效用最大化问题的灵敏度分析

2022-5-31 20:31:16

敏感性分析、稳定性、效用最大化、最优投资、风险容忍过程、第一类套利、有界风险的无无界利润、局部鞅衰减、对偶理论、半鞅、不完全市场。我们要感谢Nicolai V.Krylov就本文主题进行的讨论。我们还要感谢卡斯·佩尔·拉森和戈丹·齐特科维奇的宝贵评论。第一位作者得到了美国国家科学基金会的资助。DMS-1600307（2015-2018），国家科学基金会资助的第二作者，批准号DMS-1517664（2015-2018）。本材料中表达的任何观点、发现、结论或建议均为作者的观点，不一定反映国家科学基金会的观点。2 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^irbu价值函数的二次展开，对最优终端财富的一阶修正，以及构建与价值函数匹配到二阶的近似交易策略。对于电力公司的情况，【CR16】中获得了关于风险市场价格扰动的一阶渐近展开，而【LMˇZ14】中进行了二阶分析。从数学上讲，本文的结果依赖于不同的技术。我们可以将我们的贡献总结为三个方面：（1）我们首先需要增加维度，并关注风险市场价格和初始财富的同时扰动。

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能者818

2022-5-31 20:31:19

证明表明，维数的增加是将值函数展开到二阶的必要途径。（2）然后，我们建立了辅助二次随机控制问题，并将原始值函数和对偶值函数的二阶近似与这些问题联系起来。（3）最后，如果风险容忍财富过程存在，我们将其作为一个数值，并相应地改变度量，以确定上述一般二次优化问题的解，该解由扰动过程生成的Kunita Watanabe分解（某个鞅的分解）。据我们所知，最接近数学观点的论文是[KS06b]，其中作者获得了关于初始财富和投资组合中随机捐赠单位数量同时扰动的价值函数的二阶展开式。我们想强调的是，与[KS06b]中的当前设置不同，价值函数是凹的（在初始财富和投资组合中持有的随机捐赠单位数量中），这一事实在证明中起着重要作用。在这里，我们将第（1）项中描述的维数增加与[KS06b]中类似的度量和数值变化结合起来，将其与一般的二次优化问题联系起来。然而，一个主要的技术难题在于，我们的值函数作为两个变量的函数，在扰动变量δ中不是凹的或凸的（通常）。尽管存在这一障碍，我们的方法仅部分依赖于凸共轭，仍然通过辅助二次问题和u in（x，δ）a和v in（y，δ）的同时展开产生二次展开。

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2022-5-31 20:31:23

除了获得二次展开式外，我们还得到了这种近似值的存在性和风险容忍财富过程的存在性之间的关系，这是在[LMˇZ14]中考虑的恒定相对风险平均情况下，因为最优终端财富通过一个乘性常数依赖于初始财富，获得二次展开式不需要增加维数。[KS06b]中介绍的预期效用最大化问题3的敏感性分析。我们表明，风险容限财富过程的存在，使得我们的近似值中的修正项形式更加明确，这些修正项来自于适当度量下的渡边坤田分解，并且在风险容限财富过程中具有特定的数量。引理6.1给出了与[KS06b]的另一个联系，其中对风险市场价格的扰动起着乘性（和非线性）随机禀赋的作用。为了将问题的财务方面与数学方面分开，我们陈述并证明了主要定理的抽象版本。之后，我们将主要定理的证明简化为抽象定理中条件的验证。作为一个应用，我们考虑在不完全市场中允许闭式解的模型，参见[KO96，Liu07，GR15]（我们还参考[LMˇZ14]了解更多示例和文献综述）。这些模型对输入参数的扰动很敏感：即使受到轻微扰动，闭合形式的解通常也不存在。

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2022-5-31 20:31:26

我们的结果表明，即使我们不知道如何获得此类受扰问题的精确解，仍然可以构造一个精确到二阶的近似。我们在无无界利润和有界风险的假设下证明了我们的结果，这是最弱的无套利类型条件，允许终端财富的效用最大化问题是非退化的，参见[KK07，命题4.19]。对于扰动过程，我们给出了一个假设公式，并给出了一个反例，说明了该假设的必要性。此外，我们还为微扰过程的可积性假设提供了一组有效条件。对于一般效用函数，我们假设其相对风险厌恶是从零到整数的有界。该条件（本质上）对于初始持有财富的两次区分是必要的，反例见[KS06a]。从更技术的角度来看，当我们考虑初始财富的扰动时，我们得到了原始和对偶值函数相对于空间变量（x和y，对应）的二阶导数，作为副产品。注意，在[KS06a]中，该结果是针对不连续股票价格获得的，但在NFLVR下。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们建立了模型并陈述了扩张定理，第4节包含最优交易策略理论的近似，第5节包含定理3.7、3.8、3.10和3.12的抽象版本以及证明，第6节包含非抽象定理和定理4.1的证明，其中规定了对最优交易策略的修正结构（精确到价值函数的二阶）。

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能者818

2022-5-31 20:31:29

第7节包括一个反例，该反例显示了没有假设3的情况。2在扰动过程中，值函数的二次展开可能不存在。在第8节中，我们将前几节中的渐近4 OLEKSII-MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUexpansions与风险容忍财富过程和Kunita-Wata-nabe分解的存在联系起来。最后，我们举例说明了我们的结果在分析允许闭式解的模型的扰动时的应用。2、型号2.1。股票价格过程的参数化系列。让我们考虑一个完全随机的基础Ohm, F、 {Ft}t∈[0，T]，P, 其中T∈ （0，∞) 是时间范围，F满足通常条件，F是平凡σ-代数的完成。我们假设有两种交易证券，一个是零利率的银行账户，另一个是股票。LetM是一维连续局部martinga le，λ是一个渐进可测过程，使得（2.1）λ·hMiT<∞, P- a、 s.未受干扰或等效的0模型的股票价格返回过程由s，λ·hMi+M给出。这里我们考虑一个半鞅δ，δ的参数族∈ R、对于相同的鞅部分M，其中风险λ的市场价格受扰动δ，λδ·dhMi+M，其中对于一些可测量的过程ν，使得（2.2）ν·hMiT<∞, P- a、我们有λδ，λ+Δν，δ∈ R、 2.2。原始问题。设U为满足以下假设2.1的效用函数。假设2.1。效用函数U严格递增，严格凹，在（0，∞) 存在正常数c和c，因此（2.3）c≤ A（x），-U′（x）xU′（x）≤ c、即。

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何人来此

2022-5-31 20:31:33

U的相对风险规避一致有界远离零且不完整。我们用S表示股票回报，因为R用于不同的目的。预期效用最大化问题的敏感性分析5原始可行集族定义为（2.4）X（X，δ），十、≥ 0:Xt=x+H·Sδt，t∈ [0，T], （x，δ）∈ [0，∞) ×R，其中H是一个可预测的Sδ-整数过程，表示投资于股票的金额。相应的值函数族由（2.5）u（x，δ），supX给出∈X（X，δ）E[U（XT）]，（X，δ）∈ （0，∞) ×R.我们使用约定e[U（XT）]，-∞, 如果EU-（XT）= ∞,其中U-是U.2.3的负部分。双重问题。通过对偶问题对原始问题（2.5）进行研究。首先，让我们定义对偶域如下：（2.6）Y（Y，δ），{Y:Y是非负上鞅，因此Y=yand XY=（XtYt）t≥0是每X的超级艺术家∈ X（1，δ）}，（y，δ）∈ [0 , ∞) ×R.我们将效用函数U的凸共轭设为（2.7）V（y），supx>0（U（x）- xy），y>0。注意，对于y=U′（x），我们有v′（y）=-U′（x）和b（y），-V′（y）yV′（y）=A（x）。因此，假设2.1意味着C≤ B（y）≤c、 y>0。双值函数的参数化族由（2.8）v（y，δ），infY给出∈Y（Y，δ）E[V（YT）]，（Y，δ）∈ （0，∞) ×R.我们使用约定e[V（YT）]，∞, 如果EV+（YT）= ∞,其中V+是V的正部分。6 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBU3。技术假设我们还记得M是连续的假设。条件（2.1）表明，在0模型中，在无无界利润和有界风险的意义上，没有套利机会，这意味着Y（1，0）6=.

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2022-5-31 20:31:38

注意，（2.1）和（2.2）意味着每个δ都没有具有有界风险的无界预测∈ R、 thusY（1，δ）6=, δ ∈ R、为了使问题（2.5）不退化，我们还需要假设（3.1）u（x，0）<∞ 对于某些x>0。备注3.1。如果期望效用最大化问题是非退化的，则条件（2.1）和（3.1）是必要的。注意，我们只在δ=0时施加t hem。正如在[K S06a，KS06b]中一样，对于x>0且y=ux（x，δ），由dr（x，δ）dP、bXT（x，δ）bYT（y，δ）xy给出的概率度量r（x，δ）将发挥重要作用。正如下面的示例7.1所示，我们需要施加一个可积性条件。首先，让我们定义（3.2）ζ（c，δ），expc（|ν·SδT |+hν·SδiT）, （c，δ）∈ R、假设3.2。固定x>0。存在c＞0，因此er（x，0）[ζ（c，0）]<∞.备注3.3。Stronger条件（3.3）sup（x′，δ）∈Bε（x，0）ER（x′，δ）[ζ（c，δ）]<∞,对于某些ε>0和c>0，其中Bε（x，0）表示Rof半径中的球εcenteredat（x，0），表示值函数u（x，δ）的局部半腔。因此，在（5.22）和（5.2 3）给出的u和v的二次展开式中，（5.20）和（5.21）中分别定义的矩阵Hu（x，0）和HV（y，0）是Hessian矩阵，即是gr-adients的导数。这将遵循引理5.14。然而，非常严格的条件（3.3）是一个依赖于δ6=0的最优解的假设，因此通常不可能进行检查。让我们也设置（3.4）Lδ，E-（Δν）·ST、 δ∈ R、此处，E下方的和表示Dol’eans Dade指数。可以看出，对于每个δ，Lδ是X（1，0）元素的终值∈ R、预期效用最大化问题的敏感性分析7假设的充分条件3.2标记3.4。

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kedemingshi

2022-5-31 20:31:41

假设3.2成立的一个有效条件是，在num'erairebX（x，0），eX和常数c>0下，存在一个富裕过程，即expc（|ν·S |+ν·hMi）T≤分机，a.s.备注3.5。让我们假设在（2.3）中，c>1，即U的相对风险规避严格大于1，（例如，如果U（x）=xppw且p<0，则这一点成立，请注意，对于此类U，共轭函数V（y）=y-QQ或q∈ ( -1，0））。在这种情况下，假设3.2成立的一个充分条件是，在ν·ST和ν·hMiT。这可以如下所示。让我们塞奇，-1.-ci公司, i=1，2。作为c≥ c> 1，我们推断出∈ (-1，0），i=1，2。使用引理5.12，可以发现常数C>0，这样（3.5）- V′（y）y≤ Cy-q+y-q, y>0。为了证明（3.5），让我们观察引理5.12，我们得到（3.6）U′（z）≤ z-cU′（1），-V′（z）≤ z-c类(-V′（1）），f或每z∈ （0，1）.As（U′）-1=-V′，第一个不等式意味着存在z，因此-V′（z）≤ （U′（1））cz-c、对于每个z≥ z、将此不等式与（3.6）和supz结合起来∈[最小值（z，1），最大值（z，1）]|- V′（z）z |<∞, 我们获得（3.5）。因此，如果P下的|ν·ST|和ν·hmitexist的一些正指数矩，使用H¨older不等式可以找到一个正常数a，这样（3.7）E[ζ（a，0）]<∞,其中（3.2）中定义了ζ（a，0）。让我们看看setc，a（1+q）8 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^irbu，注意C1+q=a1+q1+q≤ a、当y=ux（x，0）时，再次使用H¨older不等式（注意1+q是-qi，i=1，2）和（3.5），我们得到xyer（x，0）[ζ（c，0）]≤ CE公司bYT（y，0）-q+bYT（y，0）-qζ（c，0）≤ CEhbYT（y，0）i-qEhζc1+q，0i1+q+CEhbYT（y，0）i-qEhζc1+q，0i1+q≤ Cy公司-qE[ζ（a，0）]1+q+Cy-qE[ζ（a，0）]1+q<∞,其中，最后一个不等式来自于b（y，0）和（3.7）的超短ingale性质。因此，假设3.2成立。备注3.6（关于与现有照明时代的关系）。

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2022-5-31 20:31:44

假设3.2与[KS06b]中的随机捐赠条件假设4相关，通过以下参数。假设，对于某些x>0和c>0，存在财富过程x∈ X（X，0），例如（3.8）ζ（c，0）≤XTbXT（x，0），其中bx（x，0）是（2.5）的最优解。然后满足假设3.2。在条件n（3.8）中，数字ebx（x，0）下的财富过程xbx（x，0）是R（x，0）下的局部鞅，即x可以是x（x，0）的任意元素。在[KS06b]中，假设xbx（x，0）是R（x，0）下的平方可积鞅。扩展理论在定理3.7中，我们证明了值函数和关于δ的一阶导数的一致性。定理3.7。设x>0为x，假设（2.1）和（3.1）以及假设2.1和3.2 h o l d，并表示y=ux（x，0），这是由[KS99]中的抽象理论定义的。然后存在δ>0，因此对于每个δ∈ (-δ、 δ），我们有（3.9）u（x，δ）∈ R、 x>0和v（y，δ）∈ R、 y>0。此外，u和v分别在（x，0）和（y，0）处是可区分的（因此是连续的）。我们还有（3.10）u（x，0）=yuδ（x，0）！和v（y，0）=-xvδ（y，0）！，式中，（3.11）uδ（x，0）=vδ（y，0）=xyER（x，0）[F]。期望效用最大化问题的敏感性分析9为了刻画值函数的二阶导数，我们需要以下符号。

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可人4

2022-5-31 20:31:47

设SX（x，0）是在num'erairebX（x，0）x下交易证券的价格过程，即SX（x，0）=xbX（x，0），xSbX（x，0）！。对于每x>0，设H（R（x，0））表示R（x，0）下的平方可积矩阵的空间，使得m（x，0），M∈ H（R（x，0））：M=H·SX（x，0）,N（y，0），{N∈ H（R（x，0））：MN是R（x，0）- 鞅f或每M∈ M（x，0）}，这里y=ux（x，0）。[KS06a]中的辅助极小化问题，对于x>0，让我们考虑（3.12）a（x，x），infM∈M（x，0）ER（x，0）hA（bXT（x，0））（1+MT）i，（3.13）b（y，y），infN∈N（y，0）ER（x，0）hB（bYT（y，0））（1+NT）i，y=ux（x，0），其中A是相对风险厌恶，B是相对风险耐受度U。[KS06a]证明，（3.12）和（3.13）相应地允许唯一解M（x，0）和N（y，0），并且（3.14）uxx（x，0）=-yxa（x，x），vyy（y，0）=xyb（y，y），a（x，x）b（y，y）=1，a（bXT（x，0））（1+MT（x，0））=a（x，x）（1+NT（y，0））。为了用（3.15）F，ν·STand G，ν·hMiT表征值函数相对于δ的导数，我们考虑以下最小化问题：（3.16）a（d，d），infM∈M（x，0）ER（x，0）hA（bXT（x，0））（MT+xF）- 2xF MT- x（F+G）i，（3.17）b（d，d），infN∈N（y，0）ER（x，0）hB（bYT（y，0））（NT- yF）+2yF NT- y（F- G） i，在NFLVR的假设下。下面，我们将说明在当前设置下可以获得公式（3.12）、（3.13）和（3.14）。10 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUDenoting的唯一解分别为（3.16）和（3.17），我们还设置了（3.18）a（x，d），ER（x，0）hA（bXT（x，0））（1+MT（x，0））（xF+MT（x，0））- xF（1+MT（x，0））i，（3.19）b（y，d），ER（x，0）hB（bYT（y，0））（1+NT（y，0））（NT（y，0）- yF）+yF（1+NT（y，0））i.定理3.8、3.10和3.12包含值函数的二阶展开式、优化器的导数以及此类导数的性质。定理3.8。固定x>0。

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2022-5-31 20:31:50

假设定理3.7的所有条件都成立，y=ux（x，0）。定义（3.20）Hu（x，0），-yxa（x，x）a（x，d）a（x，d）a（d，d）！，其中，（3.12）、（3.16）和（3.18）分别规定了a（x，x）、a（d，d）和a（x，d），以及，（3.21）Hv（y，0）、xyb（y，y）b（y，d）b（y，d）b（d，d）！，其中，（3.13）、（3.17）和（3.19）中规定了b（y，y）、b（d，d）、b（y，d）。然后，v值函数u和v值函数分别进行二阶展开a圆（x，0）和d（y，0），（3.22）u（x+x、 δ）=u（x，0）+（xδ）u（x，0）+(xδ）Hu（x，0）xδ+o(x+δ）和（3.23）v（y+y、 δ）=v（y，0）+(yδ）v（y，0）+(yδ）Hv（y，0）yδ+o(y+δ）。备注3.9。虽然我们只有二阶展开式，但我们可能会滥用这种语言，将Hu（x，0）和Hv（y，0）称为u和v的Hessians，而没有两次区分。这不会引起混淆，请参见[LS02]中的讨论。然后，通过识别Hessian矩阵中的条目，部分导数uxx（x，0）、uxδ（x，0）等的含义变得显而易见。定理3.10。设x>0为固定值，T heorem 3.7的假设成立，y=ux（x，0）。那么，我们有（3.24）a（x，x）0a（x，d）-xy！b（y，y）0b（y，d）-yx！=一、预期效用最大化问题的敏感性分析11，其中Idenotes二乘二单位矩阵。此外，（3.25）yxa（d，d）+xyb（d，d）=a（x，d）b（y，d），（3.26）U′（bXT（x，0））bXT（x，0）MT（x，0）+1MT（x，0）+xF！=-a（x，x）0a（x，d）-xy！bYT（y，0）NT（y，0）+1NT（y，0）- yF！，V′（bYT（y，0））bYT（y，0）1+NT（y，0）-yF+NT（y，0）=b（y，y）0b（y，d）-yx！bXT（x，0）1+MT（x，0）xF+MT（x，0）！。任意ofbX（x，0）、bX（x，0）M（x，0）、bX（x，0）M（x，0）和y（y，0）、bY（y，0）N（y，0）、bY（y，0）N（y，0）的乘积是P下的一个可分解数，其中MT（x，0）、MT（x，0）、NT（y，0）和NT（y，0）分别是（3.12）、（3.16）、（3.13）和（3.17）的解。备注3.11。

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kedemingshi

2022-5-31 20:31:53

继续备注3.9中的讨论，（3.24）意味着Uxx（x，0）0uxδ（x，0）1！vy y（y，0）0vyδ（y，0）-1！=-一、其中uxx（x，0）0uxδ（x，0）1！=-yxa（x，x）0a（x，d）-xy！andvy y（y，0）0vyδ（y，0）-1!=xyb（y，y）0b（y，d）-yx！。同样，（3.25）给出-uδδ（x，0）+vδδ（y，0）=-uxδ（x，0）vyδ（y，0）。定理3.12。设x>0为固定值，T heorem 3.7的假设成立，y=ux（x，0）。财富过程M（x，0）和M（x，0）的终值分别是（3.12）和（3.16）的解，满足（3.27）lim|x |+|δ|→0个|x |+|δ|bXT（x+x、 δ）-bXT（x，0）x（x+x（1+MT（x，0））+δMT（x，0））Lδ= 0，其中收敛发生在P概率中，Lδ在（5.3）中定义。同样，让（3.13）和（3.17）的解NT（y，0）和NT（y，0），相应地，将（3.28）lim|y |+|δ|→0个|y |+|δ|bYT（y+y、 δ）-bYT（y，0）y（y+y（1+NT（y，0））+δNT（y，0））Lδ= 0，其中收敛发生在P概率中。我们可以得到以下推论。12 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUCorollary 3.13。假设x>0是固定的，定理3.7的假设成立，y=ux（x，0）。然后，如果我们定义下一个\'T（x，0），bXT（x，0）x（1+MT（x，0）），Y′T（Y，0），bYT（Y，0）Y（1+NT（Y，0）），和xdt（x，0），bXT（x，0）x（MT（x，0）+xF），YdT（Y，0），bYT（Y，0）Y（NT（Y，0）- yF），我们有elim|x |+|δ|→0个|x |+|δ|bXT（x+x、 δ）-bXT（x，0）- xX′T（x，0）- δXdT（x，0）= 0，lim|y |+|δ|→0个|y |+|δ|bYT（y+y、 δ）-bYT（y，0）- yY′T（y，0）- δYdT（y，0）= 0，其中收敛发生在P概率中。备注3.14。尽管推论3.13给出了终端财富导数的更明确形式，但（3.27）中给出的近似结果在应用中更有用。4、最佳交易策略的近似值在本节下文中，我们假设x>0是固定的。

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2022-5-31 20:31:56

让我们表示（4.1）MR，S- bπ（x，0）·hMi，其中bπ（x，0）=（bπt（x，0））t∈[0，T]是与初始财富x和δ=0相对应的最佳股票投资比例。注意，对于每一个可预测的过程对G，两个积分G·bX（1,0）和G·SbX（1,0）通过直接计算，我们可以找到一个过程G，例如G·bX（1，0）！+G·SbX（1，0）！=G·MR。设γ和γ为γ·MR=M（x，0）x和γ·MR=M（x，0）x。我们需要定义以下停止时间族。σε，inft型∈ [0，T]：| Mt（x，0）|≥xε或hM（x，0）it≥xε,τε，inft型∈ [0，T]：| Mt（x，0）|≥xε或hM（x，0）it≥xε, ε>0，我们还设置γ0，ε=γ{[0，σε]}和γ1，ε=γ{[0，τε]}，ε>0。预期效用最大化问题的敏感性分析13最后，对于(x、 δ，ε）∈ (-x，∞) ×R×（0，∞) , 让我们定义（4.2）Xx、 δ，ε，（x+x） E类bπ（x，0）+xγ0，ε+δ（ν+γ1，ε）· Sδ.定理4.1。假设x>0是固定的，并且定理3.7的假设成立。然后，存在一个函数ε=ε(x、 δ）(x、 δ）∈ (-x，∞) ×R，使EHU十、x、 δ，ε(x、 δ）Ti=u（x+x、 δ）- o(x+δ），其中xx、 δ，ε在（4.2）中定义。备注4.2。定理4.1显示了如何校正最佳比例，以便将原始值函数与(x、 δ）。备注4.3。就二次优化问题（3.12）和（3.16）而言，比例可以更好地表示对选择主要交易策略的修正，因为选择财富过程被用作数字，即^X（X，0）/X具有乘法结构。定理4.1中的结果与[KS06a]和[KS06b]中在一维连续股票模型中的结果（在不同的加性随机禀赋框架中）一致。抽象版本0-model的抽象版本我们从0-model的抽象版本的公式开始。

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2022-5-31 20:31:59

如【Mos15】中所述，让(Ohm, F、 P）是度量空间，我们将集合C和D定义为满足以下假设的L+子集。假设5.1不是有界风险条件下名词有界利润的抽象版本（2.1）。假设5.1。C和D都含有一个严格的正元素和ξ∈ C iff E[ξη]≤ 1 f或每η∈ D、以及η∈ D iff E[ξη]≤ 每ξ1∈ C、我们还将C（x，0）、xC和D（x，0）、xD、x设置为>0。现在我们可以把抽象的原问题和对偶问题表述为（5.1）u（x，0），supξ∈C（x，0）E[U（ξ）]，x>0，（5.2）v（y，0），infη∈D（y，0）E[V（η）]，y>0.14 OLEKSII-MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUUnder在R上的原始值函数和dua l值函数的不完全性，（5.1）和（5.2）的解的存在性和唯一性遵循[Mos15，定理3.2]。同样，对于具有合理渐近弹性的确定性效用函数，如果u（x，0）<∞ 对于某些x>0，效用最大化理论的标准结论也遵循[KS99]中的抽象定理（见[CCFM15，备注2.5]中的讨论）。一些随机变量F和G的δ-模型的抽象版本≥ 0，设（5.3）Lδ，exp-（δF+δG）,（5.4）C（x，δ），C（x，0）Lδ和D（y，δ），D（y，0）Lδ，δ∈ R、现在，我们可以陈述扰动优化问题的抽象版本。（5.5）u（x，δ），supξ∈C（x，δ）E[U（ξ）]=supξ∈C（x，0）EUξLδ, （x，δ）∈ （0，∞ ) ×R，（5.6）v（y，δ），infη∈D（y，δ）E[V（η）]=infη∈D（y，0）E五、ηLδ, （y，δ）∈ （0，∞) ×R.在一个适当的可积性下，下面规定的一个假设，（5.5）和（5.6）的解的存在性和唯一性，以及非常接近于0的u（·，δ）和v（·，δ）之间的共轭关系将遵循[Mos15，定理3.2]。扰动条件ltξ（x，δ）和η（y，δ）分别表示（5.5）和（5.6）的解，如果存在此类解。

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2022-5-31 20:32:02

通过R（x，δ），我们表示(Ohm, F），其关于P的Ra donNikodym导数由（5.7）dR（x，δ）dP，ξ（x，δ）η（y，δ）xy给出，其中x>0，δ∈ R、 y=ux（x，δ）。假设5.2。设t存在c＞0，使得er（x，0）[exp（c（| F |+G））]<∞.请注意，R（x，0）对于每x>0定义得很好。期望效用最大化问题的灵敏度分析15扩展理论[KS06a]中的辅助集A和BAs，对于每x>0和δ∈ R、我们用A表示∞（x，δ）有界随机变量α族，例如ξ（x，δ）（1+cα）和ξ（x，δ）（1- 对于某些常数c=c（α）>0，即（5.8）A，cα）属于c（x，δ）∞（x，δ），{α∈ L∞: ξ（x，δ）（1±cα）∈ C（x，δ）f或某些C＞0}。同样，对于y>0和δ∈ R、我们设置（5.9）B∞（y，δ），{β∈ L∞: η（y，δ）（1±cβ）∈ D（y，δ），对于某些c>0}。根据假设5.1，每x>0，A∞（x，δ）和B∞（ux（x，δ），δ）是L（R（x，δ））的正交线性子空间。让我们用A（x，δ）和B（y，δ）表示A的各自闭包∞（x，δ）和B∞（y，δ）in L（R（x，δ））。可以看出，A（x，δ）和B（y，δ）是L（R（x，δ））的闭正交线性子空间。为了使这些集合与扩张定理的具体版本相关，我们需要以下假设。假设5.3。对于每个δ∈ R和x>0，当y=ux（x，δ）时，集合A（x，δ）和b（y，δ）是L（R（x，δ））中的互补线性子空间，即（5.10）α∈ A（x，δ）iffα∈ L（R（x，δ））和ER（x，0）[αβ]=0，f或每个β∈ B（y，δ），β∈ B（y，δ）iffβ∈ 对于每个α，L（R（x，δ））和ER（x，0）[αβ]=0∈ A（x，δ）。以下定理显示了j点连续性和可微性，是二阶展开的结果。定理5.4。固定x>0。假设假设假设2.1、5.1、5.2、a和5.3成立，u（z，0）<∞ 对于一些z>0，y=ux（x，0），这由[KS99]中的抽象定理很好地定义。

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2022-5-31 20:32:05

然后存在δ>0，因此对于每个δ∈ (-δ、 δ），我们有（5.11）u（x，δ）∈ R、 x>0和v（y，δ）∈ R、 y>0。此外，u和v分别在（x，0）和（y，0）处是可区分的（因此是连续的）。我们还有（5.12）u（x，0）=yuδ（x，0）！和v（y，0）=-xvδ（y，0）！，式中，uδ（x，0）=vδ（y，0）=xyER（x，0）[F]。16 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBURemark 5.5。在没有假设5.3的情况下，可以证明定理5.4。我们并没有提供这样的证据来证明论述的简洁性。[KS06a]中的辅助极小化问题，对于x>0，让我们考虑（5.13）a（x，x），infα∈A（x，0）ER（x，0）A（ξ（x，0））（1+α）,（5.14）b（y，y），infβ∈B（y，0）ER（x，0）B（η（y，0））（1+β）, y=ux（x，0），其中A分别是相对风险规避，B是U的相对风险容忍度。[KS06a]证明，（5.15）uxx（x，0）=-yxa（x，x），vy（y，0）=xyb（y，y），a（x，x）b（y，y）=1，a（η（x，0））（1+α（x，0））=a（x，x）（1+β（y，0）），其中α（x，0）和β（y，0）分别是（5.13）和（5.14）的唯一解。为了刻画值函数对δ的导数，我们考虑以下最小化问题：（5.16）a（d，d），infα∈A（x，0）ER（x，0）[A（ξ（x，0））（α+xF）-2xFα- x（F+G）]，（5.17）b（d，d），infβ∈B（y，0）ER（x，0）[B（η（y，0））（β- yF）+2yFβ-y（F- G），分别用αd（x，0）和βd（y，0）表示（5.16）和（5.17）的唯一解，我们还设置了（5.18）a（x，d），ER（x，0）[a（ξ（x，0））（1+α（x，0））（xF+αd（x，0））- xF（1+α（x，0））]，（5.19）b（y，d），ER（x，0）[b（η（y，0））（1+β（y，0））(-yF+βd（y，0））+yF（1+β（y，0））]。我们准备陈述以下定理。定理5.6。

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2022-5-31 20:32:08

设x>0为x，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。定义（5.20）Hu（x，0），-yxa（x，x）a（x，d）a（x，d）a（d，d）！，其中（5.13）、（5.16）和（5.18）分别规定了a（x，x）、a（d，d）和a（x，d）；和（5.21）Hv（y，0），xyb（y，y）b（y，d）b（y，d）b（d，d）！，（5.14）、（5.17）和（5.19）相应地规定了预期效用最大化问题17的敏感性分析以及b（y，y）、b（d，d）、b（y，d）。使用梯度公式（5.12），val-UE函数的二阶展开式由（5.22）u（x）给出+x、 δ）=u（x，0）+（xδ）u（x，0）+(xδ）Hu（x，0）xδ+o(x+δ）和（5.23）v（y+y、 δ）=v（y，0）+(yδ）v（y，0）+(yδ）Hv（y，0）yδ+o(y+δ）。优化器S Theorem 5.7的衍生物。设x>0为x，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。设ξ=ξ（x，0）和η=η（y，0）分别表示（5.1）和（5.2）的解，α=bα（x，0），β=bβ（y，0），αd=bαd（x，0），βd=bβd（y，0）分别表示（5.13），（5.14），（5.18）和（5.19）的解。那么，我们有（5.24）a（x，x）0a（x，d）-xy！b（y，y）0b（y，d）-yx！=一、此外，（5.25）yxa（d，d）+xyb（d，d）=a（x，d）b（y，d）和（5.26）a（ξ）1+αxF+αd=a（x，x）0a（x，d）-xy！1+β-yF+βd！，相当于（5.27）B（η）1+β-yF+βd=b（y，y）0b（y，d）-yx！1+αxF+αd！。定理5.8。让T heorem 5.4的条件保持不变，x>0的条件固定不变。然后随机变量α和αd，分别是（5.13）和（5.16）的解，是（x，0）到（5.5）的部分导数，在（x，0）处计算，即（5.28）lim|x |+|δ|→0个|x |+|δ|bξ（x+x、 δ）-bξ（x，0）x（x+x（1+α（x，0））+Δαd（x，0））Lδ= 0，其中收敛发生在P概率中。

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2022-5-31 20:32:11

同样，让β和βd（分别为（5.14）和（5.17）的解）相应地为（y，0）到（5.6）的解的偏导数，在（y，0）处计算，其中y=ux（x，0），在这个意义上（5.29）lim|y |+|δ|→0个|y |+|δ|bη（y+y、 δ）-bη（y，0）y（y+y（1+β（y，0））+Δβd（y，0））Lδ= 0,18 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^irbu，其中收敛发生在P概率中。从定理5.8中，我们得到以下推论y.推论5.9。在定理5.8的条件下，（5.28）等价于|x |+|δ|→0个|x |+|δ|ξ（x+x、 δ）- ξ（x，0）-ξ（x，0）x(x（α（x，0）+1）+δ（αd（x，0）+xF））= 同样，（5.29）适用于且仅适用于iflim|y |+|δ|→0个|y |+|δ|η（y+y、 δ）- η（y，0）-η（y，0）y(y（β（y，0）+1）+δ（βd（y，0）- yF））= 0，其中收敛发生在P概率中。证明我们从技术引理开始。引理5.10。假设2.1成立，d∈ （最大值（exp(-1/c），exp(-c）），1]。然后，对于每x>0，我们有u′（dx）≤1+堵塞（d）U′（x），-V′（dx）≤1+堵塞（d）(-V′（x））。证据让我们定义一个任意的x>0和d∈ （最大值（exp(-1/c），exp(-c）），1]。然后利用假设2.1和U′的单调性，我们得到U′（dx）- U′（x）=Rd(-U′（tx））xdt=Rd(-U′（tx））txdtt≤ cRdU′（tx）dtt≤ cU′（dx）(-日志（d））。因此，我们得到u′（dx）（1+阻塞（d））≤ U′（x），这意味着引理的第一个断言。另一个可以完全相似地显示。推论5.11。在引理5.1 0的条件下，对于每k∈ N、我们有eU′（dkx）≤（1+阻塞（d））kU′（x），-V′（dkx）≤（1+堵塞（d））k(-V′（x））。1E以下表示集合E的指示函数。引理5.12。假设2.1成立。对于每个z∈ （0，1）和x>0，我们有u′（zx）≤ z-cU′（x），-V′（zx）≤ z-c类(-V′（x））。期望效用最大化问题的敏感性分析19证明。让我们任意固定∈ （经验值(-1/c），1）。

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2022-5-31 20:32:14

对于每个z，使用U′和推论5.11的单调性∈ （0，1）和x>0，我们得到（5.30）U′（zx）=∞Pk=1U′（zx）1{z∈（dk，dk-1]}≤∞Pk=1U′（dkx）1{z∈（dk，dk-1]}≤ U′（x）∞Pk=1（1+阻塞（d））k{z∈（dk，dk-1]}.设a（d），1+阻塞（d）>1，a（d），log（1+阻塞（d））log（d）=-log（a（d））log（d）>0。当a（d）>1且对于每k∈ Ndk<z≤ 丹麦-1相当于tolog（z）log（d）<k≤log（z）log（d）+1，我们推导出对于每个z∈ （0，1），我们有（5.31）（1+clog（d））k{z∈（dk，dk-1]}≤ a（d）a（d）log（z）log（d）{z∈（dk，dk-1] }=a（d）a（d）日志（d）对数（z）{z∈（dk，dk-1] }=a（d）z-a（d）{z∈（dk，dk-1]}.在（5.30）中插入（5.31），we getU′（zx）≤ U′（x）∞Xk=1a（d）z-a（d）{z∈（dk，dk-1] }=a（d）z-a（d）U′（x），对于每个z∈ （0，1）和x>0。作为limd↑1a（d）=1和limd↑1a（d）=limd↑1对数（1+阻塞（d））对数（d）=石灰↑0对数（1+cy）y=灰色↑0c1+cy=c，取后一个不等式中的极限，我们得到U′（zx）≤ limd公司↑1a（d）z-a（d）U′（x）=z-cU′（x），对于每个z∈ （0，1）和x>0。另一个断言可以得到类似的证明。这完成了引理的证明。推论5.13。在假设2.1下，对于每个z>0和d x>0，我们有u′（zx）≤ 最大值（z-c、 1）U′（x）≤ （z）-c+1）U′（x），-V′（zx）≤ 最大值z-c、 1个(-V′（x））≤z-c+1(-V′（x））。20 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUProof the second-order expansionLemma 5.14。设x>0为固定值，且定理5.4的条件成立，且y=ux（x，0）。对于A中的任意随机变量α和α∞（x，0），让我们定义（5.32）ψ（s，t），x（x+s（1+α）+tα）Lt，w（s，t），E[U（ξψ（s，t）），（s，t）∈ R、式中，ξ=bξ（x，0）是（5.5）的解，对应于x>0和δ=0。

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2022-5-31 20:32:17

然后，Wadmit在（0，0）处进行以下第二阶展开。（5.33）w（s，t）=w（0，0）+（s t）w（0，0）+（s t）Hwst！+o（s+t），其中ws（0，0）=ux（x，0），wt（0，0）=xyER（x，0）[F]，and hw，wss（0，0）wst（0，0）wst（0，0）wtt（0，0）！，其中，w在（0，0）处的二阶偏导数由wss（0，0）=-yxER（x）[A（ξ）（1+α）]，wst（0，0）=-yxER（x）[A（ξ）（1+α）（xF+α）- xF（1+α）]，wtt（0，0）=-yxER（x）[A（ξ）（α+xF）- 2xFα-x（F+G）]。证据

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kedemingshi

2022-5-31 20:32:20

因为α和α在A中∞, 存在常数ε∈ （0，1），使得（5.34）|α|+|α|≤x6ε-1，P- a、 s.让我们定义一个任意（s，t）∈ Bε（0，0）和定义ψ（z），ψ（zs，zt），z∈ (-1, 1).注释（5.35）≤eψ（z）Lzt≤, z∈ (-1, 1).当ψt（s，t）=αxLt+ψ（s，t）（F+tG）和ψs（s，t）=1+αxLt时，我们得到（5.36）eψ′（z）=ψs（sz，tz）s+ψt（sz，tz）t=1+αxLzts+αxLzt+eψ（z）（F+ztG）t、类似地，由于ψtt（s，t）=2αxLt（F+tG）+ψ（s，t）（F+tG）+G,ψst（s，t）=1+αxLt（F+tG），ψss（s，t）=0，期望效用最大化问题的敏感性分析21we得出ψ′（z）=ψtt（zs，zt）t+2ψst（zs，zt）ts+ψss（zs，zt）s=2αxLzt（F+ztG）+ψ（z）（F+ztG）+Gt+21+αxLzt（F+ztG）ts.设置W（z），U（ξeψ（z）），z∈ (-1，1），通过直接计算，我们得到（5.37）W′（z）=U′（ξeψ（z））ξeψ′（z），W′（z）=U′（ξeψ（z））ξeψ′（z）+ U′（ξeψ（z））ξeψ′（z）。让我们定义，2c+2和J，1+| F |+G。从（5.36）使用（5.34）和（5.35），我们得到| eψ′（z）|≤ 2J exp（εJ），eψ（z）-c+1≤ 2c+1exp（cεJ），z∈ (-1, 1).因此，从（5.37）使用推论5.13，我们得到（5.38）supz∈(-1,1）| W′（z）|≤ supz公司∈(-1,1）U′（ξ）ξ（eψ（z））-c+1eψ′（z）≤ aU′（ξ）ξJ exp（（c+1）εJ）≤ aU′（ξ）ξJ exp（aεJ）。类似地，从（5.37）应用假设2.1和Corrolary 5.13，我们推导出常数a>0的存在性，这样（5.39）supz∈(-1,1）| W′（z）|≤ aU′（ξ）ξJexp（aεJ）。结合（5.38）和（5.39），我们得到了SUPZ∈(-1,1）（| W′（z）|+| W′（z）|）≤ U′（ξ）ξaJ exp（aεJ）+aJ exp（aεJ）.因此，作为1≤ J≤ J、通过为每个zand zin设置a，max（a，a）(-1，1），我们得到（5.40）W（z）-W（z）z-z+W′（z）-W′（z）z-z≤ 4aU′（ξ）ξJexp（aεJ）。如有必要，通过传递一个较小的ε，并应用H¨older不等式，我们从假设5.2中推断出（5.40）的右侧可积分。

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2022-5-31 20:32:23

由于（5.40）的右侧取决于ε（而不是（s，t）），引理的断言遵循支配收敛定理。22 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUCorollary 5.15。设x>0为固定值，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。那么，我们有（5.41）u（x+x、 δ）≥ u（x，0）+xy+δxyER（x，0）[F]+(xδ）Hu（x，0）xδ！+o(x+δ），其中Hu（x，0）由（5.20）给出。证据结果来自引理5.14，通过将解近似为（5.13）和（5.16），这是A（x，0）的元素s，通过A的元素∞（x，0）。类似于引理5.14和推论5.15，我们可以建立以下结果。引理5.16。设x>0为固定值，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。对于B中的任意随机变量β和β∞（y，0），让我们定义φ（s，t），y（y+s（1+β）+tβ）Lt，\'w（s，t），E[V（ηφ（s，t））]，（s，t）∈ R、其中η=bη（y，0）是（5.6）的解，对应于y>0和δ=0。（0，0）处的n，w允许以下二阶展开式w（s，t）=w（0，0）+（s t） “w（0，0）+（s t）H”wst！+o（s+t），其中“ws（0，0）=vy（y，0），“wt（0，0）=xyER（x，0）[F]，和h”w，“wss（0，0）”“wst（0，0）”“wst（0，0）”“wtt（0，0）！，式中，\'w在（0，0）a处的二阶偏导数由\'wss（0，0）=xyER（x，0）[B（η）（1+β）]，\'wst（0，0）=xyER（x，0）[B（η）（1+β）(-yF+β）+yF（1+β）]，\'wtt（0，0）=xyER（x，0）[B（η）（β-yF）+2yFβ-y（F- G）】。引理5.17。设x>0为固定值，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。那么，我们有（5.42）v（y+y、 δ）≤ v（y，0）- yx+δxyER（x，0）[F]+(yδ）Hv（y，0）yδ！+o(y+δ），其中Hv（y，0）由（5.21）给出。期望效用最大化问题23的敏感性分析关闭对偶间隙我们从定理5.7的证明开始。定理5.7的证明。

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2022-5-31 20:32:27

从[KS06 a，引理2]可以看出，（5.43）a（ξ）（1+α）=a（x，x）（1+β），B（η）（1+β）=B（y，y）（1+α）。利用变分法的标准技术，我们可以证明（5.16）和（5.17）的解满足（5.44）A（ξ）（αd+xF）- xF=c+￠β，B（η）（βd- yF）+yF=d+▄α，其中▄β∈ B（y，δ），℃α∈ A（x，δ），c和d是一些常数。我们将在下面描述▄β、▄α和d。让我们设置（5.45）▄α，▄α- dα∈ A（x，0）。从（5.44）中的第二个方程式可以得出（5.46）βd- yF=A（ξ）（d- yF+～α）=A（ξ）（d+dα- yF+℃α-dα）=da（x，x）（1+β）+A（ξ）-yF+α,我们在上一个等式中使用了（5.43）。乘以-xy，我们得到a（ξ）xF车型-xyα= -xy（βd- yF）-xyda（x，x）（1+β）和thusA（ξ）xF车型-xyα- xF=▄d+▄β，其中▄d=-xyda（x，x）∈ R和β=-xyda（x，x）β-xyβd∈ B（y，0）。从（5.44）给出的（5.16）的唯一解的特征化可以看出：-xy α=αd，等效α=-yxαd.从（5.45）中，我们得到<<α=<<α+dα=-yxαd+dα。将其插入（5.44）中的第二个等式，我们得到b（η）（βd-yF）=d（1+α）-yx（αd+xF）。乘以xya（ξ），我们得到（5.47）A（ξ）（αd+xF）=xyda（x，x）（1+β）-xy（βd- yF）。24 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUSetting d′，xyda（x，x），我们声称（5.48）d′=a（x，d），其中a（x，d）在（5.18）中定义。将（5.47）的两边乘以（1+α），在R（x，0）下取期望值，利用A（x，0）和B（y，0）元素的正交性，我们得到（x，0）[A（ξ）（αd+xF）（1+α）]=d′ER（x，0）[（1+β）（1+α）]-xyER（x，0）[（βd- yF）（1+α）]=d′+ER（x，0）[xF（1+α）]。因此，d′=ER（x，0）[A（ξ）（αd+xF）（1+α）- xF（1+α）]=a（x，d），其中在上一个等式中，我们使用了（5.18）。因此，（5.48）成立。现在，（5.47）用xyda（x，x）=a（x，d）和（5.44）证明（5.26）。（5.27）可以类似地显示。当A（ξ）=B（η），（5.26）和（5.27）表示（5.2 4）。还有待证明（5.25）。

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2022-5-31 20:32:30

让我们设置‘β，β+1，’α，α+1，’βd，βd- yF，(R)αd，αd+xF。然后从（5.16）使用（5.26），我们得到（5.49）yxa（δ，δ）=ER（x，0）yxa（x，d）\'-β\'-αd-βdαd-yxER（x，0）[2xFαd]- xyER（x，0）[F+G]。同样，从（5.17）到（5.49），我们得到（5.50）xyb（d，d）=ER（x，0）xyb（y，d）’α′βd-βdαd+2βdxF- xy（F-G）.让我们定义，ER（x，0）yxa（x，d）’β’αd+xyb（y，d）’α’βd,andT，ER（x，0）-2“βd”αd- 2yFαd+2xFβd- 2xyF.然后，加上（5.49）和（5.50），我们推断出（5.51）yxa（δ，δ）+xyb（d，d）=T+T。让我们重写Tas（5.52）T=ER（x，0）-2“βd”αd- 2yFαd+2xFβd-2xyF= ER（x，0）[-2（βd- yF）（αd+xF）- 2yFαd+2xFβd-2xyF]=ER（x，0）[-2βdαd-2βdxF+2yFαd+2xyF-2yFαd+2xFβd- 2xyF]=ER（x，0）[-2βdαd]=0，期望效用最大化问题的敏感性分析25，因为除-2βdαd，通过A（x，0）和B（y，0）的正交性仍然具有0期望。让我们考虑T。首先，从（5.24）得到（5.53）xyb（y，d）=a（x，d）a（x，x）=a（x，d）b（y，y）。因此，我们可以重写Tas（5.54）T=ER（x，0）yxa（x，d）βαd+a（x，d）b（y，y）αβd= a（x，d）ER（x，0）yx′β′αd+b（y，y）′α′βd.另一方面，从（5.19）中，我们可以用“β”、“βd”、“α”和“αdas”表示b（y，d）。（5.55）b（y，d）=ER（x，0）hB（η）’βd‘β+yx‘β‘αdi=ER（x，0）hB（y，y）’α‘βd+yx‘β‘αdi，在最后的等式中，我们使用了（5.43）。将（5.55）与（5.54）进行比较，我们得到=a（x，d）b（y，d）。将其插入（5.51）并使用（5.52），我们推断yxa（d，d）+xyb（d，d）=a（x，d）b（y，d），即（5.25）成立。这就完成了引理的证明。引理5.18。设x>0为固定值，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。然后，对于（5.56）y=-yxb（y，y）xyb（y，d）δ+x个,我们有（5.57）yδ！THv（y，0）yδ！+2.x个y型=xδ！THu（x，0）xδ！。证据首先，b（y，y）>0 in（5.56）时，没有t e。

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能者818

2022-5-31 20:32:34

通过直接计算，证明（5.57）等同于建立以下等式。(5.58) -yxb（y，y）xyb（y，d）δ+x个=xδ！THu（x，0）xδ！-xyb（d，d）δ。现在，让我们考虑右侧or（5.5 8）。通过直接计算，它可以写成如下。(5.59)-yx公司xa（x，x）+2xδ-yxa（x，d）-δyxa（d，d）+xyb（d，d）=-yxb（y，y）x+2xδ-yxa（x，d）- δa（x，d）b（y，d），26 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^irbu，其中最后一个等式紧随f r om（5.15）和（5.25）。我们从（5.24）推导出（5.60）a（x，d）=xyb（y，d）b（y，y）。将（5.60）插入（5.59），我们可以将（5.59）的右侧重写为-yxb（y，y）x个- 2.xδb（y，d）b（y，y）- δxy（b（y，d））b（y，y）=-yxb（y，y）x+xyb（y，d）δ,正好是（5.58）的左侧。我们刚刚证明（5.58）是成立的。通过前面（5.58）的论证，这意味着（5.57）也是有效的。这是引理的完整证明。引理5.19。设x>0为固定值，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。那么，我们有（5.61）u（x+x、 δ）=u（x，0）+xy+δxyER（x，0）[F]+(xδ）Hu（x，0）xδ！+o(x+δ），其中Hu（x，0）由（5.20）给出。Lik e wise（5.62）v（y+y、 δ）=v（y，0）- yx+δxyER（x，0）[F]+(yδ）Hv（y，0）yδ！+o(y+δ），其中Hv（y，0）由（5.21）给出。证据对于小型x和δ以及y由（5.56）给出，我们从u和v的共轭和引理5.17得到（5.63）u（x+x、 δ）≤ v（y+y、 δ）+（x+x）（y+y）≤ v（y，0）- yx+δxyER（x，0）[F]+yδ！THv（y，0）yδ+xy+yx+xy+x个y+o(y+δ），其中Hv（y，0）在（5.21）中给出。

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