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遥远未来的双曲线贴现
可人4
1023 7
2022-05-31
英文标题：
《Hyperbolic Discounting of the Far-Distant Future》
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作者：
Nina Anchugina, Matthew Ryan, Arkadii Slinko
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We prove an analogue of Weitzman\'s (1998) famous result that an exponential discounter who is uncertain of the appropriate exponential discount rate should discount the far-distant future using the lowest (i.e., most patient) of the possible discount rates. Our analogous result applies to a hyperbolic discounter who is uncertain about the appropriate hyperbolic discount rate. In this case, the far-distant future should be discounted using the probability-weighted harmonic mean of the possible hyperbolic discount rates.
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中文摘要：
我们证明了Weitzman（1998）的一个著名结果，即不确定适当指数贴现率的指数贴现商应使用最低（即最耐心）的可能贴现率贴现遥远的未来。我们的类似结果适用于对适当的双曲线贴现率不确定的双曲线贴现者。在这种情况下，应使用可能的双曲线贴现率的概率加权调和平均值对遥远的未来进行贴现。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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kedemingshi
2022-5-31 03:33:55
《遥远未来的双曲线贴现》尼娜·安楚吉纳（Nina Anchugina）、马修·瑞安（Matthew Ryan）和阿卡迪·斯林科德（Arkadii SlinkoDepartment of Mathematics），奥克兰大学经济学院（University of Auckland School of Economics），奥克兰理工大学（Auckland University of Technologyn）。anchugina@auckland.ac.nz，则，mryan@aut.ac.nz一slinko@auckland.ac.nzFebruary2017年摘要。我们证明了Weitzman[7]著名结果的类似物，即不确定适当指数贴现率的指数贴现者应使用最低（即最耐心）的可能贴现率贴现遥远的未来。我们的类似结果适用于对适当的双曲线贴现率不确定的双曲线贴现者。在这种情况下，遥远的未来应该折现为可能的双曲线折现率的概率加权调和平均值。关键词：双曲线贴现，不确定性。JEL分类：D71，D90.1简介考虑一位个人或社会规划师，他在连续和无限的时间范围内对结果流进行排序T=[0，∞) 使用折扣函数D:T的折扣效用准则→ （0，1）。我们自始至终假设D是可微分的，严格递减的，满足D（0）=1。例如，D可能具有指数形式（t）=e-对于某些固定折扣（或时间优惠）率，r>0。这种折扣可能是由合适的偏好公理（[4]）或作为具有恒定危险率的生存函数r（[6]）驱动的。对于任意（即，不一定是指数）贴现函数，Weitzman（[7]）使用以下关系定义局部（或瞬时）贴现率r（t）：D（t）=exp-Ztr（τ）dτ<=> r（t）=-D（t）D（t）（1）注意，当（且仅当）D具有指数形式时，r（t）是常数。Weitzman（[7]）考虑了一种情况，即决策者不确定使用适当的折扣函数。
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能者818
2022-5-31 03:33:58
例如，她可能不确定其生存功能的真实（恒定）危险率，如[6]所示。决策者考虑n个可能的折扣函数Di，i=1，2，…，对应的n个可能的场景。。。，n、 具有关联的本地折扣率函数ri。假设情景i的概率pi>0，Pni=1pi=1，并且决策者根据预期（或确定性等效）折扣函数D=nXi=1piDi（2）进行折扣（如果决策者是n个异质个体群体的功利主义社会规划者，也可能出现这种折扣函数，如[5]所示）设r为与确定性等价折扣函数（2）关联的局部折扣率函数。Weitzman[7]研究了r（t）as t的极限行为→ ∞. 他证明了如果每个ri（t）收敛到一个极限，那么r（t）收敛到这些极限中的最低点。换句话说，iflimt→∞ri（t）=r*如果每个i，则限制→∞r（t）=最小{r*, . . . , r*n} 。（3） 此外，如果每个Ri是常数（即每个Diis指数），则r（t）单调下降到此极限（[7]）。示例1。假设每个DII都是指数的，因此ri（t）=ri是常数。然后，文献[7]中的结果表明，r（t）随极限miniri单调下降。图1插图：n=3、r=0.01、r=0.02、r=0.03和p=p=1/3的情况。事实上，更广泛地说，这是正确的——见[7，脚注6]。D1D2D3D（t）r1r2r3r（t）时间折扣率时间指数折扣函数0 200 400 600 800 1000010200 30000.010.020.030.040.0500.20.40.60.81图1：指数折扣函数维茨曼的结果可以解释为，在遥远的未来对结果进行折扣时，混合折扣函数（2）在局部表现为具有折扣率（3）的指数折扣函数。如果IndividualDiFunction本身是指数函数，则此结果最为显著，如示例1所示。
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能者818
2022-5-31 03:34:01
然而，许多个人并没有指数折扣（[2]）。如果双函数都属于某个非指数类，那么很自然地可以使用同一类函数来描述（2）的局部渐近行为。下一节考虑双曲类。2在比例双曲线贴现的情况下，在本节中，我们假设每个Di具有（比例）双曲线形式Di（t）=1+Hit，其中hi>0是双曲线贴现率。我们进一步假设h>h>…>hn。尤其是，dexibits最“耐心”，dn最不“耐心”——请参见[1]和示例2。注意，ri（t）=-Di（t）Di（t）=hi1+HIT，因此r*对于每个i，i=0。换言之，每个贴现函数的极限局部（指数）贴现率是相同的，反映了一个事实，即对于大t，双曲函数的衰减速度比指数函数的衰减速度慢。Weitzman的结果对这种情况的信息量不大。相反，我们希望对混合折扣函数（2）有一个局部双曲近似，它本身可能没有比例双曲形式。因此，我们遵循Weitzman的示例，将局部（或瞬时）双曲非集中度h（t）定义为：D（t）=1+h（t）t<=> h（t）=D（t）- 1.t（4）注意，当（且仅当）D具有比例双曲线形式时，h（t）是常数。h（t）如何表现为t→ ∞?以下两个结果（见附录）回答了这个问题。为了说明第二个结果，我们提醒读者，非负值x，x，…，的加权调和平均值，xn具有非负权重a，a，ansatisfyinga+…+an=1 isH（x，a；…；xn，an）=nXi=1aixi！-1、众所周知，加权调和平均值小于相应的加权算术平均值（即期望值）。定理1。局部双曲线贴现率h（t）严格递减。定理2。
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nandehutu2022
2022-5-31 03:34:04
确定性等价折现函数的局部双曲折现率收敛于单个双曲折现率的概率加权调和平均值。该ish（t）→ H（H，p；…；hn，pn）为t→ ∞.下面的示例说明了这两个结果。示例2。假设n=3，h=0.01，h=0.02，h=0.03，p=p=p=。请注意，h=0.02对应于h的算术平均值h。图2显示了h（t）向加权调和平均值h（h，p；h，p；h，p）的单调递减≈0.0164.3讨论指数贴现时，（指数）贴现率的不确定性意味着遥远的未来将根据可能的贴现函数中最“耐心”的部分进行贴现。若贴现是双曲线的，且（双曲线）贴现率不确定，则所有可能的贴现函数对远期贴现都很重要。然而，渐近局部双曲线贴现率低于可能利率的平均值（即算术平均值）。特别是Gollier和Weitzman对Weitzman结果的重要重新表述（[3]），解决了所谓的“Weitzman-Gollier难题”。D1D2D3D（t）h1h2h3h（t）H（h1，p1；h2，p2；h3，p3）时间双曲线贴现率时间双曲线贴现函数0 200 400 600 800 1000010200 30000.010.020.030.040.0500.20.40.60.81图2：双曲线贴现函数感谢奥克兰大学的财政支持。Arkadii Slinko得到了新西兰皇家学会马斯登基金会3706352的支持。附录A。定理1的证明我们用n的归纳法来证明这个陈述。首先我们需要证明这个陈述在n=2时成立。在这种情况下：h（t）=p（1+ht）-1+p（1+ht）-1.- 1.t对于每个t>0。
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nandehutu2022
2022-5-31 03:34:08
重新排列：h（t）=（1+ht）（1+ht）p（1+ht）+p（1+ht）- 1.t型=1+（h+h）t+hhtp+p+（ph+ph）t- 1.t、 由于p+p=1，我们得到：h（t）=1+（h+h）t+hht1+（ph+ph）t- 1.t=ph+ph+hht1+（ph+ph）t。通过区分h（t）：h（t）=hh（1+（ph+ph）t）- （ph+ph+hht）（ph+ph）[1+（ph+ph）t]（5）我们需要证明h（t）<0。因为（5）的分母是正的，所以h（t）的符号取决于分子的符号。因此，我们用qa表示（5）的分子，并对其进行单独分析：Q（t）=hh[1+（ph+ph）t]- （ph+ph+hht）（ph+ph）=hh- （ph+ph）（ph+ph）。通过展开括号并使用p+p=1表示1的事实- p- p=2表达式Q可以进一步简化：Q（t）=hh- phh公司- pph公司- pph公司- phh=hh（1- p- p）- pp（h+h）=-pp（h- h） 。因此，由于h6=hwe具有Q<0。因此，h（t）<0且h（t）急剧减小。假设这个命题适用于n=k。我们需要证明它也适用于n=k+1。当n=k+1时，我们有：D=k+1Xi=1piDi=（1- pk+1）kXi=1pi1- pk+1Di！+pk+1Dk+1。因为kxi=1pi1- pk+1=1，我们可以写=（1- pk+1）D（k）+pk+1Dk+1。式中，d（k）=kXi=1pi1- pk+1Di。根据归纳假设，D（k）=1+h（k）（t）t，其中h（k）严格递减。因此，h（t）=（1）- pk+1）D（k）+pk+1Dk+1- 1.t=“（1- pk+1）（1+h（k）（t）t）-1+pk+1（1+hk+1t）-1.- 1#t.Let^p=1- pk+1，^p=pk+1，^h（t）=h（k）（t），^h=hk+1。然后我们有h（t）=“p（1+h（t）t）-1+^p（1+^ht）-1.- 1#t。类似于n=2的情况，此表达式可以重新排列，以给出：h（t）=p^h（t）+p^h+h（t）ht1+p^ht+p^h（t）t。然而，与n=2的情况相反，现在是t的函数。因此：h（t）=n（t）h1+p^ht+p^h（t）ti。（6） 式中（t）=^p^h（t）+^h（t）^h+^h（t）^ht1+^p^ht+^p^h（t）t-^p^h（t）+^p^h+^h（t）^ht^p^h+^p^h（t）+^p^h（t）t.（6）的分母是严格正的，因此导数的符号与N（t）的符号相同。
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