基于监管机构的投资组合风险统计

nandehutu2022

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收藏 2022-06-15

英文标题：
《Regulator-based risk statistics for portfolios》
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作者：
Xiaochuan Deng and Fei Sun
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
Risk statistic is a critical factor not only for risk analysis but also for financial application. However, the traditional risk statistics may fail to describe the characteristics of regulator-based risk. In this paper, we consider the regulator-based risk statistics for portfolios. By further developing the properties related to regulator-based risk statistics, we are able to derive dual representation for such risk.
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中文摘要：
风险统计不仅是风险分析的关键因素，也是金融应用的关键因素。然而，传统的风险统计数据可能无法描述基于监管机构的风险的特征。在本文中，我们考虑基于监管机构的投资组合风险统计。通过进一步发展与基于监管机构的风险统计相关的属性，我们能够导出此类风险的双重表示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Regulator-based_risk_statistics_for_portfolios.pdf
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nandehutu2022

2022-6-15 22:24:57

基于监管机构的投资组合风险统计武汉大学小川邓学院，武汉430072，中国孙飞*武义大学数学与计算科学学院，中国江门529020摘要风险统计不仅是风险分析的关键因素，也是金融应用的关键因素。然而，传统的风险统计数据可能无法描述监管机构基础风险的特征。在本文中，我们考虑基于监管机构的投资组合风险统计。通过进一步发展与基于规则的风险统计相关的属性，我们能够导出此类风险的对偶表示。关键词：风险统计、投资组合、规则1。引言风险度量是金融应用和理论研究中的热门话题。风险的量化计算涉及两个问题：选择合适的风险模型和将风险分配给各个机构。这导致了对风险统计的进一步研究。在一篇开创性的论文中，[15]和[17]首先介绍了自然风险统计的类别及其表示结果。此外，[1]推导出了自然风险统计的另一种证明。后来，[25]和[26]分别得到了凸风险统计量和拟凸风险统计量的表示结果。然而，传统的风险统计数据可能无法描述基于监管机构的风险的特征。因此，基于监管机构的风险统计研究尤其有趣。另一方面，在上述风险统计研究中，从未研究过集值风险。

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kedemingshi

2022-6-15 22:25:01

[16] 指出集值风险度量比标量风险度量更合适，尤其是在确定投资组合的资本要求时涉及多种货币的情况下。事实上，自然的集值风险统计可以被视为aset值风险度量的n个经验（或基于数据）版本。最近对集值风险度量的研究包括[2]、[9]、[11]、[12]、[13]、[14]、[21]、[22]以及其中的参考文献。本文的重点是基于监管机构的投资组合风险统计。在此背景下，本文讨论了基于监管机构的风险度量的经验版本和基于数据的版本。通过进一步发展与基于监管机构的风险统计相关的属性，我们能够证明它们的双重表示。事实上，这类风险统计数据可以看作是[4]、[6]和[23]所介绍的风险统计数据的扩展。本文的其余部分组织如下。在Se c t.2中，我们简要介绍了一些产品。在第节中。3、我们陈述了基于监管机构的风险统计的主要结果，包括双重表示。门派4调查基于监管机构的风险度量的数据版本。最后，在Sect中。5、讨论了本文的主要证明。2、初步信息在本节中，我们简要介绍了本文中使用的一些初步信息。让d≥ 1为正整数。空间Rd×N表示金融风险头寸的s e t。具有X的正值∈ Rd×nwe表示ga-ins，负值表示损耗。让njbe作为样本大小*相应的authorEmail地址：dengxiaochuan@whu.edu.cn（邓小川），福顺。sci@outlook.com（Fei Sun）预印本于2020年6月23日提交给离散DYN NAT SOC，在jthscenario中，D=（X，···，Xd），j=1，···，l。

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可人4

2022-6-15 22:25:05

设n：=n+···+nl。更准确地说，假设D的行为由数据X=（X，···，Xd）的集合表示∈ Rn×···×Rn，其中Xi=（Xi，1，···，Xi，l）∈ Rn，Xi，j=（Xi，j，···，Xi，jnj）∈ RNJI是与Xi相关的jthscenario相对应的数据子集。对于每个j=1、··、l、h=1、··、nj、Xjh：=x1，jh，x2，jh，···，xd，jh是与jthscenario中D的hthobservation相对应的数据子集。本文用z表示Rdis的n元z：=（z，···，zd）。Rd×nis的元素X由X表示：=（X，····，Xd）：=x1,1，···，x1,1n，···，x1，l，···，x1，lnl，···，xd，1，···xd，1n，··，xd，l，··，xd，lnl. 设K是RdK的闭凸p多面体锥，其中K Rd++：={（x，…，xd）∈ Rd；xi>0，1≤ 我≤ d} andK公司∩ 研发部-= 其中Rd-:= {（x，…，xd）∈ Rd；xi≤ 0, 1 ≤ 我≤ d} 。设K+为K的正对偶锥，即K+：={u∈ Rd：utrv≥ 任何v为0∈ K} ，其中utr表示u的转换。对于anyX=（X，…，Xd），Y=（Y，…，Yd）∈ Rd×n，X+Y代表（X+Y，…，Xd+Yd），aX代表（aX，…，aXd）代表a∈ R、表示K1n：={（zn，zn，···，zdn）：z∈ K} 和z1n：={（z，z，···，z）：z∈R}∈ RN其中1n：=（1，···，1）∈ 注册护士。用（K1n）+表示K1nin的正对偶锥Rd×n，即（K1n）+：={w∈ Rd×n:wztr≥ 0表示任何z∈ K} 。与K对应的偏序定义为≤Kb，意思是b- 一∈ K何时a、b∈ Rd和X≤K1nY表示Y- 十、∈ K1N此处X，Y∈ Rd×n.Let M：=Rm×{0}d-mbe Rdfor 1的线性子空间≤ m级≤ d、 [11]和[16]考虑了M的引入。表示M+：=M∩ Rd+其中Rd+：={（x，…，xd）∈ Rd；xi≥ 0, 1 ≤ 我≤ d} 和M⊥:= {0}m×Rd-m、因此，监管机构只能接受其参考工具中的保证金。

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大多数88

2022-6-15 22:25:08

表示KM：=K∩ M中的闭凸多面体锥，K+M：={u∈ M：utrz≥0表示任何z∈ KM}KMin M的正对偶锥，intkm是KMin M的内部。我们表示qtm：={A M:A=clco（A+KM）}和QtM+：={A KM:A=clco（A+KM）}，其中clco（A）表示A的闭凸包。通过[5]，集值风险统计量是任何映射ρρ：Rd×n→ 2可以将其视为集值风险度量的经验（或基于数据）版本。与该集值风险统计相关的公理组织如下，[A0]归一化：KM ρ（0）和ρ（0）∩ -intKM=φ；单调性：对于任何X，Y∈ Rd×n，X- Y∈ k1乘以ρ（X） ρ（Y）；M-平移不变性：对于任何X∈ Rd×nand z∈ Rd，ρ（X- z1n）=ρ（X）+z；[A3]凸性：对于任意X，Y∈ Rd×nandλ∈ [0，1]，ρ（λ（X）+（1- λ） Y） λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）；[A4]正均一性：ρ（λX）=λρ（X）对于任何X∈ Rd×nandλ>0；[A5]次加性：ρ（X+Y） ρ（X）+ρ（Y），对于任意X，Y∈ Rd×n.我们用更多的符号结束本节。A函数ρ：Rd×n→ 如果domρ：={X，则称2Mis为适当的∈ Rd×n：ρ（X）6=} 6= 对于所有X，ρ（X）6=M∈ domρ。如果图ρ是闭集，则称ρ为闭集。图的性质，请参见[18]、[19]、[20]。3、基于监管机构的风险度量的实证版本在本节中，我们阐述了基于监管机构的风险统计的双重表示，即基于监管机构的风险度量的实证版本。首先，对于任何X∈ Rd×n，X∧K1n0定义为fo llowsX∧K1n0：=十、 X个/∈ K1n，0，X∈ K1n。（3.1）因此，属于K的位置被视为0位置。接下来，我们推导与基于监管的风险统计相关的属性。定义3.1。

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大多数88

2022-6-15 22:25:11

基于监管机构的风险统计是一种功能 : Rd×n→ QtM+满足以下特性，[P0]归一化：KM （0）和(0 ) ∩ -intKM=φ；【P1】现金保障：任何z∈ 公里，z∈ (-z1n）；【P2】单调性：对于任意X，Y∈ Rd×n，X- Y∈ Rd×n∩ K1n适用于（十）（Y）；[P3]调节器依赖性：对于任何X∈ Rd×n，（十） =（十）∧K1n0）；凸性：对于任意X，Y∈ Rd×nandλ∈ [0, 1], （λ（X）+（1- λ） Y） λ（十） +（1- λ)（Y）。备注3.1。【P1】的性质是指任何固定的负面风险头寸-z可以通过其正等式z取消；[P2]指出，如果K中的偏序X大于X，那么X需要的资本要求比X少，因此（十）继续（十）；【P3】表示基于监管机构的风险统计仅从监管机构的角度开始，监管机构只关心需要支付资本要求的头寸，而属于K的头寸被视为0头寸。我们现在为基于监管机构的风险统计构建一个示例。示例3.1。一致性风险度量AV@R[10]对此进行了详细研究。他们给出了一些表示和许多性质，如定律不变性和Fatou性质。[14] 首次引入集值AV@R，其中导出表示结果。此外，他们还证明了这是一个集值相干风险度量。我们现在确定基于监管机构的平均风险值。对于任何X∈ Rd×nand0<α<1，我们定义（十）作为（十）：=AV@Rlossα（X）：=infz∈Rdnα(-（十）∧K1n0）| M+z）+- zo+Rm+。很明显满足现金保障、单调性、调节器依赖性和凸性，因此是基于监管机构的风险统计。定义3.2。让Y∈ Rd×n，u∈ M、定义函数S（Y，u）（X）：Rd×n→ 2质量（Y，u）（X）：={z∈ M:XtrY≤ utrz}。实际上，S（Y，u）（X）是X的支持函数。

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可人4

2022-6-15 22:25:14

在我们推导基于规则的风险统计的双重表示之前，应该回顾Legendre-Fenchel共轭理论（[11]）。引理3.1。（[11]定理2）设R:Rd×n→ QtMbe是一个集值闭凸函数。然后，R的Legendre-Fenchel共轭和双共轭可以分别定义为-R*（Y，u）：=c l[X∈Rd×nR（X）+S（Y，u）(-X）, Y∈ Rd×n，u∈ Rd；andR（X）=R**（十）：=\\（Y，u）∈Rd×n×K+M \\{0}小时- R*（Y，u）+S（Y，u）（X）i，X∈ Rd×n.D定义3.3。（指示器功能）用于任何Z Rd×n，QtM值指示函数IZ:Rd×n→ QtMis定义的asIZ（X）：=clKM，X∈ Z、 φ，X/∈ Z.备注3.2。QtM值指示函数IZis的共轭-（IZ）*（Y，u）：=cl[X∈ZS（Y，u）(-十）。备注3.3。很容易看出，基于监管机构的风险统计没有现金可加性，请参见[11]。然而具有[8]和[24]产生的现金次级可加性。事实上，根据[12]的定理6.2，满足Fatou地产。然后，考虑任意X∈ Rd×nand z∈ KM，对于任何ε∈ （0，1），我们有(1 - ε） X个- z1n= (1 - ε） X+ε(-zε）1n (1 - ε)（十） +ε(-zεn） (1 - ε)（十） +Z其中，最后一次包含是由于特性【P1】引起的。利用ε的任意性，我们得到以下引理。引理3.2。假设是基于监管机构的风险统计。对于任何z∈ Rd+，X∈ Rd×n，（十）- z1n）（十） +z.这也意味着（X+z1n）（十）- z、 3.1上的提案。允许 : Rd×n→ QtM+是一个适当的基于闭凸调节器的风险统计量，具有u∈n-lPj=1njPh=1Y1，jh，···，-lPj=1njPh=1Yd，jh+ M⊥oTK+M \\{0}。然后-*（Y，u）=（clSX∈Rd×nS（Y，u）(-十），Y∈ -Rd×n+∩ （K+n），M，其他地方。（3.2）现在，我们陈述本文的主要结果，即基于监管机构的风险统计的双重表示。定理3.1。

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kedemingshi

2022-6-15 22:25:18

如果 : Rd×n→ QtM+是一个基于适当闭凸正则器的风险统计，那么-α : (-Rd×n+∩ K+n）×K+M \\{0}→ QtM+，与setW的M不同=（Y，u）∈ (-Rd×n+∩ K+n）×K+M \\{0}：u∈-lXj=1njXh=1Y1，jh，···，-lXj=1njXh=1Yd，jh+ M⊥,对于任何X∈ Rd×n，（十） =\\（Y，u）∈西尼罗河- α（Y，u）+S（Y，u）十、∧K1no、（3.3）4。基于监管机构的风险度量的替代数据版本在本节中，我们开发了另一个框架，即基于监管机构的风险度量的数据版本。这张照片与前一张有点不同。然而，几乎所有的论点都与前一节中的论点相同。因此，我们只陈述相应的符号和结果，而省略了所有的证明和相关的解释。我们用FM替换M∈ Rd×nthat是Rd×n的一个线性子空间。我们还将K替换为ek∈ Rd×nthat是一个封闭的凸多面体圆锥体，其中Ek Rd×n++。关于toeK的偏序定义为X≤eKY，意思是Y- 十、∈埃克。LetfM+：=调频∩ Rd×n+。表示EkFm：=eK∩闭合凸多面体圆锥fM，eK+fM：={eu∈ M：欧特雷兹≥ 任何ez为0∈eKfM}ekfminfm的正对偶锥，连接ekfminfm的内部。我们表示QtfM：={eAfM:eA=clco（eA+eKfM）}和qtfm+：={eAeKfM:eA=clco（eA+eKfM）}。我们仍然从监管者的角度出发，他们只关心需要支付资本要求的头寸。因此，对于任何X∈ Rd×n，我们定义X∧eK0澳大利亚证券交易所∧eK0：=（X，X/∈eK，0，X∈埃克。（4.1）然后，我们陈述了与基于监管机构的风险统计相关的公理。定义4.1。

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何人来此

2022-6-15 22:25:21

基于监管机构的风险统计是一个函数e : Rd×n→ QtfM+满足以下特性，[Q0]归一化：eKfM e（0）和e(0) ∩ -inteKfM=φ；【Q1】现金保障：适用于任何ez∈eKfM，ez∈ e(-ez）；单调性：对于任意X，X∈ Rd×n，X- 十、∈ Rd×n∩eK表示e（十） e（十）；[Q3]调节器依赖性：对于任何X∈ Rd×n，e（十） =e（十）∧eK0）；[Q4]凸性：对于任意X，Y∈ Rd×n，λ∈ [0，1]，e（λ（X）+（1- λ） Y） λe（十） +（1- λ） e类（Y）。我们需要更多的符号。让Y∈ Rd×n，欧盟∈fM。定义函数S（Y，eu）（X）：Rd×n→ 2fMasS（Y，eu）（X）：={ez∈fM:XtrY≤ 欧特雷兹}。LeteR：Rd×n→ QtfMbe是一个集值c闭凸函数。然后，Legendre-Fenchel共轭和双共轭可以定义为-呃*（Y，u）：=cl[X∈Rd×neR（X）+S（Y，eu）(-X）, Y∈ Rd×n，欧盟∈ Rd×n；andeR（X）=eR**（十）：=\\（Y，eu）∈Rd×n×eK+fM \\{0}h-呃*（Y，eu）+S（Y，eu）（X）i，X∈ Rd×n.用于anyeZ Rd×n，QtfM值指示函数IeZ:Rd×n→ QtfMis定义为asIeZ（X）：=（cleKfM，X∈eZ，φ，X/∈埃兹。QtfM值指示函数IeZis的共轭-（IeZ）*（Y，eu）：=cl[X∈eZS（Y，eu）(-十）。假设e 是一种基于调节器的风险统计。对于任何ez∈ Rd×n+，X∈ Rd×n，e（十）- ez） e（十） +ezwhich也意味着（X+ez） e（十）- 埃兹。接下来，我们陈述了基于监管机构的风险统计的双重表述。4.1中的建议。让e : Rd×n→ QtfM+是一个基于eu的适当闭凸调节器风险统计∈n-lPj=1njPh=1Y1，jh，···，-lPj=1njPh=1Yd，jh+fM公司⊥oTeK+fM \\{0}。然后-e*（Y，欧盟）=clSX公司∈Rd×nS（Y，eu）(-十），Y∈ -Rd×n+∩ （eK+），fM，其他地方。（4.2）定理4.1。如果e : Rd×n→ QtfM+是一个基于适当闭凸调节器的风险统计，那么-α : (-Rd×n+∩eK+×eK+fM \\{0}→ QtfM+，与setfW不一致=（Y，欧盟）∈ (-Rd×n+∩eK+×eK+fM \\{0}：欧盟∈-lXj=1njXh=1Y1，jh，···，-lXj=1njXh=1Yd，jh+fM公司⊥,对于任何X∈ Rd×n，e（十） =\\（Y，eu）∈西尼罗河- α（Y，eu）+S（Y，eu）十、∧埃克o、（4.3）5。

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nandehutu2022

2022-6-15 22:25:24

主要结果的证明引理3.2的证明。L emma 3.2的证明可以从备注3.3中直接看出。命题3.1的证明。如果Y/∈ -Rd×n+∩ （K+n），存在一个“X”∈ Rd×n∩ （K1n）使得\'XtrY>0。使用S（Y，u）的定义，我们得到了S（Y，u）(-t'X）={z∈ M：-第十天≤ utrz}表示t>0。因此，cl[X∈Rd×nS（Y，u）(-X）[t>0S（Y，u）(-t'X）=M。最后一个等式是由于-第十天→ -∞ 当t→ +∞. 利用S（Y，u）的定义，我们得出∈Rd×nS（Y，u）(-X） MHencecl[X∈Rd×nS（Y，u）(-十） =每当Y时M/∈ -Rd×n∩ （K+n）。很容易检查任何X∈ Rd×nand v∈ M、 S（Y，u）(-十、- v1n）={z∈ M：-XtrY公司≤ utrz+Ytr（v1n）}={z- v∈ M：-XtrY公司≤ utr（z- v） +（Y+u1n）tr（v1n）}+v={z∈ M：-XtrY公司≤ utrz+（Y+u1n）tr（v1n）}+v。当(-lPj=1njPh=1Y1，jh，···，-lPj=1njPh=1Yd，jh）+u∈ M⊥, 我们有S（Y，u）(-十、-v1n）=S（Y，u）(-十） +v.但是，当u/∈(-lPj=1njPh=1Y1，jh，···，-lPj=1njPh=1Yd，jh）+M⊥. 因此(-lPj=1njPh=1Y1，jh，···，-lPj=1njPh=1Yd，jh）+u/∈ M⊥, 我们可以找到v∈ M，对于任何z∈ M-XtrY公司≤ utrz+（Y+u1n）tr（v1n）。因此，我们有z+v∈ S（Y，u）(-十、- v1n）。因此[z，v∈M（z+v）【五】∈ MS（Y，u）(-十、- v1n）。因此，M【五】∈ MS（Y，u）(-十、- v1n）。从S（Y，u）的定义来看，逆包含总是正确的。所以我们得出结论，M=[v∈ MS（Y，u）(-十、- v1n）。也很容易检查-*（Y，u）=cl[X∈Rd×n，v∈M（X+v1n）+S（Y，u）(-十、- v1n）= cl【X】∈Rd×n，v∈M（X+v1n）+M= M的最后一个等式来自于，M是一个线性的s速度（十） M我们现在得出-*（Y，u）=clSX∈Rd×nS（Y，u）(-十）。在这种情况下，从-*（Y，u）=clSX∈Rd×n（十） +S（Y，u）(-X）, 我们将其分为两种情况：情况1。当X∧K1n0=0，使用定义，我们有（十） =(0) 0.Hencecl[X∈Rd×n（十） +S（Y，u）(-X） cl【X】∈Rd×nS（Y，u）(-十）。案例2。当X∧K1n0=X，我们总是可以找到α∈ Km使α∈ （十）。

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可人4

2022-6-15 22:25:27

然后（十） +S（Y，u）(-X） α+S（Y，u）(-十） =S（Y，u）(-十、- α1n）=S（Y，u）(-β）式中，β=X+α1n。检查β相对简单∈ Rd×n.Thereforecl【X】∈Rd×n（十） +S（Y，u）(-X） cl【z】∈Rd×nS（Y，u）(-z），即-*（Y，u） cl【X】∈Rd×nS（Y，u）(-十）。因此，我们-*（Y，u） cl【X】∈Rd×nS（Y，u）(-十）。我们现在只需要推导出-*（Y，u） clSX公司∈Rd×nS（Y，u）(-十）。事实上，对于任何z∈ （十） andX∈ Rd×n，X+z1n∈ Rd×n.Thereforecl【X】∈Rd×nS（Y，u）(-十） =cl[X∈Rd×nS（Y，u）(-X） S（Y，u）(-十、- z1n）=S（Y，u）(-十） +z。利用z的任意性，我们得到（十） +S（Y，u）(-X） cl【X】∈Rd×nS（Y，u）(-十）。因此-*（Y，u） cl【X】∈Rd×nS（Y，u）(-十）。定理3.1的证明。引理3.1和命题3.1的证明很简单。利益冲突声明作者声明，研究是在没有任何可被视为潜在利益冲突的商业或金融关系的情况下进行的。本手稿已在arXiv:1904.08829v4作为预印本发布。资助声明广东省教育厅基金（2019 KQNCX156）。数据可用性声明研究期间未生成或使用任何数据、代码。参考文献[1]Ahmed，S.、Filipovi\'c，D.和Svindland，G.（2008）。关于自然风险统计的说明，Oper。Res.Lett。36, 662 -664.[2] Ararat，C.、Hamel，A.H.和Rudloff，B.（2017年）。设定值差额和分歧风险度量，arXiv:140 5.4905v2【q-fin.RM】5月19日。[3] Ben Tal，A.，Teboulle，M.（2007年）。凸风险度量的一个古老的新概念：优化的确定等价，数学。《金融》，17（3），449-476。[4] Chen，Y.H.、Sun，F.和Hu，Y.J.（2018）。《港口投资者基于Cohe-rent和凸损失的风险度量》，Positivity，22（1），399-414。[5] Chen，Y.H.，Hu，Y.J.（20-17）。集值风险统计与sc enario分析，Statist。概率。利特。131,25-37.[6] Cont，R.、Deguest，R.和He，X.D.（2013年）。

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何人来此

2022-6-15 22:25:30

基于oss的风险度量，统计风险模型。，30(2), 133-167.[7] 邓，X.，孙，F.（2020）。基于监管机构的投资组合风险统计，arXiv:1904.0 8829v4【q-fin.RM】5月19日。[8] EL Karouii，N.，Rava ne lli，C.（2009年）。现金次加性风险度量和利率模糊性，数学。《金融》，19561-590。[9] Farkas，W.、Ko ch Medina，P.和Munari，C.（2015年）。用多个合格资产衡量风险，数学。财务部。经济。9(1), 3-27.[10] F¨ollmer，H.，Schied，A.（2011年）。《随机金融：离散时间导论》，Walter de GruyterBerlin纽约，第三修订版和扩展版。[11] Hamel，A.H.（2009年）。集值函数的对偶理论I：Fenchel共轭理论，集值Var。肛门。17(2), 153-182.[12] Hamel，A.H.，Heyde，F.（2010年）。集值风险度量的对偶性，暹罗J.金融数学。1(1),66-95.[13] Hamel，A.H.、Heyde，F.和Rudloff，B.（2011年）。锥形市场模型的集值风险度量，数学。财务部。经济。5(1), 1-28.[14] Hamel，A.H.、Rudlo Off，B.和Yankova，M.（2013年）。集值平均风险值及其计算，数学。财务部。经济。7(2), 229-24 6.[15] Heyde，C.C.、Kou，S.G.和Peng，X.H.（2007）。什么是好的外部风险度量：弥合稳健性、次可加性和保险风险度量之间的差距，工作文件，哥伦比亚大学。[16] Jouini，E.、Meddeb，M.和Touz i，N.（2004年）。向量值一致性风险度量，Finance Stoch。8(4), 531-552.[17] Ko u，S.G.，Peng，X.H.，和Heyde，C.C.（20 13）。外部风险度量和巴塞尔协议，数学。操作。第38393-417号决议。[18] Liu，J.，Wang，C.，Wang，S.，Wei，B.（2019年）。欧拉图的萨格勒布指数和乘法萨格勒布指数，布尔。马来人。数学Sci。Soc。42, 67-78.[19] 刘，J.，赵，J.，闵，J.，曹，J.（20-19）。

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nandehutu2022

2022-6-15 22:25:33

关于由分形图形成的图的Hosoya指数，分形复杂几何模式和自然与社会中的比例，27（8）19-35。[20] 刘，J.，赵，J.，何，H.，邵，Z.（2019）。基于价的拓扑描述符和广义Sierpinski网络的结构特性，J.Stat.Phys。177, 1131-114 7.[21]Labuschagne，C.C.A.，O offwood Le Roux，T.M.（2014）。基于Banach格的l-张量积的集值风险度量表示，正性，18（3），619-639。[22]Molchanov，I.，Cascos，I.（2016）。多元风险度量：一种基于选择、数学的构造性方法。《金融》，26（4），867-900。[23]孙，F.，陈，Y.H.，和胡，Y.J.（2018）。集值损失风险度量，积极性，22（3），859-871。[24]孙，F.，胡，Y.J.（2019）。集值现金次加性风险度量，Probab。工程师。知会Sci。33(2),241-257.[25]Tian，D.J.，Jiang，L.（2015）。拟凸风险统计与情景分析，数学。财务部。经济。9,111-121.[26]Tian，D.J.，Suo，X.L.（2012）。关于凸风险统计量的一个注记。Res.Lett。40, 551-553.

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