在我们的示例中，输入向量在加零后变为（0、1、2、1、0、0、3、0）。4 HENRY STONEo激活层：激活层是一个非线性函数，应用于卷积层的输出，即特征映射；激活层的目的确实是将非线性引入CNN。这些函数称为激活函数；示例包括sigmoid函数和双曲正切函数。在我们的CNN中，我们使用“LeakyReLU”激活函数，定义为asfα（x）：=x、 如果x>0，则为αx，否则为。当装置处于非活动状态时，LeakyReLU激活允许一个小的正梯度最大池层：对于给定的池大小p，最大池层返回一个向量，该向量的入口在特征图中的相邻p个条目中是最大的。例如，对于Feature map（1、3、8、2、1、0、0、4、6、1）和p=3，最大池输出为（8、8、8、8、8、2、4、6、6）。其他池技术应用相同的思想，但使用不同的函数来评估特征图中的相邻p项。示例包括平均池和L2 normpooling，这实际上使用了数学术语中的欧几里德范数脱落层：脱落是一种众所周知的技术，被纳入CNN中，以防止过度安装。在不添加漏层的情况下，给定层中的每个节点都连接到后续层中的每个节点；dropout临时从网络中的不同层删除节点。节点的删除是随机的，由退出率d决定，该退出率给出了要临时删除的节点的比例。请注意，辍学仅在培训期间实施；在测试过程中，每个节点的权重乘以退出率d。Hinton、Krizhevsky、Salakhutdinov、Srivastava和Sutskever对该技术进行了极好的概述【Hinton等人，2014年】。

作者提供了一项广泛的研究，以表明在许多不同的环境中，CNN的预测性能是如何通过辍学来提高的密集层：也称为完全连接层，顾名思义，输入层中的每个节点都与输出层中的每个节点相连。经过进化层、激活层、合并层和退出层处理后，提取的特征通过密集层的子集映射到最终输出，然后应用激活函数。备注2.2。过滤器数量、内核大小k、池大小p和退出率d都是CNN超参数的示例。在描述了结构之后，我们现在重点关注CNN的训练机制。如前所述，训练CNN对应于在完全连接层中查找权重和在卷积层中查找核，从而最小化特定损失函数。前向传播是通过CNN层将输入数据转换为输出的过程的名称；它用于给出损失函数的值，以及CNN对特定权重和核的预测能力。使用反向传播算法从前向传播计算的损失函数的误差值计算损失函数的梯度；然后，根据损失函数的值，迭代更新权重和核。在我们的CNN中，使用了Adam优化器。有关反向传播算法和Adam优化器的更多详细信息，请分别参见【Bengio等人，2016年，第6.5节，第200-219页】和【Ba等人，2017年】。校准粗糙波动率模型：卷积神经网络方法52.2。分数布朗运动。

分数布朗运动（此处称为fBm）是一个中心高斯过程，其协方差函数取决于参数H∈ （0，1），称为theHurst参数。精确定义如下，【Biagini等人，2008，定义1.1.1.】；请注意，设置H=1/2会恢复标准布朗运动。定义2.3。让H∈ （0，1）：分数布朗运动WHt公司t型≥0是具有以下协方差函数的连续、中心高斯过程WHtWHs公司=|t | 2H+| s | 2H- |t型- s | 2H, 对于所有s，t≥ Hurst参数H的值完全决定了fBm的采样路径H–older规则性。事实上，WHhas有一个版本的样本路径几乎肯定是H¨older连续的，对于所有γ，H¨older指数γ∈ （0，H）。H的值还决定了WHare的增量是如何相关的：当H>1/2时，WHare的增量是正相关的，在这种情况下称为持续的；当H<1/2时，平均值的增量呈负相关，在这种情况下称为反持久性。回想一下，在H=1/2的情况下，标准布朗运动具有独立的增量。上述陈述的更多细节和证据见【Biagini等人，2008年，第1章】。为了可视化H值如何影响这些特征，我们在下图2中绘制了fBm的两条样本路径。很明显，左侧图（其中H=0.1）的样本路径比右侧图“更粗糙”；这与较低的H¨older规律性相对应。与右图之后的趋势相比，左图的明显平均值反转分别说明了W0.1和W0.9的反持久性和持久性。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-11230.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.01.2图2。分数布朗运动的两条样本路径，从t=0到t=1，有1001个样本点。

在左图中，我们将H设置为0.1，以便WHis是反持久的；在右图中，我们设定H=0.9，因此WHis是持久的。这里，我们使用Mathematica的“分馏BrownianMotionProcess”函数来模拟每个样本路径。备注2.4。fBm存在许多不同的积分表示。可以说，最广为人知的是Mandelbrot和Van Ness的描述【Mandelbrot等人，1968年，定义2.1】为（2.2）WHt=Γ（H+1/2）Z-∞（（t- s） H类-1/2- (-s） H类-1/2）dBs+Zt（t- s） H类-1/2分贝,其中，B是标准布朗运动，Γ是标准伽马函数。6亨利·斯通3。方法学在描述训练和测试数据以及CNN架构之前，我们首先介绍rBergomi模型。3.1. rBergomi模型。拜耳、弗里兹和Gatheral【拜耳等人，2016年】介绍了Bergomi的“第二代”随机波动率模型的非马尔可夫泛化，他们将其称为“rBergomi”模型。设Z为路径定义为（3.1）Zt的过程：=ZtKα（s，t）dWs，对于任何t≥ 0，其中α∈-, 0, W是标准布朗运动，其中核Kα：R+×R+→ R+读数（3.2）Kα（s，t）：=η√2α+1（t- s） α，对于所有0≤ s<t，对于某些严格正常数η。注意，对于任何t≥ 0，地图s 7→ Kα（s，t）属于L，因此随机积分（3.1）定义良好。rBergomi模型，其中X是对数股价过程，v是方差过程，然后定义为（3.3）Xt=-Ztvsds+Zt√vsdBs，X=0，vt=vexpZt公司-ηt2α+1, v> 0，其中布朗运动B定义为B：=ρW+p1- ρW⊥对于ρ∈ [-1，1]和一些标准布朗运动W⊥独立于W。过滤（Ft）t≥这里可以看作是由二维布朗运动（W，W⊥).备注3.1。过程日志v有一个修改，其采样路径几乎肯定是局部γ-H–oldercontinuous，对于所有γ∈0, α +【Jacquier等人，2018年，命题2.2】。

如上所述，fBm的采样路径对于任何γ都是γ-H-older连续的∈ （0，H）[Biagini等人，2008年，定理1.6.1]，因此rBergomi模型也通过识别α=H来捕捉这种“粗糙度”- 1/2.3.2. 培训和测试集。我们使用标准化对数波动过程（log（vt/v））的模拟样本路径≥rBergomi模型的0作为我们的输入数据；以相应的H¨older正则性H=α+1/2作为输出数据。为了模拟rBergomi样本路径，我们使用Cholesky分解；推荐使用这种非常著名的模拟技术，因为得到的样本路径具有therBergomi模型的归一化对数波动过程的精确分布，而不是近似分布。所使用的代码在Github上公开可用。根据【Jacquier等人，2018年，命题2.2】，归一化对数波动率过程的H¨older规律性与η值无关；同样的命题证明了（3.1）中定义的过程Z和标准化对数波动率过程具有相同的H¨older规律性。因此，为了简单起见，在生成第4.1小节中的样本路径时，我们在上述模型（3.3）中设置η=1，并且我们也忽略了确定性漂移项t2α+1。在第4.2小节中，我们取η6=1，并验证这不会影响CNN的预测能力。结果输入数据集的每个成员都具有以下形式：向量xi，它是给定H=α+1/2的rBergomisample路径，以及标签yi，它对应于所使用的给定Htohttps://github.com/amuguruza/RoughFCLT/blob/master/rDonsker.ipynbCALIBRATING粗糙波动率模型：卷积神经网络方法7generate xi。对于每个H值，我们生成5000条rBergomi样本路径。然后，我们将输入数据拆分为训练集和测试集；随后，我们从测试集的一部分创建验证集。

表1给出了rBergomi数据的每个培训/测试/验证集的大小。样本数据集编号培训集14000测试集7500验证集3500表1。rBergomi输入数据大小说明。3.2.1. H值的选择。我们首先让H以及相应的标签yi在离散网格{0.1、0.2、0.3、0.4、0.5}中取值。我们还从两个概率分布中抽取5个H值：均匀分布on（0,0.5）和Beta（1,9）分布。这不仅可以避免网络输出的一致性；当进行校准时，它还应使网络更加稳健，因为历史波动率数据的H值几乎肯定不会在离散网格{0.1、0.2、0.3、0.4、0.5}上。此外，我们还可以强调H的“粗略”值，即H≈ 0.1，尤其是在Beta分布的情况下。β（α，β）分布的概率密度函数由fα，β（x）=xα给出-1(1-x） β-1B（α，β）I（0,1）（x），其中函数B定义为B（α，β）：=Γ（α）Γ（β）Γ（α+β），Γ是标准伽马函数。根据现有的实证研究【Gatheral等人，2018年】和【Bennedsen等人，2017年】，我们将α=1，β=9设为β分布的预期值为0.1。对于H的每种采样方法，我们为五个H值中的每一个生成5000条rBergomi采样路径。3.3. CNN架构。我们使用一维CNN，因为我们的输入xiare（一维）向量有三层内核，其中每个内核的内核大小为20，每一层都由alpha=0.1的泄漏ReLU激活函数继承；我们在每一层内核之间添加最大池层（每个大小为3）和退出层。我们在每个卷积层和最大池层中使用零填充。

之所以选择内核大小、最大池大小、退出率和弱ReLU激活函数的速率值，是因为它们在所有测试值中均方误差最小。这些超参数绝不是以最理想的方式选择的，但确实是实现准确预测的最佳选择，见第4节的结果。我们在下面阐明了CNN隐藏层的具体结构：o第一层，有32个内核；o最大池层；o脱落层，速率=0.25；o第二层，64个内核；o最大池层；o辍学层，速率=0.25；o第三层，128粒最大池层；对应的一组可能的H值为{0.05、0.18、0.29、0.31、0.44}。对应的一组可能的H值为{0.02、0.07、0.06、0.13、0.22}。8 HENRY STONEoa脱落层，速率=0.4；o128个单元的致密层脱落层，速率=0.3。我们的CNN是计算机科学学科中相当标准的图像处理结构，选择这种结构的原因有两个方面。首先，启发式地，通过将图像矩阵的每个条目的值与相邻条目一起考虑，并将重点放在这些相邻值上，而不是放在远离所考虑条目的条目上，来处理图像。为了研究随机过程样本路径的H¨older正则性，样本路径向量中每个入口的相邻点的值将提供关于该过程H¨older正则性的最多信息；因此，我们采用了图像处理类型的体系结构。第二，避免为每层中的过滤器数量选择最优超参数。如果CNN能够准确地了解H¨older指数的值，那么我们将为数学金融领域做出重要贡献。

事实上，rBergomi模型的现有校准技术仍需开发。Al\'os和Shiraya提出的一种校准技术【Al\'os等人，2019年】基于他们的结果，即当波动过程由fBm WH驱动时，欧洲看涨期权的at货币隐含波动性与波动性掉期价格之间的差异具有2HF级的幂律行为。该方法根据模拟数据准确预测H，但在实践中，对于8个月以下的到期日，波动率掉期往往缺乏流动性，因此在实践中很难使用该方法进行准确校准。Chang【Chang 2014】提出的另一种技术建议使用最大似然估计来估计。虽然该方法可以根据模拟的fBm数据准确预测H，但该方法的计算成本太高，无法在定量金融行业中实际应用。最后，我们考虑Gathereal、Jaisson和Rosenbaum的最小平方法【Gathereal等人，2018年】。受fBm增量的QTH矩公式的启发，作者建议通过对数波动过程滞后QTH矩对数与滞后对数的线性回归来估计H。然而，该方法对q的选择很敏感；尤其是对于高阶矩，该方法的性能不佳。此外，在第4节中，我们证明了最小二乘法对显示均值回归的过程产生了错误的H估计。4、解决回归问题我们现在开始解决回归问题，以便从样本路径输入数据中找到H¨older指数。在第4.1小节中，我们使用上述rBergomi模型生成输入数据，使用Cholesky分解，这是本文的主要重点。

在第4.2小节中，我们使用上述rBergomi输入数据（η6=1除外）以及每个采样路径的随机η和h对CNN进行额外训练。我们还使用fBm采样路径作为输入数据进行训练。目的是用CNN说明这种新方法的鲁棒性。在第4.3小节中，我们简要研究是否可以扩展CNNapproach以额外学习参数η以及参数H。对于fBm WH，以下适用于所有q>0：E[| WHt+- WHt | q】=KqqH，其中Kqis是标准正态分布的绝对qthmomentof。校准粗糙波动率模型：卷积神经网络方法94.1。rBergomi模型。表1给出了rBergomi数据的每个培训/测试/验证集的大小。我们对CNN进行了三次训练：对于离散采样的H、均匀采样的H和forBeta采样的H。CNN校准方法也应对输入数据的尺寸具有鲁棒性，并且在长度为100的向量上训练CNN应产生与在长度为500的向量上训练CNN类似的预测性能。因此，我们用输入向量的长度值{100、200、300、400、500}来训练CNN。我们在表2、3和4中给出了CNN的测试结果。我们使用均方误差作为CNN中的损失函数，并使用均方根误差（RMSE）报告CNN的预测性能，以便H的预测值和真值具有相同的测量单位。我们还将给出完成CNN培训和测试所需的时间（以秒为单位）。Python代码可在以下位置获得：https://github.com/henrymstone/CNN-repository.We使用上述体系结构对网络进行训练，将批量大小设置为64是相当标准的，将epochs设置为30，因为该值给出了最小的均方误差。

作为比较，我们还在CNN使用的测试集上使用[Gathereal等人2018年第2.1节]建议的最小二乘法（LS）校准方法，并将损失计算为H的预测值和真实值之间的均方根误差。输入长度RMSE（CNN）训练时间（秒）测试时间（秒）RMSE（LS）时间（秒）100 1.041×10-269.77 0.76 2.118 × 10-1591.76200 8.196 × 10-374.89 0.75 2.046 × 10-1622.00300 1.096 × 10-280.92 0.79 2.025 × 10-1635.65400 8.263 × 10-392.02 0.93 2.014 × 10-1634.22500 1.232 × 10-293.76 0.93 2.010 × 10-1627.62表2。离散H的测试结果。输入长度RMSE（CNN）训练时间（秒）测试时间（秒）RMSE（LS）时间（秒）100 1.137×10-266.66 0.68 1.989 × 10-1611.61200 7.910 × 10-372.20 0.73 1.927 × 10-1620.72300 5.115 × 10-379.80 0.78 1.907 × 10-1630.75400 9.409 × 10-386.35 0.82 1.895 × 10-1634.24500 1.282 × 10-296.79 0.93 1.892 × 10-1628.26表3。H的测试结果~ 均匀（0.0，0.5）。对于每个输入长度，在H上训练的CNN的预测性能~ 均匀（0.0，0.5）和离散化H是相似的，在每种情况下，CNN方法在预测能力方面明显优于最小二乘法，达到一到两个数量级。对于H~ 测试版（1，9），CNNalso的性能优于最小二乘法，再次达到一到两个数量级，输入计算在Python中执行，使用Keras模块构建和训练网络，在Macbook Pro2.6 GHz Intel Core i5处理器和8 GB 1600 MHz DDR3内存上。

该代码使用该平台的GPU在Google Colaboratory上运行。10 HENRY STONEInput长度RMSE（CNN）训练时间（秒）测试时间（秒）RMSE（LS）时间（秒）100 6.672×10-370.71 0.72 1.040 × 10-1616.74200 7.193 × 10-373.26 0.70 9.962 × 10-2626.77300 1.207 × 10-180.63 0.74 9.791 × 10-2637.45400 1.171 × 10-287.09 0.75 9.699 × 10-2637.33500 1.207 × 10-194.20 0.77 9.663 × 10-2644.60表4。H的测试结果~ β（1，9）。矢量长度为100、200或400；对于其他输入向量长度，CNN的精度略低于最小二乘法。正如两种校准方法所期望的那样，通常情况下，两种情况下所用的时间都是每种采样方法H的输入向量长度的递增函数。由于我们能够使用Google Colaboratory的GPU训练CNN，并且Python的Keras模块已经过优化，可以在GPU上执行，培训和测试所需的时间大约比最小平方法少八倍。每种采样方法的训练和测试时间都非常相似。上述分析表明，减少输入向量的长度不会显著恶化CNN的预测性能；事实上，当H~ Beta（1，9）与长度为100的输入向量和长度为500的输入向量的性能相比，性能有所提高。4.2. 稳健性测试。根据第4.1小节中的分析，我们将输入向量长度设置为100。然后，我们通过让η在rBergomimodel中取{0.25、0.8、1.3、2.5}中的值来生成输入数据，并对H使用离散采样，为每个H生成5000个样本路径。我们在表5中给出了结果；与之前一样，我们还包括均方根误差（RMSE）和[Gathereal等人，2018年]的最小平方（LS）方法所用的时间，作为比较应用于测试集。

附录B给出了训练误差和验证误差的曲线图。ηRMSE（CNN）训练时间（秒）测试时间（秒）RMSE（LS）时间（秒）0.25 8.206×10-366.81 0.63 2.122 × 10-1666.790.8 1.137 × 10-266.93 0.60 2.122 × 10-1665.681.3 1.473 × 10-267.22 0.66 2.122 × 10-1671.112.5 9.003 × 10-367.27 0.63 2.122 × 10-1667.16表5。η6=1和输入向量长度=100的rBergomi回归结果。我们可以看到，CNN方法在每种情况下都远远优于最小二乘法，无论是预测的准确性还是所用的时间。对于η=0.8，1.3，CNN的性能略差于η的其他两个值，但仍优于最小二乘法。请注意，最小二乘法的均方根误差值仅在四舍五入到小数点后三位时相等。我们进一步扩展了rBergomi数据的稳健性测试，如下所示：我们首先生成25000η~ 均匀（0，3）和H~ Beta（1，9），然后使用这些值模拟25000条长度为100的rBergomi样本路径，每条路径都有其唯一和随机的η和H。相应的训练、测试、校准粗糙波动率模型：卷积神经网络方法11和验证集因此保持相同的大小。结果如表6所示；如上所述，我们将均方根误差和最小二乘法所用的时间作为比较。附录C给出了训练误差和验证误差的曲线图。RMSE（CNN）训练时间（秒）测试时间（秒）RMSE（LS）时间（秒）1.382×10-266.52 0.61 1.499 × 10-1598.51表6。

η的rBergomi回归结果~ 均匀（0，3），H~ Beta（1，9），输入向量长度=100。有趣的是，当η~ 均匀（0，3）和H~ β（1，9）对于每个样本路径，与η或H的值固定时相比，在最坏的情况下，CNN的预测能力仅差一个数量级。此外，CNN方法在预测能力和速度方面都保持着相对于最小二乘法的显著优势。我们通过使用使用Cholesky分解生成的fBm样本路径作为训练和测试CNN的输入数据来结束此鲁棒性测试。对于每个H，我们模拟5000条长度为100的样本路径；weemploy离散化H，H~ 均匀（0.0、0.5）和H~ β（1，9）抽样方法。表7给出了结果，附录D给出了训练误差和验证误差图。采样RMSE（CNN）训练时间（秒）测试时间（秒）RMSE（LS）时间（秒）离散化2.483×10-272.79 0.65 2.346 × 10-1635.18均匀2.001×10-271.95 0.64 2.090 × 10-1615.74β1.945×10-272.20 0.67 9.785 × 10-2622.36表7。离散H，H的fBm回归结果~ 均匀（0.0、0.5）和H~ β（1，9）。对于H的每种采样方法，CNN都保持了其相对于最小二乘法的速度优势，并且保持了一个数量级的优异预测性能。稳健性测试的最后一部分的结果让我们得出结论，CNN确实可以从一组样本路径中识别出H¨older正则性，从而回答了本文引言中提出的问题。4.3. 学习扩展η。在这一小节中，我们简要探讨了CNN是否能够了解η的价值，以及H。

我们使用rBergomi模型，η~ 均匀（0，3），H~ Beta（1，9）表示每个采样路径，长度为100的输入向量作为我们的输入数据，如上所述；相应的输出变量随后成为二维向量yi=（Hi，ηi）。我们继续使用均方根误差作为预测能力的衡量标准，并与上述最小二乘法进行比较。Leatsquare（LS）方法确实可以用来估计η的值【Gathereal等人，2018年，第3.4节】，尽管作者使用的是表示法ν而不是η。结果见表8，损失图见附录E。RMSE（CNN）训练时间（秒）测试时间（秒）RMSE（LS）时间（秒）0.666 71.82 0.62 1.170 613.62表8。学习H和η的回归结果，输入向量长度=100。令人鼓舞的是，我们看到CNN方法在准确性和时间上仍优于最小二乘法；然而，与上述案例中的数量级相比，CNN方法的精确度大约是最小二乘法的两倍。注意，我们保持所有HyperParameterValue不变；通过对CNN中的超参数值进行一些调整，可能会获得更高的预测能力。然而，这并不是本文的目的，我们将这一点留给进一步的研究。备注4.1。我们从理论角度总结了上述结果，并对CNN方法的速度和准确性优势进行了评论。上述结果表明，当根据模拟rBergomi和fBm数据估算H时，CNN方法在数量级上更为准确，且明显快于[Gatheral等人，2018年]中建议的现有方法。

对CNN方法速度优势的解释是，一旦对网络进行了训练，就可以通过直接计算定义2.1中给出的成分（2.1）进行估计；另一方面，THLS方法需要进行多次连续回归才能估计H。显然，CNN方法将比LS方法更快。现在，我们回顾了我们的动机，即使用CNN来估计H：CNN的预测能力在于卷积算子，它为输入向量xi的每个条目xji赋值；该值由邻近xji的条目的相对值确定。为了估计随机过程的H¨older正则性，轨迹向量中每个入口的相邻点的值将提供关于该轨迹H¨older正则性的大多数信息，因此CNN确实是估计H的有效手段。CNN能够通过卷积算子的交互应用检测非常微妙的路径正则性特性，允许对H进行非常准确的预测。此外，LS估计基于对数波动率增量的QTH估计，其精度高度依赖于q的选择，而CNN方法完全独立于q的选择。总之，这解释了为什么CNN方法比LS方法给出更准确的H估计。4.4. （均值回复）Ornstein-Uhlenbeck过程的稳健性检验。我们在第4节中比较了CNN和LS方法在（均值回复）OrnsteinUhlenbeck过程中的性能。

回想一下（均值回复）Ornstein-Uhlenbeck过程X满足以下条件：dXt=（a- bXt）dt+cXtdWt，X=X∈ R、 其中W是标准布朗运动，X是所有γ的γ-H¨older连续∈ (0, 1/2); 因此，我们预计这两种方法都可以估计H≈ 0.5.我们使用上面详述的离散和均匀H采样方法，将CNN的输入长度设置为100。然后，使用每个训练好的网络来估计（均值回复）Ornstein-Uhlenbeck过程轨迹上的H，该过程使用Euler-Maruyama方法进行模拟。我们模拟了1000条长度为100的轨迹，设定（x，a，b）=（0.1，1，2.1），并在下表9中报告了“高挥发性”（c=3）和“低挥发性”（c=0.3）状态下CNN和LS方法的平均估计H值。表9中的结果提供了令人信服的证据，证明CNN确实在学习样本路径的H¨older规律，因为CNN的平均H估计值非常接近0.5。请注意，平均LS H估计值远高于0.5。结果提供了进一步的证据，证明我们没有试验贝塔抽样法，因为这些H值集中在0.1左右，因此当我们预计H时，会产生很差的估计值≈ 0.5.校准粗糙波动率模型：卷积神经网络方法13c CNN（离散化）CNN（均匀）LS3 0.46 0.42 0.220.3 0.49 0.44 0.67表9。（均值回复）Ornstein-Uhlenbeck过程X.CNN方法的平均H估计值优于LS方法，LS方法不仅比CNNapproach更慢、更不准确，而且可能会错误地识别数据中的粗糙度。5、使用CNN进行校准我们首先使用第4节中经过培训的CNN预测牛津曼定量金融研究所（Oxford Man Institute of Quantitative Finance）历史变现能力数据的H¨older指数，该指数免费且公开。

根据第4节给出的分析，我们选择输入向量的长度为100。我们从31个可用指标中选取10个不同指标作为样本；然后，对于每个索引，我们使用200个连续数据点的时间序列来创建11个长度为100的向量（条目0到100、10到110等等），以预测每个索引的H¨older指数。我们计算CNN预测和最小二乘预测之间的均方根误差，以及两个预测之间差异的标准偏差；见表10。采样方法均方根误差标准差离散化H 5.558×10-22.900 × 10-3小时~ 均匀（0.0，0.5）2.444×10-11.141 × 10-2小时~ β（1，9）4.253×10-21.098 × 10-3表10。校准结果事实上，我们可以看到这组结果非常有希望。在每种情况下，均方根误差和标准偏差都很小；注意，均方根误差值和离散H和H的标准偏差~ Beta（1，9）是比forH大一个数量级~ 均匀（0.0，0.5）。因此，这表明网络获得的标定值与最小二乘法获得的标定值非常接近。请注意，这反过来又提供了进一步的证据≈ 0.1，进一步证实了[Gatheral等人，2018年]和[Bennedsen等人，2017年]的发现。因此，我们可以声明，该校准方案足够精确，可以在实践中使用，其中我们建议使用H~ Beta（1，9）用于训练输入长度为100的网络，因为测试中的均方根误差和标准偏差较小，网络输出不离散，且该分布强调H的“粗略”值，即H≈ 0.1.我们的校准方案的实际实施是一个简单的两步过程。

第一步是训练CNN，由从业者选择H采样方法和输入长度n；这可以一次完成，并保存训练网络的权重，以避免每个校准任务不必要的重复。第二步是将最近的n个波动率观测值输入CNN，CNN将返回这些n个观测值的相应H值。H=α+1/2 can的该值thenhttps://realized.oxford-man.ox.ac.uk/data/downloadAEX、全普通股、DAX、富时100指数、恒生、俏皮50指数、纳斯达克100指数、日经225指数、标准普尔500指数、上证综指。14 HENRY STONEbe被输入rBergomi模型并用于定价。我们注意到，执行校准方案的从业者需要对H采样方法和输入长度n的最佳选择进行一些测试。备注5.1。我们现在借此机会讨论本文提出的校准方法。我们将校准视为一个有监督的学习问题，而实际上，严格来说，它是一个无监督的学习问题。虽然第4节给出的回归问题中输入数据中的每个向量确实标有相应的H值，但牛津曼研究所“已实现”库中的数据没有此类标签，因此我们使用最小二乘校准值作为“真”值。6、结果和结论的讨论本文给出的结果非常有希望：CNN确实可以用于对rBergomi和fBm样本路径的H¨older指数进行高精度预测。事实上，我们推测，如果我们优化CNN中的超参数值，可以获得更高的精度。此外，调用k-折叠交叉验证可以进一步提高CNN的预测能力。

此外，这两种技术还可用于对therBergomi模型中的参数η进行更精确的预测。本文的结果为未来的研究提出了许多有趣的问题。首先，是否有可能使用未标记的波动率数据以及已知的预测公式来训练网络并预测“粗糙度”，从而进一步改进该校准方法并解决显著问题5.1？其次，在输入数据为fBm采样路径的情况下，或者在我们还试图学习η值的情况下，我们能否实现更精确的预测？最后，我们提出了以下问题：使用更传统的机器学习技术，如插入法和boosting方法，是否有可能获得类似的预测结果？综上所述，在本文中，我们首次表明，CNN确实可以以高精度学习时间序列数据的“粗糙度”（即H¨older指数）。此外，我们还提供了一种高效、准确的方法来校准rBergomi模型。我们还表明，我们的方法在数量级上比[Gatheral等人，2018年]中建议的现有方法准确得多，速度明显更快。我们展示了我们的方法，可以正确估计均值回复系数上的H，其中最小二乘法失败，并且无法正确识别粗糙度。最后，论文还为未来的研究开辟了许多有趣的途径。参考文献【Mandelbrot等人，1968年】Mandelbrot，B.B.，和Van Ness，J.W.，分数布朗运动，分数噪声和应用，暹罗评论，1968年，10422-437。【Back等人，1997年】Back，A.D.，Chung Tsoi，A.，Giles，C.L.和Lawrence，S.，人脸识别：卷积神经网络方法。IEEE神经网络学报，1997，8（1），98-113。【Biagini等人，2008年】Biagini，F.，Hu，Y.，Oksendal，B。

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注意，随着历元数的增加，训练损失和验证损失都会减少；这很好地表明，预测性能会随着时代数量的增加而提高，而不会过度匹配【Kinh Gian Do等人，2018年，过度匹配部分，第619页】。唯一的例外是图5，输入长度为300或500；请注意，这两种情况也对应于较大的均方根误差值。然而，回想一下，我们的校准方案使用长度为100的输入向量，因此这不会给实际使用带来任何实际问题。16亨利·斯通图3。离散H的损失图。校准粗糙波动率模型：卷积神经网络方法17图4。H的损失图~ 均匀（0.0，0.5）。18亨利·斯通图5。H的损失图~ β（1，9）。校准粗糙波动率模型：卷积神经网络方法19附录B。η6=1的rBergomi损失图我们现在绘制每个历元的训练损失和验证损失（MSE），如上所述，对于离散H和η的rBergomi模型∈ 图6中的{0.25、0.8、1.3、2.5}。我们将输入向量长度固定为100。对于每个η值，训练损失和验证损失均随时间的推移而减少。图6：。离散H和η的损失图∈ {0.25, 0.8, 1.3, 2.5}.20 HENRY Stone附录C.rBergomi损失图，含η~ 均匀（0，3）和H~ Beta（1，9）我们现在绘制每个时期的训练损失和验证损失（MSE），如上所述，对于带有η的rBergomi模型~ 均匀（0，3）和H~ 每个示例路径的Beta（1，9），如图7所示。我们将输入向量长度固定为100。注意，训练损失和验证损失都随着每个历元而减少。图7：。η损失图~ 均匀（0，3）和H~ β（1，9）。校准粗糙波动率模型：卷积神经网络方法21附录D。

具有不同H采样的fBm的损失图对于具有离散H、H的fBm，我们绘制每个历元的训练和验证损失（MSE）~ 均匀（0.0、0.5）和H~ 图8、9和10中的β（1、9）。如附录B所示，我们将输入向量长度固定为100。对于离散H和H~ 均匀（0.0，0.5）训练损失和验证损失均随历元的增加而减小。对于H~ 然而，β（1，9），训练损失减少，但验证损失仍然存在。这可能意味着过度匹配和较差的预测性能；注意，均方根误差确实高于离散化H和H~ 均匀（0.0，0.5）。图8：。具有离散H的fBm损失图。图9。带H的fBm损耗图~ 均匀（0.0，0.5）。图10：。带H的fBm损耗图~ β（1，9）。22 HENRY Stone附录E.学习损失图η在图11中，我们绘制了每个时期的训练损失和验证损失（MSE），如附录C所示，对于带有η的rBergomi模型~ 均匀（0，3）和H~ 每个采样路径的Beta（1，9）。回想一下，在这种情况下，CNN正在学习η的值以及H的值。我们将输入向量长度乘以100。请注意，训练损失和验证损失都会随着每个历元而减少。图11：。η损失图~ 均匀（0，3）和H~ β（1，9）。伦敦帝国理工学院数学系邮箱：henry。stone15@imperial.ac.uk