基金经理的最佳合同，包括注资和

2022-6-9 17:28:49

具有资本注入和内生交易约束的基金经理最佳合同Sergey NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUABSTRACT。在本文中，我们构建了最佳（风险分担）类型委托投资组合管理的最优契约问题的解决方案。我们结果的新颖之处在于：（i）最优契约对财富过程扰动的鲁棒性（解释为资本注入），以及（ii）委托人的目标函数的更一般形式，允许直接依赖于代理人的策略，而不是仅作为所产生财富的函数。特别是，后一个特性允许我们在合同中加入内生交易约束。我们将最优合约问题简化为以下反问题：对于给定的投资组合（以反馈形式定义，作为随机领域），构造一个随机效用，其最优投资组合与给定投资组合一致。我们通过一个随机偏微分方程（SPDE）刻画了该问题的解，证明了其适定性，并在Black-Scholesmodel中显式计算了该解。1、导言在此，我们研究委托投资组合管理问题，其中投资者聘请一名基金经理（简称代理人）在指定的时间段内，将其资本动态投资于可用资产。在期限结束时，投资者收到管理人产生的财富，并支付合同规定的费用。这些费用可以取决于财富水平和其他公开观察的市场指标（如可用资产的价格）。

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2022-6-9 17:28:52

由于投资者可以从产生的财富过程和公开观察的市场指标中推断出代理人的策略，因此相关的最优合同问题属于所谓的“第一最佳”类型，也称为最优风险分担问题。关于委托投资组合管理问题的最优合同设计的现有文献（第一类）包括[13]、[14]、[10]、[2]以及其中的参考文献。[13]和[14]分析了单期模型，而[10]考虑了Black-ScholesMerton模型，投资者和基金经理的指数或幂日期为2018年2月22日。S、 Nadtochiy得到了NSF拨款DMS-1651294的部分支持。在此，我们将文献综述局限于专门处理委托投资组合管理问题的论文，而忽略了一般最优契约理论的讨论，如开创性的工作[3]。2 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA Zariphopouloutilities。[2]中考虑了一般市场模型和一般公用设施，尤其是在市场完全时明确构建了最优合同。目前的工作与现有结果的不同之处在于，（i）我们要求合同对财富过程的扰动具有鲁棒性，以及（ii）我们考虑的合同的一般最优性标准比最终财富的经典预期效用更一般。我们考虑财富过程扰动的主要动机是包括投资者在合同启动后进行的（非自愿）注资。也就是说，我们假设该合同允许投资者（例如，共同基金的大多数费用结构）在其希望的任何时候向其在管理人的账户中添加任意数额的额外资本，并且管理人的费用结构保持不变（即。

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2022-6-9 17:28:55

合同保持不变）。请注意，双方中的任何一方最初可能都不知道这些时间和金额，甚至可能不知道它们的概率结构。然而，基金中的资本流入可能会从根本上改变基金经理的投资策略（有关资本流入和流出对基金经理行为的影响的更多信息，请参见，例如[1]及其参考文献）。因此，在设计最优契约时，需要考虑代理人在任何中间时间和财富水平下的最优策略，该策略由该契约所诱导。从数学上讲，这意味着代理人的战略应该被视为一个随机领域，针对所有可能的初始投资时间和财富水平进行定义。我们设置的另一个特点是合同的更一般的最优标准。也就是说，我们假设设计合同的实体（称为委托人）除了与该策略产生的财富直接相关外，还可能与代理人使用的策略直接相关。这种偏好结构的主要激励示例是终端财富预期效用的约束最大化，约束条件是不对某些资产进行投资。在这种情况下，委托人的目标包含投资禁止资产的最终罚款，合同的设计必须使代理人遵守这一规则。例如，一家共同基金的监管机构或董事会可能希望强制禁止投资某些“对社会不负责任”的资产，或受制裁公司的资产（我们请读者参阅[12]及其参考资料，了解有关所谓“对社会负责任”基金的更多信息）。

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2022-6-9 17:28:58

然而，校长不能将这样的规则直接写入合同，因为她不遵守代理人的行为。因此，这些约束需要通过合同的设计隐式实施，而合同的设计只能取决于产生的财富和公开观察的因素，这就是我们所说的内生约束。让我们描述一个特定的环境，在这个环境中，资本注入方面的合同稳健性和内生约束非常重要（第4节给出了更详细的公式）。首先，我们假设设计合同的委托人可能与投资者不一致（至少在整个合同期限内可能不一致）。例如，共同基金的费用结构通常是事先规定的，如下一段所述，在我们的环境中，投资者可能与委托人不一致。对于基金经理3和个人投资者而言，最佳合同可以接受也可以放弃。在这种情况下，委托人可能是共同基金的监管机构或董事会。尽管委托人可能与投资者不一致，但我们假设她旨在设计合同，使投资者感到满意：例如，共同基金的董事会希望让他们的投资者高兴，以免他们输给竞争对手。同时，委托人还应确保代理人不投资于禁止资产。因此，委托人确定了一种策略，该策略最大化投资者对终端财富的预期效用，但受到禁止资产不进行投资的限制，并旨在设计一个合同（该合同仅允许取决于产生的财富和公众可观察的市场因素），使该策略对代理人来说是最优的。

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2022-6-9 17:29:01

由于代理人可能进行注资，注资的时间和规模最初未知（即未建模），这项任务变得复杂。也就是说，与委托人不同，投资者可能不关心投资禁止性资产，因此，她可能会进行资本注入，即使这会鼓励代理人违反这一约束。因此，合同必须由委托人选择，以便代理人即使在存在注资的情况下也没有违反约束的动机——这就是我们所说的注资稳健性。在数学方面，本文解决了以下反问题：给定一个足够规则的随机场，找到一个随机效用，其最优投资策略以反馈形式与该随机场一致。我们通过一个线性tochastic偏微分方程（SPDE）刻划了解的性质，证明了它的适定性，并在Black-Scholes模型中显式地计算了解。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们用数学术语精确地描述了最优契约问题。第2.1小节涉及市场模型，第2.2小节介绍了可接受和最优合同的概念。第3节给出了问题的一般解决方案，该解决方案简化为构建优化标准的逆问题，该优化标准为所有初始财富水平生成给定的最优策略（视为随机场）。命题1将该问题与非线性SPDE联系起来，命题2展示了如何将该SPDE线性化，并证明了所得方程的适定性。最后，定理1将这些结果与最优契约问题联系起来。

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2022-6-9 17:29:04

在第4节中，我们考虑了一个特定的环境，其中提出的最优合同概念是自然的，并使用前面章节的一般结果在Black-Scholes模型中构建了一个封闭形式的最优合同。值得注意的是，合同并非由发起方完全设计的案例有很多。例如，根据当地法律，住宅物业的租赁协议通常是标准化的，个人设计新合同的成本可能相当高。此外，法律可能要求合同中存在某些条件，或者可能禁止某些条件：例如，赋予承租人终止协议的权利。或者，委托人可能是初始投资者，与基金经理签订长期合同，并将其财富转移给继任者。继承人不能在截止日期前提取资金，但可以允许他们增加资本，保持委托人规定的费用结构。4第4节中构建的SERGEY NADTOCHIY和THALEIA Zariphopoulouucontract仅取决于财富过程的价值和终端时的可交易资产的价值。因此，它还为问题的第二个最佳（道德风险）版本提供了解决方案，其中委托人只观察财富和市场的最终价值，因此，无法从其观察中完全推断代理人的策略。2、问题公式2.1。市场模式和投资策略。我们确定了随机基础(Ohm, F、 P）并假设公开观察到的过滤F（也称为市场过滤）是W（Rd中的标准布朗运动）生成的过滤的补充。此外，我们假设交易资产的价格过程S=（S。

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可人4

2022-6-9 17:29:07

，Sk）这是一个具有正项的It^o过程Rk，由（1）d log St=tdt+σTtdWt给出，其中对数按项取，u是一个具有Rk值的局部可积随机过程，σ是局部平方可积过程的d×k矩阵，d≥ k、和具有线性独立列。后一种假设被解释为缺乏冗余资产。我们使用符号“AT”来表示矩阵（向量）a的转置。为简单起见，我们将无风险利率设置为零（相当于，我们使用贴现利率）。我们通过（2）λt引入d维随机过程λ，通常称为风险市场价格：=σTt+ut，其中（σTt）+是矩阵σTt的摩尔-彭罗斯伪逆，u是S的漂移：uit=~uit+kσitk/2，对于i=1，k、 σit是σt的第i列。特别是，我们有σTtλt=ut。这种过程λ的存在源于模型中存在套利的假设。用X表示一组对（ξ，τ），其中τ∈ T和ξ∈ L+（Fτ），其中T是所有F-停止时间的集合，L+（Fτ）是所有正Fτ-可测随机变量的集合。从任意（ξ，τ）开始∈ 十、累积财富过程Xπ，ξ，τ由（3）dXπ，ξ，τs=πTsσTsλsds+πTsσTsdWs，s给出∈ （τ，T），Xπ，ξ，τ=ξ，对于任何渐进可测量的过程π，表示自我融资交易策略，上述积分已明确定义。我们假设π是这样的：Xπ，ξ，τ在任何时候都是严格正的。对于每一对（ξ，τ），我们定义此类策略的子集a（ξ，τ），并称任何π∈ A（ξ，τ）（ξ，τ）-可容许的（或者，如果上下文中没有其他内容，则仅可容许）。备注1。可以取消对严格正财富过程的限制。

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2022-6-9 17:29:10

然而，在这种情况下，关于最优策略的假设π*在第3.2小节中提出的初始条件U以及命题2的证明将相应地改变（参见备注7）。基金经理的最佳合同52.2。最优合同。考虑一位投资者，他雇佣了一名代理人，以便将其初始资本X>0投资于上述市场。向代理人提供了一份合同，该合同由可测量的映射C表示：Ohm × (0, ∞) → R、它将财富过程的终值（由代理人通过选择的交易策略π产生）映射到付款（代理人在时间T收到）中。代理人是风险中性的，因为他旨在最大化其预期目标：（4）最大E C（XπT），其中最大化是在所有可接受的策略π上执行的，C是固定的。如果代理人的预期付款未达到给定水平U>0，则代理人不会签订合同。我们将可接受的合同定义为代理人的优化问题适定的合同，从而满足参与约束。定义1。如果以下情况成立，我们称C为可接受的合同对于任何（ξ，τ）∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），C（Xπ，ξ，τT）是绝对可积的存在一个渐进可测量的随机场π*: [0，T]×Ohm ×(0, ∞) → R、 s.t.：–对于任何（ξ，τ）∈ 十、存在唯一的X*,ξ、 τ满足（3），其中π=π*（十）*,ξ、 τ），–对于任何（ξ，τ）∈ 十、 π*（十）*,ξ,τ) ∈ A（ξ，τ），–E C十、*,十、 0吨≥ u、 –对于任何（ξ，τ）∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），EC（Xπ，ξ，τT）| Fτ≤ EC（X*,ξ、 τT）| Fτ, a、只有当π=π时，等式才可能成立*（十）*,ξ、 τ）对于a.e。

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kedemingshi

2022-6-9 17:29:14

（t，ω）在随机区间[τ，t]。任何此类策略π*被称为C-最优。上述定义与经典设置不同的特点是，代理人可以在中间时间重新评估其策略，并从不同的财富水平开始，这可能与迄今为止其策略产生的财富不一致。此外，在每次重新评估时，代理必须遵循最优随机场规定的精确策略：即最优策略是时间一致且唯一的。定义2之后的讨论中给出了对最优合同如此强烈定义的动机，第4节描述了一个具体问题。该合同由一名负责人设计，其目的是最大限度地实现个人目标J的期望，该目标映射任何逐步可测量的随机场π：[0，T]×Ohm × (0, ∞) → R转化为FT可测量的随机变量J（π），应用于代理使用的策略，减去支付给代理的费用：（5）最大E[J（π）- C（XπT）]。6 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUThe在所有可接受的合同C上执行上述最大化，策略π为C-最优。定义2。可接受的合同C*是最优契约问题（4）–（5）的解决方案，也被称为最优契约，如果，对于任何C*-最优策略π*, 任何可容许合同C，和任何C-最优π，我们都有J（π）- CXπ，X，0T≤ EJ（π*) - C*十、*,十、 0吨,其中Xπ，X，0和X*,十、 0与π和π相关的财富过程*, 分别与初始条件Xat时间为零。上述最优契约问题公式与经典公式的主要区别在于，在目前的情况下，委托人需要预测代理人在不同初始财富水平下的战略，这可能与战略本身产生的水平不一致。

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2022-6-9 17:29:17

引言中解释了这种表述的原因：一方面，我们希望在合同启动后允许（积极）注资，另一方面，我们不想对注资的时间或规模强加任何概率结构。在这种稳健的表述中，管理下的资本可能在任何给定时间以“不可预测的方式”发生变化（增加），这自然会迫使代理人改变其战略。然而，定义1确保，即使进行注射，试剂的最佳策略仍然由相同的随机字段给出（仅从不同的级别开始）。因此，在存在未知注资的情况下，合同只能将代理人的最优策略确定为一个随机领域。这使得很自然地将校长的目标定义为此类随机领域的函数。第4节描述了导致当前类型非最优合同问题的具体示例。值得一提的是，在该问题的经典公式中，如果我们假设无资本注入，并将策略视为随机过程，初始财富固定，则最优合约问题通常会简化为所谓的“第一最佳”类型，具有三级解。这是因为，在非退化市场中，可以从财富过程的终值（视为随机变量）推断交易策略。第4.2小节给出了此类琐碎构造的示例。然而，从财富到战略的映射（被视为一个随机过程）取决于初始资本，因此，由此产生的微不足道的解决方案不是稳健的w.r.t.注资。上述最佳合同（第4.3小节中有一个示例）是稳健的w.r.t.此类注射，在经典配方中也是最佳的。

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2022-6-9 17:29:20

因此，特别是它为经典问题提供了另一个非平凡的解决方案。同样重要的是，J（π）可能以更一般的方式依赖于π，而不仅仅是通过xπ。否则，在许多感兴趣的情况下，问题变得微不足道，如第4.2小节所示。正如引言中所讨论的，我们考虑π的一般依赖性的主要动机是存在内生约束。也就是说，我们假设委托人不希望代理人投资某些股票，但不能简单地将其包括在合同中，因为代理人的策略无法直接观察到。基金经理的最佳合同7备注2。请注意，我们允许委托人的个人目标J和合同C相当笼统。然而，校长的总目标以相加的方式将它们结合在一起：J- C、从经济的角度来看，将代理人的费用包括在第J项中可能更为自然，但当前的设置不允许这样做。尽管如此，随后的章节显示，最优合约被构造为C（x）=CT（x），其中C是一个充分的随机变量，因此我们可以定义C（xπT）=C（x）+ZTd CT（xπT）。由于我们假设没有折扣（相当于，我们使用折扣单位），上述表述可以解释为委托人向代理人支付的金额。由于这些付款分布在整个时间间隔[0，T]，因此有可能在委托人的目标中以累加形式证明其存在。备注3。代理人的风险中性假设可以通过假设其费用的预期效用U（C）最大化来放宽。然而，在这种情况下，我们必须将委托人目标中的C替换为U（C），否则代理人的参与约束必须根据预期费用（相对于其费用的预期效用）来制定，这一切都不是很自然的。

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2022-6-9 17:29:24

此外，我们不考虑代理人目标的努力成本。为了能够使用我们的解决方案方法，我们必须接受这些限制。我们将更普遍的偏好和成本结构留给未来的研究。备注4。本文构建的最优契约也是稳健的w.r.t.成熟度。也就是说，我们的方法允许我们构造一个完整的最优合约族，{CT}，所有到期日T>0。因此，我们还解决了一个更一般的最优合同问题（所谓的“第三好”类型），在该问题中，代理人可以选择时间范围（合同开始时），委托人不知道代理人代表的时间范围，因此，她为他提供了所有可能的时间范围的合同菜单。备注5。合同的一个非常可取的特点是其有限责任：即条件C≥ 0、请注意，我们在定义可接受合同时不要求有限责任，我们的一般结果也不能保证该财产符合最佳合同。然而，第4节中构建的最优合同确实满足有限责任条件。3、解决方案让我们试探性地概述解决方案。首先，我们注意到，如果C是一个可容许的合同，并且π*是C-最优的，具有相关的最优财富X*, 合同（6）~C：=提示C（X*T） 8 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUis也可以接受，并且▄C-最优策略集与C-最优策略集相同。此外，EC（X*T） =u。因此，对于每一个C-最优π，将候选合同C限制为EC（Xπ）=u的可容许合同不会失去最优性。

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2022-6-9 17:29:27

这意味着我们可以在委托人的目标中放弃对代理人的预期付款，并解决放松的问题：找到一个随机场π*以及相关的最佳财富X*（初始条件为（X，0）），s.t.π*（十）*) ∈ argmax E J（π），其中最大化在所有π上执行∈ A（X，0）。主要思想是，对于给定的π*, 可容许契约C，s.t.π*是唯一的C-最优策略。如（6）中的规格化C，我们得到了期望的最优契约。因此，最优契约的构造归结为解决以下逆问题：给定一个策略π*（视为随机字段），为任何（ξ，τ）找到可接受的合同C，s.t∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），EC（Xπ，ξ，τT）| Fτ≤ EC（X*,ξ、 τT）| Fτ, a、只有当π=π时，等式才可能成立*（十）*,ξ、 τ）对于随机区间[τ，t]中的a.e.（t，ω）。幸运的是，所谓的前向性能SPDE为此类问题提供了解决方案。在本节剩余部分中，我们将描述此解决方案，由随机场（Ut（x））t给出≥0，x>0，并表明c（x）=uUT（x）U（x），是期望的最优契约。3.1. 正向性能SPDE。回想一下，经典效用最大化问题中的值函数，至少在形式上解决了Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。以下SPDE是非马尔可夫情况下HJB方程的模拟：（7）dUt（x）=kxUt（x）λt+（σTt）+σTtxat（x）kxxUt（x）dt+aTt（x）dWt，t∈ [0，T]，x>0，其中at（x）是渐进可测随机函数的d维向量，在x中连续可微，称为前向性能过程的波动性。It^o-Ventzel公式的应用证明了以下事实（参见[8]、[15]、[4]、[5]）。提案1。

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2022-6-9 17:29:30

假设a=（at（x））t∈[0，T]，x>0，U=（Ut（x））T∈[0，T]，x>0分别是一次和两次连续可微随机流（在[7]的意义上），满足（7），并且使得U在x中严格凹（a.s.始终）。然后，以下内容成立。基金经理的最优合同9（1）对于任何（ξ，τ）∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），过程美国犹他州Xπ，ξ，τtt型∈[τ，T]是一个localsupermartingale（在这个意义上，存在一个使其成为一个permartingale的局部化序列）。（2）假设存在一个渐进可测量的随机场π*, 满足a.s.，对于所有t∈ [0，T]，（8）σTπ*t（x）=-λtxUt（x）+（σTt）+σTtxat（x）xxUt（x），x>0，并且对于任何初始条件（ξ，τ）∈ 十、存在唯一（强）解决方案X*,ξ、 τ至（9）dX*,ξ、 τt=σtπ*t（X*,ξ、 τt）Tλtdt+σtπ*t（X*,ξ、 τt）TdWt，t∈ [τ，T]，X*,ξ,ττ= ξ.然后美国犹他州十、*,ξ、 τtt型∈[τ，T]是局部鞅。（3）假设前两项的条件满足，并且上述局部鞅和局部超鞅分别是真鞅和真超鞅。然后，对于任何（ξ，τ）∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），EUT（X*,ξ、 τT）| Fτ≥ EUT（Xπ，ξ，τT）| Fτa、只有当π=π时，等式才可能成立*（十）*,ξ、 τ）对于随机区间[τ，t]中的a.e.（t，ω）。证明：如上所述，定理的证明很容易从It^oVentzel公式应用到Ut（Xπ，ξ，τt）开始。直接计算验证了前两项索赔。对于最后一种说法，我们只需要注意Ut的漂移（Xπ，ξ，τt）是严格负的，除非πt=π*（Xπ，ξ，τt），带π*由（8）给出。然后，通过条件期望，我们得到了期望的不平等。上述定理的最后一项意味着π*（十）*) 在所有容许策略上最大化标准EUT（XπT），前提是其本身是容许的。

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2022-6-9 17:29:33

当然，要建立这一点，需要（i）求解SPDE（7），（ii）确保π的存在*和X*, （iii）在超鞅和鞅性质中去掉“局部”。确保localsupermartingale（Ut（Xπt））t≥0是一个真正的超鞅，是构造U，使得inft，xUt（x）从下面被一个绝对可积的随机变量所限定，并将initialwealth限制为绝对可积的随机变量。然后，我们也可以通过一个标准在整篇文章中显示，这种过程总是由w.r.t.过滤（Fτ∨t） t型∈[0，T]，其在[0，τ]上的值为Uτ（ξ）。10 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUargument认为局部鞅（Ut（X*t））t≥0是真鞅，当且仅当其期望值在任何时候都与其初始值一致时。当然，还有其他方法可以解决（iii）。要解决（i）和（ii），需要解决（7）。然而，后一个方程存在着与其非线性性质相关的诸多困难，更重要的是，它“时间在错误的方向上运行”（参见[9]，对后一个问题进行了更详细的讨论）。到目前为止，一般形式的解To（7）不存在唯一性或存在性结果。然而，在下一小节中，我们选择了波动过程a的一种特定形式，并展示了如何为任何给定的（足够规则的）策略π构建（7）的唯一解决方案*, 作为随机字段给出。此外，如果（iii）被解析为dπ*（十）*) 是可容许的，我们得到了第2.2小节中公式化的最优契约问题的解。的确，如果π*是委托人的最优策略（即她希望代理人遵循的策略），相关的UT（x）经过适当的规范化，产生期望的最优合同。3.2. 求解正向性能SPDE。

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2022-6-9 17:29:36

假设我们得到一个随机场π*: （R+×）Ohm × (0, ∞), PB（（0，∞))) → （R，B（R）），其中P是逐步可测集的西格玛代数。像往常一样，我们抑制对ω的依赖∈ Ohm. 我们假设π*是一个充分平滑的随机场，精确假设如下。在这一小节中，我们构造了（7）的一个解，使得（8）在给定π下成立*.假设U在（x）处求解（7）和（10）=a（t，x，Ut，xxUt）：=在（(R)x）- λt（Ut（x）- Ut（(R)x））-Zx'xσtπ*t（y）yyUt（y）dy，其中\'x>0是固定常数，且（在（\'x））t≥0是Rd中的任意局部平方可积过程。有了这样的选择，我们有：（11）xat（x）=-σtπ*t（x）xxUt（x）- xUt（x）λt。然后，回顾σtar的列是线性独立的，我们得到（12）xUt（x）λt+（σTt）+σTtxat（x）=-σtπ*t（x）xxUt（x）和（7）变为ut（x）=kσtπ*t（x）kxxUt（x）dt（13）+在（(R)x）- λt（Ut（x）- Ut（(R)x））-Zx'xσtπ*t（y）yyUt（y）dyTDWT以下推导（直到假设1）是启发性的，旨在激发本小节命题2的主要结果。介绍Vt（x）：=xUt（x），我们，形式上，基金经理的最优合约11微分上述方程，得到dvt（x）=x个kσtπ*t（x）kxVt（x）dt公司- （σtπ*t（x）xVt（x）+λtVt（x））TdWt。（14）接下来，我们介绍Rt（x）：=-xVt（x）=-xxUt（x），并正式微分上述方程，以获得drt（x）=x个kσtπ*t（x）kxRt（x）+ x个kσtπ*t（x）kxRt（x）+xx号kσtπ*t（x）kRt（x）dt公司- [σtπ*t（x）xRt（x）+（λt+σtxπ*t（x））Rt（x）]TdWt，（15）具有确定性初始条件R（x）=-xxU（x）。假设1。假设，几乎可以肯定的是，对于每个t≥ 0，函数π*t（·）是五次连续可微且supz∈RkXj=1σijt(z） m级e-zπ*jt（ez）≤ ξt，m=0，5，i=1。

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kedemingshi

2022-6-9 17:29:39

，d，对于一类具有局部有界路径的渐进可测随机过程ξ。对于任意函数φ：R→ R、 m次弱可微，我们定义了标准φkm：=mXj=0ZRr（z）φ（j）（z）dz！1/2，带（16）r（z）：=expη√1+z,有一些常数η>1。在[6]之后，我们将加权Sobolev空间Wm（由从R到R的m次弱可微函数组成）定义为C∞（R）在k.kmnorm中。假设2。假设Uis是严格凹的，xxU（exp（·）），日志(-xxU（exp（·）））∈W、 λ具有局部可积路径。现在，我们给出了本文的主要结果之一。提案2。Letπ*, U、 σ和λ满足假设1和2。然后，存在一个解（15）的唯一随机域R，初始条件R=-xxU，因此rt（log·）取W值。随机场R·（·）几乎肯定是连续的，严格来说是正的。此外，对于任何常数'x>0和任何局部平方可积Rd值过程（在（'x））t≥0，随机场（Ut（x））t≥0，x>0，由（17）Ut（x）=ζt+Zx'xZ给出∞yRt（z）dzdy，12 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA Zariphopoulouwithζt=-kσtπ*t（'x）kRt（'x）dt+aTt（'x）dWt，ζ=U（'x），严格凹形，在x上严格增加，满足（7），波动率a由（10）给出。此外，对于给定的π*, （8）对于任何（ξ，τ），存在（9）的唯一解∈ 十、证明：首先，我们用变量的简单变化来变换（15），X=exp（z），引入▄Rt（z）：=Rt（ez），并且（15）变成▄Rt（z）=h(z+1）ke公司-zσtπ*t（ez）kzRt（z）+ (z+1）ke公司-zσtπ*t（ez）kzRt（z）+(zz+3z+2）ke公司-zσtπ*t（ez）kRt（z）idt（18）-他-zσtπ*t（ez）zRt（z）+λt+(z+1）e-zσtπ*t（ez）~Rt（z）iTdWt，请注意，SPDE（18）是线性的，（退化）抛物线。特别是，它属于[6]中分析的一类方程。

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2022-6-9 17:29:42

在此参考之后，我们参考【6】中的示例2.2和前面的讨论，得出结论，满足【6】中定理2.5的条件，其中m=3，Γ=1。后一个定理指出，（18）存在唯一的广义解▄R，其中▄R（z）=-xxU（ez），这是一个逐步可测量的过程，值为W，在W中有连续的路径。请注意▄Rt∈ Wimplies表示▄Rt（.）是两次连续可微的。因此，随机场R·（·）几乎肯定是连续且严格正的，并且（18）中的空间导数可以理解为经典意义上的。然后，将变量改回x=exp（z），我们得出结论，Rt（x）：=~Rt（log x）解（15）。恢复这些参数，我们得到（15）解的唯一性。接下来，我们证明R是严格正的。请注意，找到一个渐进的、可测量的随机场Y是足够的，例如exp（Y）是（18）的广义解，具有初始条件-xxU（ez）。然后，从唯一性出发，我们得出结论，R，因此R，是正的。为此，我们将Y定义为以下SPDEdYt（z）的唯一广义解=(z+1）ke公司-zσtπ*t（ez）kzYt（z）- 2λTte-zσtπ*t（ez）zYt（z）+(zz+3z+2）ke-zσtπ*t（ez）k- kλt+(z+1）e-zσtπ*t（ez）kdt（19）-e-zσtπ*t（ez）zYt（z）+λt+(z+1）e-zσtπ*t（ez）TdWt，初始条件（z）=logR（z）=log(-xxU（ez））。【6】中的定理2.5指出，上述方程具有唯一的广义解。应用It^o公式，我们推导出exp（Y）在初始条件下解（18）-xxU（ez）。解的唯一性意味着exp（Y）=R，因此，我们得出结论，R严格为正。最后，我们需要验证（25）定义的随机油田U是否定义良好，是否具有所需的性质。

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可人4

2022-6-9 17:29:45

为此，我们定义（x）=Z∞xRt（y）dy。请注意，由于选择了r（参见（16）），并且▄Rt=Rt（exp（·））的值取W W： Z∞xRt（y）dy=Z∞对数xezRt（z）dz≤Z∞日志xr（z）~Rt（z）dz1/2Zlog xe2z-2η√1+zdz1/2< ∞同样，很容易推断出xRt（·）和xxRt（·）在（ε，∞),对于任何ε>0。应用随机Fubini定理（参见文献[11]中的定理64），我们积分（15）得出初始条件V（x）=xU（x）。再次应用统计Fubini-therem，我们对（14）进行积分，以表明（25）定义的U满足PDE（13）。很明显，Ut（·）是严格凹的，因为R是严格正的。然后，选择Tvia（10），我们得出结论，U满足（7）。反过来，方程式（12）得出（8）。最后，假设1意味着σtπ*对于任何初始条件（ξ，τ），t（·）是全局Lipschitz，一致在（t，ω）上，这使得解的存在性和唯一性为（9）∈ 十、备注6。命题2可以用任何正的权函数r进行扩展，满足[6]中的条件（W），这样z∞xe2zr（z）dz<∞, x个∈ R、备注7。对于财富变量x取R中的值的情况（而不是被限制为（0，∞)).这与投资问题相对应，在投资问题中，财富不被限制为正数（参见备注1）。我们没有找到一个统一的配方，允许我们治疗这两种情况（即x∈ R和x>0），我们选择考虑情况x>0。第4节的例子表明，在X>0的情况下，在Black-Scholes模型中，可以明确构建一个满足有限责任条件的最优合同。

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2022-6-9 17:29:48

目前，我们不知道如何确保案例x的有限责任条件∈ R、即使在这个简单示例的上下文中。备注8。使用对偶方法对（7）的解进行了另一种描述，见[4]、[5]。然而，目前的构造要短得多，也更直接，严格来说，为了应用[11]中的定理64，我们需要将R局部化，并在有限域上的积分中传递到极限。为了简洁起见，我们跳过这些常规参数。14 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUus获得明确的解决方案，如第4节所示。还值得一提的是，在[9]中分析了（7）的马尔可夫解。命题1和命题2允许我们建立最优契约的以下特征，这是本文的主要结果。定理1。考虑任何初始资本X>0，以及任何λ和U，满足假设2，并且U（X）>0。假设存在一个渐进可测量的随机场π*, 这样π*σ满足假设1，π*（十）*,十、 0）∈ A（X，0），andEJ（π）≤ EJ（π*) ,对于对于某些可容许合约C，C-最优的任何π，让U如命题2所定义，任何常数'x>0和任何局部平方可积Rd值过程（在（'x））t≥0。那么，以下情况成立。（1）对于任何（ξ，τ）∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），过程美国犹他州Xπ，ξ，τtt型∈[τ，T]是局部上鞅。（2）对于任何（ξ，τ）∈ 十、存在唯一的解决方案X*,ξ、 τ至（9），以及过程美国犹他州十、*,ξ、 τtt型∈[τ，T]是局部鞅。（3）如果上述局部鞅和局部超鞅分别是真鞅和真超鞅，则C*（x）：=UT（x）uU（x）是最佳契约。证明：命题2意味着U、a和π*, 满足命题1的所有假设。定理的前两个陈述紧随其后。

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2022-6-9 17:29:51

为了展示最后一个陈述，我们注意到π的可容许性*（十）*), C的可积性*（Xπ）和命题1的最后一部分，意味着C*是一个可接受的契约*是C*-最优的综上所述，考虑任意可容许契约C和任意C-最优π。那么，我们有ehj（π）- CXπ，X，0T我≤ EJ（π）-u≤ EJ（π*) - u=EJ（π*) - C*十、*,十、 0个,其中，第一个不等式源自C的可容许性和π的C-最优性，第二个不等式源自定理的假设。下一节将说明上述定理的应用。它描述了一个特定的市场模型和一个具体的合同设计问题，目前对最优合同的定义是很自然的，并展示了如何明确构建最优合同。此外，由此产生的最优合同满足有限责任条件：C≥ 0（但是，请注意，定理1不能保证此条件）。基金经理的最佳合同154。在BLACK-SCHOLES模型中，我们假设d=k=2，d log（St）=（u- σ/2）dt+σdWt，d log（St）=（u- σ/2）dt+σ（ρdWt+p1- ρdWt），带有一些u，u∈ R、 σ、σ>0和ρ∈ (-1, 1). 换句话说，σ=σσρ0σp1- ρ, u =uu, λ=（σT）-1u =u/σu-(σρu)/σσ√1.-ρ!.让我们定义一个常数γ∈ (-∞, 0) ∪ （0，1），其含义解释如下。我们让x由所有对（ξ，τ）组成，s.t.τ是值为[0，t]和ξ，ξγ的任何停止时间∈L∩ L+（Fτ）。对于任何（ξ，τ）∈ 十、我们将A（ξ，τ）定义为所有局部可积过程π，s.t的集合。由此得到的Xπ，ξ，τ是严格正的且支持∈[τ，T]Xπ，ξ，τT+E支持∈[τ，T]Xπ，ξ，τtγ< ∞.接下来，考虑一位投资者，她希望聘请一位代理人来管理她的初始capitalX。

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2022-6-9 17:29:54

如导言所述，我们假设代理人和投资者之间的合同由第三方设计，称为委托人（例如，它可以是监管机构、共同基金董事会等）。委托人使用以下个人目标选择最优合同：（20）J（π）=γXπ，X，0Tγ{π≡0}- ∞ · (1 - 1{π≡0}），其中π是一个随机场，Xπ，X，0由（3）生成，其中π=πXπ，X，0. 这一选择背后的理由如下。委托人假设（例如，根据她的估计）典型投资者使用电力公用事业，相对风险规避1-γ、她补充道，不能对S进行投资，因为后者被视为不合适（例如，不道德、受到制裁等）。请注意，投资者可能对约束π不感兴趣≡ 满足0：例如，根据委托人的假设，她可能会以优化预期电力效用为目标，而不受约束。合同启动后，投资者可能有机会在某个停止时间τ将其投资规模增加到随机水平ξ。因为投资者可能不关心约束π≡ 0，先验地，她的注资可能会鼓励代理人违反此约束。委托人和代理人都不知道（ξ，τ）的概率性质（即，我们对注资机会采取奈特不确定性的方法）。特别是，在任何资本注入（ξ，τ）后，代理人将最坏情况下未来情景的预期值最大化，这对应于未来没有资本注入的机会（因为她总是可以选择SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUnot利用这样的机会）。因此，每次注资后（ξ，τ）∈ 十、 agentsolvesmaxπ∈A（ξ，τ）EC（Xπ，ξ，τT）| Fτ.监管机构的任务是双重的。

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2022-6-9 17:29:57

首先，考虑到约束π，她需要确保投资者对合同尽可能满意≡ 也就是说，合同应确保代理人的每一个最优策略都能最大化预期（20）减去预期支付给代理人的款项，即使在投资者注资的情况下也是如此。由于监管机构不知道这些注资，她旨在最大限度地提高投资者的最坏情况，即未来没有注资机会的情况（因为投资者总是选择不利用这种机会）。这将为监管机构带来以下目标：找到可接受的合同C*, s、 t.，对于任何C*-最佳π*, （C）*, π*) 最大化（21）EhJ（π）- C（Xπ，X，0T）表示所有对（C，π）都具有容许的C和C-最优π。很容易看出，如果C*在定义2的意义上，ISA是一个最优合同，然后它解决了监管机构的第一个任务。监管机构的第二项任务是确保投资者不会通过注资鼓励代理人投资第二项资产。这项任务由最优合同C的可采性属性来解决*: 参见定义1和2。事实上，可接受性意味着，在每次注资后，代理人仍然可以遵循在不注资的假设下计算的最优策略（理解为随机场）。后一种策略不投资于S，如对（C*, π*) 最大化目标（21）。在下面的小节中，我们构造了一个最优契约C*明确地4.1. 校长的最优策略。按照第3节开头所述的解决方法，我们首先搜索一个随机场π*1，s.t.π*1（X*) ∈ argmaxγEXπ，X，0Tγ、其中X*是相关的最优财富（从Xat时间零点开始），并且支配所有过程π，s.t.π=（π，0）t∈ A（X，0）。

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2022-6-9 17:30:00

在这种情况下，财富过程满足π，X，0=X∈ R、 dXπ，X，0s=πsσλds+πsσdWs，s∈ [0，T]。上述最优投资问题的解决方案是众所周知的，但为了完整起见，我们在此简要介绍一下。价值函数Vis的关联HJB方程tV+最大π（πsσλxV+（π）σxxV）=0，x>0，t∈ （0，T），V（T，x）=xγ/γ。基金经理的最优合约17该收益率（22）V（t，x）=xγexp（T- t） λγ2（1- γ), π*1t（x）=λσ（1- γ） x，（23）x*= 十> 0，dX*s=λ1- γX*sds+λ1- γX*sdWs，s∈ [0，T]。一个标准的验证参数表明，V确实是优化问题的值函数，π*1（X*) 是最优策略，X*是最佳财富（注意X*是年龄计量布朗运动，因此，π*（十）*) ∈ A（X，0））。特别地，它遵循thatJ（π）≤ J（π*),对于任何π，对于某些可容许的合同C是C-最优的，J由（20）给出。4.2. 伪造最优合同。回想一下，本文中使用的最佳合同概念（参见定义2）比通常的概念更为强大。本定义的主要附加要求是合同是稳健的w.r.t.资本转移。在本小节中，我们将展示如何构建一个不具有此特性的（琐碎的）合同，以说明其差异。回想本金的最优财富过程，X*, 由（23）给出，并考虑以下合同：（24）^C（x）：=u{x*T} （x）注意，只要x*从目前的财富水平来看，这是可以实现的，代理人将始终为X*根据此类合同，Tas为终端财富。从市场的非退化性（即σ的列是线性独立的）可以看出，代理将遵循规定的策略π*（十）*), 由（22）给出，因为这是生成X的唯一策略*T

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2022-6-9 17:30:03

因此，合同^C使委托人和代理人都感到满意。事实上，上述结构在最优合同理论中是众所周知的，它总是适用于第一个最佳（风险分担）问题。然而，由此产生的合同^C在注资方面并不稳健。事实上，如果当前财富水平受到干扰，那么新的一组可达到的最终财富值可能不包括X*塔尼摩尔。在这种情况下，不清楚代理人会选择哪种策略：事实上，在积极资本注入的情况下，合同实际上会激励代理人“损失”（或窃取）资金（严格来说，这在模型中是不允许的，但在实践中肯定会发生）。特别是，无法保证代理人在注资后会遵循对委托人最有利的策略。可以通过使用指标以外的函数修改“虚假”最优合约（24）的定义，例如，获得终端财富不减少的合约。尽管如此，此类修改并不能解决主要问题：在注资后，不能保证代理人遵守规定的战略（被视为arandom油田）。为了结束这一小节，我们说明了以下事实的重要性：（20）给出的委托人J的个人目标取决于更一般18 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUway中的策略π，而不是通过终端财富XπTalone。回想一下，委托人需要确保代理人的策略满足约束π≡ 0（这就是我们所说的内生约束）。

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2022-6-9 17:30:06

然后，如果委托人的个人目标是最终财富的确定函数，例如▄J（Xπ）=γ（XπT）γ，我们可以最大化该目标的期望，以获得最优策略▄*（视为一个随机字段），并选择合同▄C（x）：=▄J（x）uE▄J（x*T）。请注意，EJ（XπT）确实是通过期望的最优策略π最大化的*. 动态编程原理也意味着π*（作为一个随机领域）在任何初始财富水平和任何开始时间对代理人来说都是最优的。因此，从定义2的意义上讲，C将是一个（微不足道的）最优契约。然而，只有当主体的个人目标依赖于π到Xπ时，这种构造才可能。然而，回想一下，在目前的公式中，J（π）通过约束π直接依赖于π≡ 因此，如果我们在agent面对的无约束问题中使用E（XπT）γ作为目标，它可能不会产生相同的最优策略π*. 实际上，在下一小节中明确构建的最优契约与指数γ的幂函数并不一致；事实上，它变成了终端财富的随机函数。4.3. 最优合同。回想一下π*t（x）=（π*1x，0）T，带π*1=λσ(1 - γ），使委托人的个人目标最大化。

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2022-6-9 17:30:10

根据命题2和定理1，我们首先求解SPDE（15），在本例中，它变成了sdrt（x）=σ(π*1） x个xxRt（x）+4σ（π*1） x个xRt（x）+2σ（π*1） Rt（x）dt公司-σπ*1台xRt（x）+λ+ σπ*1.Rt（x）载重吨- λRt（x）dWt，安萨兹Rt（x）=R（t，x，-Wt，-Wt），上述变为(tR公司+yyR年+zzR）dt-yRdWt公司- zRdWt公司=σ(π*1） x个xxR+4σ（π*1） x个xR+2σ（π*1） Rdt公司-σπ*1台xR公司+λ+ σπ*1.R载重吨- λRdWt，相当于tR公司+yyR年+zzR=σ（π*1） x个xxR+2σ（π*1） x个xR+σ（π*1） R，基金经理的最佳合同19yR=σπ*1台xR公司+λ+ σπ*1.RzR=λR。以下规范解决了上述系统：R（t，x，y，z）=R（t，σπ*1y+对数x）e（λ+σπ）*1） y+λz，tR+Ax▄R+（A+B）▄R=0，A：=2λσπ*1.- σ(π*1), B：=λ+ λ.上述方程的具体解由▄R（t，x）=exp给出(-（B）- εA）t- （1+ε）x），R（t，x，y，z）=exp-（B）- εA）t- （1+ε）对数x+λ- εσπ*1.y+λz,任何ε∈ (0, 1). 那么，Rt（x）=x1+εQt，其中Qt=exp-（B）- εA）t-λ- εσπ*1.Wt公司- λWt.让我们定义任意x*> 0，注意λ，σ，U和π*, 满足定理1的假设。要完成构造，请选择“x=1”和“x”=-λ- εσπ*1ε(1 - ε） Qt，在（(R)x）=-λε(1 - ε） Qt，获得（25）Ut（x）=ζt+ZxZ∞yRt（z）dzdy=ζt+QtεZxy-εdy=ζt+Qtε（1- ε）（x1-ε-1），其中ζ=1，dζt=-σ(π*1） Qtdt-λ- εσπ*1ε(1 - ε） QtdWt-λε(1 - ε） QtdWt=ε（1- ε） dQt。ThenUt（x）=Qtε（1- ε） x1-ε、 C类*（x） =uxX号1.-εQT。注意，选择ζ可确保Ut（x）≥ 0，对于所有x>0和所有（t，ω），因此，满足有限责任条件。

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2022-6-9 17:30:13

此外，我们可以将Qtand（因此，Ut（x））表示为两种资产（Sand S）在t时的收益率的确定函数：Wt=σlog（St/S）- λt+σt，Wt=σp1- ρlog（St/S）-ρσp1- ρlog（St/S）+σp1- ρ-σρp1- ρ- λ!t、 20 SERGEY NADTOCHIY和THALEIA ZARIPHOPOULOUQt=exp（λ+λ）- λσ+ επ*1σ(1 - π*1) - λσ- σρp1- ρ!t！×StS公司επ*1+ρλσ√1.-ρ-λσStS公司-λσ√1.-ρ： =bQt、不锈钢，不锈钢.得出结论C*是一个最优契约，仍需验证定理1最后陈述的假设是否满足≥ 定理1的第1部分暗示，对于任何（ξ，τ）∈ X和任意π∈ A（ξ，τ），过程美国犹他州Xπ，ξ，τtt型∈[τ，T]是局部上鞅。由于它是非负的，andUτ（ξ）=常数·Qτξ1-ε∈ 五十、（遵循H¨older不等式），应用Fatou引理得出它是一个超级鞅。接下来，定理1的第2部分暗示美国犹他州十、*,ξ、 τtt型∈[τ，T]是局部鞅。因为这也是积极的，我们有支持∈[0，T]美国犹他州十、*,ξ、 τt≤ 常数Eξ1-εsupt∈[0，T]Qt十、*,1，τt1.-ε!< ∞,它再次从H¨older不等式出发，通过观察到上remum中的表达式是几何布朗运动。上述不平等意味着美国犹他州十、*,ξ、 τtt型∈[τ，T]是真鞅，并且完成了C*是一个最优契约（定理1）。请注意，最优契约C*由终端财富乘以随机标量的幂函数给出。这与委托人的个人目标相反，委托人的个人目标是最终财富的确定函数。随机标量QT本身是市场上两种可用资产产生的收益的幂函数。因此，最优合约有效地衡量了代理人产生的相对于可用资产绩效的最终财富。

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