连续鞅的无概率理论

nandehutu2022

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收藏 2022-05-31

英文标题：
《Towards a probability-free theory of continuous martingales》
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作者：
Vladimir Vovk and Glenn Shafer
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
Without probability theory, we define classes of supermartingales, martingales, and semimartingales in idealized financial markets with continuous price paths. This allows us to establish probability-free versions of a number of standard results in martingale theory, including the Dubins-Schwarz theorem, the Girsanov theorem, and results concerning the It\\^o integral. We also establish the existence of an equity premium and a CAPM relationship in this probability-free setting.
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中文摘要：
在没有概率论的情况下，我们定义了具有连续价格路径的理想化金融市场中的超鞅、鞅和半鞅类。这使我们能够建立鞅理论中许多标准结果的无概率版本，包括Dubins-Schwarz定理、Girsanov定理和关于It ^ o积分的结果。我们还建立了在这种无概率的情况下，股票溢价和资本资产定价模型之间的关系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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Towards_a_probability-free_theory_of_continuous_martingales.pdf
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mingdashike22

2022-5-31 06:53:26

走向连续鞅的无概率理论Ladimir-Vovk和Glenn-Shafer{volodya.Vovk，glennrayshafer}@gmail。comMarch 282017Abstracts没有概率论，我们定义了具有连续价格路径的理想化金融市场中的超鞅、鞅和半鞅类。这使我们能够建立鞅理论中许多标准结果的无概率版本，包括Dubins–Schwarz定理、Girsanov定理和关于It^ointegral的结果。我们还证明了在这种无概率的情况下，等式溢价和aCAPM关系的存在性。本文版本http://probabilityand融资。com（WorkingPaper 45）最常更新。1简介我们考虑的是一个金融市场，在这个市场中，有一定数量的证券以连续的价格路径进行交易。我们不做任何随机假设，我们的基本定义符合我们所称的博弈论概率的精神（参见，例如，[9]）。该理论的关键概念，无概率超边缘，在连续时间的情况下已以不同的方式形式化。[10]中提出的定义非常谨慎。Perkowski和Pr¨omel[5]提出了一种更宽泛的定义，使超边缘更容易。在本文中，我们提出了一个更广泛的超边缘定义，并用它来定义连续马尔可夫、非负上鞅等概念。这使我们能够推导出鞅理论几个标准结果的无概率版本。特别是，我们将给出文献[13]中所述（并以迂回的方式证明）的Girsanov定理的简单证明。在文章的最后，我们利用我们的结果给出了股权溢价和资本资产定价模型的无概率处理。2超鞅、鞅和半鞅金融市场的一个模型包含J*交易证券，其价格路径表示为S。

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可人4

2022-5-31 06:53:29

，SJ*; 这些是连续函数Sj：[0，∞) → R、 j=1，J*. 除了交易证券的价格路径外，我们的模型还将包含其他路径（“信息路径”）SJ*+1.反映交易者可用的“次要信息”（如经济或个别公司的基本面）；这些函数也被假定为连续的。形式上，我们的样本空间是集合Ohm := C[0，∞)Jof连续函数SJ:[0，∞) → R、 j=1，JJ*∈{1，…，J}是市场的一个参数（交易证券的数量）。每个ω=（S，…，SJ）∈ Ohm 与函数ω：[0，∞) → （0，∞)jd由ω（t）定义：=（S（t），SJ（t）），t∈ [0，∞). 我们装备Ohm 由函数ω生成的σ-代数f∈ Ohm 7.→ ω（t），t∈ [0，∞) （即使其可测量的最小σ-代数）。我们经常考虑Ohm 和上的函数Ohm（我们通常称之为泛函）关于F的可重测函数。随机向量是以下类型的F-可测函数Ohm → Rdfor somed∈ {1，2，…}，扩展随机变量是一个F-可测函数Ohm → [-∞, ∞]. 停止时间是一个扩展的随机变量τ，取[0，∞] 这样，对于所有ω和ω′inOhm,ω|[0，τ（ω）]=ω′|[0，τ（ω）]==> （τ（ω）=τ（ω′），其中f |表示f限制于A和f域的交点。一个随机向量X被称为τ-可测的，其中τ是所有ω和ω′in的停止时间ifOhm,ω|[0，τ（ω）]=ω′|[0，τ（ω）]==> （X（ω）=X（ω′）。进程是函数X：[0，∞) ×Ohm → [-∞, ∞].

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nandehutu2022

2022-5-31 06:53:33

对于所有ω和ω′，如果Ohm 和所有t∈ [0，∞),ω|[0，t]=ω′|[0，t]==> （Xt（ω）=Xt（ω′）。我们的定义符合Galmarino测试的精神（参见，例如，【2】，IV.100）；在后面的部分，他们会经常检查，∞]-V值扩展随机变量的停止时间很简单。正如概率论中的习惯，我们经常忽略ω的明确提及∈ Ohm 当上下文清楚时。简单的交易策略G是一对（（τ，τ，…），（h，h，…），式中：oτ≤ τ≤ ··· 是停止时间的递增序列，如that，foreachω∈ Ohm, 画→∞τn（ω）=∞;o 对于每个n=1，2。，Hn是有界的τn-可测RJ*-值r andomvector。简单的资本流程KG、c与简单的交易策略和初始资本c相关联∈ R由kg定义，ct（ω）：=c+∞Xn=1hn（ω）·ω*（τn+1∧ t）- ω*（τn∧ t）,t型∈ [0，∞), ω∈ Ohm, （1）其中“·”代表RJ中的dot产品*, ω*:= （S，…，SJ）*) 由FIRSTJ组成*ω的分量和总和中的零项被忽略（这使得每个t的总和是有限的）。我们将参考海航集团beton Sjover的第J个组成部分（τi，τi+1）。请注意，（a）简单交易策略仅在第一个J*SJ（对应于交易证券），但止损时间和下注可取决于所有J SJ，（b）表达式（1）隐式假设零利率（该假设将在第9节中删除）。所有简单的资本过程都有连续的路径，并且都是自适应的。假设一类C非负过程是lim-inf闭的，如果processxt（ω）：=lim-infk→∞当每个过程Xkis在C中时，Xkt（ω）（2）在C中。如果过程ss X属于包含所有非负简单资本过程的最小lim-inf闭类的非负过程，则它是非负上鞅。

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能者818

2022-5-31 06:53:37

直觉上，非负supe rmartingales是非负资本过程（事实上，它们可能会损失资本，因为近似值是在lim inf的意义上）。备注2.1。非负超鞅类C的等价定义可以通过对可数序数α的反式归纳得到（参见，例如，[2]，0.8]）。即，Cα定义如下：oCis是所有非负简单资本过程的类别；o对于α>0，X∈ Cα当且仅当存在序列X，X。C<α：=∪β<αCβ，使得（2）成立。很容易检查所有非负超鞅的类是所有可数序数α上嵌套族Cα的并。非负up ermartingale X的秩被定义为最小α，使得X∈ Cα；在这种情况下，我们还将说X的秩为α。我们称之为[0]的子集，∞)×Ohm t和ω的一个性质。我们说，如果存在一个X=1的非负超鞅，那么t和ω的一个性质Eof和ω保持准总是（q.a.），并且对于所有t∈ [0，∞) 和ω∈ Ohm,（t，ω）/∈ E类==> Xt（ω）=∞.（这意味着E的补码在投射到Ohm 具有零博弈论上概率，如下文第8节所述。）引理2.2。如果t和ω的可数性质集中的每个性质始终保持不变，则它们的交集也始终保持准不变。证据注意，非负上鞅的可数凸混合是非负上鞅。如果propertylimk→∞sups公司∈[0，t]Xks（ω）- Xs（ω）= t和ω的0（3）保持准始终。如果连续的Xkconverge ucqa到X，我们可以认为极限X也是连续的；为了精确起见，我们将扩展连续过程的概念。允许（墓地州）是实线R以外的任何元素。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:53:40

AdaptedProcess X：[0，∞)×Ohm → R∪{} 定义为适应[-∞, ∞]有价值的流程。让我们说一个经过调整的过程X：[0，∞) ×Ohm → R∪{}是一个连续的过程，如果o它总是取R中的值；o对于每个ω∈ Ohm,– t的集合∈ [0，∞) 其中Xt（ω）∈ R包含0且已连接；-Xt（ω）是该集中t的连续函数。（尽管根据本定义，被称为连续过程的对象不符合我们之前的定义，但我们有时会在没有混淆危险的情况下称为过程。）连续过程X的有效域定义为b edom X：{（t，ω）| Xt（ω）∈ R} 。如果C类连续进程包含每个连续进程X，并且C类中存在连续进程的序列Xkof，则C类连续进程是lim闭的，如：odom X 每个k的dom xk；o（3）各保持（t，ω）∈ 如果连续过程是包含所有简单资本过程的连续过程最小极限闭类的元素，则连续过程是连续鞅。连续鞅的秩如备注2.1所示。以下引理将有助于确定各种规范函数τ：Ohm → [0，∞] 正在停止时间。引理2.3。对于任何连续过程X，函数∑X：Ohm → [0，∞]定义为∑X（ω）：=inf{t∈ [0，∞) | Xt（ω）=}是可测量的。证据需要注意的是∈ [0，∞),{ω|∑X（ω）≤ t} =\\{ω| Xt+（ω）=},式中，的范围为正有理数。引理2.3并没有声称∑Xitself是一个停止时间（在许多有趣的情况下都不是这样）。如果A（ω）=0且函数s的总变化量∈ [0，t]7→ As（ω）对所有（t，ω）都是有限的∈dom A。

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2022-5-31 06:53:43

如果存在一个连续变量Y和一个有限变量c，则连续过程X是一个连续的半鞅，这样的连续过程A使得dom X=dom Y=dom A和X=Y+A。我们将X的这种分解X=Y+A称为标准分解，其中“the”一文正是通过其唯一性来定义的：见下面的推论8.2。与测量理论概率的比较我们的术语的动机是与测量理论概率的类比。在这一小节中，我们假设S，SJ公司*是测度论概率空间上具有给定过滤的连续局部鞅，其中*+1.SJ是连续适应随机过程。每个简单的资本过程都是一个局部鞅。由于每个非负局部鞅都是asup ermartingale（[7]，p.123），因此非负简单资本过程是超鞅。通过Fatou引理，lim infkXkis是一个超鞅，当它是非负超鞅时：Elim infkXkt | Fs≤ lim infkE（Xkt | Fs）≤ lim infkXksa。s、，其中0≤ 因此，我们的定义给出了所有非负测度理论超鞅集合的子集。（我们使用的是不施加任何连续性条件的测度论超鞅和鞅的定义，如[7]定义II.1.1。）现在让我们检查一下如上所述的连续marting ales X（但使用例如，替换为0），是度量理论设置中的连续局部市场。

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2022-5-31 06:53:46

由于简单的资本过程是连续的局部鞅，并且在紧时间间隔上一致收敛的连续局部鞅序列的alimit总是一个连续的局部鞅（[1]，定理3.1），必须在X的秩上应用trans-fine归纳。请注意，我们可以通过在度量值为零的集合上更改X的所有样本路径来使X连续。3连续鞅的保守性在本节中，我们得出了本文的一个关键技术结果，表明将连续鞅作为一种新的交易证券添加到我们的市场中（除了基本价格路径S，…，SJ*) 是它的“保守扩展”，用逻辑术语来说：它不增加非负超鞅和连续鞅的供给。但我们从一个更简单的属性开始：添加一个连续的过程作为一条新的辅助信息（除了基本信息路径SJ之外*+1.SJ）是保守的扩展。这一性质被描述为非负上鞅的定理3.1和连续鞅的定理3.2。定理3.1。如果H是一个连续的过程，那么将H添加到市场中作为辅助信息并不会添加任何新的非负超级配角。在给出定理3.1之前，我们将给出它更详细、更明确的陈述。允许Ohm′:= C[0，∞)J+1是新市场的样本空间（S，…，SJ，H′），其中H′:[0，∞) → R是新的信息路径。LetY在新市场中是一个非负的超级玩家。形式为Yt（z）的任何表达式，其中t∈ [0，∞) z：[0，∞) → （R）∪ {})J+1，被理解为∞ 如果z取的值包含在[0，t]上，为Yt（z′），否则，其中z′是Ohm′这样z′|[0，t]=z |[0，t]（我们只对不依赖于这样的z′的情况s感兴趣）。理论认为Y′t（ω）=Y′t（S，…，SJ）：=Yt（S，…，SJ，H（S。

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2022-5-31 06:53:49

，SJ））=Yt（ω，H（ω）），（4），其中H（S，…，SJ）是函数t∈ [0，∞) 7.→ Ht（S，…，SJ），是一种非负的超级马丁格尔（在旧市场）。定理3.1的证明。假设Y是新市场（S，…，SJ，H′）中的非负上鞅。必须考虑Y是简单资本过程的情况。事实上，对于其他非负超鞅Y，我们可以使用反式归纳：如果t（S，…，SJ，H′）=Yt（ω，H′）=lim infk→∞Ykt（ω，H′）（5）对于低阶的一些非负超鞅Ykt=Ykt（ω，H′），诱导假设将意味着y′t（ω）：=Ytω、 H（ω）= lim信息→∞Ykt公司ω、 H（ω）（6）是旧市场中的非负超鞅。（等式=in（6）很容易在（t，ω）的情况下检查两者）∈ dom H，w，当它从（5）开始时，在（t，ω）的情况下/∈ dom H，当该等式变为∞ = ∞.)因此，我们在新市场中给出了一个非负的简单资本过程Y，我们的目标是证明（4）在旧市场中是一个非负的上鞅。Let（τ，τ，…）和（h，h，…）是相应的s toppingtimes和bets（RJ*-有值随机向量）。为了说明h对基本路径的依赖性，我们可以将τnand hn视为样本空间上的停止时间和随机向量Ohm 旧市场的。也就是说，我们将旧市场中的τ和hn对应物定义如下：o如果存在∈ [0，∞) 和H′∈ C[0，∞) 使得H′|[0，t]=H（ω）|[0，t]和τn（ω，H′）≤ t、（7）setτ′n（ω）：=τn（ω，H′）；o否则，设置τ′n（ω）：=∞;o 在任何情况下，seth′n（ω）：=（hn（ω，H′）如果τ′n（ω）<∞否则为0，其中H′∈ C[0，∞) 部分t的满意度（7）。在旧市场中，不依赖于H′、τ′nare停止时间和hnareτn-可测量随机变量的选择。

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2022-5-31 06:53:52

从τ′n的可测性来看，所有这些陈述都是微不足道的，但后者可以很容易地从σ-代数所依赖的fact中推导出来Ohm 与基本路径上一致拓扑的Borelσ-代数一致。将Y′定义为旧市场中与初始资本和简单交易策略（τ′，τ′，…）相关的简单资本流程，（h′，h′，）。当Y′达到0时，将Y′定义为Y′（如果是，请注意，即使Y是非负的，也不能保证Y′是非负的）。设X为X=1的非负超鞅，该超鞅在dom H之外是有限的。需要注意的是，Y′是Y′′′+X/k作为k的极限→ ∞.定理3.2。如果H是一个连续的s过程，将H作为边信息添加到市场中不会添加新的连续鞅。为了更明确地说明定理3.2，我们现在定义了一个形式为Yt（z）的表达式，其中Y是新市场中的连续鞅，t∈ [0，∞), z：[0，∞) → （R）∪ {})J+1，as 如果z取RJ+1之外的值，大于[0，t]，否则取Yt（z′），其中z′是Ohm′这样z′|[0，t]=z |[0，t]。定理说（4）是oldmarket中的连续鞅。定理3.2的证明。项目将按照第3.1条的证明进行。假设Y是新市场（S，…，SJ，H′）上的连续鞅。首先，我们将问题简化为Y是简单资本过程的情况。归纳步骤（5）–（6）现在是：iflimk imk→∞sups公司∈[0，t]Yks（ω，H′）- Ys（ω，H′）= 0（8）表示所有（t，（ω，H′）∈ dom Y对于新市场中秩比Y低的某些连续鞅，归纳假设（Ykt（ω，H（ω））在旧市场中是k的连续鞅）将意味着Y′t（ω）：=Yt（ω，H（ω））在旧市场中是连续鞅。

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大多数88

2022-5-31 06:53:54

要建立最后的陈述，必须证明Limk→∞sups公司∈[0，t]Yks（ω，H（ω））- Ys（ω，H（ω））= 0（9）表示所有（t，ω）∈ dom Y′型 dom H和dom Y′保持准始终。对于（t，ω）∈ dom H，（t，ω）∈ dom Y′表示（t，（ω，H′）∈ dom Y代表anyH\'∈ C[0，∞) 使得H′|[0，t]=H（ω）|[0，t]，因此等式（9）来自（8）。接下来，我们证明dom Y′是准始终的。设X是新市场中的非负向上ermartingale，X=1，Xt（ω，H′）=∞ forall（t，（ω，H′）/∈ dom Y。根据定理3.1，Xt（ω，H（ω））在旧市场中是一个非负的超鞅，这个非负的超鞅证明了dom Y′是准始终的。还有待考虑这样一种情况，其中Y是一个简单的资本过程，我们的目标是证明（4）是旧市场上的一种连续马丁酒。这源于（4）是dom H和（4）是dom H的有效域，与定理3.1中构造的旧市场中的简单资本过程Y′相等（该构造也在没有假设Y为非负的情况下工作）。现在我们证明了定理3.1和3.2中交易证券价格路径的类似物；定理3.3涉及非负上鞅，定理3.4涉及连续鞅。定理3.3。设X是连续的鞅。考虑X作为新证券交易的扩展市场。新市场中的任何非负超级马丁格尔都是旧市场中的非负超级马丁格尔。允许Ohm′:= C[0，∞)J+1是新市场的样本空间（X′，S，…，SJ），其中X′:[0，∞) → R是新证券的价格路径（我们总是在信息路径之前列出价格路径）。让Y在新市场中是一个非负的超级参与者。我们对Yt（z）形式的表示离子的理解与定理3.1相同。定理3.3表示Y′t（ω）=Y′t（S，…，SJ）：=Yt（X（S，…，SJ），S。

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mingdashike22

2022-5-31 06:53:57

，SJ）=Yt（X（ω），ω）（10）（参见（4））是旧市场中的非负上马。定理3.3的证明。假设Y是newmarket（X′，S，…，SJ）中的非负上鞅。定理3.1（参见（5）–（6））中给出的论点表明，有必要考虑Y是简单资本过程的情况。因此，我们在新市场中给出了一个非负的简单资本过程Y，我们的目标是证明它在旧市场中是一个非负的超鞅。连续鞅X在两个位置输入图片：第一，它用于定义停止时间和b e T，第二，通过X的增量输入资本的增量。（基本价格路径Sj，j=1，…，j*, 扮演这两个角色，而基本信息路径Sj，j=j*+ 1.J、只扮演第一个角色。）对于这两个角色，我们可以使用不同的连续鞅X′和X′（X′用于第一个角色，X′用于第二个角色），并且在不假设X′=X′的情况下，我们证明了任何X′和X′所需的陈述。定理3.1指出，向市场中加入X′不会改变非负超鞅的类别；因此，我们将忽略X′。其余的证明将通过对X′秩的反式归纳，从现在起，我们将其简单地表示为X。Let（τ，τ，…）和（h，h，…）be Y的停车次数和赌注（RJ*+1值随机向量）。首先，我们支持X是一个简单的资本过程；Letts停止时间和赌注（这次是RJ*-有值随机向量）be（τ′，τ′…）和（h′，h′…）。对于每个ω∈ Ohm （即，旧市场样本空间中的每个ω），我们可以排列eτ（ω），τ（ω），τ′（ω），τ′（ω）。进入递增序列τ′（ω）≤ τ′′（ω）≤ ··· 确定Sj、j的赌注∈ {1。

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何人来此

2022-5-31 06:54:00

J*}, 区间（τ′n，τ′n+1）（取时间τ′n）为hYhjX+hjY，其中hjX（hi之一的JTH成分）是X在该区间上的下注，是Y在该区间上的下注，是Y在该区间上的下注，是Y在该区间上的下注。这些下注和止损时间τ′在旧市场上是简单的资本过程；其作用域是Ohm.最后，我们在X的秩上应用反有限归纳。假设X是秩α的连续鞅，且that X=limk→∞连续鞅Xkof秩小于α的Xkon dom X。根据归纳假设，foreach k，简单资本过程Y（由（τ，τ，…）确定）和（h，h，…）应用于通过添加Xkgives扩展的旧市场，非负上鞅Ykt（ω）：=Yt（Xk（ω），ω）。非负上鞅yk将在dom X内收敛到Y′t（ω）：=Yt（X（ω），ω（即使在lim的意义上，更不用说在lim-inf的意义上）。设X′为非负超鞅，如X′=1，X′t（ω）=∞ 当（t，ω）/∈ dom X.然后，非负up ermartingales Yk+X′/k将收敛到Y′作为k→ ∞, 而soY′也是一种非负的上鞅。定理3.4。设X是连续的鞅。考虑X作为新证券交易的扩展市场。新市场中的任何连续鞅Y都是旧市场中的连续鞅。该陈述的解释与定理3.2相同，但用（10）代替（4）。定理3.4的证明。假设Y是新市场（X′，S，…，SJ）中的连续martinga-le。如前所述，必须考虑Y是简单资本过程s的情况。我们在新市场中得到了一个简单资本过程Y，我们需要检查它在旧市场中是连续鞅。正如第3.3条中的证明一样，我们将假定X仅用于交易，而不是作为信息路径。

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kedemingshi

2022-5-31 06:54:03

在同样的证明中，我们证明了在旧市场中Y是一个简单的资本过程，而X是一个简单的资本过程。接下来，我们像往常一样，通过对X秩的反有限归纳来继续。假设X是α秩的连续鞅，并且X=limk→∞连续鞅Xkof秩小于α的Xkinside dom X。根据归纳假设，对于每个k，Ykt（ω）：=Yt（Xk（ω），ω）是一个连续的martinga-le。这些连续鞅将在e出口内的紧时间间隔上一致收敛于Y′t（ω）：=Yt（X（ω），ω∩∞k=1dom Yk∩domx.由于这个事件是准总是的（参见引理2.2），Y′是一个连续鞅。4 It^o积分在本节中，我们将[11]和e arlierpaper[5]的定义和结果与连续过程和鞅的保守性相结合（定理3.1–3.4）。在很大程度上，我们的论述如下。设H为连续过程，X为连续鞅。根据定理3.1–3.4，我们可以假设H是一条基本信息路径，X是一条基本价格路径，尽管我们的大多数讨论并不依赖于此假设。（此备注也适用于以下章节。）为了确定H w.r.到X的It^o积分，我们需要用有效解对时间进行分区，以确定H和X的任意微小变化。分区是停止时间0=T的任意递增序列T≤ T≤ T≤ ··· 这样的胆小鬼→∞Tk（ω）>t准总是成立的。让我们说这是一个序列t，t。如果，对于所有n，k∈ {1，2，…}和ω∈ Ohm,支持∈[秋明-1（ω），Tnk（ω）]：Yt（ω）∈RYt（ω）- 输入∈[秋明-1（ω），Tnk（ω）]：Yt（ω）∈RYt（ω）≤ 2.-n、一系列分区T，T。这是bo th H和X isTnk（ω）的定义：=infnt>Tnk-1（ω）|Ht公司- HTnk公司-1.∨Xt公司- XTnk公司-1.= 2.-n-1o（11）对于k=1，2。，当Ht= orXt=.

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kedemingshi

2022-5-31 06:54:08

（Tnkare停止时间的事实来自引理2.3。）给定连续过程和连续鞅X的划分序列tn，我们设置（H·X）nt：=∞Xk=1HTnk-1.∧t型XTnk公司∧t型- XTnk公司-1.∧t型, n=1，2。（12）尽管如此，t∈ [0，∞).定理4.1。对于H和X的任何分区序列Tn fine，（H·X）nconverge ucqa as n→ ∞. 如果T被H和X的另一系列分割线取代，则该极限将保持不变。该极限的存在在第4条中得到了证实。1将表示为（H·X）sorRsH dX，并称为H w的It^o积分。r、由于收敛在紧时间间隔上是一致的，（H·X）是s的连续函数∈ [0，t]准a-lways（这意味着（H·X）是s的连续函数∈ [0，∞)几乎可以肯定，如第8节所述）。定理4.1的证明。该定理的第一部分源自【11】中的定理1（该论文第4节证明），并结合定理3.1–3.4。（文献[11]中的定理1是关于类似于（11）的特定划分序列的陈述，但该论点适用于任何特定序列。）为了证明两个fine、H和X、序列和Tof分区的极限准始终一致，应将[11]中定理1的证明中的参数应用于Tnand Tn，而不是Tnand Tn-引理4.2。连续鞅的随机积分w.r.是连续鞅。证据根据定理3.2和3.4，（12）是连续鞅，因此，根据Theo-rem 4.1，它们的ucqa极限也是连续鞅。现在让我们检查一下It^o积分的定义是否（准总是）取决于分区Tn的顺序，前提是它在某种意义上是有趣的，并且足够精确。首先，我们给出一个非常简单的形式陈述，然后讨论它背后的直觉。推论4.3。设T是一组可数的划分序列。

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kedemingshi

2022-5-31 06:54:10

存在一个连续过程H·X，因此对于H和X的任何T元素，（H·X）n（根据该元素定义）将ucqa收敛到该过程H·X，作为n→ ∞.证据这直接来自定理4.1和引理2.2。我们考虑的推论4.3的应用是，我们为讨论随机过程提供了一种相对正式的语言（如Revuz和Yor的语言[7]）。该语言允许我们定义不同的分区序列（可能重新转换到H、X和基本路径（S、…、SJ）），如（11）。语言中有可数的多个句子，其中描述划分顺序的句子构成了一个可数集，我们将其表示出来。推论4.3为我们提供了It^o积分的不变定义。备注4.4。当定义T时，我们允许的语言不能是英语，或者逻辑教科书中的语言，如[4]：例如，[4]包含一个短语，“不由包含少于200个符号的英语表达式表示的最小正整数”（[4]，第3页，贝里悖论），表明如果语言太丰富，可定义性的概念可能是模糊的。备注4.5。形式语言在概率基础中的使用至少可以追溯到沃尔德（Wald）在冯·米塞斯（VonMises）的《集体》中的工作。很容易检查，我们对It^o integra l H·X的定义是否与X是连续半鞅的情况一字不差，并且假设分区的顺序为H和X的标准分解的两个分量（见滚动8.2）。或者，我们通过将H·X设置为H·Y+H·A来获得相同的结果（准始终），其中Y+A是X的标准分解，H·A是Leb-esgue-Stiltjes积分。5协变量和q变量我们从确定两个连续鞅X和Y之间协变量的存在性开始。

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mingdashike22

2022-5-31 06:54:15

X和Y的协变量可近似为[X，Y]nt：=∞Xk=1XTnk公司∧t型- XTnk公司-1.∧t型YTnk公司∧t型- YTnk公司-1.∧t型, n=1，2。（13）我们证明了[X，Y]nas n的ucqa极限→ ∞ 存在于细分序列中，表示为[X，Y]（或[X，Y]t（ω）（如果我们需要提及参数），并称之为X和Y之间的协变量。引理5.1。ucqa限制（13）列出了X和Y的划分序列。此外，它满足了部分公式的积分xtyt=（X·Y）t+（Y·X）t+[X，Y]tq。a、（14）证明。上一节将随机积分（X·Y）t=rtxsdys定义为ucqa限值n→ ∞ （X·Y）nt的（ω）：=∞Xk=1XTnk-1.∧t型YTnk公司∧t型- YTnk公司-1.∧t型, n=1，2。交换X和Y，我们得到（Y·X）t=RtYsdXs的类似表达式。检查xtyt=（X·Y）nt+（Y·X）nt+[X，Y]nt是合理的。传递到ucqa限值为n→ ∞ 我们得到了[X，Y]的存在性和部分公式（14）的积分。从（14）中可以清楚地看出，[X，Y]是一个连续的过程。此外，nextlemma将表明这是一个有限变化的连续过程。设置Y：=X导致二次变量[X，X]的定义，我们有时将其缩写为[X]。从定义（13）可以清楚地看出，[X]是一个不断增长的过程，因此是一个有限的连续变化过程。下面的引理表明，[X，Y]对于任何连续鞅X和Y都是一个有限变化的连续过程（并且，正如下面的引理5.3所示，即使对于任何连续半鞅X和Y也是如此）。引理5.2。对于任意连续鞅X和Y，[X，Y]=（[X+Y]- [X]- 【Y】）q.a.，【X，Y】是一个有限变化的连续过程。证据恒等式ab=（（a+b）- 一- b）表示[X，Y]n=（[X+Y]n- [十] n个- （Y）n）对于每个n=1，2。

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何人来此

2022-5-31 06:54:18

。，它仍然需要传递到ucqa限制为n→ ∞.现在让我们将椭圆和二次变差的概念推广到连续半鞅。同样，我们对连续鞅的[X，Y]的先前定义延续到了连续半鞅X和Yverbatim的情况（使用一系列划分，这些划分对于X和Y的标准分解的所有组件都是明确的），很明显，对于任何连续半鞅，Le mma 5.1都适用。二次变化仍然可以定义为[X]：=[X，X]。与测度论概率一样，两个连续半鞅之间的协变量只取决于它们的鞅部分。引理5.3。如果X和X′是两个具有st标准分解X=Y+A和X′=Y′+A′的连续半鞅，则[X，X′]=[Y，Y′]q.A.证明。通过协变量的定义（13），[X，X′]nt（ω）=∞Xk=1XTnk公司∧t型- XTnk公司-1.∧t型X′Tnk公司∧t型- X′Tnk公司-1.∧t型=∞Xk=1YTnk公司∧t型- YTnk公司-1.∧t型Y′Tnk公司∧t型- Y′Tnk公司-1.∧t型（15）+∞Xk=1YTnk公司∧t型- YTnk公司-1.∧t型A’Tnk公司∧t型- A’Tnk公司-1.∧t型（16）+∞Xk=1ATnk公司∧t型- ATnk公司-1.∧t型Y′Tnk公司∧t型- Y′Tnk公司-1.∧t型（17）+∞Xk=1ATnk公司∧t型- ATnk公司-1.∧t型A’Tnk公司∧t型- A’Tnk公司-1.∧t型. （18）由于最后一个和中的第一个加数（15）是[Y，Y′]nt，我们需要证明其他加数（16）–（18）收敛到零，为n→ ∞. 同一个加数适用于所有三个加数；e、 g.，（16）趋于零，因为e∞Xk=1YTnk公司∧t型- YTnk公司-1.∧t型A’Tnk公司∧t型- A’Tnk公司-1.∧t型≤ 2.-否（1）→ 0（n→ ∞),其中，我们使用了分区序列的唯一性和A′的细分。6 It^o公式我们从陈述连续半鞅的It^o公式开始。定理6.1。让F：R→ R是类C的函数，X是连续半鞅。然后F（Xt）=F（X）+ZtF′（Xs）dXs+ZtF′（Xs）d[X]sq.a。最后的积分rtf′（Xs）d[X]可以在Lebesg ue–Stitjessense中理解。证据

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大多数88

2022-5-31 06:54:21

根据泰勒公式，F（XTnk）- F（XTnk-1） =F′（XTnk-（1）XTnk公司- XTnk公司-1.+F′（ξk）XTnk公司- XTnk公司-1.,式中ξk∈ [XTnk-1，XTnk]（当a>b时，[a，b]被理解为[b，a]）。求和k=1，K、其中K是最大的K，例如Tnk≤ t、并将s限制为n→ ∞.下一个结果是定理6.1的向量版本，并以类似的方式得到证明。对于向量连续半鞅，我们指的是作为函数映射（t，ω）的连续半鞅的有限序列X=（X，…，Xd）∈ [0，∞) ×Ohm 对于向量Xt（ω）=（Xt（ω），Xdt（ω））。定理6.2。让F：Rd→ R是类Cand的函数，X=（X，…，Xd）是向量连续半鞅。ThenF（Xt）=F（X）+dXi=1ZtFxi（Xs）dXis+dXi=1dXj=1ZtFxixj（Xs）d【Xi，xj】sq.a.（19）备注6.3。对于XI具有特殊形式的组件，如所有t的Xit=TF，可以放宽F是两次连续可微分的要求。然而，本文不需要这样做。7 Dol’eans指数和对数以下定理介绍了Dol’eans指数的相同理论模拟。定理7.1。如果X是连续鞅，E（X）：=exp（X- [十] /2）也是一个连续鞅。证据一个标准技巧（参见[7]，命题IV.3.4）是将It^o公式（19）应用于函数F（x，y）=exp（x- y/2）和向量连续半鞅（X，y）=（X，[X]）。因为[X，[X]]=0（参见引理的证明5.3），[[X，[X]]=0，和Fy型+Fx=0，我们有，根据It^o公式，F（Xt，[x]t）=F（x，0）+ZtFx（Xs，[x]s）dXsq。一（20）因此，F（Xt，[X]t）是一个连续鞅（引理4.2）。备注7.2。

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大多数88

2022-5-31 06:54:24

自从F级/x=F，（20）可以重写为Y的随机微分方程Y=Y+ZtYsdXs（21）：=exp（x- [十] /2）；救济是它的解决方案。在本文后面，我们将给出一个正连续鞅，并且对一个连续鞅L s感兴趣，例如I是L的Dol\'eansexponential；因此，我们感兴趣的是将Dol'eans指数化的逆运算。（参见第II.8a节中的【3】等，了解测量理论说明。）正连续鞅Y的Dol’eans对数X可以用两种不同的方式定义：通过It^o integralXt：=ln Y+ZtdYsYs（22）和更明确的公式xt：=ln Yt+[ln Y]t.（23）这两个定义是等价的，但我们将只检查（23）是否暗示（22）（因此（23）可以作为主要定义）。将It^o公式应用于函数F（y，y）：=lny+和连续半鞅y和[lny]，我们从第二个定义（23）得到第一个定义（22）：Xt=ln Yt+[lny]t=F（Yt，[lny]t）=F（y，0）+ZtFy（y，[ln y]s）dYs+ZtFy（Ys，[lny]s）d[lny]s+ZtFy（Ys，[lny]s）d[y]s=lny+ZtdYsYs+Ztd[lny]s-Ztd[Y]系统=ln Y+ZTDYSQ。a、（最后一个等式来自于[ln Y]t=Rtd[Y]s/Ys，这很容易检查，将在下面的（38）中进行推广。）第一个定义（22）表明，正连续鞅的对数是连续鞅。下面的定理总结了我们在本节中的讨论，并添加了一些琐碎的观察结果。定理7.3。如果Y是正连续鞅，则L（Y）：=lny+[lny]/2是连续鞅。对于任意连续鞅X，L（E（X））=Xq。a、对于任何正连续鞅Y，E（L（Y））=Y q.a.备注7.4。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:54:27

非正式地，（21）和（22）可以分别重写为dYt=ytdx和dxt=dYt/Yt；在这种形式下，它们的相似性更为明显。8连续鞅的无概率Dubins-Schwarz定理在本节和下一节中，我们将进行两个基本步骤。首先，在本节中，我们将定义博弈论上概率的一般概念。到目前为止，我们使用的唯一概率类型属性是“准始终”属性，它与概率上限为零的事件密切相关（如本节后面所述）。其次，在下一节中，我们将开始讨论使用与现金不同的货币（到目前为止，现金一直被暗中使用）。文献[10]表明，通过用四次变量代替物理时间，可以将连续价格路径大致转化为布朗运动。这一次，我们以更接近经典Dubins-Schwarz结果的方式应用这一思想，用连续鞅替换连续价格路径，并使用定理3.3。非负上鞅X的初值xo总是一个常数。给定函数F：Ohm → [0，∞), 我们定义了其最高期望值asE（F）：=inf十、ω∈ Ohm : lim信息→∞Xt（ω）≥ F（ω）,X在非负超三角形上的范围。集合E的上概率（E） Ohm 定义为E（1E），其中1E是E的指示函数。ω的性质∈ Ohm 如果补码的概率上限为零，则几乎可以肯定（a.s.）。se是使用现金作为数字的标准定义（在下一节末尾）。如前所述，投影到Ohm 保持q.a的t和ω的性质的补码的上概率总是为零。时间变换定义为连续累加（不一定严格递增）函数f：[0，∞) → [0，∞) 满足f（0）=0。

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能者818

2022-5-31 06:54:31

非负性功能F：Ohm → [0，∞] 是时间上变量if，对于e achω∈ Ohm每次变换f，f（ωo f）≤ F（ω）。定理8.1。设F:C[0，∞) → [0，∞] 设X是一个连续鞅。ThenE（F（X））≤ZF dWX，（24）其中WXis是从X开始的布朗运动。在（24）中，我们设置F（X）：=∞ 当X/∈ C[0，∞).证据合并零件≤ 【10，技术报告】中的定理6.3与我们的定理3.3。由于连续鞅的初值是一个常数，以前的定理现在变得简单了；尽管该定理假设F:C[0，∞) → [0，∞), 它的证明也适用于[0，∞] 代替[0，∞). （注意，简单的部分≥ 由于X的范围可以远离从X开始的所有连续路径，因此该定理不再适用。）推论8.2。将连续半鞅X分解为连续鞅Y和有限变分连续过程a的X=Y+a的总和是唯一的（q.a.）。花冠y的详细表述是：如果X=y+A和X=y′+A′是两个这样的分解，那么，准总是y |[0，t]=y′|[0，t]和A |[0，t]=A′|[0，t]。证据设X=Y+A=Y′+A′是两个这样的分解；然后是Y- Y′=A′-A、所以我们有一个连续鞅，它同时是一个独立的连续过程。定义F:C[0，∞) → [0，∞] 作为C[0]中函数的指示符函数，∞) 在某个区间[0，t]上有有限的变化，t∈ （0，∞), 而不是在这个时间间隔内保持不变。根据定理8.1，存在一个Z=1的非负上鞅Z，其趋向于∞在ω上，使得Y- Y′在某些[0，t]上有有限的变化，在该区间内没有常数。这个非负的超常函数Z将倾向于∞ 在ω|[0，t]的任何连续上，使得（Y（ω）- Y′（ω））|[0，t]=（A′（ω）-A（ω））|[0，t]6=0。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:54:34

这意味着Zt（ω）=∞, 因为我们可以用常数扩展ω|[0，t]。博弈论和测度论概率的比较我们再次考虑第2节末尾介绍的测度论设置。现在让我们检查e（F）≥ E（F）对于每个F-可测非负函数F：Ohm → [0，∞), 这意味着P（E）≥ P（E）对于每个可测量的E Ohm. （从这个意义上说，我们对概率上限的定义并不太宽泛，不同于[12]中忽略可测量性的定义。）证明了对于任何具有常数X的非负测度理论上的上鞅X，lim inft→∞Xt公司≥ F级==> 十、≥ E（F）。这可以通过使用Fatou引理来实现：使用先行词E（F）≤ Elim信息→∞Xt公司≤ lim信息→∞E（Xt）≤ lim信息→∞E（X）=X.9一般数在本节中，我们定义一个正连续鞅I：[0，∞) ×Ohm → （0，∞)并将其用作我们在时间t计量资本的数字。前几节中的结果可被视为与I=1相对应的特殊条件（直觉上，使用现金作为数字）。基因化（“相对化”，使用cashas num'eraire到General num'eraire的结果的可计算性理论[8]第9.2节）的表达式，当只涉及一个num'eraire时，很容易实现，但在下一节，专门讨论Girsanov定理的无概率版本，我们将看到一个涉及两个不同num'eraire的非平凡结果。我们从概括第2节的定义开始。我们通过添加另一条连续路径来扩展我们的市场，我们将其理解为单位“现金”，其中价格是，SJ公司*进行测量。我们的旧单位S：=1（我们无需明确提及）表示为新单位的“Sin”。现在我们有J*+1交易证券，(R)SJ*, 当e“Sj：=”ssjj表示j=1，J*.

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能者818

2022-5-31 06:54:37

现在，一个简单的交易策略“G”包括停止时间τn（与之前一样），以及有界的τn-可测RJ*+1值随机向量，我们将表示'hn=（hn，hn），其中Hnare随机变量和Hnare RJ*-有值随机向量。在新的情况下，不允许借贷（应通过投资可用的J*+ 1安全性）。时间t的可用资本为“Kt：=”hn·“ω”*（t），（25），其中n为τn≤ t型≤ τn+1，我们使用符号ω*:= （\'\'S，￠ω）*) := （\'S，\'S，…，\'SJ）*).简单交易策略“G”要求自我融资，即对于任何n=2，3。，\'\'hn-1·'ω*（τn）=hn·ω*（τn）（26）（该性质意味着当t=τiforsome i时，表达式（25）定义良好）。现在，该策略确定其（随机）初始资本“Kτ=”h·“ω”*（τ）。（27）在广义图中，J*+ 1具有价格路径（\'S，…，\'SJ）的交易证券*); 我们选择使用“Sas-our-num”eraire，但也可以选择任何其他具有正面价格路径的证券（我们可以通过某种方式限制市场，例如使基本的公关路径为正面）。让我们检查一下，一般情况下的图片是否给出了资本的概念，我们将表示“K”，这与原始图片一致。根据自我融资的条件（26），在τn时选择的现金单位数hn应满足“Kτn=”hn·“ω”*（τn）=Hn'S（τn）+Hn·ω*（τn），（28），其中给出n=(R)Kτn- hn·￠ω*（τn）(R)S（τn）。请注意，对于n=1也是如此，在这种情况下，我们应该使用（27）而不是（28）。

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可人4

2022-5-31 06:54:40

在时间τn+1时的人均l为Kτn+1=Hn（τn+1）+Hn·ω*（τn+1）=“S（τn+1）”S（τn）\'Kτn- hn·￠ω*（τn）+ hn·￠ω*（τn+1），单位为？S，Kt：=？Kt/？S（t），变为τn+1=Kτn- hn·ω*（τn）+hn·ω*（τn+1）=Kτn+hn·（ω*（τn+1）- ω*（τn））。因为这对任何t都是一样的∈ [τn，τn+1]代替τn+1，我们得到（1）表示所有t≥ τ（其中c是初始资本（27），单位为‘’S）。对于t≤ τ、我们规定该策略的初始赋能为c单位'S（其中c是给定常数），这使得（1）适用于所有t∈ [0，∞).设I为S=1，S，…，中的任何证券Sj>0，SJ公司*在原始市场（积极是我们对市场的限制）；鉴于定理3.3-3.4，我们稍后将允许I是任何正连续鞅。我们刚刚看到，对于任何简单的资本过程X（在我们的原始图片中，现金S=1作为数字），过程ss X/I=X'S/'sj将是图片中的简单资本过程，I作为数字。基于跨有限归纳法的简单论证表明，这一陈述可以扩展到连续鞅：对于任意连续鞅X，过程X/I将是图中的连续鞅，I是数字；感应式STEP基于identitylimk→∞Xkt（ω）It（ω）=limk→∞Xkt（ω）It（ω）。（29）对于任何非负超模X，过程X/I将是图片中的非负超模ale，I为数字，这也是事实；归纳步骤现在基于等式（29），用lim inf代替lim。我们称为Xt（ω）/It（ω）型过程，其中X是非负的超鞅（对应连续鞅）非负的I-超鞅（对应连续I-鞅）；它们完全类似于无nnegativesupermartingales（分别为连续鞅s），但使用I而不是cash作为数字。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:54:43

形式为Y+A的过程X，其中X是连续I鞅，A是有限变分连续过程，是连续等熵鞅。尽管前两个概念在很大程度上取决于I的选择，但下一节中的Gir-sanov定理将表明连续I-s半鞅的概念是不变的。如果X是连续I-鞅而不是连续鞅，则It^o积分及其对一般数的应用定理4.1是成立的，因为它涉及“准总是”的概念，这一概念定义为快速变得非常丰富，因此不依赖于数。很明显，如果“连续鞅”的两个项被“连续I-鞅”替换，引理4.2 r e mains为真在推论y 4.3中，我们可以允许X是一个连续的I-鞅（在其解释中，我们可以允许划分序列的定义依赖于onI）。最后，H·X的定义延续到连续I-半鞅。注意H·X不依赖于I。我们有引理5.1的以下推论。推论9.1。每对连续I-鞅X，Y都具有协变量[X，Y]q.a.，满足部分公式（14）的积分。引理5.3继续适用于连续I-半鞅。定理6.1和6.2逐字推广到连续I-半鞅。Dol'eans指数和对数的定义及其性质将一字不差地传递给连续I-鞅。例如，定理7.1暗示：推论9.2。如果X是连续I-鞅，exp（X- [十] /2）是一个连续的I-鞅。一般数的Dubins-Schwarz定理I是正连续鞅。

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kedemingshi

2022-5-31 06:54:46

我们通过EI（F）：=inf定义上I-期望值十、ω∈ Ohm : lim信息→∞Xt（ω）/It（ω）≥ F（ω）, （30）在非负超鞅上的X和在非负泛函上的F，并将其特殊化为上I-概率asPI（E）：=EI（1E）。定义（30）可以重写为i（F）=inf十、ω∈ Ohm : lim信息→∞Xt（ω）≥ F（ω）,X在非负I-超鞅上的范围。第8节的结果推广到一般正连续鞅I的情形。特别是，我们有以下版本的Olem 8.1。推论9.3。设F:C[0，∞) → [0，∞] 是一个时间上变的可测泛函，I是一个正连续鞅，X是一个连续的I-m鞅。ThenEI（F（X））≤ZF dWX。10 Girsanov定理现在我们陈述一个无概率Girsanov定理，这是本节的主要结果。它表明连续半鞅的概念不依赖于数值，并给出了连续鞅在新数值下的显式分解（推论8.2唯一）为连续鞅和有限变分连续过程。定理10.1。设M是连续鞅，I是正连续鞅。流程MT-Ztd[I，M]sIs（31）（其中积分是Lebesgue–Stiltjes；参见引理5.2）是一个连续的Imartingale。证据我们的证明将是标准的（例如，见Protter[6]，定理III.39的证明）。记住，通过分部积分公式（见引理5.1），ItMt=（I·M）t+（M·I）t+[I，M]tq。a、由于I·M和M·I是连续鞅，因此ItMt- 这也是一个连续鞅和soMt-这是一个连续的I-mar过程。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:54:49

分部积分公式（引理5.1，也适用于连续半鞅s，带s证明）允许我们将减数（连续半鞅的乘积）转换为t[I，M]t=Ztd[I，M]sIs+Zt[I，M]sdIs+一、 [我，M]tq。a、（32）（32）右侧的第二个加数是自1/Its起的连续I鞅，第三个加数是自零Q起的连续I鞅。a、（见引理5.3证明末尾的论点）；因此，（31）也是一种连续的马丁酒。Dol\'eans对数的概念允许我们简化定理10的陈述。1如下所示。推论10.2。设M是连续鞅，I是正连续鞅，L是I的Dol\'eans对数- 这是一个连续的I-鞅。证据有必要证明TD【I，M】sIs=【L，M】tq。一请记住，左侧的积分是通常的Lebesgue–Stitjes积分。对于分区的精确序列，我们有：Ztd[I，M]sIs=limn→∞∞Xk=1【I，M】Tnk∧t型- Tnk公司-1.∧tITnk公司-1.∧t（33）=极限→∞∞Xk=1ITnk公司∧t型- ITnk公司-1.∧t型MTnk公司∧t型- MTnk公司-1.∧t型ITnk公司-1.∧t（34）=limn→∞∞Xk=1ITnk∧t型- ITnk公司-1.∧tITnk公司-1.∧t型MTnk公司∧t型- MTnk公司-1.∧t型（35）=limn→∞∞Xk=1LTnk公司∧t型- LTnk公司-1.∧t型MTnk公司∧t型- MTnk公司-1.∧t型（36）=【L，M】tq。a、（37）（从（33）到（34）的转换需要重新定义分区：limn之后的表达式→∞对于给定的大值n，in（33）近似等于limn后的表达式→∞在（34）中，对于更大的n值，可以对从（36）到（35）的过渡进行类似的标记。）11股票溢价和资本增值的应用本节我们在[13]中重新推导、归纳和展示了各种结果。让我们定义两个正连续鞅，S和I。

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kedemingshi

2022-5-31 06:54:52

我们将S解释为astock，将I解释为指数（类似于S&P500），因此，例如，S可以是交易的SJ之一，I可以是它们的加权平均值（在所有基本价格路径都为正的限制下）。对于正连续鞅X（解释为金融证券的价格），我们定义其累积相对增长asMXt（ω）：=ztdxsxsx=∧Xt- ln X，其中∧X代表Dol’s X的对数。（在本节中，我们主要遵循[13]的术语。）正连续鞅X和Y的相对协变量是Lebesgue–Stitjes积分∑X，Yt（ω）：=Ztd[X，Y]sXsYs=[∧X，Y]tq。a、（38）（参见引理5.2；Dol\'eans对数的表达式可以类似于（33）–（37））。我们的无概率Girsanov定理的以下推论是一个关键结果，暗示了本节中的所有其他定理。定理11.1（【13】，定理8.3）。过程MSt- ∑S，是一个连续鞅。证据将推论10.2应用于累积相对增长M：=MS，我们得到了thatMSt- [毫秒，∧I]t=毫秒- ∑S，是一个连续的I-鞅。由于定理11.1适用于正连续鞅的任何对（S，I），我们可以用I代替S，得到以下等式溢价结果，其中∑I：=∑I，I表示I的相对二次变化。推论11.2（[13]，推论8.2）。过程MIt- ∑是一个连续鞅。我们可以将本文的各种结果应用于定理11.1的连续I-鞅（然后将它们专门化为定理11.2的连续I-鞅）。推论11.3（[13]，引理8.5）。对于每个∈ R、 processexp（MSt- ∑S，It）-∑St是一个连续的I-鞅。证据结合定理11.1和7.1。推论11.3在[13]中发挥了重要作用，使我们能够推导出以下两个推论的类似物。

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可人4

2022-5-31 06:54:56

在我们目前的披露中，它没有发挥任何特殊作用（尽管如果我们允许基本价格路径上的跳跃，它可能会再次变得重要）。以下公式加强了[13]中优化不等式的推论8.6（关于新旧不等式之间的差异，请参见[13]中的图1）。推论11.4。如果δ>0且τT：=inf{T |∑St≥ T}对于某些常数T>0，PInMSτT- ∑S，IτT≥ zδ/2√到≤ δ、（39）其中zδ/2是标准高斯分布的上δ/2-分位数和不等式“≥” 当τT=∞.证据结合定理11.1和推论9.3。推论11.5（【13】，推论8.7）。几乎可以肯定w.r.到PI，∑St→ ∞ ==> lim支持→∞MSt公司- ∑S，它p2∑Stln ln∑St=1。证据将定理11.1和推论9.3和重对数定律结合起来，得到了一个确定的理论布朗运动。与标准CAPM的比较为了完整性，我们在这里复制了[1 3]的第9节，将我们的无概率CAPM与标准版本进行了比较。假设利率为零（Rf=0），标准资本资产定价模型表示，在计量理论概率的标准框架中，E（Ri）=Cov（Ri，Rm）Var（Rm）E（Rm），用[1 5]表示，其中E（Ri）是第i种证券的预期回报，E（Rm）是市场的预期回报，Var（Rm）是市场回报的方差，Cov（Ri，Rm）是第i种证券的收益与市场之间的协方差b。用经验平均值替换理论期望值（包括隐式因瓦（Rm）和Cov（Ri，Rm）），我们得到一个近似等式≈∑S，It∑ItMIt。

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