粗糙Heston模型中的完美套期保值

2022-5-31 06:19:59

粗糙赫斯顿模型中的完美对冲。埃尔-euch@polytechnique。eduMathieu Rosenbaum’Ecole Polytechniquemathieu。rosenbaum@polytechnique.eduMarch16，2017AbstractRough波动率模型已知可以再现历史波动率数据的行为，同时可以很好地拟合波动率表面，参数非常少。然而，由于动力学涉及分数布朗运动，在粗糙波动率下管理衍生品的风险可能非常复杂。我们在这篇论文中展示了，令人惊讶的是，在粗糙Hestonmodels的情况下，可以获得明确的对冲策略。复制的投资组合包含基础资产和远期方差曲线，并导致完美的对冲（至少在理论上）。从概率的角度来看，我们的研究使我们能够解开与粗糙波动率模型相关的有限维马尔可夫结构。关键词：粗糙波动率、粗糙赫斯顿模型、霍克斯过程、分数布朗运动、分数Riccati方程、极限定理、前向方差曲线。1简介【12】最近表明，粗略的分数过程使我们能够非常准确地再现历史波动性时间序列的行为。更准确地说，它们的对数的动力学与赫斯特参数为0.1阶的分数布朗运动的动力学非常相似。回想一下，带有赫斯特参数H的分数布朗运动∈ （0，1）可以从经典的双边布朗运动W通过Mandelbrot-vanness表示：WHt=Γ（H+1/2）Z构建-∞（t-s） H类--(-s） H类-dWs+Γ（H+1/2）Zt（t- s） H类-dWs。分数布朗运动具有H¨older正则性H-ε对于任何ε>0的情况。

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能者818

2022-5-31 06:20:02

因此，具有小赫斯特参数的分馏波动率模型被称为粗糙波动率模型。除了历史数据建模外，粗糙波动率模型为整个波动率表面提供了极好的拟合和动态，尤其是在货币倾斜时，几乎没有scalarparameters（通常为三个），请参见[4、11、12]。这种模型在实践中唯一的潜在缺点之一是很难对衍生品进行定价和对冲。事实上，尽管最近引入了一些有希望的方法，s ee【5】，但由于分数布朗运动的非马尔可夫性，在粗糙波动背景下运行有效的蒙特卡罗方法仍然是一项艰巨的任务，见【19】。然而，如【10】所示，在所谓的粗糙赫斯顿模型的特定情况下，可以获得衍生品的瞬时定价。【10】中的粗糙赫斯顿模型是对【15】中经典赫斯顿模型的粗糙框架的自然延伸。事实上，概率空间上的价格动态(Ohm, F、 F，P）定义如下：dSt=StpVtdWtVt=V+Γ（α）Zt（t-u） α-1λ（θ- Vu）du+Γ（α）Zt（t-u） α-1νpVudBu。（1）此处参数λ、θ、V、Sandν为正，α∈ （1/2，1）和W=ρB+p1- ρB⊥带（B，B⊥) 二维F-布朗运动与ρ∈ [-1，1]。从[10]中，分数阶随机微分方程（1）允许一个唯一的弱解，该解h为具有h¨older正则性α的samp lepaths-1/2-ε几乎可以肯定，对于任何ε>0的情况。还请注意，在α=1的情况下，我们检索到经典的赫斯顿模型。令人惊讶的是，在[10]中证明了一个半封闭公式“a la Heston”也适用于粗糙Heston模型中原木价格的特征函数。

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2022-5-31 06:20:05

该公式与经典Hestoncase中得到的公式非常相似，只是Riccati方程中的经典时间导数必须用分数微分代替。需要，我们有ia日志（ST/S）] = 经验值g（a，t）+Vg（a，t）,式中，g（a，t）=θλZth（a，s）ds，g（a，t）=I1-αh（a，t），h是以下分数Riccati方程的唯一连续解：Dαh（a，s）=(-一- ia）+（iaρν- λ） h（a，s）+νh（a，s），I1-αh（a，0）=0，带I1-α和Dα——附录A中定义的分数积分和导数运算符。当α=1时，这个结果与经典的Heston结果一致。此外，可以很容易地从中设计出普通期权的有效数字定价程序，参见【10】。因此，粗糙赫斯顿模型具有双重相关性：它同时具有粗糙波动率模型的冰建模特性和赫斯顿框架的计算优势。然而，如果定价程序不符合对冲策略，那么它的利益当然是有限的。能够建立对冲投资组合基本上意味着计算Ct=E[f（ST）| Ft]形式的条件预期，其中fis是一个确定性的支付函数。在经典的赫斯顿模型中，马尔可夫结构实际上对于粗糙的赫斯顿模型没有真正的标准定义，可以考虑其他版本，参见【13】。该模型非常有助于做到这一点。在粗略的情况下，这个任务要复杂得多，因为分数布朗运动既不是马尔可夫过程，也不是半鞅。为了解决这个问题，我们首先研究了粗糙Heston模型中的条件定律。我们实际上提供了一个非常好的稳定性。事实上，如果平均反转水平θ处的th被时间相关的θ所取代，那么在Ft的条件下，rough-Heston模型的定律仍然是rough-Heston模型的定律。

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2022-5-31 06:20:09

因此，我们概括了我们对拉夫赫斯顿模型的定义，考虑到平均回归水平取决于时间。然后，使用[10]中的霍克斯过程，我们能够计算广义粗糙赫斯顿模型中对数价格的扩展特征函数，即经验值zlog（圣/圣）（2）对于z=a+ib，带b∈ R的某些子集中的R和a将在稍后定义。从（2）的显式表达式中，我们可以推导出Ct的半封闭公式，例如遵循[7]中的方法。我们最重要的结果是，我们能够在粗糙的Heston模型中识别相关的状态变量，即下卧和所谓的前向方差曲线：（E[Vs+t | Ft]）0≤s≤T-t、实际上，我们证明了Ct可以写Ct=CT- t、 St，（E[Vs+t | Ft]）s≥0,C（）是一个合法的决定函数。上述公式严格地表明，粗略模型所需的对冲工具是现货价格和远期方差曲线，这一想法在[4]中已经得到了推广。根据[6]中提出的方法的精神，这样的结果是als o。更准确地说，我们表明期权价格的动态满足度dct=SC公司T- t、 St，（E[Vs+t | Ft]）s≥0dSt+VC公司T- t、 St，（E[Vs+t | Ft]）s≥0.dE[Vs+t | Ft]）s≥0,哪里SC是C的导数，与底层（所谓的delta）和Vc是根据向前方差曲线得出的C的Fr'echet导数。从这个表达式中，我们很容易得到基于基础和forwar d方差曲线的套期保值策略。当然，在实践中，人们无法真正交易整个远期方差曲线。然而，可以使用液体方差的WAP或普通选项建立近似值。还请注意，使用广义粗糙Heston模型可以通过时变均值回归参数完美拟合初始前向方差曲线。

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2022-5-31 06:20:12

因此，我们可以非常准确地再现历史数据的动态、整个波动率表面，包括货币倾斜和远期方差曲线，并且可以使用间接定价和对冲方法。本文的组织结构如下。在第二节中，我们研究了Rougheston模型的条件律，并引入了具有时变均值回归水平的广义rough-Heston模型。利用霍克斯过程，我们在第3节推导了广义粗糙赫斯顿模型中原木价格的特征函数，强调了前向方差曲线的作用。我们还讨论了基础价格有限时刻的有效条件。最后，我们在第4部分设计了我们的套期保值策略。一些证明被归入第5节，一些技术结果在附录中给出。2 rough-Heston模型的条件法则本文的目的是了解如何在rough-Heston框架（1）中对到期日t>0且付息（ST）的普通期权进行定价和对冲。因此，第一步是描述过程规律（Stt，Vtt）t≥0=（St+t，Vt+t）t≥0英尺条件，对于系数>0。事实上，为了推导期权价格动态并建立对冲组合，需要能够计算E[f（ST）| Ft]，0≤ t型≤ T为了说明我们关于粗糙Heston模型条件定律的结果，可以方便地引入模型（1）的广义版本，考虑到时变平均回归水平。定义2.1（广义粗糙赫斯顿模型）。关于滤波概率空间(Ohm, F、 F，P），我们定义了广义粗糙赫斯顿模型bydSt=StpVtdWtVt=V+Γ（α）Zt（t- u） α-1λ（θ（u）- Vu）du+Γ（α）Zt（t-u） α-1νpVudBu。（3）此处参数λ、V、Sandν为正，α∈ （1/2，1）和W=ρB+p1- ρB⊥带（B，B⊥) 二维F-布朗运动与ρ∈ [-1，1]。

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2022-5-31 06:20:15

此外，θ是非终结函数，在R上连续*+令人满意u>0；θ（u）≥ -VλΓ（1- α） u型-α、（4）和ε>0Kε>0；u∈ （0，1]；θ（u）≤ Kεu--ε。（5）注意，在条件（4）和（5）下，分数阶随机微分方程（3）允许唯一的弱解，见定理3.1和相关参考文献。现在我们给出了广义粗糙Heston模型的条件律的结果（模型（1）是的一个特例）。Let（St，Vt）t≥0由（3）定义。我们有以下定理，在第5.1节中得到证明。定理2.1。过程定律（Stt，Vtt）t≥0是具有以下动态的广义粗糙Heston模型：dStt=SttqVttdWtt，St=StVtt=Vt+Γ（α）Zt（t-u） α-1λ（θt（u）- Vtu）du+Γ（α）Zt（t- u） α-1νqVtudBtu，带（Wtt，Btt）t≥0=（重量+t-Wt、Bt+t-Bt）t≥0a相关ρ与Ftandθt（u）=θ（t+u）+αλΓ（1）无关的二维布朗运动-α） Zt（t- v+u）-1.-α（Vv- Vt）dv+（u+t）-αλΓ（1- α）（五）- Vt），这是一个在R上连续的Ft可测量函数*+这样，条件（4）和（5）（其中指数0应替换为t）得到满足。因此，广义粗糙Heston模型类在条件方面是稳定的。粗糙赫斯顿模型的条件定律仍然是粗糙赫斯顿模型的条件定律。唯一的区别是平均回归水平函数的修正。特别是，当考虑到通常的粗糙Heston模型（1）时，常数参数θ在时间t采用条件律时成为一个可测量的函数。这一结果将对粗糙Heston fr amework中的套期保值策略至关重要，并且更一般地理解与粗糙Heston型动力学相关的状态变量。3广义粗糙赫斯顿模型的特征函数本节的目标是推导粗糙赫斯顿模型（3）中原木价格的扩展特征函数。

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2022-5-31 06:20:20

这与定理2.1一起将使我们能够推导条件特征函数，从而得出套期保值策略。实现这一目标的第一步是建立一个合适的流程序列，该序列收敛于广义粗糙赫斯顿定义模型2.1。然后，我们将能够对这些过程进行计算（不需要驱动特征函数），并将它们传递到极限，以获得广义的Drough Heston模型的结果。3.1广义粗糙赫斯顿模型作为几乎不稳定的霍克斯过程的极限在[10]中，建立了一个基于二维霍克斯过程的微观价格模型，以便在适当地重新调整到粗糙赫斯顿对数价格（具有恒定的均值回归）后，从长期来看收敛。然后，根据该结果得到特征函数。该方法可以很容易地推广到极限条件下的广义粗糙赫斯顿模型。然而，它只允许我们用a=0计算（2）。这还不足以使经典的傅立叶反演方法（如[7]中的方法）严格应用于计算价格和对冲投资组合。因此，我们在本节中使用了另一个应用程序roach，与[16]中的应用程序roach非常相似。我们考虑一维Hawkes过程（NTt）的序列≥0，指数为T>0到单位，强度由λTt=uT+ZtaTν（T- s） dNTs，其中uTand aTare为正常数，aT<1和dД：R*+→ R+是可积的，因此R∞^1=1。在[16]中，可以看出，提供了xαZ∞xх（s）ds-→x个→∞Γ（1- α），α∈ （1/2，1），（6）和Tα（1- aT）-→T→∞λ、 T1级-αuT-→T→∞λ/ν，对于某些正常数λ和ν，强度过程λtta的适当重标度版本在共向上表现为具有常数均值回复参数（如（1）且初始方差等于零）的粗糙Heston模型的方差过程。

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2022-5-31 06:20:23

为了获得与时间相关的平均回复水平和极限中的非零起始值，我们受到了[10]中的一个想法的启发，这里显示了一种与时间相关的ut方法，可以修改极限中的一些参数。更准确地说，我们考虑以下假设，其中fα，1表示附录A中定义的Mittag-Le-fluer密度函数。1、假设3.1。存在λ，ν>0，α∈ （1/2，1）和V>0，使得对于T>1/λ-1/α和t≥ 0，λTt=uTζT（T）+ZtДT（T- s） dNTs，其中t=1- λT-α、 uT=（λ/ν）Tα-1，ДT=aTД，其中Д=fα，1和ζT（T）=V1.- aT（1-ZtДT（T-s） ds）-ZtДT（T- u）杜邦+ZtДT（T- u） θ（u/T）du，其中θ（）满足定义2.1的假设。请注意，我们正在所谓的Hawkes进程几乎不稳定的情况下工作，因为内核的形式转换为1。此外，请注意（6）已满足要求，请参见附录A。1、备注3.1。备注：ζTcan也可写为：ζT（T）=ZtДT（T- u） θ（u/T）du+VTαλZ∞tД（s）ds+λt-αZtД（s）ds.因此，使用该I1-ανT（T）=R∞tхt，见附录A。1，连同条件（4）wegetζT（T）≥ -VλΓ（1- α） TαZtИT（T- u） u型-αdu+VTαλZ∞tД（s）ds+λt-αZtД（s）ds= -VλTαZ∞tхt（s）ds+VTαλZ∞tД（s）ds+λt-αZtД（s）ds= VuT（Z∞tД（s）ds+λt-αZtД（s）ds.这表明ζ是一个正函数，因此强度过程λtti得到了很好的定义。我们确定MTt=NTt-RtλTsds和xtt=ν1- aTTαλNTtT，∧Tt=ν1- aTTαλZtTλTsds，ZtT=νr1- aTTαλMTtT。函数θ上的条件（4）和（5）允许我们以一种前瞻性的方式修改[10，16]中的证明，以获得以下结果。定理3.1。让t>0。

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2022-5-31 06:20:26

A s T→ ∞, 根据假设3.1，流程∧Tt、XTt、ZTtt型∈[0，t]将Skorokhod拓扑的i n定律收敛到（λ，X，Z），其中∧t=Xt=ZtVsdsZt=ztpvsdbs，这是一个连续鞅。oV是粗糙随机微分方程的唯一弱解vt=V+Γ（α）Zt（t- s） α-1λ（θ（s）- Vs）ds+νΓ（α）Zt（t- s） α-1pVsdBs，其中B是布朗运动。此外，过程V是非负的，并且具有H¨olderregularityα- 1/2- ε对于任何ε>0的情况。定理3.1将是获得广义粗糙赫斯顿模型中原木价格扩展特征函数的关键结果之一。3.2广义粗糙赫斯顿模型中有限矩的条件我们的目标是计算（2）R （z） 6=0。实现这一点的一个初步步骤是推导出有效条件，以确定立杆经验矩的完整性RTVSD简陋的赫斯顿模型。为了得到这样的结果，我们使用定理3.1。让a∈ R.首先，请注意（St）a=（S）aexpaρZtpVsdBs-aZtVsds+ap1- ρZtpVsdB⊥s.因此，我们有[（St）a]=（S）aEexp（aρZtpVsdBs+(-a+a（1- ρ））ZTVSD）.现在定义=expaρZtpVsdBs-aρZtVsds.过程mt是一个正的局部鞅，实际上是通过命题b。1在附录中，一个真鞅。确定相应的概率度量Q:dQdPFt=Mt。根据Girsanov定理，在Q下，BQt=Bt- ρztpvsd是F-布朗运动。因此，在Q下，（3）中定义的V仍然是广义粗糙Heston模型的方差过程，但参数不同：Vt=V+Γ（α）Zt（t- u） α-1￠λ（￠θ（u）- Vu）du+Γ（α）Zt（t- u） α-1νpVudBQu，（7），其中∧=λ- ρνa，|θ（t）=λθ（t）λ-ρνa，提供λ- ρνa>0。因此，我们得出[（St）a]=（S）aEQ[经验((-a+a）ZtVsds）]。（8）因此，forEQ上的一个有效条件((-a+a）ZtVsds）]<∞ （9）将很容易为E[（St）a]的完整性提供充分的条件。现在我们来解释如何导出这样的条件。

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2022-5-31 06:20:30

回想一下T heorem3.1，νT-2αNTT法律侵权。因此，我们首先寻找∈ R表示w[exp（aνT-2αNTtT）]<∞, （10）对于较大的enou gh T>0和固定的T>0。这是使用霍克斯过程的总体解释来完成的，见附录C。1、它引导我们在∈ R表示（9）。此外，我们能够明确计算（10）中的期望值，见附录C.1。因此，我们可以传递到极限，当T到达单位时，然后得到（9）中期望的显式表达式。更准确地说，我们得到了以下结果，其证明见第5.2条，其中a（t）由a（t）=2ν（λ+αt定义为t>0-αΓ（1- α））。定理3.2。设V为广义粗糙Heston模型（3）的方差过程。对于任何t>0和a<a（t），Eexp（aZtVsds）< ∞安第斯山脉exp（aZtVsds）= 经验值Ztg（a，t- s）（λθ（s）+Vs-αΓ（1- α））ds,其中g（a，.）是以下分数Riccati方程的唯一连续解：Dαg（a，s）=a- λg（a，s）+νg（a，s），s≤ t、 I1-αg（a，0）=0。对于任何0≤ s≤ t、该功能满足（a，s）≤cναs-αΓ（1- α） +νpa（s）- 一对于某些常数c>0。此外，对于固定的0≤ s≤ t、 a→ g（a，s）为非递减ands→ 如果a<0，g（a，s）在[0，t]上不增加，如果a>0，g（a，s）不减少。让St表示定义2.1的广义Rough-Heston模型中的价格。利用（8），我们得到了关于St.Corolution 3.1矩的以下推论。让t>0。假设λ- ρνa>0，a-（t） <a<a+（t），其中-（t） =ν- 2ρνX（t）+p（t） 2ν（1- ρ），a+（t）=ν- 2ρνX（t）-p（t） 2ν（1- ρ），x（t）=λ+αt-αΓ（1- α），则，（t） =4νX（t）+ν- 4ρνX（t）。然后我们有[（St）a]<∞.此外，E[（St）a]=（S）aexpZth（a，t- s）（λθ（s）+Vs-αΓ（1- α））ds,其中h（a，.）是以下分数Riccati方程的唯一连续解：Dαh（a，s）=a- 一-（λ- ρνa）h（a，s）+νh（a，s），s≤ t、 I1-αh（a，0）=0。备注3.1。

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2022-5-31 06:20:33

注意，如果我们在推论3.1中正式取α=1，我们的模型与经典的赫斯顿模型一致。在这种情况下，X（t）=λ，因此a-a+不依赖于ont。此外∈ R使得λ- ρνa>0，a-≤ 一≤ a+，正好对应于a的∈ R，其中t型≥ 0，E[（St）a]<∞,有关经典He-ston模型的力矩爆炸的更多详细信息，请参见[2]。推论3.1的证明：回想一下（8），E[（St）a]=（S）aEQ[经验((-a+a）ZtVsds）]。根据定理3.2以及在Q下，V紧随（7）的事实，如果λ-ρνa>0和(-a+a）<a（t）=2ν（￠λ+αt-αΓ（1- α））=2ν（λ- ρνa+αt-αΓ（1- α））。这相当于aν（1- ρ） +a(-ν+2X（t）ρν）- X（t）<0。a上的条件∈ 下文推论3.1中所述的R。最后，利用（8）和定理3.2.3.3，可以很容易地得到E[（St）a]的表达式。我们现在可以推导出广义粗糙赫斯顿模型的特征函数。让t>0。我们要计算（z，t）=E经验值z日志（St/S）,其中z∈ C满意度=a+ib，a，b∈ R、 λ- ρνa>0，a-（t） <a<a+（t），（11），其中a-（t）和a+（t）在推论3.1中定义。回想一下推论3.1，（11）意味着expz日志（St/S）是可积的，并且在R（z，t）之前定义得很好。使用与前面章节中相同的计算，我们得到R（z，t）=公式经验值ibρZtpVsdBQs+（ρb+z- z） ZtVsds. （12）如前所述，在Q下，V仍然遵循由布朗运动BQ驱动的广义粗糙赫斯顿模型的方差过程，参见（7）。因此，我们需要研究y（z，x，t）=E经验值ixZtpVsdBs+zZtVsds,带x∈ R、 z∈ C使R（z） <a（t），（a（t）在定理3.2中定义），V是广义粗糙赫斯顿模型的方差过程。

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2022-5-31 06:20:36

为此，我们再次使用定理3.1。确实（νT-2αNTtT，νT-αMTtT）随着T到（RTVSD，Rt√VsdBs）。计算[经验ixνT-αMTtT+zνT-2αNTtT]通过g的极限，我们得到以下结果，其证明见第5.3节。定理3.3。设V为广义粗糙Heston模型（3）的方差过程。对于任何t>0，b∈ R和z∈ C使R（z） <a（t），G（z，x，t）=expZtξ（z，x，t- s）（λθ（s）+Vs-αΓ（1- α））ds,式中ξ（z，x，.）是以下分数Riccati方程的唯一连续解：Dαξ（z，x，s）=z-x+（ixν- λ） ξ（z，x，s）+νξ（z，x，s），s≤ t、 I1-αξ（z，x，0）=0。下面的推论很容易从定理3.3和（12）中得到。推论3.2。设t>0和z∈ C满足（11）。我们有r（z，t）=expZth（z，t- s）（λθ（s）+Vs-αΓ（1- α））ds,其中h（z，.）是以下分数Riccati方程的唯一连续解：Dαh（z，s）=（z- z） +（zρν- λ） h（z，s）+νh（z，s），s≤ t、 I1-αh（z，0）=0.3.4与前向方差曲线的关系我们现在展示了如何将推论3.2中给出的特征函数写成前向方差曲线的函数（E[Vt]）≥在计算对冲投资组合时，此属性在下一节中至关重要。我们首先指出，时间相关参数θ可以通过以下结果直接与前向方差曲线联系起来。提案3.1。设V为广义粗糙Heston模型（3）的方差过程。对于任何t≥ 0，我们有e[Vt]=V1.- Fα，λ（t）+Ztfα，λ（t- s） θ（s）ds，（13）其中Fα、λ和Fα、λ在附录A中定义。1、此外，θ可以写成前向方差曲线的函数，如下所示：λθ（t）+Vt-αΓ（1- α） =DαE[Vt]+λE[Vt]，t>0。（14）命题证明3.1：以与[16]相同的方式，我们可以证明f或任何t≥ 0，E【ZtVsds】<∞.所以我们有t→ E[Vt]是局部可积的。

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2022-5-31 06:20:40

此外，fα，λ是平方可积的，参见附录A。因此，对于任何t≥ 0，Ztfα，λ（t-s） E[Vs]ds<∞.因此，E[Ztfα，λ（t- s） pVsdBs]=0。将V的动力学写成如下形式，如【16】：Vt=V1.- Fα，λ（t）+Ztfα，λ（t- s） θ（s）ds+νλZtfα，λ（t- s）我们推导出（13）。现在使用Fubini定理并注意到I1-αfα，λ=λ（1- Fα，λ），见附录A。1，对于任何t≥ 0，I1-αE【Vt】=Vt1-α（1- α） Γ（1- α） +Ztλ1.- Fα，λ（t- s）（θ（s）- 五） ds。再次使用Fubini，可以重写1-αE【Vt】=Vt1-α（1- α） Γ（1- α） +Ztλ（θ（s）- 五） ds公司- λZtZsfα，λ（s-u）（θ（u）-五）哑弹。然后我们从（13）中得出-αE【Vt】=Vt1-α（1- α） Γ（1- α） +Ztλ（θ（s）- 五） ds公司- λZt（E[Vs]- 五） ds。通过区分这最后一个等式，我们最终获得（14）。备注3.2。假设前向方差曲线t→ 通过隐含波动率表面或流动性方差掉期在市场上观察到E[Vt]，并且该曲线允许α阶分数导数。然后，可以选择均值回归函数θ，以便通过取λθ（t）=Dα（E[V]），使模型与该市场远期方差曲线一致- 五）（t）+λE[Vt]。根据推论3.2和命题3.1，我们最终可以将原木价格的特征函数写成远期方差曲线的函数。因此，这表明在广义粗糙赫斯顿模型中，前向方差曲线是一个相关的状态变量。此类现象也出现在【6】中开发的模型类别中。更准确地说，我们有以下推论。推论3.3。设t>0和z∈ C满足（11）。

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2022-5-31 06:20:45

我们有r（z，t）=expZtχ（z，t- s） E[Vs]ds,其中χ（z，t）=（z- z） +zρνh（z，t）+νh（z，t），带h（z，.）推论3.2中给出的分数阶Riccati方程的唯一连续解。因此，对数价格的特征函数和条件特征函数可以用前向方差曲线表示。这表明该对象在这个有限维分数设置中扮演着状态变量的角色。实际上，这一结果可能可以在一个更一般的流程框架中理解，请参见[1，8]。推论3.3的证明：Lemma。附录中的2，对于任何0≤ s≤ t、 h（z，s）=Zsλfα，λ（s- u） χ（z，u）du。（16）此外，从（13）以及I1-αfα，λ=λ（1- Fα，λ），见附录dix A.1，我们有e[Vs]=ZsλFα，λ（s- u）（λθ（u）+Vu-αΓ（1- α））du。然后，使用Fubini-th-eorem，我们得到ztχ（z，t- s） E[Vs]ds=ZtZt公司-sλfα，λ（t- s- u） χ（z，u）du（λθ（s）+Vs-αΓ（1- α））dsand thereforeZtχ（z，t- s） E[Vs]ds=Zth（z，t- s）（λθ（s）+Vs-αΓ（1- α））ds。结果来自推论3.2.4广义粗糙Heston模型下的套期保值我们考虑广义粗糙Heston模型，并附加假设ρ≤ 在本节中，我们将展示如何在CH模型中明确计算香草期权的套期保值组合。我们在这里处理的是一个欧洲看涨期权的情况，其到期日T>0，strikeK>0。尽管如此，应用程序roach可以很容易地扩展到其他香草口味。很容易看出，我们可以找到一个>1的值，这样推论3.1的条件就可以满足任何≥ 因此，对于任何t≥ 0，E[（St）a]<∞.我们定义了看涨期权价格过程CT=E[（ST- K） +|英尺]，0≤ t型≤ T、 We writeXt=log（St），T≥ 0和g（x）=e-ax（ex- K） +，x∈ R、我们有g∈ L（R）∩ L（R）和因此g（x）=2πZb∈R^g(- b） eibxdb，其中^g∈ L（R）∩ L（R）是g的fourier变换。

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2022-5-31 06:20:47

请注意，我们能够明确地计算^g：^g（b）=e（1-a+ib）对数（K）（ib- a）（ib）- a+1），b∈ R、然后，我们用Fubin i定理推导出Ct=E[g（XT）eaXT | Ft]=2πZb∈R^g(- b） PTt（a+ib）db，（17），其中PTt（a+ib）=E[经验值（a+ib）XT|英尺]。利用条件为Ft的S仍然遵循广义粗糙Heston动力学方程和推论3.3的事实，我们得到了[exp（a+ib）对数（ST/ST）| Ft] = 经验值ZT公司-tχ（a+ib，t- t型- s） E[Vs+t | Ft]ds,其中χ在推论3.3中定义。因此，PTt（a+ib）=exp（a+ib）对数（St）+ZT-tχ（a+ib，t- t型- s） E[Vs+t | Ft]ds. （18）因此，从（18）中，我们推断PTt（a+ib）是在到期日T:E【Vt+u | Ft】，0≤ u≤ T- t、 LetVα，λ={ξ：R+→ R+，ξ（t）=Zts-αλΓ（1- α） fα，λ（t- s） θξ（s）ds，θξ在R+}上是连续的。空间Vα，λ是一个包含V+α，λ={ξ∈ Vα，λ，θξ>0，对于任何t>0，θξ（t）=ξ（0）+tαλΓ（1-α） θξ（t），θξ满足度（5）}，这是由广义粗糙Heston模型生成的所有可能的前向方差曲线集。注意，通过与命题3.1相同的计算，我们得到了每个ξ的函数θξ的不等式∈ Vα，λ，因为我们有θξ（t）=Dαξ（t）+λξ（t）Γ（1- α） tα，t>0。我们为Vα，λ配备以下完整度量：dα，λ（ξ，ζ）=k |θξ- θζ|∧ 1公里∞.从（17）和（18）中，我们得出现货价格和远期方差曲线是买入价格过程的相关状态变量。的确，存在一个确定性泛函：R+×R*+×Vα，λ→ R使CT=CT- t、 St，（E[Vs+t | Ft]）s≥0, t型∈ [0，T]，其中任何T≥ 0，S∈ R+和ξ∈ Vα，λCt、 S，ξ=2πZb∈R^g(-b） L（a+ib，t，S，ξ）db，（19）其中L（a+ib，t，S，ξ）=exp（a+ib）对数+Ztχ（a+ib，t- s） ξ（s）ds.在第5.4节证明的以下命题中，我们给出了泛函C的一些有用的正则性性质。命题4.1。

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2022-5-31 06:20:51

Letξ∈ V+α，λ，S>0，t>0，并假设|ρ|<1。（19）中定义的函数C（t，，，ξ）在S中是可微分的，其导数如下所示：SC公司t、 S，ξ=2πZb∈Ra+ibS^g(- b） L（a+ib，t，S，ξ）db。此外，函数C（t，S，.）在ξ中Fr'echet的意义上是可区分的，导数如任何ζ∈ Vα，λ，VC公司t、 S，ξ）。ζ=Zt2πZb∈R^g(- b） L（a+ib，t，S，ξ）χ（a+ib，t- s）数据库ζ（s）ds。本节结束时，我们将陈述我们的结果，说明如何通过交易基础和远期方差曲线来构建对冲投资组合。定理4.1。任何时候t∈ [0，T]，我们有ct=C+ZtSC（T-u、苏，E【V.+u | Fu】）dSu+ZtVC（T-u、苏，E【V.+u | Fu】）。（dE【V.+u | Fu】），其中VC（T- u、苏，E【V.+u | Fu】）。（dE[V.+u | Fu]）表示-u2πZb∈R^g(-b） L（a+ib，T- u、 Su，E[V.+u | Fu]）χ（a+ib，T-u- s）数据库dE[Vs+u | Fu]ds，其中dE[Vx | Fu]是鞅Mu=E[Vx | Fu]u时的Ito微分，u≤ x、备注4.1。我们实际上也证明了de[Vs+u | Fu]=λfα，λ（s）νpVudBu。第5.5节给出了Th eorem4.1的证明。这一结果表明，在标的资产和远期方差曲线可以（连续时间）交易的理想情况下，广义粗糙Heston模型可以获得完美的复制。当然，在实践中，这一策略将被离散化，在e上将使用流动性方差掉期或欧洲期权，而不是远期方差曲线。备注4.2。有趣的是，价格函数C（t，S，ξ）是aFeynman-Kac型路径依赖偏微分方程的解。

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2022-5-31 06:20:54

让我们根据时间t>0定义以下导数：tC（t，S，ξ）=limε→0+εC（t- ε、 S，ξε+）- C（t，S，ξ）.我们很容易得到，L（a+ib，t，S，ξ）是以下路径相关PDE的解：0=tL+（Spξ）SL+（νpξ）VL。（λfα，λ，λfα，λ）+ρ（Spξ）（νpξ）S、 VL。（λfα，λ），初始条件L（a+ib，0，S，ξ）=Sa+ib。如命题4.1所示，我们可以证明C在S和i n V中是两次可微的（在V的Fr′echet意义上），并且tC定义明确。因此，我们可以推断C满足相同路径依赖的PDE：0=tC+（Spξ）SC+（νpξ）VC。（λfα，λ，λfα，λ）+ρ（Spξ）（νpξ）S、 VC。（λfα，λ），初始条件C（0，S，ξ）=（S- K） +。请注意VC。（λfα，λ，λfα，λ）（分别为。S、 VC。（λfα，λ））是C的第二个Fr'echet导数（分别是SC）应用于（λfα，λ，λfα，λ）（分别为λfα，λ），即使λfα，λ不属于度量空间Vα，λ，也定义明确。5证明分数阶积分和导数的概念在证明中大量使用。附录A.5.1理论证明2.1中给出了与之相关的符号、定义和有用结果。通过使用随机富比尼定理，我们可以发现Vttconditional on ft1的动态-αV是s-emi鞅，对于t>0，（I1-αV）t=VZts-αΓ（1- α） ds+Ztλ（θ（s）-Vs）ds+ZtνpVsdBs。因此，Γ（1- α） Zt+t（t+t- u）-αVudu等于Γ（1- α） Zt（t-u）-αVudu+VZt+ttΓ（1- α） u型-αdu+Zt+ttλ（θ（u）-Vu）du+Zt+ttνpVudBu。使用变量更改，可将其写入Γ（1- α） Zt（t-u）-αVudu+VZtΓ（1- α）（t+u）-αdu+Ztλ（θ（u+t）-Vtu）du+ZtνqVtudBtu，其中（Btt）t≥0=（Bt+t- Bt）t≥0是独立于Ft的布朗运动。

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2022-5-31 06:20:57

此外-αVtt=Γ（1- α） Zt（t- u）-αVtudu=Γ（1- α） Zt+tt（t+t- u）-αVudu等于Γ（1- α） Zt+t（t+t- u）-αVudu-Γ（1- α） Zt（t+t- u）-αVuduand thatΓ（1- α）（t- u）-α- （t+t- u）-α=αΓ（1- α） Zt（t- u+v）-1.-αdv，我们导出1-αVtt=αΓ（1- α） ZtZt（t- u+v）-1.-αdvVudu+ZtΓ（1- α）（t+u）-αduV+Ztλ（θ（u+t）- Vtu）du+ZtνqVtudBtu。可按如下方式写入：Vtt1-α（1- α） Γ（1- α） +Ztλ（θt（u）- Vtu）du+ZtνqVtudBtu，（20）带（θt（u））u≥0a可测量且由θt（u）=θ（t+u）+αλΓ（1）定义的函数- α） Zt（t- v+u）-1.-α（Vv- Vt）dv+（u+t）-αλΓ（1- α）（五）- Vt）。θtIt的性质很清楚，θ在R上是连续的*+. 此外，很容易看出，对于任何大于0的u：θt（u）=θ（t+u）+αλΓ（1- α） Zt（t-v+u）-1.-αVvdv+λΓ（1- α）（V（u+t）-α-Vtu-α）。由于V是一个非负过程，θ满足（4），我们得到θtalso满足（4）。最后，对于固定ε>0，V为α- 1/2- εH–older连续，几乎每个ω都存在∈ Ohm 正常数cε（ω），对于任何x，y∈ [0，t]：| Vx- Vy |≤ cε（ω）| x- y |α-1/2-ε。因此，通过部分积分，我们得到∈ （0，t）| Zt（t- v+u）-1.-α（Vv- Vt）dv |≤ cε（ω）Zt（t- v+u）-1.-α（t- v） α-1/2-εdv=cε（ω）u-1/2-εZt/u（x+1）-1.-αxα-1/2-εdx≤ cε（ω）u-1/2-εZ∞（x+1）-1.-αxα-1/2-εdx。因此θtsatis fies条件（5）几乎可以肯定。证明结束，我们结束证明，注意到从（20）和随机Fubini定理中，我们有th atZtVtsds=Γ（α）Zt（t- s） α-1I1-αVtsdsis等于vtt+Γ（α）ZtZs（s- u） α-1λ（θt（u）- Vtu）duds+Γ（α）ZTZ（s- u） α-1νqVtudBtuds。因此，通过区分之前的等式，我们得出结论，（St，Vt）的动态由tt=Stexp给出ZtqVtudWtu-ZtVtudu,Vtt=Vt+Γ（α）Zt（t- u） α-1λ（θt（u）- Vtu）du+Γ（α）Zt（t- u） α-1νqVtudBtu，其中（Wtt）t≥0=（重量+t- 重量）t≥0是独立于Ft的布朗运动，与Bt相关ρ。5.2理论证明3.2我们在这里处理假设3.1中定义的Hawkes过程序列。

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能者818

2022-5-31 06:21:00

为t重新调用≥ 0，来自定理3.1，νT-2αNTtT，当T到ZTVSD的单位时，在定律上收敛，其中V是分数阶随机微分方程（3）的解。定理3.2的一个关键步骤是证明∈ R、 E[exp（aνT-2αNTtT）]-→T→∞E[实验（aZtVsds）]。（21）将附录C.1中的（31）应用于霍克斯过程NT，我们编写了[exp（aνT-2αNTtT）]=经验ZtλζT（T（T- s））gT（a，s）ds,with gt（a，t）=ν-2Tαexp（aνT-2α）E[exp（aνT-2αNf，TtT）]- 1.,其中，Nf是儿童集群的霍克斯过程（移民率和内核数），见附录C。1了解详情。此外，从引理A.5来看，λζT（ts）随着Tgo es向λθ（s）+Vs的方向收敛-αΓ（1- α），0<s≤ t、因此，剩下来研究函数gT的收敛性。从现在起，GTC的一致有界性表示从一行到另一行可能变化的正常数。根据附录C中的（30），对于每个t>0，gT（a，t）<∞ （22）提供edaνT-2α≤ZtTИT-1.- 日志（ZtTДT）。此外，请注意附录A。1，T2αZtTИT- 1.- 日志（ZtTИT）-→T→∞（λ+αt-αΓ（1- α））。因此，对于足够大的T>T（a，T，λ，ν）和a<a（T），且a（T）=2ν（λ+αT，性质（22）是满足的-αΓ（1- α））。此外，作为Nf，T≤ N∞,T（即附录C.2中定义的高尔顿-沃森过程），使用附录C.2中的（34），我们得到[exp（aνT-2αNf，TtT）]≤Xn公司≥0νT（T）ne-νT（T）（n+1）n！（n+1）n-1eaνT-2αn，其中νT（T）=RtTνT。从（34）中也很容易看出（通过取a=0和ν=1 in（34）），1=Xn≥0e-（n+1）n！（n+1）n-因此，我们得到gt（a，t）≤ ν-2TαXn≥0e-（n+1）n！（n+1）n-1.νT（T）ne（1-νT（T））（n+1）eaνT-2α（n+1）- 1.=ννT（T）TαXn≥0e-（n+1）n！（n+1）n-1.外部（t）（n+1）- νT（T）,式中，xt（t）=1- νT（T）+log（νT（T））+aνT-2α，T>T（a，T，λ，ν）时为非正。

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2022-5-31 06:21:05

因此gt（a，t）≤ννT（T）Tα（1- νT（T））。现在假设a≤ 0，我们再次使用Nf，T≤ N∞,Tand（34）获得ν-2TαXn≥0e-（n+1）n！（n+1）n-1.外部（t）（n+1）- 1.≤ gT（a，t）≤ 0、根据斯特林g公式，e-（n+1）n！（n+1）n-1.~n→∞p2π（n+1）。因此-cννT（T）TαXn≥0（n+1）3/2（1- 分机（t）（n+1））≤ gT（a，t）≤ 我们从Lemma推导。7该-cννT（T）p-T2αxT（t）≤ gT（a，t）≤ 因此，对于任何a<a（t）：| gT（a，t）|≤ cννT（T）Tα（1- νT（T））+p-T2αxT（t）.最后，注意tα（1- νT（T））→αt-αΓ（1- α） andT2αxT（t）→ ν（a（t）- a），随着时间的推移。最终，lim supT→∞|gT（a，t）|≤ cν-2.αt-αΓ（1- α） +νp（a（t）- （a）. （23）gTWe的一致收敛现在fix t>0且a<a（t）。函数t→ gT（a，t）是单调的，因此gT（a，0）=0，对于任何0≤ t型≤ t | gT（a，t）|≤ |gT（a，t）|。此外，从前面的部分来看，存在T（T，a，λ，ν）>0，这样就支持T≥T | gT（a，T）|<∞.因此，gT（a，.）一致有界于0≤ t型≤ 坦德T≥ T、我们现在假设T≥ T、将附录C.1中的（31）应用于霍克斯过程Nf，T，我们得到∈ [0，t]，νt-αgT（a，t）+1=经验νT-2αa+νT1-αZtИT（T s）gT（a，T- s） ds公司.通过取前面表达式的对数，我们写出νT-2αa+νT1-αZtИT（T s）gT（a，T- s） ds=νT-αgT（a，t）-νT-2αgT（a，t）- εT（T），其中| T3αεT |均匀分布在T中∈ [0，t]和t≥ T、 HencegT（a，T）=TZtаT（T s）gT（a，T- s） ds+aT-α+νT-αgT（a，t）+tανεt（t）。多亏了Lemma。1，gT（a，t）=aT1-αZtψT（ts）ds+νT1-αZtψT（ts）gT（a，T- s） ds+εT（T），其中εT（T）=aT-α+νT-αgT（a，t）+tανεt（t）+tα+1νZtψt（ts）εt（t- s） dsandψT=Xk≥1（^1T）*k、注意，Tαε在T中一致有界∈ [0，t]和t≥ T、再加上使用拉普拉斯变换计算，如【16】所示，我们得到λT1-αψT（T T）=aTfα，λ（T）。（24）ThusgT（a，t）=Ztλfα，λ（t- s）（a+νgT（a，s））ds+εT（T），其中εT（T）=εT（T）-T-αRtfα，λ（t-s）（a+νgT（a，s））ds。

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kedemingshi

2022-5-31 06:21:08

如【10】中命题6.5的证明所述，使用TαεTand gT（a，.）在t中一致有界∈ [0，t]和t≥ T、回想一下（ДT）*1=Д和（ДT）*k（t）=RtД（t- s）。（ηT）*k-1（s）ds。结合引理A.3，我们推导出gT（A，.）是C（[0，t]，R）上的Cauchy序列。因此它收敛到一个连续函数g（a，.）以下方程的解：g（a，t）=Ztλfα，λ（t- s）（a+νg（a，s））ds。作者：Lemma。2，它等价于分数Riccati方程dαg（a，t）=a- λg（a，t）+νg（a，t），I1-αg（a，0）=0，这允许一个唯一的连续解（唯一性是Lemma.3的一个明显推论）。最后指出，从（23），| g（a，t）|≤cναt-αΓ（1- α） +νpa（t）- 一.备注5.1。请注意，对于≥ 0，t→ g级(-a、 t）为非递增且自g起(-a、 0）=0，我们得到以下不等式：g(-a、 t）=Ztλfα，λ（t- s）（a+νg(-a、 s））ds≤λFα，λ（t）(-a+νg(-a、 t））。从这个不等式，我们得到t>0g(-a、 t）≤1.-q1+2νaλFα，λ（t）νλFα，λ（t）。证明结束了，我们知道对于任何t∈ [0，t]和固定a<a（t），E[exp（aνt-2αNTtT）]=经验ZtλζT（T（T- s））gT（a，s）ds.然后，从gT（a）的一致收敛性出发至g（a，.）和Lemma一起。4，Lemma。5和支配收敛定理，我们得到了[exp（aνT-2αNTtT）]→ 经验值Ztg（a，t- s）（λθ（s）+Vs-αΓ（1- α））ds随着时间的推移。利用Fatou引理，我们推导出[expaZtVsds公司] < ∞.我们通过展示（21）来结束这场公关。案例a≤ 0是显而易见的，我们假设0<a<a（t）。设ε>0，使a（1+ε）<a（t）。

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能者818

2022-5-31 06:21:10

从上面的计算中，存在（t，a，λ，ν，ε）这样的支持≥TE[exp（a（1+ε）νT-2αNTtT）]<∞.因此exp（aνT-2αNTtT）T≥它是一致可积的，我们得出结论E[exp（aνT-2αNTtT）]→ E[实验（aZtVsds）]。这就结束了定理3.2.5.3的证明定理3.3的证明在本节中，我们将自己置于广义粗糙赫斯顿模型（3）的f框架中，并计算f或0≤ t型≤ tG（z，x，t）=E[expzZtVsds+IXZTPVSDB],带x∈ R和z∈ C使R（z） <a（t），（a（t）在理论3.2中定义）。定理3.2的证明表明，存在T>0这样的表达式zνT-2αNTtT+ixνT-αMTtT对于固定t和t是一致可积的≥ T

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kedemingshi

2022-5-31 06:21:15

我们有zνT-2αNTtT+ixνT-αMTtT] （25）等于束角[exp（zνT-2α+ixνT-α） NTtT公司-ixνT-αZtTZsИT（s-u） dNTuds公司-ixνT-αuTZtTζT（s）ds].LetfT（t）=zνt-2α+ixνT-α- ixνT-αZtДT（s）ds。利用Fubini定理，我们得到（25）也等于ZTFT（tT- s） dNTs- ixλνZtζT（sT）ds].因此，我们从艾玛身上推断。引理A.5 thatG（z，x，t）=limT→∞E[经验值zνT-2αNTtT+ixνT-αMTtT]= 经验值-ixνZtλθ（s）+Vs-αΓ（1- α） ds公司限制→∞E[经验值ZTFT（tT- s） dNTs].通过附录C.3中关于Hawkes过程Nt和函数fT的限制（35），我们得到了足够大的t，expZTFT（tT- s） dNTs可积且ZTFT（tT- s） dNTs] = 经验值ZtλζT（T（T- s））kT（z，x，s）ds式中，kt（z，x，t）=νtαefT（tT）E[ERTFT（tT-u） dNf，Tu]- 1..此外，来自LemmaA。当T趋于λθ（s）+Vs时，λζT（ts）逐点收敛-αΓ（1- α），s≤ t、如第5.2节所示，我们证明了KT的一致有界性，然后证明了KT的un if orm收敛性。kTWe的一致有界性首先注意到对于t∈ [0，t]，| kT（z，x，t）|≤νTαefT（tT）E[ERTFT（tT-u） dNf，Tu]- ei公司I[fT（tT）]E[eRtTiI[英尺（tT-u） ]dNf，Tu]+ei公司I[fT（tT）]E[eRtTiI[英尺（tT-u） ]dNf，Tu]- 1..使用该R[英尺]=R（z） νT-2α和以下不等式| efT（tT）E[eRtTfT（tT-u） dNf，Tu]-ei公司I[fT（tT）]E[eRtTiI[英尺（tT-u） ]dNf，Tu]≤eR[fT（tT）]E[eRtTR[英尺（tT-u） ]dNf，Tu]-1.,我们推导出| kT（z，x，t）|≤ |千吨级(R（z），0，t）|+| kT（iI（z），x，t）|。在第5.2节中，我们已经证明了kT(R（z），0，t）在t中一致有界∈ [0，t]，对于足够大的t。现在剩下来显示kT（i）的一致有界性I（z），x，t）。现在我们取z=ia，其中a∈ R

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kedemingshi

2022-5-31 06:21:17

首先，注意fTbecomesfT（t）=iaνt-2α+ixνT-α（1-ZtνT（s）ds）=i（aν+xνλ）T-2α+ixνT-αZ∞tхt（s）ds。我们写▄XTt=fT（tT）+ZTFT（tT- s） dNf，Ts。很容易看出| fT（tT）|≤ |a |νT-2α+| x |νT-α。此外，E[ZtTfT（tT- s） dNf，Ts]等于toT-2αi（aν+λxν）ZtTE[λf，Ts]ds+ixνT-αZtTZ∞tT-sДT（u）duE[λf，Ts]ds，其中λf，是子Hawkes过程簇的强度Nf，T，见附录C。1、我们回顾其定义：λf，Tu=ДT（u）+ZuДT（u- s） dNf，Ts.使用LemmaA。我们知道λf，Tu=ψT（u）+ZuψT（u- s） dMf，Ts，其中Mf，T=Nf，T-R、 λf，Tsds是与Nf，T相关的鞅。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:21:20

由于（24），weobtainE[λf，TtT]=aTfα，λ（t）λtα-1、ThereforeZtTE[λf，Ts]ds≤Fα，λ（t）λtα≤Fα，λ（t）λtα≤ cTα。此外，使用y∈ R+→ yαR∞yхTis在y、T和I1中均匀结合-αfα，λ=λ（1- Fα，λ）（见附录A.1），我们得到了Ztz∞T（T-s） ^1T（u）到期[λf，TsT]ds≤cλZt（t- s）-αfα，λ（s）ds≤ c、然后我们推导出| E[XTt]|≤ cT-α（| a |ν+| x |ν）。使用它，存在c>0，这样对于任何y∈ R、 | eiy- 1.- iy |≤ cy，我们得到| E[EXTt- 1] |≤ c（| E[| XTt]|+E[| | XTt |]）。我们有≤ 2 | fT（t）|+2E[| ZtTfT（tT- s） dNf，Ts |]），andE[| ZTFT（tT- s） dNf，Ts |]≤ 2（E[| ZTFT（tT- s） dMf，Ts |]+E[| ZTFT（tT- s） λf，Tsds |]）。由于hMf，T，Mf，Ti=Rλf，T（s）ds，我们得到- s） dMf，Ts |]=E[ZtT | fT（tT- s） |λf，Tsds]≤ cT-α（| a |ν+| x |ν）。利用Fubini定理，我们导出了ZTFT（tT-s） λf，Tsds=ZtTfT（tT-s） ψT（s）ds+ZtTZtT-sfT（tT-s-u） ψT（u）dudMf，Ts。因此，E[| ZtTfT（tT- s） λf，Tsds |]≤ 2 | ZTFT（tT- s） ψT（s）ds |+2ZtT | ZtT-sfT（tT- s- u） ψT（u）du | E[λf，Ts]ds≤ c（| a |ν+| x |ν）T-2α（1+ZtTE[λf，Ts]ds）≤ c（| a |ν+| x |ν）T-α。我们最终推导出| kT（ia，x，t）|≤cνc（a，x）+c（a，x）, c（a，x）=ν| a |+ν| x |。在使用与第5.2节中相同的计算进行证明的最后，我们表明，对于fixedz∈ C和x∈ R因此R（z） <a（t），kT（z，x，.）是C（[0，t]，C）中的Cauchy序列，因此统一收敛到k（z，x，.）k（z，x，t）=ixν+Ztλfα，λ（t）的解- s）z+νk（z，x，t）ds。因此，我们推导出g（z，x，t）=expZtξ（z，x，t- s）（λθ（s）+Vs-αΓ（1- α））ds式中ξ（z，x，t）=k（z，x，t）- ix/ν，这是以下方程的解：ξ（z，x，t）=Ztλfα，λ（t- s）z-x+ibνξ（z，x，s）+νξ（z，x，s）ds。作者：Lemma。2，这相当于下面的分数Riccati方程：Dαξ（z，x，t）=z-x+（ixν- λ） ξ（z，x，t）+νξ（z，x，t），I1-αξ（z，x，0）=0。我们在这一节结束时发表以下评论，这些评论将有助于证明命题4.1。备注5.2。

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2022-5-31 06:21:23

从kT的定义来看，R（kT（z，x，t））≤ 千吨级(R（z），0，t）。当T到达极限时，我们得到R（ξ（z，x，t））≤ ξ(R（z），0，t）=g(R（z），t），其中g在定理3.2中定义。备注5.3。从KT的一致有界性证明出发，利用Orem 3.2中g的不等式，我们得到了任何t∈ [0，t]，|ξ（z，x，t）|≤ c（1+p|R（z） |+I（z） +x），其中c是一个正常数，x∈ R和z∈ C使R（z） <a（t）。5.4命题证明4.1We fix S>0，t>0，ξ∈ V+α，λ和a>1，使得E[（St）a]<∞. 使用与推论3.3证明中相同的计算，我们得到l（a+ib，t，S，ξ）=exp（a+ib）日志+Zts-αΓ（1- α） h（a+ib，t- s） θξ（s）ds,其中h是推论3.2中分数Riccati方程的唯一连续解。此外，感谢s对Remark5.2的注意，对于任何t>0和b，我们都有它∈ RRh（a+ib，s）≤ q（b，s），s≤ t、式中q（b，.）是以下分数Riccati方程的唯一连续解：Dαq（b，s）=a- 一-（1）- ρ） b类- （λ- ρνa）q（b，s）+νq（b，s），s≤ t、 I1-αq（b，0）=0。另请注意，对于大型| b |，a-一- （1）- ρ） bis负值，因此，使用Remark5.1，q（b，s）≤ M（b，s）=1-q1+ν（1-ρ） b类-（a）-a）（λ-ρνa）Fα，λ-ρνa（s）νλ-ρνaFα，λ-ρνa（s），s≤ t、根据域收敛定理，我们得到了zts-αΓ（1- α） M（b，t- s） θξ（s）ds~b→∞-|b | p1- ρνZts-αΓ（1- α） θξ（s）ds。因此，对于任何b，存在c（t，ξ）>0这样的th∈ R、 | L（a+ib，t，S，ξ）|≤ Saexp公司- c（t，ξ）(-1+| b |）.此外，很容易看出，对于任何b∈ R、 L（a+ib，t，，，ξ）在S中是可微的SL（a+ib，t，S，ξ）=a+ibSL（a+ib，t，S，ξ）。利用（17）和支配收敛定理，我们得出结论，C在第一个变量S中是可微的，并且SC（t，S，ξ）=2πZb∈R^g(- b） a+ibSL（a+ib，t，S，ξ）db。现在让ζ∈ Vα、λ和ε>0，使得θξ（s）- 对于任何s，ε|θζ（s）|>0∈ [0，t]。

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2022-5-31 06:21:26

对于任何ε6=0，ε∈ (-ε、 ε），ε| L（a+ib，t，S，ξ+εζ）- L（a+ib，t，S，ξ）|（26）等于AExpZts公司-αΓ（1- α）R（h（a+ib，t- s））（θξ（s）- ε|θζ（s）|）dsε经验值Zts公司-αΓ（1- α） εh（a+ib，t- s） θζ（s）-ds公司- 经验值Zts公司-αΓ（1- α） εh（a+ib，t- s） |θζ（s）| ds.回想一下，对于大型| b |，Rh（a+ib，s）对于任何s均为非正≤ t、因为存在c>0，所以对于任何z，z′∈ C使R（z）≤ 0和R（z′）≤ 0，| exp（z）- exp（z′）|≤ c | z- z′|，我们得出结论，（26）由CSA主导Zts公司-αΓ（1- α） | h（a+ib，t-s） | |θζ（s）| ds经验值Zts公司-αΓ（1- α）R（h（a+ib，t-s））（θξ（s）-ε|θζ（s）|）ds.使用与前面相同的参数，我们得到存在c（t，ξ，ζ，ε）>0 such thatexpZts公司-αΓ（1- α）R（h（a+ib，t- s））（θξ（s）- ε|θζ（s）|）ds≤ 经验值- c（t，ξ，ζ，ε）(-1+| b |）.从Remark5.3中，我们知道存在c（t）>0，因此对于任何s∈ [0，t]和b∈ R、 | h（a+ib，s）|≤ c（t）（1+b）。此外，请注意limε→0εL（a+ib，t，S，ξ+εζ）- L（a+ib，t，S，ξ）等于toL（a+ib，t，S，ξ）Ztχ（a+ib，t- s） ζsds。因此，根据支配收敛定理，C（t，S，.）在ζ方向上，在Fr'echet意义上是可区分的，并且VC（t，S，ξ）。ζ=2πZb∈R^g(-b） L（a+ib，t，S，ξ）Ztχ（a+ib，t- s） ζsds数据库。5.5理论证明4.1我们首先表明ZT-tχ（a+ib，s）E[VT-s | Ft]dS等于ztχ（a+ib，s）E[VT-s] ds公司-Ztχ（a+ib，T- s） Vsds+Zth（a+ib，T- s） νpVsdBs。（27）回想一下，从等式（15）中，我们得到Vs=E[Vs]+Zsλfα，λ（s- u） νpVudBu。这与随机Fub-ini定理一起给出了ztχ（a+ib，T-s） Vsds=Ztχ（a+ib，T-s） E[Vs]ds+ZtZt公司-uλfα，λ（s）χ（a+ib，T-u-s） ds公司νpVudBu。我们也有s的∈ [0，T- t] ，E[VT-s | Ft】=E【VT-s] +Ztλfα，λ（T- s- u） νpVudBu。

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2022-5-31 06:21:29

（28）然后类似地，ZT-tχ（a+ib，s）E[VT-s | Ft]Ds等于Zt-tχ（a+ib，s）E[VT-s] ds+ZtZT公司-tλfα，λ（t- s- u） χ（a+ib，s）dsνpVudBu。这也可以是wr ITTENTZTTχ（a+ib，T- s） E[Vs]ds+ZtZT公司-ut公司-uλfα，λ（s）χ（a+ib，T- u- s） ds公司νpVudBu。最后得到ztχ（a+ib，T- s） Vsds+ZT-tχ（a+ib，s）E[VT-s | Ft]dS等于ztχ（a+ib，T- s） E[Vs]ds+ZtZT公司-uλfα，λ（s）χ（a+ib，T- u- s） ds公司νpVudBu。因此（27）是从最后的关系式和（16）直接推导出来的。现在使用（27）和Ito公式，我们导出了ptt（a+ib）=PT（a+ib）+Zt（a+ib）PTs（a+ib）pVsdWs+ztps（a+ib）h（a+ib，T-s） νpVsdBs。然后通过（17）结合随机Fubini定理和命题4.1，我们得到Ct=C+ZtSC（T-u、 Su，E【V.+u | Fu】）dSu+2πZtZb公司∈R^g(-b） PTu（a+ib）h（a+ib，T-u）数据库νpVudBu。此外，再将（16）与Fubini-th-eorem结合使用，我们得到了2πZtZb公司∈R^g(-b） PTu（a+ib）h（a+ib，T- u）数据库νpVudBuis等于zt2πZT-uZb公司∈R^g(- b） PTu（a+ib）χ（a+ib，T- u- s） dbdsλfα，λ（s）νpVudBu。由于（28），最后一个数量可以用前向方差曲线表示。感谢Jim Gatheral进行了许多有趣的讨论。附录A分数阶计算我们定义了r阶分数阶积分∈ 函数f asIrf（t）=Γ（r）Zt（t）的（0，1- s） r-1f（s）ds，无论何时积分存在，d都是r阶的分数阶导数∈ [0，1）asDrf（t）=Γ（1- r） ddtZt（t- s）-rf（s）ds，无论何时存在。在本节中，我们收集了一些与分数阶微积分相关的有用技术结果。A、 1 Mittag-Le-fluer函数集（α，β）∈ （R）*+). 定义了Mittag-Le-fluer函数Eα，β，并用于z∈ C byEα，β（z）=Xn≥0znΓ（αn+β）。对于（α，λ）∈ （0，1）×R+我们还定义了α，λ（t）=λtα-1Eα，α(-λtα），t>0，Fα，λ（t）=Ztfα，λ（s）ds，t≥ 函数fα，λ是R+上的密度函数，称为Mittag-Le-fluer密度函数。fα，λ和fα，λ的下列性质可在[14，17，18]中找到。

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