应用于模型点的无限维投资组合表示

2022-6-10 08:58:17

无限维投资组合表示在人寿保险模型点选择中的应用。我们考虑寻求与固定人寿保险政策组合相关的一组最优模型点的问题。这种最优集合的特点是最小化某个风险函数，该函数根据给定时间范围内利率期限结构的波动来衡量与固定投资组合的平均差异。我们证明了一个表示理论，该理论提供了风险函数的两种可选公式，并且可能与基于敏感性分析的组合免疫的标准方法相关。为此，本文介绍了Banach空间和Malliavin演算中一些随机积分技术的一般框架。讨论了一个考虑全寿命保险单的数值例子。1引言。本文的动机是有效的投资组合表示问题，在该问题中，当允许某些或有限制时，人们试图用具有类似风险的简单投资者来替代市场证券的投资组合。在确定受政策和预算约束的对冲策略，或为了分析和管理目的而降低特定投资组合的规模和复杂性时，人们会遇到这个问题，同时又不会歪曲其固有的风险结构。作为本文的主要目的，我们通过考虑一小群具有代表性的合同（通常称为相关模型点），建立了替换给定的人寿保险单组合的问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-10 08:58:20

监管机构允许寿险公司根据适当的模型点评估任何保单组合的绩效，以减少运营的计算难度，前提是不会导致组合本身的任何重要属性损失。我们通过基于aportfolio比较标准定义合理的最优性概念来解决这个问题。特别是，我们提出了一种方法，该方法包括将某一风险函数最小化，根据利率期限结构在给定时间范围内的变化，衡量原始投资组合和给定模型点集之间的平均差异。我们在[14]中提出的UMD Banach空间中的随机积分理论中，并通过考虑在此框架中开发的一些Malliavin微积分工具，展示了该泛函的两种不同公式，如[9、10]和[11]中所述。主要思想是遵循[3、4]和[6]中考虑的方法，将折扣价格曲线建模为连续函数Banach空间中的有限维动力学，由圆柱形维纳过程驱动。因此，任何债券组合都可以表示为这样一个空间的对偶元素。在这一框架内，通过γ-radonifyingDate的Banach空间，可以自然地描述动力学中的差异成分。日期：2020年3月24日。2010年数学学科分类。60H05-60H07-91G10-91B30。关键词和短语。有限维过程、Malliavin演算、模型点、人寿保险、敏感性分析。作者在科鲁尼亚大学期间撰写。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:58:22

这项工作由欧盟H2020ITN-EID-2014唤醒电话（赠款协议643045）资助。2 ENRICO-FERRIoperators，它提供了Hilbert-Schmidt算子类的扩展[3，4]。第一个公式用Malliavin导数算子表示。特别是，我们获得的标准与[8]中提出的解决债券组合最优套期保值问题的最小化方法类似，在该方法中，通过使用Hilbert空间框架中高斯随机场的Malliavin演算引入了久期的定义。第二个公式是在模型的进一步条件下得到的，它主要涉及贴现曲线动力学的不同组成部分。我们提出的两种替代公式都是通过在Banach空间中调用微分微积分的概念来评估的。在这方面，他们自然地推广了基于敏感性分析的组合免疫标准技术。本文的组织方式如下。第2节回顾了UMD-Banach空间中随机积分理论的结果，以及我们将在本文中使用的Malliavin微积分的概念。虽然我们在本节中给出的大多数结果都是已知的，但为了方便起见，我们证明了那些我们在现有文献中无法以适当形式找到的结果。第三节收集了本文的主要数学结果。尤其是定理1，它显示了上述两个不同公式的等价性。第4节和第5节从财务角度详细描述了我们提议的设置。此外，在整个方法中，还讨论了几个关于投资组合套期保值标准问题的示例。第6节展示了在固定收益框架下处理最优套期保值组合理论的直接应用。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-10 08:58:26

特别是，我们讨论了一个数值例子，其中对债券期限的解释是自然产生的。第7节完全致力于在考虑同质寿险保单的一般投资组合时描述一组最优模型点的问题。然后，在考虑终身保单组合时，讨论了一个类似的数值例子。2设置。我们所考虑的所有向量空间都假定为实数。给定向量空间S和实值a和b，我们写a。Sb表示存在一些仅依赖于S的常数β，因此a≤ βb.进一步，当恒等式a=b通过定义表示时，我们写出a，b。符号在这篇文章的后半部分，我们定义了一个可分离的Hilbert空间H，并写出H·、·IH来表示其内积。我们将始终通过Riesz表示定理来识别H及其对偶。进一步，我们考虑了Banach空间E及其对偶E*. E与E的对偶配对*用h·，·即表示。此外，我们写L（h，E）来表示将h映射到E的有界线性算子的空间。Let(Ohm, F，P）是参考完全概率空间，写I表示实线上的单位区间。在本文中，E值过程是由I索引的E值随机变量的单参数族。在大多数情况下，我们用诱导映射来识别广义值过程Ohm ×I→ E、进一步，一个L（H，E）值过程θ，{θt:t∈ 一} 如果E值过程θH，{θth，t∈ 一} 对于任何h∈ H、我们采用圆柱H-Wiener过程W，{Wt:t∈ 一} 。即

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-10 08:58:28

从H到L的一个单参数有界线性算子族(Ohm), 满足通常条件：（i）对于任何h∈ H、过程W H，{W H:t∈ 一} 是标准布朗运动；（ii）对于任何t，s∈ I和h，h∈ H、一个是E{WthWsh}=（s∧ t）嗨，嗨。因此，我们定义GW，{GWt:t∈ 一} 是HWiener流程产生的强化过滤。我们说，当E值过程适用于适用于人寿保险3过滤GW中模型点选择的有限维投资组合表示时，E值过程即适用。另一方面，H-强可测过程θ：Ohm ×I 7→ 如果E值过程θH适用于任何H，则称L（H，E）适用于任何H∈ H、 γ射线化算子。我们写γ（H，E）来表示L（H，E）中γ-辐射化算子的子空间。特别是，有一个∈ γ（H，E）如果对于某些（或等效地，对于任何）正交基H，H。。。对于H，随机sumPnγnθhn在L的拓扑中收敛(Ohm; E），其中γ，γ。。。表示一系列独立且实值的随机变量，例如γnis标准高斯定律，对于任何n≥ 空间γ（H，E）是一个Banach空间，当赋以kθkγ（H，E）定义的范数时，EXn公司≥1γnθhnE1/2，对于任何θ∈ γ（H，E）。我们记得γ（H，E）是L（H，E）中的一个算子理想，即以下理想性质为真。引理1。设Hbe-Hilbert空间和Eand-EBanach空间。让我们∈L（H，H）和T∈ L（E，E）。那么，如果∈ γ（H，E）1有TθS∈ γ（H，E），而且下面的范数等式成立，kTθSkγ（H，E）≤ kT-kL（E，E）kθkγ（H，E）kSkL（H，H）。证据例如，参见【12】中的定理6.2。当θ∈ γ（H，E）和x*∈ E*, 我们写hx*, θiEto表示γ（H，E）和E之间的H值双配对*, 通过设置hx定义*, θiE，θ*x个*, 其中θ*表示θ的Banach空间伴随算子。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-10 08:58:32

另一方面，从引理1，我们有（1）khx*, θiEkH≤ kx公司*kE公司*kθkγ（H，E）。我们还记得，如果进一步假设E是希尔伯特空间，那么γ（H，E）可以归结为将H映射到E的希尔伯特-施密特算子空间。因此，我们得到了具有相关范数的自然识别码γ（H，R）=H和γ（R，E）=E。下面的引理介绍了跟踪操作符tr（·；·）的符号。引理2。让h，h。。。是H的正交基。对于任何T∈ L（E，E*) 和θ∈ γ（H，E），系列（2）tr（T；θ），Xn≥1hT（θhn），θhniE，收敛，其和不取决于正交基h，h。。。ofH。证据例如，参见[2]中的引理2.3。关于空间γ（H，E）及其进一步性质的详尽描述，请参见[12]和[13]。马立夫导数。在本文中，我们写H=L（I；H）。对于Malliavin意义下的任何E值变量Z可微，我们为其Malliavin导数写DZ。更准确地说，我们将Malliavin导数理解为来自L的closableoperator(Ohm; E）进入L(Ohm; γ（H，E）），（参见，例如，[9，10]和[11]）。我们用Dsuch表示闭包，用H1,2（E）表示L中D的域(Ohm; E）。我们记得H1，2（E）是一个巴拿赫空间，当它被赋以normkZkH1，2（E），{kZkL(Ohm;E） +kDZkL(Ohm;γ（H，E））}1/2，对于任何Z∈ H1,2（E）。类似地，H2,2（E）表示D，D的域o D英寸L(Ohm, E）。当E=R时，我们在特例中写Hk，2，Hk，2（R），表示k=1，2。随机演化。在本文中，我们始终假设E是一个类型为2的UMD空间（参见[10]和[13]）。Letξ∈ L(Ohm; E）是一个强可测的随机变量。考虑一个适应性强可测的E值随机过程b={bt:t∈ 一} ，属于toL(Ohm; L（I；E））。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:58:35

设σ={σt:t∈ 一} 是一类适应的H-强可测L（H，E）-值过程，属于L(Ohm; L（I；γ（H，E）））。此外，我们假设以下条件成立，（3）ξ∈ H1,2（E），b∈ H1,2（L（I；E）），σ∈ H2,2（L（I；γ（H，E）））。下面的结果将在本文的后面部分有用。引理3。过程σ被定义为L的一个元素(Ohm; γ（H，E））。此外，对于k=1，2，我们有σ∈ Hk，2（γ（H，E）），下面的范数不等式成立，（4）kσkHk，2（γ（H，E））。EkσkHk，2（L（I，γ（H，E）））。证据由于空间E被假定为类型2，因此存在一个连续的线性基床：L（I，γ（H，E））→ γ（H，E），算子范数满足kik≤ β、式中，β表示E的2型常数（见[15]，引理6.1）。因此，过程σ被很好地定义为L的一个元素(Ohm; γ（H，E））。此外，还有k·kγ（H，E）。Ek·kL（I；γ（H，E）），因此对于k=1，2，以下不等式成立，（5）k·kHk，2（γ（H，E））。Ek·kHk，2（L（I，γ（H，E）））。因此，由于我们假设σ∈ H2,2（L（I；γ（H，E））），从不等式（5）我们得到σ∈ H1,2（γ（H，E））。我们将使用【13】和【14】中定义的随机积分概念。此外，对于任何L（H，E）值随机可积过程ψ，{ψt:t∈ 一} ，我们将写出EziψtdWt=δ（ψ），其中δ表示L上定义的散度算子(Ohm; γ（H，E）），（见[10]，定理5.4）。对于任何随机可积L（H，R）值过程，It^o等距的形式如下所示。引理4。设ψ，{ψt:t∈ 一} 是一个适应的H-强可测和随机积分过程，取L（H，R）中的值。那么，对于任何t∈ 一、单相ZtψsdWs= EZtkψskHds.证据修复t≥ 1，设hn，表示n≥ 1，是H的正交基。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:58:38

那么，对于anyn≥ 1，过程ψhn，{hψt，hniH:t∈ 一} 关于toW hn，{Wthn:t是随机可积的∈ 一} ，对于任何t∈ I以下表示成立，（6）ZtψsdWs=Xn≥1Zthψs，hniHdWshn，其中（6）中级数的收敛性可以在L的拓扑中理解(Ohm), （见[13]，推论3.9）。无限维投资组合表示应用于人寿保险5中的模型点选择，因为过程W Hn和W Hm对于任何n，m都是独立的≥ 1这样的n 6=m，连同它的等距，对于任何t∈ 我知道了，EZthψs，hniHdWshn·Zthψs，hmiHdWshm= δnmEZthψs，hniHdWshn= δnmEZt | hψs，hniH | ds（7）其中，如果n=m，δnm表示Kroneckerδnm=1，否则δnm=0。因此，我们有ZtψsdWs（i） =EXn公司≥1Zthψs，hniHdWshn=Xn公司≥1Xm≥1E级Zthψs，hniHdWshn·Zthψs，hmiHdWshm（ii）=Xn≥1E级Zt | hψs，hniH | ds= EZtkψskHds.其中，在（i）中，我们使用了表示（6）和（ii）标识（7）。引理5。过程σ是随机可积的。证据结果直接来自于[13]中的推论3.10，因为σ∈ L(Ohm; L（I；γ（H，E）））。考虑E值随机过程ξ，{ξt:t∈ 一} 通过设置确定，（8）ξt，ξ+Ztbsds+ZtσsdWs，对于任何t∈ 一、以下结果取自【11】；为了方便起见，我们提供了一个证明。引理6。对于任何t∈ 一、我们有ξt∈ H1,2（E）。首先，我们证明以下引理。引理7。对于任何t∈ 一、我们有ξt∈ L(Ohm; E）定义明确，且更多∈IkξtkL(Ohm;E） <∞.引理7的证明。注意，由于算子δ是线性的，从H1,2（γ（H，E））到L是连续的(Ohm; E），（见[11]，命题4.3），我们通过调用引理3 thatkδ（σ）kL(Ohm;E）。EkσkH1,2（γ（H，E））。EkσkH1,2（L（I；γ（H，E）））。因此，支持∈IkξtkL(Ohm;E）≤ kξkL(Ohm;E） +kbkL(Ohm;L（I；E））+kδ（σ）kL(Ohm;E）。EkξkL(Ohm;E） +kbkL(Ohm;L（I；E））+kσkH1,2（L（I；γ（H，E）））和ξt∈ L(Ohm; E）对于任何t∈ 我

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-10 08:58:42

如【11】中所述，对于任何t∈ 一、我们理解[0，t]：H→ H作为有界和线性规划者定义的灰∈ H 7→ （[0，t]h）（·），[0，t]（·）h（·）。备注1。根据引理1，我们可以通过设置（Bθ）H，θ（Bh），将[0，t]视为γ（H，H2，2（E））上的一个定义良好的算子，对于任何θ∈ γ（H，H1,2（E））。6引理的ENRICO Ferrioproof 6。注意，通过线性，足以证明δ（[0，t]σ）∈ H1,2（E），对于任何t∈ 一、自ξ起∈ H1,2（E）和b∈ H1,2（L（I，E））。首先，我们可以把σ看作γ（H，H2，2（E））的一个元素，因为引理3中有σ∈ H2,2（γ（H；E））和空间H2,2（γ（H，E））与γ（H，H2,2（E））等距，（见[11]，定理2.9）。因此，根据备注1，我们得到了[0，t]σ∈ H2,2（γ（H，E）），对于任何t∈ 一、因此δ（[0，t]σ）∈ H1,2（E），根据【11】中的命题4.4。3风险功能和优化。设D是一些UMD-Banach空间。a函数ψ：I×E→ 如果D在第一个变量中是可微分的，并且在第二个变量和函数ψ中是连续两次可微分的，则称D为C1,2类，kψ，对于k=1、2和ψ在I×E上是连续的。此外，当满足以下条件时，我们可以说ψ属于C1,2b类，（9）kψk∞, sup（t，x）∈I×Ekψ（t，x）kL（E，D）<∞.在这里和续集中，我们写道kψ表示ψ对第k个分量的导数，对于任何k=1，2。在这一节中，我们总是假设一个E值过程ξ，{ξt:t∈ 一} 通过身份定义（8）是先验的。定义1。我们说函数ψ：I×E→ 如果以下条件成立，则C1,2类的D是相对于ξ的BS函数。（10）ψ（t，ξt）+tr(ψ（t，ξt）；σt）=0，对于任何t∈ 一、下面的结果描述了过程ψ（t，ξt）的动力学，对于t∈ 一、当ψ是相对于ξ的BS函数时。引理8。设ψ：I×E→ D是C1,2类的函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:58:45

当ψ被假定为相对于ξ的aBS函数时，其中有（11）ψ（t，ξt）=ψ（0，ξ）+Ztψ（s，ξs）bsds+Ztψ（s，ξs）σsdWs，a.s.，对于任何t∈ IP车顶。修复t∈ 一、由于函数ψ被假定为C1,2类，根据它的公式（见[2]，定理2.4），我们得到了过程s 7→ ψ（s，ξs）σs，对于s≤ t、 isstochastically可积，以下表示成立，（12）ψ（t，ξt）=ψ（0，ξ）+Ztas（ψ）ds+Ztψ（s，ξs）σsdWs，a.s.where，对于任何s≤ t、我们将（13）设为（ψ），ψ（s，ξs）+ψ（s，ξs）bs+tr(ψ（s，ξs）；σs）。因此，结果直接来自（12）和（13），因为ψ被假定为相对于ξ的bea-BS函数。现在我们引入一类E*-我们将在本文后面使用的有价值的过程。定义2。通过相对于ξ的P-集，我们可以理解E的任何集Φ*-有值和自适应过程φ，{φt:t∈ 一} 从而满足以下条件：（I）对于任何φ∈ Φ，一个有kφk∞< ∞, 我们设置φk的地方∞, inf{C≥ 0:kφtkE*≤ 任何t的C a.s∈ 一} 。（ii）对于任何φ∈ Φ，存在一个函数φ：I×E→ E*C1,2b类，使得φt=Д（t，ξt），a.s.，对于任何t∈ 一、无限维投资组合表示在人寿保险7（iii）模型点选择中的应用∈ Φ，以下恒等式适用于a.s.，（14）hφt，ξtiE=hφ，ξiE+Zthφs，bsiEds+Zthφs，σsiEdWs，注意在定义2中，给定任何φ∈ Φ，变量hφt，σtiE，对于t∈ 一、形成适应的H值过程。在这种特殊情况下，h·、·Ie因此被视为γ（h，E）和E之间的h值双配对*. 此外，从不等式（1）中，可以得到（15）khφt，σtiEkH≤ kφtkE*kσtkγ（H，E），a.s.，对于任何t∈ 一、定义3。固定一个相对于ξ的P集Φ，并考虑函数f:I×E→ R

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:58:48

对于任意φ∈ Φ，过程F（φ），{Ft（φ）：t∈ 一} 定义为（16）Ft（φ），f（t，ξt）- hφt，ξtiE，对于任何t∈ 一、可以说是f和φ相对于ξ的差异过程。如果没有其他规定，其中函数f:I×E→ 对于任意φ，R和相对于ξ的P集Φ是固定的∈ Φ，我们总是写F（φ）来表示F和φ之间相对于ξ的差异过程。引理9。设Φ是相对于ξ的P集，并考虑函数f:I×E→ R、如果f isof等级C1,2b，则有一个Ft（φ）∈ L(Ohm), 对于任何t∈ I和φ∈ Φ，带中断∈IkFt（φ）kL(Ohm)< ∞.证据首先，请注意，因为f（·，0）假设在I上是连续的，所以我们有kf（·，0）k∞, 支持∈I | f（t，0）|<+∞.此外，对于任何t∈ 一、有人认为下列不等式a.s成立，| f（t，ξt）|≤ kfk公司∞kξtkE+| f（t，0）|≤ kfk公司∞kξtkE+kf（·，0）k∞.固定φ∈ Φ，注意| hφt，ξtiE |≤ kφtkE*kξtkEa。s、对于任何t∈ 一、因此，我们获得∈IkFt（φ）kL(Ohm)≤ （k）fk公司∞+ kφk∞) 支持∈IkξtkL(Ohm;E） +kf（·，0）k∞,由于函数f被假定为C1、2b类，再加上定义2中的条件（i）和引理7，因此结果成立。以下结果将在本节后面部分发挥相关作用。引理10。设Φ是相对于ξ和f的P集：I×E→ R是C1，2b类的函数。一个有Ft（φ）∈ H1,2，对于任何t∈ I和φ∈ Φ，带（17）DFt（φ）=(f（t，ξt）- φt）Dξt，a.s.值得强调的是，对于任何t∈ 一、恒等式（17）应视为（18）DFt（φ）=f（t，ξt）Dξt- hφt，DξtiE，尤其是a.s.，因为Dξt∈ L(Ohm; γ（H，E）），对于任何t∈ 一、在恒等式（18）中，我们将h·、·iEas理解为γ（h，E）和E之间的h值对偶对*.引理10的证明。在这里和整个过程中，我们∈ 我

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-10 08:58:51

首先，由于函数fis假定为C1,2b和ξt类∈ H1,2（E）由于引理6，马利维衍生物的链式法则（见[11]，命题3.8）适用，我们得到f（t，ξt）∈ H1,2，带（19）Df（t，ξt）=f（t，ξt）Dξt，a.s.Fix nowφ∈ Φ. 根据定义2中的假设（ii），存在一个函数：I×E→ E*对于C1,2b类，如果恒等式φt=Д（t，ξt）根据其公式（见[2]，定理2.4）保持a.s.8 ENRICO Ferrico为真，我们得出Д（s，ξs）σs，对于s≤ t、是随机可积的，以下表示法适用于a.s.，Д（t，ξt）=Д（0，ξ）+Ztas（Д）ds+Ztχs（Д）dWs，其中，对于s≤ t、我们设置为（Д），Д（s，ξs）+Д（s，ξs）bs+tr(Д（s，ξs）；σs）；χs（Д），ν（s，ξs）σs。因此，给定任何正交基h，h。。。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-10 08:58:55

在H中，It^o公式的扩展（见[2]，推论2.6）应用于对偶对H·、·iEgives、（20）HИ（t，ξt），ξtiE=HИ（0，ξ），ξiE+ZthИ（s，ξs），bsiEds+ZthИ（s，ξs），σsiEdWs+Zthas，ξsiEds+Zthχs，ξsiEdWs+ZtXn≥1hχshn，σshniEds，a.s.作为直接结果，条件（14）与恒等式（20）共同表示χt=0 a.s.，尤其是（21）ν（t，ξt）=0，a.s.另一方面，适用于Malliavin导数的链式规则（见[11]，命题3.8），它给出了Д（t，ξt）∈ H1,2（E*), 带（22）DД（t，ξt）=ν（t，ξt）Dξt，a.s.因此，与恒等式（21）一起，我们得到（23）DД（t，ξt）=0，a.s.应用于配对h·，·iE（见[11]，Lemma3.6）的Malliavin导数的乘积规则，并与（23）一起给出dhД（t，ξt），ξtiE=hDИ（t，ξt），ξtiE+hИ（t，ξt），DξtiE，a.s.=hИ（t，ξt），DξtiEa是的。s、（24）然后，从不等式（1）中，通过自然识别γ（H，R）=H，我们得到kdhД（t，ξt），ξtiEkL(Ohm;H）=E{khИ（t，ξt），DξtiEkH}≤ E{kИ（t，ξt）kE*kDξtkγ（H，E）}≤ kφk∞kDξtkL(Ohm,γ（H，E））因此，由于ξt∈ H1,2（E）由于引理6，我们有hφt，ξtiE∈ H1,2，因此Ft（φ）∈ H1,2。最后，恒等式（17）后面是方程式（19）和（24）中的Malliavin导数的线性。定义4。设Φ是相对于ξ的P-集。给定函数f:I×E→ 类别C1,2b的R，我们指的是函数F：Φ→ 通过设置（25）F（φ），ZIE{| Ft（φ）定义- EFt（φ）|}dt，对于任意φ∈ Φ，作为相对于Φ上f引起的ξ的风险函数。如果没有其他规定，其中函数f:I×E→ R和相对于ξ的P集Φ是固定的，我们总是写F来表示由Φ上的F引起的相对于ξ的风险函数。下面的定理告诉我们，风险泛函（25）允许两种不同的等价表示。无限维投资组合表示在寿险9定理1模型点选择中的应用。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:58:59

设Φ是相对于ξ和f的P集：I×E→ R是C1，2b类的函数。其中之一是，（i）函数F允许以下表示（26）F（φ）=ZIEZt公司E类{(f（t，ξt）- φt）Dsξt | GWs}Hds公司dt，对于任意φ∈ Φ.（ii）在特殊情况下，假设f是相对于ξ的BS函数，bt=0a。s、，对于任何t∈ 一、函数F归结为（27）F（φ）=EZI公司(f（t，ξt）- φt）σtH（1- t） dt公司, 对于任意φ∈ Φ.值得注意的是，由于过程σ取γ（H，E）中的值，因此等式（27）的右侧应理解为(f（s，ξs）- φs）σs，f（s，ξs）σs- hφs，σsiE，其中h·，·ie表示γ（h，E）和E之间的h值对偶对*.定理1的证明基于以下引理。引理11。设Φ是相对于ξ和f的P集：I×E→ R是C1，2b类的函数。在特殊情况下，假设f是相对于ξ的BS函数，bt=0 a.s.，对于任何t∈ 一、我们有a.s.（28）Ft（φ）=F（φ）+Zt(f（s，ξs）- φs）σsdWs，对于任何t∈ I和φ∈ Φ.引理11的证明。修复t∈ 我注意到，由于函数f被假定为相对于ξ的aBS函数，引理8给出了f（t，ξt）=f（0，ξ）+Ztf（s，ξs）bsds+Ztf（s，ξs）σsdWs，a.s.因此，对于任何φ∈ Φ，从条件（14）我们得到变量Ft（φ），对于t∈ 一、允许以下表示，（29）Ft（φ）=F（φ）+Zt(f（s，ξs）- φs）bsds+Zt(f（s，ξs）- φs）σsdWs，a.s。此外，由于bt=0 a.s，表示（29）归结为恒等式（28）。定理1的证明。首先，我们证明了陈述（i）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:59:02

由于f被假定为C1，2b类，从引理10我们得到Ft（φ）∈ H1,2，对于任何φ∈ Φ和t∈ 一、（30）DFt（φ）=(f（t，ξt）- φt）Dξt，a.s.因此，fix t∈ 我注意到，由于变量Ft（φ）是GWt可测的，Clarke-Oconeformula（见[10]，定理6.6）给出了，（31）Ft（φ）- EFt（φ）=中兴通讯{DsFt（φ）| GWs}dWsa。s、另一方面，引理4的直接应用给出，（32）E中兴通讯{DsFt（φ）| GWs}dWs= EZtkE{DsFt（φ）| GWs}kHds,然后，当根据表示（30）重铸恒等式（32）时，与恒等式（31）一起，我们得到（33）E{| Ft（φ）- EFt（φ）|}=EZtkE公司{(f（t，ξt）- φt）Dsξt | GWs}kHds.10恩里科·费里（ENRICO Ferrible）因此，当积分关于变量t的恒等式（33）的两侧时∈ 一、我们获得了表示（26）。我们现在证明陈述（ii）。为此，fixφ∈ Φ，注意EFt（φ）=EF（φ）a.s.，对于任何t∈ 一、因此，由于假设f是相对于ξ的BS函数，且bt=0，因此对于任何t∈ 一、引理11给出了以下表达式适用于a.s.（34）Ft（φ）-EFt（φ）=F（φ）-EF（φ）+Zt(f（s，ξs）-φs）σsdWs，对于任何t∈ 一、然后，对于任意x，设p（x）=| x |∈ R、根据表示（34），对于任何t∈ 一、注意，直接应用It^o的公式（见[2]，定理2.4）得出（35）| Ft（φ）- EFt（φ）|=| F（φ）- EF（φ）|+Zttr(p（Fs（φ）- EFs（φ））；(f（s，ξs）- φs）σs）ds+Ztκs（φ）dWs，a.s.，其中，对于任何s≤ t、我们设置，κs（φ），2（Fs（φ）- EFs（φ））(f（s，ξs）- φs）σs。设h，h。。。是H的正交基，注意p（x）=2，对于任何x∈ R、然后通过定义迹算子tr（·；·），我们得到，tr(p（Fs（φ）- EFs（φ））；(f（s，ξs）- φs）σs）=2Xn≥1(f（s，ξs）- φs）σshn）=2k(f（s，ξs）- φs）σskH。注意E | F（φ）- EF（φ）|=0，因为F（φ）是GW可测量的，因此F（φ）=EF（φ）a.s。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:59:06

因此，从恒等式（35）我们得到，（36）E{| Ft（φ）- EFt（φ）|}=EZtk公司(f（s，ξs）- φs）σskHds.因此，当积分关于t的恒等式（36）的两侧时∈ 一、我们获得表示（27）。定义5。设Υ为某个集合，并考虑一个函数G：Υ→ R、我们称G-最优任意元素ν*∈ 验证了以下不等式（37）G（ν*) ≤ G（ν），对于任何ν∈ Υ.备注2。固定相对于ξ的P集Φ和函数f:I×E→ C1、2b类R。在特殊情况下，当f是相对于ξ的BS函数时，定理1中的陈述（ii）告诉我们一个过程φ*∈ 如果Φ使函数（38）F（φ）=E最小化，则Φ为F-最优Zk公司(f（t，ξt）- φt）σtkH（1- t） dt公司, 对于任意φ∈ Φ.此外，在特定情况下*, ..., x个*n∈ E*假设对于任何φ∈ Φ存在β=（β，…，βn）∈ RN以使以下表示形式适用于truea。s、（39）φt=nXi=1βix*i、对于任何t∈ 一、函数（38）的最小化在分析上是可以管理的，因为它归结为一个二次型优化问题。实际上，当确定任何过程φ时∈ Φ带元素β∈ r为了满足特性（39），功能（38）经必要的修改后可以如下所示：f（β）=nXij=1Aijβiβj- 2nXi=1Biβi+C，对于任何β∈ Rn，无限维投资组合表示，适用于人寿保险中的模型点选择11，其中，对于任何i，j=1。。。，n we setAij=EZhx公司*i、 σ拉杆，hx*j、 σ连接H（1- t） dt公司,Bi=EZf（t，ξt）σt，hx*i、 σ连接H（1- t） dt公司,C=EZk公司f（t，ξt）σtkH（1- t） dt公司.因此，在特殊情况下，当对称矩阵a=（Aij）ij为正定义时，存在唯一的F-最优元素β*∈ Φ. 此外，当定义B，（B，…，Bn）∈ Rn，元素β*∈ Φ是以下n维反问题的解，Aβ*= B、 4最优投资组合问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:59:09

在续篇中，我们将讨论如何提出第3节中的结果，以解决用一些受约束的投资组合替代金融风险敞口的问题，同时不歪曲其在相关固有风险结构方面的表现。在这里以及本文的后半部分，我们总是假设给定投资组合的风险因素由可交易的可观测值表示。其中包括阿斯托克或商品本身的市场价格，或评估整个类别证券价值的一些主要市场基准，如处理固定收益市场时的利率期限结构。在这方面，我们仅指影响财务敞口的市场风险。不考虑其他类型的风险。E的任何元素表示风险因素在某一特定时间的总贴现值，我们将I视为参考时间间隔。为了简单起见，我们假设定义一年的期限，并根据某一天的计数惯例对其任何分数进行评估。示例1。为了验证这些想法，当E被选为某个单位维度n的欧几里德空间时∈ N、那么任意元素的分量x=（x，…，xn）∈ E可以代表n资产在特定时间的贴现市场价格。此外，我们可以选择E作为连续曲线的某个空间，并将其任何元素解释为某一时刻折扣价格曲线的结构。我们假设过程（8）为风险因素的整体贴现值提供了动态。此外，我们考虑任何函数f:I×E→ C1、2B类的R为固定金融风险，我们将变量f（t，ξt）理解为其在任何时间t的贴现值∈ 一、对于相对于ξ的固定P集Φ，我们将解释任何φ∈ Φ为交易员管理的某个风险因素组合的动态。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:59:12

因此，我们将变量hφt，ξtie理解为其在时间t的贴现值∈ 一、请注意，该术语取决于风险因素的总贴现值ξ和投资者的投资组合组成φt。定义2中的假设（ii）不仅仅是技术性的，因为理性投资者在特定时间考虑的策略应该取决于参考市场的演变。另一方面，对于我们的应用，定义2中的身份（iii）概括了众所周知的自我融资条件。我们将F除以Φ引起的相对于ξ的风险函数F视为用Φ内的某个投资组合替换F表示的风险敞口时发生的错误。这种误差是根据风险敞口和所选投资组合之间差异的平均变化来评估的，这是由于基本风险因素在周期I内的波动。在这方面，投资组合φ*∈ 在Φ范围内所有可能的风险中，Φ为12 ENRICO Ferri提供了暴露F固有风险的最佳表示，证明Φ是F-最优的。定理1显示了函数F在算子方面的两个不同公式f、它衡量了金融风险对基本风险因素微小变化的敏感性。在这方面，通过敏感性分析，功能F的优化可被视为组合免疫的概念。市场价值敞口。值得注意的是，在特定情况下，当f假设为相对于ξ的BS函数且bt=0 a.s.，对于任何t∈ 一、引理8确保任何t的sthatef（t，ξt）=Ef（0，ξ）∈ 一、因此，我们可以将定义1视为无风险条件。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:59:16

不同的是，当函数f所代表的金融风险敞口被证明是市场价值的时，它被证明是相对于ξ的BS函数。另一方面，在相同的假设下，引理11导致任何t∈ I和φ∈ Φ.因此，在特殊情况下，当f（0，ξ）=hφ，ξiEa。s、，对于任意φ∈ Φ，对于任何t，一个hasEFt（φ）=0 a.s∈ I和φ∈ Φ，由Φ上的F所诱导的风险函数F归结为toF（φ）=kF（φ）kL(Ohm×I），对于任意φ∈ Φ.这意味着，当金融风险敞口具有市场价值且完全由任何投资组合φ对冲时∈ Φ在时间t=0时，F-最优投资组合φ*∈ Φ是根据强调的风险因素波动，将风险敞口随时间的平均平方差降至最低的值。5受限对冲和剩余风险。设f:I×E→ R是C1、2B类的函数，并乘以相对于ξ的P集Φ。根据定理1，如果存在一个过程φ*∈ Φ，以使以下恒等式适用于a.s.（40）φ*t=f（t，ξt）对于任何t∈ 一、然后φ*结果是F-最优的，因为F（φ*) = 本例中为0。这一事实与投资组合免疫的基于敏感性的套期保值方法是一致的。我们稍后将讨论这种解释。基于敏感性的对冲。假设E与欧几里德空间R重合。因此，写h·，·iEto表示其上的标准欧几里德积，并将E=（E，E）作为其标准基。另一方面，我们假设H与R重合，因此我们将H柱形过程W视为标准的一维布朗运动。考虑到这个框架，请注意，空间γ（H，E）归结为E本身。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-10 08:59:19

因此，我们可以表示过程σ∈ L(Ohm, 通过写出σ=（σ，σ），其中，对于任何I=1，2，实值过程σI={σI，t:t∈ 一} 定义如下：σI，t，hei，σtiE，对于任何t∈ 一、同样，我们写ξI，{ξI，t:t∈ 一} ，对于I=1，2，表示通过设置（41）ξI，t，hei，ξtiE（对于t∈ 一、自始至终，我们假设，对于任何t，a.s.bt=0，σ2，t=0∈ 一、此外，为了简单起见，我们将ξ2,0=1 a.s.无限维投资组合表示设置为适用于人寿保险中的模型点选择13，因为对于I=1，2，以下等式a.s.成立（见【14】，定理4.2），ei，ZtσsdWsE=Zthei，σsiEdWs，对于任何t∈ 一、我们获得了（41）、（42）ξ1，t=ξ1,0+Ztσ1，sdWs，a.s.，ξ2，t=1，a.s.中给出的组件动力学的以下表示。我们fix a函数f：I×E→ C1、2B类的R和相对于ξ的P集Φ。对于任何过程φ∈ Φ，我们认为变量φt，对于t∈ 一、就其组件而言，I=1，2由以下等式定义，φI，t，hei，φtiE，对于任何t∈ 一、提案1。设Φ是相对于ξ的P-集。假设f是相对于ξ的BS函数。如果过程ξ的分量由（42）给出，则（43）F（φ）=EZI公司|(xf（t，ξ1，t，ξ2，t）- φ1，t）σ1，t |（1- t） dt公司, 对于任意φ∈ Φ.证据注意，对于任何t∈ I和x=（x，x）∈ E、我们可以考虑f（t，x）作为E的一个元素，带有组件，f（t，x）=(xf（t、x、x），xf（t，x，x）），因此我们可以设置f（t，x）y，hf（t，x），yiE，表示任意y∈ E、那么，因为根据恒等式（42），我们有bt=0 a.s.，对于任何t∈ 一、 f是相对于ξ的BS函数，结果直接来自定理1中的陈述（ii），注意到σ2，t=0 a.s.，对于任何t∈ 我我们可以将过程ξ的第一部分理解为某些风险资产贴现价格的风险中性动态。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:59:22

此外，我们将其第二部分视为银行账户贴现价值的风险中性模型。函数f表示风险资产上的欧洲未定权益，以及相对于ξ标准的整个类别对冲投资组合的P集Φ。值得注意的是，在存在过程φ的特殊情况下*∈ Φ，使以下等式适用于a.s.，（44）φ*1，t=xf（t，ξt），对于任何t∈ 一、然后工艺φ*结果是F-最优的，因为F（φ*) = 0表示感谢（43）。特别是，恒等式（44）对应于未定权益f的所谓delta hedgingcondition。备注3。假设过程的第一部分φ*∈ Φ满足身份（44）。注意，如果以下条件保持a.s.（45）f（0，ξ）=hφ*, ξiE，一个有F（φ*) = 0 a.s.身份（45）告诉我们，金融风险完全由投资组合φ对冲*∈ 时间t=0时的Φ。在这种特殊情况下，引理11给出Ft（φ*) = 0 a.s.，对于任何t∈ 一、和过程的第二部分φ*因此由以下恒等式φ隐式确定*2，t=f（t，ξt）- φ*1，tξ1，ta。s、，对于任何t∈ 一、此外，值得注意的是，在当前设置中，标识（10）归结为f（t，ξ1，t，ξ2，t）+xxf（t，ξ1，t，ξ2，t）σ1，t=0，a.s.，对于任何t∈ 一、 14 ENRICO Ferries，对应于Black-Scholes型方程，其中无风险利率在任何时候都设置为零。相关性和剩余风险。自始至终，我们分析了集Φ的定义方式可能无法满足条件（40）的情况。当金融风险敞口和复制投资组合实际上取决于两个不同但相关的风险因素时，这种情况变得很有吸引力。假设E和H都与欧几里德空间R重合。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:59:25

因此，写h·，·iEto表示其上的标准欧氏积，并让e=（e，e）作为其规范基础。此外，fix a常数 ∈ (-1，1），并假设内积h·，·iHon h的定义方式为：hei，ejiH=1，如果i=j，且hei，ejiH= 否则设f:I×E→ R是通过设置（46）f（t，x）=he，xiE（对于任何t）定义的函数∈ I和x∈ E、请注意，f属于C1,2b类f（t，x）=e，对于任何t∈ I和x∈ E、设Φ是相对于ξ的P-集，并假设对于任何φ∈ Φ存在一个实值过程φ，{φ2，t:t∈ 一} 对于任何t，以下恒等式为真（47）φt=φ2，te，a.s∈ 一、因此，我们确定任何φ∈ Φ与满足身份的过程φ（47）。提案2。设f为恒等式（46）和Φa P-集给出的函数，P-集相对于ξ验证条件（47）。如果bt=0 a.s.，对于任何t∈ 一、那么（48）F（φ）=EZIkhe，σtiE- φ2，σtiEkH（1- t） dt公司, 对于任意φ∈ Φ.证据首先，请注意f（t，x）=0和f（t，x）=0，对于任何t∈ I和x∈ 一、因此，函数f似乎是相对于ξ的BS函数。此外，请注意f（t，ξt）σt=he，σtiE，对于任何t∈ 一、对于任何φ∈ Φ，thathφt，σtiE=φ2，σtiE，对于任何t∈ 一、然后，结果直接来自定理1。请注意，由于无法找到流程的版本f（t，ξt），对于t∈ 一、属于Φ的，条件（40）可能无法恢复。此外，下面的结果提供了这种情况下F-最优过程的显式特征。提案3。设f为恒等式（46）给出的函数，Φa P-集相对ξ验证条件（47）。如果bt=0 a.s.，对于任何t∈ 一、然后工艺φ*∈ Φ定义为（49）φ*2，t=（σ1，t/σ2，t），对于任何t∈ 一、结果是F-最优的，其中，对于I=1，2，实值过程σI，{σI，t:t∈ 一} 假设（50）hei，σtiE=σI，tei，对于任何t∈ 一、证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:59:28

注意，命题2适用，函数F接受（48）中给出的表示。另一方面，对于任何t∈ 一、一个有（51）khe，σtiE- φ2，σtiEkH=σ1，t- 2.φ2，tσ1，tσ2，t+φ2，tσ2，t，无限维投资组合表示，适用于人寿保险15中的模型点选择，其在φ2，t方面为二次型，在φ2，t=（σ1，t/σ2，t）。因此，当t超过I时，过程φ*∈ Φ由身份定义（49）满意度（φ*) ≤ F（φ），对于任意φ∈ Φ，因此它是F-最优的。请注意，H-Wiener过程W可以理解为二维Wiener过程，对于i=1，2，其组件Wi通过设置来定义，（52）Wi，t，Wtei，对于任何t∈ 一、使用作为它们的瞬时相关性，因为{Wte·Wte}=he，Eit=t、对于任何t∈ 一、因此，我们可以将过程ξ的组成部分视为两个相关风险资产贴现价格的动态。在这种情况下，完美对冲可能无法恢复。实际上，请注意给定φ*∈ Φ由等式（49）定义，数量F（φ*) 对于 < 1，然后消失 = 1，这是两项资产似乎完全相关的特殊情况。那么，我们可以考虑F（φ*) 作为剩余对冲风险。6利率证券组合。在本节中，我们将仔细研究通过考虑零息票债券的投资组合来寻求某些固定收益投资组合的最佳表示的问题，零息票债券是指在未来某个到期日支付一单位特定货币的合同。我们假设处理不受信贷风险影响的理想化债券。i、 e.到期日的付款始终由债券发行人实现。We fix T，（1+∞).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:59:31

因此，我们假设存在一个在任何未来时间T到期的市场价值债券∈ 我们写pt（T）来表示它在时间T的风险中性贴现价格∈ 一、此外，我们还提到了函数T∈ T 7→ pt（T）作为时间T的贴现价格曲线∈ 一、值得强调的是，我们让变量T溢出，因为我们只处理第一年内未到期的债券。价格曲线动态。自始至终，我们考虑一个类型为2的UMD Banach空间E，该空间由T上定义的一些连续实值函数空间表示。对于anyT，我们还假设求值函数δt是连续的，并且在E上有界∈ T另一方面，为了捕捉任何到期特定风险的特征，可以合理地将H设为某些有限维可分离希尔伯特空间，从而将W设为第2节中定义的H柱形过程。考虑到以下定义中引入的空间，Carmona和Tehranchi[3]建议了这种设置的一个实例。定义6。让w：T→ R+是一个正的递增函数。我们写hw来表示绝对连续函数的空间x:T→ R带x（s）→ 0，ass→ +∞, Ztx（s）w（s）ds<+∞,其中x代表x的弱导数。当赋以normkxkHw时，x（1）+ZTx（s）w（s）ds1/2，对于任何x∈ Hw，空间Hw原来是希尔伯特空间，如下面的引理所述。在这方面，我们还记得，任何希尔伯特空间也是类型为2.16 ENRICO Ferriemma 12的UMD Banach空间。让w：T→ R+是一个正的递增函数，使得（53）ZTw（s）-1ds<+∞那么Hw是一个可分的Hilbert空间，对于任何T∈ T证据例如，参见【4】中的第6.3条。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:59:34

在这里以及在续集中，我们将E的任何元素都视为特定时间的贴现价格曲线的可能结构。更准确地说，我们假设贴现价格曲线的风险中性动力学由某个调整的E值过程p={pt:t控制∈ 一} 。在这方面，设σ={σt:t∈ 一} 是一个适应的H-strong可测量过程，因此σ∈ H2,2（L（I；γ（H，E））），如第2节所定义，以及假设p∈ H1,2（E）是一些强GW可测的随机变量。然后，我们设置（54）pt=p+ZtσsdWs，对于任何t∈ 一、此外，让δT∈ E*在T进行评估∈ 注意，对于任何T，pt（T）=hδT，ptiE∈ 一、因此，我们可以将δTas解释为由到期时间为T的零息票债券组成的投资组合∈ 由于以下等式a.s.成立（见【14】，定理4.2），δT，ZtσsdWsE=ZthδT，σsiEdWs，对于任何T∈ 一、恒等式（54）表示在T到期的债券贴现价格的风险中性动态，由（55）pt（T）=p（T）+Ztσs（T）dWs给出，对于任何T∈ 一、其中，为了便于记法，我们设置σt（t），hδt，σsiE。风险功能和投资组合持续时间。设f:I×E→ R是C1、2b类的函数，且fix a P-集Φ相对于恒等式（54）给出的过程P。我们假设对于任何φ∈ Φ存在一些T∈ T，使得（56）φT=α（T）δT，a.s.，对于任何T∈ 一、我们设置，（57）α（T）=p（T）-1f（0，p）。直接的结果是，我们可以通过识别任何过程φ来写Φ=T∈ Φ带T∈ Tsuch条件（56）满足。命题4。设f:I×E→ R是C1，2B类的函数，过程p由（54）给出。设Φ是相对于P的P-集，其元素满足恒等式（56）。如果f是相对于p的aBS函数，则（58）f（T）=EZI公司(f（t，pt）σt- α（T）σT（T）H（1- t） dt公司, 对于任何T∈ T证据结果直接从定理1中的陈述（ii）得到。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-10 08:59:37

实际上，用ξ来识别过程p，注意在本例中，对于anyt，bt=0 a.s∈ 我无限维投资组合表示，适用于人寿保险中的模型点选择17图1。将模型（60）考虑为短速率动力学时，功能（59）的视觉表示。更准确地说，该行表示任何债券到期日T的函数（59）∈ （1，10），其值由左侧垂直轴评估。右侧纵轴评估固定投资组合中债券的名义，如图中的竖线所示。用参数a=0.12、a=0.1、σ=0.16和σ=0.15对模型（60）进行了模拟。为了简单起见，我们考虑了以下情况：对于任何t∈ 一、式中，Д=0.01和Д=0.15。最后，我们设置 = -0.01.我们可以将变量f（t，pt）理解为某个利率证券组合在时间t的贴现值∈ 一、我们解释任意φ∈ Φ是由单一债券组成的特定投资组合相对于固定到期日的动态，以及由其身份给出的名义（57）。因此，我们假设变量hφt，ptiet评估其在时间t的风险中性贴现值∈ 一、值得注意的是，条件（57）是合理的，因为它保证f（0，p）=hφ，piE，因此任何φ∈ Φ提供了相对于时间t=0时f代表的投资组合的完美对冲。我们可以认为*-有值变量f（t，pt）作为时间t时的投资组合持续时间的概念∈ 一、因为它可能代表投资组合对时间t时价格曲线结构的微小变化的敏感性∈ 我

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:59:40

在这方面，请注意，如果f是相对于p的aBS函数，并且存在T*∈ T因此f（t，pt）=α（t*)δT*a、 s.，对于任何t∈ 一、然后表示式（58）给出F（T*) = 0，因此T*结果证明是F-最优的。在这方面，当金融风险f为市场价值时，我们可以将任何f视为最佳T*∈ T作为相关持续时间的概念。数值示例。图1提供了功能（58）的视觉表示，当考虑由三种不同名义和到期日的债券组成的固定投资组合时，其在时间t的风险中性贴现价值∈ I由f（t，pt）=Xk=1,2,3αkpt（Tk）给出，其中αk∈ R和Tk∈ T，对于k=1、2、3.18，尤其是ENRICO Ferrico，垂直条代表与任何到期日Tk相关的债券的名义αkof。由图右侧垂直轴上的标尺评估的任何αkis值。另一方面，该线显示了函数，（59）F（T），E的行为ZI公司Xk=1,2,3αkσt（Tk）- α（T）σT（T）H（1- t） dt公司, 对于T∈ T这是从（58）中派生出来的，其值由图表左侧垂直轴上报告的刻度进行评估。我们考虑了一个控制短期利率过程演化的相关双加性因子高斯模型。更精确地说，设（W，W）为具有某种瞬时相关性的二维维纳过程 ∈ (-1, 1). 短期利率r{rt:t的风险中性动力学∈ 一} 对于任何t∈ 一、其中，对于I=1，2，过程χI，{χI，t:t∈ 一} 由以下Vasicek类型模型给出，（60）χI，t=χI，0-Ztaiχi，tdt+ZtσidWi，t，对于任何t∈ 一、对于某些给定的正参数a和σI，初始条件χI为0∈ R+，其中t∈ I 7→ ν（t）是某种确定性函数。我们参考第4.2节。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 08:59:43

关于所有细节，请参见[1]。该模型在分析上具有足够的可管理性，可以根据短期利率因素（60）为贴现价格曲线写下一个明确的公式，从而通过考虑标准微积分技术来确定过程σ的解析表达式。对于任何T∈ F（T）值是由因子（60）的蒙特卡罗模拟和与时间变量T相关的积分离散化的组合得到的∈ 一、模拟的所有细节都收集在图1.7人寿保险模型积分组合的标题中。欧洲保险公司需要评估其投资组合的价值，并进行敏感性分析，以证明其模型的合规性，通过考虑逐个保单方法的现金流预测。此外，他们可以通过用一些合适的代表性合同（通常称为相关模型点）替换任何同质保单组来计算这些预测。这种方法旨在加快这一过程，通常每天都会进行，因为整个投资组合的复杂性可能会导致计算时间过长。在适当的条件下，此程序是允许的，这样一来，原始投资组合的固有风险结构就不会被歪曲。有关详细信息，请参阅[5]。通过本节，我们评估了确定与某些固定政策组合相关的最佳模型点组合的问题。框架和符号。人寿保险合同通常在投保人的生命周期内提供现金流，或在特定条件下，在其死亡时支付的唯一一次性福利。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝