信用风险中的极端组合损失相关性

2022-6-1 01:45:34

对信贷风险和可能的损失（尤其是大型投资组合的损失）的现实估计不仅对债权人很重要，而且从系统的角度来看可能更为重要。关于信用风险有大量的研究，见参考文献。【1、2、3、4、5】及其参考文献。在信贷组合中，考虑资产价值的相关性至关重要。研究表明，即使相关性很小，也会对多元化的概念产生深刻的影响，见参考文献。[6, 7, 8]. 因此，不可能通过增加信贷组合中的信贷合同数量来显著降低尾部风险。一般来说，多元化并不总是富有成效的[9，10]。为了全面了解系统性信贷风险，重要的是研究和建模不同投资组合损失的相互依赖性。这里我们很感兴趣*安德烈亚斯。muehlbacher@uni-到期日。定义联合概率分布，其中包含有关单个损失分布及其依赖结构的所有信息。我们同时将默顿模型应用于多个信贷组合。此外，我们还考虑了流动资产相关性。这是因为金融市场固有的非平稳性导致相关性和协方差矩阵在时间上发生变化【13、14、15】。为了描述这种非平稳性，我们使用了最近在参考文献[16]中引入的集合方法。这导致了在波动相关矩阵上平均的多元资产回报分布。经验数据分析证实了该方法的有效性【8，14】。集合方法大大减少了描述分布的参数数量。值得注意的是，只有两个参数是有效的，即资产价值的平均相关性水平和波动强度。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:45:37

从资产收益分布，我们分析得出信贷组合损失的联合概率分布。此外，我们推导出了大型信贷组合的极限分布。我们详细分析了在同一市场上运作的两个不重叠的信贷组合。此外，我们还包括排序级别[17、18、19]。在到期时，优先债权人首先得到偿付，只有在优先债权人重新获得全额承诺付款的情况下，次级次级债权人才得到偿付。这与CDO部分相关，并提供了有关多变量ECREDIT风险的进一步信息【20，21】。此外，我们考虑一个单一的信贷组合，该组合在多个平均不相关的市场上运行。我们能够得出一个非常大的信贷组合的极限分布。在这里，尾部风险低于一个具有同质相关结构的市场的情况，但差异仍然有限。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了默顿模型，并推导了不同债务结构的投资组合损失分布。在第3节中，我们给出了经验估计参数的结果。我们在第4.2节总结了我们的观察结果。模型我们将默顿模型扩展到一个多变量情景，其中有两个债权人和K个与资产价值或经济状态Vk（t），K=1，K在时间t，各债务人可持有各债权人的信贷合同。在默顿模型中，资产价值Vk（t）由相应债务人的股票价格估计。所以我们假设所有K债务人都是可以在股票市场上交易的公司。我们认为资产价值遵循几何布朗运动。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-1 01:45:43

此外，我们假设次级债务在到期时，优先债权人首先得到偿付，而次级次级债权人只有在优先债权人重新获得全部承诺付款的情况下才得到偿付。假设每个债务人必须在到期日T偿还面值fk。我们考虑大的时间尺度，例如一年或一个月。每个债务人的面值由高级债权人的面值F和初级次级债权人的面值F（J）k组成，即Fk=F（S）k+F（J）k。如果资产价值低于面值，即至少有一个债务人的Vk（T）<Fk，则会发生违约。损失的严重程度取决于债务人在到期时的价值。对于Fk>Vk（T）>F（S）K，违约完全由初级次级信贷支付，也就是说，高级债权人没有遭受任何损失。只有当Vk（T）<F（S）k时，优先债权人才会蒙受损失，而次级债权人则会蒙受全部损失。图1显示了单个资产的基础流程的可视化。高级债权人的标准化损失L（S）K和次级债权人的标准化损失L（J）K图1：默顿模型的示意图可视化。如果到期日资产价值VK（T）低于面值Fk，则发生违约。在红色草图场景中，只有初级次级债权人发生违约，而高级债权人获得无损失。is支持可表示为l（S）k=1-Vk（T）F（S）k！ΘF（S）k- Vk（T）（1） L（J）k=1-Vk（T）- F（S）kF（J）kΘVk（T）- F（S）k!Θ（Fk- Vk（T）），（2）。Heaviside阶跃函数Θ（x）确保损耗严格为正。我们分别介绍了高级和初级次级信用卡的分数面值f（S）和f（J）k=f（S）kPKl=1F（S）和f（J）k=f（J）kPKl=1F（J）l，（3）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:45:46

这使我们能够将高级和初级次级债权人的标准化投资组合损失L（S）和L（J）分别定义为加权sumsL（S）=KXk=1f（S）kL（S）和L（J）=KXk=1f（J）kL（J）k，（4）。我们的目的是推导投资组合损失的二元分布p（L（S），L（J））。这可以通过整合所有投资组合价值并过滤导致给定变量总损失（L（S），L（J））p（L（S），L（J））=Zd[V]g（V∑）δL（S）来实现-KXk=1f（S）kL（S）k！δL（J）-KXk=1f（J）kL（J）k！，（5）其中，g（V∑）是债务人到期时相关资产价值的多元分布，∑是资产价值的协方差矩阵，在我们的模型中，该协方差矩阵由股票价格的协方差矩阵很好地估计。δ（x）是狄拉克δ函数，V=（V（T），VK（T））是资产价值的k分量向量。测度d[V]是所有微分的乘积，每个积分的积分域范围从零到完整。使用δ函数的Fourier表示以及等式。（1）和（2），我们发现p（L（S），L（J））=（2π）∞Z-∞dν（S）e-iν（S）L（S）∞Z-∞dν（J）e-iν（J）L（J）×KYk=1F（S）kZdVkexpiν（S）F（S）k1-VkF（S）k！+iν（J）f（J）k+FkZF（S）kdVkexpiν（J）f（J）k1-Vk公司- F（S）kF（J）k+∞ZFkdVkg（V |∑），（6），其中我们将Vkintegrals分为三部分。我们稍后将使用此表达式，但我们首先需要指定相关资产价值g（V |∑）的多变量分布。我们的目标是计算考虑协方差非平稳性的联合损失分布，hpi（L（S），L（J））=Zd[V]hgi（V∑）δL（S）-KXk=1f（S）kL（S）k！δL（J）-KXk=1f（J）kL（J）k！（7）并根据公式（6）。我们将认为，这是通过正确平均多变量分布g（V |∑）来实现的，从而得到hgi（V |∑）。2.1. 参考文献后的平均分布。[8、12、14]，我们使用随机矩阵概念来捕捉资产价值Vk之间相关性的非平稳性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-1 01:45:50

返回值的协方差Rk（t）=Vk（t+t）- 带返回间隔的Vk（t）Vk（t），（8）t在K×K协方差矩阵∑中排序。它可以表示为∑=σCσ，其中相关矩阵C和对角线矩阵σ=diag（σ，…，σK）包含不同回报时间序列rk的波动率。由于协方差矩阵在不同时间有显著差异，我们获得了现有的不同协方差矩阵集合。参考文献中。[8、12、14]已经证明，该数据集合可以通过根据Wishart[22]w（w∑，N）分布的随机协方差或相关矩阵非常有效地建模=√NKNpdet（2π∑）Nexp-Ntr W+∑-1瓦. （9）该分布定义了随机协方差矩阵W W+的集合。它们围绕平均协方差矩阵∑展开，该矩阵在整个时间间隔内进行经验评估。符号+表示向量或矩阵的转置。模型矩阵的维数为K×N。这里的自由参数N对应于模型时间序列的长度，必须根据数据确定。N控制平均协方差矩阵∑周围的函数强度。N越小，波动越大。在存在波动协方差矩阵hgi（r∑，N）的情况下，插入平均导致平均回报分布的以下一般结果=√NK公司√N-2Γ（N/2）pdet（2π∑）K（K-N）/2√Nr+∑-1r级√Nr+∑-1r（K-N）/2，（10），其中K（K-N）/2是第二类、第二阶贝塞尔函数（K- N） /2[14]。∑inEq。（10）是所考虑的整个数据间隔的平均值。在这个符号和所有进一步的符号中，我们省略了r和V的时间依赖关系。由于我们假设所有信用合同都是零息票债券，因此我们认为我们的收益间隔与到期时间长度相同，即。t=t。在参考文献中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-1 01:45:52

[8，14]已经表明，formC的有效平均相关矩阵=（1- c） K+ceKe+K=1 c c。c 1 c。c c 1。。。。。。。。。。。。。（11）当K为K×K单位矩阵，ek为包含1的K分量向量时，可以很好地描述当前环境中的经验数据。如果我们根据特定的相关结构研究非平均量，这种方法不太可能给出令人满意的结果。这种选择有两个主要优点。首先，我们实现了第2.2节后面所述的可分析性，其次，我们可以用两个参数描述相关市场的复杂性。第一个参数c是一个有效的平均相关水平，第二个参数N描述了该平均值周围的波动强度。这两个参数都必须根据经验数据进行估计。由于我们需要损失分布（5）中的资产值Vk（T），而协方差是用收益来衡量的，因此我们必须使用Ito引理[23]rk来改变变量→ lnVk（T）Vk0-uk-ρk！T，（12），其中Vk0=Vk（0）是初始资产价值。这是一个几何布朗运动，漂移uk，标准偏差ρk，σk=ρk√T现在可以使用傅里叶积分重写表达式（10）。在采用并调整参考文献[7]中的步骤后，我们得出了双重积分hgi（V | c，N）=N/2（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πzsN2πz（1- c） TK公司∞Z-∞du exp公司-N2zu×KYk=1Vkρkexp-N2z（1- c） TρklnVkVk0-uk-ρk！T型+√cT uρk！. （13）非平稳性的随机矩阵模型与有效平均相关矩阵（effective average correlationmatrix）一起，得出了资产价值联合多元分布的表达式，即几何布朗运动的乘积在χ分布inz和高斯分布inu上的二元平均值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-1 01:45:55

我们还没有执行u积分，因为我们将在稍后计算损失分布（5）时分解VKIntegrals。2.1.1. 几个平均不相关的市场为了更现实，我们不仅考虑一个市场，还考虑几个平均不相关的市场。这是T.Nitschke[24]未发表作品的延伸。我们将不相关市场的数量定义为β。在这种情况下，相关矩阵C=diag（C，…，Cβ）是块对角的，其中Cl=（1- cl）Kl+cleKle+Klare矩阵本身的维数为skl×Kl∈ {1, . . . ,β}. 相关矩阵C的维数为K×K，因此βl=1Kl=K成立。该块结构未反映在关于C的随机相关矩阵中，见等式（9）。因此，块之间存在相关性，只有它们的行程为零。相关性结构允许我们研究从一个市场到多个市场的影响。在一个市场内，我们再次具有平均有效相关性结构，而在整个市场中，我们的平均相关性为零。重要的是，这只意味着平均而言缺乏相关性。我们的模型和真实性中的相关性发生了变化，这意味着在任何短时间内，如果强度受参数N控制，则可以存在相关性。此外，每个市场都有自己的波动性矩阵σl=diag（σl1，…，σlKl）和漂移向量ul=（ul1，…，ulKl）+∈ {1, . . . ,β}. 我们适当扩展了参考文献[7]中的计算，不同之处在于我们必须应用l Fourier积分，Yieldinggi（V | c，N）=N/2（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πzβsN2πzTKβYl=1KlYk=1Vlkρlk×βYl=1√1.- clKl公司∞Z-∞dulexp-N2zul×经验值-N2zTXklnVlkVlk0-ulk-ρlkT型+√clT ulρlk（1）- cl）ρlk. （14）此多重积分取决于市场β的数量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:45:58

指数l表示每个市场，指数k表示特定市场l中的资产。通常，指数对（l，k）表示长期市场上的第k项资产。2.2. 平均损失分布我们使用上述平均分布hgi（V | c，N）的结果计算出平均损失分布（7）。将式（13）插入式（6）后，我们得到HPI（L（S），L（J））=（2π）N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πz∞Z-∞du exp公司-N2zu×∞Z-∞dν（S）e-iν（S）L（S）∞Z-∞dν（J）e-iν（J）L（J）iν（S），ν（J），z，u, （15）用termIν（S），ν（J），z，u=KYk=11 +∞Xj=1ijj！m（SD）j，kν（S），ν（J），z，u+∞Xj=1iν（J）f（J）kjj！m（J）J，k（z，u）（16） andm（SD）a，kν（S），ν（J），z，u=aXj=0aj！ν（S）f（S）kjν（J）f（J）k一-jm（S）j，k（z，u）（17）和动量sm（S）j，k（z，u）=^F（S）kZ-∞d^Vk1-Vk0F（S）kexp√z^Vk+uk-ρk！Tj×sN2π（1- c） Tρkexp“N2（1- c） Tρk^Vk+√cT uρk#（18） m（J）J，k（z，u）=^FkZ^F（S）kd^Vk1+F（S）kF（J）k-Vk0F（J）kexp√z^Vk+uk-ρk！Tj×sN2π（1- c） Tρkexp“N2（1- c） Tρk^Vk+√cT uρk#, （19）其中，我们使用变量的变化^Vk=（ln Vk/Vk0-（uk-ρk/2）T）/√z，适当调整积分边界^fk和^F（S）k。附录A中给出了j=0,1,2时的力矩m（S）j，k（z，u）和m（j）j，k（z，u）。术语m（SD）j，kν（S），ν（J），z，u正式对应于导致损失足以影响优先债权人的事件。稍后，我们使用binomialsum来解耦ν（S）和ν（J）积分。现在，我们假设所有面值都是相同阶数的大型投资组合，通过执行参考文献[7]中的步骤，对f（S）和f（J）kb中的二阶进行近似。当我们考虑到所有面值的顺序都相同时，这一点就成立了，因此所有分形面值的顺序都是1/K。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:46:02

我们最终到达athpi（L（S），L（J））=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2π∞Z-∞du exp公司-如新大学×q2πM（S）（z，u）exp-L（S）- M（S）（z，u）2M（S）（z，u）×p2πM（z，u）exp-L（J）- M（长（S）、z、u）2M（z，u）（20）对于M（L（S），z，u）=M（J）（z，u）+KXk=1f（J）kf（S）kN（S）k（z，u）L（S）的平均分布- M（S）（z，u）M（S）（z，u）（21）M（z，u）=M（J）（z，u）-M（S）（z，u）KXk=1f（J）kf（S）kN（S）k（z，u）！（22）M（S）（z，u）=KXk=1f（S）km（S）1，k（23）M（S）（z，u）=KXk=1f（S）km（S）2，k- m（S）1，k（24）M（J）（z，u）=KXk=1f（J）km（S）0，k+m（J）1，k（25）M（J）（z，u）=KXk=1f（J）km（S）0，k+m（J）2，k- m（S）0，k- m（J）1，k- 2m（S）0，km（J）1，k（26）N（S）k（z，u）=m（S）1，k1.- m（S）0，k- m（J）1，k. （27）因此，我们将平均损失分布表示为平均值为M（L（S），z，u）和M（S）（z，u）的高斯分布的双重平均值，方差为M（z，u）和M（S）（z，u），这些方差与积分变量无关。为了保持符号的透明性，我们删除了函数m（S）j，k（z，u）和m（j）j，k（z，u）的参数。由于式（20）中最后两个表达式的复杂性，必须对z和u积分进行数值计算。我们注意到平均分布的归一化是针对L（S）k，L（J）k∈ [0,1]仅在我们的近似顺序下有效。稍后，我们将集中讨论无违约的贡献。2.3. 同质投资组合根据大K近似，上述所有结果通常有效，并适用于各个细分面值为1/K阶的所有投资组合。为了进一步评估我们的结果并获得可视化效果，考虑同质投资组合是有指导意义的，其中高级和初级面值相等，F（S）k=F（S）和F（J）k=F（J）（28），因此F（S）k=F（J）k=k.（29）。此外，我们假设随机过程具有相同的初始值、漂移和标准偏差，Vk0=V，uk=u，ρk=ρ。（30）当然，这并不意味着实现的随机过程是相同的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-1 01:46:05

通过去掉k的依赖关系，矩m（S）a，k（z，u）=m（S）a，0（z，u）和m（J）J，k（z，u）=m（J）J，0（z，u），从而可以更快地计算平均分布hpi（L（S），L（J））。2.4. 给定违约损失的分布只有我们模型的完整动态，没有任何近似，才能为我们提供关于平均损失分布的非分析部分的分布信息。特别是，零处的非解析δ函数反映了无损耗。为了检验这一点，我们从等式（6）的平均版本开始，插入具有有效平均相关矩阵的同质投资组合的资产价值分布图（V | c，N）=N/2（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πz∞Z-∞du exp公司-N2zu×sN2πz（1-c） TVρexp-N2z（1-c） TρlnVV-u-ρ!T型+√cT uρ！K级=∞Zdz公司∞Z-∞duf（z，u）～ωK（V，z，u），（31），其中f（z，u）=N/2Γ（N/2）zN/2-1e级-z/2sN2πzexp-N2zu（32）￠ω（V，z，u）=sN2πz（1）-c） TVρexp-N2z（1-c） TρlnVV-u-ρ!T型+√cT uρ！. （33）由于同质性，等式（6）中的乘积也成为K次方，我们应用多项式定理。我们就这样到达了athpi（L（S），L（J））=∞Zdz公司∞Z-∞duf（z，u）（2π）∞Z-∞dν（S）e-iν（S）L（S）∞Z-∞dν（J）e-iν（J）L（J）×Xk+k+k=KKk，k，k！eiν（J）/KF（S）ZdV表达式ν（S）K1-VF（S）！！Иω（V，z，u）k×FZF（S）dV表达式ν（J）K1-五、- F（S）F（J）！！Иω（V，z，u）k∞ZFdV￠ω（V，z，u）k（34），多项式系数kk，k，k=Kkkk（35）从式（34）中，我们可以看到δ函数仅在k·k=0的条件下出现。Fork=k=0我们根本没有默认值，对分布的唯一贡献来自等式（34）中的最后一个积分，导致在原点处出现δ峰值δ（L（S）k）δ（L（J）k）。该δ峰值与初级和高级都没有违约相关。因此，可能性isP（ND）=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πz∞Z-∞du exp公司-N2zu×-erf“sN2z（1- c） TρlnFV-u-ρ!T型+√cT uρ！#！K

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-1 01:46:08

（36）它明显随K的增加而减少。对于K=0，k6=0，我们发现了导致总体初级违约而非高级违约的事件的贡献。在这种情况下，我们有一个表示中等损失的δ函数δ（L（S）k），这样高级次级债权人就不会蒙受损失。特殊情况k6=0，k=0导致δ函数δ（L（J）k之和-k/k），其中kruns从1到k。这是由于等式（34）中的总和。这些δ函数属于存在nodefault或ksevere默认值的事件，对于k=1，K债务人下级次级债权人完全破产，即L（J）K=1，高级次级债权人可能遭受损失，即L（S）K≥ 所有这些δ函数都不是未匹配的，而是使用一些积分预因子进行加权，以保持分布hpi（L（S），L（J））的归一化。此外，当我们只考虑违约损失时，δ函数消失，在我们的模型中，这意味着SL（J）>0，并且L（S）>0。在我们用来推导平均损耗分布（20）的二阶近似中，无法获得非解析部分。2.5。在非常大的投资组合中，我们现在考虑案例K→ ∞ 对于同质投资组合，分析多元化在所讨论的多元情景中是否有效。研究表明，在只有一家银行的相关单变量模型中，多元化不起作用【7】。等式的同质版本。（22）和（24）M（z，u）=Km（S）0,0+m（J）2,0- m（S）0,0- m（J）1,0- 2m（S）0,0m（J）1,0-m（S）1,01.- m（S）0,0- m（J）1,0m（S）2,0- m（S）1,0（37）M（S）（z，u）=Km（S）2,0- m（S）1,0（38）表示M（z，u）→ 0以及M（S）（z，u）→ K为0→ ∞. 这意味着高斯q2πM（S）（z，u）exp-L（S）-M（S）（z，u）M（S）（z，u）和P2πM（z，u）exp-L（J）-M（长（S）、z、u）M（z，u）在等式（20）中，变为δ函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:46:11

因此，我们得到了athpi（L（S），L（J））=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2π∞Z-∞du exp公司-如新大学× δL（S）- M（S）（z，u）δL（J）- M（长（S）、z、u）=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2π∞Z-∞du exp公司-如新大学× δL（S）- m（S）1,0δL（J）- m（S）0,0- m（J）1,0. （39）为了使该方程在数值上易于管理，我们使用等式δ（f（u））=Xiδ（u- ui）| f（ui）|，（40），其中ui是函数f（u）的根，f（ui）6=0。使用这个恒等式三次，我们就可以解出剩下的两个积分，并最终得到极限损耗分布hpi（L（S），L（J））=N/2Γ（N/2）sN2πzN/2-1exp-z经验值-Nu（S）（L（S），z）×um（S）1,0（z，u）u=u（S）（L（S），z）·uhm（S）0,0（z，u）+m（J）1,0（z，u）iu=u（S）（L（S），z）×zu（S）（L（S），z）- u（J）（L（J），z）z=z. （41）这里的隐式函数su（S）=u（S）（L（S），z），0=L（S）- m（S）1,0（z，u（S））（42）u（J）=u（J）（L（J），z），0=L（J）- m（S）0,0（z，u（J））- m（J）1,0（z，u（J））（43）z=z（L（S），L（J）），其中u（S）（L（S），z）=u（J）（L（J），z），（44）是唯一的，必须进行数值计算。对L（S）和L（J）的依赖现在隐式存在于函数u（S）、u（J）和z中。等式（41）中的最后一个导数可以使用隐式函数定理来完成。它们可以追溯到m（S）0,0、m（S）1,0和m（J）1,0的导数。对于固定z和u，函数m（S）1,0和m（S）0,0+m（J）1,0分别在u和z上严格单调递增。因此，我们可以求解方程。（42）和（43）局部到u，其中我们获得u（S）和u（J）。这些方程可以通过z使用u（S）z（L（S），z）=-zm（S）1,0（z，u）um（S）1,0（z，u）u=u（S）（L（S）、z）（45）和u（J）z（L（J），z）=-zm（S）0,0（z，u）+m（J）1,0（z，u）um（S）0,0（z，u）+m（J）1,0（z，u）u=u（J）（L（J），z）。(46)2.6. 没有从属现在我们考虑与前面讨论的相同的模型，但没有考虑从属关系。这意味着损失在债权人之间平均分配。该模型与参考文献[25]中的模型密切相关。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-1 01:46:14

这里有B≥ 2名面值为F（b）k，b=1，…，的债权人，B、 k=1，债权人b中债务人K的K和根据Bligor kL（b）K的标准化损失=1.-Vk（T）FkΘ（Fk- 如果F（b）k>00，则为（47），总面值Fk=PBb=1F（b）kof债务人k和资产价值Vk（T）。在公式（47）中，对于f（b）k>0，损失对债务人没有任何依赖性。如果发生违约，则不区分贷方，并承担相同的标准化损失。因此，我们写Lk而不是L（b）k。我们再次定义了标准化投资组合损失L（b）和分数面值f（b）k，L（b）=KXk=1f（b）kLkand f（b）k=f（b）kKPk=1f（b）k，（48）分别对应于债权人b。总平均损失的多元分布ishpi（L）=Zd[V]hgi（V∑）δL-KXk=1fkLk！，（49）带L=（L（1），L（B））+和fk=（f（1）k，f（B）k）+。在上述从属情况下调整我们的计算，并对f（b）kwe应用二阶近似值，得出最终结果Pi（L）=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2π∞Z-∞du exp公司-如新大学×pdet（2πM（z，u））exp-（L）- M（z，u））+M-1（z，u）（L）- M（z，u））, （50）式中，M（z，u）=KXk=1fkm1，k（z，u）（51）M（z，u）=KXk=1Dkm2，k（z，u）- m1，k（z，u）（52）并矢矩阵dk=fkf+k（53）和mj，k（z，u）=^FkZ-∞d^Vk1-Vk0Fkexp√z^Vk+uk-ρk！Tj×sN2π（1- c） Tρkexp“N2（1- c） Tρk^Vk+√cT uρk#（54）^Fk=√zlnFkVk0-uk-ρk！T（55）力矩mj，k（z，u）与式（18）中的力矩相同。对于该模型，我们只考虑整个市场的异质投资组合，因为同质投资组合将导致等式（53）中定义的奇异矩阵dk，所有债权人的损失将完全相同。相反，我们考虑的是债权人之间信贷量不同的情况，或者我们考虑的是投资组合不重叠或可能仅部分重叠的情况。虽然我们的结果是一般性的，但我们现在只考虑B=2债权人的可行rendera可视化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-1 01:46:17

我们分别将其表示为债权人一和债权人二。此外，我们解决了两个信贷组合可能部分重叠的最一般设置，见图2。我们再次考虑K债务人。让Rbe计算只有一个信贷的债务人数量图2：广义模型的建立，说明了具有同质相关性的金融市场的相关矩阵。两个镶边正方形对应两个部分重叠的投资组合。合同，比如债权人一的合同，在左侧上方的正方形中描绘。让Rbe计算从两个债权人处获得信贷的债权人数量。这些债权人对应于图2中的重叠区域。比例对应于分数r=r/K和r=r/K。债权人一交易为r+r信用，债权人二交易为K-R信用证。例如，这个模型还包括两个不相交的投资组合，我们只需将r设置为0。机器人的面值由两个面值Fk=F（1）k+F（2）k之和组成，这两个面值的大小不一定相同。为了以后的方便，我们考虑同质投资组合fk=fan，并假设投资组合重叠部分的面值在投资组合内相等，但在整个投资组合中可能会有所不同。这意味着我们引入一个参数γ∈ [0,1]F（1）k=γ，F（2）k=（1- γ） F.对于具有同质参数的市场，我们发现结果（50），其中M（z，u）=m1,0（z，u）“#（56）M（z，u）=m2,0（z，u）- m1,0（z，u）K“ααα#（57），其中α=r+γr（r+γr）（58）α=γ（1- γ） r（r+γr）（1- r- γr）（59）α=1- r- γ(2 - γ） r（1- r- γr）。（60）对于γ=0或γ=1.2.6.1，我们注意到α=0。在几个市场上没有从属关系为了处理几个不相关的市场，我们执行与前一节相同的计算。我们在公式（49）中插入平均资产价值分布（14），略有不同的是，我们必须用l和k上的两个和替换k上的和。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:46:20

我们得出最终结果，该结果达到与式（50）hpi（L）=N/2Γ（N/2）形式相同的因子∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πβZd[u]exp-如新大学×pdet（2πM（z，u））exp-（L）- M（z，u））+M-1（z，u）（L）- M（z，u））（61）M（z，u）=βXl=1KlXk=1flkm1，l，k（z，ul）（62）M（z，u）=βXl=1KlXk=1Dlkm2、l、k（z、ul）- m1、l、k（z、ul）Dlk=flkf+lk（63）和u=（u，…，uβ）。这里，d[u]表示所有差异的乘积dul。动量SM1，l，k（z，ul）和m2，l，k（z，ul）与等式（55）中的相同，包括每个市场的附加指数l∈ {1, . . . β}. 通过这种方式，我们可以改变市场上的漂移和波动性等参数。我们发现，根据β的大小，使用极坐标或球坐标来计算多元u积分是有用的。2.7. 无从属关系和超大投资组合我们现在考虑两个超大投资组合，以K为上限→ ∞. 我们指出，在两个非常大的投资组合的情况下，rand rdo不会与K成比例。我们稍后将考虑一个非常大的投资组合和一个非常大的投资组合的情况。现在矩阵xm（z，u）收敛到零矩阵。这意味着指数项及其预因子接近δ函数，我们发现最终结果imk→∞hpi（L（1），L（2））=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2π∞Z-∞du exp公司-如新大学× δL（1）- m1,0（z，u）δL（2）- L（1）. （64）这一结果相当显著。我们首先指出，由于分布（64）与参数α、α和α无关，因此不再依赖于投资组合的结构。其次，在有限的情况下，两个投资组合的损失总是相等的，因此它们是完全相关的。换言之，一个大债权人的损失可以作为同一市场上另一个大债权人损失的预测。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:46:23

即使债权人有不相交的投资组合，这一点也成立，而且它也不取决于资产价值之间的相关性。当我们考虑一个规模有限的投资组合和另一个规模较大的投资组合时，会出现不同的情况。由于投资组合的市场份额高度不对称，我们仅检查不相交的投资组合。比如，portfolio one是与Rcompanies合作的最终产品。然后，等式（57）中的矩阵素α与K和α的比例收敛为1。通过计算极限K→ ∞只有一个δ函数出现，通过使用δ函数的属性（40），我们可以确定→∞hpi（L（1），L（2））=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2sN2πexp-如新大学×sR2π（m2,0（z，u）- m1,0（z，u））exp-R（L（1）- m1,0（z，u））2（m2,0（z，u）- m1,0（z，u））！×|m1,0（z，u）/u | z，u，（65），其中u（L（2），z）是由0=L（2）定义的隐式函数- m1,0（z，u）。（66）我们注意到极限分布中对L（2）的依赖性用u（L（2），z）编码。此外，上述结果与二阶近似值一致，即使其中一个矩阵元素与K不成比例。最后，我们分析了两个不相交的大型投资组合，其中每个投资组合投资于一个单独的市场。我们从分布（61）开始，执行极限K→ ∞. 我们再次找到两个δ函数，通过两次应用公式（40），我们得到limk→∞hpi（L（1），L（2））=N/2Γ（N/2）∞ZdzzN/2-1e级-z/2N2πexp-如新大学经验值-如新大学×|m1,1,0（z，u）/u | z，u|m1,2,0（z，u）/u | z，u，（67），其中0=L（1）- m1,1,0（z，u）和0=L（2）- m1,2,0（z，u）（68）定义隐式函数u（L（1），z）和u（L（2），z）。3、模型的校准和结果的可视化我们总是采用平均相关矩阵的近似值（11），由于集合平均值的性质，这与经验数据产生了很好的一致性。此外，我们将分析局限于同质投资组合。3.1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:46:26

一个投资组合，两个市场我们的模型中有四个参数，即平均漂移u、平均波动率ρ、平均相关水平c和控制平均相关水平周围波动强度的参数N。参考文献中。[7、8、14]这些参数的值是根据经验数据直接估计的。参数N由数据的分布系数（10）确定。这些股票由307只股票组成，这些股票取自1992年至2012年期间交易的标准普尔500指数【26】。我们发现以下实证结果u=0.17年-1，ρ=0.35年-1/2，N=6，c=0.28，T=1年。我们研究了投资于两个不相关市场的影响。因此，我们假设两个相同的不相关市场具有相同的平均相关水平。此外，我们假设两个市场的经验参数相同。结果如图3所示。为了进行比较，我们还显示了仅一个市场的极限分布β=1，0.05 0.10 0.15 0.200.050.100.50151050hpi（L）LK=10，β=2K→ ∞, β=2K→ ∞, β=1图3：不同市场数量和市场规模的对数标度上的平均损失分布。市场是同质的，我们选择面值F=75，初始资产价值V=100。两个市场的参数相同。该分布是分布的单变量版本（64），另见参考文献[8]。正如预期的那样，我们看到了多样化，即将相关矩阵分为两个块，从而减少了大的投资组合。因此，通过将投资组合拆分到不同的不相关市场，而不是仅仅增加单个市场上的信贷合同数量，可以更有效地降低巨额损失的风险。很明显，这是由于对角块中的平均零相关性造成的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:46:28

只有将投资组合拆分到两个以上的市场，或投资到平均相关性水平较低且波动较小的市场，才能进一步降低风险。然而，通过增加不相关市场β的数量，我们获得了β→ ∞ 与平均相关性为零的一个市场的情况相同。在这里，分散效应仅限于波动N的强度，其中损失分布的尾部只会在较大的N.3.2中消失。不存在从属关系和不相交的同等规模的投资组合我们从改变公司K的数量开始，研究对多变量分布以及违约相关性和违约概率的影响。图4显示了具有同质相关矩阵和同质参数的平均损失分布（50），对于两个大小相同的不相交投资组合，对于不同数量的公司K=10,20100，以及参数的经验值。我们选择面值F=75和图4：对数标度上两个大小相同的不相交投资组合的平均损失分布。我们展示了不同的市场规模，K=10橙色，K=20蓝色和K=100绿色。参数为u=0.17年-1，ρ=0.35年-1/2，N=6，c=0.28，到期时间T=1年。初始资产价值V=100。分布是对称的。随着K的增加，它收敛到极限分布（64）。因此，我们推断，即使对于少数债务人，投资组合损失的相关性也很高。原点L（1）=L（2）=0附近的显著峰值对应于导致投资组合损失很小的事件。该峰值是由于大漂移而产生的。由于正漂移，未违约公司的总数量大于到期违约公司的数量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:46:31

然而，该峰值并不代表代表代表所有公司总生存概率的δ峰值。当我们计算所有公司的生存概率时，这一点就变得很清楚了。这种可能性不取决于我们是否有次级债务，也不取决于我们投资组合的构成，见等式（36）。图5显示了不同漂移参数u的影响。对于u的每一个值，总投资组合损失为零的概率随着公司K数量的增加而降低。因此，在L（1）=L（2）=0时，δ峰值在投资组合损失分布上的权重变小。这很直观，K越大，至少有一家公司违约的可能性越大。在查看投资组合损失相关性时，我们发现资产相关性很小甚至为零的价值很大。对于K=100的市场规模，即每个投资组合的规模为50，我们获得了200 400 600 800 100010-40.0010.0100.1001P（ND）Ku=0.17u=0.07u=-0.17图5：对数标度上不同漂移参数u的零投资组合损失概率取决于投资组合规模K。对于c=0的平均资产相关性，组合损失的相关性为0.71。这种高损失相关性是基于资产相关性在平均资产相关性为零的情况下波动的事实。由于这种情况，我们有各自的正相关和负相关。负相关性的影响有限，因为信贷风险的不对称性将所有非违约事件预测为零，而只有违约事件对损失分布有贡献。因此，正资产相关性主导负资产相关性，从而导致高投资组合损失相关性。结果如图6所示。它们与参考文献[25]中的模拟结果一致。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:46:34

投资组合损失相关性是资产相关性c的单调函数，对于固定资产相关性，我们发现随着K的增加，投资组合损失相关性增加。根据公司的数量，投资组合损失相关性为凸函数（即K=2,4）或凹函数（K≥ 8). 然而，我们强调，这些结果受二阶近似的影响，这会产生更好的结果K越大。K的数量越多，损失相关性就越高。这证实了即使没有平均资产相关性c=0，一个大型投资组合的损失也可以作为另一个大型投资组合的预测。3.3。不存在从属关系和不同规模的不相交投资组合研究不同规模的投资组合可以更好地理解多元化是否有效。为了分析这一点，我们考虑固定规模R=10的投资组合一，并考虑市场的总体规模K=30110和限额K→ ∞. 在这种情况下，投资组合1的市场份额将稳步下降，并在极限情况下收敛到零。因此，我们能够比较较小的投资组合与非常大的投资组合。对于我们的计算，我们使用与第3.2节中相同的经验参数。图7显示了不同市场规模K对损失分布hpi（L（1），L（2））的影响。有些地区的分布具有重尾特性，但也有一些地区的分布衰减非常快。在后一个总是充满条件的地区，损失分布随着市场规模K的增加衰减得更快。因此，我们发现不同市场规模的分布之间存在较大的偏差。这些偏差仅起到0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0损失相关性c图6：线性标度上的投资组合损失相关性，取决于资产相关性c。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:46:37

两个Portfolio都是同质的，大小相同。市场规模K从2（蓝色）到4,8,10,20,30,50100200到500（绿色）。等分线如图所示。一个次要角色，因为它们出现在损失分布的显著低阶。一般来说，对于增加市场规模K，第二个投资组合以更好的方式描述市场。因此，当规模较大的第二个投资组合几乎没有损失时，第一个投资组合不大可能承受巨大损失。这解释了L>L角中损耗分布的快速衰减。然而，最重要的事实是，沿着对角线L=L，在上角L<L，不同市场规模的损失分布之间不会出现显著偏差。在这里，我们还观察到损失分布的厚尾。特别是当我们考虑对角线时，我们发现没有偏差，因此根本没有差异。这意味着，在保持投资组合1的规模不变的情况下，增加投资组合2的规模并不会减少同等规模的同时发生的大型投资组合损失。有趣的是，更可能在对角上角发现一个事件，而在下角发现一个事件。这可以通过平均相关水平c=0.28和正漂移u=0.17年的波动来解释-1、这些假设确保投资组合一的资产与投资组合二的资产存在负相关的可能性。因此，小投资组合一不承担违约责任或几乎不承担违约责任，而第二投资组合承担重大违约责任的可能性很大。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-1 01:46:40

当我们扩大portfolioone的规模，同时保持投资组合2的规模不变，并且仍然大于投资组合1的规模时，这种可能性会降低。由于投资组合损失分布在对角线上的不对称性，我们发现相同市场规模下的损失相关性低于两个同等规模投资组合的损失相关性，见图。8、与两个同等规模的投资组合相比，投资组合的极限相关性取决于极限K中的c→ ∞. 人们清楚地看到，随着市场规模的扩大，很快就会达到极限曲线。这是因为投资组合一的规模固定。增加投资规模和市场规模将提高投资组合损失相关性。图7：对数标度上不同规模投资组合的平均损失分布。投资组合一的固定规模为R=10，市场规模为K=30（橙色）、K=110（蓝色）和K→ ∞ （绿色）。参数为u=0.17年-1，ρ=0.35年-1/2，N=6，c=0.28，到期时间T=1年。3.4. 次级债务次级债务结构带来高度不对称的影响，见图9。Weshow两个面值为F（S）k=37和F（J）k=38的等额投资组合的联合概率密度。高级和初级次级债权人都在整个市场上运作。初级次级债权人的损失总是大于或等于高级债权人的损失。因此，我们有一个沿对角线L（S）=L（J）的截夫。除了曲线的近区域（我们将其定义为分布的背面）外，债务人的数量也会对联合概率产生重大影响。沿着分布的背面，联合概率密度的表面之间几乎没有偏差。与K无关，分布的背面显示出重尾。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-1 01:46:43

重要的是，曲率会使次级债权人的损失越来越大，而高级债权人的损失越来越大。这是危机时期的一个重要后果。当初级次级信贷的损失非常大时，高级债权人很可能也会遭受重大损失。这解释了当我们考虑每个债权人的边际分配时，为什么不存在强烈的多元化效应，见图10。上三条曲线属于次级次级债权人的边际分布，下三条曲线属于次级债权人。所有分布都显示出严重的尾部，高级和初级次级债权人之间的差距随着损失L的增加而扩大。当F（S）k/F（J）k的比率变大时，差距的大小变小。结论在默顿模型中，我们计算了多变量联合平均投资组合损失分布，同时考虑了资产相关性。我们使用了一个随机矩阵模型，最有利的是，该模型在分析上易于处理，并且在经验上与股票市场数据非常匹配。多元平均资产价值分布仅取决于两个参数，即有效的平均资产价值相关性和该平均值周围的波动强度。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0损失相关性图8：线性标度上作为资产相关性c函数的投资组合损失相关性。Portfolioone的固定尺寸R=10，市场尺寸K范围为30（蓝色）到50，100200到500（绿色）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-1 01:46:46

极限曲线K→ ∞ 显示为黑色，等分线显示为红色。我们表明，通过将一个信贷组合拆分到平均不相关的不同市场，而不是仅仅增加一个单一市场上的信贷合同数量，可以更有效地实现多元化。对于两个大小相同的非重叠投资组合，我们发现了对称的投资组合损失分布。通过对投资组合损失相关性的研究，我们发现，只有包含数千份信用合同的大型投资组合才会出现显著相关性，根据二阶近似值，只有少数信用合同的小型投资组合也会出现显著相关性。两个不重叠的有限规模投资组合的损失相关性为1，并且始终会产生相同的相对损失。当我们分析两个不同规模的非重叠投资组合时，我们发现损失相关性有限。然而，这些分布显示出严重的尾部，这使得大规模的同时投资组合损失成为可能。此外，我们还包括与CDO部分相关的次级债务。到期时，优先债权人首先获得偿付，只有在优先债权人收回全部承诺付款时，初级次级债权人才获得偿付。在此，我们分析得出，在发生危机的情况下，即当次级债权人很可能遭受重大损失时，高级债权人也很可能遭受重大损失。因此，从属的概念在危机时期并不适用。此外，边际分布表明，增加两个投资组合的规模并不能显著降低尾部风险。感谢Martin T.Hibbeln、Rüdiger Kiesel和Sebastian M.Krause的富有成效的讨论。图9：对数标度上次级债务结构的平均投资组合损失分布。这两个投资组合都在整个市场上运作。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:46:49

我们展示了不同的市场规模K=10橙色，K=200蓝色和K→ ∞ 绿色0.00 0.05 0.10 0.15 0.2010-40.0010.0100.100110100边缘PDFLK=10K=100K→ ∞K=10K=100K→ ∞图10：对数标度上高级和初级次级债权人的边际分布。上三行属于初级次级债权人，下三行属于高级债权人。参考文献[1]Tomasz R Bielecki和Marek Rutkowski。信用风险：建模、估价和对冲。Springer Science&Business Media，2013年。[2] Christian Bluhm、Ludger Overbeck和Christoph Wagner。信贷风险建模简介。Crc出版社，2016年。[3] 米歇尔·克劳伊、丹·加拉伊和罗伯特·马克。当前信用风险模型的比较分析。《银行与金融杂志》，24（1-2）：59–117，2000年。[4] 大卫·兰多。信用风险建模：理论与应用。普林斯顿大学出版社，2009年。[5] 亚历山大·麦克尼尔（AlexanderJ McNeil）、鲁迪格·弗雷（Rüdiger Frey）和保罗·恩布雷奇斯（Paul Embrechts）。量化风险管理：概念、技术和工具。普林斯顿大学出版社，2015年。[6] Rudi Sch"afer、Markus Sj"olin、Andreas Sundin、Michal Wolanski和Thomas Guhr。Creditrisk——一种具有跳跃和相关性的结构模型。Physica A：统计力学及其应用，383（2）：533–5692007。[7] Thilo A.Schmitt、Desislava Chetalova、Rudi Sch"aoffer和Thomas Guhr。信贷风险和金融系统的不稳定性：一种综合方法。EPL（欧洲物理学快报），105（3）：380042014。[8] Thilo A.Schmitt、Desislava Chetalova、Rudi Sch"aoffer和Thomas Guhr。信贷风险：考虑资产的波动相关性。《信贷风险杂志》，11（3）：73–94092015。[9] Rustam Ibragimov和Johan Walden。当损失可能更大时，多元化的限制。《银行与金融杂志》，31（8）：2551–2569，2007年。[10] 沃尔夫·瓦格纳。金融机构多元化和系统性危机。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:46:52

《金融中介杂志》，19（3）：373–3862010。[11] 罗伯特·C·默顿。关于公司债务定价：利率风险结构。《金融杂志》，29（2）：449–4701974年。[12] Michael C.Münnix、Rudi Sch"afer和Thomas Guhr。信贷风险的随机矩阵方法。《公共科学图书馆》第一期，9（5）：2014年5月1日至9日。[13] 迈克尔·穆尼克斯、岛田隆志、鲁迪·谢弗、弗朗索瓦·莱夫拉兹、托马斯·H·塞利格曼、托马斯·古尔和H·尤金·斯坦利。识别金融市场的状态。《科学报告》，2（644），2012年。[14] Thilo A.Schmitt、Desislava Chetalova、Rudi Sch"aoffer和Thomas Guhr。金融时间序列的非平稳性：一般特征和尾部行为。EPL（欧洲物理学快报），103（5）：580032013。[15] 宋东明、米歇尔图米内罗、周伟星和罗萨里奥·曼特格纳。全球股票市场的演变、相关性结构和基于相关性的图表。物理。修订版。E、 2011年8月，84:0261008。[16] Desislava Chetalova、Thilo A.Schmitt、Rudi Sch"afer和Thomas Guhr。投资组合收益分布：具有随机相关性的样本统计。《国际理论和应用金融杂志》，18（02）：15500122015。[17] 徐东安、邓永恒、约瑟夫·尼科尔斯和安东尼·桑德斯。什么是从属关系？商业抵押贷款支持证券（cmbs）中的信用风险和从属级别。《房地产金融与经济杂志》，51（2）：231–2532015。[18] 菲舍尔·布莱克和约翰·C·考克斯。评估公司证券：债券契约条款的一些影响。《金融杂志》，31（2）：351–3671976年。[19] Gary Gorton和Anthony M Santomero。市场纪律与银行次级债：注。《货币、信贷和银行杂志》，22（1）：119–1281990年。[20] Darrell Du ffe和Nicolae Garleanu。债务抵押债券的风险和估值。《金融分析师杂志》，第41-59页，2001年。[21]Francis A Longstaff和Arvind Rajan。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝