用于霍克斯模型选择的信息标准的性能

2022-5-31 04:47:21

用于金融数据霍克斯过程模型模型选择的信息标准的性能J。M、英国卡迪夫大学陈氏数学学院。G、英国斯旺西大学霍克斯管理学院。Scalas公司*和M.Trinh+英国苏塞克斯大学数学与物理科学学院（日期：2017年4月5日）摘要我们测试了三个公共信息标准（IC），用于选择具有强度核的霍克斯过程的顺序，强度核可以表示为指数项的混合。这些过程在高频率金融数据建模中得到了应用。信息标准为Akaike\'s信息标准（AIC）、贝叶斯信息标准（BIC）和汉南-奎因标准（HQ）。由于我们使用模拟数据，我们能够通过IC选择用于生成数据的模型的成功率来衡量模型选择的性能。特别是，我们对正确的模型选择和潜在样本量之间的关系感兴趣。该分析包括现实的样本量和最近文献中的参数集，其中的参数是使用经验金融日内数据估计的。我们将我们的结果与一致和不一致IC模型选择的渐近分布的理论预测和类似经验结果进行了比较。*EScalas@sussex.ac.uk+M。Trinh@sussex.ac.ukI.简介技术进步使得记录金融市场上所有交易的详细数据成为可能。这一发展要求建立适当的计量经济模型，将贸易持续时间的时间结构纳入其中。以前，模型的设计是这样的：由于将数据聚合到等距的时间网格中，这些信息会丢失。

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2022-5-31 04:47:24

然而，对高频交易数据的实证研究表明，日内交易有一个典型的模式：在交易日的开始和结束时有较高的交易活动，而在交易日中间的午餐时间有较低的交易活动（参见示例[4]）。Engle和Russell率先提出了一种点过程方法来模拟交易之间的持续时间（[12,13]，[11]）。所提出的自回归条件持续时间（ACD）模型与流行的用于vola t ilityclustering的GARCH模型密切相关。它也被称为乘法错误模型（有关此主题的更多详细信息，请参见[19]）。然而，自激点过程在计量经济学和金融数学家中得到了广泛的欢迎。尤其是霍克斯过程[21，22]直观地揭示了有助于（贸易）事件聚类的内生和外生成分，这有时被称为“市场反应”（[14]、[18]）。此外，从理论角度，[9]分析了Hawkes过程的作用点过程的谱近似和均方连续过程的自回归模型的重要性。Hawkes过程最初用于地震数据（[20]、[34]），但其自激和事件聚类的特性对于模拟日内金融数据中的f行为的类似现象很有吸引力。[5] 是建立霍克斯过程和财务建模之间联系的早期工作之一。

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2022-5-31 04:47:29

由于存在基于强度和基于聚类的定义，因此存在各种模拟和估计技术，它们利用了霍克斯过程的任何一种观点。值得一提的是，对于模拟，我们有细化方法【33】，时间变化方法基于随机时间变化定理【28】，并具体应用于Hawkes过程，例如【35】、精确模拟【10】和完美模拟【29】。例如，在[35]中可以找到标准的最大似然法。除此之外，[20]使用了谱估计方法，[37]提出了贝叶斯估计技术，期望最大化（EM）算法的应用可在[41]中找到。这些处理霍克斯过程的工具在数字上为各种类型的金融数据的应用铺平了道路，如中期价格变化或订单、从流动性股票、期货、指数或外汇市场收集的极端价格变动（等等）。有关详细信息，[3]g的综述文件对霍克斯金融模型的最新文献进行了很好的总结。本质上，对于参数估计，有两种在金融数据文献中广泛使用的核：经验核和幂律核。在幂律渐近性得到非参数估计文献结果（如[2]所示）的支持的情况下，指数核情况在分析上更容易处理，而ndis仍然在最近的文献中应用（[18]、[36]、[26]）。今天的计算能力不仅允许准确记录高频交易，而且使我们能够将几乎任意复杂的模型拟合到以前收集的数据中。最近对此类数据建模的建议包括霍克斯过程的强度，这些过程可以表示为指数和幂律核的加权和。

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2022-5-31 04:47:32

自然会产生这样一个问题：在这样一个模型中应该包含多少项才能最适合描述数据。信息标准（IC）提供了定量方法来区分（可能有许多）模型。在选择“最优”模型顺序时，有两个相互竞争的目标：一方面，我们希望尽可能准确地捕捉和描述数据中观察到的现象，但另一方面，重要的是将模型的复杂性保持在最低限度。一个复杂的模型可能会导致数值不稳定和参数过多，而这些参数并没有太大的描述力。信息标准是管理这种情况的定量工具。我们在本文中的目的是测试这种模型选择方法在使用模拟数据处理指数项加权和的Hawkesprocess强度时的效果。本文的组织结构如下：第二节讨论了指数Hawkes-P模型。在对平均强度进行了简短的定义和讨论后，我们接着讨论模拟程序和通过最大似然法的参数估计方法。在第三节中，我们简要介绍了信息标准并讨论了一致性属性。最后，我们描述了蒙特卡罗实验的设置，并在第IV.II节给出了数值结果。自激点过程（N（t））t的指数核HAWKES模型≥0，条件强度函数由λ（t | Ft）正式定义：=limt型→0P（N（t+t）- N（t）=1 |英尺）/t、（1）其中Ft表示截至时间t的已知历史。

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kedemingshi

2022-5-31 04:47:35

我们假设条件强度函数的形式为（为了简单起见，去除历史条件）λ（t）=u+Ztg（t- τ） dN（τ），（2），其中我们有响应函数g（τ）≥ 0τ∈ R+和u>0是基线强度。包含响应函数的术语可以与自激特性识别，因此被称为强度的内生部分，而基线强度是外生部分。上述强度函数定义了具有有限过去的霍克斯过程，因为我们假设计数过程（N（t））t≥0从0开始。注意，我们偏离了最初的定义，通常（2）中的积分是在(-∞, t] 。特别是，我们对响应函数可以写成指数加权和的情况感兴趣：g（t）=PXm=1αme-βmt.（3）然后，强度函数由λ（t）=u+PXm=1αmkXi=1e给出-βm（t-ti）（4）u，αm，βm>0且{t，…，tk}是N（t）到时间t的跳跃时间。简而言之，我们将此过程称为指数Hawkes-P过程，其中P是过程的顺序。我们将把这类Hawkes过程视为贸易之间持续时间的可能参数模型。a、平均强度：平稳与非平稳【22】中，计算出具有有限过去的平稳霍克斯过程的平均强度为∧：=E【λ（t）】=u1-R∞g（ν）dν，（5），其中n：=R∞g（ν）dν称为分支比。这个结果基本上遵循（2）两边的期望。特别地，对于指数核，我们haven=PPm=1αmβ，且平稳性条件为n<1。

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2022-5-31 04:47:38

n=1的特殊情况也允许[6]中处理的平稳过程。然而，对于具有与（4）中强度相关的有限过去的霍克斯过程，我们使用拉普拉斯变换采用不同的方法：L etД（t）：=E[λ（t）]现在是非平稳霍克斯过程的平均强度函数。然后，对（2）的两个方面进行预期，得到ν（t）=u+PXm=1Ztαme-βm（t-u） ^1（u）du。（6） ν的拉普拉斯变换式由（s）=Z给出∞e-stИ（t）dt=Z∞e-studt+PXm=1αmZ∞t=0e-stZtu=0e-βm（t-u） Д（u）du dt=us+PXm=1αmZ∞u=0e-suИ（u）Z∞t=ue-（s+βm）（t-u） dt du（7）=us+PXm=1αms+βmZ∞u=0e-suД（u）du=us+PXm=1αms+βm！在（7）中，我们可以应用Fubini定理，因为被积函数是正的。最后，我们得到了一个代数方程，该方程可用于求解：（s）=us1-PPm=1αms+βm。（8）对于P>1，我们可以交替写入：（s）=usQPm=1（s+βm）QPm=1（s+βm）-PPm=1αmQk6=m（s+βk）。（9）这给出了强度函数的拉普拉斯变换的解析表达式。从方程（8）中，我们可以看出，要求通常的平稳性条件ppm=1αmβm<1是合理的，以确保正确定义右侧项。通常，平均强度函数的计算可以通过（数值）拉普拉斯反演完成。然而，对于较低的模型或DER（P=4）而言，可以通过分析反转平面变换。我们将在下面的示例中显示第一和第二顺序。示例1（P=1时的平均强度公式）。对于P=1，表达式（8）简化为（s）=u（s+β）s（s+β- α） =μβ- αβs-αs+β- α, （10）在最后一步中，我们使用了部分分数分解。这允许我们分析反转La-place变换：Д（t）=uβ- αβ- αe-（β-α） t型, t>0。（11）示例2（P=2时的平均强度公式）。

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2022-5-31 04:47:41

对于P=2，我们有（s）=u（s+β）（s+β）s[（s+β）（s+β）- α（s+β）- α（s+β）]（12）从P=2阶开始，显式公式可能相当复杂。设R和Q分别表示（12）中右侧表达式的数字或分母中的多项式。然后，假设Q只有由s、s、s表示的单重数的实值根，则部分分数分解由（s）=P（s）Q（s）=Xi=1P（si）Q′（si）（s）给出- si）=uAs+As- s+As- s, （13）其中s=0，s=（γ- ξ），s=（γ+ξ）（14），其中γ=α+α- β- β和ξ=pγ- 4（ββ- αβ- αβ）。（15）部分分数分解意味着a（s- s）（s）- s） +组件- s） +组件- s）！=（s+β）（s+β）（16）并比较方程yieldsA+A+A=1（17）两侧的s、s和1的系数-A（s+s）- 像- As=β+β（18）Ass=ββ。（19）然后我们得到a=ββss=ββ（γ- ξ)/4=ββββ- αβ- αβ（20），通过对A和插入（14）求解（19）。现在将（17）乘以沙子加（18）得到- As+A（s）- s） =β+β+s。（21）求解Awe getA=β/s+β+β+ss- s=β+s（β+β）+ss（s- s） =4ββ- 2（ξ- γ）（β+β）+（ξ- γ） 2ξ（ξ- γ） =（ξ）- γ- 2β）（ξ- γ- 2β）2ξ（ξ- γ） =（ξ）- α- α+β- β）（ξ）- α- α- β+β）2ξ（ξ- γ）。（22）将（17）乘以s，再加上（18）并遵循与AyieldA=（ξ+γ+2β）（ξ+γ+2β）2ξ（ξ+γ）=（ξ+α+α+β）类似的步骤- β）（ξ+α+α- β+β）2ξ（ξ+γ）。（23）Lapla-ce反演给出了ν（t）=uA+Aest+Aest. （24）注意，当条件ppm=1αmβm<1时，可以得出根s sand是实的和负的。从这两个例子中，我们可以看到，方程（11）和（24）中的指数项在很大程度上变得可以忽略，其余表达式与平稳情况下的强度函数一致。在一个小型蒙特卡罗（MC）实验中，我们用1000个事件模拟了霍克斯过程的1000条路径（另请参见empirAgg2.m）。参数为u=0.5、α=3.1、α=5.9、β=9.9和β=10。

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大多数88

2022-5-31 04:47:45

图1显示了经验观察到的平均事件数与理论预期事件数的对比图。绘制这样的图可能有助于验证模拟算法。回想平均强度函数Д和点过程预期事件数（N（t））t之间的关系≥0:E[N（t）]=ZtИ（τ）dτ（25）时间0 2 4 6 10 12经验理论（非平稳）理论（平稳）图1。MC模拟的平均事件数与理论值之间的比较。对于参数值u=0.5、α=3.1、α=5.9、β=9.9和β=10，我们模拟了一个P=2阶指数Hawkes过程，并绘制了事件的经验平均数（红色曲线）与e q（25）中预期事件数的理论值。在非平稳情况下，我们将平均强度函数积分到等式（24）中，该函数对应于蓝色曲线。静止情况通过绿色曲线显示。在很短的时间内，我们可以观察到瞬时指数行为，这种行为会在很长时间内消失。特别是，两个理论函数的斜率在很大程度上近似相等，表明非平稳情况下的强度函数收敛于平稳情况。此外，我们可以在模拟具有有限过去的霍克斯过程时验证边缘效应，这将在下一节中简要讨论。A、模拟如前一节所示，模拟具有有限过去的霍克斯过程以近似具有有限过去的霍克斯过程将导致模拟过程在模拟时间开始时变为非平稳。这种现象也被称为边缘效应，因为忽略了过去可能发生的事件的影响。

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2022-5-31 04:47:48

有关这方面的更多详细信息，请参见[29，30]。然而，与【10】类似，我们明确希望使用具有有限过去的霍克斯过程。因此，我们认为边缘效应是模型的固有特性，而不是模拟的事实。此外，尽管[10]中的精确模拟算法适用于多维指数模型，但由于缺乏对强度的外生和内生部分的识别，该算法并不直接适用于我们提出的模型。这就给我们留下了流行的细化算法，可以追溯到[27]和[33]。我们使用细化算法的实现来模拟时间间隔[0，T]上的过程（参见hawkesThinning.m），并比较高达3阶的模型。我们首先生成样本数据，作为估算和模型选择方法的技术示例。表I中给出了参数设置。a、与金融文献中的实证结果相联系为了增强我们的实验和结果的实际相关性，我们还希望使用参数设置，允许在实证研究中也可以观察到强度。关于指数Hawkes-P模型，[18]发现使用单指数强度函数可能会产生误导性结果，这也得到了[36]的证实。然而，这并不一定适用于高阶指数Hawkes过程：[26]发现，当应用于FXdata时，P阶指数强度核大于1的Hawkes模型的性能优于单指数模型，且与幂律模型相当。这就是为什么我们在本文中加入了一个参数集，用于我们的MCExperiment（见表II）。B、最大似然估计（MLE）和优度虽然我们主要关注模型选择的性能，但我们必须确保最大似然估计给出合理的结果。

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2022-5-31 04:47:53

这是因为我们期望MLE的质量与随后的模型选择结果之间有密切的联系。由于数值问题或缺乏数据而导致的不良MLE可能会影响模型选择。例如，如果估计模型本身无法描述和预测我们感兴趣的数据的关键特征或数量，那么正确选择的模型顺序可能毫无意义。在以下小节中，我们简要介绍了拟合程序以及均方根误差，作为我们选择的拟合优度衡量标准。通过最大似然法拟合该算法遵循了[35]中的理论，这是一种标准的最大似然法。对于强度为λ的自激点过程，数据0<t<…<tn<T由log L（T，…，tn |θ）=-ZTλ（t |θ）dt+ZTlog（λ（t |θ））dN（t）。（26）设θ=（u，α，…，αP，β….，βP）为Hawkes-P模型的参数向量。在公式（26）中插入公式（4），给出L（t，…，tn |θ）=-uT-PXm=1“αmβmXti<T1.- e-βm（T-ti）#+Xtk<Tlogu+PXm=1αmXti<tke-βm（tk-ti）！。（27）此外，[35]表明，对数似然可以递归计算，从而将计算负担从O（n）减少到O（n）：假设T=tn，即最后一个事件是观察的最后一个时间点。Thenlog L（t，…，tn |θ）=-utn-PXm=1“αmβmXti≤田纳西州1.- e-βm（tn-ti）#+Xtk公司≤tnlogu+PXm=1αmAm（k）！，（28）式中，Am（1）=0 m=1，PAm（k）=Xti<tke-βm（tk-ti）=（1+Am（k- 1））e-βm（tk-tk公司-1）。为了获得参数的最大似然估计，我们将对数似然函数最大化，特别是在平稳条件下的参数：arg maxu，α，。。。，αP，β，。。。，βPlog L（t，…，tn |u，α，…，αP，β，…，βP）（29）s.t.u，α，αP，β，βP>0，β<…<βPandPXm=1αmβm<1。我们假设对β参数进行排序，以避免识别问题。

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2022-5-31 04:47:56

最大化（或者更确切地说是负对数似然的最小化）通常是在数字上完成的，因为估计量在闭合形式下不可用。对于约束问题，我们使用了标准MATLABTMfunction fmincon。优化路线可在补充文件拟合中找到。m、条件。m和LogLikiter。m、 2。Hawkes过程的极大似然估计的重要渐近性质的优度已经研究并由[32]证明（见[36]附录中的简要总结）。在第三部分中，我们可以假设最大似然估计是一致的，即随着样本量趋于精确，最大似然估计收敛于参数的真实值。为了用我们的MCExperiment验证这些结果，我们使用RMSE（均方根误差）作为拟合优度的度量：θ是要估计的一般模型参数，θ是相应的估计量。给定N=1000个样本，参数估计为^θ（k），k=1，N、对于每个样本，我们计算beRMSE的（绝对）根均方误差（θ）=VuTunnxk=1 |θ-^θ（k）|（30）和相对均方根误差rmserel（θ）=θvuutNNXk=1 |θ-^θ（k）|。（31）由于真实模型值在我们的mockdata设置中已知，因此很容易计算上述数量。三、信息标准和模型选择在以下章节中，我们将定义我们感兴趣的IC，并简要描述相关的理论概念。在此基础上，我们给出了一个简单的MC实验的结果，以用于使用IC的ssess模型选择。我们意识到我们的实验的某些条件实际上没有给出，因此也讨论了我们可能从数值结果中得出的结论的局限性。a、定义和理论性质本节介绍了可在[8]中找到的介绍性工作及其参考文献。定义1。

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2022-5-31 04:47:59

对于通过极大似然估计拟合数据的给定模型，L为最大对数似然值，k为参数数，n为数据集的样本量。然后我们定义：1。Akaike信息准则（AIC）（见[1]）AIC=-2L+2k（32）2。贝叶斯信息准则（BIC）（见[38]）BIC=-2L+k ln（n）（33）3。Hannan和Quinn信息标准（HQ）（见[17]和[16]）HQ=-2L+2k ln（ln（n））（34）第二节中的指数Hawkes-P过程是具有1+2P参数的嵌套模型系列的一个示例，因此非常适合计算信息标准。IC的公式在函数IC中实现。m、上述信息标准为formIC（Mk）=-2L+c（k，n）（35），其中mk是与参数数量k相关的模型，c（k，n）是一个适当选择的惩罚项，用于解释模型的复杂性，即参数数量。在一组给定的可供选择的模型中，“最佳”模型是使IC值最小化的模型。换言之，所选模型应为数据a提供最佳拟合，即具有对数似然值，同时尽可能简单，即使用较少的参数。因此，公式（35）代表了我们之前讨论过的贸易情况。备注1.1。AIC是通过估计“t r ue”模型分布与估计分布之间的Kullback-Leibler距离得出的。【23】建议对小样本的AIC进行校正：AICc=-2L+2KN- k- 1.（36）我们应遵循[7]中的建议，并在n<40kmaxasa时使用AICc经验法则，其中kmaxis是在扩展模型中使用的最大参数数。2、BIC最初是在贝叶斯估计方法中推导出来的，但在常客背景下也是有效的，并且有一种从常客角度推导BIC的替代方法（详情参见【7】3）。

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2022-5-31 04:48:02

总部被设计为拥有增长最慢的处罚期限，这仍然使得ICto具有很强的一致性（有关更精确的定义，请参见下文）。这个证明利用了重对数定律。此外，总部最初的定义更为笼统，即总部‘=-2L+2ck ln（ln（n）），c>1，（37），但在随后的示例中，c被选择为1。[8] 指出cis的选择不明确，使得从业人员的信息标准不那么重要。与最大似然估计的一致性性质类似，当基础样本量增加时，让信息中心以高概率选择正确的模型顺序是一个可取的性质。更准确地说：定义2。设n为基本样本量，J为所有竞争模型中的模型集，这些模型使Kullback-Leibler距离与真实模型和letJ的距离最小 J是具有最小（参数）维数的模型的子集。然后，如果存在j，则认为IC是一致的∈ Jsuch thatlimn公司→∞Pminl公司∈J\\J（IC（Mj）- IC（Ml））>0= 1，（38）即IC选择最小维数的模型的概率，最小的Kullback-Leibler距离收敛到1。如果（38）中的断言几乎肯定成立，则IC是强一致的：Pminl公司∈J\\J（IC（Mj）- IC（Ml））>0，几乎所有n= 1（39）备注2。上述定义遵循了[8，p.101]中的符号，但一致性和强一致性的充分条件的原始证明如[40]所示（其中一致性实际上被称为弱一致性）。就f法案而言，AIC无法保持一致，因为惩罚条款不取决于样本量。自回归模型的相关模型选择的渐近分布分析如[39]。另一方面，BIC和HQ具有很强的一致性。

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2022-5-31 04:48:05

因此，在最简约的Kullback-Leibler极小化模型上，它们的模型选择的渐近分布必然收敛到一个delta。[42]中针对另一个回归模型分析了AIC和BIC各自的收敛速度。b、从上一节的实际角度来看，一致性可能会得出结论，不一致的AIC不如一致的BIC和HQ。然而，情况更为复杂：我们必须记住，一致性是一种渐近性质。这意味着，在理论上，如果样本量足够大，一致IC最终将在几乎所有情况下都优于AIC。不幸的是，从业人员只有有限的可用数据，很难判断样本大小是否达到渐近区域。事实上，实证研究表明，对于各种统计模型，AIC在小样本情况下优于BIC【31】：例如，Mongression模型【23，24】在模拟数据上比较了不同的IC，特别是为了促进（仍然不一致）AIC作为小样本AIC的修正。最近，[25]将IC（AIC、BIC、HQ、AICc）应用于（非线性）G ARCH模型的MC模拟。他们的结果表明，AIC输出的是高阶GARCH过程的BIC和HQ。由于上述讨论，我们可以使我们的MC实验的想法和目标更加准确：首先，我们需要指出，MC实验的简单设置的数值结果并不能直接转化为应如何处理经验数据。IC是模型选择和交叉验证的众多工具之一。我们并不期望找到“最佳”IC，而是想验证霍克斯过程中不同IC的理论特性。

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能者818

2022-5-31 04:48:08

特别是，由于大多数理论结果仅针对回归模型推导，我们的工作可能有助于阐明一致IC的交感区和收敛率以及该模型类AIC f的选定阶的渐近分布。验证理论属性将是使用参数集1进行MC模拟的主要目的，而对于我们的经验参数集2，我们遵循[7]中给出的建议，并使用实际样本量。四、数值结果使用第II A节中描述的细化算法，我们模拟了四个包含1000个样本的不同数据集。其中三个对应于表1中参数集1的每一行，一个数据集由指数型Hawkes-2模型的样本组成，参数值来自表2所示的参数集2。特别是对于参数集2，时间范围T可以假定为以秒为单位。其范围从10分钟到6小时，反映了典型的日内财务数据集。为了检查估计方法对我们的参数集的效果，我们假设正确的模型阶数P已知，并对每个数据集下的真实模型的参数进行MLE。随后，我们能够计算RMSE作为真实参数值和估计参数值之间距离的度量。参数集1的绝对和相对RMSE值分别见表III和表IV。关于参数集2，见表VIII和IX。我们观察到，RMSED随着样本量的增加而减少。这是意料之中的，因为已知MLE是一致的。最后，我们假设真实的模型阶数未知，但需要由heIC选择。因此，对于每个数据集，我们必须拟合所有可能的模型阶数P=1、2、3，并计算相关的IC值。

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kedemingshi

2022-5-31 04:48:11

下面我们将讨论模型选择的结果。我们首先考虑参数集1。对于模型阶数P=1的模拟数据，我们可以在表IV中看到，相对RMSE相对较低，即使是对应于时间范围T=500的最小样本。表V中的模型选择证实，最小的样本量可能已经足以保证所有IC的高成功率（超过90%）。然而，在最低阶情况下，我们可以观察到一致IC和不一致IC的不同行为。对于BIC和HQ，成功率随着平均样本量的增加而提高。特别是，这种关系似乎是单调的，在BIC的情况下，对于T=1000，成功率已经达到100%，HQ的表现略差于BIC，但对于T=5000，仍然远远超过90%，非常接近100%。然而，AIC的行为更令人担忧。即使对于大样本量，使用AIC的t血型选择也允许相对较大的概率（>6%）选择比P=1更高的顺序。由于AIC不是一致的IC，我们不能排除这些结果已经近似于AIC模型选择的渐近分布的可能性。如前所述，这种渐近分布通常不同于真实模型阶数上质量为1的delta分布。此外，数值结果表明，增加平均样本量并不一定会提高模型选择的成功率。例如，从T=500移动到T=1000，我们可以观察到AIC案例中成功率的增加。在模型阶数P=2的情况下，可能存在高估和低估。我们观察到参数α和β的RMSE非常大，尤其是对应于T=500和T=1000的较小样本。

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2022-5-31 04:48:16

这可能是影响表VI中T=500模型选择的因素之一：所有IC中存在很大比例的低估，最不可能的是lmo的高低估率，约占BIC的95%。在T=500的情况下，TheAIC似乎表现最好，成功率略高于50%，但也低估了48%。对于较大的样本，BIC和HQ选择概率非常高（约90%或更大）的correctmodel顺序，BIC的成功率达到100%，t=2000。同样，我们有一个不利影响，即AIC的成功率随着平均样本量的增加而降低。即使对于T=5000的最大平均样本量，高估的概率也相对较大，超过6%。对于P=3的模拟数据，我们的行为与P=2相似。同样，在小样本情况下，表IV报告了参数α和β的较大RMSE。由于P=3是可选择的最高型号顺序，因此不包括规格过大的情况。这意味着，我们可以在AIC的模型选择中观察到与BIC和HQ相同的模式：从T=500开始，大多数情况下会出现低估，然后随着样本量的增加，成功率会提高。对于T=2000，所有IC均达到100%成功率。然而，如果我们在模型选择集中包含高阶P>3，我们很可能会观察到AIC高估的趋势。在使用参数集2时，我们选择了10分钟、15分钟、30分钟、1小时、3小时和6小时的时间范围。首先，T=600和T=900的RMSE值较大（见表VIII和表IX），这表明样本量太小，我们无法确保MLE方法的良好估计。尤其是α和β的估计具有较大的RMSE。这种情况对应于参数集1设置中t=500的情况。

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2022-5-31 04:48:19

当我们与表X中相应的模型选择进行比较时，我们观察到同样的现象：BIC的低估最严重，HQ的低估较少，AIC的低估最少。对于这些情况，样本非常小，可能符合Remark1第（i）点中讨论的经验法则，我们在表中包括了组合模型选择规则AICc/AIC。当n<3·40=120时，它应用AICc，反之亦然。组合AICc/AIC选择规则的数值结果与独立AIC非常相似，在T=600和T=900时甚至稍差。当我们继续从30分钟到1小时的大样本时，theRMSE值有明显的变化。更准确地说，第二个指数变量（即α和β）的RMSE值下降得更快，这导致了第一个指数项，其中α和β对总体估计误差的贡献更大。在T=3600的所有IC中，校正模型选择率显著提高，范围超过90%。最后，对于时间范围从3小时到6小时的大样本，分别代表半个交易日到整个交易日的数据。每个参数的相对RMSE小于20%，一致IC（BIC和HQ）的正确模型选择率接近100%。然而，AIC的成功率下降到约94%，高估概率为6%。五、关于模型选择的性能，我们MC实验的结果可以总结如下。与回归模型的类似研究一致，我们可以观察到，当MLE应用于较小样本时，不一致的AIC优于其他两个IC。相比之下，一致的IC（BIC和HQ）对于足够大的样本表现优异，并且我们可以观察到，随着样本量的增加，它们的成功率单调提高。

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2022-5-31 04:48:23

尽管上文Remark1（iii）中提出了担忧，但数值结果表明，HQ不应被排除在良好执行IC之外。更令人关注的是，样本量和AIC模型选择成功率之间的非单调关系，而不是以往研究中常见的关系。这方面的未来研究可以是同样流行的幂律强度和进一步的模型选择方法，如聚焦信息准则和模型平均。基金会。Scalas和M.Trinh得到了苏塞克斯大学战略发展基金的支持。补充材料请联系Enrico Scalas或Mailan Trinh。强烈m计算Hawkes过程HawkeSthinning的强度函数。m模拟一个霍克斯过程，其最大时间范围为Hawkesthining2。m模拟Hawkes过程，最大样本大小为MPirag2。m根据模拟的aHawkes进程路径（称为hawkesThinning2.m）LogLikiter计算平均事件数。m评估给定参数和数据约束的Hawkes过程的对数似然函数。m参数约束传递给优化算法fminconfitting。m使用MatlabTM例程fmincon（调用LogLikiter.m和constraints.m）IC最大化对数似然函数以获得最大似然估计量。m计算AIC、BIC和HQ【1】H.Akaike的值。信息论和最大似然原理的推广。第二届信息论国际研讨会（Tsahkadsor，1971），第267-281页。阿卡德·埃米艾·基亚多，布达佩斯，1973年。[2] Emmanuel Bacry、Khalil Dayri和Jean-Fran,cois Muzy。对称hawkes过程的非参数核估计。高频财务数据的应用。《欧洲物理杂志B》，85（5）：2012年1-12月。[3] Emmanuel Bacry、Iacopo Mastromatteo和Jean-Fran,cois Muzy。

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2022-5-31 04:48:26

Hawkes流程融资。2015年5月。[4] 威廉·K·伯特伦。澳大利亚证券交易所数据的实证调查。《物理学：统计力学及其应用》，341:533–546，2004年10月。[5] C live G.Bowsher。连续时间证券市场事件建模：基于强度的多变量点过程模型。J、计量经济学，141（2）：876–9122007。[6] Pierre Br\'emaud和Laurent Massouli\'e.Hawkes无祖先分支点过程。J、应用程序。P机器人。，38（1）：122–1352001年。[7] 肯尼斯·P·伯纳姆和大卫·R·安德森。多模态推理：在模型选择中理解ing AIC和BIC。社会党人。方法研究，33（2）：261–304，2004年。[8] Gerd a Claeskens和Nils Lid Hjort。模型选择和模型平均。剑桥统计和概率数学系列。剑桥大学出版社，剑桥，2008年。[9] D.J。Daley和D.Vere Jones。点过程理论简介。第一卷，《概率及其应用》（纽约）。Springer Verlag，纽约，第二版，2003年。基本理论和方法。[10] Angelos Dassios和Hongbiao Zhao。具有指数衰减强度的霍克斯过程的精确模拟。电子公社。概率。，18：第62、13、2013号。[11] 罗伯特·芬格尔。超高频数据的计量经济学。《计量经济学》，68（1）：1–222000。[12] Robert F Engle和Je ffer ey r Russ ell。用自回归条件回归模型预测外汇报价的变化频率。《经验金融杂志》，4（2）：187–212，1997年。[13] Robert F.Engle和Je Offrey R.Russell。自回归条件持续时间：不规则间隔事务数据的新模型。《计量经济学》，66（5）：1127–11621998年。[14] 弗拉基米尔·菲利莫诺夫和迪迪埃·索内特。量化金融市场的流动性：预测金融崩溃。物理评论E，85（5）：0561082012。[15] 大卫·A·弗里德曼。

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2022-5-31 04:48:29

关于筛选回归方程的注记。美国。统计员。，37（2）：152-1551983。[16] E·J·汉南。ARMA过程阶数的估计。安。统计员。，8（5）：1071–10811980。[17] E·J·汉南和B·G·奎因。确定自回归的阶数。J、罗伊。统计学家。Soc。序列号。B、 41（2）：190–1951979年。[18] 斯蒂芬·哈迪曼（StephenJ Hardiman）、尼古拉斯·贝科特（NicolasBercot）和让·菲利普·布沙德（Jean-PhilippeBouchaud）。金融市场的关键反应：霍克斯过程分析。《欧洲物理杂志B》，86（442），2013年。[19] 尼古拉斯·豪奇。金融高频数据的计量经济学。施普林格，海德堡，2012年。[20] A.G.霍克斯和L.阿达莫普洛斯。地震区域比较的聚类模型。公牛内部统计人员。Inst，45（3）：454–4611973年。[21]艾伦·G·霍克斯。一些相互激励的点过程的点谱。J、罗伊。统计学家。Soc。序列号。B、 33:438–4431971年。【22】艾伦·G·霍克斯。一些自激和互激点过程的谱。Biometrika，58:83–901971年。【23】M.Hur v ich和Chih Ling Tsai的副手。小样本中的回归和时间序列模型选择。Biometrika，76（2）：297–3071989年。[24]M Hur v ich和ChihLing Tsai的副手。线性回归中模型选择对推理的影响。《美国统计学家》，44（3）：214–2171990。[25]法鲁克·h·贾韦德和帕纳吉奥提斯·曼塔洛斯。GARCH型模型和信息标准的性能。通信统计员。模拟计算。，42（8）：1917-19332013年。[26]Mehdi Lallouache和Damien Challet。Hawkes过程的统计意义限制适用于财务数据。数量。《金融》，16（1）：2016年1月至11日。【27】P.A.W.L.ewis和G.S.Shedler。通过细化模拟非齐次泊松过程。海军研究专家。夸脱26（3）：403–4131979年。【28】梅耶出版社。D'emonstration simpli fi'ee D\'un th'eor'eme de Knight。第191-195页。数学讲师。，第1911971卷。[29]杰斯珀·莫勒和雅各布·G·拉斯穆森。

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2022-5-31 04:48:33

霍克斯过程的完美模拟。应用程序中的高级。概率。，37（3）：629–6462005。【30】杰斯珀·莫勒和雅各布·G·拉斯穆森。霍克斯过程的近似模拟。Methodol。计算机。应用程序。概率。，8（1）：53–64，2006年。【31】通过“小样本”，我们指的是样本量不足以维持渐近一致性结果，但足够大，可以安全排除与【15】中讨论的样本相似的影响的情况。【32】绪方吉彦。平稳点过程极大似然估计的渐近性质。安。仪器统计员。数学30（2）：243–2611978年。【33】绪方吉彦。点过程的刘易斯模拟方法。信息论，IEEETransactions on，27（1）：23–311981。【34】绪方吉彦。地震发生的统计模型和点过程的残差分析。《美国统计协会杂志》，83（401）：1988年9月至27日。【35】T.Ozaki。霍克斯自激点过程的最大似然估计。安。仪器统计员。M路径。，31（1）：145–1551979年。马塞洛·兰巴迪、帕里斯·彭内西和法布里齐奥·利洛。围绕宏观经济新闻建模外汇市场活动：霍克斯过程方法。物理复习E，91（1）：0128192015。【37】雅各布·古尔达·阿斯穆森。Hawkes过程的贝叶斯推理。Methodol。计算机。应用程序。概率。，15（3）：623–6422013年。【38】吉迪恩·施瓦兹。估计模型的维度。安。统计员。，6（2）：461–4641978年。【39】Shibata日台。用Akaike的信息准则选择自回归模型的阶数。Biometrika，63（1）：117–1261976年。【40】Chor Yiu Sin和Halbert White。选择可能有误的参数化模型的信息标准。J、《计量经济学》，71（1-2）：207–225，1996年。[41]Alejandro Veen和Frederic P.Schoenberg。

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2022-5-31 04:48:37

用EM型算法估计地震学中的时空分支处理模型。J、美国。统计学家。Assoc.，103（482）：614–6242008。[42]Ping Zhan g.关于模型选择标准的收敛速度。通信统计员。《理论方法》，22（10）：2765–27751993。A、附录表一。模拟参数（参数集1）uααββP=1 0.5 9–10–P=2 0.5 0.00066 100–0.001 300–P=3 0.5 0.00033 3.3 100 0.001 10 300表二。参数集取自[26]（参数S et 2）uααββ0.05 0.01761905 0.28 0.04761905 0.66667表III.P阶指数Hawkes模型MLE的绝对RMSE值∈ {1，2，3}使用参数S et 1和可变的时间范围T∈ {500、1000、2000、5000}。用于模拟的模型顺序与用于拟合的模型一致。因此，trueparameter值是已知的，并且RMSE预计会随着MLE的提高而降低。uααβ平均样品尺寸EP=1 T=500 0.039664 0.42256–0.44731–2483T=1000 0.02763 0.32473–0.32928–5019T=2000 0.018738 0.21756–0.22197–9977T=5000 0.011276 0.13846–0.14544–24962P=2 T=500 0.071796 6 6 6.0214 12.399–37.322 44.92–470T=1000 0.061258 0.00085438 4 7.9865–0.0023803 18.956–1121T=2000 0.049989 0.00020347 4.7732–0.00045077 11.415–2977T=5000 0.042938 0.00010551 2.3918–0.00018339 5.9634–12883P=3 T=500 0.07713 0.3232 1.3408 9.8602 1.5085 9.7124 30.678 929T=1000 0.061804 0.00036118 0.29469 6.2401 0.0021189 0.76784 18.334 2207T=2000 0.051527 0.0001279 0.19655 3.8663 0.00058096 0.49288 11.77 5840T=5000 0.045562 0.000055755 0.10766 1.8741 0.00019317 0.27921 5.6723 25017表四相对RMS EP阶指数Hawkes模型的MLE值∈ {1，2，3}使用参数S et 1和可变的时间范围T∈ {500、1000、2000、5000}。用于模拟的模型顺序与用于拟合的模型一致。

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2022-5-31 04:48:40

因此，trueparameter值是已知的，并且RMSE预计会随着MLE的提高而降低。数值以百分比表示。uααβ平均样品尺寸EP=1 T=500 7.9328 4.6951–4.4731–2483T=1000 5.526 3.6082–3.2928–5019T=2000 3.7475 2.4173–2.2197–9977T=5000 2.2551 1.5384–1.4544–24962P=2 T=500 14.359 912330 12.399–3732200 14.973–470T=1000 12.252 129.45 7.9865–238.03 6-1121T=2000 9.9978 30.829 4.7732–45.077 3.805–2977T=50008.5877 15.986 2.3918–18.339 1.9878–12883P=3 T=500 15.426 97939 40.63 9.8602 150850 97.124 10.226 929T=1000 12.361 109.45 8.9301 6.2401 211.89 7.6784 6.1113 2207T=2000 10.305 38.758 5.956 3.8663 58.096 4.9288 3.9233 5840T=5000 9.1124 16.895 3.2624 1.8741 19.317 2.7921 1.8908 25017表V.使用参数集1选择P=1阶指数Hawkes模型模拟数据的模型具有不同的时间范围T∈ {500、1000、2000、5000}。中的数字表示模型顺序P的频率∈ 从1000个样本中选择{1，2，3}，并给出百分之一百。粗体数字显示最常选择的型号。时间范围P=1 P=2 P=3平均样本大小AIC T=500 92.8 6.9 0.3 2483T=1000 91.6 7.9 0.5 5019T=2000 92.1 7.6 0.3 9977T=5000 93.7 6.1 0.2 24962BIC T=500 99.8 0.2 0 2483T=1000 100 0 5019T=2000 100 0 9977T=5000 100 0 24962HQ T=500 98.9 1.1 0 2483T=1000 98.6 1.2 0.2 5019T=2000 99.2 0.8 0 9977T=5000 99.7 0.3 0 24962表VI.指数霍克斯模型模拟数据的模型选择阶数P=2，参数集1随时间范围T变化∈ {500、1000、2000、5000}。中的数字表示模型顺序P的频率∈ 从1000个样本中选择{1，2，3}，并给出百分之一百。

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