具有递归偏好的动态规划：最优性和

2022-6-11 06:30:29

带递归偏好的动态规划：最优性与应用任关龙和约翰·斯塔舒斯基澳大利亚国立大学经济研究院，2020年6月23日摘要。本文提供了离散时间动态优化的新条件，并利用这些条件为几种常用的递归偏好规范建立了基本的动态规划结果。这些包括Epstein-Zin偏好、风险敏感偏好、窄框架模型和对环境敏感的递归偏好。这些应用得到的结果包括（i）最优策略的存在性，（ii）Bellman方程解的唯一性，（iii）通过Bellman最优性原理对最优策略进行完整表征，以及（iv）通过值函数迭代的全局收敛计算方法。JEL分类：C61、C63、E20关键词：动态规划、递归偏好、歧义1。引言经济学家已经逐步构建了更现实的代理人及其选择的表示。在跨期选择的背景下，这些偏好已经包括了诸如对跨期替代和跨期风险的独立敏感性、对掠夺的渴望、狭义分歧的影响和一些形式的歧义等特征。具有这些特征的模型现在在将量化模型与宏观经济学和金融领域的数据联系起来方面发挥着关键作用。本文得益于Jaroslav Boroviˇcka、Yiann is Valakis和Gaetano Bloise的深思熟虑的评论。感谢ARC赠款FT160100423提供的财政支持。

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2022-6-11 06:30:33

电子邮箱：关龙。ren@anu.edu.au还有约翰。stachurski@anu.edu.auFor例如，Epstein和Zin（1989）的递归偏好规范现已成为定量资产定价文献的核心组成部分，同时也发现了在从最优税收到规模政策和商业周期的应用中的使用（参见Bansal和Yaron（2004）、Kaplan和Violante（2014）或Schorfheide等人（2018））。关于经济建模中稳健性需求的规范研究，请参见Hansen和Sargent（2008）。著名的多义性和跨期选择研究者包括Deepstein和S chneider（2008），Klibano ff等人（2009），Siniscalchi（2011）和Ju and Miao（2012）。关于递归偏好模型的另一个概述可以在Backus等人（2004）中找到。与此同时，技术上的困难阻碍了对复杂跨期偏好的理解，而这又是这些参考文献中嵌入的非线性的结果。此外，即使对于那些通常采用递归偏好的设置，如资产价格和股本溢价的量化模型，也很明显，通常用于简化它们的广泛近似可能会产生巨大的经济重大错误（见Pohl et al.（2018））。递归偏好模型有两个主要的技术难题。一个是效用的存在性和唯一性，当后者被递归定义时。

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mingdashike22

2022-6-11 06:30:36

例如，如果指定寿命效用Utat时间t为asUt=W（Ct，R（Ut+1）），（1）其中W是某种形式的聚合器，R是确定性等价运算符，{Ct}是给定的消耗路径（参见，例如，Epstein和Zin（1989）），那么效用{Ut}是否定义良好？是否已明确定义？W和{Ct}需要什么条件才能得到肯定的答案？经过一段时间的广泛研究，这些问题基本上已在普通美国的规范中得到解决。然而，与递归实用程序相关的第二个重要问题仍然存在：如何最大化它们。例如，如果（1）中的消费{Ct}是与不同的家庭储蓄和投资政策相关的许多时间路径之一，那么哪个可行的政策将最大化Ut？这种政策是否存在？如果存在，我们如何才能获得？更一般地说，当偏好被递归定义时，我们如何将动态编程理论应用于最佳选择？本文提出了一种适用于递归p参考模型的动态规划理论，该理论具有广泛性、简单性、实用性和高度适用性。然后，我们利用这一理论获得文献中几种常见规范的基本优化结果，包括具有恒定替代聚合弹性的Epstein–Zin模型的经验相关参数化、风险敏感和鲁棒控制模型、具有窄框架和模糊敏感偏好的模型。在每种情况下，我们都证明了值函数是Bellman方程的唯一解，值函数迭代一致收敛于值函数，Bellman最优原则有效，最优策略存在。例如，见Epstein和Zin（1989），Rinc'on Zapatero和Rodr'guez Palmero（2007），Klibano ff等人。

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何人来此

2022-6-11 06:30:39

（2009）、Marinacci和Montrucchio（2010）、Hayashi和Miao（2011）、Hansen和Scheinkman（2012）、Martins da Rocha和Valakis（2013）、Becker和Rinc\'on Zapatero（2017）、Boroviˇcka和Stachurski（2017）或Guo和He（2019）。本文采用的动态规划方法的新颖之处在于，我们使用单调凸算子来研究与动态规划相关的最大化问题。虽然单调凸算子在经济学文献中很少受到关注（与收缩映射或单调凹算子不同），但它们在目前的情况下有一个显著的优势：凸性是在点态上至上的情况下保留的。在我们的结果中，我们充分利用了这一点，以及在适当的条件下，单调凸算子具有吸引人的稳定性。我们将这些想法与Bertsekas（2013）的抽象动态规划框架相结合，Bertsekas在（加权）收缩条件下的一般设置中获得了强最优性结果。后一种情况对于经济学和金融学中经常使用的大多数递归偏好模型来说都是失败的。在这里，我们维护了Bertsekas（2013）使用的抽象动态规划框架，以及一个基本的单调条件，但将他的收缩条件替换为凸性条件。后一个条件（i）被许多递归偏好模型所满足，以及（ii）可以用来连接上面讨论的单调凸算子理论，替代Banach的收缩映射理论，并提供动态规划的基本结果（例如，值函数迭代的收敛性、Bellman最优性原则的有效性以及最优策略的存在性）。除了上面讨论的理论和应用之外，我们还提供了我们结果的两个扩展。

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2022-6-11 06:30:42

首先，除了最大化问题之外，我们在相同的抽象动态规划框架中处理最小化问题。其次，我们展示了如何将该框架扩展到处理无界奖励，为具有非紧状态空间的Epstein–Zin递归偏好模型提供了基本的动态编程结果。除了上述研究外，我们的工作还受到了一些现有研究的启发。其中两位关系最为密切的是areBloise和Valakis（2018）以及Marinacci和Montrucchio（2019），他们都在递归效用的设定下分析动态规划（除了做出其他贡献，如单调算子的一般固定点理论和Koopmans算子的性质）。在这两种情况下，作者利用某些递归偏好中固有的单调性和凹度特性来获得Bellman算子在给定类中具有唯一且全局吸引解的条件。我们对动态规划基本结果的处理，在一组相关但不可直接比较的假设下，从多个方向扩展了他们的理论分析。特别是，除了提供Bellman算子在给定类别内具有唯一且具有全球吸引力的解的条件外，如Bloise和Valakis（2018）以及Marinacci和Montrucchio（2019），我们还表明，在相同条件下，该解是值函数，Bellman的最优原则是有效的，在某种意义上，一项政策是最优的，当且仅当它是通过在Bellman方程右侧的每个状态下采取最大化行动来实现的。

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2022-6-11 06:30:45

此外，我们证明了至少存在一个这样的策略。在实践方面，我们扩展了Bloise和Valakis（2018）以及Marinacci和Montrucchio（2019），为马尔可夫决策过程提供了一组详细的动态规划结果，其中包括（i）Epstein–Zin偏好，（ii）r isk–sensitive偏好，（iii）递归平滑模糊性偏好和（iv）窄框架。这些是应用文献中最常见的递归偏好公式之一。下文第3.2节中包含了我们在爱泼斯坦-津偏好设置中对动态编程的处理，为爱泼斯坦和津（1989）的原著以及郭和何（2019）的扩展增加了价值。例如，虽然这些动态规划结果处理的是特定消费储蓄和投资组合选择问题，没有捐赠、税收、劳动收入或其他形式的非金融收入（见Epstein和Zin（1989），定理5.1，以及Guo和He（2019），第5节），但我们处理的是代理马尔可夫决策问题。这有助于在具有可选默认、事务成本或偶尔绑定约束等特性的模型中采用Epstein–Zin首选项。我们对风险敏感偏好的处理补充了B¨auerle和Ja'skiewicz（2018）最近的工作，他们认为在这种情况下存在随机最优增长问题。我们将一个部门最优增长模型替换为一个通用的马尔可夫决策问题，并对其进行了修改，以允许风险敏感性与连续值相关。

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2022-6-11 06:30:48

这一结果可以直接应用于大范围的动态程序，部分原因是，在许多情况下，风险敏感代理的Bellman方程也可以解释为确定鲁棒控制器最优策略的关键函数方程（参见Hansen和Sargent（2008））。我们在递归平滑模糊设置中对动态规划的处理基于inJu和Miao（2012）使用的偏好规范。该规范承认风险规避、模糊规避和跨期替代之间存在三种方式的分离，并证明在解释各种资产定价现象时具有价值。在那篇论文中，消费是外来的。虽然递归效用的存在和不唯一性是一个已解决的问题（参见，例如，Hayashi和Miao（2011）），但动态规划并非如此。因此，我们在该框架的现有知识库中添加了最优策略的存在性结果，通过Bellman的最优性原理对这些策略进行了表征，以及通过值函数迭代的全局计算方法。我们对具有无界报酬的爱泼斯坦-辛模型的处理扩展了以往关于动态规划的非经济学研究，其中可分偏好是无界的，例如inRinc'on Zapatero和Rodr'guez Palmero（2003）、Martins da Rocha和Valakis（2010）、Kamihigashi（2014）和B'auerle和Ja'skiewicz（2018）。我们的方法基于加权函数，不同于早期的研究，即加权与凸性假设相结合，而不是加权上确界范数收缩条件，以处理常见的递归偏好。这里还应该提到其他几篇与递归偏好动态规划理论相关的论文。

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大多数88

2022-6-11 06:30:51

One isLe Van和Valakis（2005），他们研究了存在递归定义效用时的最优增长，考虑了绑定和无界回报。它们提供了详细的最优结果，包括最优策略的存在性和Bellman最优原理的一种版本，以及计算解的方法。另一方面，正如作者自己指出的那样，他们所要求的加权收缩条件在许多标准偏好规范中都失败了，包括Epstein–Zin效用。同样相关的还有isBalbus（2016），他考虑了一类具有特定类型非线性聚合器和确定性等价算子的n个负递归效用，并研究了相应的动态规划问题。他关于Bellman方程解的存在性、唯一性和收敛性的结果基于单调α凹算子理论。我们省略了详细的讨论，因为α-凹属性似乎不适用于我们在这里考虑的递归效用的许多规范，例如，当跨期子结构的弹性与统一性不同时，Epstein–Zin效用。同样，Ozaki和Streuffert（1996）对非马尔可夫环境下递归偏好的恢复和相应的动态规划问题进行了全面的研究。他们的结果对于在非常一般的环境下研究非加性随机目标的动态规划非常有用，尽管他们的假设单调凹算子理论之前在Le Van等人（2008）中用于加性可分问题，并在inDatta等人（2002）中显示存在扭曲的马尔可夫平衡的存在，Morand和Reffett（2003）以及几篇相关论文。排除一些常用规格。

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mingdashike22

2022-6-11 06:30:54

例如，当Epstein–Zin偏好和跨期替代弹性大于1时，eorem Dfail的条件（因为与可变贴现因子δ和δ相关的参数是有限的）。我们的论文还与Pavoni等人（2018）最近的工作有一定的联系，他们介绍了一种适用于激励约束规划问题的递归对偶方法。作者构造了他们所考虑的应用程序的对偶公式，该公式是递归的，使得对偶Bellman算子是收缩的，并且是Thompson-likemetric的。他们的理论可以处理通过generaltime聚合器和随机聚合器指定偏好的问题。在我们下面考虑的问题中，没有前瞻性约束，我们可以直接考虑基本优化问题。这使我们能够避免将主要问题与对偶联系在一起的假设，并获得对偶的收缩性。本文的主要结构如下：第2节包含我们的主要结果。第3节有应用程序。第4节考虑了一种扩展（无限奖励）。除了一些简单的论点外，所有的证明都被推迟到附录中。2、一般结果设X和A为可分度量空间，分别称为状态空间和动作空间。Letrx表示X-Tor中的所有函数，k·k表示X中有界函数的上确界n或上确界。对于f和g inRX，声明f 6 g表示所有x的sf（x）6 g（x）∈ 十、设Γ是从X到a的对应关系，下面提到的是可行的对应关系。我们理解Γ（x）表示控制器在状态x下可用的所有动作。

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2022-6-11 06:30:57

对应关系Γ反过来定义了可行状态行动对的集合：={（x，a）∈ X×A:A∈ Γ（x）}。设满足w6 w的wbe有界连续函数，oV为满足w6 V 6 w的所有Borel可测函数，C为V中的连续函数。V和C都被理解为候选值函数的类。这些函数分别作为生存期值的下限和上限。他们的角色将在下文中明确。当前和未来的支付被纳入状态行动聚合器H中，该聚合器将可行的状态行动对（x，a）和v中的函数v映射为实际值H（x，a，v）。H（x，a，v）的解释是总的终身奖励，取决于当前行动a，当前状态x和使用v来评估未来状态。换句话说，当v表示值函数时，H（x，a，v）对应于Bellman方程的右侧。第3.1节给出了一个简单的示例。引言中讨论了凸度和凹度的中心作用。为了实现相应的限制，我们将H值称为凸ifH（x，a，λv+（1- λ） w）6λH（x，a，v）+（1- λ） H（x，a，w）表示每个（x，a）∈G、 λ∈ [0，1]和v中的v，w。类似地，当反向不等式成立时（即当-H为凸值）。我们考虑的每个问题都会受到这些限制之一。我们还施加了在每种情况下都会假设的一些基本属性：假设2.1。下列条件成立：（a）可行对应关系Γ是非空的、紧值的和d连续的。（b）地图（x，a）7→ H（x，a，v）是Borel可测的∈ V和连续ONG每当V∈ C（c）国家行动聚合器满足6 v′==> H（x，a，v）6 H（x，a，v′），适用于所有（x，a）∈G

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2022-6-11 06:31:00

（2）（d）所有（x，a）inG的功能wand wsatisfyw（x）6 H（x，a，w）和H（x，a，w）6 w（x）（3）。（a）和（b）的主要作用是获得解的存在性。如果状态和动作空间是离散的（有限或可数有限），那么我们采用离散拓扑，在这种情况下，（a）和（b）中的连续性要求自动得到满足，而如果（x）对每个x都是有限的，则满足了对Γ的紧凑性要求。条件（c）提出了自然要求，即更高的连续性值会增加寿命值，而条件（d）是一致性要求，允许wand wto作为寿命价值的上下限。在本文的其余部分，assum ption2.1中的条件都是正确的。设∑是从X到a的映射族，以下称为所有可行策略的集合，使得每个σ∈ ∑Borel可测量且满足σ（x）∈ Γ（x）表示所有x∈ 十、引理2.1。映射w（x）：=H（x，σ（x），v）是所有v的v元素∈ 五、证据（x，a）7的Borel可测性→ H（x，a，v）和σ意味着w在x上是Borel可测的。此外，由于w6 v，（2）和（3）中的不等式意味着所有x的w（x）6H（x，σ（x），w）6H（x，σ（x），v）。特别是w6 w。一个类似的论点给出了w6 w，所以w∈ 五、给定σ∈ ∑，函数vσ∈ 满足Vσ（x）=H（x，σ（x），Vσ）的所有x∈ X（4）称为σ-值函数。值vσ（x）可以解释为以下策略σ的寿命值。下面讨论其存在性和唯一性。2.1. 最大化。我们从研究价值最大化开始。我们的关键假设是，状态行动聚合器满足值凸性，并具有严格的上解：假设2.2（凸规划）。

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2022-6-11 06:31:03

满足以下条件：（a）H是值凸的。（b）存在ε>0，使得H（x，a，w）6 w（x）- ε表示所有（x，a）∈G、请注意，（b）部分是（3）中条件之一的强化。提案2.2。如果假设2.2成立，那么对于∑中的每个σ，集合V实际上包含一个σ-值函数Vσ。命题2.2向我们保证，给定政策σ的值vσ已明确定义。在此基础上，我们可以引入关于最大化决策问题的最优性。特别是在当前环境下，政策σ*∈ ∑称为最优ifvσ*（x） >vσ（x）表示所有σ∈ ∑和所有x∈ 十、与此规划问题相关的最大值函数是map v*定义为x∈ X byv*（x） =supσ∈∑vσ（x）。（5）从假设2.1的条件（c）和（d）可以看出，v*定义为X和d满足w6 v的面积值函数*6 w.A功能v∈ V满足Bellman方程ifv（x）=maxa∈Γ（x）H（x，a，v）对于所有x∈ 十、（6）与abs Track动态程序相关的行李员操作员T是一个地图发送v，以C输入T v（X）=maxa∈Γ（x）H（x，a，v）。（7）由于v在C中，最大值的存在由假设2.1保证。根据Berge的极大值定理，T v是C的一个元素。显然，C中Bellman方程的解与T的固定点完全一致。凸规划条件导致以下中心结果：定理2.3。如果假设2.2成立，则（a）Bellman方程在C中只有一个解，该解为v*.（b）如果v在C中，则Tnv→ v*在X上均匀分布为n→ ∞.（c） ∑中的策略σ是最优的当且仅当σ（x）∈ argmaxa∈Γ（x）H（x，a，v*) 对于所有x∈ 十、（d）至少存在一个最优策略。定理2.3中T的不动点和收敛结果依赖于Du（1990）提出的单调凸算子的不动点定理。

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2022-6-11 06:31:06

在这里，收敛是一致几何的：存在常数λ∈ （0，1）和K∈Rsuch thatkTnv公司- v*k 6λnK，适用于所有n∈Nand v∈ C2.2. 最小化。接下来我们讨论最小化。在此设置中，假设2.2中的凸性和严格上解被凹性和严格下解所取代。为了保持与其他来源的一致性，我们承认与第2.1节“最大化”相关的术语有些过重。例如，最优策略现在将引用最小化策略而不是最大化策略，Bellman方程将从最大化转换为最小化。相关定义将从上下文中明确。下一个假设类似于假设2.2，用于最大化。假设2.3（凹形程序）。满足以下条件：（a）H为值凹。（b）存在ε>0，使得所有（x，a）的H（x，a，w）>w（x）+ε∈G、请注意，（b）部分是（3）中条件之一的强化。提案2.4。如果假设2.3成立，那么对于∑中的每个σ，集合V实际上包含一个σ-值函数Vσ。命题2.4模仿了命题2.2，向我们保证，在当前背景下，给定政策σ的成本vσ已得到很好的定义。A政策σ*∈ ∑则称为最优ifvσ*（x）所有σ均为6 vσ（x）∈ ∑和所有x∈ 十、与此规划问题相关的最小成本函数是函数v*定义于x∈ X byv*（x） =infσ∈∑vσ（x）。（8） A函数v∈ V满足Bellman方程ifv（x）=mina∈Γ（x）H（x，a，v）对于所有x∈ 十、（9）与abs拖拉机动态程序相关的行李员操作员S是一个地图发送V，在C intoSv（X）=mina中∈Γ（x）H（x，a，v）。（10）与定理2.3类似，我们有定理2.5。

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大多数88

2022-6-11 06:31:09

如果假设2.3成立，则（a）Bellman方程（9）在C中只有一个解，该解是最小成本函数v*.（b）如果v在C中，则Snv→ v*在X上均匀分布为n→ ∞.（c） ∑中的策略σ是最优的当且仅当σ（x）∈ 阿格米纳∈Γ（x）H（x，a，v*) 对于所有x∈ 十、（d）至少存在一个最优策略。3、应用在本节中，我们研究一系列应用程序，展示如何使用第2节中的一般结果来解决导言中讨论的动态编程问题。3.1. 可加分离的决策过程。值得注意的是，上述结果与传统的Bellman–Blackwell收缩映射动态规划方法一样，可以应用于标准可加可分情况。要看到这一点，请考虑Stokey et al.（1989）的通用动态p编程模型，Bellman方程v（s，z）=maxy∈Γ（s，z）F（s，y，z）+βZv（y，z′）P（z，dz′）（11）超过（s，z）∈ S×Z。这里S和Z是紧度量空间，分别包含内生和外生状态变量的可能值。设Z上的转移函数p具有Feller性质，使可行对应关系Γ：S×Z→ S是紧值连续的，设F:G→Rbe连续，且β位于（0，1）。我们将此模型转换到我们的环境中，将x：=（s，z）作为状态，x：=s×z作为状态空间，a=y∈ S为动作，设定h（（S，z，y，v）=F（S，y，z）+βZv（y，z′）P（z，dz′）。由于F在紧集上是连续的，因此存在一个有限常数M，其中F为6 M。对于括号函数，wwe fixε>0，并采用常数函数w≡ -M1级- β和w≡M+ε1- β.假设2.1的条件均已满足。假设条件（a）和（b）为真，条件（c）无需验证。为了看到假设2.1的条件（d）成立，我们注意到，wand wlie在bcX中。

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2022-6-11 06:31:12

此外，对于任何给定（（s，z），y）∈G、 wehaveH（（s，z），y，w）=F（s，y，z）- βM1- β> -M- βM1- β=w（s，z）。类似地，H（（s，z），y，w）=F（s，y，z）+βM+ε1- β6 M+βM+ε1- β=w（s，z）- ε.最后一个不等式不仅给出了假设（d）部分所要求的H（（s，z），y，w）6 w（s，z），而且给出了假设2.2（b）部分中更强的条件。因此，根据Tychono ff定理，TotainGof在乘积拓扑中是紧的。验证定理2.3的要求，我们只需检查假设2.2第（a）部分中的凸性条件。但这是直接从线性的期望。因此，定理2.3适用。3.2. Epstein Zin首选项。Epstein和Zin（1989）提出了一种寿命价值规范，将替代和风险规避的跨期弹性分离并独立参数化。值由CES aggregatorUt=h（1）递归定义- β） C1类-ρt+β{Rt（Ut+1）}1-ρi1-ρ（0<ρ6=1），其中{Ct}是消耗路径，Utis是从timet开始的路径的效用值，Rtis是Kreps-Porteus确定性相等的运算符（Ut+1）=EtU1-γt+11.-γ(0 < γ 6= 1).这里，Et代表针对周期t信息的条件期望。值1/ρ表示复合商品和确定性等价物之间的跨期替代弹性（EIS），而γ则表示相对于非暂时赌博的相对风险厌恶（RRA）水平。经验上最相关的情况是ρ<γ，这意味着代理人倾向于早期解决不确定性（见Bansal和Yaron（2004）或Schorfheide et al.（2018））。

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2022-6-11 06:31:15

接下来我们将重点关注这个案例。在Epstein–Zin偏好下，（11）中的一般可加分离Bellman方程变为SV（s，z）=maxy∈Γ（s，z）（r（s，y，z）+βZv（y，z′）1-γP（z，dz′）1.-ρ1-γ)1-ρ（12）（s，z）∈ S×Z，wher e，here and below，r（S，y，Z）：=（1- β） F（s，y，z）1-ρ.我们对第3.1节中讨论的基本体提出了相同的条件。特别地，F是连续的，P是Feller，Γ是连续的且紧致值，S和Zare紧致。确保F（s，y，z）1-ρ总是很明确的，我们也假设F是非常正的。3.2.1. ρ<γ<1的情况。正如Hansen和Scheinkman（2012）所述，我们从连续严格递增的转换^v=v1开始-γ、这允许我们将（12）重写为^v（s，z）=maxy∈Γ（s，z）（r（s，y，z）+βZ^v（y，Z′）P（Z，dz′）1/θ）θ（13），其中θ：=1- γ1 - ρ.由于该变换是双射的，因此vand^v之间存在一对一的对应关系，即v在d仅在^v解（13）时解（12）。注意，在当前设置中，我们有θ∈ (0, 1).对应于（13）isH（（s，z），y，v）=（r（s，y，z）+β的状态动作聚合器HZv（y，z′）P（z，dz′）1/θ)θ. （14）对于括号函数wand w，我们将δx>0，取常数函数Sw：=m1级- βθ和w：=M+δ1- βθ、其中m：=最小值（（s，z），y）∈Gr（s，y，z）和M：=最大值（（s，z），y）∈Gr（s、y、z）。（15）这些值是有限的和正的，因为F在紧域上是连续的和正的。魔杖是恒定的，是连续的。现在，我们证明假设2.1和2.2的条件都是满足的。根据假设2.1，条件（a）在假设中是真的，而条件（b）紧随F的连续性和P的Feller性质。条件（c）很容易验证，因为对于任何b>0的情况，标量m apψ（t）：=（b+βt1/θ）θ（t>0）（16）是单调递增的。

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2022-6-11 06:31:18

要检查条件（d），请注意，对于固定（（s，z），y）∈G、我们有h（（s，z），y，w）=r（s，y，z）+βm1- βθ>m+βm1- βθ=w（s，z）。类似地，H（（s，z），y，w）=r（s，y，z）+βM+δ1- βθM+βM+δ1- βθ、在这种情况下，F的正性可以减弱为非负性。或者，用一些r环，H（（s，z），y，w）6M+δ1- β- δθ<w（s，z）。（17）因此，假设2.1的条件（d）成立。事实上，（17）意味着我们对walso的选择满足了假设2.2（b）中的一致严格不等式。只需检查H的值的凸性。但这是由（16）中定义的ψ的凸性所暗示的，每当0<θ6 1时，该凸性保持不变，以及积分的线性。下面是定理2.3的结论。3.2.2. ρ<1<γ的情况。为了处理这种情况，我们再次应用连续变换^v≡ v1-γ到Bellman方程（12）。但现在1- γ为负，导致最小化问题^v（s，z）=miny∈Γ（s，z）（r（s，y，z）+βZ^v（y，Z′）P（Z，dz′）1/θ）θ（18）（s，z）∈ 十、与（18）相对应的状态动作聚合器H仍与（14）中的定义相同。注意，在当前设置中，θ<0。由于（18）是一个极小化问题，我们的目标是应用定理2.5。对于括号函数wand w，我们取常数f functionsw：=M+δ1- βθ和w：=m1级- βθ、其中δ为正常数，m和m如（15）所定义。假设2.1和2.3的条件均满足。关于假设2.1，条件（a）至（c）的参数与第3.2.1节中的参数相同。要检查条件（d），请注意，对于固定（（s，z），y）∈G、我们有h（（s，z），y，w）=r（s，y，z）+βM+δ1- βθ>M+βM+δ1- βθ、或者，对于一些r环，H（（s，z），y，w）>M+δ1- β- δθ> w（s，z）。

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2022-6-11 06:31:21

（19）同样，对于固定（（s，z），y）∈G、我们有h（（s，z），y，w）=r（s，y，z）+βm1- βθm+βm1- βθ、精确地说，当ε：=[（M+δ）/（1）时，条件（b）成立- β)]θ- [（M+δ）/（1- β) - δ]θ.最后一项等于w（s，z）。因此，假设2.1的条件（d）得到验证。此外，从（19）开始，我们对walso的选择立即满足了假设2.3（b）中的统一系统不等式。只需检查H的值凹度。但这直接来自（16）中定义的函数ψ的凹度，如θ<0所示，以及积分的线性。现在，我们已经检查了定理2.5.3.2.3中的所有条件。情况1<ρ<γ。我们现在转向相对风险规避系数仍然严格大于1但替代跨期弹性小于1的情况下的模型，这在文献中常见。与前面一样，我们应用连续变换^v≡ v1-γ符合Bellman方程（12），且自1起- γ<0，转换后的对应项将我们引向（18）中定义的最小化问题。请注意，当前设置中θ>1。由于（18）是一个极小化问题，我们的目标是应用定理2.5。对于括号函数wand w，我们取常数f functionsw：=m级- δ1 - βθ和w：=M1级- βθ、对于某些正δ<m，其中m和m如（15）所定义。假设2.1和2.3再次得到满足。关于假设2.1，验证条件（a）至（c）的参数与第3.2.1节中的参数相同。要检查条件（d），请注意，对于固定（（s，z），y）∈G、我们有h（（s，z），y，w）=r（s，y，z）+βm- δ1 - βθ>m+βm- δ1 - βθ、或者，用一些r耳环和格子（（s，z，y，w）>m级- δ1 - β+ δθ> w（s，z）。（20）同样，对于固定（（s，z），y）∈G、我们有h（（s，z），y，w）=r（s，y，z）+βM1- βθM+βM1- βθ=w（s，z）。因此，假设2.1的条件（d）成立。

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2022-6-11 06:31:24

事实上（20）意味着我们对walso的选择满足了假设2.3（b）中的一致严格不等式。例如，参见Farhi和Werning（2008）或Basu和Bundick（2017）。H的值凹度是ψ的凹度的直接结果，当θ>1时，ψ的凹度与积分的线性度保持一致。下面是定理2.5的结论。3.3. 风险敏感偏好。考虑具有风险敏感偏好的代理人（例如，参见B¨auerle和Ja'skiewicz（2018）），得出Bellman方程v（s，z）=maxy∈Γ（s，z）r（s、y、z）-βθlnZexp-θv（y，z′）P（z，dz′）（21）对于每个（s，z）∈ S×Z.这里，r:G→Ris是一个连续的单周奖励函数。参数θ>0表示风险敏感性，而其他原语如第3.1节所述。特别地，P是Feller，Γ是连续的和紧值的，并且两个沙Z都是紧的。应用连续双射变换^v≡ 经验值(-Bellman方程（21）中的θv）到v导致最小化问题^v（s，z）=miny∈Γ（s，z）扩展-θr（s、y、z）-βθlnZ^v（y，Z′）P（Z，dz′）. （22）我们将（22）转换为我们的环境，将X：=S×Z作为状态空间，a=y∈ S为动作，设置h（（S，z），y，v）=exp-θr（s、y、z）-βθlnZv（y，z′）P（z，dz′）. （23）由于r是连续的，因此存在一个有限常数M，其中| r | 6 M。对于括号函数，我们确定δ>0，并取常数函数sw：=exp-θM1级- β+ δ和w：=exp-θ-M1级- β.假设2.1和2.3均满足。关于假设2.1，验证条件（a）和（b）的步骤与第3.2.1节中的步骤相同。条件（c）显然适用于任何b∈R、标量映射φ（t）：=exp-θb-βθln t（t>0）（24）是单调递增的。

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2022-6-11 06:31:26

要检查条件（d），请注意，对于固定（（s，z），y）∈G、我们有h（（s，z），y，w）=exp-θr（s，y，z）+βM1级- β+ δ> 经验值-θM+βM1级- β+ δ或者，用一些r耳环，H（（s，z），y，w）>exp-θM1级- β+ βδ> w（s，z）。（25）同样，对于固定（（s，z），y）∈G、我们有h（（s，z），y，w）=exp-θr（s，y，z）+β-M1级- β6经验值-θ-M- βM1- β,最后一项等于w（s，z）。因此，假设条件（d）为2.1小时。此外，从（25）中可以明显看出，我们对walso的选择满足了假设2.3第（b）部分中的一致严格不等式。最后，假设2.3的条件（a）是H的值凹度，它直接遵循（24）中定义的函数φ的凹度以及积分的线性。下面是定理2.5的结论。3.4. 模棱两可Ju和Miao（2012）提出并研究了一个递归s光滑模糊模型，其中寿命值满足度=h（1- β） C1类-ρt+β{Rt（Ut+1）}1-ρi1/（1）-ρ）（26）带RT（Ut+1）=EutEπθ，thU1-γt+1i(1-η)/(1-γ)1/(1-η). （27）如前所述，ρ是EIS和γZF风险规避的倒数，而η满意度0<η6=1，并捕捉模糊规避。如果η=γ，则决策者是模糊中立的，（26）–（27）简化为Epstein和Zin（1989）的经典递归效用模型。当且仅当γ<η时，决策者显示模糊厌恶。我们主要关注案例0<ρ6 1<γ<η，这与经验最相关。作为Ju和Miao（2012）偏好的一般公式，我们考虑Bellman方程v（s，z）=maxy∈Γ（s，z）r（s，y，z）+β（zZv（y，z′）1-γπθ（z，dz′）1.-η1-γu（z，dθ））1-ρ1-η1.-ρ（28）精确地说，当我们设置ε：=exp时，假设2.3的条件（b）成立{-θ[米/（1）- β) + βδ]} -经验值{-θ[米/（1）- β) + δ]}.inJu和Miao（2012）使用的校准为（ρ，γ，η）=（0.66，2.0，8.86）。见第574页。其中（s，z）∈ S×Z。

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何人来此

2022-6-11 06:31:29

我们假设e S和Z都是紧的，Γ是连续的且是紧值的，F是连续的且处处都是正的。集合Θ是一个单位参数空间，其中的每个元素都是外部状态过程规范中的参数向量。给定任意θ∈ 假设Z上的转移函数πθ具有Feller性质。给定任意z∈ Z、分布u（Z，·）将Θ的子集映射到[0，1]，并演化为外源状态过程的一个函数。我们假设对于每个θ，u在z中是连续的∈ Θ.3.4.1. 情况ρ6=1。应用连续双射变换≡ v1-η到vin Bellman方程（28）导致最小化问题^v（s，z）=miny∈Γ（s，z）r（s，y，z）+β（zZ^v（y，Z′）ξπθ（Z，dz′）ξu（z，dθ））ξξ（29）表示所有（s，z）∈ S×Z，其中，这里和下面，ξ：=1- γ1 - η和ξ：=1- η1 - ρ.由于该变换是双射的，因此vand^v之间存在一对一的对应关系，即v在d仅在^v解（29）时解（28）。注意，在当前设置中，我们有ξ∈ （0，1）和ξ<0。我们将此模型转换为我们的环境，方法是将X：=S×Z作为状态空间，a=y作为S中的动作值，并将状态动作聚合器H设置为H（（S，Z），y，^v）=r（s，y，z）+β（zZ^v（y，Z′）ξπθ（Z，dz′）ξu（z，dθ））ξξ. （30）由于（29）是一个极小化问题，我们旨在应用定理2.5。对于括号函数wand w，我们将δx>0，取常数函数sw：=M+δ1- βξ和w：=m1级- βξ、其中实数m和m如第3.2.1节所定义。假设2.1和2.3得到满足。关于假设2.1，条件（a）在假设中是真实的。ap pendix中的引理5.9证明了条件（b）和d（c）。

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mingdashike22

2022-6-11 06:31:32

验证条件（d），对于固定（（s，z），y）∈G、我们有h（（s，z），y，w）=r（s，y，z）+β（zM+δ1- βξu（z，dθ））1/ξξ=r（s，y，z）+βM+δ1- βξ>M+βM+δ1- βξ、其中，第一个等式直接来自于H和f的定义，即对于任何非负常数函数d，[Rd（z′）ξπθ（z，dz′）]1/ξ=d。此外，通过重新排列，我们得到H（（s，z），y，w）>M+δ1- β- δξ> w（s，z）。（31）同样，对于固定（（s，z），y）∈G、我们有h（（s，z），y，w）=r（s，y，z）+β（zm1级- βξu（z，dθ））1/ξξ=r（s，y，z）+βm1- βξm+βm1- βξ=w（s，z）。因此，假设2.1的条件（d）确实成立。此外，从（31）中可以明显看出，我们对walso的选择满足了假设2.3第（b）部分中的一致严格不等式。假设2.3的条件（a）（即H的值凹度）也得到满足，如附录的表5.9所示。下面是定理2.5的结论。3.4.2. ρ=1的情况。在ρ=1的极限情况下，通用模糊递归（27）变为comesut（C）=（1- β） ln Ct+β1- ηlnEutexp1.- η1 - γlnEπθ，texp（（1- γ） Ut+1）,（32）式中，Ut=ln Vt.（28）中的一般Bellman方程变为sv（s，z）=maxy∈Γ（s，z）r（s，y，z）+β1- η××lnZexpξlnZexp(1 - γ） v（y，z′）πθ（z，dz′）u（z，dθ）,（33）正如Hansen和Sargent（2008）所研究的，该规范与风险敏感控制和稳健性相关。特别是，在（32）中有两个风险敏感性调整。对于每个（s、z）∈ S×Z。

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可人4

2022-6-11 06:31:35

单周期回归函数r仍假定为连续函数，但不再限制为正函数，而其他基本函数如第3.4.1节所述。应用转换^v≡ exp[（1- η） Bellman方程（33）中的v]to v导致最小化问题^v（s，z）=miny∈Γ（s，z）扩展（1- η)r（s，y，z）+β1- η××lnZexpξlnZexpξln^v（y，z′）πθ（z，dz′）u（z，dθ）!.（34）通过一些重新排列，（34）可以写成^v（s，z）=miny∈Γ（s，z）扩展（1- η）（r（s，y，z）+β1- η××ln“ZZ^v（y，Z′）ξπθ（Z，dz′）1/ξu（z，dθ）#）！。（35）注意我们还有ξ∈ （0，1）和η>1，在当前设置中具有歧义版本。对应于（35）isH（（s，z），y，^v）=exp（1）的状态动作聚合器H- η）（r（s，y，z）+β1- η××ln“ZZ^v（y，Z′）ξπθ（Z，dz′）1/ξu（z，dθ）#）！。（36）由于返回函数r在紧集上是连续的，因此存在一个有限常数，使得| r | 6 M。因此，对于括号函数wand w，我们f xδ>0，取常数函数sw：=exp(1 - η)M1级- β+ δ和w：=exp(1 - η)-M1级- β.由于（35）是最小化p问题，我们的目标是应用定理2.5。同样，假设2.1和2.3均已满足。关于假设2.1，条件（a）微不足道。条件（b）和（c）遵循附录引理5.11。要检查条件（d），请注意，对于固定（（s，z），y）∈G、我们有h（（s，z），y，w）=exp(1 - η)r（s，y，z）+βM1级- β+ δ> 经验值(1 - η)M+βM1级- β+ δ,或者，用一些r耳环，H（（s，z），y，w）>exp(1 - η)M1级- β+ βδ> w（s，z）。（37）同样，对于固定（（s，z），y）∈G、我们有h（（s，z），y，w）=exp(1 - η)r（s，y，z）+β-M1级- β6经验值(1 - η)-M- βM1- β= w（s，z）。因此，假设2.1的条件（d）成立。事实上，从（37）开始，我们对walso的选择立即满足了假设2.3第（b）部分中的一致严格不等式。

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2022-6-11 06:31:38

关于假设2.3的（a）部分，H的值凹度是引理5.11的直接值。我们现在已经检查了2.5中的所有条件，因此该定理的结论如下。3.5. 狭窄的框架。在本节中，我们研究了将一阶风险厌恶和狭义框架结合在一起的递归偏好，例如Barberis et al.（2006）orBarberis and Huang（2009）。它们可以表示为=(1 - β） C1类-ρt+β(EtU1-γt+11.-γ+βx=1'u（'Gi，t+1）！）1.-ρ1.-ρ、其中，b>0是一个控制窄帧程度的参数，而▄Gi，t+1代表代理人通过投资资产而进行的特定赌博，不确定性将在t和t+1期间解决。一阶风险规避是通过“u”的分段线性引入的。相对于第3.2节中的递归规范，由B预先定义的新术语表明，代理人直接从赌博结果{Gi，t+1}中获得效用，而不是直接通过其对下一期财富的贡献来获得效用。其他原语如第3.2节所述。对于参数ρ和γ，我们假设它们是1<ρ<γ或ρ<1<γ。u inBarberis等人。

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2022-6-11 06:31:41

（2006）是'u（x）=x{x>0}+λx{x<0}，λ>1。在上述偏好规范下，通用Bellman方程为SV（s，z）=maxy∈Γ（s，z）r（s，y，z）+β“Zv（y，z′）1-γP（z，dz′）1.-γ+B（s，y，z）#1-ρ1.-ρ.（38）如前所述，我们假设单期回报函数r（s，y，z）为正且连续的onG，而总赌博效用函数B（s，y，z）为负且连续的onG。我们再次应用连续变换^v≡ v1-γ到Bellman方程（38）。同于1- γ为负，变换后的对应项将我们引向最小化问题^v（s，z）=miny∈Γ（s，z）r（s，y，z）+β“Z^v（y，Z′）P（Z，dz′）1.-γ+B（s，y，z）#1-ρθ、（39）式中θ：=（1）- γ)/(1 - ρ). 状态动作聚合器isH（（s，z），y，^v）=r（s，y，z）+β“Z^v（y，Z′）P（Z，dz′）1.-γ+B（s，y，z）#1-ρθ. （40）引理3.1。设H如（40）所定义。如果ρ<1<γ或1<ρ<γ，则存在连续的严格正函数w，won S×Z，w<w，使得（SL）存在ε>0，使得H（（S，Z），y，w）>w（S，Z）+ε（S，Z，y）∈G和（U）H（（s，z），y，w）6 w（s，z），表示所有（（s，z），y）∈G、证明推迟到附录中。假设2.1和2.3的条件均满足。关于假设2.1，条件（a）在假设中为真，而条件（b）紧随r和b的连续性以及P的Feller属性。条件（c）很容易验证，因为对于任何固定常数c>0和b>0，标量映射ψ（t）：=c+βht1-γ+bi1-ρθ（t>0）（41）是单调递增的。假设2.3的条件（d）和部分（b）已由引理3.1验证。只剩下检查H的值凹度。

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2022-6-11 06:31:44

但这直接来自（41）中定义的ψ的凹度，如ρ<1<γ所示，以及积分的线性。因此，验证了定理2.5的所有条件，并得出了该定理的结论。4、无限报酬本节举例说明了如何将本文提出的动态规划方法扩展到无限报酬的设定。我们考虑的应用是第3.2.3节的Epstein-Zin问题，其中1<ρ<γ，Bellman方程v（s，z）=maxy∈Γ（s，z）（r（s，y，z）+βZv（y，z′）1-γP（z，dz′）1.-ρ1-γ)1-ρ（s，z）∈ 放弃紧性假设，我们允许S和Z分别是包含内生和外生状态变量可能值的任意可分度量空间。如前所述，P是Feller，Γ是紧值连续的，而r:G→Ris连续，β位于（0，1）。将θ定义为θ=（1- γ)/(1 - ρ），以便在当前设置中θ>1。此外，我们作出以下假设。假设4.1。存在一个连续函数κ：S×Z→ [1, ∞), 正常数M、L和L 6 M以及c∈ （0，1/βθ）和d∈ [0，1/βθ）满足条件∈Γ（s，z）r（s，y，z）6 Mκ（s，z）表示所有（s，z）∈ S×Z，（42）infy∈Γ（s，z）r（s，y，z）>Lκ（s，z）表示所有（s，z）∈ S×Z，（43）supy∈Γ（s，z）zκ（y，z′）θP（z，dz′）6 cκ（s，z）θ表示所有（s，z）∈ S×Z，（44）infy∈Γ（s，z）zκ（y，z′）P（z，dz′）>dκ（s，z）表示所有（s，z）∈ S×Z.（45）此外，映射（y，Z）7→Rκ（y，z′）θP（z，dz′）在S×z上是连续的l 在S×Z上定义l（s，z）>0表示所有（s，z）∈ S×Z，函数f:S×Z→Ris呼叫l-f（s，z）有界/l（s，z）与（s，z）在s×z上的范围有关。如第3.2.3节所述，我们采用连续变换^v≡ v1-γ到Bellman方程。

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