正态逆二次套期保值策略的数值分析

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收藏 2022-06-02

英文标题：
《Numerical analysis on quadratic hedging strategies for normal inverse
Gaussian models》
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作者：
Takuji Arai, Yuto Imai and Ryo Nakashima
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
The authors aim to develop numerical schemes of the two representative quadratic hedging strategies: locally risk minimizing and mean-variance hedging strategies, for models whose asset price process is given by the exponential of a normal inverse Gaussian process, using the results of Arai et al. \\cite{AIS}, and Arai and Imai. Here normal inverse Gaussian process is a framework of L\\\'evy processes frequently appeared in financial literature. In addition, some numerical results are also introduced.
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中文摘要：
作者旨在利用Arai et al.{AIS}和Arai and Imai的结果，针对资产价格过程由正态逆高斯过程的指数给出的模型，开发两种具有代表性的二次套期保值策略的数值方案：局部风险最小化和均值方差套期保值策略。这里，正态逆高斯过程是金融文献中经常出现的列维过程的一个框架。此外，还介绍了一些数值结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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Numerical_analysis_on_quadratic_hedging_strategies_for_normal_inverse_Gaussian_models.pdf
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nandehutu2022

2022-6-2 22:29:05

正态逆高斯模型二次套期保值策略的数值分析*Takuji Arai+，Yuto Imai和Ryo Nakashima§2018年1月18日摘要作者旨在利用Arai等人[2]和Arai和Imai[1]的结果，针对资产价格过程由正态逆高斯过程的指数给出的模型，开发两种具有代表性的二次混合策略的数值方案：局部风险最小化和均值方差对冲策略。这里，正态逆高斯过程是金融文献中经常出现的L'evy过程的一个框架。此外，还介绍了一些数值结果。关键词：局部风险最小化；均值方差套期保值；正态逆高斯过程；快速傅立叶变换。1简介局部风险最小化（LRM）和均值方差套期保值（MVH）策略是不完备市场中未定权益的著名套期保值策略。事实上，他们的理论观点已经被很好地研究了大约三十年。另一方面，计算它们的数值方法尚未完全发展。由于文献有限，Arai等人[2]为两个指数L'evy模型（Merton跳跃扩散模型和方差Gamma（VG）模型）的看涨期权开发了LRM策略的数值方案。在这里，VG模型是指资产价格过程作为VG过程的指数给出的模型。在[2]中，他们利用Arai和Suzuki[3]提供的LRM策略表示，以及[8]提出的所谓Carr-Madan方法：一种使用快速傅立叶变换（FFT）计算期权价格的方法。注意，[3]通过L'evy过程的Malliavin演算获得了LRM策略的表示。

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大多数88

2022-6-2 22:29:10

对于MVH策略，Arai和Imai[1]获得了指数加性模型的一种新的闭式表示，并提出了VG模型的数值模式。*这项工作得到了JSPS KAKENHI赠款编号15K04936和17K13764的支持。+庆应义塾大学经济系，电子邮箱：arai@econ.keio.ac.jp三菱UFJ信托投资技术研究所有限公司（MTEC）和早稻田大学科学与工程研究所§庆应大学经济系本文的目的是将[2]和[1]的结果推广到正态逆高斯（NIG）模型。注意，NIG过程是一个纯跳跃L'evy过程，描述为一个时变布朗运动，VG过程也是。这里有一个进程X={Xt}t≥如果X被描述为xt=uYt+σbyt，则0被称为时变布朗运动≥ 0，其中u∈ R、 σ>0，B={Bt}t≥0是一维标准布朗运动，Y={Yt}t≥0是一个从属进程，也就是说，一个非减损的L'evy进程。如果相应的从属项Y是逆高斯（IG）过程，则时变布朗运动X称为NIG过程。另一方面，VG过程被描述为具有伽马从属的时变布朗运动。巴恩多夫·尼尔森（Barndorff Nielsen）[4]引入的NIG过程经常出现在金融文献中，如[5]、[6]、[7]、[11]、[12]等。接下来，我们介绍二次套期保值策略。考虑一个由一项无风险资产和一项到期日不超过0的风险资产组成的金融市场。为简单起见，我们假设市场利率为零，即无风险资产的价格始终为1。let={St}t∈[0，T]是风险资产价格过程。这里我们准备一些术语。定义1.1。1、策略定义为一对φ=（ξ，η），其中ξ={ξt}t∈[0，T]是一个可预测的过程，η={ηT}T∈[0，T]是一个适应的过程。

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可人4

2022-6-2 22:29:18

请注意，ξt（resp.ηt）表示投资者在t时持有的风险资产（resp.无风险资产）的单位数量。策略的财富在t时ν=（ξ，η）∈ [0，T]表示为Vt（Д）：=ξtSt+ηT。特别是，V（Д）表示初始成本。2、如果一项策略满足以下条件，则称其为自我融资：对于任何一项策略，Vt（Д）=V（Д）+Gt（ξ）∈ [0，T]，其中G（ξ）={Gt（ξ）}T∈[0，T]表示ξ引起的增益过程，即Gt（ξ）：=RtξudSufort∈ [0，T]。如果策略Д是自我融资的，则η由ξ和初始成本V（Д）自动确定。因此，自我融资策略Д可以用一对（ξ，V（Д））来描述。3、对于策略Д，过程C（Д）={Ct（Д）}t∈[0，T]由Ct（Д）定义：=Vt（Д）-t的Gt（ξ）∈ [0，T]被称为^1的成本过程。当Д为自融资时，其成本过程C（Д）为常数。4、设F为平方可积随机变量，代表未定权益在自然度T下的收益。如果满足VT（Д）=F，则称策略Д为复制权利要求F。粗略地说，策略ДF=（ξF，ηF），不一定是自我融资的，称为权利要求F的固定策略，如果是复制策略，则在所有复制策略中，将L意义上的C（ДF）引起的风险降至最低。请注意，获得ξFin的表示形式足以获得LRM策略ДF，因为ηFis由ξF自动确定。另一方面，索赔F的MVH策略定义为最小化相应L对冲误差的自融资策略，即最小化问题MINC，Eh（F）的解（θF，cF-c-GT（θ）i.注意到Cf给出了初始成本，它被视为F的对应价格。本文通过扩展[2]和[1]的结果，提出了当资产价格过程由指数NIG过程给出时，LRM策略ξFand和MVH策略θFforcall期权的数值方法。

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kedemingshi

2022-6-2 22:29:27

我们的主要贡献如下：1。为了确保LRM和MVH策略的存在，我们需要对资产价格过程对数的L'evy度量施加一些可积性条件（假设[2]中的1.1]）。因此，我们将给出一个充分的条件，作为我们的长期假设，即IG过程的参数，这使我们能够检查由金融市场数据估计的参数集是否满足[2]中的假设1.1。2、在讨论LRM问题时，所谓的最小鞅测度（MMM）是必不可少的。特别是，MMMis下的资产价格过程的特征函数需要使用【2】开发的数值方法。因此，我们为NIG模型提供了它的显式表示。3、一般情况下，傅里叶变换作为[0]上的积分给出，∞). 事实上，我们用这种不恰当的积分来表示LRM策略，并截断其积分区间以使用FFT。因此，我们应估计积分区间的足够长度，以在给定的允许范围内减少相关截断误差。实际上，为了实现上述三个目标，我们需要克服一些复杂的计算，因为NIG过程的L'evy度量包括参数为1的第二类修正贝塞尔函数。本文概述如下：第2节给出了精确的模型描述。主要结果将在第3节中说明。第3.1小节介绍了我们在NIG模型参数方面的长期假设，接下来的小节讨论了MMM下的特征函数、LRM策略的表示、集成区间的估计和MVH策略的表示。请注意，证明被推迟到待决日期。

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大多数88

2022-6-2 22:29:31

第4节介绍了数值结果。2模型描述我们考虑的整个金融市场由一项无风险资产和一项风险资产组成，时间范围T>0。为简单起见，我们假设市场利率为零，即无风险资产的价格始终为1。(Ohm, F、 P）表示正则L'evy空间，该空间为[0，T]上复合泊松过程空间的乘积空间。表示byF={Ft}t∈[0，T]P的规范过滤已完成。有关规范L’evyspace的更多详细信息，请参阅Sol’e等人[16]的第4节或Delong和Imkeller[10]的第3节。设L={Lt}t∈[0，T]bea纯跳跃L'evy过程，L'evy度量ν定义为(Ohm, F、 P）。我们定义了L asN的跳跃度量（[0，t]，A）：=∑0≤u≤助教(Lu）对于任何A∈ B（R）和任何t∈ [0，T]，其中Lt：=Lt- 书信电报-, R： =R \\{0}，B（R）表示R上的Borelσ-代数。此外，其补偿版本N定义为N（[0，t]，A）：=N（[0，t]，A）- tν（A）。在本文中，我们研究了L作为正态逆高斯（NIG）过程给出的情况。这里，一个纯跳跃L'evy过程L称为参数α>0的NIG过程，-α<β<α，δ>0，如果其特征函数给定为asE[eizLt]=exp-δqα-（β+iz）-qα- β对于任何z∈ C和任意t∈ [0，T]。注意，对应的L'evy度量ν表示为ν（dx）=ΔαπeβxK（α| x |）| x | dx表示x∈ R、其中Kis是第二类贝塞尔函数的修正值，参数为1。当我们需要强调模型参数时，ν用ν[α，β，δ]表示。此外，过程lca还可以描述为具有IG从属项的时变布朗运动：Lt=βδIt+δBIt，其中B={Bt}t∈[0，T]是一维标准布朗运动，I={It}T∈[0，T]是一个参数为（1，δpα）的IGprocess- β). 有关NIG工艺的更多详细信息，请参见Contand Tankov【9】第4.4节和Schoutens【13】第5.3.8小节。

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大多数88

2022-6-2 22:29:34

在本文中，风险资产价格过程＝{St}t∈[0，T]表示NIG过程L的指数：St=SeLt，其中S>0。现在，我们准备一些额外的符号。对于v∈ [0, ∞) 和a∈ （，2），我们定义（v，a）：=v+α-（a+β）α，M：=1-βα，b（v，a）：=2（a+β）vα，和w（v，a）：=Δα√irqM+b- M-rqM+b+M+p2M！，（2.1）其中M（v，a）和b（v，a）分别缩写为Mand b。注意，我们可以为v定义新的（0，1）和W（v，a+1）∈ [ 0, ∞) 和a∈ （，2）。此外，当需要强调参数α、β和δ时，我们将上述四个函数分别表示为M（v，a；α，β）、M（α，β）、b（v，a；α，β）和W（v，a；α，β，δ）。3主要结果3.1长期假设我们介绍了我们在模型参数方面的长期假设。假设3.1。α >, -< β ≤ -, β+4<α。现在，我们证明假设3.1是[2]中假设1.1的充分条件，这确保了LRM和MVH策略的存在。提案3.2。根据假设3.1，我们有1。RR（ex-1） ν（dx）<∞,二≥RR（ex-1） ν（dx）>-RR（ex-1） ν（dx）。我们将命题3.2的证明推迟到附录A.1。请注意，命题3.2中的条件2与[2]中假设1.1的第二个条件相同。另一方面，条件1是对[2]中假设1.1的第一个条件的修改，其给出如下：ZR（| x |∨ x） ν（dx）<∞ andZR（ex-1） nν（dx）<∞ 对于n=2，4。首先，RRxν（dx）<∞ andRR（ex-1） ν（dx）<∞ 是冗余的，sinceRR（x∧1） ν（dx）<∞持有。其次，与VG过程不同，NIG过程没有R | x |ν（dx）的完整性。实际上，S是用[2]中关于N的随机积分来描述的。因此，条件rr | x |ν（dx）<∞ 是必需的。

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能者818

2022-6-2 22:29:37

另一方面，描述S asSt=SeLt=SexpZtZRxeN（du，dx）+tZRxν（dx）,我们不需要假设它。3.2最小鞅测度在本小节中，我们关注最小鞅测度（MMM）：一种等价鞅测度，在该测度下，与S鞅部分正交的任何平方可积P-鞅都是鞅。请注意，MMM在二次套期保值问题中起着至关重要的作用。表示uS：=RR（ex-1） ν（dx），Cν：=RR（ex-1） ν（dx），h：=uS/Cν，θx：=uS（ex-1） x的Cν∈ R、如【2】所述，MMM P*在[2]的假设1.1下存在，其RadonNikodym密度给出为dp*dP=expZRlog（1-θx）eN（[0，T]，dx）+TZR（log（1-θx）+θx）ν（dx）.注意，θx<1适用于任何x∈ Runder假设3.1，提案3.2。此外，P*不仅是MMM，而且是我们设置中的方差最优鞅测度（VOMM），如[1]所述。注意，VOMM是一个等价鞅测度，其密度使所有等价鞅测度中的L（P）-范数最小。由于MVH策略是使用VOMM描述的，因此我们使用P*表达MVH策略和LRM策略。这里我们准备一些额外的符号。从Girsanov定理来看，eNP*（[0，t]，dx）：=eN（[0，t]，dx）+θxν（dx）是在P*. 这意味着在P*,用νP表示*, 表示为νP*（dx）=（1-θx）ν（dx）。（3.1）然后将L重写为lt=ZRxeNP*（[0，t]，dx）+u*t、（3.2）其中u*:=RR（x- ex+1）νP*（dx），以及P下S的随机微分方程*Is表示为dSt=St-RR（ex-1） eNP公司*（dt，dx）。为了发展基于FFT的数值格式，我们需要在P下明确表示L的特征函数*:φT-t（z）：=EP*[埃兹尔特-t] 对于z∈ C、在陈述之前，我们计算νP*（dx）P下L的L'evy测度*.

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何人来此

2022-6-2 22:29:40

回想一下，ν[α，β，（1+h）δ]（dx）表示具有参数α，β和（1+h）δ的NIG过程的L'evy度量。我们在附录A.3中提供了以下命题的证明。提案3.3。我们有νP*（dx）=ν[α，β，（1+h）δ]（dx）+ν[α，1+β，-hδ]（dx）。现在，我们使用（2.1）中定义的函数W（v，a）表示φ。请注意，W（v，a；α，1+β，δ）也得到了很好的定义，因为根据假设3.1，M（α，β+1）>0。附录A.4给出了以下命题的证明。提案3.4。对于任何v∈ [0, ∞) 和任何a∈ （，2），我们有φT-t（v-ia）=exp（（T-t） i（v）-ia）u*-（1+h）Δβpα- β+hδ（1+β）pα-(1 + β)!)×经验值（T-t）W（v，a；α，β，（1+h）δ）+W（v，a；α，1+β，-hδ）其中u*=RR（x-ex+1）νP*（dx）。3.3局部风险最小化在本小节中，我们介绍如何计算看涨期权的LRM策略（ST- K） +当价格K>0时。首先，我们对索赔F的LRM策略进行了精确定义∈ L（P）。以下内容基于Schweizer的定理1.6【15】。定义3.5。如果ξ满足EhRTSu，则称策略Д=（ξ，η）为L策略-ξudui<∞, V（Д）是一个右连续过程，E[Vt（Д）]<∞ 每t∈ [0，T]。如果VT（ДF）=F，并且[C（ДF），M]是一个统一可积鞅，其中M={Mt}t，则L-策略Д称为权利要求F的LRM策略∈[0，T]是S的鞅部分。请注意，在[2]的假设1.1下，[15]的定理1.6的所有条件都成立，如[3]的示例2.8所示。上述LRM战略的定义是一个简单的版本，因为【14】和【15】中介绍的原始定义相当复杂。现在，一个F∈ L（P）允许F¨ollmerSchweizer分解，如果它可以用F=F+GT（ξFS）+LFST来描述，其中F∈ R、 ξFS={ξFSt}t∈[0，T]是一个满足EhRTSu的可预测过程-（ξFSu）dui<∞, andLFS={LFSt}t∈[0，T]是与M正交的平方可积鞅，LFS=0。

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nandehutu2022

2022-6-2 22:29:44

此外，【15】的命题5.2规定，在【2】的假设1.1下，LRM策略ДF=（ξF，ηF）表示F∈ L（P）存在的充要条件是F允许F¨ollmer-Schweizer分解；其关系式为ξFt=ξFSt，ηFt=F+Gt（ξF）+LFSt-ξFtSt。因此，有必要获得ξFin的表示，以获得ДF。此后，我们将ξfw与ДF进行识别。我们考虑看涨期权（ST-K） +履约价格K>0，作为对冲索赔。现在，我们表示f（K）=（ST-K） +对于K>0，定义函数i（s，t，K）：=ZREP*[（STex-K）+-（ST-K） +| St-= s] （例如-1） ν（dx）。对于s>0，t∈ [0，T]和K>0。[3] 给出了任意t的ξF（K）t的显式表示∈ [0，T]和任何K>0，使用Malliavin演算计算L'evy过程。提案3.6（第【3】号提案4.6）。对于任何K>0和任何t∈ [0，T]，ξF（K）T=I（St-, t、 K）St-Cν。（3.3）此外，[2]引入了I（St）的积分表示-, t、 K）asI（St-, t、 K）=πZ∞K-（四）-a+1ZR（e（iv+a）x-1）（例如-1） ν（dx）φT-t（v-ia）Siv+at-（四+一）（四+一）- 1） dv，其中a∈ （1，2）和右侧与a的选择无关。请注意，出于技术原因，我们将a的范围缩小到（，2），但这并不限制我们对数值模式的发展，因为我们在数值实验中取1.75作为a的值-, t、 K），我们需要计算积分r（e（iv+a）x-1）（例如-1） ν（dx）。现在引理A.1意味着thatZRe（iv+A）x（ex-1） ν（dx）=ZRe（iv+a）x（ex-1） ν（dx）=ZR（e（iv+a+1）x-e（iv+a）x）ν（dx）=ZR（e（iv+a+1）x-1） ν（dx）-ZR（e（iv+a）x-1） ν（dx）=W（v，a+1）-W（v，a），我们有I（St-, t、 K）=πZ∞K-（四）-a+1W（v，a+1）-W（v，a）-W（0，1）φT-t（v-ia）Siv+at-（四+一）（四+一）- 1） dv。

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kedemingshi

2022-6-2 22:29:47

（3.4）因此，我们可以计算I（St-, t、 K）使用【2】中提到的FFT。3.4积分间隔为了用FFT计算积分（3.4），我们将I（St-, t、 K）asI（St-, t、 K）≈πN-1.∑j=0e(-iηj-a+1）对数KW（ηj，a+1）-W（ηj，a）-W（0，1）φT-t（ηj-ia）Siηj+at-（iηj+a）（iηj+a）-1） η，其中N表示网格点的数量，η>0表示相邻网格点之间的距离。该近似值对应于区间[0，Nη]上的积分（3.4），因此我们需要指定N和η以满足πZ∞NηK-（四）-a+1W（v，a+1）-W（v，a）-W（0，1）φT-t（v-ia）Siv+at-（四+一）（四+一）- 1） dv< ε（3.5），对于给定的足够小的值ε>0，表示允许误差。因此，对于（3.5）意义上的给定允许误差ε>0，我们应为（3.4）的积分区间设定足够的长度。以下建议见附录A.5建议3.7。对于ε>0和t∈ [0，T），如果w>1满足√2公里-a+1Sat-C（t）π（t-t） ε2+qα-（a+β）+2（a+1+β）< e（T-t） δw，（3.6）我们有πZ∞工作时间：-（四）-a+1W（v，a+1）-W（v，a）-W（0，1）φT-t（v-ia）Siv+at-（四+一）（四+一）- 1） dv< ε、其中，C（t）定义为asC（t）：=exp（t-t） au*-（1+h）Δβpα- β+hδ（1+β）pα-(1 + β)!)×经验值（T-t） Δα（1+h）qM（α，β）- hqM（α，1+β）（3.7）对于任何t∈ [0，T）。备注3.8。在命题3.7中，T=T的情况被排除在外，但这并不限制我们的数值方法，因为我们不需要在到期时间T- t是0.3.5均值方差Hedging，如第1节“索赔F的MVH策略”所述∈ L（P）被定义为最小化问题minc的解（θF，cF∈R、 θ∈ΘEhF-c-GT（θ）i、其中，Θ是所有可容许策略的集合，数学上是满足EhRTθuSu的R值S-可积可预测过程的集合-酒后驾车<∞.

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可人4

2022-6-2 22:29:50

[1] 给出了指数加性模型的θffo的显式闭式表示，并发展了calloptions（ST- K） +对于指数L'evy模型，执行价格K>0。与LRM策略不同，θFtis的值不仅取决于St-, 还有S从0到t的整个轨迹-. 然而，不可能连续观察S的轨迹。因此，[1]开发了一个数字方案，使用离散观测数据St，St，…，近似计算θfta，Stn，其中n≥ 1和tk：=ktn+1。在引入[1]得到的θfts表示之前，我们需要做一些准备。首先，我们考虑VOMM，它是一个等价鞅测度，其密度在所有等价鞅测度中使l（P）-范数最小。事实上，MMM P*与第3.2小节中提到的我们设置的VOMM一致。接下来，我们定义一个过程E={Et}t∈[0，T]作为随机微分方程Et=1的解- hRtEu-dSu和HF={HFt}t∈[0，T]为HFt：=EP*[F | St-]. 此外，请注意，【1】中的假设2.1符合假设3.1。从[1]的观点来看，看涨期权的MVH策略θF（K）t F（K）=（ST- K） +以闭合形式表示为θF（K）t=ξF（K）t+hEt-St公司-Zt公司-dHF（K）u-ξF（K）udSuEu。现在，过程HF（K）t=EP*[F（K）| St-] 表示为asHF（K）t=πZ∞K-（四）-a+1φT-t（v-ia）Siv+at-（四+一）-1）（iv+a）dv，可使用FFT计算。因此，使用离散观测数据St，St，Stn，我们可以近似地得到θF（K）tasθF（K）t≈ ξF（K）t+Hetnsnn∑k=1HF（K）tk-ξF（K）tkStkEtk，（3.8），其中HF（K）tk=EP*[F（K）| Stk]和tk：=ktn+1对于K=0，1，nt对应于tn+1；并且，fork=1。

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mingdashike22

2022-6-2 22:29:53

，n，我们表示Xtk：=Xtk- Xtk公司-1对于过程X和tk+1=Etk1.-h类Stk+1StkEt=1.4数值结果时，我们考虑2017年5月19日到期的标准普尔500指数（SPX）的欧洲看涨期权，并将套期保值的初始日期设置为2016年5月20日。我们将T乘以1。自2016年5月20日起至2017年5月19日止，共有250个营业日。例如，2016年5月20日和2016年5月23日分别对应于时间0和，因为2016年5月20日是星期五。请注意，我们应将2016年5月20日当天和之后至2017年5月19日（包括2017年5月19日）的250个SPX乳制品收盘价作为离散观测数据。图1显示了SPX的波动。接下来，我们将模型参数设置为α = 25.61598030765035,β = -1.2668546614155765，δ=0.40532772478162127，由2016年4月20日SPX上的欧洲看涨期权数据集校准。注意，上述参数集满足假设3.1。此外，我们选择=2、η=0.25和a=1.75作为与FFT相关的参数，即Nη=2，对于任何t≤当wetakeε=0.01作为我们的允许误差时。作为对冲的未定权益，我们考虑行使价格K=2300、2350和2400的看涨期权；并计算t=，，…，的LRM策略ξF（K）和MVH策略θF（K）tf的值，1使用（3.3）、（3.4）和（3.8）。注意，对于k=1，249，ξF（K）kandθF（K）kare建造于蒂梅克-1使用观测数据，Sk公司-图2-4显示了ξF（K）tandθF（K）tversus乘以t=，1对于K分别为2300、2350和2400的情况。2016年5月20日，2016年11月15日，2016年5月19日，1719502000020502102150220022502300235024002450SPX图1:SPX乳制品收盘价。2016年5月20日至2016年11月15日至2016年5月18日至170.10.20.30.40.50.60.70.80.91K=2300MVHLRM图2：K=2300的LRM策略ξF（K）和MVH策略θF（K）的值。

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何人来此

2022-6-2 22:29:56

蓝色和红色线分别代表ξF（K）和θF（K）t的值。当t很小时，两条线几乎重叠；随着成熟期的临近而逐渐分离。2016年5月20日至2016年11月15日至2016年5月18日至2016年5月170.10.20.30.40.50.60.70.80.9K=2350mVHLRM图3：LRM策略ξF（K）和MVH策略θF（K）TF的值K=2350.20-5月16日至2016年11月15日至2016年5月18日170.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.55K=2400mVHHLRM图4：LRM策略ξF（K）和MVH策略θF（K）TF的值K=2400。附录A。1命题证明3.2为了查看条件1，必须显示∞（例如-1） ν（dx）<∞ 安德烈-1.-∞（例如-1） ν（dx）<∞.首先，我们看到∞（例如-1） ν（dx）<∞. 注意到函数K的索末菲积分表示（例如，参见[9]的附录A）：K（z）=zZ∞经验值-s-z4ss-z为2ds（A.1）≥ 0，我们有∞（例如-1） ν（dx）=ΔαπZ∞（例如-1） eβxK（αx）xdx=ΔαπZ∞α（ezα-1）经验值βαzzZ公司∞zexp-s-z4ss-2dsdz≤Δα4πZ∞αexp4+βαzZ∞zαexp-s-z4ss-2dsdz=δ4πZ∞e-不锈钢-2Z∞αz√2π2sexp(-4sz-2s4+βα)dz×exp(4 + βαs）√2π2sds≤δ4πZ∞e-不锈钢-2·2s4+βα·exp(4 + βαs）√2π2sdt=δ√π4+βαZ∞s-经验值(4 + βα-1.s） ds=δ（4+β）α-(4 + β)-< ∞.请注意，上述第一个不等式由（ezα）给出-1)≤ 任意z的e4zα∈ [α, ∞).接下来，我们展示-1.-∞（例如-1） ν（dx）<∞ 通过与上述类似的论证。注意到（ezα-1)≤ 任何z为1∈ (-∞, -α] ，我们有-1.-∞（例如-1） ν（dx）≤Δα4πZ-α-∞（ezα-1）经验值βαzZ∞zαexp-s-z4ss-2dsdz≤δ4πZ∞e-不锈钢-2Z∞-∞z√2π2sexp(-4sz-2sβα)dz exp公司βαs√2π2sds<∞ .因此，条件1成立。为了确认条件2，我们需要一些准备工作。附录A.2Lemma A.1证明了以下引理。对于任何v∈ [0, ∞) 和任何a∈ （，2），我们有ZRe（iv+a）x-1.ν（dx）=W（v，a）。（A.2）此外，（A.2）对于（v，A）=（0，1）和（v，A+1）的情况仍然适用。我们有-1） ν（dx）=W（0，1）=Δα(√M-pM（0，1））。

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大多数88

2022-6-2 22:30:00

假设3.1意味着- M（0，1）=α(α- β) -(α-(1 + β))=1 + 2βα≤ 0，其中不等式0≥RR（ex-1） ν（dx）为真。看看第二个不平等-ZR（ex-1） ν（dx）=-锆（e2x-1) - 2（ex-1)ν（dx）=-W（0，2）+2W（0，1），足以显示W（0，2）-W（0，1）>0。首先，我们有（0，2）-W（0，1）=Δα√-q2M（0，2）+p2M--q2M（0，1）+p2M= δα-qM（0，2）+qM（0，1）.另一方面，它认为m（0，1）- M（0，2）=α-(1 + β)-根据假设3.1，α+（2+β）α=3+2βα>0。因此，不平等率（例如- 1） ν（dx）>-RR（ex- 1） ν（dx）保持在假设3.1下。A、引理A.1的证明我们从以下引理开始：引理A.2。对于任何γ≥ 如果M＞0，则有ZγZ∞e（iu-M）不锈钢-dsdu=√2πrqM+γ- M+irqM+γ+M-√2米！！证据注：参数θ>0和k>0的伽马分布的特征函数是∞eiuxθkΓ（k）xk-1e级-θxdx=θθ -国际单位K适用于任何u∈ R、式中，Γ（·）是伽马函数。我们有thenZ∞e（iu-M）不锈钢-ds=rMM-iuΓ√M级=√π√M-对于任意M>0和任意u∈ R、因此，我们得到∞e（iu-M）不锈钢-dt=rπp√M+u+M√M+u+ip√M+u- M√M+u！。放置x=√M+u，我们有zγp√M+u+M√M+udu=Z√M+γM√x+M√x个- Mdx=2rqM+γ- MandZγp√M+u- M√M+udu=2rqM+γ+M-2.√2米。这就完成了引理A.2的证明。现在，让我们回到引理A.1的证明。对于任何v∈ [0, ∞) 和任何a∈ （，2），与附录A.1中相同的论证顺序意味着ZRe（iv+a）x-1.ν（dx）=Δα√πZ∞e-不锈钢-ZRe（iv+a）zα-1.√2π2sexp(-4sz-2sβα)dz exp公司βαsds。（A.3）因为我们有Zre（iv+A）zαexp(-4sz-2sβα)dz公司√2π2s=expi2sα（vβ+va）-sα（v- 一-2aβ）,我们得到（A.3）=Δα√πZ∞经验值βα-1.ss-经验值i2sα（vβ+va）-sα（v- 一-2aβ）-1.ds=Δα√πZ∞s-EIB-太太-e-太太ds=Δα√πZ∞s-ie-MSZBEIUDU+ZMMe-美国农业部ds=Δα√πiZbZ∞e（iu-M）不锈钢-dsdu+δα√πZMMZ∞e-美国军舰-dsdu。（A.4）另一方面，我们有ZMMZ∞e-美国军舰-dsdu=ZMM√π√udu=2√π（pM-pM）M，M>0。

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mingdashike22

2022-6-2 22:30:03

因此，使用引理a.2，我们得到（a.4）=Δα√π√2πi（rqM+b- M+irqM+b+M-p2M！）+δα√π√π下午-下午=δα√（irqM+b- M-rqM+b+M+p2M），其中（A.2）适用于任何v∈ [0, ∞) 和任何a∈ （，2）.对于v≥ 0，我们看到（A.2）仍然适用于A+1。为此，确保m（v，a+1）和b（v，a+1）保持非负就足够了。事实上，我们有m（v，a+1）=α-（a+1+β）α≥ 0，and b（v，a+1）=2（a+1+β）vα≥ 0根据假设3.1。类似地，（A.2）对于（v，A）=（0，1），sinceM（0，1）=α的情况如下-(1 + β)α≥α> 0和b（0，1）=0。A、 3命题证明3.3注意0≥ h>-1根据假设3.1和命题3.2，我们得到了νP*（dx）=（1-θx）ν（dx）=（1-h（ex-1））ν（dx）=（1+h）ν（dx）- 十六进制ν（dx）=ν[α，β，（1+h）δ]（dx）+ν[α，1+β，-hδ]（dx）乘以（3.1）。这就完成了命题3.3的证明。A、 4命题3.4的证明为了证明命题3.4，我们从以下引理开始：引理A.3。我们有Zrxν（dx）=Δβpα- β.证据索末菲积分表示（A.1）意味着Zrxν（dx）=δ4πZRz expβαzZ∞经验值-s-z4ss-2dsdz=δ4πZ∞ZRz公司√2π2sexp(-4sz-2sβα)dz公司√2π2s膨胀βαss-2e类-sds=Δβ√παZ∞经验值-1.-βαss-ds=Δβpα- β.请注意，在上述证明中，我们不需要假设3.1。现在，我们展示命题3.4。根据Emma A.3和命题3.3，我们有Zr（iv+A）xνP*（dx）=（iv+a）（1+h）Δβpα- β-hδ（1+β）pα-(1 + β)!.注意W（v，a；α，1+β，-hδ）定义良好，且满足（A.2），因为我们有M（v，A；α，β+1）=M（v，A+1；α，β）≥ 0和b（v，a；α，β+1）=b（v，a+1；α，β）≥ 0。（3.2）表示φT-t（v-ia）=EP*he（iv+a）LT-ti=EP*经验值（T-t）（iv+a）u*+ZR（iv+a）xeNP*（[0，T-t] ，dx）= 经验值（T-t）（iv+a）u*+锆e（iv+a）x-1.-（iv+a）xνP*（dx）= exp（（T-t）（iv+a）u*-（1+h）Δβpα- β+hδ（1+β）pα-(1 + β)!)×经验值（T-t）W（v，a；α，β，（1+h）δ）+W（v，a；α，1+β，-hδ）,由此引出第3.4条。

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何人来此

2022-6-2 22:30:06

A、 5命题3.7的证明为了看命题3.7，我们准备了一个命题和一个引理。为了强调参数α、β和δ，我们将M（v，a）、和b（v，a）分别写为M（v，a；α，β）、M（α，β）和b（v，a；α，β）。提案A.4。对于任何v∈ [0, ∞) 和任何t∈ [0，T），我们有φT-t（v-ia）|≤ C（t）e-（T-t） δv，其中C（t）在（3.7）证明中给出。命题3.4意味着|φT-t（v-ia）|=exp（（T-t）（iv+a）u*-（1+h）Δβpα- β+hδ（1+β）pα-(1 + β)!)×expn（T-t）W（v，a；α，β，（1+h）δ）+W（v，a；α，1+β，-hδ）o= C（t）膨胀(-（T-t）（1+h）Δα√rqM（v，a；α，β）+b（v，a；α，β）+M（v，a；α，β））×exp(-（T-t）(-h） Δα√rqM（v，a；α，1+β）+b（v，a；α，1+β）+M（v，a；α，1+β））≤ C（t）膨胀-（T-t）（1+h）ΔαqM（v，a；α，β）经验值-（T-t）(-h） ΔαqM（v，a；α，1+β）= C（t）膨胀-（T-t） δ（1+h）qv+α-（a+β）+(-h） qv+α-（a+1+β）≤ C（t）膨胀{-（T-t） δv}。注意，最后一个不等式来自α-（a+β）>0和α-（a+1+β）>0根据假设3.1保持。引理A.5。对于任何v∈ [0, ∞) 和任何a∈ （，2），| W（v，a+1）-W（v，a）|≤√2δv+qα-（a+β）+2（a+1+β）持有。证据表示M：=M（v，a+1），b：=b（v，a+1），M：=M（v，a）和b：=b（v，a）简而言之，我们有| W（v，a+1）-W（v，a）|=Δα√irqM+b- M-rqM+b- M-rqM+b+M+rqM+b+M≤ ΔαrqM+b+qM+b.（A.5）由于A+β>0，我们有- M=α（a+1+β）-（a+β）> 0和B-b=4vα（a+1+β）-（a+β）> 0，这意味着（A.5）≤ ΔαrqM+b=√2δq（v+α-（a+β））+4v（a+1+β）=√2δqv+2v（α-（a+β）+2（a+β+1））+（α-（a+β））。（A.6）设置p：=α-（a+β）+2（a+β+1），q：=p-(α-（a+β）），对于任何a，我们都有p>0和q>0∈ （，2）根据假设3.1；和（A.6）=√2δq（v+p）-q≤√2δqv+p≤√2δ（v+√p）。这就完成了引理A.5的证明。命题3.7的证明。

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mingdashike22

2022-6-2 22:30:09

首先，引理A.5意味着πZ∞工作时间：-（四）-a+1W（v，a+1）-W（v，a）-W（0，1）φT-t（iv- a） Siv+at-（四+一）（四+一）- 1） dv≤πZ∞wK-（四）-a+1|W（v，a+1）-W（v，a）|+| W（0，1）|φT-t（iv- a） Siv+at-（四+一）（四+一）- 1)dv≤δK-a+1πZ∞w√2（v）+√p）+√φT-t（iv- a） Siv+at-（四+一）（四+一）- 1)dv，（A.7），其中p在引理证明A.5中定义。请注意，（A.7）中的最后一个不等式自| W（0，1）|=Δα起成立qM（0，1）-下午= ΔαrM-1 + 2βα-下午！≤ Δαr-1 + 2βα≤√2δ根据假设3.1。现在，请注意|（iv+a-1）（iv+a）|=q（a）- 一-v） +（2a-1） v=qv+（2a-2a+1）v+（a- （a）≥ v、因此，命题A.4意味着φT-t（iv）- a） Siv+at-（四+一）（四+一）- 1） dv≤坐-C（t）ve-（T-t） δv.因此，注意到w>1，我们得到（a.7）≤δK-a+1Sat-C（t）πZ∞w√2（v）+√p）+√ve公司-（T-t） δvdv≤δK-a+1Sat-C（t）πZ∞w√2+p2pe-（T-t） δvdv=K-a+1Sat-C（t）π√2(2 +√p） T型-te公司-（T-t） δw。这就完成了命题3.7的证明。参考文献【1】Arai，T.，Imai，Y.：通过Malliavin演算对加性过程进行均值-方差对冲的封闭形式表示，预印本。可用位置：https://arxiv.org/abs/1702.07556[2] Arai，T.、Imai，Y.、Suzuki，R.《指数型电动汽车模型局部风险最小化的数值分析》，《国际理论与应用金融杂志》，第19卷，1650008，（2016）〔3〕Arai，T.、Suzuki，R.《电动汽车市场局部风险最小化》，《国际金融工程杂志》，第2卷，1550015，（2015）〔4〕Barndorff Nielsen，O.E.：正态逆高斯过程和股票收益建模。奥胡斯大学。理论统计系。（1995）[5]Barndorff Nielsen，O.E.：正态逆高斯型过程。《金融与随机》，第2卷，41-68（1997）[6]Barndorff Nielsen，O.E.：正态逆高斯分布和随机波动性建模。

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nandehutu2022

2022-6-2 22:30:13

《斯堪的纳维亚统计杂志》，第24卷，1-13（1997）【7】Benth，F.E.，ˇSaltyt˙E-Benth，J.：《能源市场中的正态逆高斯分布和现货价格建模》，《国际理论与应用金融杂志》，第7177-192卷（2004）【8】Carr，P.，Madan，D.：《使用快速傅立叶变换的期权估价》。，《计算金融杂志》，第2卷，61-73（1999年）。[9] Cont，R.，Tankov，P.：带跳跃过程的金融建模，查普曼和霍尔，伦敦。（2004）[10]德隆，L。，Imkeller，P.：关于由布朗运动和泊松随机测度驱动的时滞发生器的BSDE的Malliavin可微性。随机过程。应用程序。，第120卷，1748-1775（2010）[11]Rydberg，T.H.：正态逆高斯L'evy过程：模拟和近似。统计通信。随机模型，第13卷，887-910（1997）【12】Rydberg，T.H.：关于马尔可夫环境中唯一等价鞅测度存在性的注记。《金融与随机》，第1卷，251-257（1997）[13]Schoutens，W.《金融学中的列维过程：金融衍生品定价》，霍博肯：约翰·威利父子出版社。（2003）[14]Schweizer，M.：通过二次套期保值方法的导游。期权定价、利率和风险管理。，Jouini E.、Cvitanic J.和Musiela M.编辑。剑桥大学出版社，538–574，（2001）[15]Schweizer，M.：多维资产和支付流的局部风险最小化。巴纳赫分。Publ，Vol.83213-229（2008）[16]Sol'e，J.L.，Utzet F.，Vives，J.：规范L'evy过程和Malliavin微积分，随机过程。应用程序。，第117卷，165-187（2007）

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