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远期启动期权的隐含波动率：ATM短期水平，
何人来此
1034 7
2022-06-01
英文标题：
《The implied volatility of Forward-Start options: ATM short-time level,
  skew and curvature》
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作者：
Elisa Alos, Antoine Jacquier, Jorge Leon
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Using Malliavin Calculus techniques, we derive closed-form expressions for the at-the-money behaviour of the forward implied volatility, its skew and its curvature, in general Markovian stochastic volatility models with continuous paths.
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中文摘要：
利用Malliavin演算技术，我们推导出了具有连续路径的一般马尔可夫随机波动率模型中远期隐含波动率的货币行为、其偏斜和曲率的闭式表达式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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何人来此
2022-6-1 15:43:41
远期启动期权的隐含波动性：ATM短期水平、倾斜和曲率Lisa Al\'osDpt。d\'Economia i Empresaand Barcelona GSEUniversitat Pompeu Fabrac/Ramon Trias Fargas，25-2708005 Barcelona，Spainatoine JacquierDepartment of MathematicsPerial College L ondon，London SW7 2AZ，UKandDepartment of MathematicsBaruch College，CUNY，New YorkJorge A.Le\'onControl Autom\'A t Iccinvestav IPNApartado Postal 14-74007000墨西哥城，墨西哥抽象在具有连续路径的一般马尔可夫随机波动率模型中，利用Malliavin演算技术，我们推导出了远期隐含波动率、其偏斜和曲率的货币行为的闭合形式表达式。关键词：远期启动期权，隐含波动率，Malliavin演算，随机波动率模型2010年数学主题分类：91G99，60H07.1简介对于任何固定的评估时间t，我们考虑远期启动看涨期权（最初由Rubinstein[1 6]引入），远期启动日期s>t，到期时间t>s，写在一些基础股票价格过程s上；该期权的特殊特点是，它允许持有人在未来时间无需额外费用即可获得到期时间为T的标准欧洲所有期权，对于某些K>0的股票，可从s到KSs进行重击。远期启动期权的经典实例包括员工股票期权和cliquet期权【16】。在Black-Scholes公式中，增量的平稳性意味着，通过简单的传统预期公式，远期启动期权与到期时间为T的普通看涨期权相对应- s、 然而，对于一般的随机波动率模型来说，这种情况已经不复存在，而远期开始日期的重置使得整个分析更加微妙。
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大多数88
2022-6-1 15:43:44
Lucic【12】和Musiela及Rutkowski【14，I.7.1.10】应用了计量变更的论点，将ward Star期权的价格与标准看涨期权的价格联系起来，即具有随机起始波动率的lbeit。Kr use和N¨ogel[11]以及Guoand Hung[5]提出了基于特征函数知识的定价公式，因此主要适用于[3]意义上的a ffenemodels。由于这一重置特征，远期起始点的隐含波动率与通常的va nilla微笑大不相同。在一系列论文中，Ja cquier和Roome[7,8,9]研究了这些特定的城市，并对Heston模型进行了彻底的分析。他们特别注意到，随着剩余的成熟度变得越来越小，脸上露出的笑容具有爆发力。他们的分析是基于对潜在过程的特征函数及其渐近行为的了解。最近，Mazzon和Pascucci【13】接手了这一主题，并利用抛物方程的扩展，证明了多因素局部随机波动模型中货币远期微笑的近似值。我们在这里集中讨论货币（ATM）情况，并描述了具有连续路径的一般马尔可夫随机波动率模型的前向隐含波动率的短期极限、其偏斜和曲率。使用Malliavin演算技术，我们表明，与经典的一般情况相反，ATM短期水平是基础波动率与其瞬时波动率之间相关性的直接函数。
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何人来此
2022-6-1 15:43:47
与Va-nilla期权类似，货币倾斜取决于波动过程的Malliavin导数，但曲率曲线的速度为O（T- s） 。在第2节中，我们介绍了远期启动期权和整个过程中使用的主要符号，并证明了期权价格公式的分解，我们在第3节中使用该分解来计算货币隐含波动率水平、偏斜和曲率的渐近行为。我们将第4节中的这些公式应用于Stein-Stein随机波动率模型的一般化版本，并将主要结果的证明应用于第a.2节的远期启动期权和分解公式。我们考虑有限时间范围内的一般随机波动率模型[0，T]，随机微分方程dxt的解=r-σtdt+σtρdW*t+p1- ρB*t型, （1） 式中，r是瞬时利率（假定常数），W*和B*给定概率空间上的独立标准布朗运动(Ohm, F、 P*)σ是一个正的平方可积过程，适用于W生成的过滤*. 这里，X表示股票价格的对数，我们直接在给定的风险中性概率测度P下考虑动力学（1）*. 我们将通过FW进行记录*和FB*W产生的过滤*和B*, 和定义：=FW*∨FB公司*. 我们感兴趣的是计算ForwardStart期权的价格，该期权在到期日T时的收益等于提取- eαeXs+,其中s∈ [0，T]是提前开始日期，α∈ R沃德资金记录。这通常被称为类型II正向启动，我们请读者参阅[12]，了解关于类型I和两种类型之间对称性的详细信息。经典无套利论据产生的价格比初始价格高≤ s由Vt=e给出-r（T-t） E类*t型提取- eαeXs+, （2） 其中E*表示P下的条件期望*给定英尺。
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何人来此
2022-6-1 15:43:50
如果t≥ s、 这只是在合同有效期内评估的标准欧洲看涨期权。我们将用BS（t，x，K，σ）：=exN（d+）表示- e-r（T-t） 千牛（d-) 具有常数波动率σ，当前对数股价x，到期时间T的Black-Scholes模型中的欧式看涨期权价格- t、 罢工K和利率r。这里N是高斯累积分布函数，d±：=x- ln K+r（T- t） σ√T- t±σ√T- t。对应的Black-Scholes微分算子（在对数变量中）由BYBS（σ）决定：=t+σxk公司+r-σx个- r、 特别是LBS（σ）BS（·，·；K，σ）=0。BS与波动率的反比应以BS表示-1（·）：=BS-1（t，x，K，·），而α*:= r（T-s） 表示货币远期对数的货币性，这将是一个特殊的利息数量。我们最终将使用以下两个函数：G（t，x，K，σ）：=(xk公司- x） BS（t，x，K，σ）和H（t，x，K，σ）：=xG（t，x，K，σ）。我们引入了走向调整正向过程mt：=E*t型eαeXs= eα+r s+X+Ztσu[0，s]（u）eα+Xuer（s-u）ρdW*u+p1- ρdB*u= M+eαZt∧sσuer（s-u） 埃克苏ρdW*u+p1- ρdB*u,以及实际波动率vt：=pYt/（T- t） ，Yt：=RTt∨sσudu。注意，如果t<s，则vt√T- t=vs√T- s、 为了证明我们的主要结果，我们考虑了以下假设，包括（1）的唯一强解和Malliavin意义下的解的正则性：（H1）σ几乎肯定是由严格的正常数限定的。（H2）σ和σEx都属于L2,2∩ L1,4。空间Lp，Qi是经典空间，在Lp中过程是q乘以Malliavin可微的。我们请读者参考[15，第1.2节]了解全部细节。我们现在可以证明以下分解定理，该定理确定了相关性对远期启动期权价格的影响。
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能者818
2022-6-1 15:43:53
所以，我们来介绍一下辅助过程∧W*u： =RTu∨sDW公司*uσθdθ，表示u∈[0，T]，其中DW*udenotes关于布朗运动W的Malliavin导数*. 本文的主要结果之一是下面的分解定理，其证明推迟到A.1节。（H1）和（H2）下的定理1，对于所有0≤ t型≤ s≤ T，Vt=E*xtbs（s，0，eα，vs）+ρZTse-r（u-t） H（u，Xu，Mu，vu）σu∧W*udu+ρG（s，0，eα，vs）Zste-r（u-t） eXuσu∧W*udui。这里陈述的假设（H1）和（H2）主要是为了简单，并且从证明中可以看出，该理论在适当的可积条件下仍然成立。在t=s的情况下，前向启动期权减少到标准欧洲的看涨期权，我们精确地恢复了[1]中证明的分解公式。如果波动过程是常数，等于σ>0，那么vs=σ，∧W=0几乎可以肯定，对于t≤ s、 Vt=eXtBS（s，0，eα，σ），（3），这是Black-Scholes中的经典远期启动期权价格【16，18】。3在短期远期的货币行为方面，smileWe现在深入研究了我们分析的核心，并使用定理1推导了短期远期隐含波动率模型的精确短期行为、其倾斜和曲率。对于t∈ [0，s]，我们将正向隐含效用I（t，s；α）定义为方程vt=eXtBS（s，0，eα，I（t，s；α））的唯一非负解。（4） 显然，在恒定波动率的情况下，σu=σ>0，因此I（t，s；α）=σ。
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