与目标波动率策略相关的期权的封闭式公式

2022-6-14 05:08:41

与目标波动率相关的期权封闭式公式系统策略Sluca DI PERSIOa，Luca PREZIOSOb，c和Kai WALLBAUMdaDepartment of Computer Science，University of Verona，Strada le Grazie，15，Verona，ItalybDepartment of Mathematics，University of Trento，via Sommarive，14，Trento，ItalycLPSM，University of Paris Diderot，5 Rue Thomas Mann，Paris，FrancedRiskLab，Allianz Global Investors，Seidlstrasse 24-24a，Munchen，Germany 2019年2月26日摘要。近年来，出现了一类基于与动态资产配置策略相关的期权的结构化金融产品。最常用的方法之一是所谓的目标波动率机制。它在风险资产和无风险资产之间转换，以控制整个投资组合的波动性。即使已经有一系列文章被投票用于分析与目标波动机制相关的期权，但据我们所知，本文是第一篇尝试开发电压目标封闭公式的文章。特别是，我们在Black和Scholes背景下开发了期权价格的封闭式公式和一些关键hedgingparameters，假设基础遵循targetvolatility机制。关键词。波动率目标投资组合、广义Black-Scholes模型、欧式期权、exactformulas、Greens、Euler-Maruyama方案、Milstein方案。AMS科目分类。91G10、91G20、91G50.1简介金融市场之后，风险管理解决方案对机构投资者和散户投资者变得越来越重要。低利率环境迫使从业者思考如何在客户投资组合中使用可用的风险预算的更高效的技术。

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nandehutu2022

2022-6-14 05:08:43

最成功的策略之一是所谓的目标波动率策略，也称为Voltaget策略（VTS），该策略在多资产组合中引入，但也在至少提供部分资本保护的结构化产品中引入。这一概念在无风险和风险集合之间动态转换，以生成一个风险水平稳定、不受市场波动影响的投资组合。该方法假设市场波动率是资产配置决策的良好指标，该概念在波动率较低的上涨市场和波动率较高的下跌市场中都能很好地发挥作用。从业者经常将这一概念与固定投资组合保护保险（CPPI）策略进行比较，CPPI策略也在风险资产和无风险资产之间动态分配，但在这一概念中，投资过程旨在实现一般的资本保护。近年来，VTS或CPPI策略等动态资产配置过程已被用来解释期权，我们看到了一系列研究期权理论的学术论文，当衍生工具的基础遵循某种交易规则，在风险资产和无风险资产之间转换时。这些论文大多采用数值方法来确定期权价格或对冲参数。例如，我们参考了Alberio等人【1，2】、Jawaid【11，12】、Zakamulin【20】，他们特别关注不同市场模型中的VT。Zagst等人[8]专注于CPPI期权，他们还开发了Black-Scholes环境下CPPI期权的封闭式公式。据我们所知，本文是第一次尝试，考虑了VTS链接选项的封闭式公式。我们的基本环境可以与Zagst等人在[8]中的环境进行比较，作者假设风险资产会演变为Black-Scholes模型。

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2022-6-14 05:08:47

我们扩展了这种分析，考虑到广义几何布朗运动框架，具有随机漂移和扩散，适应概率空间的真实过滤，然后推导出与VTS投资组合相关的看涨期权和看跌期权的封闭端公式。我们还考虑了模型的风险，为与VTS相关的期权的关键对冲参数提供了封闭式表达式。我们想强调的是，我们的结果对于任何与悉尼威立雅运输公司投资组合相关的定价和对冲期权的从业者来说都是重要的一步。本文的组织结构如下：在第2节中，我们分析了悉尼威立雅运输公司（VTS）的投资组合，其资产动态由广义几何布朗运动描述。我们处理了以标准VTS确定的VTS投资组合为基础的期权的估值问题，以保持固定的波动率。在第3节中，我们考虑了VTS的修改，这为VTS的持续动态调整所产生的杠杆效应设定了上限。在这种情况下，我们将风险资产视为具有时间依赖漂移和波动性的几何布朗运动。对于这两种策略，给出了看涨期权和看跌期权价格的精确公式。在第4节中，我们分析了悉尼威立雅运输公司投资组合中期权价格对波动性和风险资产价值的敏感性。我们重点分析了希腊（织女星、三角洲和伽马）的潜在波动性变化，还提供了一些图表，以更好地突出我们结果的稳健性和合理性。

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2022-6-14 05:08:49

在第5节中，我们利用Euler Maruyama和Milstein离散化方法，对风险资产用aHeston模型描述时的VTS投资组合路径进行了相关模拟。2广义几何布朗运动环境中的标准Voltaget策略让我们首先考虑一个类似于Merton的开创性论文[16]的框架。这意味着通过本文，我们将考虑两种投资机会出现的市场：一种是无风险资产，也称为货币市场或政府债券或简单的债券，另一种是风险基础资产，也称为股票或股票。此外，我们假设标的资产的随机性由Black-Scholes-Merton随机微分方程描述，并且存在连续交易的完美市场，其中代理人不受任何交易成本的约束，将风险资产交易为无风险资产，反之亦然。让(Ohm, F、 {F（t）}t≥0，P）是一个经过过滤的完全概率空间，具有右连续过滤，支持布朗运动W，并考虑由两个投资机会组成的市场：风险资产{S（t）}t≥0和无风险资产{B（t）}t≥0，演化为满足广义几何布朗运动和确定性函数的随机过程：dS（t）=S（t）u（t）dt+σ（t）dW（t）, （1） dB（t）=r B（t）dt，对于每个t≥ t、其中t≥ 0是开始时间，W是布朗运动F（t）-适应，r∈ R+是代表无风险利率的正常数，u和σ是适应{FW}的随机过程，即布朗运动产生的自然过滤，分别代表平均回报率和风险资产的百分比波动率。

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2022-6-14 05:08:52

让s，b∈ R+是风险资产和无风险资产的时值。此外，考虑持有投资组合的投资者，从投资于无风险资产的正头寸x和投资于风险资产的正头寸y开始，并假设他可以在不支付任何交易成本的情况下将其资本从一项投资转移到另一项投资。因此，让我们介绍表示购买风险资产所需无风险资产累计金额的过程L，以及表示购买无风险资产所需风险资产累计金额的过程M。假设L和M都是非负的、非递减的和c\'adl\'ag。最后，投资组合的价值可以用（X（t），Y（t））t连续表示≥t、从X（t）=X，Y（t）=Y开始，其中（X，Y）分别表示投资于无风险资产和风险资产的资本金额，并根据以下随机微分方程发展：dx（t）=r X（t）dt+dM（t）- dL（t），（2）dY（t）=u（t）Y（t）dt+σ（t）Y（t）dW（t）+dL（t）- dM（t）。（3）在下文中，我们既不引入比例交易成本，也不引入固定交易成本，将这些框架留给未来的研究。让我们概括一下，如果将成本考虑在内，那么持续的重新平衡将给投资组合中的投资者带来不可忽视的费用，目的是保持固定的波动率，这意味着考虑波动率目标区间，而不是非非实际的波动率目标。让我们用V（t）表示投资者在t>t时的总投资组合价值，并让α（t）表示同时投资于风险资产的投资组合的百分比，假设该风险资产是一个适应的可预测的c\'adl\'ag过程，而1-α（t）表示投资于无风险资产集的投资组合权重，即我们定义V（t）=X（t）+Y（t），而α（t）=Y（t）X（t）+Y（t）。

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2022-6-14 05:08:55

由于投资按照（2）和（3）进行演化，通过替换风险资产动力学（1），我们导出了投资组合价值过程的动力学：（dV（t）=V（t）α（t）（u（t）-r） +rdt+α（t）σ（t）dW（t）, t>t，V（0）=x+y=：V，（4），其中α由投资者控制并适用于过滤F。我们有两条评论：首先注意，由（4）确定价值的投资组合是自我融资的，即（4）的动态与V（t）=V（t）等价α（t）dS（t）S（t）+（1- α（t））dB（t）B（t）, （5）此外，请注意，V是一个马尔可夫投资组合，我们先验地不知道财富过程的未来价值，因为它具有随机动态。回到波动率目标（VT）投资策略，让我们回顾一下，这是一种动态资产配置机制，其中投资于风险资产的金额由预先确定的波动率目标水平决定，由代表基础风险集波动率的bσ表示，σ（t），见（1）。通过在两个投资机会之间动态切换（根据方程式（1），投资者旨在保持最终投资组合Vbσ（t）的恒定波动水平，该投资组合可用作衍生工具的基础，例如欧洲看涨期权/看跌期权。我们在以下定义中继续这一概念：定义2.1（VolTarget策略组合）考虑随机过程Vbσ根据Vbσ（t）=X1演变-bα（t）+Ybα（t），t≥ t、（6）式中，Ybα=bαVbσ，Xbα=（1- bα）Vbσ，bα是指动态投资于风险资产的投资组合价值α（t）的比例。

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2022-6-14 05:08:58

我们认为，如果Vbσ是自筹资金的，且权重过程保持等于bσ的恒定波动率，则Vbσ是一个Voltaget策略投资组合，其中X和y分别表示无风险和风险资产的资本投资量，并根据（2）和（3）进行演变。我们想明确确定控制方程，该方程在投资组合过程中保持固定的波动性（4）。命题2.2对于bα（t）=bσ/σ（t），我们有一个过程，其动力学由（6）isa VTS投资组合给出。证据通过（4），对于α（t）=bα（t），我们有dvbσ（t）=Vbσ（t）bσσ（t）（u（t）- r） +rdt+bσdW（t）, （7）也就是说，通过定义2.1，我们完成了论文。请注意，我们没有考虑涉及基础（1）和必须分别投资于风险资产和无风险资产的资本金额的等式。在命题2.2中，我们认为，为了获得悉尼威立雅运输公司的投资组合，投资者必须保持该比率与风险资产波动率的实际值成反比，即等于bα（t）=bσ/σ（t），这是托氏的。2.1期权价格X=Φ（VT）是到期日为T且基础投资组合为V的未定权益，其中Φ是合同函数。在下文中，我们为此类索赔提供了无套利价格∏（t；X），有时也表示为∏（t；Φ）或∏（t）。让我们试探性地假设目前存在一个函数F∈ C1,2（[0，T]×R+）使得∏（T）=F（T，S（T）），那么根据Black-Scholes方程，如果F是以下偏微分方程的解，我们将没有套利(（t） F（t，s）+r s（s） F（t，s）+sbσssF（t，s）- r F（t，s）=0F（t，s）=Φ（s），（8）对于t∈ [0，T]和s∈ R+。

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2022-6-14 05:09:01

在下一小节中，我们将删除上述启发式假设，以推导VTS投资组合中的未定权益定价公式。让我们注意到，相关的PDE（8）可以解为\'a la Feynman Kaˉc，即F（t，s）=e-r（T-t） EQt，s【N（ST）】，对于t∈ [0，T]，s>0，其中我们考虑的是关于以s（T）=s为条件的唯一风险中性度量Q的期望，有关唯一风险中性度量的存在，请参见，例如，[5，Ch.14]。2.1.1风险中性估值设Q为唯一等价鞅测度，即唯一测度，其中S（t）/B（t）为局部鞅，WQ为Q下的布朗运动。然后，根据Girsanov定理，我们得出风险资产过程满足以下SDEdS（t）=S（t）r dt+σ（t）dWQ（t）. （9）由于基础风险资产受几何布朗运动的控制，动力学由方程（9）给出，因此我们可以将It^o-D¨oblin公式应用于log（S（t））（t）=S（0）expZt（r- σ（s）/2）ds+Ztσ（s）dWQ（s）.由于方程（9）中的波动率是随机的，我们不能对对数（S（t）/S（0）的分布说太多，在确定性波动率的特殊情况下，对数（S（t）/S（0）的分布是高斯分布。让我们考虑一个欧洲电话，分别是。看跌期权，带payoffΦcall（VT）=（VT- K） +，（10）Φput（VT）=（K- VT）+，（11）T≥ t为到期时间，K为履约价格。

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2022-6-14 05:09:04

通过下一个命题和推论，我们将在开始时间t确定价格≥ Voltaget框架内的此类选项中的0个。命题2.3假设风险资产动态遵循具有随机FW适应漂移和波动性的广义几何布朗运动，见方程（1），带payoff（10）的看涨期权的价格表示为Φcall，与VTS投资组合Vbσ（t）相关，见方程（7），由以下显式公式∏（t，Φcall（Vbσ（t））=v N（d（t））给出- K e公司-r（T-t） N（d（t）），（12）我们记得，投资于风险资产的投资组合价值的比例bα（t）如命题2.2所定义，N是标准正态分布的累积分布函数，v=Vbσ（t）是投资组合的起始值，我们定义了以下参数SD（t）=-zbσ（t）+bσ（t- t）√T- t、 d（t）=-zbσ（t）√T- t、 zbσ（t）=bσlog千伏+bσ-rbσ（T- t）。证据请注意，虽然基础风险资产具有非恒定的波动性，请参见等式（7），但VTS投资组合的动力学更简单。事实上，我们可以很容易地得到以下显式解vbσ（t）=v expr-bσ（t- t） +bσWQ（t- t）, 对于t≥ t、因此，我们有Vbσ（t）>K i ffwq（t- t） >bσlog千伏+bσ-rbσ（T- t） =：zbσ（t）。用fN（0，t）（x）表示高斯随机变量havig mean0和方差t的概率密度函数，即。

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2022-6-14 05:09:07

：fN（0，t）（x）=√2πte-x2t，通过N（x）标准高斯随机变量的累积分布函数，我们得到在时间tequals∏（t，Φcall（Vbσ（t）））=Ehe时，投资组合价值上的看涨期权价格-r（T-t）（Vbσ（t）- K）+Fti=e-r（T-t） Z+∞zbσ（t）v扩展r-bσ（T- t） +bσx- KfN（0，T-t）（x）dx=e-r（T-t） v er-bσ（T-t） +bσ/2（t-t）1.- Nzbσ（t）- bσ（T- t）√T- t型- K e公司-r（T-t）1.- Nzbσ（t）√T- t型= v N型-zbσ（t）+bσ（t- t）√T- t型- K e公司-r（T-t） N个-zbσ（t）√T- t型.推论2.4假设风险资产动态遵循具有随机FW适应漂移和波动性的广义几何布朗运动，见方程式（1），带payoff（11）的putoption的价格表示为Φput，与VTS投资组合Vbσ（t）相关，见方程式（7），由以下显式公式∏（t，Φput（Vbσ（t））=K e给出-r（T-t） N个(-d（t））- v N型(-d（t）），（13），其中参数d、d和zeσ的定义如命题2.3所示。证据通过看跌期权平价公式，例如，参见[19，4.5.6]，我们得出，看涨期权的价格与具有相同执行价格、到期时间和基础的看跌期权价格之间的差异，等于基础的实际价格（在我们的设置中由VTportfolio表示）与贴现执行价格之间的差异，即∏（t，Φcall（Vbσ（t）））- π（t，Φput（Vbσ（t））=v- K e公司-r（T-t），因此，我们有（13），因为N(-x） =1- 每x N（x）∈ R3具有最大允许杠杆因子的Voltaget策略接下来，我们将从从业者的角度研究一个更有趣的策略。特别地，我们引入了一个参数L≥ 1确定投资组合的最大允许杠杆，即我们强制权重过程小于或等于参数L：eα（t）：=min{L；bσ/σ（t）}。

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可人4

2022-6-14 05:09:10

（14）从现在起，我们将通过分别用帽子和颚化符标记波动性和权重符号，将标准VTS的符号与最大允许杠杆因子VTS（简称MLVTS）的符号区分开来。特别是，虽然bσ和bα指的是标准VTS投资组合，但eσ和eα指的是MLVTS投资组合。实施这一限制是为了禁止VTS通过贷款为大部分风险投资融资。真实场景中出现的典型设置为L=2，有关更多详细信息，请参见[2]。下一个命题给出了写在MLVTS投资组合上的欧洲看涨期权价值的分析表达式，杠杆率有限，波动率随时间变化。特别地，我们正在考虑方程（1）的一种特殊情况：dS（t）=S（t）u（t）dt+σ（t）dW（t）, （15）式中u，σ：R+→ R+是时间的确定函数，相反，允许百分比漂移项是随机的，并适应FW。命题3.1假设风险资产动态遵循几何布朗运动，具有随时间变化的漂移和波动性，见方程（15），带payoff（10）的看涨期权的价格，表示为Φcall，与MLVTS投资组合Veσ（t）相关联，由以下显式公式∏（t，Φcall（Veσ（t））=v N给出ed（t）- K e公司-r（T-t） N个ed（t）（16）其中，投资于风险资产的组合价值比例为eα（t）：=min{L；bσ/σ（t）}，N是标准正态分布的累积分布函数，v=Vbσ（t）是组合的起始值，我们定义了以下参数（t）=-ezbσ（t）+（t）p（t），ed（t）=-ezbσ（t）p（t），zeσ（t）=对数千伏- r（T- t） +（t），（t）=ZTteσ（s）ds，eσ（t）=min{Lσ（t），bσ}。证据

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nandehutu2022

2022-6-14 05:09:13

对于这种策略，我们知道投资组合价值没有恒定的波动性，它有以下表达式veσ（t，t）=v expr（t- t）- （t）/2+Zttmin（Lσ（s），bσ）dWQ（s）,我们有fw（t-t）：=Rttmin（Lσ（s），bσ）dWQ（s）~ N（0，（t）），这意味着其概率密度函数为fn（0，（t））（x）=p2π（t）exp-x2（t）.因此，我们有Veσ（T）>K i fff fW（T- t） >日志千伏- r（T- t） +（t）=：zeσ（t），我们有没有考虑的期权值等于∏（t，Φcall（Veσ（t））=Ehe-r（T-t）（Veσ（t）- K）+Fti=e-r（T-t） Z+∞zeσnv expr（T- t）- （t）/2+x- KofN（0，（t））（x）dx=e-r（T-t） v er（t-t）-（t）/2+（t）/21- Nzeσ（t）- （t）p（t）！！- K e公司-r（T-t） 1个- Nzeσ（t）p（t）！！=v N型-zeσ（t）+（t）p（t）！- K e公司-r（T-t） N个-zeσ（t）p（t）！。备注3.2请注意，该看涨期权的价格取决于未来的波动率，但由于其具有确定性，因此这不是一个问题，事实上，我们已经获得了准确的公式。推论3.3假设风险资产动态遵循具有时间依赖性漂移和波动性的几何布朗运动，见方程式（15），带payoff（11）的看跌期权的价格，表示为Φput，与MLVTS投资组合Veσ（t）相关，由以下显式公式∏（t，Φput（Veσ（t））=K e给出-r（T-t） N个-ed（t）- v N型-ed（t）（17）其中，定义见命题3.1，投资于风险资产的投资组合价值比例为eα（t）：=min{L；bσ/σ（t）}。证据put调用奇偶校验公式的直接结果。4 Greek在本节中，我们将继续对悉尼威立雅运输公司港口组合上的期权价格进行定量研究。

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nandehutu2022

2022-6-14 05:09:16

特别是，我们将明确推导出相关的希腊值，后者是表示衍生品价格对其表征基础参数随时间变化的敏感性的数量。在接下来的内容中，我们将考虑一种风险资产的演变，如Black-Scholes模型。因此，在VTS和MLVTS基础投资组合中，看涨期权和看跌期权的价格公式（12）、（13）、（16）和（17）减少到∏（t，Φcall（Vbσ（t）））=v N（d）- K e公司-r（T-t） N（d），π（t，Φcall（Veσ（t））=（v N（ed）- K e公司-r（T-t） N（ed），对于σ<bσ/L，v N（d）- K e公司-r（T-t） N（d），对于σ>bσ/L，π（t，Φput（Vbσ（t））=K e-r（T-t） N个(-d）- v N型(-d），π（t，Φput（Veσ（t））=（K e-r（T-t） N个(-ed）- v N型(-ed），对于σ<bσ/L，K e-r（T-t） N个(-d）- v N型(-d），对于σ>bσ/L，其中d=bσ√T- t型对数（v/K）+（r+bσ/2）（T- t）,d=bσ√T- t型对数（v/K）+（r- bσ/2）（T- t）,ed=σL√T- t型对数（v/K）+（r+Lσ/2）（T- t）,ed=σL√T- t型对数（v/K）+（r- Lσ/2）（T- t）.4.1 VegaSince VTS投资组合旨在保持固定的波动率水平，最具代表性的Greekvalue是Vega值，因为它代表了期权价格对风险资产波动率的敏感性。命题4.1加权策略分别为bα=bσ/σ和eα：=min{L；bσ/σ}的VTS和MLVTS投资组合上，带payoff（10）和（11）的看涨期权的Vega分别由ν{Φcall，Vbσ}=σ∏（t，Φcall（Vbσ（t）））=0，ν{Φcall，Veσ}=σ∏（t，Φcall（Veσ（t）））=v√2πexp-预计起飞时间L√T- t、对于σ<bσL，0，对于σ>bσL，（18）带ν{Φput，Vbσ}=ν{Φcall，Vbσ}和ν{Φput，Veσ}=ν{Φcall，Veσ}，其中ed=log（v/K）+r+Lσ（T- t） Lσ√T- t、证明。

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2022-6-14 05:09:19

让我们考虑一下σ<bσL的情况下的MLVT，然后我们回顾一下，看涨期权的价格简化为∏（t，Φcall（Vbσ（t）））=v N（ed）- K经验值(-r（T- t））N（ed），其中=-对数（K/v）+（r+Lσ/2）（T- t） Lσ√T- t、教育部=-对数（K/v）+（r- Lσ/2）（T- t） Lσ√T- t、然后，计算关于σ的偏导数，我们得到σ∏（t，Φcall（Veσ（t）））=√2πv e-ed/2LpT- t型-edσ！+K e公司-教育/2-r（T-t） LpT公司- t+edσ=√2πv e-第22版LpT- t型-预计起飞时间-edσ=v√2πexp-（ed）！LpT公司- t、其中第二行从identity exp（ed-ed）=vKexp（r（T- t））和最后一个byed-ed=Lσ√T- t、类似的计算也适用于看跌期权的织女星。备注4.2让我们强调，如果σ<bσ/L，则MLVTS看涨期权和标准杠杆看涨期权共享相同的价格，可以用标准看涨期权价格表示，表示为∏S：=∏（t，Φ看涨期权（S（t）））；hnce说明了风险资产波动率的依赖性∏Veσ（σ）=∏s（Lσ），因此，计算波动率的偏导数，我们有ν{Φcall，Veσ}=σ∏Veσ（σ）=Lσ∏S（Lσ），即与方程式（18）中的表达式相同。在图1中，我们对采用MLVTS的投资组合中的看涨期权的Vega图和标准看涨期权的Vega图进行了比较。左图显示了at货币选项的EGAS。在这里，可以注意到，对于高于σ>bσL的波动率，MLVTS Vega为空，而对于较小的波动率，MLVTS Vega甚至高于Vega的标准看涨期权。图1中的右图表示考虑到织女星对投资组合价值的敏感性的比较。

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2022-6-14 05:09:22

请注意，对于标准看涨期权，当标的股票价值等于V时，达到了最高的Vega*= s*= K e公司-（T-t）（r）-σ），对于MLVTS看涨期权，达到inv*= K e公司-（T-t）（r）-Lσ）。最后，在图2中，我们总结了织女星对波动率和基础投资组合价值的依赖性。图1：曲线图显示了MLVTSportfolio上期权的Vega值行为，权重策略eα=min（L，bσ/σ）给出了最大允许杠杆，突出了其对波动率σ（左）值和v（右）值的依赖性。参数设置为r=5%、v=12、K=10、t=0、t=1、bσ=20%、L=2。对于volatilitydependence（左），MLVTS Vega线（蓝色）也与持有L倍于其在风险资产中财富的无资本投资组合的虚线（蓝色）和Vega For astandard看涨期权（其基础只是风险资产）进行了比较。相反，对于投资组合初始值相关性（右），我们考虑σ=0.08，即σ<bσ/L。MLVTS Vega线（蓝色）与持有风险资产财富L倍的假设投资组合的Vega相同。这条线与将所有资本投资于风险资产的投资组合的Vega相比较。我们注意到，MLVTS选项的Vega值大于standardoption选项的Vega值。这是因为我们认为波动率相对较小，即小于bσ/L）。相反，如果我们认为波动率大于bσ/L，则MLVTS上所写期权的Vega值将为零。图2：这两个曲面分别是采用MLVTS的投资组合的Vega（左图）和投资组合的Vega（右图），前者是风险资产财富v的L倍。

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2022-6-14 05:09:25

可以注意到，当波动率较高（高于eσ/L）时，MLVTS可以很好地对冲投资组合的波动变化。参数设置为r=5%、t=0、t=1、bσ=20%、L=2、K=10.4.2 Delta在处理VTS和MLVTS投资组合上的期权Delta之前，有必要开始分析VTS投资组合对风险资产价格微小变化的敏感性。为了实现这一点，我们将悉尼威立雅运输公司的投资组合动力学写成dvbσ（t）=Дbσ（t）dS（t）+ψbσ（t）dB（t），（19），其中我们定义了投资组合中持有的股票和债券的瞬时数量。通过自融资方程（5），我们得到了φbσ（t）=V（t）bα（t）S（t），ψbσ（t）=V（t）（1- bα（t））b（t），这意味着VT投资组合的增量为Vbσ=V（t）bσS（t）σ。（20）备注4.3让我们强调，悉尼威立雅运输公司投资组合上的期权价格可能仅由悉尼威立雅运输公司投资组合的动态和实际时间，或由天空资产动态、债券动态和实际时间等效确定。也就是说，我们可以将悉尼威立雅运输公司投资组合的普通期权价格表示为∏（t，V）或∏（t，S，B）。因此，在第一种设置中，通过方程式（19）和It^o-D¨oeblin公式，参见[19，Ch。

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2022-6-14 05:09:28

4] ，我们有∏（t，V）=t∏（t，V）dt+V∏（t，V）dVt+V V∏（t，V）d[V，V]t=t∏（t，V）dt+V∏（t，V）^1（t）dSt+ψ（t）dBt+V V∏（t，V）Д（t）d[S，S]t，（21），其中[V，V]表示随机过程V的二次变化，参见，例如，[19，3.4.2]。相反，考虑期权价格是时间、风险资产价格和债券价格的函数，根据o-D-oeblin公式，我们得到了∏（t，S，B）=t∏（t，S，B）dt+S∏（t，S，B）dSt+B∏（t，S，B）dBt+SS∏（t，S，B）d[S，S]t，（22）因此，结合方程式（21）和（22），我们导出了VTS投资组合期权的Delta和Gammaof的更简单表达式S∏（t，S，B）=V∏（t，V）Д（t），SS∏（t，S，B）=V V∏（t，V）Д（t）。命题4.4加权策略为bα=bσ/σ和eα：=min{L；bσ/σ}的VTS和MLVTSportfolios上具有payoff（10）的欧洲看涨期权的Delta分别由下式给出：{Φcall，Vbσ}=S∏（t，Φcall（Vbσ（t））=v bσSσN（d），（23）{Φcall，Veσ}=S∏（t，Φcall（Veσ（t））=（L vsN（bd），对于σ<bσL，vbσSσN（d），对于σ>bσL，（24），其中d=log（v/K）+r+bσ（T- t） bσ√T- t、 ed=对数（v/K）+r+Lσ（T- t） Lσ√T- t、而带payoff（11）的欧洲看跌期权的Delta是{Φput，Vbσ}=S∏（t，Φput（Vbσ（t））=v bσSσ（N（d）- 1), (25){Φput，Veσ}=S∏（t，Φput（Veσ（t））=（L vs（N（bd）- 1），对于σ<bσL，v bσsσ（N（d）- 1），对于σ>bσL.（26）证明。根据It^o微积分链式法则（见备注4.3）{Φcall，Vbσ}=V∏（t，Φcall（Vbσ（t）））Vbσ。（27）此外，很容易获得V∏（t，Φcall（Vbσ（t））=N（d）+V N（d）vd公司- K e公司-r、（T-t） N（d）vd=N（d）+√2π√T- tbσvv e-d- K e公司-r（T-t） e类-d= N（d）+e-d√2π√T- tbσv1.-Kve公司-r（T-t） e类-（d）-d）= N（d），（28），其中自e起最后一个等式成立-（d）-d） =v/K er（T-t）。

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2022-6-14 05:09:31

因此，代入式（27）中的（20）和（28），我们得到（23）。相同的参数适用于Veσ，注意在这种情况下Veσ=L vs，对于σ<bσL，因为对于σ<bσL，eα=L。对于看跌期权的情况，我们有V∏（t，Φcall（Vbσ（t）））=N（d）-因此，与之前类似，我们得到了方程（25）。在图3中，我们比较了悉尼威立雅运输公司投资组合中的看涨期权和看跌期权与风险资产中的看涨期权和看跌期权的差值。可以注意到，VTS链接期权的Delta在低波动率和高波动率下都表现出无症状行为。这是因为，对于极低波动性，悉尼威立雅运输公司投资组合通过卖空无风险资产来融资大量股票，而对于极高波动性，悉尼威立雅运输公司投资组合仅将其价值的一小部分投资于天空资产。有关此影响的数学解释，请参见备注4.3。对于MLVTS投资组合，风险资产波动性的增量分析与标准期权的增量分析没有显著差异，因为有必要考虑标准Delta值中变量σL=Lσ的变化，并通过最大杠杆参数L提高后者。图3：右图表示标准看涨期权（上图）和看跌期权（下图）相对于不同波动率值的Delta行为。左边的图表表示VTS投资组合上的看涨期权和看跌期权的增量。我们考虑了行使价格，以获得现金期权、现金期权、现金转帐期权和现金外期权。请注意，VTS关联期权的增量显示两条渐近线：垂直线对应于零波动率，水平线对应于进入单位的波动率值。

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2022-6-14 05:09:34

参数固定为s=v=10，bσ=0.2，u=8%，r=5%，T=1，T=0，波动率从σ=0.1.4.3开始。VTS和MLVTS投资组合期权的伽马计算可按第4.2节推导，尤其见备注4.3。命题4.5加权策略为bα=bσ/σ和eα：=min{L；bσ/σ}的VTS和MLVTS投资组合上带有payoff（10）的期权的Gamma分别由{Φcall，Vbσ}=SS∏（t，Φcall（Vbσ（t））=v bσsσ√T- tfN（0,1）（d），（29）Γ{Φcall，Veσ}=SS∏（t，Φcall（Veσ（t））=（L vsσ√T-tfN（0,1）（bd），对于σ<bσL，v bσsσ√T-tfN（0,1）（d），对于σ>bσL，（30）带{Φput，Vbσ}=Φcall，Vbσ}和{Φput，Veσ}=Φcall，Veσ}，其中fN（0,1）表示标准正态随机变量的概率密度函数，d=log（v/K）+r+bσ（T- t） bσ√T- t、 ed=对数（v/K）+r+Lσ（T- t） Lσ√T- t、证明。根据备注4.3，我们SS∏（t，S，B）=V V∏（t，V）Д（t）。计算V V∏（t，V）：V V∏（t，V）=五[V∏（t，Φcall（Vbσ（t）））]=VN（d）=N（d）Vd=fN（0,1）（d）bσv√T- t、由于ν（t）=v bσsσ，我们得到（29）。由于二阶偏导数w.r.t.两种期权价格的投资组合价值相同，因此卖出VTS挂钩期权的伽马值与买入VTS挂钩期权的伽马值相同。在图4中，我们将标准欧洲期权的Gamma与VTS投资组合中的Gamma欧洲期权进行了比较。请注意，虽然标准Europeanoptions的Gamma仅在基础风险资产为货币远期（ATMF）时才显示两条渐近线，即。

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2022-6-14 05:09:37

S=K e-r（T-t）这意味着ΓS=Sσ√T- te公司-σ（T-t），对于VTS相关期权的伽马值，我们始终有两条渐近线，因为对于低波动率，伽马值也会被放大，事实上甚至比δ值还要大。图4：右侧的图表表示标准看涨期权/看跌期权相对于不同波动率值的Gamma行为，而左侧的图表表示VTS投资组合上的看涨期权/看跌期权的Gamma行为。如图3所示，我们考虑了履约价格K，以获得货币内期权、货币内期权、货币远期期权和货币外期权。请注意，VT期权的希腊文同样显示出符号，而只有当标的资产为ATMF时，标准期权才会出现这种情况。参数固定为v=s=10，bσ=0.2，u=8%，r=5%，T=1，T=0，挥发度从σ=0.05.5开始数值模拟为了更好地解释VTS和MLVTS投资组合的工作方式，让我们假设天空资产的动态根据赫斯顿模型演变，有关更多详细信息和控制理论相关问题，请参见[10]和[3]。我们有dSt=uStdt+√νtStdW（1）t，（31）dνt=κ（θ- νt）dt+ξ√νtdW（2）t，（32）其中W（1）和W（2）是ρ相关的布朗运动，ν演化为代表风险资产瞬时方差的Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程，θ是长方差，κ是ν恢复到θ的速率，ξ是波动率的波动率，我们假设条件成立：2κθ>ξ，为了保证过程ν是严格积极的。让我们考虑根据realdata中观察到的值校准的潜在风险资产参数，如Morellec等人[17]的论文，以及Samuelson[18]的开创性论文中的CIR参数。

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2022-6-14 05:09:40

考虑表1中所示的参数值，即对[17，18]中的参数值进行调整，以显示解释VTS和MLVTS影响的代表性场景。我们将时间间隔[0，T]划分为N个宽度为T/N0=T<T<···<tN=T数字κθξρνuSr BVT5 0.6067 0.2207 0.2928-0.75 0.2154 8.24%100 4.2%20 100 16“0.1707”0.1654“”的等子间隔。表1：我们为模拟资产动力学而考虑的赫斯顿模型参数。并模拟二元过程（S，ν）t的实现。通过修改的Euler-Maruyama方案，见下文，我们近似对应VTS和MLVTS-portfolioV的路径tbσ（tn+1）=Vtbσ（tn）1+α（tn）S（tn）序号+1- α（tn）B（tn）Bn公司, 对于n∈ {0，…，N- 1} ，（33）其中Sn：=S（tn+1）- S（tn），Bn：=B（tn+1）- B（tn）和Vt（0）=v.命题5.1确定t>0。数值格式（33）强收敛于（4）的解。，i、 e.lim公司t型→0E[| VT- 五、tT |]=0。证据与方程（4）isV相关的Euler-Maruyama格式tbσ（tn+1）=Vtbσ（tn）（1+”bσpν（tn）（u- r）- r#t+bσW（1）n），（34），我强收敛到（4）。此外，我们还有thatlimt型→0E“SnS（tn）- u tpν（tn）- W（1）n#=0。（35）在（34）中替换（35），我们得到（33）。即使Euler-Maruyama格式是强收敛的，但其阶数仅为0.5，因此，为了获得更高的收敛阶，我们还考虑了Milstein格式的以下修改：tbσ（tn+1）=Vtbσ（tn）（1+α（tn）SnS（tn）+（1- α（tn））BnB（tn）-α（tn）（1-α（tn））”SnS（tn）- ν（tn）t#），它通常强烈收敛于1.5.1阶分析的解。让我们强调一下，图6很好地捕捉到了上一节提供的敏感性分析。

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2022-6-14 05:09:43

例如，人们可以注意到，路径的趋势或多或少地得到满足，这取决于波动率瞬时值，有关VTS组合对基础风险资产微小变化的敏感性分析，请参见第4.2节，即Delta分析。此外，可以清楚地看到，白噪声线性影响VTS投资组合的价值，即VTS标准投资组合的Vega为空，请参见第4.1节。图5：顶部的图表表示资产价格和波动率值，模拟为赫斯顿模型的实现。这里的波动率（右上图）通常大于目标波动率bσ=0.2，在这些情况下，风险比例bα小于1（右下图）。左下角的图表示悉尼威立雅运输公司投资组合的相应实现。对于离散化方案（33），我们考虑了时间步长t=10-图6：从上到下的左图表示风险资产动态、VTportfolio和MLVTS投资组合，bσ=0.2，L=2。右上角的图表表示风险资产的波动性（黑色）、悉尼威立雅运输公司投资组合的波动性（蓝色）以及MLVTS中杠杆限制的影响（红色）。在左下角的图中，以红色突出显示了MLVTS投资组合中杠杆效应介入的路径部分。对于离散化方案（33），我们考虑了一个时间步长t=10-6.6交易案例的扩展和结论备注本文件首次尝试从分析角度考虑与VTS相关的选项。我们开发了与Voltaget概念相关的看涨期权和看跌期权的封闭式公式，以及相关的敏感性、希腊参数。结果与我们从从业者的角度所期望的一致。

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2022-6-14 05:09:46

我们可以看到，aVolTarget方法如何简化结构化产品的期权定价，以及为什么关键的hedgingparameters看起来比波动模式变化的标准期权容易得多。应进行进一步分析，放松我们为得出结果所做的一些假设，例如，降低非交易成本。例如，我们已经开始研究交易成本方面，以及如何将其嵌入到我们的框架中。我们在此指出两种可能的方法。第一种是对所选VTS的修改，即VTS投资组合将不再追求恒定的波动率，而是旨在使波动率达到所需的区间。此外，可以考虑处理结构修改，即考虑限制我们进行投资组合权重调整的容许时间间隔，以考虑混凝土子集。也就是说，悉尼威立雅运输公司将仅在一组离散的时间点内追求目标波动率，而不是考虑持续调整。当假定资产动态不具有恒定的波动性时，需要进行此类修改，以避免累积交易成本在理论上不确定，即使交易成本相对较小，也可能发生这种情况，例如，参见[6、7、9、14、15]。我们还将研究如何在现实世界场景中制定动态资产配置策略，此时可以考虑相当恒定的波动水平。参考文献【1】Alberio，S.，Steblovskaya，V.，Wallbaum，K.（2013）。《具有波动性目标机制的投资工具》，《定量金融》，第13卷，第10期，1519-1528年。[2] Alberio，S.、Steblovskaya，V.、Wallbaum，K.，（2017年）。

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kedemingshi

2022-6-14 05:09:49

结构性产品的波动性目标效应与保护，衍生品研究综述。[3] Barbu，V.，Benazzoli，C.，Di Persio，L.（2018年）。赫斯顿模型、应用数学与优化的反馈最优控制器。[4] Benson，R.、Furbush，T.、Goolgasian，Ch.，（2014年）。目标波动率：尾部风险解决方案当投资者表现不好时，《指数投资杂志》，4（4），88-101。[5] 比约克，T.（2009）。《连续时间套利理论》，牛津金融系列，第三版，ISBN:9780199574742。[6] Boyle，P.E.和T.Vorst（1992年）。具有事务成本的离散时间内的选项复制。《金融杂志》47（1），271。[7] Boyle，P.P.和D.Emanuel（1980）。离散调整的期权对冲。《金融经济学杂志》8259。[8] Escobar，M.、Kiechle，A.、Seco，L.、Zagst，R.，（2011年）。CPPI选项，国际数学论坛，第6卷，2011年，第5期，229-262。[9] Gilster，J.E.（1990）。离散再平衡期权对冲的系统风险。《金融和定量分析杂志》25（4），507。[10] Heston，S.L.（1993年）。随机波动率期权的闭式解及其在债券和货币期权中的应用。金融研究回顾。6（2）：327343[11]Jawaid，H.（2015）。，与目标波动率投资组合相关的欧式期权定价和套期保值。SSRN电子期刊。http://ssrn.com/abstract=2743699.内政部：10.2139/ssrn。2743699[12]Jawaid，H.（2016）。，与目标波动率投资组合相关的保证终身提取收益分析。SSRN电子期刊。http://ssrn.com/abstract=2743780.内政部：10.2139/ssrn。2743780[13]Krein，D.，Fernandez，J.（2012）。指数波动率风险控制，《指数投资杂志》，3（2），62-75。[14] Leland，H.E.（1985）。有交易成本的期权定价和复制。《金融杂志》40（5），1283年。[15] 梅洛、A.S.和H.J。

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