正如我们将看到的，除非股价达到M级，否则交易者永远不会在正态下卖出（因此，早期的卖出总是与“止损”行为相对应）。我们将表明，最佳作用是在τ^mMdef=τ[M，∞)∧ τ[0，^m]，-, τ[M中较早者，∞)和τ【0，^m】，-, 对于一些^m≤ H、 2.4解决方案的形式我们的分析将考虑减少销售边界m的可能值m，并将其分为三种情况：（C1）其中，m∈ [L，H]，（C2），其中^m∈ （0，L）和（C3），其中^m=0。在案例C1中，请注意，如果F=+则股票将在价格达到L时立即出售。回顾一下，最优停止问题的最优未来支付F（斯奈尔包络）是鞅，直到（最后一个）最优停止时间，因此对于m，e-r（t∧τ[L，M]c，+）V（St∧τ[L，M]c，+，Ft∧如果F=-, e-r（t∧τ^mH）V（St∧τ^mH，Ft∧τ^mH）应该是V（H）的鞅，-) = V（H，+）和V（m，-) = m、 （2.14）对于m的最佳选择，在C2的情况下，如果F=+，e-r（t∧τ[L，M]c，+）V（St∧τ[L，M]c，+，Ft∧τ[L，M]c，+）应该再次是鞅，但现在w的边界条件sv（L，+）=V（L，- ) V（M，+）=M（2.15）和V（H，-) = V（H，+）和V（m，-) = m；（2.16）当C3情况下的要求与C2情况下的要求相同，且^m=0时，0处的边界条件对应于0的不可接近性或其为吸收边界的事实。标准参数（参见[8]等）告诉我们，第一个特征化的唯一解决方案由v（x，f，m）给出，其中v（x，+，m）满足l+v- rv=0（2.17），边界条件（2.13）和（然后）v（x，-, m） 满意度-v- rv=0（2.18），边界条件为（2.14）。

以类似的方式，取v（H，+，m）=EH，+[e-rτ^mMSτ^mM]和v（L，-, m） =标高，-[e]-rτ^mMSτ^mM]并用（2.15）和（2.16）中的这些值求解（2.17）和（2.18），我们获得了第二个特征的唯一解。对于第三种情况，通常的参数显示，φ-由（2.6）-（2.11）满足度φ给出-（x） =例如，-[e]-rτH]。（2.19）同样，如果我们定义φL，MandψL，MbyφL，M（x）=Ex，+[e-rτ[M，∞)（τ[L，M]c，+=τ[M，∞))] ψL，M（x）=Ex，+[e-rτ[M，∞)（τ[L，M]c，+=τ[0，L]，+）]，然后v（x，-, 0) = φ-（x） v（H，+，0）和v（H，+，0）=MφL，M（H）+v（L，-)ψL，M（H），因此v（H，+，0）=MφL，M（H）1- φ-（五十） ψL，M（H）。因此，如果我们取v（x，-, 0) = φ-（x） MφL，M（H）1- φ-（五十） ψL，M（H）（2.20）和v（x，+，0）作为（2.17）w在边界条件（2.15）下的唯一解，我们得到了三维特征的唯一解。2.5确定止损边界为了确定止损边界^m，我们考虑了我们将要进行的论证，以证明我们提出的解决方案是最优的。

我们将采用通常的技术，使用斯内尔包络的特征，其作用如下：我们将证明我们的候选解v具有以下性质：（P1）Vtdef=e-rtv（St∧τ[M，∞), 英尺∧τ[M，∞)) 是D类超鞅；（P2）VT控制增益过程e-rtSt公司∧τ[M，∞);（P3）存在停止时间^τ≤ τ[M，∞)使得V=E[E-r^τS^τ]。这足以表明v是最优解，而^τ是最优停止时间。现在，为了说明这一点，我们将对^m进行如下描述：在C1和C2的情况下，我们将把^m作为m的唯一选择vx（m，-, m） =1，（2.21），而在第三种情况下，我们将显示vx个≥ 1表示所有x>0（见定理3.1）。我们将证明这是有效的，因为如果我们定义g（x，f）def=v（x，f）- 然后，strong最大值和str on g最小值原则将告诉我们g≥ 0，而在^m处平滑粘贴（在v和恒等式之间）使我们知道v是一个上鞅，而它显然是D类，因为它以m为界。案例C3类似，只是当^m=0.3时，我们不需要平滑粘贴来建立销售问题的解决方案3.1一般案例定理3.1。根据第2节概述的模型，有三种可能对应于案例C1到C3；因此，以下其中一条正好成立：设v（x，f）为带边界条件（2.13）和（2.14）的连接常微分方程（2.17）和（2.18）的解；然后（S1）e xi sts^m∈ [L，H]这样vx（x，-; m） | x=m=^m=1或每m∈ [L，H]，vx（x，-; m） | x=m>1。在后一种情况下，将v（x，f；m）定义为常微分方程（2.17）和（2.18）的解，边界条件为（2.15）和（2.16），（S2）或有e xi s an^m∈ （0，L）使得vx（x，-; m） | x=m=^m=1或（S3）每m∈ （0，L），vx（x，-; m） | x=m=>1顶。

我们声称^m定义明确，因此这三个案例是详尽无遗的。首先，定义φ-如（2.19）所示；ψ-作为L的（0，H）上的唯一（递减）溶液-f=0，带ψ-（H） =0和ψ-（五十） =1；φ+作为L+f=0且φ+（M）=1且φ+（L）=0的唯一递增解；ψ+是L+f=0的唯一递减解，ψ+（M）=0，ψ+（L）=1。我们的解v，vand vto（2.17）和（2.18）的形式为v（x，f；m）=Af（m）φf+Bf（m）ψfwhere，设置C（m）=（A-（m） ，B-（m） ，A+（m）B+（m））T，为了适当选择系数，从基本条件来看，n（m）C（m）=（m，m- 五十、 S1情况下为0，M）T（3.1），S2和S3情况下为▄N（M）C（M）=（M，0，0，M）T（3.2），其中N（M）=φ-（m） ψ-（m） 0 0φ-（m） ψ-（m） φ+（L）ψ+（L）φ-（H） ψ-（H） φ+（H）ψ+（H）0 0φ+（M）ψ+（M）（3.3）和▄N（m）=φ-（m） ψ-（m） 0 0φ-（五十） ψ-（五十） φ+（L）ψ+（L）φ-（H） ψ-（H） φ+（H）ψ+（H）0 0φ+（M）ψ+（M）. （3.4）从隐函数定理可以很容易地得出：vx（x，-; m） 是连续体in（x，m）。现在取L<m<H，所以v（x，+；m）≥ x在【L，M】上，所以v（M，-; m） =m和V（H，-; m） =v（H，+；m）≥ H、 这意味着存在θ∈ （0，1）使得vx（m+θ（H-m） ，则，-; m）≥ 1和m↑ 我们看到了vx（H，-; H）≥ 1、结果之后是连续性。定理3.2。对于三种情况：o情况S1，v（x，f）=v（x，f；^m）：x∈ [^m，H]，f=- 或x∈ [L，M]，f=+x:x∈ [0，^m），f=- 或x∈ [0，L]，f=+；（3.5）o在S2情况下，v（x，f）=v（x，f；^m）：x∈ [^m，m]x:x∈ [0，^m）；（3.6）o在S3的情况下，v（x，f）=v（x，f）（3.7），其中对于常微分方程（2.17）和（2.18）的解，边界条件为（2.15）且满足（2.20）。我们在这里概述了这一点，将一些细节归入附录。证明。首先，我们需要MMA 3.3。

假设我们的候选最优值函数，由三分法S1-S3给出，并用v表示，满足属性P1-P3，则它是最优的。这是标准的，请参见附录中的证明。所以我们试图证明，在v处，th具有p性质P1-P3。证明P3：注意，每个vii在[0，M]上都是连续的，因此有界，并且通常由Ex，f[e]给出-rτ^mM）Sτ^mM]，因此^τ=τ^mM。为了证明P 1：由于V是有界的，因此它不属于D类。由于L严格小于H，根据it^o-Tanaka公式，我们有dVt=1（t<τ[M，∞))e-rt公司-rv（St，Ft；^m）+L+v（St，+）1（Ft=+）+L-v（St，+）1（Ft=-)dt+dMt+vx（^m，-; ^m）-vx（^m-, -; ^m）dl^mt, （3.8）当M是连续局部鞅时，l^mis是S在^M的局部时间，如果C3是吸收的或不可访问的，则最后一项消失。现在既然v（x，-; ^m）=x forx≤ ^m和sin ce（在C1和C2的情况下），我们在vx（^m，-; ^m）=1我们看到（3.8）中的本地时间项消失了。然后，由于（2.17）和d（2.18），当Ft=+和Ft=- 和St≥ ^m，所以我们剩下DVT=1（t<τ[m，∞))e-rt公司（u-（St）- rSt）1（英尺=-,St<^m）dt+dMt, （3.9）因此V是局部上鞅（因为u-（十）≤ rx）。然后，由于v是有界的，因此v是所需的上鞅。最后，要建立P2：我们需要证明v≥ x、 附录A中的ISLEMA A.1。3.2对数正态情况在这一部分中，我们假设冰的动力学在每个状态下都是对数正态的，因此σ+（x）=σ+x；σ-（x） =σ-x；u+（x）=u+x；u-（x） =u-x、 （3.10）σ+>0；σ-> 0; 和u-< r<u+。（2.17）和（2.18）的相应基本解由xα+、xβ+和xα给出-, xβ-其中α+和β+分别是h+（t）def=σ+t+（u）的根+-σ++t- r=0和α-和β-是h的根-（t） def=σ-t+（u--σ-)t型- r=0，按β±<α±的顺序排列。引理3.4。

如果价格动态对应于（3.10），则案例C3不会发生。证据请注意，h-(0) = -r≤ 0和h-(1) = u-- r<0。自σ起-> 0表示β-≤ 0 < 1 < α-.因此φ-（x） =（xH）α-和v（x，-; 0）=cxα-对于某个正常数c。因此vx（0，-; 0）=0，so^m>0。示例3.5。取（3.10）的动力学，设置r=。02, σ+= .06, u+= .04, σ-= .01和u-= .（2.18）的通解为Ex+F x-2取^m=1，v（1）=1且v′（1）=1的解v为v（x）=x+x-取H=2，我们看到v（H）=。现在求解v（x，+）的（2.17），我们得到了通解Cx+Dx-1、施加条件v（L，+）=L，L=，和v（H，- ) = v（H，+）我们得到C=2（64.2-1)~ 1.943462和D=- 2C~ -.现在求v（M，+）=M g，将M作为CM+D的根- M=0，所以M~ 7.322007.因此，利用L、M和H的这些值，我们得到^M=1，v如上所述。4最佳购买时间我们现在考虑购买股票的最佳时间。增益函数g由g：（x，f）7给出→ v（x，f）- x，我们的增益过程是G，由gt=e给出-rtg（St，Ft）。（4.1）我们试图发现：Utdef=ess supτ≥tE【Gτ| Ft】。最优s topping问题对应于买方自购买时起对购买价格支付利息（或至少产生名义上的利息机会成本）并寻求最大化其利润的情况。备注3。购买问题中的收益还有其他可能性，例如比例收益，其中g=v/x。这对应于最大化每单位支出的收益。定理4.1。只有当基本过程处于积极状态时，才购买股票才是最佳选择。在这种情况下，有一个最佳的B级∈ [L，M），由B=arg M axx给出∈[L，M][g（x，+）ψ+（x）]，这样，当且仅当股票在[L，B]证明中有价格时，购买才是最优的。

从定理3.2的证明可以看出，由于-v（x，-) - rv（x，-) = 0开（^m，H），L-g（x，-) - rg（x，-) = （rx- u-（x） ）1（^m，H）（x）≥ 0和g（x，-) 是c和分段Con（0，H）。我们推断，定义τ[H，∞)随着股票首次进入积极状态，Gt∧τ[H，∞)是一个子鞅。因此，当股票处于负面状态时，继续（即不购买）总是最合适的。现在，我们通过设置ρ=g（·，+）ψ+来定义ρ，并将B设为ρ在[L，M]上的arg max。请注意，从g开始，b<M≥ 0，g（M，+）=0，g（·，+）>0开（L，M）。现在定义u byu（x，+）=g（x，+）：如果x≤ Bψ+（x）ψ+（B）g（B，+）：如果x≥ 班杜（x，-) = φ-（x） u（H，+）。这对应于在规定时间购买的预期收益（自φ起-（x） =例如，-[e]-rτH]和ψ+（x）ψ+（B）=Ex，+[e-rτ[L，B]，+]）。因此，应用定理3.2的证明中的参数，我们看到我们只需要证明（1）u≥ g（2）L+u（·，+）- ru（·，+）≤ 0开（L，M）和（3）ux（B，+）- gx（B，+）≤ 我们已经证明了L+v（·，+）-在定理3.2的证明中，rv（·，+）=0 on（L，M）。ThusL+g（·，+）- rg（·，+）=rx- u+（x）≤ 0开（L，B）。性质（2）如下，因为L+ψ+- rψ+=0。要确定属性（1），首先注意在[L，B]和[M]上的u（·，+）=g（·，+），∞). 在区间[B，M]，u（x，+）- g（x，+）=ψ+（x）g（B，+）ψ+（B）-g（x，+），通过B的定义和ψ+的正性，它是非负的。现在由D定义：x 7→ u（x，-) - g（x，-). 然后，因为我-D- rD=-（L）-g（x，-) -rg（x，-)) = -（rx-u-（x） ）1（^m，H）（x）≤ 0，则e-r（t∧τ[H，∞))（D（St∧τ[H，∞)) 是终值为D（H）1τ[H]的有界ed超鞅，∞)<∞.

因为D（H）=u（H，-)-g（H，-) = u（H，+）-g（H，+），我们已经证明了这是非负的，它来自可选采样定理，D（S）=u（S，-) - g（S），-) ≥ Sin[0，H]的每个选项为0。要建立属性（3），取κ≥ 0，并考虑由fκ给出的fκ：x 7→ g（x，+）- κψ+（x）。由于ψ+满足（2.17），因此l+fκ- rfκ=rx- u+（x）≤ 0，因此fκ满足（L，M）上的强最小值原则。特别是，通过设置ρ=g（·，+）ψ+并取κ=ρ（L）来定义ρ，我们可以看到fκ（L）=0≥ fκ（M），所以要么fκ在（L，M）中增加到一个唯一的正最大值，要么在[L，M]上单调递减。性质（3）则遵循我们对B的描述，因为B>L意味着ρ′（B）=0，这反过来意味着ψ′+（B）ψ+（B）=gx（B，+）g（B，+），而B=L意味着fκ在[L，M]上单调递减，因此fκ′（L）=gx（L，+）- ux（L，+）≤ 0示例4.2。如果我们回到例3.5的设置，我们会看到g（x，+）=Cx+Dx-1.- x、 其中C和D在此处给出，而ψ+（x）=2x-1、ρ（x）=Cx-x+D。不同的是，我们看到ρi s在B=（5C）时最大化~ 4.248001∈ （L，M）和thusB>L.5结论性意见指出了在支撑/阻力水平存在的情况下建模价格动态的另外两种可能性，它们自己提出。一种是使用随机延迟微分方程（SDDE；[3]、[14]、[15]、[24]）。这有一定的意义，因为TA是交易员通过分析历史价格来预测未来股价动态的方法，SDDE是系数取决于历史水平的随机微分方程（S DE）。另一种方法是将股票价格（至少在局部支撑线附近）建模为倾斜的Br ownianmotion（见[7]）。与使用SDDE相比，在我们的设置下使用此过程来描述基础股票价格过程需要的参数更少。

然而，正如[18]和[22]的论文所示，具有斜布朗运动的模型存在套利机会，这在金融环境中是不可取的。我们假设，至少在其他动力学保持不变的情况下，我们的解决方案可以扩展到后一种情况：因此，我们假设在R水平上存在部分向上的反射∈（L，M）当股票处于正状态时，当股票处于负状态时，道琼斯指数部分反弹至R。相应的动力学将有发电机L+和L-对于正向工况，标度测量值为R向上，对于负向工况，标度测量值为向下（见[7]和[6]）。我们不打算在这里进一步分析这个案件。参考文献【1】Arriojas，M.，Hu，Y.，Mohammed，S-E.，和Pap，G.2007。延迟布莱克和斯科尔斯公式，《随机分析与应用》，第25卷，第471-492页。[2] Blanchet Scalliet，C.、Diop，A.、Gibson，R.、Talay，D.和Tanr\'e，e.2007年。与参数错误规定下基于数学模型的方法相比的技术分析，银行与金融杂志，第31卷，第1351-1373页。[3] Bao，J.和Yuan，约2011年。跳变随机微分延迟方程的比较定理，arXiv:1102.2165v1【4】C orns，T.R.A.和Satchell，S.E.2007。《斜布朗运动与普里奇欧洲期权》，《欧洲金融杂志》，第13卷，第6期，第523-544页。[5] 弗里德曼，A.1975年。随机微分方程及其应用。第1卷，院士出版社[6]Harrison，J.M.和Shepp，L.A.1981年。关于斜布朗运动，《概率年鉴》，第9卷，第2期，第309-313页。[7] It^o，K.和McKean，H.P.1965年。差异过程及其样本路径，Springer-Verlag。[8] K aratzas，I.和Shreve，S.E.1998年。布朗运动和随机微积分，斯普林格科学+商业媒体公司，第二版。[9] K aratzas，I.和Shreve，S.E.1998年。

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56-63.引理3.3的附录证明取从（x，f）开始的联合价格和d flag过程，并考虑相应的过程Vt.由P1和d类超级鞅的可选抽样定理，对于任何停止时间τ，v（x，f）=v≥ Ex，f[e-rτv（Sτ）]≥ Ex，f[e-rτSτ]（最后一个不等式后面是P2），然后是v≥ 五、相反，通过P3，V=Ex，f[e-r^τS^τ]和so v≤ 五、引理A.1。函数V（x，+）≥ x代表所有x∈ 当V（x，-) ≥ x代表所有x∈ [0，H]。证据如第2节所述，这里的主要工具是强最大/最小原则（见[5]或[20]）。首先，定义g（x，f）def=V（x，f）- x、 然后L+g（x，+）- rg（x，+）=rx- u+（x）≤ [L，M]上的0。g（M，+）=0和g（L，+）=g（L，-). 现在，强极小原理告诉我们g（·，+）在（L，M）上没有负极小值，所以要表示g（·，+）上的th在[L，M]上是非负的，那么表示g（L，-) ≥ 在C1的情况下，这是直接的，因为在这种情况下，g（L，-) = 0，它表示g（x，-) ≥ 0开[^m，H]。（A.1）我们现在用φ（x）=rx定义φ- u-（x） ，定义g：[m，H]→ R按g：x 7→ g（x，-) + x，注意L-g- rg=φ（x）+σ-（x） x个-+接收-φ（x）x≥ （1）-x）φ（x）。因此，取0<<M-, L-g-rg≥ 0在（^m，H），so上，根据强极大值原理，g在（^m，H）上没有正极大值。此外，g（^m）=^m>0和gx | x=^m=^m>0，除非^m=0，在这种情况下g（0）≥ 0，g′（0）=0和gx | x=^m=∞. 在任何一种情况下，g最初都是严格递增且非负的，因此必须在[m，H]上单调递增。我们得出结论，对于每一个正的，g都是非负的，并且在[m，H]和d so上单调递增，极限为→ 0我们得出g（x，-) 在【^m，H】上增加。这确立了（A.1）