用于投资组合估值和风险的核机器学习

2022-6-24 03:38:25

用于投资组合估值和风险管理的核机器学习*Lot fiboudabsa+Damir Filipovi'c'2021年4月8日摘要我们介绍了一种基于核机器学习的动态投资组合估值和风险管理构建模拟方法。我们从累积现金流的有限样本中了解投资组合的动态价值过程。由于选择了合适的内核，学习值过程以闭合形式给出。我们证明了渐近一致性，并在适合金融应用的条件下得出了有限样本误差界。数值实验表明，在适当的训练样本量下，在大维度上取得了良好的效果。关键词：动态投资组合估值、核岭回归、学习理论、再生核希尔伯特空间、投资组合风险管理MSC（2010）分类：68T05、91G60JEL分类：C15、G321简介估值、风险度量和对冲构成银行、保险公司和其他金融机构投资组合风险管理中的一项不可或缺的任务。投资组合风险的产生是因为投资组合的组成资产和负债的价值随着时间的推移而变化，以响应潜在风险因素的变化，例如利率、股票价格、房地产价格、外汇汇率、信用利差等。这种风险的量化和管理需要动态投资组合价值过程的随机模型。应用于金融领域的大多数随机动态模型可分为以下形式：一个有无数时间段的经济体t=0，1，T，其中随机性由某个潜在的随机驱动因素X=（X，…，XT）生成。分量Xt相互独立，但不一定分布相同，取一些可测量空间（Et，Et）中的值。

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2022-6-24 03:38:28

我们假设X是在可测量的*我们感谢Bachelier Finance Society One World研讨会、2020年SFI研究日、CFM ImperialQuantitative Finance研讨会、滑铁卢大学David Sprott杰出演讲、慕尼黑理工大学人寿保险复制研讨会、2019年暹罗金融数学与工程会议的与会者，第九届国际工业和应用数学大会，Kent Daniel、R¨udiger Fahlenbrach、Lucio FernandezArjona、Kay Giesecke、Enkelejd Hashorva、Mike Ludkovski、Markus Pelger、Antoon Pelsser、Simon Scheidegger、Ralf Werner和两位匿名裁判发表评论。+EPFL。电子邮件：lot fi。boudabsa@epfl.chEPFL和瑞士金融研究所。电子邮件：damir。filipovic@epfl.chpath空间（E，E），E=E×···××E，E=E···ET，使得Xt（x）=Xt对于通用采样点x=（x，…，Xt）∈ E、我们用Q（dx）=Q（dx）×QT（dxT）来表示X的分布，并且我们假设Q代表一些固定数字的风险中性定价度量，例如货币市场账户。如果未另行说明，则所有财务价值和现金流均按此计分法贴现。随机驱动因素X生成过滤Ft=E ··· Et，表示信息流。我们考虑一个投资组合，其累积现金流由一些可测量的函数f:E建模→ R如f所示∈ LQ。其动态值过程V由鞅vt=EQ[f（X）| Ft]，t=0，T、（1）计算V是一个臭名昭著的挑战，因为条件期望（1）通常缺乏解析解。这类投资组合的例子包括路径依赖型期权、结构性产品，如障碍逆转可转换证券和抵押贷款支持证券。

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2022-6-24 03:38:31

示例还包括保险资产负债组合，其终值f（X）=PTt=1ζt通过累计其现金流ζt=ζt（X，…，Xt）得出∈ LQ是在X的模拟中预测的，同时考虑了财务和保险风险因素，如死亡率和寿命风险。同样，这也包括银行持有的衍生品交易账簿。这是一个非常通用的设置。作为一个示例，我们在此回顾多元Black-Scholesmodel，其中，对于一些d∈ N、 d名义股票价格由i给出，t=Si，t-1exp[σ>iXtpt+（r- kσik/2）t] ，（2）对于一些初始值Si，0和波动率向量σi∈ Rd，i=1，d、式中，r是无风险利率t从t开始指定时间步长-1至t，单位为一年。S选项通常缺乏分析解决方案。一个例子是欧洲最大看涨期权，其贴现支付f（X）=e-rPTt=1t（最大值，t- K） +，（3）对于一些执行价格K，我们将在下面更详细地研究此示例和其他示例。但请注意，我们的大多数结果都超出了Black-Scholes模型。实际上，我们提出了一种基于无量纲误差界核的机器学习方法，以便在上述一般设置中有效地计算V。它包括两个步骤。首先，我们用LQ中的一些函数fλ来逼近f，其中λ>0是正则化参数。更具体地说，我们将fλ定义为f在适当选择的嵌入inLQ的再生核希尔伯特空间（RKHS）上的λ正则化投影。其次，我们从有限样本X=（X（1），…）中学习fλ，X（n）），从适当选择的等效采样测量值Eq中提取~ Q、以及相应的函数值f（X（i）），i=1，n、这就产生了fxfλ的样本估计量。RKHS的适当选择表明，样本估计器vx，t=EQ[fX（X）| Ft]，t=0。

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2022-6-24 03:38:34

值过程V的，T，（4）以闭合形式给出，从这个意义上讲，它可以以非常低的计算成本有效地进行评估。这个估计值有多好？根据Doob的最大不等式，参见，例如，【RY94，推论II.1.6】，更精确地说，X由i.i.d.e值随机变量X（i）组成~产品概率空间（E，E，Q）上定义的等式，E=E E ···, E=E E ···, Q=等式均衡器 ···.由此产生的路径方向最大LQ估计误差有界于k maxt=0，。。。，T | Vt- VX，t | k2，Q≤ kf公司-fXk2，Q≤ kf公司-fλk2，Q |{z}近似误差+kfX- fλk2，Q |{z}样本错误。（5）正则化参数λ可用于权衡偏差与方差，并可通过样本外验证进行最佳选择。更具体地说，我们给出了近似误差kf-fλk2，Qis最小化为λ→ 0，我们导出了样本误差kfX的极限定理和界-fλk2，Q。具体地说，我们证明了渐近一致性fXa。s--→ fλ和fX的中心极限定理-LQ中的fλ，作为样本量n→ ∞. 我们还得出了有限的样本保证：对于任何η∈ （0，1），存在常数（η），使得kfX-fλk2，Q<C（η）/√n，采样概率至少为1-η. 所有样本误差边界都是无量纲的，并通过近似误差F的显式、简单和直观的表达式给出-fλ。近似误差越小，样本误差界限越小。投资组合风险管理的应用是多方面的。对于日期t，我们表示为Vt=Vt-及物动词-1在一段时间内持有投资组合的收益-1，t]。

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大多数88

2022-6-24 03:38:37

投资组合风险经理和金融市场监管机构都旨在量化金融时报方面的风险-1-条件风险度量，如风险价值或预期短缺，在损失时评估-Vt.这些风险度量是指等效的真实世界度量P~ Q、这要求在路径方向的最大LP估计误差上有一个界，我们可以通过将（5）与Cauchy–Schwarz不等式kmaxt | Vt相结合很容易得到该界- VX，t | k1，P≤ kdPdQk2、Qkmaxt（Vt- VX，t）k2，Q。事实上，这为风险度量提供了一个估计误差的界，该风险度量相对于THLP规范是连续的，例如风险值（在温和的技术条件下）和预期短缺，参见【CF17，第6节】。投资组合风险管理的另一项重要任务是套期保值。长期持有投资组合的风险敞口- 1，t]可以通过在液体金融工具中进行动态交易来复制其价值过程来缓解。设G为LQ鞅向量，用于模拟可交易金融工具的贴现价值过程。我们通过预测五、金融工具收益Gt=Gt-燃气轮机-1，即通过最小化等式[（ψ>t-1.燃气轮机-Vt）|英尺-1] 总英尺数-1-可测向量ψt-1、解由ψt给出-1=等式[燃气轮机G> t |英尺-1]-1EQ[燃气轮机Vt |英尺-1] ，（6）参见，例如，【FS04，第10章】。总之，对于这两项投资组合风险管理任务中的任何一项，我们都必须计算动态价值过程V。这是一个计算挑战，因为条件期望（1）通常缺乏解析解。此外，在投资组合管理行业的实际应用中，对f进行逐点评估的成本很高，因为它从不同的组成子投资组合中进行查询，而实际上这些子投资组合通常不会在一个集成平台上实现。

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2022-6-24 03:38:41

为了举例说明，德国精算学会（DAV15）的一份技术报告称，实际样本量为n=1000至5000。同样，[HS20]指出，在银行持有的复杂衍生品交易账簿的监管背景下，有效地从小型数据集学习是至关重要的。实际上，正如[HS19]中所述，这相当于n=1000到32000的样本量。面对有限的计算预算，需要一种有效的方法，从（小）有限样本中近似和学习价值过程V，并以封闭形式给出样本估计量，如（4）。关于风险价值和预期差额（也称为条件风险价值或平均风险价值）的定义，请参考【FS04，第4.4节】。另见下文第6节。这正是我们的论文所提供的。至于路径空间E的维数，我们的目标范围是dt≤ 36，在实践中可以认为是高维的，如[FAF20，第5节]所述。我们的论文建立在大量有关核机器学习的文献基础上，这些文献来源于詹姆斯·默瑟（JamesMercer）[Mer09]和斯特凡·伯格曼（StefanBergman）[Ber22]的早期著作，他们研究了与核相关的积分算子。RKHS的基本理论是在开创性论文[Aro50]中发展起来的。机器学习社区在20世纪90年代重新发现了内核，并将其用于非线性分类[BGV92]和非线性RPCA[SSM98]。这推动了基于内核的学习的广泛研究活动。【Sun05】和【SS12】提供了一般（即非紧）域上核的系统函数分析，【DVRC+05】通过Tikhonov正则化将统计学习理论和不适定问题联系起来，【RBDV10】使用Hilbert空间值随机变量的集中不等式研究积分算子的收敛性。

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2022-6-24 03:38:44

我们的样本估计是基于核岭回归的，这在[CS02b，WYZ06]中有详细讨论。我们通过为动态投资组合估值和风险管理开发一个定制的核岭回归框架来补充这些文献。据我们所知，机器学习文献中的相关结果是在严格假设f（例如，有界和光滑[RS17，CDV07]）或e（例如，紧凑[LRRC18]）的情况下得出的，这在金融应用中不适用。这可以从上面的简单示例（3）中看出。此外，我们利用著名的核-再输入定理来获得值过程的闭式估计。现代的内核机器学习入门包括[SS02、Bis06、CZ07、HSS08、SC08、PR16]。为了方便读者阅读，我们在附录中重新调用了希尔伯特空间，尤其是RKHS空间的要点。与投资组合风险度量相关的文献包括【BDM15】，他引入了基于回归的蒙特卡罗模拟方法，用于估计1年损失L=-五、他们还提供了嵌套模拟问题的全面文献综述，包括[GJ10]，他们使用刀切法提高了标准嵌套模拟方法的收敛速度。我们的方法是不同的，因为它一次学习整个valueprocess V，而不是依赖于嵌套蒙特卡罗模拟的任何方法，该方法一次估计一个固定的t。关于保险责任组合复制的具体文献包括【NW14、PS16、CF18】。不确定性量化背景下的学习函数包括【CM17】。这些论文的共同点是，他们在一组有限的基函数上预测f。

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mingdashike22

2022-6-24 03:38:48

因此，它们作为λ=0的有限维RKH的特殊情况包含在我们的统一框架中。[RL16，RL18]中给出了一种有限维方法，他们使用高斯过程回归学习值过程。在这里和整个过程中，我们使用以下约定和符号。对于概率空间（E，E，Q），对于p∈ [1, ∞], 对于可测函数f，g:E→ R、我们表示kfkp，Q=（RE | f（x）| pQ（dx））1/p，p<∞,inf{c≥ 0 | | f |≤ c Q-a.s.}，p=∞,和hf，giQ=REf（x）g（x）Q（dx），每当kfgk1，Q<∞. 我们用lpqt表示可测函数f:E的Q-等价类的空间→ R带kfkp，Q<∞. 如果没有另外说明，我们将对函数及其等价类使用相同的符号，例如f。每个LpQis是一个范数为k·kp，Q的可分Banach空间，LQis是一个内积为h·iQ的可分Hilbert空间。我们用kyk=py>坐标向量y的欧几里德范数表示。第a.3节介绍了希尔伯特空间上的各种算子范数。论文的其余部分如下。第2节讨论f的基于核的近似。第3节包含样本估计和误差界。第4节提供了样本估计量的计算公式，并给出了闭合形式的估计值过程。第5节介绍了一大类可压缩内核。第6节提供了Black-Scholes模型中路径依赖的奇异期权估值的数值示例。特别是，我们计算了多头和空头头寸的风险价值和预期缺口，并概述了Q方差最优套期保值的实现。第7节结束。A节回顾了关于希尔伯特空间的一些事实，包括RKHS的本质、紧算子和希尔伯特空间中的随机变量。B部分包含正文的所有证明。

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nandehutu2022

2022-6-24 03:38:51

第C节和第D节是辅助部分，详细讨论了目标空间和RKH分别为有限维的情况。第E节简要讨论了【GY04】中引入的立即回归方法，并将其与我们的方法进行了比较。2近似值在第1节中，我们让f∈ LQ是一个给定的函数，它对投资组合的支付或累计现金流进行建模。我们通过选择合适的嵌入inLQ的假设空间H来近似和学习f。因此，我们在E上选择一个核k，即函数k:E×E→ R因此，对于点x的任何最终选择，xn公司∈ E、条目为k（xi，xj）的n×n矩阵是对称的正半定矩阵。根据摩尔定理[PR16，定理2.14和命题2.3]，存在一个唯一的再生核希尔伯特空间（RKHS）H和核k。即，一个由函数H:E组成的希尔伯特空间H→ 使得k（·，x）在H中，并作为所有x的逐点求值hh，k（·，x）iH=H（x）∈ E、我们在A部分收集了RKHS的一些基本性质。在整个过程中，我们假设k:E×E→ R是可测的，H是可分的。然后H由可测函数组成，参见[BTA04，定理90]。我们还假设k（x）=pk（x，x）=kk（·，x）kHissquare可积，kκk2，Q<∞. （7）从初等界| h（x）|≤ κ（x）khkH，x∈ E、（8）然后我们推断线性算子J:H→ LQthat映射h∈ H到其Q-等价类是明确的，Hilbert–Schmidt的范数kJk=kκk2，Q，参见[SS12，引理2.3]。众所周知，参见[SS12，引理2.2]，伴随算子J*: LQ公司→ H满意度J*g=ZEk（·，x）g（x）Q（dx），g∈ LQ。（9）现在我们可以通过解h=fλ来近似lqf中的f∈ 正则化投影问题∈H（kf-对于某些正则化参数λ>0，hk2，Q+λkhkH），（10）。在目标函数（10）中添加惩罚项λkhkHin有两个论点。

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2022-6-24 03:38:54

首先，与LQ相比，当H相对“大”时，我们避免过度拟合，引理A.2中给出了RKHS可分性的不充分条件。到（8），我们得到了J:H→ LpQis是一个具有kJk的有界算子≤ kκkp，Q，对于任何p≤ ∞ 使得kκkp，Q<∞.Im J=LQ的感觉，尤其是当dim（LQ）<∞, 如下文第C节和样本估计所述。其次，问题（10）总是有唯一的解h=fλ∈ H，它是给定的nbyfλ=（J*J+λ）-1J*f、（11）见【EHN96，定理5.1】。从（9）和（11）可以很容易地得出，fλ可以表示为fλ=J*gλ=ZEk（·，x）gλ（x）Q（dx）（12），其中gλ=（JJ*+ λ)-1f。（13）方程式（12）被称为再中心定理，参见，例如，【PR16，第8.6节】。它产生了一个重要的金融应用问题，我们将在下面看到。对于分布的内核嵌入定义，请参考[SGF+10]。定义2.1。如果条件核嵌入Mt（y）=EQ[k（X，y）| Ft]以闭合形式给出，则我们称核k可跟踪，对于所有y∈ E、 t=0，T引理2.2。假设k是可跟踪的，并且gλ由（13）给出。对于所有t=0，…，则等式[fλ（X）| Ft]=ZEMt（y）gλ（y）Q（dy）（14）以闭合形式给出，服从Q积分，T我们现在讨论极限λ→ 其中，我们用f表示∈ Im J是f ontoIm J在LQ中的正交投影。f的正交性- 风扇f- fλ在LQ中，我们可以分解平方近似errorkf-fλk2，Q=kf-fk2，Q+kf- fλk2，qin为投影误差平方kf之和- fk2，qa和平方正则化误差kf- fλk2，Q。下一个结果是众所周知的，并且表明正则化误差收敛到零，即λ→ 0，尽管收敛速度可能很慢，请参见[DVRC+05，提案4]。引理2.3。

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2022-6-24 03:38:57

kf公司- fλk2，Q→ 0为λ→ 根据引理2.3，k的以下性质是可取的，因为它意味着零投影误差，f=f，因此近似误差收敛为零λ→ 定义2.4。如果Im J=LQ，则内核k称为LQ通用。我们在C和D节中详细讨论了有限维目标空间Lqa和有限维RKHS H的特殊情况。机器学习文献中的一个标准假设是∈ Im J，当且仅当ifproblem（10）有λ=0的解时成立。在这种正则性假设下，可以得出收敛速度（14）中的积分归结为下面fλ的样本估计的有限和，见引理4.1。实际上，{J（J*J+λ）-1J*| λ>0}是LQ上的一个有界算子族，kJ（J*J+λ）-1J*k≤ 1通过B.1节，其弱收敛于Im J，fλ上的投影算子→ fasλ→ 0，但通常在运算符范数中不是这样。[Ste02，MXZ06]引入了通用内核。另请参见[SFL10]。在引理2.3中，参见，例如，[CDV07]。然而，请注意，除非RKHS H是有限维的，否则该假设具有很大的限制性，难以在实践中验证。因此，在本文中，我们放弃了这一假设。因此，我们承认给定λ>0的近似误差，由于引理2.3和定义2.4，该误差可以假设为任意小，并将重点放在后续的样本误差上。3样本估计我们接下来从有限样本中学习近似值fλ。以前的机器学习文献在f和k的正则性和有界性假设下导出了样本误差界，这些假设通常不适用于金融应用。因此，我们将以下设置添加到文献中。因此，我们将f和k转换为有界函数，并在必要时通过在某些替代度量下采样来补偿此转换。

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2022-6-24 03:39:00

具体而言，我们确定了等效的抽样测量~ Q与Radon–Nikodym导数w=deQ/dQ，我们定义了可测函数f=f/√w和可测核函数k（x，y）=k（x，y）/pw（x）w（y）。我们假设w的选择使得kefk∞,Q<∞ （15） andkeκk∞,Q<∞ （16）其中，我们定义了eκ（x）=qek（x，x）=κ（x）/pw（x）。我们用Eh表示对应于toek的RKHS。很容易看出，线性算子U:LeQ→ LQ由Ug给出=√wg是一个等距图，带有U-1g=U*g=g/√w、因此，kefk2，eQ=kfk2，Qand keκk2，eQ=kκk2，Q。此外，根据[PR16，命题5.20]，我们推断线性算子T:eH→ H由T H给出=√whis等距，带T-1h=T*h=h/√w、因此，eH是可分离的，从Ej=U的意义上看，下图是相互转换的-1JT，eH LeQH LQeJ×√wJ×√w（17）其中EJ:eH→ LeQdenotes映射h的线性算子∈eH到其Q-等价类。因此，第2节的所有结果都可以提升，并实际应用toeQ、ek、eH、eJ、ef代替Q、k、H、J、f。特别是，我们得到了LeQ中fλ的近似值，我们得到了fλ=√wefλ。还请注意，当且仅当k是LQ universal时，EK是LeQ universal。我们现在让n∈ N和X=（X（1），X（n））是具有X（i）的i.i.d.E值随机变量的样本~公式。在不丧失一般性的情况下，我们假设随机变量X（i）定义在产品可测量空间E=E×E×··························································· E ···, 赋予产品概率度量eQ=eQ均衡器 ···.我们确定了E上的经验测量值Eqx=nPni=1δX（i）。然后，第2节的所有结果再次适用于J:H→ LQis是一个紧算子，根据开映射定理，我们得到Im J=Im J当且仅当dim（Im J）<∞. 在这种情况下，很明显，f∈ Im J.如脚注4所示，鉴于（8）和（16），我们必须有kκkp，Q≤ k√wkp，Qkeκk∞,Q<∞, 对于任何p≤ ∞ 这样的话√wkp，Q<∞. 最后一个显然适用于p=2。样品方面，foreQXin代替了Eq。

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mingdashike22

2022-6-24 03:39:03

我们用EJX表示：呃→ LeQXandefX=（eJ*XeJX+λ）-1eJ*Xef样品类似物ofeJ:eH→ 分别为LeQandefλ。与（17）一致，我们最终确定了fλbyfX的样本估计量=√wefX。（18）我们的第一个主要结果是一对极限定理，它显示了H中被视为函数的估计量（18）的一致性。关于Hilbert空间上具有均值m和协方差算子Q的高斯测度N（m，Q）的概念，我们参考a.4节。我们表示g的方差∈ LeQby VeQ【g】=kgk2，等式- hg，1ieQ。定理3.1。（i） H中的大数定律：fXa。s--→ fλ为n→ ∞.（ii）H中的中心极限定理：√n（外汇）-fλ）d-→ N（0，Q）为N→ ∞, 式中Q:H→ H是由hQh给出的非负自伴迹类算子，hiH=VeQ[（1/w）（f- fλ）（J*J+λ）-1h]，对于h∈ H、定理3.1的直接结果是以下弱中心极限定理，它适用于任何H∈ H√nhfX公司- fλ，hiHd-→ N（0，hQh，hiH）为N→ ∞. （19）备注3.2。从定理3.1和连续映射定理，我们立即得到了LQ中相应的大数定律和中心极限定理。后者为√n（外汇）- fλ）d-→N（0，JQJ*) 作为n→ ∞, 其中JQJ*: LQ公司→ LQis hJQJ给出的非负自伴迹类算子*g、 giQ=VeQ[（1/w）（f-fλ）（J*J+λ）-1J*g] ，对于g∈ LQ。弱中心极限定理（19）如下√nhfX公司- fλ，giQd-→ N（0，hJQJ*g、 giQ）作为n→ ∞.备注3.3。定理3.1在弱于（15）–（16）的假设下实际成立，即kefeκk2，eQ<∞和keκk4，eQ<∞. 这从其证明中可以明显看出，请参见（44）和（50）。我们的第二个主要结果为估计量提供了有限的样本保证（18）。定理3.4。对于任何η∈ （0，1），我们有KFx- fλkH<p2 log（2/η）k（1/w）（f- fλ）κk∞,Qλ√n（20），采样概率Q至少为1- η.备注3.5。

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2022-6-24 03:39:06

请注意，定理3.4中的界是无量纲的，因为尽管常数可能取决于E的维数，但n中的收敛速度并非如此。从证明中，我们看到这是Hoeffing不等式（37）的直接结果，它是无量纲的。我们还观察到，fλ与f的近似值越接近，有限样本误差界限越小。至于选择满足条件（15）和（16）的抽样测量Eq，有一个最优性测量可以产生最小的L∞-内核在以下意义上的范数。引理3.6。对于任何取样测量~ Q、我们有keκk∞,Q≥ kκk2，Q，当且仅当k>0且w=kκk2，Q，Q-a.s.（21）在这种情况下，eκ=kκk2，Qis常数Q-a.s.如上所述，对于任何函数h:e→ R、我们将为其eqx等价类编写h。通过选择（21），我们得到keκk∞,Q=kκk2，Q，表示条件（16）。对于条件（15），结合选择（21），我们总是可以选择原始核k，使得kf/κk∞,Q<∞,这就意味着（15）。除上述考虑外，对于实际问题，选择采样测量值Eq是很方便的~ Q，以便从EQ中采样是可行的。（22）机器学习文献中已推导出类似于（20）的有限样本保证，例如[CS02b、CS02a、SS05、WYZ06、WZ06、CDV07、BPR07、SZ07、WYZ07、RS17、LRRC18]，但假设条件比我们更严格。例如，[RS17]假设f∈ Im J，这在我们下面第6节的示例中不成立。事实上，高斯指数核是LQ通用的，参见引理6.1，因此f=f不在任何支付函数f的Im J中。在另一个例子中，[LRRC18]假设E是紧的，这在我们的示例中同样不成立。

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2022-6-24 03:39:09

这些假设在上述文献中是标准的，其中大多数论文旨在确定总误差kfX的最佳学习率-fk2，Q。这些是形式为Q[kfX]的语句- fk2，Q<c（η，n）]≥ 1.- η表示所有n≥ n（η），对于η∈ （0，1）.迄今为止获得的最佳学习速率为c（η，n）=O（n-1/2），与（20）一致。然而，我们认为，将固定λ>0的样本误差界（20）与近似误差分离，可以提高参数的透明度，并使我们的框架能够灵活地遵守财务应用程序。因此，我们在最小假设下陈述了定理3.4，以涵盖财务示例。事实上，机器学习文献中所述的有限样本保证在更严格的假设下成立，并要求财务用户仔细检查这些证明，以检查它们是否也适用于我们较弱的假设。这可以说是一项繁琐的任务。为了方便读者，我们给出了定理3.4的一个自包含的简短证明。这些论点是以[RS17，定理3.1]的证明为精神的，该证明再次建立在[DVRC+05，定理2]和[CDV07，定理4]的基础上，然而，这是在上述严格假设下陈述的。有趣的是，据我们所知，文献中没有这种形式的定理3.1。4计算我们展示了如何计算外汇。我们还推导了引理2.2的样本模拟，它以闭合形式给出了估计值过程VXin（4）。我们明确考虑到采样点可能重叠。我们首先注意到，n=dim LeQX≤ n、当且仅当ifX（i）6=X（j）对于所有I6=j.（23）时相等，因此，我们让'X（1），\'X（\'n）是E中的不同点，因此{\'X（1），…，\'X（\'n）}={X（1），…，X（n）}。定义指数集Ij={i | X（i）='X（j）}，j=1，n.我们考虑正交基{ψ。

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nandehutu2022

2022-6-24 03:39:12

，由ψi（(R)X（j））=| Ii给出的Leqx的ψ\'n}|-1/2δij，因此hψi，ψjieQX=nδij，对于1≤ i、 j≤ n.任意g的坐标向量表示∈ Leqxaccording由g=（| I | 1/2g（| X（1））|1/2g（\'X（\'n）））>。（24）我们通过Kij=| Ii | 1/2ek（| X（i），| X（j））| Ij | 1/2定义正半无限n×| n矩阵K，对于1≤ i、 j≤ \'\'n.此排序步骤增加了计算成本。在C.1节中，我们将演示如何在不排序的情况下计算FX。（53）我们看到NK是Ejxej的矩阵表示*十： LeQX公司→ LeQX。因此，我们得到了以下引理，它显示了如何根据K和f=（| I | 1/2ef（| X（1）），…，计算fx和vx|I'n'1/2ef（'X（'n）））>，Leqx中的EF坐标符合（24）。引理4.1。独特的解决方案g∈ R'nto（nK+λ）g=f，（25）给出fX=nP'nj=1k（·，'X（j））| Ij'1/2gj√w（(R)X（j））。此外，如果内核k可跟踪nVx，t=n'nXj=1Mt（'X（j））| Ij'1/2gjpw（'X（j）），t=0，T、（26）以封闭形式给出。备注4.2。当n在内存和计算方面显著大于10时，计算n×n矩阵K是不可行的，请参见[MV18]。在这种情况下，可以考虑formek（x，y）核的低阶近似值≈eφ（x）>eφ（y）对于某些特征映射eφ：e→ Rm。这将我们带到下面引理D.3中讨论的有限维情况。最近有很多关于这种低Rankaproximations的研究。E、 g.，[DXH+14，LHW+16]使用如表a.1（ii）所示的核概率表示，其中，通过有限样本ω，…，得出的经验度量，它们近似于M，从而近似于k，ωm∈ Ohm 如我们所见，从M.5可跟踪核中得出，如果所选核对于给定的随机驱动是可跟踪的，则上述核方法可以有效地用于近似V。幸运的是，正如我们现在所看到的，有许多这样的内核k和分布Q。

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nandehutu2022

2022-6-24 03:39:15

因此，我们假设k是可测核kton的乘法形式k（x，y）=TYt=0kt（xt，yt）（27），使得κt∈ κt（x）=pkt（x，x），且具有可分离的RKHS-Ht。然后，可以用张量积H=H来确定k的RKHS ··· HT，见【PR16，定理5.11】。特别地，对于函数g（x）=QTt=0gt（xt）和h（x）=QTt=0ht（xt），hg，hiH=QTt=0hgt，htihtf。然后很容易看出，如果内核嵌入mt（y）=REtkt（x，y）Qt（dx），参见[SGF+10]，对于所有y都是闭合的，那么（27）中的内核k是可处理的∈ E和t=0，T实际上，条件内核嵌入扫描现在可以写成asMt（y）=EQ[k（X，y）| Ft]=tYs=0ks（Xs，ys）tYs=t+1ms（ys），y∈ E、（28）接下来，我们假设每个ETI都是某个dt的RDTF的可测量子集∈ N、然后，Bochner定理[Sat99，命题2.5]暗示，Rdt上的任何对称概率测度∧，以及参数β≥ 0，在形式kt（x，y）=eβx>yZRdtei（x）的Etof上产生一个核-y） >λ∧（dλ），x，y∈ Et.（29）至于随机驱动因素分布，我们假设每个QTi都是可整除的，并且对于所有x，都允许βx阶的指数矩∈ 然后，L'evy–Khintchine公式为（扩展的）特征函数bqt（u）=REteu>yQt（dy）生成一个闭合形式表达式，用于所有容许的u∈ Cdt，见[Sat99，定理8.1]。示例包括（离散时间）L'evy过程X，这是金融模型中广泛存在的随机驱动因素。核嵌入变为smt（x）=ZRdtZEte（βx+iλ）>yQt（dy）e-ix>λ∧（dλ）=ZRdtbQt（βx+iλ）e-ix>λ∧（dλ），x∈ Et，（30）为闭合形式，受∧（dλ）积分的影响。为了理解这一发现，我们注意到，傅里叶型积分（如（30）中右侧的积分）是常规计算的，例如，在L’evy型或a ffine模型中，[DFS03]。

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2022-6-24 03:39:18

因此，我们可以利用大量可用的计算机代码库。可追踪测度∧包括对称的不可整除分布，对于该分布，L'evy–Khintchine公式得出了ktin（29），kt（x，y）=eβx>ye的闭合表达式-（十）-y） >A（x-y） +RRdt（cos（（x-y） >ξ）-1） ν（dξ），x，y∈ Et，其中A是一个正半有限矩阵，ν是Rdt上的对称L'evy测度，参见[Sat99，定理8.1和E 18.1]。[NF16]最近也对β=0的此类核进行了研究。对于ν=0和A=2αIdt，其中Idt是单位矩阵，我们得到高斯指数核kt（x，y）=e-αkx-yk+βx>y，x，y∈ Et，（31），参数α≥ 0和β≥ 作为特例，它包含高斯核（β=0）和指数核（α=0）。Sobolev空间的核也是β=0的形式（29）。[NUWZ18]最近表明，s阶弱导数大于dt/2的函数的Sobolev空间Ws（Rdt）的生成核是平方可积的，由概率测度∧（dλ）=（2π）给出-dt（1+P0<|α|≤sλα）-1dλ。这一点值得注意，因为Sobolev空间是函数近似的通用工具，因此对于可分割的金融应用可能很有用。6个示例我们在介绍性示例的基础上，对具有d名义股价过程的Black-Scholes模型进行了扩展，对于某些维度d∈ N、特别地，我们假设Xtare i.i.d.标准Gaussianson Et=Rd，t=1，T对于核（27）的分量，我们考虑参数α>0和β的高斯指数核（31）∈ [0，1/2）。β的上界是必要的，并且对于（7）保持有效。如果∧，则∧是对称的(-B） =λ（B），其中-B={-x | x∈ B} ，对于每个Borel可测集B Rdt。请注意，我们没有指定Xhere，其中可能包括将累积现金流量函数f（X）参数化的投资组合特定值。

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2022-6-24 03:39:21

这可能包括嵌入期权的执行价格或基础金融工具的初始价值。我们可以从贝叶斯先验Q中抽取xf。从此我们省略X，这相当于设置k=1。只要合适，我们通过将x=（x，…，xT）叠加到列向量中，用rdtb标识路径空间E。因此，Q=N（0，IdT）是RdT上的标准高斯度量，我们可以写出（x，y）=e-αkx-yk+βx>y。根据引理A.2，每h∈ H是连续的，H是可分的。对于以下重要属性，我们回顾定义2.4。引理6.1。高斯指数核k是LQ普适的。至于采样测量eq，我们考虑氡-尼科德姆导数w=dQ/dQ，由w（x）=（1）给出- 2γ）dT/2eγkxk，参数γ<1/2。则等式=N（0，（1-2γ)-1IdT）是具有标度方差的中心高斯度量，因此（22）明显满足。我们得到eκ（x）=（1-2γ)-dT/4e（β/2-γ/2）kxk。因此，条件（16）成立且仅当β≤ γ、（32）我们从此假定。注意，对于β=γ，我们得到了Radon–Nikodym导数（21），它在引理3.6的意义上是等时的。对于高斯抽样测量eq，（23）几乎可以肯定适用于任何有限样本，因此对于所有j=1，…，n=n，\'X（j）=X（j）和| Ij |=1，n、这简化了估值器VX，tin（26）的表达式，其中还包括（28）中给出的条件核嵌入Mt。直接的计算表明，所涉及的内核嵌入是闭合形式的ms（ys）=（1+2α）-d/2eβ+4αβ-2α4α+2kysk。

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2022-6-24 03:39:24

（33）对于投资组合，我们确定了履约价格K，并考虑了以下具有贴现付款函数的欧洲期权o最小认沽f（x）=e-rPTt=1t（K- miniSi，T）+；o最大调用f（X）=e-rPTt=1t（最大值，t- K） +。我们还考虑了一个真正的路径依赖产品，具有折扣支付函数o障碍反向可转换f（X）=e-rPTt=1t型C+F1.- 1{迷你，tSi，t≤B}1.- miniSi，TSi，0K+,对于某些屏障B<K，试样C和面值F。在到期日T时，该结构化产品的持有人收到息票C。如果在任何时间步骤T=1，…，没有任何名义股票价格低于屏障B，则其也收到面值F，T否则，面值F会因F/Kmin看跌期权对标准化股票Si、T/Si、0和执行价格K的支付而减少。这些例子的灵感来自于【BCJ19】。请注意，最小看跌期权和障碍反向可转换债券的支付函数是有界的，而最大看涨期权的支付函数是无界的。对于我们的数值实验，我们选择以下参数值：无风险利率r=0，初始股票价格Si，0=1，波动率σi=0.2ei，其中eidenote是Rd中的标准基向量，因此股票价格是独立的，执行价格K=1（按货币计算），屏障B=0.6，息票C=0，面值f=1。其余参数按以下情况逐一选择：o最小投入：d=6个库存，T=2个时间步长，步长为= 12月1日和= 11/12，采样测量参数γ=0。最后一个是因为最小认沽回报是有界的。需要注意的是，β=0乘以（32）。因此，条件（16）和定理3.1和3.4都成立最大呼叫数：d=6，T=2，= 1/12, = 12月11日，关于min put。然而，条件（15）成立，当且仅当γ>0时，定理3.4适用。另一方面，鉴于备注3.3，定理3.1still也适用于γ=0。

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可人4

2022-6-24 03:39:28

所以我们尝试γ=0和γ=0.15壁障反向敞篷车：d=3个库存，T=12个时间步长，步长为t=1/12，采样测量参数γ=0。最后一个与最小投入相同，意味着定理3.1和3.4都成立。在[FAF20，第5节]中，使用实践中经常使用的模型构建保险责任模型，其中d=5。对于最小put和最大调用，我们有d=6，路径空间的维数E=RdTamounts到12；对于壁障倒车敞篷车，这些值分别为3和36。实际上，这些例子可以被认为是高维的。根据上述参数规格，我们生成一个大小为n=2×10的训练样本X，并使用scikit学习库的高斯过程回归（GPR）模块【PVG+11】。事实上，GPR的表达式与我们在引理4.1中对样本估计量FX的表达式相同，请参见【RW06】。使用探地雷达的优点是，通过最大化似然函数可获得一些最佳超参数值α、β和λ【RW06】。这是标准验证步骤的另一种选择，在标准验证步骤中，需要为每个超参数指定一个网格，这可能会导致繁琐而冗长的计算，正如我们在示例中所经历的那样。相反，对于GPR，我们只需要指定每个超参数的值范围，这里我们选择α∈ [2.8 × 10-5, 83], β ∈ [10-9，0.15]和λ∈ [10-12, 10-3]. 表1显示了最佳超参数值。我们注意到，所有最佳值都在其预先规定的范围内。Payofffαβλ最小投入2.06×10-20 1.86 × 10-8Max调用（γ=0）2.53×10-20 3.33 × 10-8Max调用（γ=0.15）3.66×10-23.25 × 10-94.14 × 10-8托架倒档敞篷车2.96×10-30 9.20 × 10-8表1：GPR的最佳超参数值α、β、λ。然后，我们计算估计值过程VX，tat时间步长t∈ {0，1，T}使用引理4.1，（28）和（33）。

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2022-6-24 03:39:31

我们将Vx基准测试到地面真值过程V，我们通过使用ntest=10模拟的大型MonteCarlo方案获得该过程。更具体地说，我们通过模拟VT=f（X）获得Vas简单蒙特卡罗估计。对于V，我们使用嵌套蒙特卡罗方案，其中我们使用ninner=1000（X，…，XT）的独立内部模拟来估计V=V（X）的每个样本。然后我们进行以下计算。首先，我们计算VX，0，| VX，0的绝对相对误差- V |/V和VX，t，kVX，t的归一化LQ误差- Vtk2，Q/V，对于t=1，t。表2显示，VX，tD的归一化LQ误差随着成熟时间T的增加而减少- t、更具体地说，VX的标准化LQ误差1is平均比VX的小10倍，t。VX的相对绝对误差0is平均比VX的标准化LQ误差1小19倍。这些发现与（5）一致，并且对于γ>0.15有实用的数值问题。事实上，EeQ[1/w（X）]=1的样本估计值给出的值明显小于1，这是由于表示维度36中接近零的1/w（X）样本值时的精度有限。启示。事实上，可以说，定理3.4中的样本误差界主要是理论上感兴趣的，在实践中几乎不可用。然而，在具体应用中，人们总是可以通过一个简单的蒙特卡罗方案来估计VX的归一化LQ误差，就像我们在这里所做的那样。然后，对于任何t<t的情况，该误差作为VX，t的归一化LQ误差的上限。

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2022-6-24 03:39:34

图1a、2a、3a和图1b、2b、3b分别显示了关于VX、1和VX、T的训练样本量n的归一化LQ误差的减小。PAYOFF VX，0VX，1VX，TMint put 0.1942 1.827 10.05Max-call（γ=0）0.07962 2 2.500 12.35Max-call（γ=0.15）0.1031 2.315 11.65壁障反向可转换0.02198 0.2506 5.745表2：标准化LQ错误kVt- VX、tk2、Q/Vat步骤t=0、1、t。所有值均以%表示。其次，我们分别使用ntesttest样本和n个训练样本绘制了VX，1和VX，T的去趋势Q-Q图。其中，我们在{0.001%，0.002%，…，0.009%}、{0.01%，0.02%，…，0.99%}、{1%，2%，…，99%}、{99.01%，99.02%，…，99.99%}和{99.991%，99.992%，···，100%}的水平上计算了VX，tand和vt的经验左分位数。然后根据真实分位数绘制去趋势分位数（估计分位数减去真实分位数之间的差值）。图1c、2c、2e、3c和图1d、2d、2f、3d分别显示了VX、1和VX、T的去渲染Q-Q图。我们观察到，VX，1的去趋势Q-Qplot明显优于VX，T，这与我们之前发现的相应相对LQ误差一致。值得注意的是，图3d显示，对于不到3%（如最左边的两个红点所示）的训练样本（即，不到600个点，n=20000），barrier reverse convertible中的embeddedmin看跌期权被触发，并且在货币中。对于其余采样点，Payoff等于面值，F=1。然而，如图3c所示，这足以让我们的算法学习Payoff函数，从而使VX，1非常接近地面真值，归一化LQ误差为0.251%，如表2所示。图2显示了使用γ>0（大于γ=0）作为最大调用的无界支付的好处，这与定理3.4一致。

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mingdashike22

2022-6-24 03:39:37

我们还计算了γ=0.15的最小投入和势垒反向转换的归一化LQ误差和去趋势Q-Q图，我们发现比γ=0的结果稍好，未报告，作者可根据要求提供这些结果。我们希望通过选择抽样测量q，我们的结果可以进一步改进~ Q更多地针对特定的基础投资组合支付，从而产生更平衡的培训样本。我们把这个留给将来的研究。第三，作为风险管理应用，我们计算上述投资组合中的风险价值和多头和空头头寸的预期缺口。在此，我们回顾了[FS04，第4章]中的定义。对于α级置信度∈ （0，1），风险值定义为损失分布的左α分位数，VaRα（L）=inf{y | P[L≤ y]≥ α} ，预期差额由ESα（L）=1给出-αEP[（L-qα）+]+qα，其中qα是L的α-分位数，例如，qα=VaRα（L）。风险价值和预期短缺都是实践中的标准风险度量。例如，根据偿付能力II和瑞士偿付能力测试，保险公司必须分别计算α=99.5%的风险价值和α=99%的预期缺口。有关这两种风险度量的更多讨论，请参阅本书【MFE15】。此后，为了简单起见，我们假设真实世界的度量值P=Q。对于上述三个示例，我们计算了归一化风险值和1期损失的预期差额L=V-Vand Its注意到，对于尺寸ntest=10的试样，左0.001%分位数（100%分位数）对应于最小（最大）样本值。

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大多数88

2022-6-24 03:39:40

对于大小ntrain=2×10的训练样本，同样适用，而十个左右最大数量分别塌陷为两个值。（a） VX的归一化LQ误差，1in%（b）VX的归一化LQ误差，Tin%（c）VX的去渲染Q-Q图，1（d）VX的去渲染Q-Q图，t图1：最小输入的结果。在去渲染的Q-Q图中，使用测试（训练）数据构建蓝色、青色和蓝绿色（红色、橙色和粉色）点。[0%，0.01%指{0.001%，0.002%，0.009%}，[0.01%，1]指{0.01%，0.02%，0.99%}，[1%，99%]指{1%，2%，99%}级别的分位数，（99%，99.99%]指{99.01%，99.02%，·····，99.99%}级别的分位数，（99.99%，100%]指{99.991%，99.992%，····，100%}级别的分位数。（a）VX的归一化LQ误差，1in%（b）VX的归一化LQ误差，Tin%（c）VX的去渲染Q-Q图，1对于γ=0（d）VX的去渲染Q-Q图，t对于γ=0（e）VX的去渲染Q-Q图对于γ=0.15（f），VX的去趋势Q-Q图，tγ=0.15图2：γ=0.0和γ=0.15的最大调用结果。在去渲染的Q-Q图中，使用测试（训练）数据构建蓝色、青色和蓝绿色（红色、橙色和粉色）点。[0%，0.01%表示{0.001%，0.002%，0.009%}，[0.01%，1]表示{0.01%，0.02%，0.99%}，[1%，99%]表示{1%，2%，99%}级别的分位数，（99%，99.99%]指{99.01%，99.02%，·····，99.99%}级别的分位数，（99.99%，100%]指{99.991%，99.992%，····，100%}级别的分位数。（a）VX的归一化LQ误差，1in%（b）VX的归一化LQ误差，Tin%（c）VX的去渲染Q-Q图，1（d）VX的去渲染Q-Q图，图3：屏障反向转换的结果。

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可人4

2022-6-24 03:39:43

在去渲染的Q-Q图中，使用测试（训练）数据构建蓝色、青色和蓝绿色（红色、橙色和粉色）点。[0%，0.01%表示{0.001%，0.002%，0.009%}，[0.01%，1]表示{0.01%，0.02%，0.99%}，[1%，99%]表示{1%，2%，99%}级别的分位数，（99%，99.99%]指{99.01%，99.02%，······，99.99%}水平的分位数，（99.99%，100%]指{99.991%，99.992%，···，100%}水平的分位数。估计量LX=VX，0- VX，多头头寸的1，即VaR99.5%（L）/V、ES99%（L）/V、VaR99.5%（LX）/V和ES99%（LX）/V。我们对空头头寸计算相同的风险度量，即VaR99.5%(-五十） /V，ES99%(-五十） /V，VaR99.5%(-LX）/V和ES99%(-表3和表4显示，对多头头寸的风险度量估计非常准确。空头头寸的风险度量估计值不太好。然而，请注意，这些风险度量对于我们的估计量来说是一个很难衡量的指标，因为它们分别关注1%和99%分位数以外的分布尾部。所有这些观察结果都与上面讨论的去趋势Q-Q图一致。事实上，在图1c、2c、3c中，我们看到我们的方法对左尾分布的估计优于右尾分布。还请注意选择抽样测量值EQ而非Q的好处。事实上，除LX的预期不足外，所有风险测量值在从EQ抽样时比从Q.Payoff VaR99.5%（L）VaR99.5%（LX）VaR99.5%抽样时更准确(-五十） VaR99.5%(-LX）Mint put 2063 2083 2058 2123Max call（γ=0）2800 2802 3071 2961 Max call（γ=0.15）2800 2801 3071 3041 Barrier revere convertible 264.1 264.6 99.83 85.94表3：风险标准化真实值和估计值VaR99.5%（L）/V，VaR99.5%（LX）/V，VaR99.5%(-五十） /V和VaR99.5%(-LX）/V。

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大多数88

2022-6-24 03:39:47

所有值均以基点表示。支付99%（L）99%（LX）99%(-五十） ES99%(-LX）Mint put 2141 2168 2118 2219最大通话量（γ=0）2890 2880 3205 3090最大通话量（γ=0.15）2890 2870 3205 3160 Barrier revere敞篷车284.7 283.2 101.2 86.63表4：标准化真实和估计的预期短缺ES99%（L）/V，ES99%（LX）/V，ES99%(-五十） /V和ES99%(-LX）/V。所有值均以基点表示。作为另一个风险管理应用程序，我们现在概述如何计算上述示例的Q方差最优混合策略（6），如第1节所述。这里的可交易对冲工具自然是具有贴现价值过程Gi，t=e的基础股票-rPts=1sSi，t。相应地，（2）的增益，inview由下式给出Gi，t=Gi，t-1.exp[σ>iXt√t型- kσik电话/2]- 1.. 直接计算得出近似套期保值策略（6）的成分，我们将其替换为Vtby公司VX，t。首先，我们有EQ[Gi，tGj，t | Ft-1] =Gi，t-1Gj，t-1.exp[σ>iσjt]- 1.. 第二，EQ[Gi，tVX，t | Ft-1] 可以使用引理4.1、（28）和（33）以闭合形式轻松计算。为了简洁起见，我们将完整的套期保值实现留给未来的研究。至于我们方法的可扩展性，我们进行了与上述类似的实验，d和T值较大。结果表明，大小为n=20000的训练样本不足以处理d×T维度的问题≥ 60自VX的归一化LQ误差以来，1均大于5%。文献中存在用核方法处理高维问题的解决方案，它们包括随机投影，如Nystrom近似[SS00，WS01]和随机特征[RR07]。我们尝试了一种基于Nystrom近似的最新算法[RCR17]，但VX的归一化LQ误差仍高于5%。

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2022-6-24 03:39:50

这些结果表明，如果没有更大的训练样本和更多的计算资源，对于d×T维度，很难达到更小的归一化LQ误差≥ 60.7结论我们引入了一个基于投资组合动态价值过程的定量投资组合风险管理统一框架。我们使用核方法从投资组合累积现金流的有限样本中近似并学习价值过程。为此，我们部署了再生核希尔伯特空间的理论，我们发现该理论适用于使用模拟样本学习函数。我们将可跟踪核与核表示中心定理结合起来，得到了闭式值过程的样本估计量。我们证明了渐近一致性并推导出有限样本误差界，这在以前的文献中仅在目标函数的正则性和有界性假设下建立，而这些假设通常不适用于金融应用。对大维多元Black-Scholes模型中奇异的、路径相关的期权进行的数值实验表明，在中等训练样本量下，结果良好。我们的方法可以扩展到各个方向。一个方向是进一步开发上述示例以用于生产。这尤其包括全面实施粗略的hedgingstrategies。另一个方向是进一步探索所提出方法对高维样本空间的可扩展性。在机器学习研究中，有一项大型活动涉及到内核方法的可伸缩性。新发现也有助于投资组合估值和风险管理的应用。这是正在进行的研究。第三个方向是评估百慕大期权，参见，例如，【LL11】。

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