随机最优控制中的半经典逼近Ⅰ.投资组合

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《Semiclassical approximation in stochastic optimal control I. Portfolio
construction problem》
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作者：
Sakda Chaiworawitkul, Patrick S. Hagan, and Andrew Lesniewski
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
This is the first in a series of papers in which we study an efficient approximation scheme for solving the Hamilton-Jacobi-Bellman equation for multi-dimensional problems in stochastic control theory. The method is a combination of a WKB style asymptotic expansion of the value function, which reduces the second order HJB partial differential equation to a hierarchy of first order PDEs, followed by a numerical algorithm to solve the first few of the resulting first order PDEs. This method is applicable to stochastic systems with a relatively large number of degrees of freedom, and does not seem to suffer from the curse of dimensionality. Computer code implementation of the method using modest computational resources runs essentially in real time. We apply the method to solve a general portfolio construction problem.
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中文摘要：
这是我们研究求解随机控制理论中多维问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的有效近似格式的一系列论文中的第一篇。该方法结合了价值函数的WKB式渐近展开，将二阶HJB偏微分方程简化为一阶偏微分方程，然后用数值算法求解得到的前几个一阶偏微分方程。这种方法适用于自由度相对较大的随机系统，并且似乎不受维数灾难的影响。使用少量计算资源实现该方法的计算机代码基本上是实时运行的。我们应用该方法来解决一个一般的投资组合构建问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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Semiclassical_approximation_in_stochastic_optimal_control_I._Portfolio_construct.pdf
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能者818

2022-5-6 08:41:48

随机最优控制中的半经典逼近。投资组合构建问题Sakda ChaiworawitkulJPMorgan Chase纽约，NY 10179美国帕特里克·S·哈根数学研究所24-29牛津圣吉尔斯福德大学，2018年摘要这是一系列论文中的第一篇，在这些论文中，我们研究了一种有效的近似方案，用于求解随机控制理论中多维问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程。该方法结合了价值函数的WKB式渐近展开，将二阶HJB偏微分方程导出为一阶偏微分方程，然后通过数值算法求解得到的前几个一阶偏微分方程。这种方法适用于自由度相对较大的随机系统，而且似乎不受维数灾难的影响。使用少量计算资源实现该方法的计算机代码基本上是实时运行的。我们应用该方法解决了一个一般的Portfolio构造问题。S.Chaiworawitkul，P.Hagan，和A.Lesniewski内容1简介22投资组合构造问题和HJB方程33 HJB方程的WKB展开54解决WKB层次75广义Merton投资组合模型106解决方案的数值实现12A HARA效用函数族16B修正牛顿法的收敛171简介随机Hamilton Jacobi Bellman（HJB）偏微分方程是随机最优控制理论的基石（[7]、[23]、[19]）。它的解，即价值函数，包含了确定管理底层动态优化问题的最优策略所需的信息。

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大多数88

2022-5-6 08:41:51

众所周知，HJB方程的解析闭式解很难获得，而且它们仅限于基本状态动力学具有简单形式的问题。通常，这些解决方案仅适用于具有一个自由度的系统。研究了各种随机最优控制的数值方法。文献[15]提出了一种基于马尔可夫链近似的方法。这种方法避免完全引用HJB方程，而是基于对基本随机过程的适当离散化。最近的其他方法，如[8]、[14]和[1]，依赖于HJB方程的巧妙离散化方案。这些数值方法通常局限于自由度较低的系统，因为它们容易受到“维数诅咒”的影响。本文提出了一种有效求解一类随机HJB方程的方法，该方程适用于n个自由度的系统，其中n是一个相当大的数（/200）。解决方法基于对完整HJB方程的解析近似，将其简化为一阶偏微分方程的有限层次。这是通过类似于量子力学、光学、定量金融和其他应用科学领域中使用的Wentzel-Kramers-Brillouin（WKB）方法的无符号展开实现的，参见[2]，[13]。方程层次结构中的第一个方程是经典的汉密尔顿-雅可比（HJ）方程，它类似于描述粒子在受外力作用的黎曼方程上的运动的方程。它的结构比完整的HJB方程要简单一些，它的性质已经被很好地理解。这个方程的解本质上是随机系统最优控制的最可能轨迹。

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可人4

2022-5-6 08:41:54

类似的想法，在一个完全不同的设置中已经出现。黎曼几何的语言为HJB方程的WKB展开提供了一个自然的，尽管有点技术性的框架，我们打算在另一篇论文中讨论它。[20]和[12]中的随机最优控制。剩下的方程是线性一阶偏微分方程，系数函数的结构越来越复杂。我们讨论的HJB方程解的近似性质是双重的。首先，我们只求解Hamilton-Jacobi方程和层次结构中的第一个线性偏微分方程。WKB展开式是渐近的，并且期望这两个方程足够接近实际解的性质。层次结构的其余成员被忽略，因为他们认为它们包含的信息不会显著影响解决方案的形状。我们将这种近似称为半经典（或eikonal）近似，类似于物理学中的类似近似。有趣的是，有一类非平凡的随机最优控制问题，其半经典近似产生实际的精确解。本文讨论了这类问题的两个例子。其次，通过数值逼近构造了两个前导阶偏微分方程的解。该数值算法的关键是对哈密顿正则方程（HJ方程的特征方程）进行适当的辛数值积分。在这里，我们使用强大的St¨ormer-Verlet（或leapfrog）方法[11]，[16]对特征进行数值构造。此外，我们还使用牛顿型搜索方法来构造HJ方程的数值解。

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kedemingshi

2022-5-6 08:41:57

该方法使用了一个与汉密尔顿方程相关的变分方程组。这项工作的动机是我们对马科维茨均值-方差投资组合优化的连续时间版本的随机扩展的研究。然而，这里开发的方法应该为实现最终的投资组合构建提供一种实用的方法。然而，我们相信，该方法具有更广泛的兴趣，可以应用于投资组合构造理论之外的一类随机优化问题。2投资组合构造问题和HJB方程我们假设随机性的潜在来源是一个标准的p维维纳过程Z（t）∈ 带有独立分量的Rp，E[dZ（t）dZ（t）t]=Idt。（1）这里，我表示p×p单位矩阵。我们让(Ohm, （F）t≥0，P）表示与维纳过程Z相关的过滤概率空间。我们将投资组合构建问题描述为以下随机控制问题。我们考虑一个受控随机动力系统，其状态由多维扩散过程（X（t），W（t））描述，其值取U×R，其中U 这是一个开放的集合。组件Xi，i=1，n、 X代表投资组合中单个资产的价格，w代表投资组合的总价值。我们假设n≤ p、投资组合中每项资产的分配由（F）t表示≥0-适应的过程（t）∈ 注册护士。（X，W）的动力学由随机微分方程组给出：dX（t）=a（X（t））dt+b（X（t））dZ（t），X（0）=X。（2）漂移和扩散系数U 十、→ a（x）∈ Rnand U 十、→ b（x）∈ Matn，p（R）分别满足通常的H¨older增长条件和二次增长条件，这保证了存在性。Chaiworawitkul，P.Hagan和A.Lesniewskian给出了该系统强解的唯一性。

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kedemingshi

2022-5-6 08:42:01

请注意，我们并不要求投资组合中存在无风险资产：这样的假设是不现实和不必要的。如果想要考虑无风险资产，对a和b的相关组成部分采取适当的限制是足够的。过程W由dW（t）=~n（t）TdX（t），W（0）=W（3）给出。明确地说，等式（3）为：dW（t）=П（t）Ta（X（t））dt+ν（t）Tb（X（t））dZ（t）。（4）我们将过程W称为投资者的财富过程。我们假设投资者有一个固定的时间范围T和效用函数U。我们应将U归类为HARA效用函数家族的成员，参见附录a中财产的定义和摘要。投资者的目标是在T时最大化其财富的预期效用。因此，我们得出了以下成本函数：J[~n]=EU（W（T））, （5）代表投资者的目标函数。LetC（x）=b（x）Tb（x）（6）表示价格过程的瞬时协方差矩阵。出于技术原因，我们应对函数a:U进行以下附加假设→ R和b:U→ Matn，p（R）：（A1）函数a（x）和b（x）对于所有x都是三次连续可微的∈ U.（A2）矩阵C（x）对所有x都是正定义的∈ 尤其是函数x→ C（x）-1是三次连续可微的。因此，我们的目标是找到最佳政策*如果W的终端值。换句话说，我们正在寻求*以至于*= arg sup~nEU（W（T））. （7）我们通过调用随机动态规划来解决这个优化问题，参见[7]、[23]或[19]。这种方法的关键元素是值函数J（t，x，w）。

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能者818

2022-5-6 08:42:05

它由两个要求决定：（B1）它满足贝尔曼的最优性原则，J（t，X（t），W（t））=sup~nEJ（t+dt，X（t+dt），W（t+dt））|Ft, （8）对于所有0≤ t<t，和（B2）它满足终端条件，J（t，X（t），W（t））=U（W（t））。（9）随机最优控制这些条件导致值函数的以下非线性偏微分方程，˙J+sup~n在xJ+~nTawJ+tr（C）xJ）+~nTCxwJ+аTCаwJ= 0，（10）即随机Hamilton-Jacobi-Bellman方程，服从终端条件j（T，x，w）=U（w）。（11）为了求解HJB方程，我们选择了а=а*在形式上最大化了上面的圆括号的表达。换言之，ν*满足感(wJ）Cа+awJ+CxwJ=0。这会导致以下情况：a*= -xwJwJ-wJwJC-1a，（12）称为一阶条件。替换*回到HJB方程，在xJ+tr（C）xJ）-2.wJ(xwJ+C-1awJ）TC(xwJ+C-1awJ）=0。（13）我们通过以下方法求解这个方程：J（t，x，w）=Γ（t，x）U（w）。（14）利用命题A.1，我们发现Γ满足以下非线性偏微分方程：˙Γ+aTxΓ+tr（C）Γ) +κ( 对数Γ+C-1a）TC( 对数Γ+C-1a）Γ=0，（15）根据终端条件Γ（T，x）=1。（16）常数κ仅取决于效用函数，由（94）明确给出。由于这不会导致歧义，我们已经抑制了关于x的导数中的下标x。请注意，最优控制φ*用Γ和U表示如下：*=AU（西）对数Γ+C-1a, （17）其中AU（w）是效用U的绝对风险规避系数。HJB方程的WKB展开式，我们将用渐近展开式，即WKB展开式，写出方程（15）的解。这个展开式的前几个项产生了一个近似解，有时被称为半经典近似或eikonal近似。S.Chaiworawitkul，P。

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能者818

2022-5-6 08:42:08

WKB渐近展开基于协方差矩阵C在某种意义上是“小”的假设。为此，我们对协方差矩阵C进行缩放→ εC，（18）其中ε是一个参数，用于跟踪C的数量级。在计算结束时，ε被设置回1。然后，等式（15）的形式为：˙Γ+aTΓ+εtr（C）Γ) +εκ( 对数Γ+ε-1C-1a）TC( 对数Γ+ε-1C-1a）Γ=0。（19）我们以Γ（t，x）=exp的形式寻求上述方程的解εS（t，x）, （20）式中，S（t，x）的极限为ε→ 0.将该Ansatz代入（19），我们发现S的等式在S+κ+1(S） TCS+κaTC-1a+εtr（C）S） =0。（21）以S表示的最佳控制采用以下形式：*=AUC-1a+εs. （22）我们假设S具有ε的幂的渐近展开式，S（t，x）=S（t，x）+S（t，x）ε+S（t，x）ε+O（ε）。（23）将该展开式代入方程（21）中，得到一个完整的方程层次：˙S+κ+1(S） TCS+（κ+1）aTS+κaTC-1a=0，˙S+（κ+1）（a+S） TCS+tr（C）S） =0，˙S+（κ+1）（a+S） TCS+κ+1(S） TCS+tr（C）S） =0，（24）其中每个Sj满足终端条件：Sj（T，x）=0，对于j=0，1，2。（25）这些方程中的第一个在S中是非线性的。随后的每个方程都是线性偏微分方程，系数取决于前面方程的解。我们将变量p dual定义为x byp，S、（26）并将p称为正则动量与x的共轭。然后我们可以将第一个方程（24）写成˙S+H（x，S） =0，（27）随机最优控制，其中哈密顿量H（x，p）由H（x，p）=2γpTC（x）p+γpTa（x）+V（x）给出，其中V（x）=κa（x）TC（x）-1a（x）。（29）这种非线性偏微分方程是经典的Hamilton-Jacobi方程，参见[4]，[6]。

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能者818

2022-5-6 08:42:11

它的解给出了随机Hamilton-Jacobi-Bellman方程解的一阶近似。从物理学的角度来看，哈密顿量（28）描述了质量为γ的粒子在势V（x）中适当的黎曼流形上运动并受到附加速度依赖力的动力学。层次结构中剩余线性方程组的解对经典解产生次领先的“随机”修正：Γ（t，x）=expεS（t，x）+S（t，x）1+O（ε）. （30）这种近似类似于经典光学中的eikonal近似或经典力学中的半经典近似。4解决WKB层次结构我们现在将描述解决WKB层次结构的方法（24）。由于层次结构中的每个方程都是一阶偏微分方程，因此适当的方法包括应用特征法，参见[4]和[6]。我们首先求解汉密尔顿-雅可比方程（27）。为此，我们记得其特征方程如下所示：˙x（s）=pH（x（s），p（s）），˙p（s）=-xH（x（s），p（s）），˙z（s）=p（s）TpH（x（s），p（s））- H（x（s），p（s）），（31），其中z（s）=s（s，x（s））。这些方程受终端条件的约束：x（T）=y，p（T）=0，z（T）=0，（32），其中p和z的终端条件是（25）和（26）的结果。特征方程（31）中的前两个是与哈密顿量H相关的正则哈密顿方程。常微分方程理论的经典结果（见[3]）保证了上述终值问题的解的存在性和唯一性，至少足够小。此外，该解平稳地取决于终值y。或者，我们可以将其解释为在具有电势的磁场中U上的运动-a（x）受外部势的影响-a（x）TC（x）-1a（x）。S.Chaiworawitkul、P.Hagan和A。

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可人4

2022-5-6 08:42:14

Lesniewski为了分析汉密尔顿方程，首先假设κ6=-1.他们读到：˙x=γ（C（x）p+a（x）），˙p=-十、2γpTC（x）p+γpTa（x）+V（x）,（33）或者，明确地说，˙x=γ（C（x）p+a（x）），˙pi=-2γpTC（x）xip-γ-铂a（x）xi-κa（x）TC（x）-1.夏（x）- κa（x）TC（x）-1.a（x）xi，（34）对于i=1，n、在第6节中，我们将描述一种有效的算法，以数值方式求解这些方程。现在很容易写出哈密顿-雅可比方程的解。实际上，积分（t，x（t））=-ZTtp（s）Tdx（s）- H（x（s），p（s））ds= -ZTt2γp（s）TC（x（s））p（s）- V（x（s））ds（35）定义了汉密尔顿-雅可比方程沿特征x（s），p（s）的解。为了找到溶液S（t，x），对于每个x∈ U、我们通过反转函数y来消除y→ x（t）。具体来说，我们将解x（t）写成形式x（t）=x（t，y）=Φt（y），（36），强调了轨迹对终值的依赖性。我们已经抑制了p的终值，因为它总是被要求为零。然后，对于每一个t<t，都是u的微分同胚。我们设置（t，x）=S（t，x（t，Φ-1t（x）））。（37）这是哈密顿-雅可比方程的理想解。（24）中的第二个方程是一个非齐次线性一阶偏微分方程，可以通过特征线法轻松求解。注意，在一个特征（x（s），p（s）），˙x（s）=γ（C（x（s））a（x（s））+S（S，x（S）））。因此，沿着x（s），扫描方程可以写成一个常微分方程，ddsS（s，x（s））+trC（x（s））S（S，x（S）））= 0，（38），因此其解为：S（t，x（t））=zttrC（x（s））S（S，x（S））ds。（39）随机最优控制与（36）相似，我们写出（t）=p（t，y）=ψt（y）。（40）然后p（t，x），xS（t，x）=ψt（Φ-我们可以写S（t，x）asS（t，x）=zttrC（x（s））p（s，x（s））ds。

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何人来此

2022-5-6 08:42:17

（42）同样地，（24）中第三个方程的解可以显式地写成asS（t，x（t））=2γZTt(S（S，x（S）））TC（x（S））S（S，x（S））ds+zttrC（x（s））S（S，x（S））ds，（43）沿着特征x（s）。请注意，解决方案需要了解S，而S反过来又需要了解S。我们可以继续这个过程来解决Sn，但要了解解决方案的复杂性在n中增加。现在让我们考虑κ=-1，对应于CARA实用程序函数。这就是汉密尔顿的正则方程组：˙x（s）=0，˙p（s）=V（x（s）），˙z（s）=V（x（s）），其中V（x）由（29）定义。因此，x（s）=y，p（s）=-V（y）（T）- s），z（s）=-V（y）（T）- s）因此，哈密尔顿-雅可比方程的解readsS（t，x）=-V（x）（T）- t）。（44）此外，我们很容易发现这是（t，x）=trC（x）V（x）（T）- t），and（t，x）=tr（C（x）)V（x）（T）- t）分别是WKB层次结构的第二和第三个方程的解。S.Chaiworawitkul、P.Hagan和A.Lesniewski5广义Merton投资组合模型在本节中，我们用文献中经常讨论的一类投资组合模型来说明上面开发的扩展方法。也就是说，我们考虑一个资产组合，其价格动态形式为：dXi（t）=ui（Xi（t））dt+σi（Xi（t））dBi（t），Xi（0）=X，（45），即漂移ui（Xi）∈ R和σi（Xi）∈ R是Xionly的函数。上面的布朗运动Bi（t）是相关的，E[dBi（t）dBj（t）]=ρijdt。（46）如果我们设b（t）=Z（t）L，（47）其中Z（t）是标准的n维布朗运动，L是Cholesky分解中的下三角矩阵，ρ=LTL，则该动力学成为（2）的特例。如果我们认为资产的回报率和波动率只是该资产价格的局部函数，而资产之间的依赖性是投资组合的函数，那么模型规格（45）是自然的。

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何人来此

2022-5-6 08:42:22

这类模型概括了Merton[17]，[18]引入和研究的动态投资组合模型。该模型中的协方差矩阵及其逆矩阵由cij（x）=ρijσi（xi）σj（xj），（C（x）给出-1） ij=（ρ）-1） ijσi（xi）σj（xj）。（48）因此，V（x）=κu（x）TC（x）-1u（x），（49）因此，xiV（x）=κdui（xi）dxi- ui（xi）d对数σi（xi）dxiXj（C（x）-1） ijuj（xj）。（50）因此，该模型的汉密尔顿方程为：˙xi=γ（C（x）p）i+ui（xi）,˙pi=-γπd logσi（xi）dxi（C（x）p）i+dui（xi）dxi- κdui（xi）dxi- ui（xi）d对数σi（xi）dxi（C（x）-1u（x））i.（51）这些方程受终值条件的约束：x（T）=y，p（T）=0。（52）随机最优控制我们考虑两个明确的例子：（i）对数正态资产组合，和（ii）均值回复正态资产组合。这些例子的一个特点是，半经典近似实际上是精确解。多元对数正态过程的最优控制。作为上述模型的特例，我们考虑n个资产的投资组合，每个资产都遵循对数正态过程，即ui（xi）=uixi，σi（xi）=σixi，（53），其中ui和σi分别是指收益率和对数正态波动率的常数系数。这基本上是原始的默顿模型。注意，在这个模型中，V（x）=κuTC-1u（54）为常数。这里我们将Cij=ρijσiσj设为1≤ i、 j≤ n、汉密尔顿方程如下：˙xi=γ（C（x）p）i+uixi,˙pi=-γπxi（C（x）p）i+ui.（55）由于p（T）=0，第二个方程的唯一解pi（s）=0。因此，xi（s）=yie-（ui/γ）（T-t）（57）是受终端条件p（t）=y约束的第一个方程的唯一解。这些是Hamilton-Jacobi方程的特征。这意味着s（t，x）=κuTC-1u（T- t），（58）和sj（t，x）=0，（59）表示所有j≥ 1.

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何人来此

2022-5-6 08:42:25

因此*i=AU（w）（C（x）-1u（x））i=AU（w）（C-1u）ixj。（60）半经典解是精确的，它与默顿的原始解一致。多元Ornstein-Uhlenbeck过程的最优控制。另一个可处理的投资组合模型如下。我们考虑n个资产的投资组合，每个资产都遵循Ornstein-Uhlenbeck过程，即ui（x）=λi（°ui- xi）和σi（xi）=σi，其中λiis是资产的平均回归速度，¨uiis是其平均回归水平，σiis是其瞬时波动率。注意，在这个模型中，V（x）是二次的，V（x）=κ（°u）- x） T∧C-1Λ(u - x），（61）S.Chaiworawitkul，P.Hagan和A.Lesniewskiwhere∧∈ Matn（R）是带有λi，i=1，n、因此，哈密顿方程可以用封闭形式求解。事实上，我们发现它们形成了一个线性系统：滴滴涕xp= A.xp+ m、（62）在哪里=-γ-1Λ γ-1C-κ∧C-1Λ γ-1Λ,m=γ-1∧¨uκ∧C-1Λu.（63）受终端条件p（T）=0和x（T）=y影响的系统（62）的溶液如下所示：x（s）p（s）= E-（T）-s） AY+ A.-1米！- A.-1m，（64），其中指数表示矩阵指数函数。这就是汉密尔顿-雅可比方程的特征。这种表示允许我们分别显式地构造Φtandψtin（36）和（40）映射。事实上，它们在y上是线性的，因此Φ是线性的-1t和ψ-1也是线性函数。作为（35）的结果，S（t，x）是x的一个可显式计算的二次函数。因为在当前模型中C与x无关，公式（42）暗示S（t，x）不是零，但与x无关。对WKB层次结构的检查立即显示，对于所有j，sj（t，x）=0，（65）≥ 2.因此，我们得到了以下最优控制公式：*=AU（西）C-1Λ(u - x） +S（t，x）, （66）无进一步更正。

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大多数88

2022-5-6 08:42:28

与对数正态模型一样，这个半经典解变得精确。6.哈密顿-雅可比方程（27）允许闭式解的有趣情况的数值实现。事实上，即使在常数协方差矩阵的情况下，（27）通常也不能以闭合形式求解。在本节中，我们将讨论Hamilton-Jacobi方程的数值求解方法，以及（至少在原则上）整个WKB层次结构，这对于具有相对较大（/200）自由度的系统来说是有效且准确的。Letx（t）=Φt（y），p（t）=ψt（y），（67）随机最优控制表示具有终端条件（32）的Hamilton方程（31）的解。我们的目标是计算所有0的（t，x）和S（t，x）≤ T≤ T和x∈ U.这相当于通过特征线法对第4节中构造的解进行有效的数值实现。我们按照以下步骤进行。第一步。对于给定的终值y和每个t<t，计算x（t）=Φt（y）和p（t）=ψt（y）。第二步。给定x∈ U和t<t确定y，使得x（t）=x。这相当于反转函数y→ Φt（y）。第三步。给定x∈ U和t<t，计算S（t，x）。第四步。给定x∈ U和t<t，计算S（t，x）。现在我们将详细描述这些步骤。第一步。为了构造对（Φt，ψt），我们使用积分汉密尔顿方程[11]，[16]的St¨ormer-Verlet/leapfrog方法。其他流行的数值方法，如欧拉方法或龙格-库塔方法，在应用于哈密顿系统时往往表现不佳。这可以追溯到这样一个事实，即这些方法不考虑潜在的辛结构，尤其是不保留系统相空间中的体积。蛙跳法是一种巧妙的离散哈密顿系统的方法，可以定义辛映射。

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能者818

2022-5-6 08:42:32

作为额外的奖励，St¨ormer Verlet/leapfrog计划是order haccurate。具体来说，我们离散时间范围[t，t]，tk=t+kh，如果k=0，1，N、（68）其中时间步长h=（T- t） /N被适当地选择。我们将连续时间哈密顿系统（31）替换为离散时间动力系统，并让^xk和^pk分别表示x（tk）和p（tk）的近似值。我们要求^xkand^pk遵循数值格式：^pk-= ^pk+hxH（^xk，^pk）-) ,^xk-1=^xk-HpH（^xk，^pk）-) + pH（^xk）-1，^pk-),^pk-1=^pk-+HxH（^xk）-1，^pk-),（69）我们引入了半区间值^pk-. 这些动量中间值的存在是蛙跳方法的关键，它保证了方案是辛的。请注意，（69）中的第一和第二个等式隐含在^pk中-和^xk-分别为1。计算导数得到^pk-= ^pk+h2γa（^xk）^pk-+h2γ^pTk-C（^xk）^pk-+HV（^xk），^xk-1=^xk-h2γC（^xk）+C（^xk）-1)^pk--h2γa（^xk）+a（^xk）-1),^pk-1=^pk-+h2γa（^xk）-1） ^pk-+h2γ^pTk-C（^xk）-1） ^pk-+HV（^xk）-1).（70）S.Chaiworawitkul、P.Hagan和A.Lesniewskit该系统受制于终端条件：^xN=y，^pN=0。（71）注意，（70）中的前两个关系通常不能明确地解决^pk-和^xk-分别为1，因此需要数值求解。这可以有效地实现，例如通过牛顿方法和初始猜测^pk-= ^pk和^xk-1=^xk。事实上，在实践中，牛顿方法的几次迭代可以得到非常精确的解。求解这个系统会得到一个近似的流图^Φt。在本节的整个提醒中，我们将抑制x、p等上的帽子。记住，所有的量都是真实值的数值近似。第二步。为了进行下一步，我们开发了一种算法，用于反转流动图Φt:U→ U如上所述。

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kedemingshi

2022-5-6 08:42:36

根据常微分方程的存在性理论，x和Pd在终值y上平滑展开。因此，灵敏度yΦ和yψ满足以下方程组：ddtyΦ=pxHyΦ+ppHyψ，滴滴涕yψ=-xxHyΦ- xpHyψ，（72）受终端条件的影响yΦ（T，y）=I，yψ（T，y）=0。（73）这种类型的方程称为变分方程，参见例[10]。现在考虑变分系统（72）的近似值，其中H的二阶导数在恒定轨迹（x（t），p（t））=（y，0）下计算。因此，我们得到了以下具有常数系数的线性系统：˙F=Q（y）F+R（y）G，˙G=-U（y）F- Q（y）G，（74）其中矩阵Q、R和U由Q（y）=（κ+1）显式给出a（y）T，R（y）=（κ+1）C（y），U（y）=V（y）。（75）注意Ft（y）≡ F（t，y）是Φt（y），函数y的梯度→ Φt（y）。这个线性系统可以写成更紧凑的形式asddt前景= M（y）前景, （76）其中M（y）=Q（y）R（y）-U（y）-Q（y）, （77）终端条件下的随机最优控制英尺（y）燃气轮机（y）=我. （78）这个问题有一个独特的解决方案，即英尺（y）燃气轮机（y）= E-（T）-t） M（y）我, （79）其中，如前所述，指数表示矩阵指数函数。这个解决方案可以很容易地用计算机代码实现[9]。现在，我们的下一个目标是求解y方程Φt（y）- x=0。（80）为此，我们使用牛顿型方法。寻找梯度Φt（y）在计算上非常昂贵，并且可能会受到数值不准确的影响。幸运的是，为了收敛的目的，用我们刚刚明确计算的Ft（y）来近似它是足够的。在附录中，我们通过证明它收敛于足够小的T来证明这个过程。

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能者818

2022-5-6 08:42:40

下面的伪代码实现了这个搜索算法：eps← 10-13岁← 施乐← 1.0while（err>eps）z← Y- 英尺（y）-1（Φt（y）- x）呃← kz- yky← z（81）上面的范数k·k表示Rn中常见的欧几里德范数。第三步。现在我们可以计算S（t，x）的值了。在Φy=3步中，我们发现-1t（x）。使用步骤1中解释的算法，我们构造离散轨迹（xtk，ptk）。我们把积分（35）写成[tk，tk+1]，S（t，x）=N上的积分之和-1Xk=0Itk，tk+1。（82）我们用L（x（s），p（s））表示（35）中的被积函数，并根据辛普森规则计算每个子积分：Ia，b=ZbaL（x（s），p（s））ds≈L（x（a），p（a））+4L（x（m），p（m））+L（x（b），p（b））（b）- a），（83）式中，m=a+b是a和b.S.Chaiworawitkul，P.Hagan和a.LesniewskiStep 4之间的中点。我们把（42）中的积分分解为[tk，tk+1]，S（t，x）=N上的积分之和-1Xk=0Itk，tk+1。（84）重复使用第3步计算的离散轨迹（xtk，ptk），我们使用辛普森规则计算每个子积分：Ia，b=ZbatrC（x（s））p（s，x（s））ds≈trC（x（a））p（a，x（a））+4C（x（m））p（m，x（m））+C（x（b））p（b，x（b））（b）- a）。（85）中的一阶偏导数上述表达式中的p计算为中心有限差：xjpj（tk，x（tk））≈ptk+1- ptk-12（xtk+1）- xtk-1). （86）A效用函数的HARA族让U（v）表示一个效用函数，即二次可微凹函数。回想一下，与U（v）相关的绝对风险规避系数由au（v）定义：-U′（v）U′（v），（87），而相对风险规避系数由U（v）=-vU′（v）U′（v）=vAU（v）。（88）在本文中，我们考虑了以下四个效用函数：（1）双曲绝对风险规避（HARA）效用，UHARA（v；a，b，γ）=γ1- γa+bγv1.-γ. （89）（2）恒定相对风险规避（CRRA）效用，UCRRA（v；γ）=v1-γ1 - γ.

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能者818

2022-5-6 08:42:43

（90）注意γ是与该效用函数相关的（常数）相对风险规避系数，RU（v）=γ。随机最优控制（3）常数绝对风险规避（CARA）效用，UCARA（v；γ）=-E-γvγ，（91）注意，γ是与该效用函数相关的（常数）绝对风险规避系数，AU（v）=γ。（4）对数（伯努利）效用，ULOG（v）=log（v）。（92）众所周知，HARA效用包括CRRA、CARA和对数效用函数作为极限情况。事实上，UCRRA（v；γ）=UHARA五、0, γ-γ/(1-γ), γ,UCARA（v；γ）=γlimc→∞UHARA（v；1，γ，c），ULOG（v）=limγ→1UCrA（v；γ）。第2节使用了以下命题。命题A.1设U为二次可微函数。比例-U′（v）U′（v）U（v）（93）是常数当且仅当U是HARA效用函数。在这种情况下，其值κ由κ给出=(1 - γ） /γ，对于HARA和CRRA公用事业，-1表示CARA实用程序，0表示日志实用程序。（94）这个命题的证明是一个简单的计算，我们省略了它。B修正牛顿法的收敛性本附录的目的是证明第6节中描述的牛顿法收敛，至少在时间范围T足够短的情况下是收敛的。我们的证明使用了熟悉的数值分析技术[21]和常微分方程组[3]。我们首先陈述以下一般事实。提议B.1让B Rn是一个紧集，设h:B→ B是一个两次连续可微函数。假设h有唯一的简单零y*∈ B、 h（y）*) = 0,h（y）*) 6= 0.（95）S.Chaiworawitkul、P.Hagan和A.LesniewskiLet F:B→ Matn（R）是一个连续可微函数，使得F（y）-1.盟友的存在∈ B、满足以下两个条件。存在一个0<δ<1，如- F（y）-1.h（y）k≤ δ/2，（96）和kF（y）-1.h（y）k≤ δ/2，（97）对于所有y∈ B

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kedemingshi

2022-5-6 08:42:46

然后mapf（y）=y- F（y）-1h（y）（98）是B自身的收缩。证明：我们很容易验证条件（96）和（97）暗示kf（y）k≤ 1.- δ、一丝不苟∈ 因此，f是收缩。作为这个命题和收缩原理的结果，序列y=f（y）=y- F（y）-1h（y），y=f（y）=y- F（y）-1h（y），（99）y在哪里∈ B是任意的，收敛于y*.接下来，我们将证明上述主张适用于我们的具体情况。序列（99）将提供第6节中使用的修正牛顿法。命题B.2假设哈密顿量H（x，p）是三次连续可微的，并设H（y）=Φt（y）- x和F（y）=英尺（x）。然后，有一个T>0和一个紧集B 证明：根据常微分方程的一般理论（见[3]），我们首先注意到，在我们的假设下，存在一个T>0，使得ΦT（y）和ψT（y）是终值问题（31）-（32）的唯一解，并且它们对y有连续导数。此外，从（79）中可以清楚地看出，对于所有的y和maxy，Ft（y）都不是零∈BkFt（y）-1k<∞, （100）maxy∈Bk英尺（y）-1.k<∞. （101）现在，为了证明（96），证明给定η>0，有一个T>0，这样kf（y）就足够了- h（y）k≤ η、（102）对于所有t≤ T的确，基- F（y）-1.h（y）k=kF（y）-1（F（y）- h（y））k≤ 麦克西∈BkF（y）-1kkF（y）- h（y）k≤ 常数×η。随机最优控制为了证明（102），我们设置dt（y）=yΦt（y）yψt（y）-英尺（y）燃气轮机（y）,andNt（y）=xpH（Φt（y），ψt（y））xpH（Φt（y），ψt（y））xpH（Φt（y），ψt（y））xpH（Φt（y），ψt（y））.然后Dt（y）满足以下微分方程组：˙Dt（y）=Nt（y）yΦt（y）yψt（y）- M（y）英尺（y）燃气轮机（y）= M（y）Dt（y）+Et（y），（103）其中Et（y）=（Nt（y）- M（y））yΦt（y）yψt（y）,根据终端条件DT（y）=I.HenceDt（y）=ZtTe（t-s） M（y）Es（y）ds。

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kedemingshi

2022-5-6 08:42:50

（104）作为结果kdt（y）k≤ZtTke（t）-s） M（y）Es（y）k ds≤ 康斯特马克斯特≤s≤TkEs（y）k T≤ 常数max（x，p）∈B×PkH（x，p）kt，其中常数与T无关。集合P是Rn的一个有界子集，其中包含P（t）的向量，表示0≤ T≤ T由于上述最大值是有限的，我们得出结论kDt（y）k≤康斯特。条件（97）是（101）的结果，我们可以选择足够小的B，使kh（y）k小于任何给定的数。参考文献[1]Aguilar，C.O.和Kener，A.J.：最优控制贝尔曼方程的数值解，J.优化理论与应用，160527-552（2014）。[2] 《科学家和工程师的高级数学方法》，Springer Verlag（1999）。[3] Coddington，E.A.和Levinson，N.：常微分方程理论，McGraw-Hill（1955），[4]Courant，R.和Hilbert，D.：数学物理方法，第二卷，Wiley（1966）。S.Chaiworawitkul，P.Hagan和A.Lesniewski[5]Cox，J.C.和Huang，C.-F.：金融经济学中出现的变分问题，J.Math。经济。，20, 465 - 487 (1991).[6] 《偏微分方程》，美国数学学会（1998）。[7] 弗莱明，W.H.，索纳，H.M.：《受控马尔可夫过程和粘性解》，斯普林伯格出版社（1992年）。[8] Forsyth，P.A.和Labahn，G.：《金融中受控Hamilton-Jacobi-BellmanPDEs的数值方法》，J.Comp。《金融》，第11期，第1-44页（2007年）。[9] 《矩阵计算》，约翰·霍普金斯大学出版社（2012年）。[10] 古尔萨，E.：高蒂尔·维拉斯（Gauthier Villars，1927年）的《分析数学》课程。[11] Haier，E.，Lubich，C.，和Wanner，G.：《用theSt–ormerVerlet方法说明的几何数值积分》，数字学报，399 450（2003）。[12] 霍洛维茨，M.B.，达姆，A.和伯迪克，J。

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mingdashike22

2022-5-6 08:42:53

W.：高维线性Hamilton-Jacobi-Bellman方程组，arxiv:1404.1089v1（2014）。[13] 《应用数学中的摄动方法》，斯普林格（1985）。[14] 哈鲁比，I.，兰格雷内，N.，和范，H.：完全非线性HJBEquation的数值算法：一种控制随机化方法，预印本（2013）。[15] Kushner，H.J.和Dupuis，P.G.：连续时间随机控制问题的数值方法，Springer（2001）。[16] 《模拟哈密顿动力学》，剑桥大学出版社（2004）。[17] 默顿，R.C.：不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例，修订版。经济部。《统计》，51247-257（1969）。[18] 默顿，R.C.：连续时间模型中的最优消费和投资组合规则，J.Econ。《理论》，3373413（1971）。[19] Pham，H.：金融应用中的连续时间随机控制和优化，Springer（2009）。[20] 托多罗夫：《寻找最优控制随机系统的最可能轨迹》，国际自动控制联合会世界大会，20728-4734（2011）。[21]Stoer，J.和Bullisch，R.：数值分析导论，Springer（2002）。[22]图兹，N.：最优随机控制，随机目标问题和反向SDE，普林格（2012）。[23]勇，J.和周，X.Y.：随机控制，Springer Verlag（1999）。

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