GARCH-intensitymodelKyungsub-Lee下的风险中性期权定价*摘要研究了GARCH强度模型下的风险中性期权定价方法。GARCH强度模型结合了金融收益序列的特征，如波动率聚类、杠杆效应和条件不对称。GARCH强度期权定价模型具有根据概率测度变化改变波动率的灵活性。1引言本文在GARCH强度模型下建立了风险中性的期权定价框架。金融资产收益率序列具有有趣的特征。在一系列财务回报中，大波动率往往跟随大波动率，小波动率往往跟随小波动率，这被称为波动率聚类。杠杆效应表明，今天的波动率与过去的回报率呈负相关。条件对称性是当前和过去波动率之间的非对称相关性，取决于当前和过去回报率是正还是负。各种GARCH模型很好地捕捉到了这些特征。原始GARCH模型很好地描述了波动率聚类。[13] [12]、[8]和[14]结合了杠杆效应，[1]捕捉了条件不对称。[5]引入的GARCH强度模型还描述了金融资产价格动态中的波动率聚类、杠杆效应和条件不对称，并基于泊松型强度过程。风险中性期权定价是一种确定标的资产金融期权无套利价格的方法。期权定价理论*江南大学统计系、庆山、庆博38541、韩国【3】和【11】基于风险中性定价框架。[9]和[10]研究了风险中性定价与无套利原则之间的关系。

[6] 解释了GARCHmodel下的风险中性期权定价。本文将风险中性定价思想推广到GARCHintensity模型。论文的其余部分组织如下：第2节回顾了GARCH强度模型。第三节研究了GARCH强度模型下风险中性期权定价的数学分析。第四节将期权定价理论扩展到广义GARCH强度模型。第5节总结了本文。2 GARCH强度模型首先，我们回顾了文献[5]中介绍的GARCH强度模型。在该模型中，资产价格过程的运动由两个具有时变强度过程的泊松型过程描述。概率空间(Ohm, F=F（T），P），过滤F（T），0≤ t型≤ T，给出。假设2.1（[5]）。给出了F（t）自适应r.c.l.l.过程N+（t），N-（t） 正F（t）自适应r.c.l.l.过程λ+（t），λ-（t） 对于0≤ t型≤ t满足以下条件：（i）（离散观测时间）t=t/N和ti=it、 0个≤ 我≤ N（ii）（有条件分配）（N±（t）- N±（ti-1） ）| F（ti-1） 具有强度为λ±（ti）的泊松分布-1） （t- ti公司-1） ，ti-1.≤ t型≤ ti。亨塞普（N±（ti）- N±（ti-1） =k | F（ti-1） ）=（λ±（ti）-1)t） kk！经验值(-λ±（ti-1)t） 。（iii）（条件独立）N+（t）-N+（ti-1） 和N-（t）-N-（ti-1） a条件独立给定F（ti-1） ，ti-1.≤ t型≤ ti。（iv）（分步过程）λ+（t）=λ+（ti-1） 和λ-（t） =λ-（ti-1） ，ti-1.≤ t<ti。（v） （可预测性）λ+（ti）取决于N±（ti-k+1）和λ±（ti-k） ，1≤ k≤我- 1，与λ类似-（ti）。（vi）（资产价格）当常数δ>0时，价格过程isS（t）=S（0）exp（δ（N+（t））- N-（t） ））。在时间t价格上涨时，S（t）=eδS（t-) 或S（t）=e-δS（t-) 取决于跳跃的方向。

资产价格也可以由一个随机微分方程表示，该方程由bydS（t）=（eδ）给出- 1） S（t）-)dN+（t）+（e-δ- 1） S（t）-)dN-（t） 。LetX（ti）=对数（ti）S（ti-1） 是该期间的日志返回值[ti-1，ti]。然后由mi=X（ti）δ=N+（ti）定义的整数值随机变量- N-（ti）- （N+（ti-1) - N-（ti-1） ）在F（ti）上具有条件骨架分布-1） f（m |λ+（ti-1), λ-（ti-1） ）=经验值{-λ+（ti-1) - λ-（ti-1)}λ+（ti-1)λ-（ti-1)m/2I | m |（2pλ+（ti-1)λ-（ti-1） 式中，Ia是由Ia（x）定义的第一类修正贝塞尔函数=∞Xk=0k！Γ（k+a+1）x个2k+a。由于存在条件概率密度的闭合形式，因此可以很容易地使用最大似然估计。定义2.2（日志返回分解）。用u（ti）={（eδ）定义u（ti）、γ（ti）、ε（ti）- 1） λ+（ti-1） +（e-δ- 1)λ-（ti-1)}tγ（ti）={（eδ- 1.- δ） λ+（ti-1） +（e-δ- 1 + δ)λ-（ti-1)}tε（ti）=X（ti）- E[X（ti）| F（ti-1)].回想一下，在假设2.1下，E[X（ti）| F（ti-1） ]=δ（λ+（ti-1) - λ-（ti-1))tVar（X（ti）| F（ti-1） ）=δ（λ+（ti-1) + λ-（ti-1))tE[exp（X（ti））| F（ti-1） ）=exp（u（ti））和x（ti）=u（ti）- γ（ti）+ε（ti），其中u（ti）是漂移项，γ（ti）是It^o校正因子，ε（ti）是aF（ti）-时间间隔内发生的可测量冲击-1，ti]。如[5]中所述，为了捕获波动率聚类，应用了GARCH[4]类型的建模：λ±（ti）=ω±+α±ε（ti）+β±λ±（ti-1） 对于某些常数ω±、α±和β±。如果β+=β-= β在GARCH强度模型中，得到了GARCH型时变波动率。为了说明这一点，假设h（ti）是ti处提前一步的回报条件变量，那么h（ti）=Var（X（ti）| F（ti-1))/t=δ（λ+（ti-1) + λ-（ti-1） ）和h（ti）=δ（ω++ω-) + βh（ti-1) + δ(α++ α-)ε（ti-1). （1） 这与GARCH中的条件方差模型是一致的。

此外，我们还考虑了GJR[8]GARCH型强度模型：λ±（ti）=ω±+α±ε（ti）+β±λ±（ti-1） 其中i（ti）=1，ε（ti）<00，ε（ti）≥ 0.3风险中性期权定价我们通过构造一个等价测度，提出了强度模型的期权定价方法，在此等价测度下，贴现股票价格过程为阿马丁格尔过程。我们假设标的资产不支付股息，letr>0为无风险利率。下面我们为等价鞅测度选择新的强度。定义3.1。取一对正r.c.l.l.自适应步进过程eλ+andλ-使得（eδ- 1） eλ+（t）+（e-δ- 1） eλ-（t） =r.（2）（我们认为右侧等于r，因为左侧在风险中性度量下被视为漂移。）（i） LetD（t）=λ+（t）+λ-（t）-eλ+（t）-eλ-（t） 对于0≤ t型≤ T，设U（0）=0，对于ti-1<t≤ 潮汐指数（t）=（N+（t）- N+（ti-1） ）对数λ+（t）λ+（t）+（N-（t）- N-（ti-1） ）logeλ-（t） λ-（t） 。（ii）设Z（0）=1，对于ti-1<t≤ 潮汐线Z（t）=Z（ti-1） exp{D（t）（t- ti公司-1） +U（t）}。定理3.2。{Z（t）}0≤t型≤这是一个P-鞅。证据对于ti-1<t≤ ti，定义Z+、i（t）和Z-,i（t）乘以Z±（ti-1） =1和dz±，i（t）=Z±，i（t-)eλ±（ti-1) - λ±（ti-1） λ±（ti-1） d（N±（t）- λ±（ti-1） t）。ThenZ±，i（t）=exp（λ±（ti-1) -eλ±（ti-1） ）（t- ti公司-1） +（N±（t）- N±（ti-1） ）logeλ±（ti）-1） λ±（ti-1).（有关证明的详细信息，请参见【7】。）自N±（t）起-λ±（ti-1） t是鞅，Z±，i（t）是ti的鞅-1.≤ u<t和henceE[Z±，i（t）| F（ti-1)] = 1.注意Z+，i（t）Z-,i（t）=Z（t）Z（ti-1).自N+（t）起- N+（ti-1） 和N-（t）- N-（ti-1） 条件独立给定F（ti-1） ，我们有Z（t）Z（ti-1)F（ti-1)= E[Z+，i（t）| F（ti-1） ]E[Z-,i（t）| F（ti-1)] = 1.取s，t，使tj-1<s≤ tjand s<t。

ThenE[Z（tj）| F（s）]=Z（s）and[Z（t）| F（s）]=EZ（t）Z（ti-1） Z（ti-1） Z（ti-2） ×···×Z（tj+1）Z（tj）Z（tj）F（s）= EEZ（t）Z（ti-1） Z（ti-1） Z（ti-2） ×···×Z（tj+1）Z（tj）Z（tj）F（ti-1)F（s）= EZ（ti-1） Z（ti-2） ×···×Z（tj+1）Z（tj）Z（tj）EZ（t）Z（ti-1)F（ti-1)F（s）= EZ（ti-1） Z（tt-2） ×···×Z（tj+1）Z（tj）Z（tj）F（s）...= E[Z（tj）| F（s）]=Z（s）。定义3.3。定义等效概率度量Q byQ（A）=A的ZAZ（T）dP∈ F、 现在我们改变强度。引理3.4。N~+和N的强度-Q下由λ+和λ给出-, 分别地证据因为{N+（t）- N+（u）}| F（u）具有ti的泊松分布-1.≤u<t≤ ti，我们有EPexp{ηi（N+（t））- N+（u））}F（u）= exp{λ+（ti-1） （t- u） （eηi- 1） }对于F（ti-1） -可测量的随机变量ηi。我们将证明Q和λ+的相似性成立。定义Z±，i（t），如定理3.2的证明所示。对于常数ξ，我们有eq[exp{ξ（N+（t））- N+（ti-1） ）}| F（ti-1） ]=EPexp{ξ（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z（t）Z（ti-1)F（ti-1)= EP[exp{ξ（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z+，i（t）Z-,i（t）| F（ti-1） ]=EP[经验{ξ（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z+，i（t）| F（ti-1） ]EP[Z-,i（t）| F（ti-1） ]=EP[经验{ξ（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z+，i（t）| F（ti-1） ]=EPexp{ξ（N+（t））- N+（ti-1） ）+（λ+（ti-1) -eλ+（ti-1） ）（t- ti公司-1） }×exp（（N+（t））- N+（ti-1） ）logeλ+（ti-1） λ+（ti-1))F（ti-1)= exp{（λ+（ti-1) -eλ+（ti-1） ）（t- ti公司-1） }×EP“exp（（N+（t））- N+（ti-1） ）ξ+logeλ+（ti-1） λ+（ti-1)!)F（ti-1） #=exp{（λ+（ti-1) -eλ+（ti-1） ）（t- ti公司-1） }×exp（λ+（ti-1） eλ+（ti-1） λ+（ti-1） eξ- 1.（t- ti公司-1） ）=exp{eλ+（ti-1） （eξ- 1） （t- ti公司-1） }其中，最后一个表达式是强度为λ+（ti）的泊松分布的矩母函数-1） （t- ti公司-1). 对于N-（t）- N-（ti-1） ，车顶相同。如定义2.2所示，我们根据eλ+、eλ定义eγ（ti）和eε（ti）-Q.eγ（ti）={（eδ- 1.- δ） eλ+（ti-1） +（e-δ- 1+δ）eλ-（ti-1)}teε（ti）=X（ti）- 等式[X（ti）| F（ti-1)].ThenX（ti）=rt型- eγ（ti）+eε（ti）。定理3.5。