP的一个扩展，称为EIRGEVP（extended IRGEVP）。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了均值回复投资组合的设计。在第三节中，我们给出了MRP的一些均值回复准则，并提出了MRP设计问题的一般公式以及两种常用的投资预算约束。第四节制定了GEVP和全球技术法规的解决方法。

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2022-5-31 01:36:26

第五节阐述了MM框架和基于MM的求解算法。第六节对所提出算法的性能进行了数值评估，最后，第七节给出了结论。表示法：黑体大写字母表示矩阵，黑体小写字母表示列向量，斜体数字标量。符号1和I分别表示大小适当的全一列向量和单位矩阵。R表示实数，R+表示正实数，RN表示N维实向量空间。Ndenotes自然领域。Z表示整数圈，Z+表示正整数。sk表示K×K维对称矩阵。上标（·）和（·）-1分别取消矩阵转置和逆运算符。由于非奇异矩阵的逆变换和转置，上标（·）-Tdenotes thematrix reverse and transpose操作符。xi，jdenotes是矩阵X的（第i个，第j个）元素，xidenotes是向量X的第i个元素。Tr（·）表示矩阵的迹。vec（·）表示矩阵的向量化，即vec（X）是由X的所有列叠加而成的列向量。表示两个矩阵的克罗内克积。二、金融资产的均值回复投资组合（MRP），例如普通股、期货合约、ETF或其组合，其在时间指数或持有期t的价格∈ Z+用pt表示∈ R+，以及相应的对数价格或对数价格yt∈ R的计算公式为yt=对数（pt），其中lo g（·）是自然对数。如果我们考虑一篮子中的M资产集合，其原木价格可以相应地表示为yt=[y1，t，y2，t，…，yM，t]t∈ RM。根据这一篮子，相应地由投资组合权重或对冲比率确定的MRPI=[ws，1，ws，2。

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2022-5-31 01:36:29

，ws，M]T∈ RMand its（对数价格）价差定义为st=wTsyt=PMm=1ws，mym，t。VectorWS表示投资于基础资产的市场价值比例。对于m=1，2，M、 ws，M>0，ws，M<0，ws，M=0分别表示多头头寸（即资产被购买）、空头头寸（即资产被卖空，或者更明确地说，借入和出售）和无头寸。图1给出了设计MRP的价差以及两种基础资产的原木价格。值得注意的是，MRP可以解释为综合固定资产。因此，价差是指其原木价格，该原木价格可以更容易预测，并且可以通过与本MRP中的基础组成资产的比较来获利。假设存在N个MRP，其价差由st=[s1，t，s2，t，…，sN，t]t表示∈ 注册护士。不同的分布在本质上可能具有不同的均值回归和方差特性。我们的目标是设计一个MRP，将这些价差组合成具有更好属性的改进的整体价差。特别是，我们用w=[w，w，…，wN]T表示投资组合∈ RN，其中w表示市场价值。如果利差是基于资产价格p而不是对数价格设计的，则ws表示以股份计量的资产金额比例。提交的论文3-2yyTime index0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 240 260 280 300-1y-0.8yFig。两项资产和一个设计价差的原木价格示例。关于潜在利差。由此产生的总体利差由zt=wTst=NXn=1wnsn，t.（1）III.MRP设计问题公式传统的投资组合设计问题基于诺贝尔奖获得者马科维茨投资组合理论[23]、[26]–[28]。其目的是在回报和风险之间找到理想的权衡，后者传统上是通过方差来衡量的，或者更复杂的方式是通过风险价值和条件风险价值来衡量的。

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2022-5-31 01:36:33

最近提出的风险平价投资组合【29】–【31】也可以归类为该设计问题。对于均值回复投资组合，我们可以通过优化一些均值回复准则来描述设计问题，这些准则包括抑制利差zt的均值回复强度，同时控制其方差并施加投资预算约束。A、均值回复准则在本节中，我们介绍了几种均值回复准则，它们可以表征设计价差zt的均值回复强度。我们首先确定随机过程的第i阶（lag-i）自协方差矩阵，stasMi=Cov（st，st+i）=Eh（st- E【st】（st+i- E[st+i]）Ti，（2）其中i∈ N、具体而言，当i=0时，Ms表示yt的（正定义）协方差矩阵。因为对于任何随机过程st，我们都可以得到它的centeredparter▄stas▄st=st- 在下面，我们将使用st表示其中心形式st.1）可预测性统计prez（w）：考虑一个中心单变量平稳自回归过程，如下所示：zt=^zt-1+t，（3）其中^zt-1是基于截至时间t的信息对ZT的预测- 1，且t表示与^zt无关的白噪声-1、可预测性统计数据[32]定义为asprez=σ^zσz，（4），其中σz=Ezt公司σ^z=E^zt-1.. 如果我们定义σ=Et, 然后从（4）中，我们可以在分离器中得到σz=σ^z+σ。当Prezi较小时，tdominatesthat^zt的方差-1，zt的行为类似于白噪声；当prezislarge时，^zt的方差-1主导了t，并且可以通过^zt很好地预测zt-1.

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2022-5-31 01:36:37

可预测性统计通常用来衡量随机过程与白噪声的接近程度。在此准则下，为了设计尽可能接近白噪声过程的扩展zt，我们需要最小化prez。对于价差zt=wTst，我们假设价差遵循1阶中心向量自回归模型（VAR（1）），如下所示：st=Ast-1+et，（5），其中A是自回归系数，et表示与st无关的白色噪声-1、我们可以从自相关矩阵中得到A=MM-1、乘（5）byw并进一步定义^zt-1=wTAst-1和t=wTet，我们可以得到σz=wTMw和σ^z=wTTw，其中t=AMAT=MM-1公吨。p>1的高阶模型VAR（p）可以通过适当的参数化，轻松地重新表示为VAR（1）[33]。然后，ZT的可预测性系统统计估计量计算为asprez（w）=wTTwwTMw。（6） 2）Portmanteau Statistics porz（p，w）：对于中心单变量平稳过程，p阶Portmanteau Statistics定义为porz（p）=TpXi=1ρi，（7），其中ρi是定义为ρi=E[ztzt+i]E[zt]的第i阶自相关（lag i的自相关）。portmanteau统计量用于测试随机过程是否接近白噪声。根据上述定义，我们得到了porz（p）≥ 0，而porz（p）的最小值是通过白噪声过程获得的，即，对于任何p，白噪声过程的portmanteau统计量都是0。在这个标准下，为了得到接近白噪声过程的扩展zt，我们需要将特定阶次p的porz（p）最小化。对于MRP zt=wTst，第i阶自相关由ρi=e[ztzt+i]e[zt]=wTE给出stsTt+iwwTE公司stsTt公司w=wTMiwwTMw。（8）然后我们可以得到p orz（p，w）asporz（p，w）=TpXi=1的表达式wTMiwwTMw.

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2022-5-31 01:36:40

（9）提交的论文43）交叉统计croz（w）和惩罚交叉统计pcroz（p，w）：中心单变量平稳过程的交叉统计（零交叉率）ztis定义为ascroz=T- 1E“TXt=2{ztzt-1.≤0}#，（10），其中1E（zt）是定义为1E（zt）=（1，如果zt∈ E0，若为zt/∈ E、这里的事件是E={ztzt-1.≤ 0}。交叉统计用于测试平稳过程与单位时间平均值交叉的概率，很容易注意到croz∈ [0，1]。根据[35]，[36]，对于中心平稳高斯过程zt，我们有以下关系：croz=πarccos（ρ）。（11）备注1。作为特例，如果zt是中心平稳ar（1），则zt=φzt-1+t，（12）其中|φ|<1且是高斯白噪声，则φ=ρ，因此交叉统计为croz=πarccos（φ）。使用该准则，为了获得具有manyzero交叉点的扩展Zt，而不是直接最大化croz，我们可以最小化ρ。对于扩展zt=wTst，我们可以尝试最小化（8）中给出的zt的一阶自相关。在文献[25]中，除了将一阶自相关最小化外，还建议确保高阶ρi | s（i=2，…，p）的绝对自相关同时很小，这会导致良好的性能。在本文中，我们也采用了这一标准，并将其称为Pcroz（p，w）=WTMWtmw+ηpXi=2定义的顺序p的惩罚交叉统计wTMiwwTMw, （13）式中，η是一个正的预先指定惩罚因子。B

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2022-5-31 01:36:43

一般MRP设计问题公式MRP设计问题被公式化为均值回归准则的优化，通常表示为Fz（w），可以被视为前面提到的任何准则。该统一标准可以写成紧凑形式，即：asFz（w）=ξwTHwwTMw+ζwTMwwTMw+ ηPpi=2wTMiwwTMw,（14）具体化为i）prez（w），当ξ=1，H=T，ζ=η=0时；ii）porz（p，w），当ξ=0，ζ=η=1时；iii）croz（w），当ξ=1，H=M，ζ=η=0时；和iv）pcroz（p，w），当ξ=1，H=M，ζ=0，η>0时。假设（14）中的矩阵Mis是对称的，不会失去一般性，因为它们可以对称化。价差的方差也应控制在一定的水平上，可以用Var表示wTst公司=wTMw=ν。由于此方差约束，可以删除Fz（w）的分母。用W表示组合投资预算约束，一般MRP设计问题可表示为：mininizewξwTHw+ζwTMw+ ηPpi=2wTMiw公司以wTMw=νw为准∈ W、（15）其中，目标函数在下面用fz（W）表示。由于目标函数和约束集的非凸性，（15）中的问题是一个非凸问题。C、投资预算约束在投资组合优化中，通常会施加约束来代表特定的投资指南。在本文中，我们使用W来表示它，并重点讨论了两种类型的预算约束：美元中性约束和净预算约束。美元中性约束，用W表示，表示净投资或净投资组合头寸为零；换句话说，所有多头头寸都是由空头头寸融资的，通常称为自我融资。它在数学上表示为=Tw=0.

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2022-5-31 01:36:46

（16）净预算约束，用W表示，意味着净投资或净投资组合头寸不为零，等于当前预算，该预算标准化为1。它以数学方式表示为byW=Tw=1. （17）值得注意的是，对于WTYTAND定义的两个交易利差-当然，它们是一样的，因为不稳定套利-实际投资不仅取决于确定利差的W，还取决于交易中该利差的多头头寸还是空头头寸。四、通过GEVP和GTRS算法的问题解决算法本节介绍了使用prez（w）和croz（w）（即，ζ=η=0的（15））解决MRP设计问题公式的方法。A、基于prez（w）和croz（w）和w的MRP设计的GEVP求解算法∈ wf为了符号的简单性，我们通常用矩阵H表示矩阵T inprez（w）和Min croz（w），并将问题转化为如下：最小化wwthw受wTMw=νTw=0，（18）美元中性约束通常不能用传统的设计方法来满足，如[12]和[14]中的方法，以及[25]中的方法。在净预算约束下，净投资组合头寸可以是正的，也可以是负的。由于（15）中的问题公式对w的符号是不变的，因此只考虑预算归一化为正1的情况。提交的论文5，其中ν为正常数。上述问题等效于以下非凸二次约束二次规划（QCQP）[37]公式：最小化加权服从wTMw=νwTEw=0，（19），其中E=11T。通过使用矩阵提升技术，即定义W=wwT，上述问题可以通过以下凸SDP松弛问题来解决：最小化EWTR（HW），Tr（MW）=νTr（EW）=0W 以下定理给出了变量数量和等式约束数量之间的有用关系。定理2（[38，定理3.2]）。

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2022-5-31 01:36:49

给出一个可分SDP，如下所示：minimizeX，。。。，XLPLl=1Tr（AlXl）主题toPLl=1Tr（BmlXl）=bm，m=1，MXl公司 0，l=1，五十、（21）假设可分SDP是严格可行的。然后，问题总是有一个最优解（X, . . . , 十、五十）这样的LXL=1[秩（Xl） ]≤ M、注意，如果只有一个变量X，也就是说，L=1，我们可以得到秩（X) ≤√M、此外，如果约束数M≤ 3，秩1解总是可以得到的。引理3。（18）或（19）中的非凸问题具有无度间隙。证明：这个引理直接来自定理2以及问题（18）和（19）的等价性。换言之，通过求解（20）中的凸SDP，始终存在W的秩-1解，这是原始问题（18）的解，然而，在实践中，为了找到此类解，应采用秩缩减方法，这可能会导致计算成本高昂。作为上述SDP程序的替代方法，我们发现（18）中的问题可以通过重新计算有效地作为广义特征值问题（GEVP）[40]解决。考虑到w=Fx，其中F是跨越1T的零空间的内核，即1TF=0，并且还需要半幺正，即FTF=i，我们可以定义N=FTHF和N=FTMF，这是正定义，那么问题（18）等价于以下问题：minimizextnx受制于xTNx=ν，（22），这仍然是非凸QCQP。然而，这个问题成为了经典的GEVP问题，可以使用定制的算法轻松解决。在这里，我们将应用最速下降算法来解决这个问题。

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2022-5-31 01:36:52

算法1总结了解决问题（18）的步骤。算法1 GEVP-MRP设计问题的算法使用prez（w）和croz（w）和w∈ W、要求：N、N和ν>0.1：设置k=0，然后选择x（k）∈x:xTNx=ν;2：重复3：计算Rx（k）= x（k）TNx（k）/x（k）TNx（k）；4：计算d（k）=Nx（k）- Rx（k）Nx（k）；5： x=x（k）+τd（k），τ选择最小化x（k）+τd（k）;6： x（k+1）=√νx/pxTNx；7： k=k+1；8：直到收敛b。GTRS-使用prez（w）和croz（w）和w的MRP设计求解算法∈ 之前，为了一般性，我们将prez（w）中的矩阵T和Min-croz（w）表示为H。然后，可以将问题重写为最小wwthw，前提是wTMw=νTw=1，（23），其中ν是一个正常数。如前所述，将约束1Tw=1重写为wTEw=1（因为问题与w中的符号变化有关），并使用矩阵提升技术，可以通过以下凸SDP问题来解决（23）中的问题：最小化wtr（HW）服从Tr（MW）=νTr（EW）=1W 与之前一样，（23）中的非凸问题没有对偶映射。除了上述SDP方法外，我们还通过将（23）重新表述为代理化信赖域子问题（GTR）来引入一种有效的解决方法【42】。考虑w=w+Fx，其中w是任何满足1Tw=1且F是满足1TF=0且满足FTF=I的半幺正矩阵的核。让我们定义N=FTHF，p=FTHw，b=wTHw，N=FTMF为正有限，p=FTMw，b=wTMw，那么（23）中的问题等价于以下问题：最小化xTNx+2pTx+b服从xTNx+2pTx+b=ν，（25）这是一个非凸QCQP，这种类型的QCQP被专门命名为GTRSs。这类问题通常是非凸的，但具有必要和充分的最优性条件，据此可以导出有效的求解方法。我们首先介绍以下有用的定理。提交的论文6定理4（【42，定理3.2】）。

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大多数88

2022-5-31 01:36:55

考虑以下QCQP：minimizexq（x），xTAx+2aTx+A受c（x）约束，xTBx+2 bTx+b=0。（26）假设约束集c（x）是非空的，并且c（x）=2 B 6=0。向量x是问题（26）的全局极小值和一个乘数ξ当且仅当满足以下条件时：q（x）) + ξc（x) = 0c（x) = 0q（x）) + ξc（x) 0，由i={ξ| A+ξB定义的区间集 0}不为空。根据定理4，主变量和对偶变量（x）的最优性条件, ξ) 问题（25）如下所示：（N+ξ）N） x个+ p+ξp=0xTNx公司+ 2pTx+ b- ν=0N+ξN 0。（27）我们假设N+ξN 0，那么我们可以看到最优解是由x（ξ）=-（N+ξN）-1（p+ξp），（28）和ξ是以下方程的唯一解，定义为区间I：φ（ξ）=0，ξ∈ 一、（29）其中函数φ（ξ）由φ（ξ）=x（ξ）TNx（ξ）+2pTx（ξ）+b定义- ν、（30）区间I由所有ξ组成，其中N+ξN 0，表示i=(-λmin（N，N），∞) , （31）其中λmin（N，N）是矩阵对（N，N）的最小广义特征值。定理5（【42，定理5.2】）。假设I不是空的，那么函数φ（ξ）在I上严格递减，除非x（ξ）在I上是常数。实际上，x（ξ）在I上是常数的情况不会发生。因此，从定理（5）中，我们知道当φ（ξ）在I上严格递减时，可以使用一种简单的线搜索算法（如分段算法）来查找I上的最优ξ。算法2总结了问题（23）的算法。极限情况N+ξNbeing奇异（即ξ=-λmin（N，N））可单独处理。

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2022-5-31 01:36:58

这里的假设是合理的，因为ξ=-λmin（N，N）在理论和实践上都很少见。算法2全球技术法规-MRP设计问题的算法使用prez（w）和croz（w）和w∈ W、要求：N，N，p，p，b，λmin（N，N），且ν>0.1：设置k=0，并选择ξ（k）∈ (-（N，N），∞);2：重复3：计算φξ（k）根据（30）；4：根据φ值更新ξ（k+1）ξ（k）采用aline搜索算法；5： k=k+1；6：直到收敛7：根据（28）计算x。五、通过优化-最小化方法解决问题的算法在本节中，我们首先讨论优化-最小化或最小化-最大化（MM）方法，然后使用porz（p，w）（即，（15）ξ=0和ζ=η=1）和pcroz（p，w）（即，（15）ξ=1，H=M）解决MRP设计问题公式的算法，ζ=0和η>0）是基于MMframework和上一节提到的GEVP和GTRS算法推导出来的。A、 MM方法MM方法【43】–【45】指的是最大化最小化或最小化最大化，这是著名的期望最大化（EM）算法的推广。MM背后的思想是，它解决了一系列简单的代理子问题，而不是处理可能难以直接跟踪的原始优化问题。假设优化问题是最小的exf（x）服从x∈ 十、（32）其中约束集X 注册护士。一般来说，对于f（x）上的凸性和可微性没有任何假设。MM方法旨在通过优化一系列代理函数来解决这个问题，这些代理函数将目标函数f（x）优化到集合x上。

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2022-5-31 01:37:01

更具体地说，从初始可行点x（0）开始，该算法生成一个序列x（k）根据以下更新规则：x（k+1）∈ arg minx∈徐x、 x（k）, （33）其中x（k）是第k次迭代时更新规则生成的点，代理函数ux、 x（k）是点x（k）处f（x）的相应优化函数。如果误差函数满足以下性质，则称为点x（k）处f（x）的优化函数：ux、 x（k）≥ f（x），x个∈ 十、 u型x（k），x（k）= fx（k）.（34）也就是说，代理函数ux、 x（k）应为原始函数f（x）在x上的上界，并与点x（k）处的f（x）重合。虽然u的定义x、 x（k）提交的论文7为我们选择它提供了很大的灵活性，在实践中，代理函数ux、 x（k）必须正确选择，以使（33）中的迭代更新易于计算，同时保持迭代的快速收敛。MM方法迭代运行，直到满足某种收敛标准。在这种MM方法下，目标函数值在每次迭代中单调递减，即fx（k+1）≤ ux（k+1），x（k）≤ ux（k），x（k）= fx（k）.（35）第一个不等式和第三个等式分别来自（34）中的优化函数的第一和第二个属性，第二个不等式来自（33）。B、 IRGEVP和IRGTRS-使用porz（p，w）和pcroz（p，w）的MRP设计求解算法我们在一般公式中使用porz（p，w）和pcroz（p，w）重写问题如下：minimizewξwTMw+ζwTMw+ηPpi=2wTMiw公司以wTMw=νw为准∈ W、（36）如果特定的投资组合权重约束由W隐式替代。要通过优化最小化来解决（36）中的问题，关键步骤是找到目标函数的优化函数，以便优化子问题易于解决。

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2022-5-31 01:37:05

观察目标函数在w中是四次函数。以下数学操作是必要的。我们首先计算M=LLT的Cholesky分解，其中L是具有正对角元素的下三角形。让我们定义“w=LTw，”“Mi=L”-1英里-T、和“W=”W“wT。投资组合权重集W在线性变换L下映射到“W”。然后问题（36）可以写成最小化“W”，WξTr“米”W+ ζTr公司“米”W+ηPpi=1Tr公司“Mi”W受制于“W=”W“wT”W=ν”W∈自Tr以来的W.（37）“Mi”W= vec公司\'英里Tvec公司\'\'W（回想一下对称的Mis区域），问题（36）可以重新表述为最小化“w”，wξvec\'MTvec公司\'\'W+ vec公司\'\'WT'Mvec\'\'W受制于“W=”W“wT”W=ν”W∈W，（38），其中在目标函数中M=ζvec\'Mvec公司\'MT+ηPpi=2vec\'英里vec公司\'英里T、（39）具体而言，我们可以将portmanteaustatistics porz（p，w）（即ζ=1和η=1）和惩罚交叉统计pcroz（p，w）（即ζ=0和η>0）的表达式如下：(R)Mporz=Ppi=1vec\'英里vec公司\'英里T=（L L）-1Ppi=1vec（Mi）·vec（Mi）T（L L）-T'Mpcroz=ηPpi=2vec\'英里vec公司“米T=η（L L）-1Ppi=2vec（Mi）·vec（Mi）T（L L）-T、（40）现在，（38）中的目标函数是‘W’的二次函数，然而，由于rank1约束‘W=’W’wT，这个问题仍然很难解决。然后，我们基于以下简单结果考虑在这个问题（38）上应用MM技巧。引理6（[41，引理1]）。让A∈ SKA和B∈ SKsuchthat B公司 A、然后对于任意点x∈ RK，二次函数xTAx主要由xTBx+2xT（A- B） x+xT（B- A） xat x.根据引理6，在第k次迭代时给定W（k），我们知道问题（38）的目标函数的第二部分在W（k）处由以下优化函数优化：u\'W，\'W（k）= ψ\'Mvec公司\'\'WTvec公司\'\'W+2vec(R)W（k）T\'M- ψ\'M我vec公司\'\'W+vec公司(R)W（k）Tψ\'M我-\'Mvec公司(R)W（k）,（41）式中ψ\'M是一个依赖于M且满足ψ的标量数\'M我\'M。

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2022-5-31 01:37:08

自第一期vec起\'\'WTvec公司\'\'W=“重量”w= ν和最后一项只取决于W（k），它们只是两个常数。关于ψ的选择\'M, 根据引理6，很明显可以看到ψ\'M可轻松选择为λmax\'M=\'M. 在算法的实现中，虽然\'M整个算法只需计算一次，计算起来仍然不容易。有鉴于此，我们引入以下引理来获得ψ的更多可能性\'M这可能比较容易计算。引理7（[40]）。对于任何矩阵B∈ RP×Q，关于kBkhold的以下不等式：kBk≤kBkF=qPPi=1PQj=1 | bij|√P kBk∞=√P最大值=1，。。。，PPQj=1 | bij|√Q kBk=√Q maxj=1，。。。，QPPi=1 | bij|√P Q kBkmax=√P Q最大值=1，。。。，Pmaxj=1，。。。，Q | bij | pkBk∞kBk=r最大值=1，。。。，PPQj=1 | bij|maxj=1，。。。，QPPi=1 | bij|.提交论文8根据上述关系，ψ\'M可以选择为大于的任何数字\'M但计算起来要容易得多。在忽略（41）中的常数后，问题（38）的优化问题由最小化\'w，\'wξvec给出\'MTvec公司\'\'W+2vec(R)W（k）T\'M- ψ\'M我vec公司\'\'W受制于“W=”W“wT”W=ν”W∈\'W，（42），可进一步写为最小化\'W，\'WξTr“米”W+ 2ζTr米宽（k）Tr公司“米”W+2ηPpi=2Tr“Mi”W（k）Tr公司“Mi”W-2ψ\'MTr公司\'W（k）\'W受制于“W=”W“wT”W=ν”W∈W.（43）通过将W改回W，问题（43）将W wT H（k）wsubject最小化为W=νW∈其中，在目标函数中，H（k）定义为H（k）=ξM+2ζ“w（k）T”M“w（k）”\'M+2ηPpi=2“w（k）T”Mi“w（k）”\'英里- 2ψ\'M\'w（k）\'w（k）T。

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2022-5-31 01:37:11

最后，我们可以撤消变量“w=LTw”的更改，将最小化wwth（k）wsubject设置为wTMw=νw∈ W、（45）其中，在目标函数中，h（k）=ξM+2ζw（k）TMw（k）M+2ηPpi=2w（k）TMiw（k）密歇根州-2ψ\'MMw（k）w（k）TM。（46）更具体地说，对于portmanteau统计porz（p，w）（即ξ=0，ζ=1和η=1）和惩罚交叉统计Pcroz（p，w）（即ξ=1，ζ=0和η>0），我们有以下表达式：H（k）porz=2Ppi=1w（k）TMiw（k）密歇根州-2ψ\'MMw（k）w（k）TM，H（k）pcroz=M+2ηPpi=2w（k）TMiw（k）密歇根州-2ψ\'MMw（k）w（k）TM。（47）最后，在优化问题（44）和（45）中，目标函数在变量中变为二次函数，而在变量中变为四次函数，就像在原始问题（36）中一样。根据W的具体形式，问题（45）是前面章节中讨论的GEVP或GTRS问题。因此，为了直接处理可能很困难的原始问题（36），我们只需要迭代求解一系列GEVP或GTR。我们将这些基于MMP的算法分别称为迭代重加权GEVP（IRGEVP）和迭代重加权GTR（IRGTR），这些算法在算法3中进行了总结。算法3 IRGEVP和IRGTRS-使用porz（p，w）和pcroz（p，w）解决MRP设计问题的算法。要求：p，Mi，i=1，p、和ν>0.1：设置k=0，并选择初始值w（k）∈ W2：根据（39）和ψ计算？M\'M;3：重复4：根据（46）计算H（k）；5：通过求解（22）中的GEVP或（25）中的gtrs更新w（k+1）；6： k=k+1；7：直到收敛C。EIRGEVP-IRGEVP的扩展算法在上述基于MM的算法中，如果我们能在每次迭代中得到子问题的闭合形式解，那将是非常理想的。事实上，对于IRGEVPs，再次应用MM技巧，在每次迭代中都可以得到一个闭合形式的解。

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大多数88

2022-5-31 01:37:15

为了说明这一点，我们再次将IRGEVP的子问题（44）重写如下：minimizewwTH（k）wsubject To wTMw=νTw=0。（48）考虑到用于消除线性约束的技巧（22），我们可以得到以下等价公式：minimizextn（k）xsubject to xTNx=ν，（49），其中F和Nare的定义与之前相同；N（k）=FTH（k）F。考虑到Cholesky分解N=RRTwithR是一个具有正对角元素的下三角形，我们可以得到变量变换'x=RTx。然后问题（48）变得最小化“x”xT“N（k）”x subject为“xT”x=ν，（50），其中“N（k）=R”-1N（k）R-T、再次应用引理6，问题（50）的目标函数在'x（k）处由以下优化函数优化：u\'x，\'x（k）= ψ\'\'N（k）\'\'xT\'\'x+2\'\'N（k）- ψ\'\'N（k）我(R)x（k）T'x+'x（k）Tψ\'\'N（k）我-\'\'N（k）(R)x（k），（51），其中ψ\'\'N（k）可以使用Lemma7的结果进行选择。第一部分和最后一部分只是两个常量。请注意，尽管在推导过程中，我们两次应用了MM schemeSubmitted论文9，但它可以被视为是对w（k）处原始问题目标的直接优化。下面的引理总结了总体优化功能。引理8。对于w的问题（36）∈ W、（41）和（51）中的优化可以显示为原始问题目标函数在W（k）处的优化，该优化通过以下函数设置约束：uw、 w（k）= 2.H（k）- ψR-第1（k）页FR-TMw（k）Tw+2ψR-第1（k）页FR-Tν- w（k）TH（k）w（k）。（52）其中最后两项为常数。证明：见附录A。然后，（50）的主要问题变为最小化“xe（k）T”x subject to“xT”x=ν，（53），其中e（k）=2\'\'N（k）- ψ\'\'N（k）我\'\'x（k）表示主修（51）。通过Cauchy-Schwartz不等式，我们得到了eT'x≥-kekk？xk=-νkek，并且只有当'x和e在相反方向上对齐时，等式才成立。考虑到约束条件，我们可以得到（53）的最优解为'x=-√νekek。

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2022-5-31 01:37:20

我们将此算法称为扩展IRGEVP（EIRGEVP），在算法4中进行了总结。算法4 EIRGEVP-IRGEVP的扩展算法。要求：p，Mi，i=1，p、和ν>0.1：设置k=0，并选择初始值w（k）∈ W2：计算M和ψ\'M;3：重复4：计算N（k）和ψ\'\'N（k）;5：用闭式解更新w（k+1）；6： k=k+1；7：直到收敛vi。数值实验统计套利策略包括几个步骤，其中MRP设计是一个核心步骤。在这里，我们将整个策略分为四个连续步骤，即：资产池构建、MRP设计、单位根检验和均值反转交易。在第一步中，我们选择一组可能的综合资产候选者来构建一个资产池，本文将对此进行详细阐述。在第二步中，基于资产池中的候选资产，使用EngleGranger OLS方法[12]和Johansen方法[13]等传统设计方法或本文提出的方法设计MRP。在第三步中，采用单元根检验程序，如增广Dickey-Fuller检验[46]和Phillips-Perron检验[47]，来检验所设计MRP的平稳性或可逆性。在第四步中，通过单位根检验的MRP将根据设计的均值回归交易策略进行交易。在本节中，我们首先说明了均值回归交易策略，在此基础上，我们在第四节和第五节中使用合成数据和真实市场数据提出的RP设计方法的性能也相应显示出来。A、均值回归交易设计在本文中，我们使用了一种简单的交易策略，其中交易信号，即买入、卖出或持有，都是基于简单的事件触发器设计的。均值反转交易是在设计利差Zt上进行的，该利差被证明是单位根平稳的。

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2022-5-31 01:37:22

交易头寸（1表示的顺势头寸或1表示的空头头寸-1）表示一种投资状态，当利差ztis偏离其长期均衡uzbya预先设定的交易阈值时，该状态打开当zt超过其平衡uz时，关闭（用0表示）。（一个常见的变化是在价差超过另一个阈值后关闭位置′.) 从持仓开始到持仓结束的时间段定义为交易期。为了获得标准的交易规则，我们通过定义z引入了标准化技术- 非正态分布分数如下：~zt=zt- uzσz，（54），其中uzandσzare是实际中在样本回顾期内计算的分布zt的平均值和标准偏差。对于▄zt，E【▄zt】=0，Std【▄zt】=1。然后，我们可以确定 = d×σz，对于d的某些值（例如，d=1）。在交易阶段，根据持有期t的交易头寸和观察到的（标准化）利差值，我们可以计算下一个连续持有期t+1的交易行为。表I总结了均值回归交易策略，图2给出了基于该策略的简单交易示例-1.5σz-σz-0.5σz0.5σzσz转换时间1。2、均值回归交易策略设计的简单示例（tradingthreshold = σz）。提交的论文10表I均值回复交易策略的交易头寸、标准化利差和交易行为t标准化利差交易头寸在持有期t+1交易头寸t+1+d内采取的行动≤ ZT关闭长位置并打开短位置-10≤ zt<+d关闭长位置0zt<0无动作1+d≤ ZT打开短位置1-d<~zt<+d无动作0zt≤ -d打开一个长的位置1-10-d<zt≤ 0关闭短路位置。

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2022-5-31 01:37:25

0zt≤ -d关闭短位置，打开长位置1B。绩效衡量构建MRP后，我们需要确定设计的MRP与基础金融资产之间的关系。回想一下，设计MRP的价差为zt=wTst，其中st=[s1，t，s2，t，…，sN，t]Twith sN，t=wtsnyt，n=1，2，N、通过定义st=WTsytwith Ws=【Ws，Ws，…，wsN】，我们得到利差zt=wTpyt，其中WP=Wsw表示直接定义在基础资产上的投资组合权重。基于之前引入的均值回归交易策略和wphere定义的MRP，我们在数值实验中采用了以下性能指标。1）投资组合回报指标：在下文中，我们首先对单个资产的回报进行定义，然后讨论MRP的几种不同回报指标。对于单个资产，τ持有期的收益率或累计收益率定义为rt（τ）=pt-pt公司-τpt-τ、其中，括号中的τ表示周期长度，通常在长度为1时使用。这里，回报率rt（τ）作为回报率，用于衡量一段时间τ内一项资产投资策略的收益或损失总额（百分比）。a）盈亏（P＆L）：盈亏（P＆L）衡量在某些持有期内投资组合的盈亏金额（以美元为单位）。在一个交易期内，如果在时间to在MRP上打开多头头寸，在时间tc关闭多头头寸，则该MRP在时间t的多期损益（到≤ t型≤ tc）累计fromtois计算为P&Lt（τ）=wTprt（τ）=wTprt（t- to），其中τ=t- todenotes表示保持期的长度，rt（τ）=[r1，t（τ），r2，t（τ），…，rM，t（τ）]是返回向量。

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2022-5-31 01:37:29

更一般而言，该MRP的累积损益t为τ（0≤ τ≤ t型- to）持有期定义为asP&Lt（τ）=wTprt（t- 收件人）- wTprt公司-τ（t- τ- 至），（55），其中我们定义rt（0）=0。然后，我们计算出以P&L表示的单周期P&L（如每日P&L、每月P&L）时间t（即τ=1）为asP&Lt=wTprt（t- 收件人）- wTprt公司-1（t- 1.- 至）。（56）同样，在一个交易期内，如果该MRP上的空头头寸增加，则多期损益为P&Lt（τ）=wTprt-τ（t- τ- 收件人）- wTprt（t- 至），且单期损益为损益=wTprt-1（t- 1.- 收件人）-wTprt（t- 至）。关于交易期内的投资组合损益计算，我们有以下引理。引理9（均值回归交易的损益计算）。在一个交易期内，如果MRP中每个资产的价格变化足够小，那么（55）中的损益可以通过对数价格分布的变化来近似计算。具体而言，1）对于MRP上的多头头寸，P&Lt（τ）≈zt公司- zt公司-τ；和2）对于MRP上打开的空头头寸，P&Lt（τ）≈zt公司-τ- zt。证据：见附录B。这个引理揭示了MRP设计的原理，也揭示了均值回归交易，通过显示对数价差值和投资组合回报之间的联系。由于两个交易期之间没有交易行为，损益指标（多期损益和单期损益）仅定义为0。b）累计损益：为了衡量MRP的累计回报绩效，我们定义了从一次交易到塔斯库姆的累计损益。

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2022-5-31 01:37:32

损益（t，t）=Ptt=tP&Lt.（57）c）投资回报率（ROI）：由于不同的MRP可能因wp而具有不同的杠杆特性，我们引入了另一种投资组合回报率度量（回报率），称为投资回报率（ROI）。在一个交易周期内，时间t的ROI（到≤ t型≤ tc）定义为t时的单期损益，由部署的总投资进行标准化，即kwpk（即市场总投资敞口，包括长仓投资和短仓投资）writenasroit=损益/kwpk。（58）与损益指标一样，在两个交易期之间，收益率定义为0.2）夏普比率（SR）：夏普比率（SR）[48]是计算风险调整后回报率的指标。它描述了一个人可以从额外的波动性中获得多少超额回报（方差的平方根）。此处，从时间到某个交易阶段的投资回报率夏普比率（或相当于夏普损益比率）定义如下：提交的论文112.04.06.0yyyyyyyy-0.4-0.20.00.20.4-0.20.00.2-0.50.00.51.0-1.00.01.0Time index0 22 44 66 88 110 132 154 176 198 220 242 264-0.50.00.5图。3、原木价格和五个估计价差。（样本内训练的样本长度选择为5×12×22，样本外交易的样本长度选择为12×22。）SRROI（t，t）=uROIσROI，（59），其中uROI=t-tPtt=TroItan，σROI=ht-tPtt=t（ROIt- uROI）1/2。在计算夏普比率时，我们将无风险回报设置为0，在这种情况下，它将降低为信息比率。C、合成数据实验对于合成数据实验，我们使用多变量综合系统生成金融资产对数价格的样本路径【33】，【49】，其中存在r长协整关系和M- r共同趋势。我们将样本路径分为两个阶段：样本内训练阶段和样本外回测或交易阶段。

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2022-5-31 01:37:35

所有参数，如价差平衡uz，交易阈值, 而portfolioweight w则是在训练阶段决定的。在tradingstage中测试了我们设计方法的样本外性能。在合成实验中，我们将M=6和r=5设置为净预算约束W下的MRP设计方法的性能。我们使用生成的样本路径估计N=5个利差。基于这5个价差，MRPI设计为zt=wTst。交易阶段的模拟原木价格和分布如图3所示。使用我们提出的方法设计的MRP的性能与基于pcroz（5，w）和prez（w）（如图4和图5所示）的一种基础价差和[25]中的方法进行了比较。从我们的模拟中，我们可以得出结论，我们设计的MRP确实产生了一致的正收益。模拟结果还表明，我们设计的投资组合可以跑赢基础利差，并且使用[25]中的方法设计的MRP具有更高的投资回报率和更高的累计损益-0.50.5MRP-pcro（道具）摊铺s0.10.2MRP-pcro（道具）-SR=0.614010.1扩散s-SR=0.54688时间指数0 22 44 66 88 110 132 154 176 198 220 242 264MRP pcro（道具）展开sFig。4、使用我们提出的方法设计的MRP之间的ROI、ROI的夏普比率和累计损益比较，表示为MRP pre（prop.）一个基础价差表示为价差s.-1MRP pre（道具）MRP pre（存在）0.1MRP-pre（prop.）-SR=0.612630.1MRP-pre（exis.）-SR=0.58533时间索引0 22 44 66 88 110 132 154 176 198 220 242 264MRP预处理（道具）MRP pre（存在）图5：。使用我们提出的方法设计的MRP之间的ROI、ROI的夏普比率和累积损益的比较，表示为MRP pcro（prop.）[25]中的一种现有基准方法表示为MRP pcro（exist.）。D

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