沿着随机布朗桥进行交易的最佳时机

2022-6-2 20:26:10

沿着随机布朗桥交易的最佳时机Tim Leung*Jiao Li+Xin Li2018年8月7日摘要本文研究了一个最优交易问题，该问题结合了交易者对终端资产价格分布的市场观点和嵌入在资产价格动态中的非信息噪音。我们用指数随机布朗桥（rB b）对基础资产价格演化进行建模，并考虑随机端点的各种先验分布。我们讨论出售股票、看涨期权或看跌期权的最佳策略，并分析相关的延迟清算溢价。我们用数值方法求解最优交易策略，并在不同的优先信念之间进行比较。在我们的结果中，我们发现，当交易者规定两点离散分布和双指数分布时，会出现断开的连续/排除区域。关键词：投机交易、布朗桥、最优停止、变分不等式JEL分类：C41、G11、G13数学学科分类（2010）：60G40、62L15、91G20、91G80*华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图，邮编98195。电子邮件：timleung@uw.edu.Corresponding作者+APAM系，哥伦比亚大学，纽约，NY 10027；电子邮件：jl4170@columbia.edu.美国银行美林，纽约布莱恩特公园一号，邮编：10036；电子邮箱：xinli。columbia@gmail.com.1引言所有交易者面临的一个基本问题是确定在给定的交易期限内何时出售资产或金融衍生品。最佳交易决策取决于交易员对未来资产价格分布和观察到的价格波动的主观信念。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:26:13

通过监控资产价格随时间的变化，交易员决定是以现行市场价格出售资产或衍生工具，还是继续等到以后。在本文中，我们通过构建反映两个主要特征的模型来解决这个问题：（i）交易者对终端资产价格分布的市场观点和资产价格动态中嵌入的非信息噪音，以及（ii）产生与交易者资产或衍生品清算相对应的最优停止问题的计时期权。为了描述资产价格的演化，我们提出了随机布朗桥（rBb）模型，其中资产的对数价格遵循布朗桥，随机端点表示随机终端对数价格。反过来，交易者的先验信念和学习机制可以编码在原木价格漂移过程中。我们的模型改编自C artea等人（2016）的新作品。他们将资产的中期收益建模为随机布朗桥，并解决了一个交易问题，即通过下达限制器市场订单，同时惩罚运行库存，使预期交易收入最大化。相比之下，我们模型中的基础资产价格是一个指数rBb，具有不同的随机终点，示例包括离散、正态和双指数分布。此外，我们还引入了一种最优停止方法来解决交易方的清算问题，该方法不仅适用于出售under-lyingasset，而且也适用于上面写的期权。为了解决交易者的最优止损问题，我们设计并应用了许多分析工具。我们确定了最佳清算溢价，该溢价代表了最佳等待出售带来的附加价值，以及即时清算带来的附加价值。事实上，一旦溢价消失，交易员就可以卖出。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:26:16

另一方面，如果溢价总是非常正，那么交易者会发现等待到期是最佳选择。因此，最优清算溢价不仅提供了新的财务解释，还提供了另一种分析最优停止问题的途径。在我们的结果中，我们确定了立即清算或通过赎回持有资产/期权头寸的最佳条件。此外，我们还证明了在同一交易区间内，清算多头看涨空仓的最优策略与出售标的股票的最优策略是一致的。这种时间奇偶性适用于随机终点的任何分布。此外，我们推导了与最优停止问题相关的变分不等式，并提出了一种求解最优交易边界的有限差分方法。在文献中，布朗桥被用来表示市场的不确定性或非信息性噪音（参见Brody et al.（2008a）、Hughston and Macrina（2012）和Macrina（2014））。本文中的随机布朗桥模型属于基于信息的定价和交易方法。在相关研究中，Brody et al.（2008b）和Filipovi\'c et al.（2012）研究了基于信息的模型，其中资产价格是通过信息过程的条件预期计算的。随机布朗桥或其变体在许多临床应用中具有巨大的潜在适用性。例如，虽然期货价格在理论上应该等于现货价格，但据观察，一些商品期货价格在到期时并不完全收敛于相应的现货价格（见郭和梁（2017））。Brennan和Schwartz（1990）以及Dai等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-2 20:26:19

（2011）研究s股指数期货的套利策略，假设指数基础遵循布朗桥。人们还可以在指数跟踪和交易所交易基金中寻找更具潜力的应用（见Leung和Santoli（2016））。随机化端点p在建模未来日期资产价格的随机冲击时提供了更大的灵活性，适用于美联储公告、盈利惊喜等事件（参见Johannes和Dubinsky（2006）、an d Leung和Santoli（2014））。关于涉及布朗桥的最优停止问题，Ekstrom和Wanntorp（2009）在不考虑折扣的情况下考虑了布朗桥的最优单次停止或布朗桥的奇数幂。Ekstr–om和Vaicenavicius（2017）使用最优stoppin g方法来最大化具有未知固定点的布朗桥的预期值。Baurdoux et al.（2015）进一步研究了最优双重问题，即当底层遵循布朗桥时，在进入和退出时间，它们最大化了支付之间的预期价差。Leung和L udkovsk i（2011年，2012年）在关于有限期限下证券交易的最优停止问题的相关研究中，引入了延迟购买溢价的概念，并分析了在不完全市场中购买同等欧洲和美国期权的问题，投资者对资产价格动态的信念可能不同于普遍的市场观点。Leung和Liu（2012）在基于多因素强度的违约风险框架下分析了与信用衍生品相关的延迟购买溢价，并得出了最优交易策略。在Leung和Shirai（2015）中，作者研究了出售受路径依赖风险惩罚的资产或期权的最佳时机。论文的其余部分结构如下。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:26:22

在第2节中，我们提出了基础资产价格的随机布朗桥模型，展示了不同的先验信念如何封装在与冰动力学相对应的随机微分方程中，并通过蒙特卡罗模拟说明了冰动力学。在第3节中，我们提出并分析了最优清算问题，并给出了数值结果来说明最优交易策略。在第4节中，我们总结了本文中用于在不同设置下解决最优停止问题的数值算法。第6节收集了大量证据。Oshima（2006）、Peskir和Shiryaev（2006）2先验信念和价格动态模型由单个资产组成，其正价格过程由（St）0表示≤t型≤T、我们模型中的交易员对未来T时间内的股价分布给出了一个先验信念。我们将Xt=log St表示为资产的对数价格，xB表示股票的原始对数价格。交易者的信念由在时间T实现的实值随机变量d描述，因此终端对数价格由xt=X+d给出。（2.1）为了避免套利，我们要求d具有第二阶矩和P（d>rT）∈ （0，1），其中ris为正无风险利率，根据历史概率测度P。随着时间的推移，新信息以资产价格变化的形式出现。价格波动也可以被视为终端对数价格D实现之前的噪声。我们将对数价格过程建模为随机布朗桥。为此，我们首先让（βt）0≤t型≤Tbe a标准布朗桥βt=Bt-tTBT，t∈ [0，T]，（2.2），其中（Bt）0≤t型≤这是一个标准的布朗运动。过程β从0开始，到0结束。它可以被视为信息噪音，在0和T时都会出现。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-2 20:26:26

我们假设过程B和β独立于随机dom变量D。然后，对数价格过程由xt=X+σβt+tTD，t给出∈ [0，T]，（2.3），其中σ>0是一个常数参数。交易员观察资产的价格演变，以及相应的过滤≡ （英尺）0≤t型≤它是由对数价格过程X生成的。换句话说，随着时间的推移，该转换器不会直接观察标准布朗桥β。从数学上讲，这意味着β不适用于F。财务上的解释是β反映了市场中的非信息噪音，如市场情绪和谣言。如果不直接观察βt，则在t<t的任何时候，转换器都无法将XT分解为β和D。在时间T，交易者观察到D的实现，从而观察到XT。参数σ允许我们控制β对原木价格波动的影响。通过检查方程式（2.3），比率可以视为D值的显示率，从时间0完全隐藏到时间T完全显示呈线性变化。根据Cartea et al.（2016）的命题1，对数价格过程满足随机微分方程（SDE）dXt=A（t，Xt）dt+σdWt，（2.4）对于t∈ [0，T]，其中（Wt）0≤t型≤在概率测度P下，这是一个F适应的s标准布朗运动。漂移项isA（t，Xt）=a（t，Xt）- （Xt）- 十） T型- t、（2.5）式中（t，x）：=E[D | Xt=x]=R∞-∞zexpzx公司-Xσ（T-t）- zt2Tσ（T-t）dF（z）R∞-∞经验值zx公司-Xσ（T-t）- zt2Tσ（T-t）dF（z），（2.6）和F（·）是随机变量D的累积分布函数。我们参考附录Aof Cartea et al.（2016）获取（2.4）的推导。出现在（2.4）中的F-布朗运动可以被认为是交易方可以获得的市场信息。与βt不同，WT的价值包含与风险资产价格相关的真实信息。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:26:29

（2.4）-（2.6）说明价格创新如何反映D和市场信息流的概率分布。（2.3）中的不完整信息通过将原木价格创新投影到可观察过滤上重新表述为完整信息。从这个意义上讲，基于信息的方法更灵活，可以根据可观察的价格过程添加额外的解释和直觉，正如我们在本文的后续会议中所介绍的那样。为了理解（2.6）中的条件期望，我们从定义[D | Xt=x]=Z开始∞-∞zπt（z）dz，（2.7），其中πt（z）是由πt（z）=ddzP（D）定义的随机变量的条件概率密度或质量函数≤ z | Xt=x）。利用贝叶斯公式，条件概率密度由πt（z）=p（z）ρXt（x | D=z）R给出∞-∞p（z）ρXt（x | D=z）dz，（2.8），其中p（z）表示D的概率密度或质量函数，ρXt（x | D=z）表示给定D=z的随机变量xtom的条件密度函数。根据（2.3），对于任何固定的t∈ [0，T），Xt给定D=z为高斯分布，即XtD=z~ NX+tTz，σtT（T- t）.因此，我们可以表示x的条件概率密度ρx（x | D=z）=σq2πt（t-t）特克斯普-T（x-十、-tTz）2σt（t- t）.将这个表达式代入（2.8），我们得到πt（z）=p（z）expzx公司-Xσ（T-t）- zt2Tσ（T-t）R∞-∞p（z）扩展zx公司-Xσ（T-t）- zt2Tσ（T-t）dz。（2.9）最后，将（2.9）代入（2.7）后，方程式（2.6）如下。资产价格是由St=exp（Xt）定义的指数rBb。通过伊藤引理，我们得到了第二个=A（t，Xt）+σStdt+σStdWt，0≤ t型≤ T、（2.10）在本文中，我们将考虑D的三种不同分布：两点离散分布、正态分布和双指数分布。第一个是离散分布，而另两个是连续分布。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:26:32

与正态分布相比，双指数分布能够产生两个更重的尾巴，可以是对称的，也可以是不对称的。接下来，让我们来说明D的分布对资产价格动态的影响。示例1假设交易者对未来原木价格的先验信念遵循一个两点离散分布，由dδ=（δw，概率pu，δd，概率pd=1）定义- pu，（2.11）分别带均值和方差，E[Dδ]=δupu+δdpd，（2.12）Va r[Dδ]=δupu（1-pu）+δdpd（1-pd）- 2δuδdpupd。（2.13）然后，Xtin（2.4）的漂移项A（t，x）由A（t，x）=t给出- t型δuu（t，x）+δdd（t，x）u（t，x）+d（t，x）- （十）- X）, （2.14）其中u（t，x）=puexpδux- Xσ（T- t）- δut2Tσ（T- t）, （2.15）d（t，x）=Pdexδdx- Xσ（T- t）-δdt2Tσ（T- t）. （2.16）示例1的一个特例是当D是常数δ时。然后，对数价格过程（2.4）是一个简单的布朗桥，从X开始，到X+δ结束。其SDE由dxt=X+δ给出- XtT公司- tdt+σdWt，0≤ t型≤ T、（2.17）示例2假设交易者对fu tu re log价格的先验信念遵循均值u和方差σD的正态分布，即Dn~ Nu，σD. （2.18）注意σ与（2.4）中的σ不同。Xtin（2.4）的漂移由a（t，x）=（σD）给出- Tσ）（x- 十） +uσTtσD+Tσ（T- t）。（2.19）推导见第6.1节。作为正态分布的另一种连续分布，我们现在考虑双指数分布，该分布已被用于模拟资产价格的随机-随机跳跃（见Kou（2002））。例3假设交易者对未来对数价格的先验信念由一个双指数随机变量dew表示，其pdff（z）=1{z<θ}pλeλ（z-θ） +1{z≥θ} pλe-λ（z-θ），（2.20），其中p，p>0且p=1- p、 Deare的平均值和方差，分别为E[De]=θ-pλ+pλ，（2.21）Va r[De]=2pλ+2pλ- （pλ-pλ）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-2 20:26:36

（2.22）Xtin（2.4）的漂移由a（t，x）=t给出- t“Pi=1,2Ni（t，x）Pi=1,2Hi（t，x）- （十）- 十） #，（2.23）其中Ni（t，x）=(-1） ipiλi2ζexp-ζ（θ+bi2ζ）经验值（bi- 4ζci4ζ）- piλibi2ζ√π√ζexp（bi- 4ζci4ζ）Φ((-1）我-1di），Hi（t，x）=piλi√π√ζexp（bi- 4ζci4ζ）Φ((-1）我-1di），以及ζ ≡ ζ（t）=t2Tσ（t- t），bi≡ bi（t，x）=-x个- Xσ（T- t） +(-1）我-1λi,ci=(-1）我-1λiθ，di≡ di（t，x）=p2ζ（t）θ+bi（t，x）2ζ（t）,Φ（·）是标准的正态累积分布函数。我们在第6.2节中给出了计算结果。可以使用s tandardEuler Maruyama方法在离散时间内模拟原木价格过程X的路径。表示δt为离散化步骤，设置ti=iδt，对于i=0，1，2。。然后，从Xat时间0开始的X的路径可以迭代模拟如下：Xti+1=Xti+A（ti，Xti）δt+σ√δti，（2.24），其中（i）i=1,2，。。。是IID N（0，1）随机变量的序列。该方法不需要直接模拟随机变量D，因为D的分布特征封装在漂移函数A（T，x）中（见（2.14）、（2.19）和（2.23））。该程序在每个时间步中输入Xtiat的当前值来计算漂移A（ti，Xti），并且每个路径在不知道布朗桥β或实现随机变量D的情况下演化，因为β和D都不会被模拟。这与交易者在T之前无法观察到的事实一致，d只知道对数价格过程X随时间的变化，而不知道布朗桥β。路径将以类似于D的终端分布结束。在示例1中，在D的两点离散分布下，根据（2.24）进行模拟，将生成一条以X+δuor X+δD结束的路径，每个路径的概率分别为Pu和Pd。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-2 20:26:40

例如，在图1（a）中，我们有p=p=0.5，这意味着大约一半的路径将在X+δuor X+δd处结束。如例1-3所示，终端原木价格分布的规格直接影响Xt的漂移。为了更好地观察D的不同分布下漂移A（t，x）的不同结构，我们在图2中绘制了t=0.1（面板（A））和t=0.8（面板（b））下的函数A（t，x），三个分布共享相同的平均值和方差。在正态分布下，A（t，x）在x中是线性的。相反，在两点分布和双指数分布下，A（t，x）既不是线性的，也不是m。此外，在两点分布下，A在股价较低时为正，而n在股价相对较高时为负，这意味着资产价格在价格较低时趋于正漂移，在价格较高时趋于负漂移。然而，在正态分布和双指数分布下，在A中观察到相反的情况。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t0.20.40.60.81.21.41.61.8（a）0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t0.20.40.60.81.21.41.61.8（b）图1：（2.4）的路径模拟，在（a）两点离散分布和（b）正态分布之后，对未来原木价格的先验信念。参数：（a）δu=0.3，δd=-0.3，pu=0.5，pd=0。5.（b） u=0，σD=0.3。常用参数：X=1，T=1，σ=0.4-1 0 1 2 3x-20-10两点正态双指数（a）-1 0 1 2 3x-5两点正态双指数（b）图2：在t=0.1（a）和t=0.8（b）时，三种不同分布下的a（t，x），共同均值=0，Var=0.36。参数：（两点）δu=-δd=0.6，pu=pd=0.5；（正常）u=0，σD=0.6；（双指数）θ=0，p=p=0.5，λ=λ=2.357。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-2 20:26:44

常见参数：S=2.72（X=1），r=0.1，`T=1，T=1.1，σ=0.4.3最优清算问题在上述资产价格动态中，我们现在考虑一个持有S资产或S期权的交易者，并试图通过出售证券来最大化预期价值。设f（t，x）∈ C（[0，∞) ×R）是一个通用的奖励函数，表示在时间t以对数价格x从证券销售中获得的价值。我们假设恒定利率R>0，这也是交易者使用的贴现率。为了确定最佳卖出时机，交易者解决了最优停止问题v（t，x）=supτ∈Tt，特内-r（τ-t） f（τ，Xτ）| Xt=xo，（3.1），其中Tt，是关于f的所有s顶部时间的集合，取t和t之间的值，0≤ t型≤\'\'T≤ T这里，’T是期权T到期日之前的交易截止日期。对于本文考虑的所有证券，相关奖励函数f（t，x）通过t定义。这个问题可以用另一种概率形式表示。为此，我们首先定义流程t=e-rtf（t，Xt），0≤ t型≤ T、（3.2）通过（2.4）和伊藤公式，我们得到了SDEdYt=e-rt公司-rf（t，Xt）+ft（t，Xt）+fx（t，Xt）A（t，Xt）+σfxx（t，Xt）dt+e-rtfx（t，Xt）σdWt=e-rtG（t，Xt）dt+e-rtfx（t，Xt）σdWt，（3.3），其中我们表示ft≡ft、外汇≡fx、 fxx公司≡fx、 andG（t，x）：=-rf（t，x）+ft（t，x）+fx（t，x）A（t，x）+σfxx（t，x）。（3.4）称为驱动函数的函数G（t，x）（术语见Leung和Shirai（2015）），确定贴现奖励过程中SDE漂移的符号Yt=e-rtf（t，Xt）。积分（3.3）并代入（3.1），值函数可以表示为v（t，x）=supτ∈Tt，TEZτte-r（u-t） G（u，Xu）du | Xt=x+ f（t，x）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:26:48

（3.5）重新安排（3.5）中的条款，我们将价值函数V（t，x）和正向函数f（t，x）之间的差异定义为延迟清算溢价，即L（t，x）：=V（t，x）- f（t，x）=supτ∈Tt，TEZτte-r（u-t） G（u，Xu）du | Xt=x. （3.6）对于持有的每个头寸，都有一个嵌入式的出售时机选择权。延迟清算溢价量化了最佳等待行使该时间选项的价值。自V（t，x）≥f（t，x）对于所有（t，x），这是从（3.6）得出的L（t，x）≥ 0表示所有（t，x），表示延迟清算溢价始终为正。根据s标准最优停止理论（Karatzas和Shreve，1998，定理D.12），与V（t，x）或L（t，x）相关的最优清算时间由τ给出*= inf{u∈ [t，\'t]：V（u，Xu）=f（u，Xu）}=inf{u∈ [t，\'t]：L（u，Xu）=0}。（3.7）换言之，当最优清算溢价L消失时，交易员行使时机选择权并平仓是最优的。因此，交易者的最优液化策略可以用执行区域s和延续区域D来描述，即s={（t，ex）∈ [0，T]×R+：L（T，x）=0}，（3.8）D={（T，ex）∈ [0，T]×R+：L（T，x）>0}。（3.9）另一方面，如果延迟清算溢价始终严格为正，则交易方认为等待交易期限结束是最佳选择。特别是，对于所有x，我们可能有l（(R)T，x）>0，因此我们解释τ*=根本不运动。因此，我们现在可以确定立即清算或通过“T”冻结资产/期权头寸的最佳条件。提案4让t∈ [0，\'T]为当前时间。然后，我们有1个。G（u，x）>0，（u，x）∈ [t，\'t]×R+==> τ*=\'\'T。2、G（u，x）≤ 0, （u，x）∈ [t，\'t]×R+==> τ*= t。证据根据（3.5），如果G（u，x）为正（分别为。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:26:52

阴性）（u，x）∈ [t，\'t]×R+，则在最长（或最短）的停止时间，即τ，使计算的R向函数最大化*=\'T（分别为τ*= t）。除了这两种极端情况外，我们还可以处理其他情况并解决交易者的非对称交易策略。要做到这一点，让我们写下与值函数V（t，x）（见（3.1））相关的变分不等式，其中包含一个通用的逆向函数f（t，x）。首先定义微分运算符{·}：=-r·+·t+A（t，x）·x+σ·x、（3.10）最优停止问题V由变分不等式（max{LV（t，x），f（t，x）求解- V（t，x）}=0，（3.11），其中（t，x）∈ [0，\'T）×R，终端条件V（\'T，x）=f（\'T，x）f或所有x∈ R、 Werefer to（Leung和S hirai，2015，第7节）详细证明了这种形式的变分不等式强解的存在性和唯一性。更全面的参考文献是Bensoussan和Lions（1982）。我们将在第4节讨论解决最佳交易策略的数值模式。接下来，我们研究股票和期权的交易策略，并研究随机变量D中编码的交易者信念的不同影响。对于每种证券类型，我们将推导相应的驱动函数。然后，它将成为变分不等式（3.11）的输入，该不等式将通过数值求解获得最优交易策略。我们考虑了几种不安全感和信念的组合，以查看策略中的任何重大差异。3.1股票对于出售股票S，奖励函数简单地为f（x）=ex。然后，可以通过（3.4）计算出售股票的驱动函数，由Gstock（t，x）表示。准确地说，我们得到了gstock（t，x）=(-r+A（t，x）+σ）ex，（3.12）（t，x）∈ [0，T]×R。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:26:55

如图2所示，函数A（t，x）和驱动函数严重依赖于D的规定分布，可能是非线性的。一般来说，很难确定驱动函数Gstock（t，x）的行为。然而，在D的正态分布下，我们分别获得了Gstockin x和in t的以下性质。命题5假设交易者对原木价格的信念服从正态分布，如示例2所示。那么，如果σD>√Tσ和x≤ q（t）-2，或σD<√Tσ和x≥ q（t）-1，（ii）如果σD>√Tσ和q（T）- 2.≤ x个≤ q（t）- 1，（iii）如果σD，则x向上倾斜和凹<√Tσ和q（T）- 2.≤ x个≤ q（t）- 1，（iv）如果σD>√Tσ和x≥ q（t）-1，或σD<√Tσ和x≤ q（t）-2，其中q（t）：=X-uσT+（σ- r）（tσD+tσ（t- t））σD- Tσ。命题6假设交易者对原木价格的信念服从正态分布，如示例2所示。那么，（3.12）中的驱动函数是（i）t i fσD中的向下倾斜和凹形<√Tσ和x≥ 十、-uσTσD- Tσ，（ii）如果σD>√Tσ和x≥ 十、-uσTσD- Tσ，（iii）如果σD>√Tσ和x≤ 十、-uσTσD- Tσ，（iv）如果σD，则在T中向上倾斜和凸出<√Tσ和x≤ 十、-uσTσD- Tσ。第6.3节提供了请购单。此外，如果σD=√Tσ，则驱动函数与T无关。在D的正态分布下，当r<uT+σ时，Gstock（T，x）向上倾斜和凸，当r>uT+σ时，向下倾斜和凹。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:26:58

然而，对于两点离散分布和双指数分布，驱动函数的性质并不明确可用，但可以使用（3.12）对函数进行数值计算。图3给出了卖出股票的最佳交易策略，其信念对应于两点离散分布、正态分布和双指数分布。通常，如图（a）、（b）和（d）所示，我们观察到边界随着时间的推移而变小。这意味着交易员倾向于在股价足够高的时候卖出股票，但随着交易截止日期的临近，他们愿意以更低的价格卖出股票。然而，图3b显示，在d的两点d iscr ete d分布下，最佳边界随时间增加（参见示例1）。请注意，在图3b中，交易者有一个更为不同的信念，即终端股票价格最终会非常高或非常低。在我们的模型下，这表明，如果价格高，交易员将持有该股票，因为交易员认为价格可能会进一步上涨，如果价格低，交易员将出售该股票，因为根据交易员的看法，价格会更低。图3a和3b代表了交易者的两种截然不同的信念。p参数δ的大小指导交易者对新价格信息的反应，并最终指导交易策略。这突出表明，通过选择d的d分布和相关参数，可以显著改变束缚元的行为。在图4中，我们说明了在D的三种不同分布下，最优股票销售策略对多个参数的敏感性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:27:01

正如预期的那样，随着cr中D的平均值（左面板）的减小和方差的减小（右面板），边界增大。由于驱动函数在某些分布下的非线性，交易者可能需要采取更复杂的交易策略。正如我们在图5中所示，如果初始股票价格在连续区域内，那么在价格达到行使边界之前，交易方不会出售。然而，连续区域被两个上部和下部断开运动区域夹在中间。这意味着，不仅当价格很高，而且很低时，交易员会卖出股票。当股价非常低时，我们还注意到另一个延续区域。围绕这一延续区域的直觉是，当当前股价如此低时，交易员猜测价格将反弹，并选择持有该股票。图6a显示了d的双指数分布下的不同交易策略。由于较低的延续区域相对较低，对于大多数起始价格，交易者将发现立即出售股票的最佳选择。很明显，交易员先前的信念会影响她的交易策略。在图6b中，参数λ和λ相对较小，d的平均值和方差为0，方差为0.16（参见（2.21）和d（2.22））。与图6a中相同但值方差较小0.09的市场视图相比，图6b中的上延拓区域较小（小t消失），下延拓区域变大。如果交易者采用均值为零、方差为σT的D的正态分布，那么她将永远不会更新对数价格动态，因为X的漂移为零，即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:27:04

A（t，x）=0（t，x）。除了这种特殊的退化情况外，交易者可以采用具有不同方差的正常优先级。我们注意到，在图5和图6中的两点离散分布和双指数分布下，连续/练习区域是断开的，但在正态分布下有一个唯一的练习边界。0 0.2 0.4 0.6 0.8时间2.62.83.23.43.6继续锻炼区域（a）0 0.2 0.4 0.6 0.8时间2.22.32.42.52.62.7锻炼区域继续锻炼区域（b）0 0.2 0.4 0.6 0.8时间2.72.82.93.13.23.33.4锻炼区域继续锻炼区域（c）0.2 0.4 0.6 0.8时间2.72.82.93.13.23.4继续锻炼区域d）图3：两点离散分布（a和b）下销售库存的最佳边界，正态分布（c）和双指数分布（d）。每个图的参数如下：（a）δu=-δd=0.1，pu=pd=0.5；（b） δu=-δd=2，pu=pd=0.5；（c） u=0，σD=0.2；（d） θ=0，p=p=0.5，λ=λ=10。常用参数：S=2.72（X=1），r=0.1，(R)T=1，T=1.1，σ=0.4.0 0.2 0.4 0.6 0.8time2.53.54.5u=0.1u=0u=-0.1连续区域锻炼区域（a）0 0.2 0.4 0.6 0.6 0.8time2.62.83.23.43.6σD=0.1σD=0.2σD=0.3连续区域锻炼区域（b）0 0.2 0.4 0.6 0.8time2.53.5pu=0.8pu=0.5pu=0.2连续区域锻炼区域（c）0 0.2 0.4 0.6 0.8时间2.62.83.23.43.6δu=-δD=0.05δu=-δD=0.1δu=-δD=0.13连续区域运动区域（d） 0.2 0.4 0.6 0.8时间2.42.62.83.23.43.63.8 p=0.8 p=0.5p=0.2执行区域继续区域（e）0.2 0.4 0.6 0.8时间2.82.93.23.33.4λ=λ=13λ=λ=λ=10λ=λ=8执行区域继续区域（f）图4：两点离散分布（a&b）、正态分布（c&d）和双指数分布下股票清算的最佳交易边界分配（e&f）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:27:07

参数：（a）σD=0.2；（b） u=0；（c） δu=-δd=0.1；（d） pu=pd=0.5；（e） λ=λ=10；（f） p=p=0.5。其他常见参数如图3所示。图5：两点离散分布下股票清算的最佳交易区域。连续区域为黄色（浅色），运动区域为蓝色（深色），它们是断开连接的。参数：δu=-δd=0.8，pu=pd=0.5。常用参数：X=1，r=0.1，(R)T=1，T=1.1，σ=0.4。（a）（b）图6：双指数分布下股票清算的最佳交易区域。连续区域为黄色（浅色），运动区域为蓝色（深色），它们是断开的。（a）的参数：θ=0，λ=λ=4.714，p=p=0.5；（b）的参数：θ=0，λ=λ=3.536，p=p=0.5。常用参数：X=1，r=0.1，(R)T=1，T=1.1，σ=0.4。。3.2买入和卖出期权鉴于历史测度P下的Stock价格服从SDE（2.4），风险中性计数器部分遵循几何布朗运动DST=rStdt+σStdWQt，（3.13），其中Wqt是风险中性测度Q下的标准布朗运动。因此，欧洲买入和卖出期权的无轨道价格可从Black-S choles定价公式中找到。执行价为K且到期日为T的欧洲看涨期权的价格由cbs（T，ex）=Φ（d）ex给出- Φ（d）Ke-r（T-t），对于（t，x）（3.14）∈ [0，T]×R，其中d=σ√T- t型ln（ex/K）+（r+σ/2）（T- t）, （3.15）d=d- σ√T- t、（3.16）将上述内容代入（3.4），我们得到驱动函数调用（t，x）=-RCB（t，ex）+CBS（t，ex）t+CBS（t，ex）xA（t，x）+σCBS（t，ex）x个=-r+A（t，x）+σexΦ（d），（3.17），其中两点、正常、双指数情况下的A（t，x）分别由（2.14），（2.19）和（2.23）计算。在图7a中，我们展示了在D的正常分布下销售欧洲看涨期权的最佳交易策略。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:27:10

正如我们所看到的，当股价高时，交易者倾向于卖出看涨期权，但随着时间的推移，交易者愿意以较低的价格卖出看涨期权。绿色（亮）线显示Gcall=0的位置，连续区域包含G（t，x）≥ 回想一下，G（t，x）是L（t，x）表达式中的被积函数。当然，如果G（t，x）>0，那么交易方最好继续保持通话，因为她可以通过等待一小段时间来获得正的小保费。同样的论点也适用于股票和看跌期权的情况。接下来，我们考虑欧洲看跌期权的清算。Black-Scholes看跌期权价格由PBS（t，ex）=Φ给出(-d） Ke公司-r（T-t）- Φ(-d）例如，（3.18），其中K是罢工p大米，T是到期日期，dand dare由（3.15）和（3.16）给出。使用（3.4），相应的驱动函数GputisGput（t，x）=r- A（t，x）-σexΦ(-d）。（3.19）图7b显示了在正态分布下出售欧洲看跌期权的最佳时机策略。该图显示，当股价较低时，交易员倾向于出售看跌期权0.2 0.4 0.6 0.8timeOptimal BoundaryG=0行使区域>0继续区域（a）0 0.2 0.4 0.6 0.8timeOptimal BoundaryG=0行使区域>0行使区域继续区域（b）图7：在正态分布下出售S=105（a）的欧式看涨期权和S=95（b）的看跌期权的最佳边界。履约价格K=100，到期日T=1，其他参数：u=0，σD=0.1，r=0.1，(R)T=1，σ=0.4。绿线定义为G=0，连续区域包含G≥ 0（即当认沽期权价格较高时），但随着时间的临近，愿意以较高的股票价格（即较低的期权价格）出售。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:27:13

因此，随着时间的推移，运动区域会扩大，而continuationregion会缩小。通过使用调用和put的驱动函数（3.17）和（3.19）进行直接计算，并与基础资产的驱动函数（3.12）进行比较，我们得出以下平价结果。引理7（看跌期权平价）考虑一对欧洲看涨期权和看跌期权，其中S、K和T的到期日相同。在D具有相同分布的型号（2.4）下，关联驱动功能满足调用（t，x）- Gput（t，x）=所有（t，x）的Gstock（t，x），（3.20）∈ [0，T]×R.在D分布相同的情况下，考虑具有相同行使和到期日的欧式看涨期权和看跌期权。清算多头看跌期权头寸的最佳策略与在相同交易期限内出售标的股票的最佳策略相同。证据与多头看跌期权头寸相关的延迟清算溢价由看涨期权给出-put（t，x）=supτ∈Tt，TEZτte-r（u-t）Gcall（u、Xu）- Gput（u，Xu）du | Xt=x= supτ∈Tt，TEZτte-r（u-t） Gstock（u，Xu）du | Xt=x（3.21）最后一个期限是与出售股票S相关的延迟清算溢价。作为命题8的一个有趣结果，考虑一对到期日为T的履约Kw的看涨期权和看跌期权，以及另一对到期日为T的履约K和看跌期权≤ 最小值{T，T}。相应的多头看跌期权头寸将产生相同的最佳时机策略。这一策略与出售标的股票的策略相同，标的股票独立于行权和到期日。4数值实现我们现在总结用于解决最优交易问题（3.1）的值函数满足的变分不等式的数值方案。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:27:17

采用有限差分格式求解最优清算边界。变分不等式组的数值解可以通过使用投影连续超松弛（PSOR）方法应用有限差分格式获得。通过连续过松弛（S或）方法求解得到的值函数方程。我们参考Wilmott等人（1995年，第9章）对项目SOR方法的详细讨论。在确定值函数数值近似的每个SOR迭代步骤中，我们只需取近似函数值和资产支付之间的最大值。然后变分不等式（3.11）承认线性互补形式：LV（t，x）≤ 0，V（t，x）≥ f（t，x），（t，x）∈ [0，\'T）×R+，（LV（T，x））（f（T，x）- V（t，x））=0，（t，x）∈ [0，\'T）×R+，V（\'T，x）=f（\'T，x），x∈ R+。（4.1）我们现在考虑偏微分方程LV（t，x）=0的离散化，在时间（δt=\'t/N）和空间（δx=（Xmax））上具有离散化的过多均匀网格-Xmin）/M），其中xmax和xminar是网格上x值的上限和下限。在结果方程上应用x-导数的Crank-Nicolson方法和t-derivatives的后向差分可以得到网格方程：-αi，j-1六-1，j-1+ (1 - β）六、j-1.- γi，j-1Vi+1，j-1=αi，jVi-1，j+（1+β）Vi，j+γi，jVi+1，j（4.2），其中系数如下所示：αi，j=δtσ4（δx）-A（tj，xi-1） +A（tj，xi+1）8δx,β = -δtr+σ（δx）,γi，j=δtσ4（δx）+A（tj，xi-1） +A（tj，xi+1）8δx,（4.3）对于i=1，2。。。，M-1和j=1，2。。。，N-1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:27:21

时间倒向求解的系统isMj-1Vj-1=rj，（4.4），其中右侧isrj=MjVj+α1，j-1V0，j-1+α1，jV0，j。。。+...γM-1，j-1VM，j-1+γM-1，jVM，j, （4.5）和MJ=1.- β -γ1，j-α2，j1- β -γ2，j-α3，j1- β -γ3，j。。。。。。。。。-αM-2，j1- β -γM-2，j-αM-1，j1- β, （4.6）Mj=1+βγ1，jα2，j1+βγ2，jα3，j1+βγ3，j。。。。。。。。。αM-2，j1+βγM-2，jαM-1，j1+β, （4.7）Vj=V1，j，V2，j，虚拟机-1，jT、（4.8）这导致了一系列平稳互补问题。由于交易者可以在到期前的任何时候平仓，价值函数V（t，x）必须满足约束条件V（t，x）≥ f（t，x），Xmin≤ x个≤ Xmax，0≤ t型≤\'\'T。（4.9）相应地，离散方案可以写成VI，j≥ fi，j，0≤ 我≤ M、 0个≤ j≤ N、（4.10）因此，在每个时间步骤j∈ {1，2，…，N- 1} ，我们需要解决线性互补问题Mj公司-1Vj-1.≥ rj，Vj-1.≥ fj公司-1，（Mj-1gj-1.- rj）T（fj-1.- gj公司-1) = 0.（4.11）特别是，我们的算法强制执行支配支付函数的约束，如下所示：VNEW，j-1=最大值沃迪，j-1，fi，j-1.. （4.12）投影SOR方法用于求解线性系统。请注意，约束与V（k+1）i，j同时被加强-1在每次迭代中计算。因此，在每个时间步j，SOR算法是迭代（在k上）方程sv（k+1）1，j-1=最大值f1，j-1，V（k）1，j-1+ω1 - β[r1，j- (1 - β） V（k）1，j-1+γ1，j-1V（k）2，j-1],V（k+1）2，j-1=最大值f2，j-1，V（k）2，j-1+ω1 - β[r2，j+α2，j-1V（k+1）1，j-1.- (1 - β） V（k）2，j-1+γ2，j-1V（k）3，j-1],...V（k+1）M-1，j-1=最大值fM公司-1，j-1，V（k）M-1，j-1+ω1 - β[rM-1，j+αM-1，j-1V（k+1）M-2，j-1.- (1 - β） V（k）M-1，j-1],其中k是迭代计数器，ω是超松弛参数。迭代格式从初始点V（0）j开始-1并继续，直到满足收敛标准，如| | V（k+1）j-1.-V（k）j-1 | |<，w这里的是一个公差参数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:27:24

通过定位分隔运动（或销售）区域和延续区域的网格点来确定最佳边界，分别由{（t，x）：V（t，x）=f（t，x）}和{（t，x）：V（t，x）>f（t，x）}定义。5结论性意见我们研究了当标的资产的对数价格遵循随机布朗桥时，出售资产或期权的最佳时机。通过整合交易者对终端股票价格的先前信念，并允许其使用新的价格信息进行更新，这种方法可以阐明信念对最佳交易策略的影响。我们明确推导了不同信念（例如两点离散、双指数和正态分布）下的价格动态，并通过驱动函数分析了相关延迟清算溢价的性质。通过数值求解基本的变分不等式，我们得到了按卖出/持有边界或区域的最优交易策略。特别是，我们发现，根据参数值，在两点离散分布或双指数分布下，股票清算的最佳策略可以限制连接或断开的继续/行使区域。对于未来的研究，一个自然的方向是在当前的随机框架下考虑更复杂的期权或其他衍生品的时机策略，如期货（seeLeung et al.（2016））和信用衍生品（credit der ivatives）（见Leung and Liu（2012））。其他扩展包括引入额外的随机因素，包括随机波动性和跳到布朗-年桥，和/或考虑交易者先验信念的替代分布。6证明在本节中，我们分别在第6.1节和第6.2节的示例2（正态分布）和3（双指数分布）中提供了a（t，x）的推导。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:27:29

此外，我们还提供了命题5和命题6.6.1正态分布的详细信息。如果交易者对原木价格的预期服从正态分布，那么（2.6）可以表示为a（t，x）=I（t，x）I（t，x），其中I（t，x）=Z∞-∞z扩展zx公司- Xσ（T- t）- zt2Tσ（T- t）-（z）- u）2σDdz，I（t，x）=Z∞-∞经验值zx公司- Xσ（T- t）- zt2Tσ（T- t）-（z）- u）2σDdz。接下来，我们明确地计算土地和土地。为了便于表示，我们表示η ≡ η（t）=t2Tσ（t- t） +2σD，b≡ b（t，x）=-x个- Xσ（T- t） +μσD,c=u2σD。将上述符号代入I（t，x）和I（t，x）中，并用后项表示，我们得到I（t，x）=Z∞-∞经验值-（ηz+bz+c）dz。通过应用变量y=η（z+b2η）的变化，我们得到i（t，x）=z∞-∞z扩展-（ηz+bz+c）dz=Z∞2ηexp（b- 4ηc4η）exp(-y） dy+Z∞2ηexp（b- 4ηc4η）exp(-y） dy公司-b2ηI（t，x）=-b2ηI（t，x）。紧接着就是a（t，x）=I（t，x）I（t，x）=-b2η=T（x- 十） σD+uσ（T- t） tσD+tσ（t- t）。这与（2.5）一起给出usA（t，Xt）=a（t，Xt）- （Xt）-十） T型- t=σD（Xt- 十） +Tσ（u- （Xt）- 十））tσD+tσ（t- t）。6.2双指数分布如果交易者对原木价格的先验信念遵循双指数分布，那么（2.6）可以表示为（t，x）=N（t，x）+N（t，x）H（t，x）+H（t，x），其中N（t，x）=Zθ-∞pλz expzx公司-Xσ（T- t）- zt2Tσ（T- t）- λ(θ - z）dz，N（t，x）=Z∞θpλz expzx公司- Xσ（T- t）-zt2Tσ（T- t）-λ（z- θ)dz，H（t，x）=Zθ-∞pλexpzx公司- Xσ（T- t）- zt2Tσ（T- t）- λ(θ - z）dz，H（t，x）=Z∞θpλexpzx公司- Xσ（T- t）- zt2Tσ（T- t）- λ（z- θ)dz。现在我们显式地计算N（t，x）、N（t，x）、H（t，x）和H（t，x）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:27:32

通过变量y的变化完成平方=√2ζ（z+b2ζ），我们有h（t，x）=zθ-∞pλexp-（ζz+bz+c）dz=pλ√2π√2ζexp（b- 4ζc4ζ）√2πZ√2ζ（θ+b2ζ）-∞经验值-ydy=pλ√π√ζexp（b- 4ζc4ζ）Φ（d），其中ζ ≡ ζ（t）=t2Tσ（t- t），b≡ b（t，x）=-x个- Xσ（T- t） +λ,c=λθ，d≡ d（t，x）=p2ζ（t）θ+b（t，x）2ζ（t）.类似地，通过应用y=√2ζ（z+b2ζ），我们得到h（t，x）=z∞θpλexp-（ζz+bz+c）dz=pλ√2π√2ζexp（b- 4ζc4ζ）√2πZ∞√2ζ（θ+b2ζ）exp-ydy=pλ√π√ζexp（b- 4ζc4ζ）Φ(-d），其中b≡ b（t，x）=-x个- Xσ（T- t）- λ,c=-λθ，d≡ d（t，x）=p2ζ（t）θ+b（t，x）2ζ（t）.接下来，我们分别计算变量y=ζ（z+b2ζ）andy=ζ（z+b2ζ）变化的分子中的Nand Nin。N（t，x）=Zθ-∞pλz exp-（ζz+bz+c）dz=-Z∞ζ（θ+b2ζ）pλ2ζexp（b- 4ζc4ζ）exp(-y） dy公司-b2ζH（t，x）=-pλ2ζexp-ζ（θ+b2ζ）exp（b- 4ζc4ζ）- pλb2ζ√π√ζexp（b- 4ζc4ζ）Φ（d），and n（t，x）=Z∞θpλz exp-（ζz+bz+c）dz=Z∞ζ（θ+b2ζ）pλ2ζexp（b-4ζc4ζ）exp(-y） dy公司-b2ζH（t，x）=pλ2ζexp-ζ（θ+b2ζ）exp（b- 4ζc4ζ）- pλb2ζ√π√ζexp（b- 4ζc4ζ）Φ(-d）。6.3证明（3.12）中命题5和6区分Gstock（t，x）得出Gstock公司x（t，x）=-r+σ+（σD- Tσ）（x- 十） +μσT+σD- TσTσD+Tσ（T- t）ex，和Gstock公司x（t，x）=-r+σ+（σD- Tσ）（x- 十） +μσT+2（σD- Tσ）TσD+Tσ（T- t）ex，和Gstock公司t（t，x）=-σD- TσTσD+Tσ（T- t） exA（t，x），和Gstock公司t（t，x）=2（σD- TσTσD+Tσ（T- t））exA（t，x），其中A（t，x）由（2.19）给出。结果直接来自这些偏导数的符号。命题6的证明类似于命题5。参考Baurdoux，E.J.、Chen，N.、Surya，B.A.和Yamazaki，K.（2015）。布朗桥的最优双停。应用概率的进展，47（4）：1212–1234。Bensoussan，A.和Lions，J.-L.（1982年）。变分不等式在随机控制中的应用。阿姆斯特丹北荷兰出版公司。Brennan，M.J.和Schwartz，E.S.（1990）。股指期货套利。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-2 20:27:35

《商业杂志》，63（1）：S7–S31。Brody，D.C.、Davis，M.H.、Friedman，R.L.和Hughston，L.P.（2008a）。知情交易者s.伦敦皇家学会学报A：数学、物理和工程科学，rs pa–200 8页。皇家学会。Brody，D.C.、Hughston，L.P.和Macrina，A.（2008b）。基于信息的资产定价。《国际理论与应用金融杂志》，11（01）：107–142。Cartea，A.、Jaimungal，S.和Kinzebulatov，D.（2016）。算法交易与学习。《国际理论与应用金融杂志》，19（4）：1650028。Dai，M.，Zhong，Y.，和Kwok，Y.K.（2011）。股指期货持仓不足限制的最优套利策略。期货市场杂志，31（4）：394–406。Ekstrom，E.和Vaicenavicius，J。(2017). 具有未知钉扎点的布朗桥的最优停止。arXiv预印本arXiv:1705.00369。Ekstrom，E.和Wanntorp，H.（2009）。布朗桥的最优停止。应用概率杂志，46（1）：170–180。Filipovi\'c，D.、Hughston，L.P.和Macrina，A.（2012年）。资产定价的条件密度模型。《国际理论与应用金融杂志》，15（01）：125002。Guo，K.和Leung，T.（2017）。通过随机存储成本和时间选项了解农业期货的非收敛性。《商品市场杂志》，6:32–49。Hughston，L.P.和Macrina，A.（2012年）。在基于信息的框架中为固定收益证券定价。应用数学金融，19（4）：361–379。Johannes，M.和Dubinsky，A.（2006年）。收益公告和股票期权。未发表论文：哥伦比亚大学。Karatzas，I.和Shre ve，S.（1998年）。数学金融方法。斯普林格，纽约。Kou，S.G.（2002）。期权定价的跳差模型。《管理科学》，48（8）：1086–1101。Leung，T.，Li，J.，Li，X.，和Wang，Z.（2016）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝