具有非线性财富的连续时间均值-方差投资组合选择

2022-5-31 19:33:17

大多数关于均值-方差组合选择的文献都停留在一个线性市场中，也就是说，由于像无摩擦交易这样的适当市场设置，财富方程是一个线性方程。然而在现实中，财富方程很少是线性的，因为交易中存在不同类型的摩擦，我们必须处理市场中的非线性。例如，一个大型*山东大学中泰证券金融研究所，济南250100；电子邮件：jsl@sdu.edu.cn.This国家自然科学基金（11971263）资助；受《中国大学学科人才引进计划》（第B12023号）支持。+牛津大学数学研究所和牛津人定量金融研究所，牛津伍德斯托克路，牛津OX2 6GG，英国；电子邮件：jinh@maths.ox.ac.uk通讯作者。山东财经大学数学与数量经济学院，济南250100；电子邮件：shixm@mail.sdu.edu.cn.本研究得到了国家自然科学基金（编号：11801315）的资助；在山东省自然科学基金（编号：ZR2018QA001）的支持下，投资者的投资组合可能会影响股票价格，从而导致非线性财富方程。当股票上的遗传算法必须缴纳一些税时，我们也会遇到财富方程中的非线性。对于具有非线性财富方程的连续时间均值-方差投资组合选择问题，Ji【14】获得了财富方程漂移可微时最优终端财富的一个必要条件。Fu等人[9]研究了具有较高借贷率的连续时间均值-方差投资组合选择问题，其中财富方程是非线性的，系数不是光滑的。

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2022-5-31 19:33:20

他们利用HJB方程的visc-osity解来描述最优投资组合策略。本文研究了一类非线性财富方程的连续时间均值-方差投资组合问题。这类非线性财富方程具有非光滑随机系数。当系数都是确定性连续函数时，Ji和Shi【15】通过c对应的HJB方程的粘度解解决了这个问题。但对于具有随机回报率和随机波动率等随机系数的非线性财富方程，HJB方程的方法不再适用。受Hu和Zhou[13]研究锥约束连续时间均值-方差投资组合问题的启发，发展了一种求解非线性财富方程均值-方差投资组合选择问题的广义LQ方法。我们发现，我们的问题可以通过研究过程的积极和消极部分来解决-当利率是确定的时，分别删除（见定理3.8）。这种方法导致了两个新的广义随机Riccati方程。通过经验变换，我们证明了这两个广义随机Riccative方程的全局可解性。此外，我们还证明了过程Xt的正或负-DERTTRSDS仅取决于其初始值的正负。因此，最优投资组合和有效前沿以闭合形式获得。当利率随机时，广义LQ方法根本不起作用。因此，我们利用凸对偶技术结合鞅方法研究了随机利率下的均值-方差问题。文献[3]建立了效用优化问题的凸对偶。

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大多数88

2022-5-31 19:33:23

其思想是研究Corres-ponding对偶问题，然后证明原始问题和对偶问题之间没有间隙b。Harrison等人[10–12]提出的Martingale方法的思想是首先确定最优的最终财富，然后通过复制最优财富来获得最优投资组合。通过这个过程，Bielecki等人[1]研究了经典线性财富方程的破产禁止的连续时间均值-方差投资组合选择问题。Cz-ichowsky和Schweizer[5]研究了一般半鞅模型中的一个单约束均值-方差问题。Ji【14】利用终端摄动技术研究了具有非线性财富方程的连续时间均值-方差问题。他推导了一个描述最优终端财富的随机极大值原理。但Ji【14】中的末梢扰动方法在很大程度上依赖于漂移的差异性假设。对于我们的不可微情况，关键的一步是找到一个合适的次导数，以构建最优财富，这在[14]中没有涉及。首先，我们阐述了利率确定时的凸对偶方法，得到了广义LQ方法无法得到的一些尖锐结果。我们成功地获得了方差最优鞅测度，这是一个在[29]中首次引入的概念，从中我们发现了非线性金融市场和经典线性市场之间的联系。事实上，这两种市场通过等价的市场衡量指标联系在一起，也被称为风险中性衡量指标（参见[10–12]）。值得一提的是，在我们的环境中，金融市场是不完整的，这产生了许多等效的可干预措施。

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2022-5-31 19:33:26

基于方差最优鞅测度的显式特征，我们表明，从优化的角度来看，我们的非线性金融市场等价于具有适当的霍森平均收益率的线性金融市场。而这个平均超额收益率正是Ji的推论4.4中所声称的次导数【14】。其次，我们试图解决利率随机的问题。我们发现，在附加假设下，凸对偶方法可以解决第一个子问题，即二次套期保值问题（2.4）。然而，整个问题仍然悬而未决。请注意，广义LQ方法无法解决此子问题（2.4）。因此，凸对偶方法似乎更有效，并为将来完全解决随机利率的均值-方差问题提供了一种可能的方法。本文的组织结构如下。在第2节中，我们将模拟pr问题。在第3节中，我们使用了广义LQ方法来解决我们的问题。

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2022-5-31 19:33:29

在第4节中，我们阐述了当利息率既确定又随机时的凸对偶方法。2问题的公式W=（W，…，Wn）′是在过滤的完全概率空间上定义的标准n维布朗运动(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），其中{Ft}t≥0表示与n维布朗运动相关的自然过滤，并增强。我们引入以下空间：L(Ohm, 英尺；R） =nξ：Ohm → Rξ是FT可测量的，E |ξ|<∞o、 L（0，T；R）=nφ：[0，T]×Ohm → R（φt）0≤t型≤这是一个{Ft}t≥0-适应过程，ERT |φt | dt<∞o、 L∞（0，T；R）=nφ：[0，T]×Ohm → R（φt）0≤t型≤这是一个{Ft}t≥0-自适应本质有界过程。这些定义以明显的方式推广到φ为Rm、Rnor Rm×n值的情况。考虑一个由无风险资产（货币市场工具或债券）组成的金融市场，其价格为m（m≤ n）价格为S、…、的风险证券（股票）。。。，sm投资者决定何时∈ [0，T]他对tal wealth XT投资第i支股票的金额πi，i=1。。。，m。投资组合πt=（πt，…，πmt）′和πt：=Xt-Pmi=1πitare Ft adapted。在本文中，我们采用以下符号。对于任何x∈ Rm，x+=（x+，…，x+m）′，x-= （十）-, ..., x个-m） ′，其中x+i=xi，如果xi≥ 0；0，如果xi<0，并且x-i=(-xi）+，i=1。。。，m、对于任意x，(R)x∈ Rm，我们写x≤ \'\'x如果xi≤ xi，i=1。。。，m、考虑以下非线性财富方程：dXt=（rtXt+（π+t）′ut- （π-t） ′ut）dt+π′tσtdWt，X=X，t∈ [0，T]（2.1）其中RTI是利率，uT=（uT，…，umt）′，\'uT=（\'uT，…，\'umt）\'）是多头头寸和空头头寸的平均超额回报率，σT={σijt}1≤我≤m、 1个≤j≤nis风险资产的波动率。

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能者818

2022-5-31 19:33:32

注：财富方程（2.1）的位移是Lipschitz，但与π无关。假设1 r是一个确定性的可测有界标量值函数。假设2u，(R)u∈ L∞（0，T；Rm）和uT≤ ut，i=1。。。，m、 σ∈ L∞（0，T；Rm×n）和ε>0，ρ′σtσ′tρ≥ ε|ρ|，ρ∈ Rm。事实上，以下三个例子激励我们研究财富方程（2.1）。为了简单起见，我们认为这三个例子中的每一个都只有一种存货。示例2.1（卖空成本高昂）Jouini和Kallal【19，20】提出了以下模型。让“bt”≥ 英国电信≥ rt，a.s.当卖空是可能的但成本高昂时，股票的多头和空头头寸有不同的预期回报。在这种情况下，资产价格如下所示：dSt=Strtdt，S=S；dSt=某物btI{πt≥0}+(R)btI{πt<0}dt+σtdWti，S=S>0。然后财富过程X≡ 被赋予初始财富x>0的自融资投资者的Xx，π受以下随机微分方程控制，dXt=πtdStSt+（Xt- πt）dStSt=（rtXt+π+tut- π-t？ut）dt+πtσtdWt，X=X，其中ut=bt- rt，\'ut=\'bt- rt，t∈ [0，T]。例2.2（大型投资者的价格压力模型）Cuoco和Cvitanic给出了以下价格压力模型。设ε为小正数，使bt-rt公司≥ ε≥ 大型投资者的投资组合策略可能会影响股票的预期回报，且影响程度很小。

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大多数88

2022-5-31 19:33:37

资产价格受dSt=Strtdt，S=S；dSt=某物英国电信- εsgn（πt）dt+σtdWti，S=S>0，其中sgn（x）=|x | x，如果x 6=0；0，否则。在这种特定的大型投资者模型中，购买风险证券会降低其预期回报，而做空风险证券则会增加其预期回报，如库科（Cuoco）和维坦尼克（Cvitanic）[2]所述。财富方程式可以写成dXt=（rtXt+（bt- rt）πt- ε|πt |）dt+πtσtdWt=（rtXt+π+tut- π-t？ut）dt+πtσtdWt，X=X，其中ut：=bt- rt公司- ε和ut：=bt- rt+ε，t∈ [0，T]。示例2.3（含税交易）El Karoui等人【8】研究了以下含税金融模型。Letα∈ [0，1）是一个常数。和bt≥ rt，a.s。。资产价格如下所示：dSt=Strtdt，S=S；dSt=St（btdt+σtdWt），S=S>0。此外，股票收益还必须缴纳一些税款。在这种情况下，财富等式满足dXt=（rtXt+（bt- rt）πt- απ+（bt- rt））dt+πtσtdWt=（（rtXt+π+tut- π-t？ut）dt+πtσtdWt，X=X，其中ut=（1-α）（英国电信- rt）和？ut=bt- rt，t∈ [0，T]。备注2.4当ut=(R)ut，t∈ [0，T]，a.s.，财富方程（2.1）退化为经典线性财富方程。定义2.5如果σ′π，则称投资组合π可接受∈ L（0，T；Rn）和（X，π）满意度（2.1）。注意σ是有界的，所以σ′π∈ L（0，T；Rn）等价于π∈ L（0，T；Rm）。用可容许投资组合π的（x）集表示。在假设1下，对于给定的期望水平K≥ xeRTrsds，考虑以下连续时间均值方差投资组合选择问题：最小化Var（XT）=E（XT- K），s.t。EXT=K，π∈ A（x）。（2.2）如果至少有一个投资组合同时满足这两个约束，则称问题（2.2）为可行的。最优策略π*to（2.2）被称为与K相对应的有效策略。用X表示最优终端值*T、然后（Var（X*T），K）称为有效点。

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2022-5-31 19:33:40

所有有效点的集合{（Var（X*T），K）| K∈ [xeRTrsds+∞)} 被称为有效前沿。为了处理constraint EXT=K，我们引入了拉格朗日乘子-2λ ∈ 并得到如下无约束优化问题：最小化E（XT- K）- 2λ（外部- K） =E（XT- d）- （d）- K） =：^J（π，d），s.t.π∈ A（x），（2.3），其中d：=K+λ。然后，问题（2.2）和（2.3）之间的联系由Lagr ange dualitytheorem（见Luenberger[25]）minπ提供∈AEXT=千伏安r（XT）=最大值∈Rminπ∈A^J（π，d）。因此，我们可以将问题（2.2）分为以下两个子表。第一个子问题是解决未解决的d问题最小化E（XT- d），s.t.π∈ A（x），（2.4）对于任何固定的d∈ R、第二个子问题是找到达到maxd的拉格朗日乘子∈Rminπ∈A（x）^J（π，d）。（2.5）3广义随机LQ方法让我们首先了解问题（2.2）的可行性。定理3.1在假设1和2下，均值-方差问题（2.2）对任何K都是可行的∈[xeRTrsds+∞) 当且仅当ifmXi=1E“ZT（uit）+dt#>0或ifmXi=1E”ZT（(R)uit）-dt#>0。（3.1）证明：（1）我们首先证明“if”部分定义i={（t，ω）：uit>0}，i=1，2。。。，m、如果PMI=1 HRT（uit）+dti>0，则存在i∈ {1，2，…，m}使得Mi的乘积测度（根据P和L e besgue测度）非零。用σit=（σi，1t，···，σi，nt）表示σtb的第i行，用|σit |表示向量σit的长度。由于σ是可逆的，很明显σit＞0。设置πit=1/|σit |，如果i=iand（t，ω）∈ Mi；0，如果i 6=ior（t，ω）/∈ 密歇根州。对于任何非负实数β，我们构造了一个组合πβ，t：=β（πt，···，πmt）′。

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2022-5-31 19:33:43

πβ，由于σ′tπβ，t=β（σit）′（t，ω），它是容许的∈Mi/|σit |和（π+β，t）′ut- （π-β、 t）′ut=βuit |σit |（t，ω）∈密歇根州。时间T对应πβ的财富过程为xt=xeRTrsds+ZTeRTtrsds（（πβ，T）+）′uT- （（πβ，t）-)′ut）dt+ZTeRTtrsdsπ′β，tσtdWt=xeRTrsds+βZTeRTtrsdsuit |σit |（t，ω）∈Midt+βZTeRTtrsdsσit |σit |（t，ω）∈米德尔特。考虑到双方的期望，我们得到ext=xeRTrsds+βE“ZTeRTtrsdsuit |σit |（t，ω）∈Midt#。定义=E“ZTeRTtrsdsuit |σit |（t，ω）∈Midt#。我们有k>0，因为σit>0和uit（t，ω）∈Mi>0。取β=K-xeRTrsdsk，我们得到EXT=K，这意味着问题（2.2）是可行的。对于PMI=1 HRT（(R)uit）的情况-dti>0，证明类似。（2）相反，如果问题（2.2）对于任何K都是可行的≥ 然后，对于给定的K>xeRTrsds，存在一个可接受的投资组合π，使得K=EXT=xeRTrsds+E“ZTeRTtrsds（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）dt#导致“ZTeRTtrsds（（π+t）′ut- （π-t） \'ut）dt#>0。（3.2）如果（3.1）不成立，那么对于t，ut<0和ut>0同时成立∈ [0，T]，a.s。。它是“ZTeRTtrsds（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）dt#≤ 0这与（3.2）相矛盾。这就完成了证明。备注3.2当ut=(R)ut，t∈ [0，T]，a.s.，（3.1）退化为EhRT |uT | dti>0。从现在起，我们将在本文中假设（3.1）保持不变。3.1第一个子问题（2.4）定义了以下映射：H*1，t（π，P，λ）：=Pπ′σtσ′tπ+2[P（（π+）′ut- （π-)′\'ut）+π′σt∧]，H*2，t（π，P，∧）：=Pπ′σtσ′tπ- 2[P（（π+）′ut- （π-)′ut）+π′σt∧]，（t，π，P，λ）∈ [0，T]×Rm×R×Rn，and h1，T（P，λ）：=infπ∈马来西亚令吉*1，t（π，P，λ），H2，t（P，λ）：=infπ∈RmH*2，t（π，P，∧），（t，P，∧）∈ [0，T]×R×Rn。在As sumption2下，对于任何P>0，λ∈ Rn，存在C（P，∧）>0H*1，t（π，P，∧）≥ εP |π|- C（P+∧|）|π|=εP |π|（|π|）-C（P+∧εP）。如果|π|>C（P+|∧|）εP，则H*1，t（π，P，∧）>0。

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nandehutu2022

2022-5-31 19:33:47

注意infπ∈RmH*1，t（π，P，∧）≤ H*1，t（0，P，λ）=0，这意味着h1，t（P，λ）=inf |π|≤C（P+∧|）εPH*1，t（π，P，∧）>-∞.因此，H1，t（P，∧）是有限的。H2，t（P，∧）也是如此。为了解决子问题m（2.4），我们引入以下两个随机Ricc ati方程：dP1，t=-[2rtP1，t+H1，t（P1，t，∧1，t）]dt+1，tdWt，P1，t=1，P1，t>0；（3.3）dP2，t=-[2rtP2，t+H2，t（P2，t，∧2，t）]dt+2，tdWt，P2，t=1，P2，t>0。（3.4）事实上，BSDE（3.3）（和（3.4）的解发生在有界平均振荡的鞅类中，简写为BMO鞅。在这里，我们将介绍这一理论的一些事实，见Ka zamaki【21】。过程r∧′sdwsr是一个BMO鞅当且仅当存在一个常数C>0，使得eZTτ|∧s | dsFτ≤ C所有停车时间τ≤ TBMO鞅的s阶指数E（R∧′sdWs）是一致可积鞅。此外，如果r∧′sdWs和r·Z′sdWs都是BMO鞅，那么在depdp=E（RTZ′sdWs）定义的概率度量下，fWt=Wt-RtZsds是标准的布朗运动，而R∧′SDFW是BMO鞅。SetL2，BMOFW（0，T；Rn）={∧∈ L（0，T；Rn）Z·∧′sdWsis是BMO鞅}。定义3.3一对过程（P，∧）∈ L∞（0，T；R）×L2，BMOFW（0，T；Rn）（resp.（P，∧）），如果满足（3.3）（resp.（3.4）），则称为Riccati方程（3.3）（resp.（3.4））的解。Riccati方程（3.3）和（3.4）是高度非线性的BSDE，它们同时满足标准Lipschitz条件和二次增长条件。关于随机Riccati方程的可解性，有几个结果（例如，见Hu和Zhou【13】、Kohlmann和Tang【22】）。

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2022-5-31 19:33:50

但据我们所知，没有结果可以直接应用于（3.3）和（3.4）。我们首先给出了（3.3）和（3.4）的解的有界性结果，这在推论（3.7）中很有用。命题3.4在假设1和2下，如果（P，∧）是方程（3.3）（或（3.4））的解，则≤ eRTtrsds。证据：我们仅证明（3.3）的索赔和（3.4）的证据相似。设置“Pt=teRtrsds”和“t=teRtrsds”。（P，∧）是BSDE的解决方案d’Pt=-eRtrsdsH1，t（e-2RTRSD’Pt，e-2Rtrsds∧t）dt+∧tdWt，\'PT=ERTRSD，\'PT>0。自H1起，t≤ 0，是一个子标记。因此，\'Pt≤ E[(R)PT | Ft]=(R)PT导致PT≤ eRTtrsds。现在我们证明了（3.3）和（3.4）解的存在唯一性。此后，我们将使用C表示一个通用的正常数，该常数可能因行而异。定理3.5假设r∈ L∞（0，T；R）和假设2保持不变，则存在（P，λ）（分别P，λ））到（3.3）（分别3.4））的唯一溶液，因此，P≥ C（分别为P≥ C）对于某些C>0。证据：我们仅证明（3.4）的索赔与（3.3）的索赔相似。其想法是将随机Riccati方程（3.4）转化为二次BSDE（通过指数变换），其存在性和唯一性是已知的。在下面的证明中，如果没有混淆，参数t将被省略。

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2022-5-31 19:33:54

SetB={v：[0，T]×Ohm → Rm | v∈ L∞（0，T；Rm）和uT≤ vt公司≤ ut，t∈ [0，T]，a.s.}。回想一下H（P，λ）的定义，对于P>0，我们有∈ Rn，H2，t（P，∧）=infπ∈RmPπ′σtσ′tπ- 2[P（（π+）′ut- （π-)′\'ut）+π′σt∧]= infπ∈Rmsupv公司∈ BPπ′σtσ′tπ- 2π′（P v+σ∧）= supv公司∈ Binfπ∈RmPπ′σtσ′tπ- 2π′（P v+σ∧）= supv公司∈ B- P（v+σt∧P）′（σtσ′t）-1（v+σt∧P）= - infv公司∈ BP（v+σt∧P）′（σtσ′t）-1（v+σt∧P）, （3.5）我们在第三次权益中使用最小-最大theo-rem。考虑具有二次增长的BSDE▄Yt=ZTtgs（▄Zs）ds-ZTtZ′sdWs，（3.6），其中gt（Z）：=infv∈ Bσ′t（σtσ′t）-1伏- Z- Z′（英寸- σ′t（σtσ′t）-1σt）Z-|Z|- 第2条。（3.7）根据[4]中的定理9.6.3，BSDE（3.6）有一个唯一的解（￠Y，￠Z）∈ L∞（0，T；R）×L2，BMOFW（0，T；Rn）。设置（Pt，∧t）=（e-年初至今，-中兴通讯-Yt），然后PT=e-YT=1。从▄Yt的有界性，我们知道∧∈ L2，BMOFW（0，T；Rn）。将It^o公式应用于e-Yt，dPt=de-Yt=-e-Yth- infv公司∈ Bσ′t（σtσ′t）-1伏-Zt+~Z′t（英寸- σ′t（σtσ′t）-1σt）~Zt+2σt- e-▄Yt▄Z′tdWt=-h2rtPt- Ptinfv公司∈ Bσ′t（σtσ′t）-1v+∧tPt+Pt∧′t（In- σ′t（σtσ′t）-1σt）∧tidt+∧′tdWt=-h2rtPt- Ptinfv公司∈ Bσ′t（σtσ′t）-1（v+σt∧tPt）+（In- σ′t（σtσ′t）-1σt）∧tPt+Pt∧′t（In- σ′t（σtσ′t）-1σt）∧tidt+∧′tdWt=-h2rtPt- Ptinfv公司∈ Bσ′t（σtσ′t）-1（v+σt∧tPt）- Pt公司（英寸- σ′t（σtσ′t）-1σt）∧tPt+Pt∧′t（In- σ′t（σtσ′t）-1σt）∧tidt+∧′tdWt=-h2rtPt- Ptinfv公司∈ Bσ′t（σtσ′t）-1（v+σt∧tPt）idt+∧′tdWt=-h2rtPt+H2，t（Pt，∧t）idt+tdWt，其中我们使用了σ′t（σtσ′t）的正交性-1（v+σt∧tPt）和（In-σ′t（σtσ′t）-1σt）∧tPtin第五个等式，In的幂等性- σ′t（σtσ′t）-第六个等式为1σt，最后一个等式为（3.5）。注意，Y是有界的，因此存在常数C>0，使得Pt=e-年初至今≥ C、这表明（Pt，∧t）实际上是（3.4）的解。现在让我们来证明这种独特性。假设（P，∧）和（▄P，▄是（3.4）的两个解，这样P≥ C、 P≥ 对于某些C>0。

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2022-5-31 19:33:57

确定流程（U、V）=ln P，∧P, （▄U，▄V）=ln▄P，▄∧P！。然后（U，V），（U，V）∈ L∞（0，T；R）×L2，BMOFW（0，T；Rn）。通过It^o公式和类似的分析，正如在存在的前提下一样，不难证明（U，V）和（~U，~V）都是（3.6）的解。从解的唯一性到（3.6），我们有U=~U。因此P=~P，这给出了（3.4）的解的唯一性。这就完成了证明。备注3.6如果m=n，则In- σ′t（σtσ′t）-1σt=0，且（3.7）变为（Z）：=infv∈ Bσ′t（σtσ′t）-1伏- Z-|Z|- 第2条。下列推论有助于确定拉格朗日乘数。推论3.7假设假设1、2和3.1成立。设（P1，t，∧1，t）和（P2，t，∧2，t）分别为（3.3）和（3.4）的唯一解。然后我们有1,0e-2RTRSD≤ 1和P2,0e-2TRSDS<1。证明：根据命题3.4，我们有P1,0e-2RTRSD≤ 1和P2,0e-2RTRSD≤ 1、如果P2,0e-2RTrsds=1，然后是H2，t（P2，t，∧2，t）≡ t为0∈ 【0，T】，a.s。。然后（P2，t，∧2，t）=（eRTtrsds，0），这导致h2，t（P2，t，0）=P2，tinfπ∈Rmhπ′σtσ′tπ- 2（（π+）′ut- （π-)′ut）i=0。注意，（3.1）意味着以下两种说法中的任何一种都成立：（1）至少有一种ui，i=1。。。，m在（t，ω）的严格正测度集上严格大于0；（2）至少有一个|ui，i=1。。。，具有严格正测度的（t，ω）集合上的m严格小于0。在不丧失一般性的情况下，我们假设u（t，ω）∈M> 0。然后对于a.e.a.s.（t，ω）∈ M、 infπ∈Rmhπ′σtσ′tπ- 2（（π+）′ut- （π-)′ut）i≤ infπ∈Rm+hπ′σtσ′tπ- 2π′uti≤ infπ∈Rm+hCπ′π- 2π′uti≤ C（utC，0，…，0）（utC，0，…，0）\'- 2（utC，0，…，0）（ut，ut，…，umt）′=-C（ut）<0，其中C是严格的正常数。因此，我们推断出一个矛盾。这就完成了证明。对于任何P>0，λ∈ Rn，H*1，t（π，P，∧）与π不一定是凸的，因此它可能包含多个最小P点。

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2022-5-31 19:34:02

设∏t（P，∧）为H的最小点集*1，t（π，P，∧），即∏t（P，∧）={π1，t（P，∧）| H*1，t（π1，t（P，∧），P，∧）=infπ∈RmH*1，t（π，P，∧）}。而对于任何P>0，∧∈ Rn，H*2，t（π，P，∧）与π严格凸。所以它允许一个唯一的最小点π2，t（P，λ），即π2，t（P，λ）=argminπ∈RmPπ′σtσ′tπ- 2[P（（π+）′ut- （π-)′\'ut）+π′σt∧]. （3.8）定理3.8假设假设假设1、2和（3.1）成立。设（P1，t，∧1，t）和（P2，t，∧2，t）分别为（3.3）和（3.4）的唯一解。对于任意π1，t∈ πt，π2，tde定义于（3.8），状态反馈控制π*t=π1，t（P1，t，∧1，t）Xt公司- de公司-RTtrsds++ π2，t（P2，t，∧2，t）Xt公司- de公司-RTtrsds-（3.9）对于问题（2.4）是最优的。此外，最佳值为infπ∈AE（XT- d）=P1,0（x- de公司-RTRSD），如果x≥ de公司-RTRSD，P2,0（x- de公司-RTRSD），如果x≤ de公司-RTRSD。（3.10）证明：对于任何π∈ A（x）财富过程x，defineyt=Xt- de公司-RTtrsds。根据田中公式，dY+t=I{Yt>0}（rtYt+（π+t）′ut- （π-t） ′ut）dt+I{Yt>0}π′tσtdWt+dLt，其中lti是Ytat 0的本地时间。将I t^o公式应用于（Y+t），我们得到（Y+t）=2Y+tnI{Yt>0}（rtYt+（π+t）′ut- （π-t） ′ut）dt+I{Yt>0}π′tσtdWt+dLto+I{Yt>0}π′tσtσ′tπtdt=n2rt（Y+t）+2Y+t（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）+I{Yt>0}π′tσtσ′tπtodt+2Y+tπ′tσtdWt，其中我们使用了factRt | Yt | dLt=0，a.s。。然后将It^o公式应用于P1，t（Y+t），dP1，t（Y+t）=nI{Yt>0}P1，tπ′tσtσ′tπt+2（Y+t）P1，t（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）+π′tσt∧1，t- （Y+t）H1，t（P1，t，∧1，t）odt+n2P1，tY+tπ′tσt+（Y+t）∧′1，todWt。（3.11）类似地，dP2，t（Y-t） =nI{Yt≤0}P2，tπ′tσtσ′tπt- 2（Y-t）P2，t（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）+π′tσt∧2，t- （Y）-t） H2，t（P2，t，∧2，t）odt+n- 2P2，tY-tπ′tσt+（Y-t） ∧′2，todWt。（3.12）对于n≥ 1，确定停止时间τnas如下：τn=inf{t>0Zt | 2P1，sY+sσ′sπs+（Y+s）∧1，s | ds+Zt |- 2P2，sY-sσ′sπs+（Y-s） ∧2，s | ds≥ n}∧ T、（3.13）其中inf := +∞. 很明显，{τn}n≥1是一个递增序列，收敛到T，a.s。。

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大多数88

2022-5-31 19:34:05

将（3.11）和（3.12）从0加到τn，我们得到P1，τn（Y+τn）+P2，τn（Y-τn）= P1,0（Y）+P2,0（Y-)+ EZτnnI{Yt>0}P1，tπ′tσtσ′tπt+2（Y+t）P1，t（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）+π′tσt∧1，t- （Y+t）H1，t（P1，t，∧1，t）+I{Yt≤0}P2，tπ′tσtσ′tπt- 2（Y-t）P2，t（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）+π′tσt∧- （Y）-t） H2，t（P2，t，∧2，t）odt。（3.14）对于t∈ [0，T]，用φ（Yt，πT）表示上述方程（3.14）右侧的被积函数。对于任何π∈ A通过财富流程X，定义Rm估值流程utbyut=πt | Yt |，如果Yt6=0；0，如果Yt=0。当Yt>0时，（3.11）右侧的漂移项变成sp1，tπ′tσtσ′tπt+2YtP1，t（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）+π′tσt∧1，t- YtH1，t（P1，t，∧1，t）=YtP1，tu′tσtσ′tut+2P1，t（（u+t）′ut- （u）-t） ′ut）+π′tσt∧1，t- H1，t（P1，t，∧1，t）≥ 0定义H1，t（P，∧）。通过定义H2，t（P，∧），我们可以显示φ（Yt，πt）≥ 如果Yt<0，则为0。因此，我们得到φ（Yt，πt）是非负的。对于任意π∈ A、很容易验证Ehsupt∈[0，T]| Yt | i<∞. 让n→ ∞, 根据支配收敛定理，我们得到了（XT- d） =E（YT）=EP1，T（T）（Y+T）+P2，T（Y-T）= P1,0（Y）+P2,0（Y-)+ EhZTφ（Yt，πt）dti≥ P1,0（Y）+P2,0（Y-),等式在π处成立*t=π1，t（P1，t，∧1，t）Xt公司- de公司-RTtrsds++ π2，t（P2，t，∧2，t）Xt公司- de公司-RTtrsds-,即（3.9）。作为推论，证明了（3.10）。还有待证明σ′π*∈ L（0，T；Rn）。

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2022-5-31 19:34:09

在随后的证明中，如果没有混淆，我们有时会省略t或ω。注意（π*)+= π+Y++π+Y-, 和（π*)-= π-Y++π-Y-.接下来，我们证明下列方程（3.15）具有唯一的连续Ft自适应解。dYt=（rtYt+（（π*t） +）′ut- ((π*t）-)′ut）dt+（π*t） ′σtdWt=（rtYt+Y+t（π+）′ut- Y+t（π-)′ut+Y-t（π+）′ut- Y-t（π-)′ut）dt+（Y+tπ′σt+Y-tπ′σt）dWt，Y=x- de公司-RTrsds，t∈ [0，T]。（3.15）考虑以下两个等式：d’Yt=（rt’Yt+（π+）’ut’Yt- （π-)′？ut？Yt）dt+？Ytπ′σtdWt，？Y=（x- de公司-RTrsds）+，t∈ [0，T]，（3.16）和dYt=（rtYt- （π+）′utYt+（π-)′(R)utYt）dt-~Ytπ′σtdWt，~Y=（x- de公司-RTRSD）-, t型∈ [0，T]。（3.17）然后“Yt=（x- de公司-RTRSD）+出口rs+（π+）′us- （π-)′us-π′σsσ′sπds+Ztπ′σsdWso，（3.18）和▄Yt=（x- de公司-RTRSD）-expnZt公司卢比- （π+）′us+（π-)′us-π′σsσ′sπds+Ztπ′σsdWso。（3.19）很容易验证Y=(R)Y-Y是（3.15）的解。为了证明唯一性，设Y和˙Y是（3.15）的两个解。设置^Yt=Yt-˙Yt，at=Y+t-˙Y+tYt-˙YtI{Yt6=˙Yt}，bt=Y-t型-˙Y-tYt公司-˙YtI{Yt6=˙Yt}。然后^Y解出以下线性SDEd^Yt=^Yt（rt+at（π+）′ut- at（π-)′ut+bt（π+）’ut- bt（π-)′\'ut）dt+^Yt（在π′σt+btπ′σt）dWt，^Y=0，t∈ [0，T]，其具有唯一解^Y=0。因此，（3.15）有一个独特的解决方案。我们用Y表示*. 然后π*t=π1，t（P1，t，∧1，t）（Y*t） ++π2，t（P2，t，∧2，t）（Y*t）-.用τ表示*（3.13）中规定的（Y）停止时间*t、 π*t）。从（3.14）可以看出P1，τ*n（Y+τ*n） +P2，τ*n（Y）-τ*n）= P1,0（Y）+P2,0（Y-). （3.20）回想一下，根据定理3.5的证明，存在一个常数C>0，使得p1，t≥ C、 P2，t≥ C、 t型∈ [0，T]。然后到（3.20），我们知道（Y*τ*n∧ι)≤ P1,0（Y）+P2,0（Y-)对于在[0，T]中取值的任何停止时间ι。Fatou引理给出E（Y*ι)≤ C

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2022-5-31 19:34:13

根据It^o公式，我们有（Y*t） =y+Zt（2rs（y*s） +2年*s（（（π*s） +）’us- ((π*s）-)′us）+σ′sπ*s |）ds+Zt2Y*s（π*s） ′σsdWs。通过π和π的定义，对于每个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, πi和πi取值于{0(-（σσ′）-1（uI+σ∧P））I，（σσ′）-1（uI+σ∧P）I:I {1，2…，m}，I {1，2…，m}}。因此，存在一个常数c，使得zt |σ′tπ*t | dt≤ C s up0≤t型≤T | Y*t | XI{1,2…，m}I{1,2…，m}ZT（|（σσ′）-1（uI+σ∧P）|+|（σσ′）-1（uI+σ∧P）|）dt<+∞, a、 s.（3.21）因为∧，所以∧是平方可积的，而其他三者是有界的。对于n≥ 1，确定停止时间δn=inf{t>0Zt | Y*sσ′sπ*s | ds≥ n}∧ T、然后，由于（3.21），它几乎完全收敛到T。大豆+EZτ*n∧δn |σ′sπ*s | ds=E（Y*τ*n∧δn）- EZτ*n∧δn（2rs（Y*s） +2年*s（（（π*s） +）’us- ((π*s）-)′us）ds。设ε>0为Assumption2中的常数，则得到εEZτ*n∧δn |π*s|ds≤ C+CEZτ*n∧δn2 | Y*s | |π*s | ds≤ C+εEZτ*n∧δn |π*s | ds+2CεEZτ*n∧δn | Y*s | ds。经过重排后，它遵循法图引理thatEZT |π*s | ds≤ C、这就完成了证明。3.2第二个子问题（2.5）在本小节中，我们确定拉格朗日乘数d*∈ R达到最小π的最大值∈A（x）^J（π，d）。从（2.3）开始，最小π∈A（x）^J（π，d）=infπ∈A（x）E（XT- d）- （d）- K）=P1,0（x- de公司-RTRSD）- （d）- K），如果x≥ de公司-RTRSD；P2,0（x- de公司-RTRSD）- （d）- K），如果x≤ de公司-RTRSD=P1,0e-2RTRSD- 1.d-2xP1,0e-RTRSD- 2公里d+P1,0x- K、如果是d≤ xeRTrsds；P2,0e-2RTRSD- 1.d-2xP2,0e-RTRSD- 2公里d+P2,0x- K、如果是d≥ xeRTrsds。定义（d）=P1,0e-2RTRSD- 1.d-2xP1,0e-RTRSD- 2公里d+P1,0x- Kh（d）=P2,0e-2RTRSD- 1.d-2xP2,0e-RTRSD- 2公里d+P2,0x- K、根据推论3.7，P1,0e-2RTRSD- 1.≤ 0，P2,0e-2RTRSD- 1<0。然后我们得到Maxd≤xeRTrsdsf（d）=f（xeRTrsds）=-（xeRTrsds- K），最大值≥xeRTrsdsh（d）=h（d*),何处*=xP2,0e-RTRSD- KP2,0e-2RTRSD- 1.

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2022-5-31 19:34:18

（3.22）自K≥ xeRTrsds，我们有那个d*≥ xeRTrsdsandh（d*) ≥ h（xeRTrsds）=-（xeRTrsds- K）。因此d*达到最小π的最大值∈A（x）^J（π，d）。对于最佳π*（3.9）中定义的d=d*, 我们得到的是thatYt=(R)Yt-Yt=-年初至今≤ 0来自（3.1 6）和（3.17）。上述分析归结为以下定理。定理3.9假设假设1和2成立。问题（2.2）的有效策略可以写成时间t和财富Xt：π的函数*（t，X）=-π2，t（P2，t，∧2，t）Xt公司- d*e-RTtrsds（3.23）此外，有效边界isVa r（XT）=P2,0e-2RTrsds1- P2,0e-2RTRSD外景- xeRTrsds公司.备注3.10当m=n=1且σt>0时，t∈ [0，T]，a.s.我们有h2，T（P，∧）=infπ∈RPσtπ- 2[P（π+ut- π-ut）+πσt∧]=-（Put+σt∧）Pσt，如果σt∧P≥ -ut，0，如果- ut≤σt∧P≤ -ut，-（P？ut+σt∧）Pσt，如果σt∧P≤ -ut和π2，t（P，∧）=Put+σt∧Pσt，如果σt∧P≥ -ut，0，如果- ut≤σt∧P≤ -ut，P？ut+σt∧Pσt，如果σt∧P≤ -ut。如果u=u=u，则π*（t，X）=0当且仅当σt∧tPt=-ut.在我们的非线性市场中，π*（t，X）=0 i且仅当-ut≤σt∧tPt≤ -ut。也就是说，无风险投资区域变得更大。备注3.11如果m=n=1，且ut，(R)ut，σ是[0，t]上的确定性连续函数，0≤ ut≤ utandσt>0。（3.3）和（3.4）的唯一解由（P1，t，∧1，t）=（eRTt（2rs）给出-usσs）ds，0）；（P2，t，∧2，t）=（eRTt（2rs-usσs）ds，0）。我们在[15]中恢复了相同的结果。备注3.12对于任何有效策略，均不涉及（P，∧）。事实上，根据（3.18）和（3.19），对于任何具有财富过程X的有效策略，Yt=Xt-d*e-RTtrsdsis始终为非正。因此Yt=-Y-tand（P，∧）不出现在有效策略中。4凸对偶注意Xt-de公司-如果利率是一个适应Ft的随机过程，则RTtrsdsis不适应Ft。因此，第3节中使用的广义LQ方法不起作用。

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2022-5-31 19:34:21

我们尝试用凸对偶方法结合鞅方法来解决随机利率问题（2.2）。然而，我们只能在附加假设下解子问题（2.4），而整个问题仍然是开放的。在第4.1节中，阐述了利率确定时的凸对偶方法。通过这种方法，我们获得了[29]中首次引入的方差e最优鞅测度，从中我们获得了非线性市场和经典线性市场之间的联系。第4.2节旨在解决子问题（2.4），前提是利率r是一个适应金融时报的过程。请注意，问题（2.4）是一个具有非线性财富方程的二次套期保值问题，即最小化支付d和最终财富水平XT之间差异的L-标准。尽管我们只能在附加假设下解决子问题（2.4），但它表明凸对偶方法比广义LQ方法更有效。4.1确定性利率我们将只考虑第一个子问题（2.4）和x≤ de公司-RTRSD。至于案例x≥ de公司-RTrsds，分析类似。在本节中，将使用定理3.5证明中定义的BSDE（3.6）。对于任何v∈ B、 θ∈ L2，BMOFW（0，T；Rn），设Nv，θT为以下随机微分方程的解，dNv，θt=-Nv，θthrtdt+σ′t（σtσ′t）-1vt+（英寸- σ′t（σtσ′t）-1σt）θt′dWti，Nv，θ=1。然后Nv，θtertrsdis是[0，T]上的一致可积鞅。

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2022-5-31 19:34:24

此外，等价鞅测度{Qv，θ}（v，θ）∈在这个不完全市场中，B×L2，BMOFW（0，T；Rn）可以由Nv，θT，即dQv，θdP构造FT=Nv，θTeRTrsds。据我们所知，这是第一次应用BMO鞅ale来刻画等价鞅测度。将I t^o公式应用于XsNv，θson[0，t]，我们得到了xtnv，θt=x+ZtNv，θsh（π+s）′us- （π-s） ′us- π′svsids+ZtNv，θshπ′sσs- Xsv′s（σsσ′s）-1σs- Xsθ′s（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）idWs。（4.1）SetB={（v，θ）∈ B×L2，BMOFW（0，T；Rn）|（4.1）中的随机积分是任意π的鞅∈ A（x）}。期望（4.1）并注意到ut≤ vt公司≤ ut，我们有[XTNv，θt]≤ x、对于任何（v，θ）∈ B、 π∈ A（x）。定理4.1假设假设1和2成立。设（▄Y，▄Z）为（3.6）的唯一解。设置^ζ=-2e类-Y（x- de公司-RTRSD）。然后通过HDQDP确定方差最优鞅测度QFT=N^v，^θTeRTrsds，其中^vt=argminv∈ B |σ′t（σtσ′t）-1伏-Zt |，^θt=Zt，t∈ [0，T]，a.s.（4.2）此外，问题（2.4）的最优投资组合可以表示为^πT=-^ζN^v，^θteYt（σtσ′t）-1（σtZt- ^vt），（4.3），问题（2.4）的最优终端财富为^XT=d-^ζN^v，^θT。证明：步骤1：凸对偶。对于0<ζ<∞, 定义（ζ）=infx≤d[（x- d） +ζx]=dζ-ζ.用Xπ表示财富过程（2.1），只要有必要表明其依赖于π∈ A（x）。然后π ∈ A（x），ζ>0，（v，θ）∈ B、我们有（（XπT- d）-)≥ E[u（ζNv，θT）- ζXπTNv，θT）=E[dζNv，θT-ζ（Nv，θT）- ζXπTNv，θT]≥ dζe-RTRSD-ζE（Nv，θT）- 当且仅当存在^π时，xζ和等式成立∈ A（x），^ζ>0，和（^v，^θ）∈ B、这样x^πT=^XT：=d-^ζN^v，^θT，是同时持有的组合^π，andE[^XTN^v，^θT]=x（4.4）下的最终财富。所以我们引入了对偶问题supζ>0（v，θ）∈Bdζe-RTRSD-ζE（Nv，θT）- xζ= - infζ>0（v，θ）∈伯克希尔哈撒韦- dζe-RTrsds+ζE（Nv，θT）+xζi=- infζ>0hζinf（v，θ）∈BE（Nv，θT）+ζ（x- de公司-RTrsds）i。

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2022-5-31 19:34:27

（4.5）我们首先处理术语inf（v，θ）∈BE（Nv，θT）。根据Nv，θtand▄Yt，（Nv，θt）e▄Yt=e▄YexpnZth▄Z的定义- 2σ′（σσ′）-1伏- 2（英寸- σ′（σσ′）-1σ）θi′dWs-Zt公司Z- 2σ′(σσ′)-1伏- 2（英寸- σ′(σσ′)-1σ)θdso·expnZtZ- 2σ′(σσ′)-1伏- 2（英寸- σ′(σσ′)-1σ)θdso·扩展-σ′（σσ′）-1v+（英寸- σ′(σσ′)-1σ)θ- 2r级- g（▄Z）idso=e▄YexpnZth▄Z- 2σ′（σσ′）-1伏- 2（英寸- σ′(σσ′)-1σ）θi′dWs-Zt公司Z- 2σ′(σσ′)-1伏- 2（英寸- σ′(σσ′)-1σ)θdso·扩展σ′(σσ′)-1伏-Z+ (θ -~Z）′（英寸- σ′(σσ′)-1σ）（θ-Z）idso·expnZth-~Z′（英寸- σ′(σσ′)-1σ）~Z-|Z|- 2r级- g（￠Z）idso。从g（3.7）的定义来看，（Nv，θt）eYtis a submartingale for any（v，θ）∈ B、根据鞅原理[6]，（^v，^θ）∈ inf（v，θ）的一个最优解∈BE（Nv，θT）当且仅当（N^v，θT）eYtis鞅。然后我们得到（4.2）中（^v，^θ）的表示：^vt=argminv∈ B |σ′t（σtσ′t）-1伏-Zt |，^θt=Zt，t∈ [0，T]，a.s.andinf（v，θ）∈BE（Nv，θT）=eY。通过简单计算，（4.5）中的第一个最大值是^ζ=-2e类-Y（x- de公司-RTRSD）>0。显然^XT=d-^ζN^v，^θTsatis fies（4.4）。步骤2：我们将证明存在一个投资组合^π∈ A（x）使得x^πT=^XT。通过^XtN^v，^θt=E[^XtN^v，^θt | Ft]=E[（d-^ζN^v，^θT）N^v，^θT | Ft]=de-RTrsdseRtrsdsN^v，^θt-^ζ（N^v，^θt）eYt，t∈ [0，T]，即^Xt=de-RTtrsds-^ζN^v，^θteYt，t∈ [0，T]。（4.6）显然，我们有^X=X。

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2022-5-31 19:34:32

AndE[dN^v，^θT | Ft]=de-RTrsdseRtrsdsN^v，^θt=de-RTrsdsh1-ZteRsrαdαN^v，^θsσ′s（σsσ′s）-1^vs+（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）^θs′dWsi，E[^ζ（N^v，^θT）| Ft]=^ζ（N^v，^θT）E^Yt=^ζheY+Zt（N^v，^θs）EYsZs- 2σ′s（σsσ′s）-1^vs- 2（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）^θs′dWsi。根据（4.1）和上述两个方程，可以证明存在^π∈ A（x）使得n^v，^θsh^π′sσs-^Xs^v′s（σsσ′s）-1σs-^Xs^θ′s（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）i=-de公司-RTrsdseRsrαdαN^v，^θsσ′s（σsσ′s）-1^vs+（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）^θs′-^ζ（N^v，^θs）eYsZs- 2σ′s（σsσ′s）-1^vs- 2（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）^θs′, （4.7）和（^π+s）′us- （^π）-s） ′us- ^π′s^vs=0（4.8）同时保持。注意（4.6）和^θ=~Z，我们有- N^v，^θs^Xs^θ′s（In- σ′s（σsσ′s）-1σs）=-de公司-RTrsdseRsrαdαN^v，^θs^θ′s（In- σ′s（σsσ′s）-1σs）-^ζ（N^v，^θs）eYs（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）~Zs- 2（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）^θs′.因此（4.7）等于nt toN^v，θsh^π′sσs-^Xs^v′s（σsσ′s）-1σsi=-de公司-RTrsdseRsrαdαN^v，^θsσ′s（σsσ′s）-1^vs′-^ζ（N^v，^θs）eYsσ′s（σsσ′s）-1σsZs- 2σ′s（σsσ′s）-1^vs′.因此，（4.3）满意度（4.7）中定义了^π。此外，我们声称^π满足（4.8）。实际上，请注意^vt=argminv∈ B |σ′t（σtσ′t）-1伏-Zt |=argminv∈ B |σ′t（σtσ′t）-1伏- σ′t（σtσ′t）-1σtZt- （英寸- σ′t（σtσ′t）-1σt）~Zt |=argminv∈ B |σ′t（σtσ′t）-1伏- σ′t（σtσ′t）-1σtZt |=argminv∈ B |σ′t（σtσ′t）-1（v- σtZt）|。（4.9）对于任何u∈ B和ε∈ （0，1），我们有^v+ε（u- ^v）∈ B因为B是凸的，而εh |σ′t（σtσ′t）-1（^v- σtZt）|- |σ′t（σtσ′t）-1（^v+ε（u- ^v）- σtZt）| i≤ 0、发送ε↓ 0，我们得到（u- ^v）′（σtσ′t）-1（^v- σtZt）≥ 0，u∈ B、（4.10）表示（σtσ′t）的ITH分量-1（^v-σtZt）by（（σtσ′t）-1（^v-σtZt）i，i=1。。。，m、那么一定有^vi=ui，if（（σtσ′t）-1（^v- σtZt）i≥ 0，ui，if（（σtσ′t）-1（^v- σtZt）i≤ 回顾陈述（4.3），这意味着（4.8）。步骤3：我们将显示（^v，^θ）∈ B、即（4.1）中的随机积分是任意π的鞅∈ A（x）。

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2022-5-31 19:34:36

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2022-5-31 19:34:39

投资者不应投资第i只股票。备注4.3如果d=d*, （4.3）中定义的π与最优投资组合π一致*（t，^Xt）in（3.23）。详情留给感兴趣的读者。任何v的备注4.4∈ B、以下BSDE（4.11）允许使用唯一的解决方案（Pvt，∧vt）∈ L∞（0，T；R）×L2，BMOFW（0，T；Rn），使得Pvt≥ 对于某些正常数C，根据[22]的定理2.2。dPvt=-nrPvt公司- Pvt（v+σt∧vPvt）′（σtσ′t）-1（v+σt∧vtPvt）odt+（λvt）′dWt，PvT=1。（4.11）实际上，（4.11）是线性财富方程下与均值方差问题相关的Riccati方程：dXt=（rtXt+π′tvt）dt+π′tσtdWt，X=X。注意，（3.4）的解（P2，t，∧2，t）是一致正的，根据[4]中的定理9.6.7，我们有Pvt≤ P2，T对于任何v∈ B、因此ess supv∈ BPvt公司≤ P2，t，t∈ [0，T]，a.s.然后用于^v∈ B在（4.2）中定义，我们有p2，t=P^vt=ess supv∈ BPvt，t∈ [0，T]，a.s.（3.4）的唯一性。同样，我们可以证明1，t=Pvt=ess infv∈ BPvt，t∈ [0，T]，a.s.，其中▄v=argminv∈ B- （v+σt∧1，tP1，t）′（σtσ′t）-1（v+σt∧1，tP1，t）.备注4.5让^v在（4.2）中定义，那么问题（2.2）等价于线性财富方程的以下问题：最小化E（XT- K），s.t。EXT=K，σ′π∈ L（0，T；Rn），dXt=（rtXt+π′T^vt）dt+π′TσtdWt，X=X。实际上，^v是（π+’u）的次导数- （π-)′\'u在Ji【14】的推论4.4中要求。4.2 eWe的随机利率r将表明，当利率r是一个Ft适应过程时，第4.1节中使用的方法在解决子问题（2.4）中有效。代替假设1，我们对利率r给出以下假设。假设3 r∈ L∞（0，T；R）。显然，假设3弱于1。在假设3下，存在两个常数c，csuch tha tc≤ rt公司≤ c、 t型∈ [0，T]，a.s.然后e-cT≤ e-RTRSD≤ e-计算机断层扫描。

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2022-5-31 19:34:43

我们需要以下技术假设。假设4 x<de-计算机断层扫描。备注4.6如果初始财富xis较小或时间t的目标d足够大，则假设4成立。我们假设风险资产的数量等于B.M.的维数，即M=n。在假设2、3和4下，通过[8、14、17]，问题（2.4）等价于以下问题：选择终端财富ξ，以最小化e（ξ- d），s.t。ξ∈ L(Ohm, 英尺；R），Vξ≤ x、（4.12）其中（Vξt，qt）是BSDE的唯一解：Vξt=ξ-ZTt公司rsVξs+（q′sσ-1s）+us- （q’sσ-1s）-usds公司-ZTtq的sdWs。根据El Karoui等人[7]中的命题3.4，我们得到vξ=supv∈ BE公司NvTξ,其中NvT=e-RT（RT+|σ-1tvt |）dt-RT（σ-1tvt）’载重吨。让函数u（·）在第4.1小节中定义，即。u（ζ）=dζ-ζ, ζ > 0. 然后ξ∈ L(Ohm, 英尺；R）带Vξ≤ x，ζ>0，v∈ B我们有（ξ- d）≥ E【u（ζNvT）】- ζξNvT]≥ Eu（ζNvT）- xζ，当且仅当存在^v时，等式成立∈ B和^ζ>0，使得^ξ：=d-^ζN^vT，andE[^ξN^vT]=x.（4.13），在这种情况下，^ξ：=d-^ζN^vt是问题（4.12）的最优值，因为问题（4.12）的下界已确定。对于任何ζ>0的情况，设置▄V（ζ）=supv∈ BE公司u（ζNvT）. 采用与引理3类似的方法。在[16]中，我们有以下引理。引理4.7在假设2、3和4下，对于任何ζ>0，存在^v=^vζ∈ B使得￠V（ζ）=Eu（ζN^vT）.通过上述引理，我们得到了引理4.8，在假设2、3和4下，~V（ζ）在（0）上是凹的，∞).证明：对于任何ζ，ζ>0，let^v，^v∈ B使得￠V（ζ）=supv∈ BE公司u（ζNvT）= Eu（ζN^vT）,V（ζ）=supv∈ BE公司u（ζNvT）= Eu（ζN^vT）.那么对于任何λ∈ （0，1），我们有λОV（ζ）+（1- λ） V（ζ）=Ehλu（ζN^vT）+（1- λ） u（ζN^vT）i≤ Ehu（λζN^vT+（1- λ） ζN^vT）i=Eu（λζ+（1- λ） ζ）NvT≤ supv公司∈ BE公司u(λζ+ (1 - λ） ζ）NvT=V（λζ+（1- λ） ζ），其中Nvt=λζN^vt+（1-λ） ζN^vtλζ+（1-λ） ζ，v=λζN^vtλζN^vt+（1-λ） ζN^vt^v+（1-λ） ζN^vtλζN^vt+（1-λ） ζN^vt^v∈ B

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2022-5-31 19:34:47

引理4.9在假设2、3和4下，存在一个数^ζ∈ （0，∞) 其上限supζ>0（~V（ζ）- xζ）。证明：显然，~V（0）=0。和▄V（ζ）=EdζN^vT-ζ（N^vT）≤ dζe-cT-cζ，对于某些c>0。因此limζ→∞（￠V（ζ）- xζ）≤ limζ→∞(-cζ+（de-cT- x） ζ）=-∞.类似地，我们有▄V（ζ）=EdζN^vT-ζ（N^vT）≥ dζe-cT-cζ，对于某些c>0。然后￠V（ζ）- xζ≥ -cζ+（de-cT- x）如果0<ζ<4（de），则ζ>0-cT-x） c.因此，supζ>0（￠V（ζ）- xζ）=V（^ζ）- x^ζ，对于某些^ζ∈ （0，∞). 引理4.10在假设2、3和4下，V（ζ）在（0，∞).证明：对于任何ζ>0的情况，设^v为^v（ζ）=Eu（ζN^vT）. 然后通过u（·）的凸性，我们得到了任意δ>0V（ζ+δ）-V（ζ）δ≥δEhu（（ζ+δ）N^vT）- u（ζN^vT）i≥δEhu′（（ζ+δ）N^vT）δN^vTi=Eh（d-ζ+δN^vT）N^vTi。注意E（N^vT）是有界的，那么我们有limδ→0+~V（ζ+δ）-V（ζ）δ≥ Eh（d-ζN^vT）N^vTi。同样，我们有limδ→0±V（ζ）-V（ζ- δ） δ≤ Eh（d-ζN^vT）N^vTi。由于▄V（·）是凹的，我们得到▄V（·）在（0，∞) a nd▄V′（ζ）=Eh（d-ζN^vT）N^vTi。定理4.11假设假设3、3和4成立。Let^ζ∈ （0，∞) 应确保supζ>0（￠V（ζ）- xζ）=V（^ζ）- x^ζ和^v∈ B应确保￠V（^ζ）=supv∈ BE公司u（^ζNvT）= Eu（^ζN^vT）, 则^ξ：=d-^ζN^vt是问题（4.12）的最佳值。证明：我们只需要证明^ξ：=d-^ζN^vtsaties（4.13）。通过引理4.10，我们知道V′（^ζ）=Eh（d-^ζN^vT）N^vTi。另一方面，V′（^ζ）=x，因此E[^ξN^vT]=Eh（d-^ζN^vT）N^vTi=x。参考文献[1]Bielecki T，Jin H，Pliska S，Zhou X（2 005）破产禁令下的连续时间均值方差投资组合选择。数学资金15(2): 213-244.[2] Cuoco D，Cvitanic J（1998），“大型”投资者的最佳消费选择。J、经济学。发电机。控制22(3): 401-4 36.[3] Cvitanic J，Ka ratzas I（1992）约束投资组合优化中的凸对偶。安。应用程序。

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能者818

2022-5-31 19:34:50

概率。，2(4), 767-818.[4] Cvitanic J，Z hang J（2012）《连续时间模型中的契约理论》，斯普林格科学和商业媒体。[5] Czichowsky C，Schweizer M（2013）锥约束连续时间Markowitz问题。安。应用程序。概率。，2013, 23(2): 764-810.[6] El Karoui N（1981）Les aspect s probabilistes du controle stochastique，数学课堂讲稿，Springer Verlag。73-238.[7] El Karoui N，Peng S，Quenez M（1997）《金融中的反向随机微分方程》。数学资金7(1): 1-71.[8] El Karoui N，Peng S，Quenez M（2001）约束下递归效用优化的动态极大值原理。安。应用程序。概率。11(3): 664 -693.[9] Fu C，Lavassani L，Li X（2010）具有借贷约束的动态均值-方差投资组合选择。欧洲J.Oper。第200（1）号决议：312-319。[10] Harrison J，Kreps D（1979）《多期证券市场中的鞅与套利》。J、经济学。学说20(3 ): 38 1-408.[11] Harrison J，Pliska S（198 1）连续交易理论中的鞅和托卡斯特积分。随机过程。应用程序。11（3）：215-260。[12] Harrison J，Pliska S（1983）《连续交易的随机演算模型：完全市场》。存储过程。应用程序。15(3): 313-316.[13] Hu Y，Zhou X（2005）具有随机系数的约束随机LQ控制和应用拓扑选择。暹罗J.控制优化。44(2): 444-466.[14] Ji S（2010）非线性财富方程连续时间Markowitz问题的对偶方法。J、数学。肛门。应用程序。366(1): 90-100.[15] Ji S，Shi X（2017）《具有非线性健康方程的连续时间均值-方差投资组合选择的显式解》。系统控制Lett。104:1-4。[16] Ji S，Shi X（2018）《凹系数递归UTILITY优化》。数学控制相关。

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