时间一致性与嵌套公式的等价性

2022-6-1 18:23:45

时间一致性与嵌套公式Henri G'erarda，b之间的等效性*, Michel De Laraa+和Jean-Philippe ChancelieraaUniversit\'e Paris Est，CERMICS（ENPC），F-77455 Marne la Vall\'ee，FrancebUniversit\'e Paris Est，Labex B\'ezout，F-77455 M arne la Vall\'ee，FranceMay 20，2019年摘要列出一个标准，其中，在每周开始时，从该周开始到地平线的每对随机过程都要进行存储。假设一周开始时两个过程相等。如果排名在本周和下一周之间没有变化，则排名程序是时间一致的。在本文中，我们提出了两个（评估）映射之间时间一致性（TC）的最低定义。通过几个假设，我们能够证明时间一致性与两个映射之间的嵌套公式（NF）之间的等价性。因此，在asense中，当且仅当一个评估被纳入另一个评估时，两个评估是一致的。我们回顾了文献，发现TC（或NF）的各种定义都是我们的特例，因为它们总是包含额外的假设。通过剥离这些附加假设，我们对作者的具体贡献受到启发的文献进行了概述。此外，我们还提出了两类在适当假设下显示时间一致性的映射，即tr-an-slation不变映射和Fenchel-Moreau共轭映射。关键词：动态风险度量、时间一致性、嵌套公式*hgerar d。pro@gmail.com+米歇尔。delara@enpc.frjean-philippe。chancelier@enpc.fr1引言在“时间一致性”和“嵌套公式”这两个词背后，我们可以找到大量的文献，这些文献涉及经济学、动态风险度量和随机优化。让我们从经济学开始。在动态谈判问题中，一群代理人必须就共同的行动方式达成一致。

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2022-6-1 18:23:48

随着时间的推移和信息的逐步披露，他们都可以重新考虑过去的协议，并可能做出新的评估，从而采取新的行动。稳定性是代理人将坚持其先前承诺的属性。时间一致性是一种稳定的形式，当个人在不同的自我（代理人）之间长期达成交易时。“始终如一的行动方针”（Seeeleg和Yaari，1973）的概念在经济学领域广为人知，Strotz（1955-1956）的开创性工作就是：如果一个人在以后重新评估他的计划时没有偏离最初选择的计划，那么他计划的消费轨迹是始终如一的。这种“坚持自己的计划”的一致性思想可以扩展到不确定的情况，即计划被决策规则取代（“这样做，如果你发现自己在这部分状态空间中还有这么多时间”，Richard Bellman引用inDreyfus（2002））；哈蒙德（1976）提到了“一致性”和“连贯的动态选择”，克雷普斯和波特乌斯（1978）提到了“时间一致性”。经济学中的另一个经典参考文献是isEpstein和Schneider（2003）。在动态风险度量的背景下引入了动态或时间一致性（seeRiedel，2004；Detlefsen和Scandolo，2005；Cheridito等人，2006；Art-zner等人，2007，连贯和一致动态风险度量的定义和性质）。在随机优化领域，Ruszczy'nski（2010）研究了马尔可夫决策过程的时间一致性。这些时间一致性的不同起源促成了不同的文献。首先，由于嵌套公式自然会导致时间一致性，一些作者研究了获得嵌套公式的条件，而另一些作者则关注时间一致性的公理并获得嵌套公式。

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2022-6-1 18:23:52

第二，许多定义同居。例如，Ruszczy'nski（2010）用AdditiveLiterion添加了平移不变性，Shapiro（2016）；Artzner、Delbaen、Eber、Heath和Ku（2007）补充了一致性风险度量的假设，许多作者专注于特定的信息结构（过滤）。在这种脱节的情况下，De Lara和Lecl\'ere（2016）试图将最优控制问题（经济学、随机优化）的“动态一致性”与动态风险度量的“时间一致性”联系起来。在本文中，我们将重点关注时间一致性，这是由动态风险度量所激励的，其中对流程尾部的未来评估与对整个流程（首尾）的初始评估一致，但不限于此。下面，我们简要介绍了TC和NF的定义。我们的主要贡献将是证明它们的等效性。设H和T为两组，分别称为头组和尾组。设A，F为两组，A和F为两个映射，如下所示：A:H×T→ A、F:T→ F（1）映射A称为聚合器，它将H×t中的head-t-ail聚合为A的一个元素。映射F称为因子，因为有嵌套公式（NF）。时间一致性公理化。我们开始简单地介绍时间一致性公理。根据作者的不同，被操纵的对象要么是过程（Riedel，2004；Detlefsen和Scandolo，20 05；Cheridito，Delbaen和Kupper，2006；Artzner，Delbaen，Eber，Heath，a和Ku，2007）要么是彩票（Kreps和Porteus，1978；Epstein a和Schneider，2003）。这些物体被分为两部分：前h和尾部t。一方面，我们有一种方法通过映射F（因子）来评估任何尾部t，得到F（t）。

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2022-6-1 18:23:55

另一方面，我们有一种通过映射a（聚合器）得到ssessany对头尾（h，t）的方法，得到a（h，t）。我们寻找这两个排序映射F和a之间的一致性：如果尾部t等价于尾部t′，那么共享相同头部的两个元素（h，t）和（h，t′）必须是（h，t）等价于（h，t′）。这可以用数学公式表示为F（t）=F（t′）=> A（h，t）=A（h，t′），（h，t，t′）∈ H×T.（TC）公理，用于公式的嵌套ed。一些作者关注有效条件以获得嵌套公式（Shapiro，2016；Ruszczynski和Shapiro，2006）。在嵌套公式中，通过代理映射SA，任何尾部t的评估F（t）在任何头部t的评估A（h，t）内分解，Fas如下：A（h，t）=SA，Fh、 F（t）. （NF）当然，（NF）意味着（TC）。我们将证明相反的：（TC）意味着存在一个映射SA，Fsuch，（NF）ho lds true。在第节中。2、我们查阅文献，目的是提取以下组成部分：处理什么样的对象，头和尾是什么，这些对象是如何排序的。在第节中。3、我们正式陈述了时间一致性（TC）和嵌套式公式（NF）的定义，并证明了它们的等价性。我们还提供了获得嵌套公式中映射SA的解析性质的条件，如单子性、连续性、凸性、正齐性和平移不变性。在第节中。4、我们表明，我们的框架涵盖了第节中所述的不同的框架。2、最后，在第。5，我们给出了两类映射，变换不变映射和Fenchel-Moreau共轭，它们在适当的假设下表现出时间一致性。2文献综述我们筛选了一系列数学和经济学论文，涉及不同背景下的时间一致性和嵌套公式。

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nandehutu2022

2022-6-1 18:23:57

根据设置，我们确定以下组件，如第节所述。1：处理什么样的对象，头和尾是什么，这些对象是如何排列的。表1总结了我们的调查。Article Objects Head-Tail assessment Kreps and Porteus（1978）LotteryLotteryfrom 1 to sLottery from s+1 to TExpected u tilityEpstein and Schneider（2003）LotteryLotteryfrom 1 to sLottery from s+1 to TNot necessarilyexpected utilityRuszczczy\'nski（2010）processfrom 1 to sProcess from s+1 to TDynamicrisk measureArtzner，Delbaen，Eber，Heath，Ku（2007）ProcessProcessfrom 1 toτProcess fromτto T，τstopping timeCoherentrisk measureShapiro（2016）ProcessProcessfrom 1 to sProcess from S+1 to TCoherentrisk measureRuszczynski and Shapiro（2006）ProcessProcessfrom 1 to sProcess from S+1 to TCoherentrisk measureDe Lara and Lecl\'ere（2016）Processfrom 1 to sProcess from S+1 to Tdynamic Risk Measurement表1：根据时间一致性和嵌套公式s2.1公理化选择的论文草图时间一致性（TC）第一组作者分为处理彩票和偏好的经济学家和处理随机过程和动态风险度量的概率论者。2.1.1彩票和优惠Sinkreps和Porteus（1978）、Kreps和Porteus（1979）以及Epstein和Schneider（2003），作者处理彩票和优惠。偏好是一种整体的、传递的和反射的关系。适当的假设使得偏好关系可以用数值评估来表示。还对单调性和凸性进行了假设。InKreps和Porteus（1978）提出了公理，使引用由公式的预期效用表示。相比之下，inEpstein和Schneider（2003）研究了更一般的数值表示，即使作者添加了一个加性标准的假设。

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2022-6-1 18:24:00

假设总结见表2.2.1.2动态风险度量和过程Inruszczy'nski（2010）和Artzner、Delbaen、Eber、Heath和Ku（2007），作者处理了通过动态风险度量评估的随机过程。在Ruszczy\'nski（2010）中，作者研究了一系列单调、平移不变和齐次的条件风险度量。标准是可加的。Inatzner、Delbaen、Eb-er、Heath和Ku（2007年），作者专注于最后一个时间步的随机过程的价值。他们使用特定类别的风险度量作为评估，即所谓的一致风险度量。2.2 Shapiro（2016）、Ruszczynski和Shapiro（2006）以及De Lara和Lecl\'ere（2016）中的嵌套公式公理化（NF），重点在于展示获得嵌套公式的有效条件。

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2022-6-1 18:24:03

所有作者都研究随机过程，并假设评估是单调的，但存在一些差异。在Ruszczynski和Shapiro（2006）中，作者研究了对偶形式的相干r isk测度（因此具有凸性、平移不变性和加法准则）。InShapiro（2016年），作者着重于在最后一步用一致的风险度量评估流程的价值。在De Lara和Lecl\'ere（2016）中，作者研究了时间聚合器和不确定性聚合器之间的交换特性如何使获得嵌套公式成为可能。Article MonotonicityTranslationVarianceConvexityKreps and Porteus（1978）Yes No YesKreps and Porteus（1979）Yes No YesEpstein and Schneider（2003）Yes No YesRuszczy\'nski（2010）Yes Yes NoArtzner，Delbaen，Eber，Heath，Ku（2007）Yes Yes Shapiro（2016）Yes YesRuszczynski和Shapiro（2006）Yes YesDe Lara和Lecl\'ere（2016）Yes No引人注目的2：关于时间一致性和嵌套公式的论文选择中最常见的假设3主要结果：时间一致性和嵌套公式之间的等效性。1、我们勾勒出了时间一致性和嵌套公式的概念。现在，在§3.1中，我们用最小假设正确定义了弱时间一致性，并证明它等价于一个嵌套公式。在§3.2中，我们将定义和结果扩展到通常和强时间一致性：通过添加顺序结构，我们获得了附加属性。在§3.3中，我们提供了获得嵌套公式中出现的映射的分析特性的条件，如单调性、连续性、凸性、正齐性和平移方差。让我们介绍一下基本符号。设H和T为两组，分别称为头集和尾集。设A，F为两个集合，A和F为两个映射，如下所示：A:H×T→ A、F:T→ F

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nandehutu2022

2022-6-1 18:24:08

（2）映射A称为聚合器，它将H×t中的head-t ail聚合为A的元素。映射F称为因子，因为第节中的嵌套公式（NF）。1.定义3.1。利用（2）中的耦合聚合器fa-ctor（A，F），我们将集值映射sa，F:H×Im（F）关联起来=> A（h，f）7→ SA，F（h，F）=A（h，t）| t∈ F-1（f）,（3）式中，Im（F）=F（T）。我们称SA为这对夫妇（A，F）的子集合体。3.1弱时间一致性定义3.2（弱时间一致性）。如果F（t）=F（t′，则（2）中的耦合聚合器事实r（A，F）满足弱时间一致性y（WTC）=> A（h，t）=A（h，t′），h类∈ H（t，t′）∈ T、（4）这里是我们的主要结果，我们在（3）中描述了WTC在亚骨料方面的特性。定理3.3（WTC映射的嵌套分解）。（2）中的耦合聚合因子（A，F）是WTC当且仅当子聚合器se t值映射SA，Fin（3）是映射。在这种情况下，映射之间的以下嵌套公式为真：A（h，t）=SA，Fh、 F（t）, h类∈ Ht型∈ T（5）证明。注意，我们总是通过方程式（3）得出a（h，t）∈ SA，Fh、 F（t）. (6)1. 我们假设这对（A，F）是弱时间一致的。考虑（h，f）固定在h×Im（f）中。我们将通过证明（3）中定义的集SA，F（h，F）被简化为一个单态来证明集值映射SA，F实际上是一个映射。我们在集SA，F（h，F）中考虑两个元素a=a（h，t）和a′=a（h，t′）。通过定义（3），我们得到F（t）=F（t′）=F。然后，利用弱时间一致性性质（4），我们推导出A（h，t）=A（h，t′）。因此，对于F，SA，F（h，F）减小为一个值∈ Im（F）。因此，集值映射SA，Fis是一个映射，利用方程（6），我们得到a（h，t）=SA，Fh、 F（t）.2、我们现在假设（3）中定义的集值映射SA，F是一个映射。

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2022-6-1 18:24:11

由于SA，Fis是一个映射，我们通过方程（6）推导出a（h，t）=SA，Fh、 F（t）对于所有t∈ T、因此，我们有以下含义：F（T）=F（T′）=> SA，Fh、 F（t）= SA，Fh、 F（t′）=> A（h，t）=A（h，t′）。我们得出的结论是，弱时间一致性性质（4）是满足的。在这两种情况下，我们都证明了方程（5）是正确的。例3.4（夫妻(AV@Rβ[· + ·] , AV@Rβ[·| F]）不是弱时间一致的）。我们现在给出一个受（P flug和Pichler，2014，第5.3.2节，第188页）启发的例子，涉及众所周知的平均风险值。这有助于说明主要结果和我们引入的概念。允许Ohm = （ω，ω，ω，ω），我们装备有统一的概率分布p=Δω+Δω+Δω+Δω。我们引入集合H=T=R|Ohm|= R、在这个有限的空间上Ohm, 平均风险值为β级（0≤ β ≤ 1）随机变量X的：Ohm → R由Rockafellar和Uryasev（2000）定义AV@Rβ（X）=最小α∈Rα +1 - βEP[X- α ]+. （7）让F=, {ω, ω}, {ω, ω}, Ohm成为空间上的σ场Ohm. 随机变量X的条件平均风险值为β级：Ohm → R关于σ-场F的定义如下（Ruszczy'nski（2010），示例3）：AV@Rβ（X | F）=infUF（U+1- βEP[X- U]+F), （8）其中，在F可测量的所有随机变量U中，从点的角度理解了最小值，并且β级可能是一个F可测量函数，其值在一个区间[βmin，βmax] [0，1）。我们定义了两个映射a:H×T→ R F：T→ R（9a）（h，t）7→ AV@R0.5【h+t】，t 7→ AV@R0.5[t | F]。（9b）考虑四个要素：头部h=（0，0，0，0）∈ H、第一尾t=（3，3，2，1）∈ T、第二条尾巴T′=（1，3，2，2）∈ T和因子图像的一个元素f=（3，2）∈ F、一方面，元素F（t）和F（t′）相等，becauseAV@R0.5[t | F]=（3；2）{z}F=AV@R0.5[t′| F]。

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2022-6-1 18:24:14

（10）另一方面，元素A（h，t）和A（h，t′）不相等，因为3=AV@R0.5[h+t]6=AV@R0.5[h+t′）=2.5。（11）子集料器SA，Fin（3）不是映射sinceSA，F（h，F）=AV@R0.5【h+t】|AV@R0.5[t | F]=F {2.5；3}，（12），因此，（9）中的偶（A，F）不是弱时间一致的。3.2对通常和强时间一致性的扩展，在聚合器A的图像集A和F以及因子F的图像集A和F上，以及可能在头集H上，我们定义了额外的时间一致性概念，通常和强。3.2.1通常时间一致性（UTC）假设图像集A和F配有命令，表示为≤.定义3.5（通常时间一致性的定义）。如果我们有F（t），则（2）中的耦合aggrega t orfactor（A，F）可以满足通常的时间一致性（UTC）≤ F（t′）=> A（h，t）≤ A（h，t′），h类∈ H（t，t′）∈ T、（13）我们将定理3.3的结果推广如下。命题3.6（UTC映射的嵌套分解）。（2）中的偶（A，F）是UTC当且仅当集值映射SA，Fin（3）是映射且在其第二个参数中是递增的。在这种情况下，嵌套公式（5）为true。proo f留给读者，因为它遵循定理3.3的证明，但变化很小。3.2.2强时间一致性（STC）假设头集H和图像集A和F具有顺序，表示为≤.定义3.7（强时间一致性定义）。如果有F（t），则称偶（A，F）不等式（2）满足强时间一致性（STC）≤ F（t′）h≤ h′型=> A（h，t）≤ A（h′，t′），（h，h′，t，t′）∈ H×T.（14）我们将定理3.3的结果扩展如下。命题3.8（STC映射的嵌套分解）。（2）中的偶（A，F）是STC，当且仅当se t值映射为SA，Fis A映射为增加的初始值和第二值。

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kedemingshi

2022-6-1 18:24:17

在这种情况下，嵌套公式（5）成立。proo f留给读者，因为它遵循定理3.3的证明，但变化很小。3.2.3总结关于W T C、UTC和STCIn§3.1和§3.2的结果，我们引入了从最弱到最强的三个时间一致性概念。当然，我们有一个强的时间一致性偶也是通常的时间一致性偶，通常的时间一致性偶也是弱的时间一致性偶。我们在表3中总结了不同的定义和结果。设X和Y是赋有以下顺序的集合：≤. A映射M:X→ 如果x≤ x′=> M（x）≤ M（x′）。弱（4）<= 普通（13）<= 强（14）定义F（t）=F（t′）A（h，t）=A（h，t′）F（t）≤ F（t′）A（h，t）≤ A（h，t′）h≤ h′，F（t）≤ F（t′）A（h，t）≤ A（h′，t′）特征iz在子集合方面A，Fis A mappingSA，Fis A mappingincreasing在其第二个参数中A，Fis A mappingincreasing在两个参数中都是稳定的3：时间一致性在子集合方面的表征3.3时间一致性映射器的分析特性。我们研究子集合或SA，Fin（3）在映射时继承的特性，即，当耦合（A，F）弱时间一致时（见定理3.3）。我们坚持认为，在这一部分中，我们将研究如何从ag gregator A和因子F的特性中推断出子集料器SA、Fc的特性。因此，我们的方法不同于文献中的其他方法，如Eruszczynski和Shapiro（2006），其中A的属性是从SA、Fand和F的属性推导出来的。我们关注单调性、连续性、凸性、正同质性和平移方差。3.3.1单调性我们假设（2）中所示的头集H、图像集T以及图像集A和F具有顺序，表示为≤.

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2022-6-1 18:24:20

以下命题的证明留给读者，作为嵌套公式（5）的直接应用。命题3.9（单调性）。让这对（A，F）弱时间一致，如定义3.2所示。如果映射A在其第一个参数中增加，则子聚集器SA，Fin（3）在其第一个参数中增加。3.3.2连续性我们假设头集H、尾集T和图像集A和F为辐射空间。提案3.10（连续性）。让这对夫妇（A，F）在定义3.2中保持弱时间一致。假设尾集T是紧的。如果因子F是连续的，并且如果聚合器A与紧凑图像Im（A）=A（H×T）连续，则子聚合器SA，Fin（3）在H×Im（F）上是连续的。证据利用度量空间上连续性的序列刻画，证明了子聚集子SA，fonh×Im（F）的连续性。为此，我们一方面考虑h×Im（f）的（\'h，\'f）元素，另一方面考虑（hn）n∈H元素的Na序列收敛到H和（fn）n∈Im（F）元素的Na序列收敛到“F”。我们将证明SA，F（hn，fn）收敛到A，F（\'h，\'F）。我们引入符号L{un}表示fa序列（un）n的极限点集∈N、作为fn∈ Im（F），存在元素tn∈ T使得F（tn）=fn对于每个n。通过嵌套公式（5），我们推导出a（hn，tn）=SA，Fhn，F（tn）= SA，Fhn，fn. （15）现在我们将显示集合LA（hn，tn）极限点的个数减少到singleton{SA，F（\'h，\'F）}。证明分为以下几个步骤：1。LA（hn，tn）6= ,2、LA（hn，tn） A.\'h，L（{tn}）,3、A\'\'h，L（{tn}）减少到单态{SA，F（\'h，\'F）}，4。LA（hn，tn）= {SA，F（\'h，\'F）}。这是证据。1、按顺序A（hn，tn）n∈在紧集Im（A）中取值，我们有LA（hn，tn）6= .2、我们证明A（hn，tn） A.\'\'h，L（{tn}）.

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kedemingshi

2022-6-1 18:24:23

设a为集合L的一个元素{A（hn，tn）}. 根据后一组的定义，存在一个子序列A（hΦ（n），tΦ（n））n∈现在，我们知道（hΦ（n））n∈Nconvergesto？h，但不一定是（tΦ（n））n∈Nconverges。然而，根据尾集T的相似性，存在一个子序列（TψoΦ（n））n∈正在转换为特定的∈ L{tn}. 作为序列A（hΦ（n），tΦ（n））n∈Nis收敛到a，子序列A（hψoΦ（n），tψoΦ（n））n∈Nis也收敛到a。既然两个内部子序列都收敛，我们使用映射a的连续性，得到a=limn→∞A（hψoΦ（n），tψoΦ（n））=A（\'h，\'t）∈ A.\'\'h，L（{tn}）.3、证明等式A\'\'h，L（{tn}）= {SA，F（\'h，\'F）}。从集合L开始{tn}T的紧性不是空的，我们考虑（\'T，\'T′）∈ L{tn}序列（tn）n的任意两个极限点∈N、作为F（tn）=fn和limn→∞fn=\'f，通过因子映射f的连续性，我们推断f（\'t）=\'f=f（\'t\'。嵌套的公式（5）给定SA（\'h，\'t）=SA，F\'h，F（\'t）\'= SA，F（\'h，\'F）=SA，F\'h，F（\'t\'）= A（\'h，\'t\'）。这证明了\'\'h，L（{tn}）= {SA，F（\'h，\'F）}。4、综合前面的结果，我们得出 6=LA（hn，tn） A.\'\'h，L（{tn}）= {SA，F（\'h，\'F）}。（16）我们的结论是A（hn，tn）= {SA，F（\'h，\'F）}。从等式（15）中，我们得到等式LSA，Fhn，fn= LA（hn，tn）= {SA，F（\'h，\'F）}。因此，序列SA，F（hn，fn）收敛到SA，F（\'h，\'F）。证据到此为止。3.3.3凸性当我们处理凸性时，我们假设（2）中的集H、t和F是向量空间。我们还假设聚合器a:H×t→ （2）中的A取趋势实值，即A=R∪ {-∞, +∞ }.提案3.11。让这对（A，F）是弱时间相关性，如定义3.2所示。

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2022-6-1 18:24:28

如果存在非空凸集 T使得F（(R)T）=Im（F），并且限制函数F |(R)是一个函数，如果聚合器a是联合凸的，则子聚合器SA，Fin（3）在H×Im（F）上是联合凸的。在开始证明之前，让我们强调一点，即即使限制函数F |'Tbe a ffe看起来很强的假设，它也是非常现实和普遍的。事实上，例如，如果因子映射F是F上的同一映射，则它满足命题3.11的条件：因此，条件期望或条件平均风险值包含在该框架中。证据我们引入符号epi（M）来表示映射M的题记。我们通过证明子聚集子SA，Fis的题记是联合凸的来证明它是联合凸的。允许（h，f），a和（h，f），a是子集料器铭文epi（SA，F）的两个元素。因此，我们有一个≥ SA、F（h、F）和a≥ SA，F（h，F），通过与λa+（1）相加- λ） a≥ λSA，F（h，F）+（1- λ） SA，F（h，F），（17），其中λ是[0，1]的n元素。假设F（\'T）=Im（F），则存在两个元素（\'T，\'T）∈\'Tsuch thatF（\'t）=fand F（\'t）=F.（18）我们有连续的等式和不等式λa+（1- λ） a≥ λSA，F（h，F）+（1- λ） SA，F（h，F），（根据公式（17），）=λSA，Fh、 F（(R)t）+ (1 - λ） SA，Fh、 F（(R)t）, （根据公式（18），）=λA（h，’t）+（1- λ） A（h，’t），（根据公式（5），）≥ A.λh+（1- λ） h，λ′t+（1- λ） \'\'t, （通过A的凸性，）=SA，Fλh+（1- λ） h，Fλ′t+（1- λ） \'\'t, （根据公式（5），）=SA，Fλh+（1- λ） h，λF（(R)t）+（1- λ） F（(R)t）,（按T上的F单位表示，）=SA，Fλh+（1- λ） h，λf+（1- λ） f级, （根据公式（18）。）我们推断元素λh+（1- λ） h，λf+（1- λ） f级, λa+（1- λ） a位于subaggr egator的铭文epi（SA，F）中。证据到此为止。设X为一个集合。

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kedemingshi

2022-6-1 18:24:31

映射M:X的题记→ R∪ {-∞, +∞} 由epi（M）定义=（x，y）∈ X×R:M（X）≤ y其中y是实数r。注意，如果因子F只是凸的，我们不能在一般情况下得出结论。例如，设A（h，t）=h+t为聚合器，设F（t）=exp（t）为因子。然后，偶（A，F）是弱时间一致的，与相关的非凸子集orSA，F（h，F）=h+ln（F）是弱时间一致的。3.3.4同质性在处理同质性时，我们假设（2）中的集合H、T、A和F具有与标量场R的外部乘法。命题3.12（正同质性）。让这对夫妇（A，F）保持弱的经济一致性，如定义3.2所示。如果映射A是联合正同质的，如果映射F是联合正同质的us，那么子聚集子SA，fis是联合正同质的us。证据设（h，t）为h×t的元素o。设λ∈ R+。我们有以下等式a，Fλh，λF（t）= SA，Fλh，F（λt）, （通过F的正同质性）=A（λh，λt），（通过嵌套式（5））=λA（h，t），（通过A的正同质性）=λSA，Fh、 F（t）, （通过嵌套公式（5）。）证据到此为止。3.3.5平移不变性我们处理的是平移不变性，我们假设（2）中的集合H、T、A和F具有加法+。我们还假设存在一组Iof不变量，它是H、T、a和F的公共子空间，如下所示。定义3.13。设X和Y为带加法+。让我十、∩ Ybe是X和Y的公共子集。a映射M:X→ Y被称为I-翻译变体ifM（x+I）=M（x）+I，x个∈ 十、我∈ 我（19）提案3.14。让这对（A，F）是弱时间相关性，如定义3.2所示。如果映射A是联合平移不变的，如果映射F是非平移不变的，则子聚集器SA、Fis是联合平移不变的。证据

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2022-6-1 18:24:34

设（h，t）是h×t的一个元素。设i∈ 一、我们有以下等式：SA，Fh+i，F（t）+i= SA，Fh+i，F（t+i）, （通过F的平移不变性）=A（h+i，t+i），（通过嵌套公式（5））=A（h，t）+i，（通过A的平移不变性）=SA，Fh、 F（t）+ i，（根据嵌套公式（5））我们得出结论，子聚合器SA、Fis联合翻译入侵。4重温升土教派。2、我们已经选择了一系列参数，涉及时间一致性和各种设置下的嵌套公式。在第节中。3、我们正式陈述了时间一致性（TC）和嵌套公式（NF）的（抽象）定义，并证明了它们的等价性。我们还提供了条件，以获得嵌套公式中出现的映射SA的分析性质，如单调性、连续性、凸性、正齐性和平移不变性。现在，我们回到第节简要回顾的文献。2，以及我们如何应用我们的框架。

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2022-6-1 18:24:37

为此，我们阅读了每一篇文章，并试图回答两个问题。首先，与时间一致性或嵌套公式的最小概念相关的核心假设是什么？特别是，头和尾是什么，时间一致性是如何形成的？我们将发现，选择中的各种定义都是我们的特例。第二，核心TC或NF公式之外的假设是什么，它们对嵌套公式中的子集计意味着什么？我们将提取特定于每位作者的额外假设，并强调他们的额外贡献。4.1时间一致性公理化（TC）我们从阐述时间一致性公理化的一组作者开始调查。这一群体又分为处理彩票和偏好的经济学家和处理随机过程和动态风险度量的概率论者。4.1.1彩票和优惠SKREP和Porteus（Kreps和Porteus（1978），Kreps和Porteus（1979））在第一篇论文中陈述了时间一致性（公理2.1）。在第二篇论文中，他们关注的是两阶段问题的特殊情况。他们的公理是我们通常时间一致性定义3.5的一个实例。利用我们的命题3.6，我们直接推导出了在其第二个参数和aNested公式中存在一个递增的子聚集子，而它们在更强的假设下得到了更强的结果。事实上，他们增加了连续性、替代性（与凸性相关）的假设，并将重点放在通常的时间一致性和严格不等式上。

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2022-6-1 18:24:40

这使他们能够获得一个在第二个参数中连续且严格递增的子聚集器，并分别由（（引理4，定理2）和命题1）定义：uyt：（z，γ）∈ Zt×R：γ=Uyt，对于某些x，z（x）∈ Xt+1→ R、 Epstein、SchneiderEpstein和Schneider（2003年2月）提出了一个动态一致性公理（公理4:DC），这是我们定义的3.5一般时间一致性的一个特例。利用我们的命题3.6，我们直接推导出子集计在其第二个参数和嵌套公式中增加的存在性，而它们在强er假设下得到的结果更强。事实上，他们引入了四个额外的公理——条件偏好（CP）、多重优先权（MP）、风险偏好（RP）和完全支持（FS）——这些公理确保了子集合的部分形式。MP和CP确保子集合或可以表示为闭合且凸的矩形r概率集上的最小期望。MP和RP确保标准随时间的推移而增加。FSF确保概率度量得到充分支持。Epstein a和Schneider获得以下与时间一致性相关的嵌套公式（定理3.2）：Vt（h，ω）=minm∈P+1t（ω）Rhuht（ω）+ βVt+1（h）idm。4.1.2动态风险度量和过程Ruszczy'nsky研究Ruszczy'nski（2010）动态风险度量{ρs，T}Ts=1。时间一致性（他的定义3）是我们通常的时间一致性定义3.5的一个特例。利用我们的命题3.6，我们直接推导出子聚集子在其第二个参数和一个嵌套公式中增加的存在性，其中Ruszczy'nsky在stronger a假设下得到了一个更强的结果。事实上，他添加了一些假设，这些假设诱导了子集料器的部分形态。根据条件风险度量ρs，T，定义ρs，s′与s的映射≤ s′≤ T

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2022-6-1 18:24:45

利用我们对聚集器A和因子F的符号，他接着关注初始评估为A=ρs，未来评估为F=ρs′，T的情况。通过平移和归一化（ρs，T（0）=0）对不变性的两个附加假设，Ruszczy\'nsky能够声明子聚集器或具有m的特定值（定理1）：SA，F=ρs，s′。Inatzner、Delbaen、Eb er、Heath和Ku（2007）、Artzner、Delbean、Eber、Heath和Ku当前时间一致性（定义4.1），这是我们通常时间一致性定义3.5的一个实例。利用我们的命题3.6，我们直接推导出子集计在其第二个参数和嵌套公式中的存在性，而它们在更强的假设下得到了更强的结果。实际上，他们研究了mψt=supP∈PEP[·| Ft]，其中Pis是概率的子集，（Ft）Tt=0是过滤比n。他们在给出嵌套公式之前进行中间步骤。他们使用一种工具，通过粘贴概率分布集P的（矩形性）来命名稳定性。通过我们对ag gregator A和因子F的标记，这使他们能够获得≤ s′，即如果A=ψ和F=ψs′，则子集料器具有特定形式（定理4.2）：SA，F（h，·）=ψs（h+·）。4.2 Axiomatic for Nested formulas（NF）Shapiro和R uszczy'nskiRuszczynski和Shapiro（2006）研究了一系列条件风险映射ρt=ρX | Xo · · · o ρXt | Xt-1（方程式（5.8））。每个ρtis递增并与σ-代数Ft相关，其中（Ft）Tt=2是过滤。由于这些映射ρtar是我们的嵌套公式（5）中映射的实例，因此使用我们的命题3.6，它们通常是一致的。

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2022-6-1 18:24:48

Shapiro和Ruszczy'nski利用我们对聚合器a和因子F的表示，以及对单调性、翻译不变性、凸性和同质性的其他假设，得出了以下结论：如果初始方程是Epstein和Schneider（2003）中公式的原始转录，那么我们将向读者提供更好的理解。通过列出它，我们只想强调所求的公式是Vt和Vt+1之间的公式。评估值为A=ρ，未来评估值为F=ρt+1，然后是子集合（定理5.1）SA，F=ρXt+1 | Xt。Shapiro（Shapiro（2016））专注于未来的评估和表格（定义2.1）的子集合F=支持∈政治公众人物· · · 支持∈PEP[·|英尺-1]F, SA，F=支持∈政治公众人物[·]。对于聚合器A和因子F，这个嵌套公式是嵌套公式（5）的一个实例。我们可以使用我们的命题3.6确定一个自然的初始评估，该评估通常与未来的评估时间一致。通过对不确定性的其他假设，Sha piro得出可能性分布存在有界的倒退，因此初始评估具有特定形式（定理2.1）A=支持∈bPEP[·]。此外，在附加假设（定理2.2）P是凸的、有界的和弱闭的情况下，Shapiro建立了P=^P.De Lara和Lecl\'ereDe Lara和Lecl\'ere（2016）研究单时间步聚合器s的组成。他们区分了不确定性聚合器和时间步聚合器，并编写了一个嵌套公式（方程（11）），这是我们公式（5）的一个实例。我们可以通过使用我们的提案3.6，自然地确定此合成操作的初始评估，该操作的时间与一次性聚合器一致。他们在不确定性聚合器和时间聚合器之间添加了一个额外的单调性定理和一个交换定理。

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2022-6-1 18:24:51

他们认为，初始评估可以定义为一次性步骤聚合器（子聚合器）和未来评估之间的组合（定理9）。5两类时间一致性映射在本节中，我们提供了两类在适当假设下显示时间一致性的映射。我们在门派学习。5.1 t翻译不变映射通过表示接受集的风险度量来激活。然后，在Sect中。5.2，我们研究了被定义为Fenchel-Moreau共轭的映射，这些映射由凸风险度量的双重重新构造所驱动。5.1时间一致平移不变映射我们研究在有序群上定义的平移不变映射。我们将每个这样的映射关联到一个接受集，它是级别0的级别集。我们证明了两个平移不变映射之间的时间一致性等价于接受集之间的包含。5.1.1组上的平移不变映射我们在此提供平移不变映射和接受集的定义。基于这些理念，我们将陈述我们的贡献。我们首先重新定义了有序群的定义。定义5.1。三重态（F，⊕, ≤) 如果F是一个集合，（F，⊕) 是一个群，（F，≤) 是一个有序集≤ 与兼容⊕,i、 e.f≤ f=> f⊕ f≤ f⊕ f（f，f，f）∈ F、（20）我们现在提供了群上平移不变映射的定义。定义5.2。Let（T，⊕) 是交换群且（F，⊕) 是（T，⊕), 我们用（F，⊕) （T，⊕) . （21）A（T，F）-平移不变映射pin g是映射F:T→ F满足要求F（t⊕ f） =f（t）⊕ ft型∈ Tf∈ F

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2022-6-1 18:24:54

（22）此外，如果（F，⊕, ≤) 是一个有序群，我们引入符号afandaft来处理（T，F）-T翻译映射的特定水平集：T→ F：自动对焦=t型∈ T | F（T）≤ 0, （23a）AF | F=f∈ F | F（F）≤ 0= 空军∩ F（23b）5.1.2 UTC在验收设置方面的特征给定定义5.2中的两个转换不变值F和ρ，我们将构建一个ag gregator Aρ，以使该对（Aρ，F）与定义3.5中的时间一致。H×T AH×FAρFSA，图1：属性映射之间联系的表示5.3下一个命题是F¨ollmer a and Schied（2016）引理11.14和命题11.15的推广，我们用符号表示，因为我们不是指概率空间上的风险度量，而是指更一般的集合。提案5.3。Let（T，⊕) 是一个交换群。给定两个子群（H，⊕) （T，⊕) 和（A，⊕) （T，⊕) , （24）和a（T，a）-平移不变性T映射ρ：T→ A、我们定义了映射Aρ：H×T→ A byAρ：H×T→ （A），⊕, ≤) , （25）（h，t）7→ ρ（h⊕ t）。（26）设F:T→ （F），⊕, ≤) 是（T，F）-平移不变量映射。如果我们有o（H，⊕) （A），⊕) （F），⊕) （T，⊕),o （T，A）-平移变分映射ρ：T→ A在增加，o（T，F）-变换不变映射F:T→ 满足F（0）=0（其中0是（T，⊕)),那么这对映射（Aρ，F）通常是时间一致的当且仅当ifAF⊕ Aρ| F=Aρ，（27），其中（23a）和（23b）中定义了AF、Aρ| Fand和Aρ。证据我们请读者参阅附录A以获取证据。方程（27）在原始映射ρ和“条件”映射F的接受集之间建立了良好的关系。

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2022-6-1 18:24:57

然而，当变量是映射ρ：T时，仍然很难解决→ A和F:T→ F在建议5.3中给出，因为它是ρ中的隐式方程。5.2时间一致性凸映射。我们关注定义为Fenchel-Moreauconjugates映射的时间一致性。我们的动机是关于凸风险映射的对偶表示的结果（Artzner、Delbaen、Eber和Heath，1999）。我们首先回顾具有一般耦合的Fenchel-Moreau共轭（不一定是经典对偶对）。然后，我们陈述了我们的主要定理，这些定理提供了一个被定义为Fenchel-Moreauconjugates的映射的时间一致性公式。5.2.1处理Fenchel-Moreau共轭的基本工具耦合和Fenchel-Moreau共轭的正式工具在Moreau的论文（1970）中介绍。我们记得R=[-∞, +∞] = R∪ {-∞, +∞}.当我们使用inR值操作函数时，我们采用方程式（28a）和（28b）中定义的Moreau下限或上限加法，这取决于我们处理的是sup操作还是inf操作。我们只会回忆起有用的定义，以使文章独立。在续集中，u、v和w是R的任何元素。Moreau下加法和上加法扩展了通常的加法(+∞)·+ (-∞) = (-∞)·+ (+∞) = -∞ , （28a）(+∞) (-∞) = (-∞) (+∞) = +∞ . （28b）并显示以下属性：- （u） v） =(-u） ·+(-v），则，-（u·+v）=(-u） (-v）。（29a）supa∈Af（a）·+supb∈Bg（b）=supa∈A、 b类∈Bf（a）·+g（b）, （29b）关于耦合的Fenchel-Moreau共轭的背景。设两组C和C. 考虑耦合函数Φ：C×C→[-∞, +∞]. 我们还使用符号CΦ<-> C对于联轴器，CΦ<-> C<==> Φ：C×C→ [-∞, +∞] . （30）定义5.4。

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2022-6-1 18:25:01

函数f:C的Fenchel-Moreau共轭→ [-∞, +∞],对于联轴节Φin（30），函数fΦ：C→ [-∞, +∞] 定义BYFΦ（c) = supc公司∈CΦ（c，c)·+- f（c）, c∈ C. （31）5.2.2主要结果：Fenchel-Moreau共轭物的嵌套公式我们提供了定义为Fenchel-Moreau共轭物的材料之间的嵌套公式。我们引入了可分解耦合的概念。定义5.5。设X，Y，Z和Y′为四个集，设θX×Z，θZandθXbe三个值为Y′θX×Z的映射：X×Z→ Y′，（32a）θZ:Z→ Y′，（32b）θX:X→ Y′。（32c）LetД：Y′×Y→ [-∞, +∞] 是Y′和Y之间的耦合。我们说耦合是（θX×Z，θX，θZ）-如果θX（X），y= supz公司∈锌ДθX×Z（X，Z），y·+- φθZ（Z），yo、（33）（x，y）∈ X×Y。这是我们的结果，为芬切尔-莫罗共轭物提供了嵌套公式。提案5.6。设X，Y，Z和Y′为s和g:Y→ [-∞, +∞] 是数字函数。Le tИ：Y′×Y→ [-∞, +∞] be（θX×Z，θX，θZ）-可分解asin定义5.5。让我们定义联轴器Φ：X×（Y×Z）→ [-∞, +∞] 按Φx、（y，z）= φθX×Z（X，Z），y, （x、y、z）∈ X×Y×Z，（34）和函数G:Y×Z→ [-∞, +∞] byG（y，z）=g（y） φθZ（Z），y, （y，z）∈ Y×Z。（35）那么，我们在芬切尔-莫罗共轭物之间有以下嵌套公式：GΦ=GДo θX.（36）证明。我们请读者参阅附录A以了解证明的详细信息。XY′RθXgИGΦ图2：嵌套公式（36）XX′=Y×ZY′ΦИθXθZ的表示图3：定义映射之间联系的表示5.56结论时间一致性是经济学（动态优化、讨价还价）和数学（动态风险度量、多级随机优化）中讨论的一个概念。

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2022-6-1 18:25:06

我们已经阅读了一系列代表不同领域的论文；我们试图将与时间一致性相关的共同核心要素与每个作者的特定贡献相关的其他假设分开。我们提出了一个弱时间一致性框架，它允许我们在最小假设下证明与嵌套公式的等价性。通过制定核心框架公理，我们希望阐明时间一致性这一概念，它通常与文献中的其他概念融为一体。我们相信这会使这个概念更加透明，并且我们展示了它为可能的扩展开辟了道路。实际上，我们在命题5.3中建立了原始映射ρ的接受集与“条件”映射F之间的精确关系。在命题5.6中，我们揭示了一种有趣的关系，这当然需要她的进一步调查。确认。作者要感谢巴黎大学和Labex B’ezout的财政支持。第一作者特别感谢他们为他的博士项目提供资金。附录我们在这里提供了Sect的两个命题的证明。A.1命题证明5.3证明。证明分为以下三个步骤：1。首先，我们表明∈ 空军⊕ Aρ| F<=> F（t）∈ Aρ| F，t型∈ T、 2。然后我们使用前面的断言来证明以下两个陈述：Aρ 空军⊕ Aρ| F<=> ρF（t）≤ ρ（t），t型∈ T，（37a）Aρ 空军⊕ Aρ| F<=> ρF（t）≥ ρ（t），t型∈ T，（37b）3。最后，我们将所有要素结合在一起得出结论。现在我们详细介绍每个步骤。1、证明了蕴涵t∈ 空军⊕ Aρ| F=> F（t）∈ Aρ| Fand和反向陈述F（t）∈ Aρ| F=> t型∈ 空军⊕ Aρ| f成功。o让t∈ 空军⊕ 给出了ρ| Fbe。根据定义，t可以分解为ast=tF⊕ 带tF的tρ∈ af和tρ∈ Aρ| F。

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2022-6-1 18:25:09

我们依次得到F（t）=F（tF）⊕ tρ，（作为tρ∈ F和F是（T，F）-翻译输入）≤ tρ（作为tF∈ AF={t∈ T | F（T）≤ 0}），这导致ρF（t）≤ ρ（tρ），（通过ρ的单调性）≤ 0，（通过定义tρ∈ Aρ| F），因此F（t）∈ Aρ| F.o我们现在假设F（t）∈ ρ| Fand回想一下∈ T、 F级t型F（t）= F（t）F（t）=0乘以（t-F） -映射F的平移不变性。相反的含义紧接着来自分解t=t F（t）⊕ F（t）自F（t）起∈ ρ| Fby假设和t F（t）∈ AF.2。我们依次证明语句（37a）和（37b）。o首先，我们关注方程（37a）：Aρ 空军⊕ Aρ| F<=> ρF（t）≤ ρ（t），t型∈ T，（38）我们假设该方程的左侧满足，即Aρ空军⊕ρ| F，我们证明它意味着方程的右手边。为此，我们∈ T、我们记得ρ（T）∈ A. F通过定义映射ρ：T→ A和假设（A，⊕) （F），⊕) 我们有F（t） ρ（t）=Ft型 ρ（t）by（T，F）-映射F的平移不变性。作为t ρ（t）∈ Aρ 空军⊕ Aρ| Fwe通过恰好在F上方的项1获得t型 ρ（t）∈ Aρ| Fand然后F（t） ρ（t）∈ Aρ| F。这意味着ρF（t） ρ（t）=ρF（t） ρ（t）≤ 0 . （39）假设ρF（t）≤ ρ（t）表示所有t∈ T和let▄T∈ Aρ。然后通过定义（23a）一个接受集，我们得到ρ（~t）≤ 0.It followsthatρF（￠t）≤ 0和F（￠t）∈ ρ| Fand so，通过上面的第1项，即∈ 空军⊕ Aρ| F.o其次，我们关注方程（37b）Aρ 空军⊕ Aρ| F<=> ρF（t）≥ ρ（t），t型∈ T，（40）我们假设ρ 空军⊕ Aρ| F.让我们x t∈ T、然后，通过添加和删除项F（T），我们得到 ρF（t）= t型 F（t）{z}∈空军⊕ F（t） ρF（t）|{z}∈Aρ| F∈ 空军⊕ Aρ| F.（41）它紧跟在（37b）t的左侧 ρF（t）属于ρ。这意味着，再加上映射ρ：t的（t，A）-t变换不变性→ Aρ（t） ρF（t）= ρt型 ρF（t）≤ 0 .

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2022-6-1 18:25:12

（42）为了证明方程（37b）的反向含义，取t∈ 空军⊕ Aρ| Fand假设ρF（a）≥ ρ（a）。使用步骤1，我们得到F（t）∈ ρ| f，我们得到ρ（t）≤ ρF（t）≤ 0，（43）表示t∈ 验收集的定义ρ（23a）。3、我们最终将所有元素结合在一起。我们从定理3.6中知道，当且仅当（3）中定义的子聚集子SAρ，Fde是在其第二个参数中增加的映射时，映射偶（Aρ，F）通常是时间一致的，并且我们有嵌套公式Aρ（h，t）=SAρ，Fh、 F（t）.在这种情况下，根据定义3，我们得到了aρ，F（h，F）=Aρ（h，t）| F（t）=F, （h、f）∈ H×F。（44）作为集值映射SAρ，Fis a mapping，选择一个元素t∈ t F（t）=F足以确定SAρ，F（h，F）的值。我们注意到，对于每个元素f∈ F、以下语句适用于trueF（t）=F（0）⊕ t。（45）通过（T，F）-平移不变性性质（22），我们得到Ff F（0）=F（0）⊕f F（0）= f代表所有f∈ F、我们推导出saρ，F（h，F）=Aρh、 f级 F（0）, （h、f）∈ H×F。（46）因此，嵌套公式Aρ（h，t）=SAρ，Fh、 F（t）readsAρ（h，t）=Aρh、 F（t） F（0）, （by（46））ρ（h⊕ t） =ρh类⊕ F（t） F（0）, （由（25）定义ρ）h⊕ ρ（t）=h⊕ ρF（t） F（0）, （按（T，A）-平移不变性）ρ（T）=ρF（t） F（0）, （通过兼容性⊕ 具有≤)ρ（t）=ρF（t）（如F（0）=0。）ρ（t）=ρ的事实F（t）结合方程式（37）的两个陈述给出了想要的结果。证据到此为止。A、 2命题证明5.6证明。

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