有没有关于偏好连续性的比较直观的解释？

2011-9-8 21:56:30

开集：集合中任何一个点，都存在一个小邻域，该点属于这个邻域，且这个邻域属于集合。当然，这是一个通俗化的定义，拓扑学中的开集是一个基础性的概念，是整个拓扑学公理体系的基础，要解释起来就相当麻烦了，我一时也想不起来。
闭集：开集的补集。
紧集：紧集的定义非常多，他是一个拓扑学概念，不过在数学分析领域广泛应用。他的最根本的定义是，满足所有开覆盖都有有限子覆盖的的集合。另一个相关概念是列紧，就是任何有界无限列有收敛子列。拓扑中证明了度量空间中紧集就是列紧集。。。

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2011-9-8 22:03:32

我又想了一下，紧集的概念。。。用拓扑学语言说太抽象了
基本上，经济学应该面对的都是度量空间吧，那紧集应该就是和有界闭集是等价的，或者更直观地说，就是说紧集中的柯西列都收敛于紧集里面。
紧集的内容已经超出数学分析，大概是实分析和拓扑学了，是数学专业大二大三的课程。。
至于柯西列和收敛的概念，是微积分的基础概念，就不详细说了。。。

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2011-9-8 22:16:47

字典偏好中，非优于任一个点的集合、至少不差于任一个点的集合都不是闭于全集的。
直观原因就是字典偏好中没有无差异曲线。

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2011-9-8 22:31:51

关于连续性为何保证不会突发性逆转。
原因是如果至少不差于点x的集合是闭集，那么一个收敛于x的列，它的极限就是x，直观的说，就是你从比x好一点一点靠近x的时候，最后的极限都是不差于x的（紧的度量空间中的闭集里的柯西列收敛于该集合中）。
但是在字典偏好中，比方说二元的情况下，x为（1，1），我们可以找到一列数（1+1/n，0.5），序列中所有点都比x差，但是他的极限比x好。

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2011-9-9 09:28:26

安迪·卡罗尔发表于 2011-9-8 22:31
关于连续性为何保证不会突发性逆转。
原因是如果至少不差于点x的集合是闭集，那么一个收敛于x的列，它的极 ...

"但是在字典偏好中，比方说二元的情况下，x为（1，1），我们可以找到一列数（1+1/n，0.5），序列中所有点都比x差，但是他的极限比x好。"
这个是不是该说，后者比x要好，但是后者的极限比前者差？

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2011-9-9 09:30:16

安迪·卡罗尔发表于 2011-9-8 22:03
我又想了一下，紧集的概念。。。用拓扑学语言说太抽象了
基本上，经济学应该面对的都是度量空间吧，那紧集 ...

另外我想问一下，学经济到底有没有必要学实分析和拓扑学？
我一直很想继续读到经济学的博士，那请问数学应该学到什么程度比较好？

后来数学学得越深，感觉数学的广度越大，可能终人一生，都不可能完全学完了。

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2011-9-9 10:01:47

AdrianW 发表于 2011-9-9 09:28
"但是在字典偏好中，比方说二元的情况下，x为（1，1），我们可以找到一列数（1+1/n，0.5），序列中所有点 ...

对。因为集合不是闭的（准确地说是因为集合不是紧的。不过在完备空间里面，闭集一般都紧），所以序列极限不在集合中

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2011-9-9 10:03:44

AdrianW 发表于 2011-9-9 09:30
另外我想问一下，学经济到底有没有必要学实分析和拓扑学？
我一直很想继续读到经济学的博士，那请问数学 ...

。。。我不知道学高级经济学需不需要实分析，实分析比较难，前面说得只是一点点皮毛。。。我认为是不需要拓扑学的。。。我只懂初级经济学。。。

数学当然是一生都学不完的。。。

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lupuyun2

2011-9-9 12:40:01

顶顶顶
本文来自: 人大经济论坛微观经济学版，详细出处参考： https://bbs.pinggu.org/forum.php?

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2011-9-9 15:26:11

lupuyun2 发表于 2011-9-9 12:40
顶顶顶
本文来自: 人大经济论坛微观经济学版，详细出处参考： https://bbs.pinggu.org/foru ...

那你有没有这方面比较好的，推荐教材？谢谢了。

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vesperw

2011-9-10 09:48:43

安迪·卡罗尔发表于 2011-9-9 10:03
。。。我不知道学高级经济学需不需要实分析，实分析比较难，前面说得只是一点点皮毛。。。我认为是不需要 ...

如果不是要做純理論的, 是沒有必要學的, 只需懂appendix 有的數學就夠

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vesperw

2011-9-10 09:59:23

直觀來說, 連續性是講如果你改變某consumption good少許, 你對它的preference 不會有很大的改變
用sequential definition 的話: for any sequence {x_n} , {y_n} such that x_n is weakly preferred to  y_n for all n , then x is weakly preferred to y, for x and y are limits of {x_n} and {y_n} respectively.
可以把sequence {x_n} 看成是我逐步(每一步就是一個n)的改變good x 少許, 同時又改變good y 少許( 就是sequential {y_n}啦), 如果preference 沒有重大改變的話, 在每一步, 如果 x_n is weakly preferred to  y_n, 那在limit , 仍有 x is weakly preferred to y.
但是preference 因該物品該變少許而又大變化的話(non-continuous), 那雖然x_n is weakly preferred to  y_n for all n, 但因有大變化, 可能使得你突然很討厭good x, 於是y is strictly preferred to x, 這樣preference 就違返continuity 了

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2011-9-11 17:36:52

连续偏好的另一个定义是：（定义了该偏好的）消费集中的任一元素的“不劣集”与“不优集”都是闭集。

（该定义的关键其实是，事先要规定出，消费集的哪些子集才是“闭集”——即事先指定拓扑。当然，人们常常默认欧氏拓扑）

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2011-9-11 19:46:25

sungmoo 发表于 2011-9-11 17:36
连续偏好的另一个定义是：（定义了该偏好的）消费集中的任一元素的“不劣集”与“不优集”都是闭集。

（ ...

我一直不明白，拓扑到底是个什么样的概念？指的是空间？

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2011-9-11 22:19:25

AdrianW 发表于 2011-9-11 19:46
我一直不明白，拓扑到底是个什么样的概念？指的是空间？

给定非空集A，与A相关的一个“拓扑”，指的是一族A的子集，该族子集满足以下条件：
（1）A与空集在该族中；
（2）该族中任意个集的并仍在该族中；
（3）该族中任意有限个集的交仍在该族中。
此时，该族中的集称作“开集”；A与该族子集，联称作“拓扑空间”。

开集的关键特征，粗糙说即：“任意并”与“有限交”都仍是开集。

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2011-9-12 10:47:55

sungmoo 发表于 2011-9-11 22:19
给定非空集A，与A相关的一个“拓扑”，指的是一族A的子集，该族子集满足以下条件：
（1）A与空集在该族中 ...

我想问下，可不可以用区间来理解开集，闭集和紧集。开集，就是两边都是开的区间，而闭集是一边开，一边闭，紧集是两边都是闭的？

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2011-9-12 18:52:08

AdrianW 发表于 2011-9-12 10:47
我想问下，可不可以用区间来理解开集，闭集和紧集。开集，就是两边都是开的区间，而闭集是一边开，一边闭 ...

“开集”（以及拓扑空间）并不限于实数集的子集。

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2011-9-12 19:54:45

AdrianW 发表于 2011-9-11 19:46
我一直不明白，拓扑到底是个什么样的概念？指的是空间？

不用理15楼
拓扑里面的闭集（开集）是个抽象的概念是定义拓扑的基石。
拓扑，其实就是空间中的结构，拓扑空间就是有特定结构的空间。
在当前语境下我们讨论的闭集就是欧式拓扑的闭集
另外因为我们讨论的拓扑性质很好（是完备的），闭集都是紧集。
开集、闭集是相对的概念。紧集是另一个概念。

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2011-9-13 07:10:45

AdrianW 发表于 2011-9-11 19:46
在当前语境下我们讨论的闭集就是欧式拓扑的闭集
另外因为我们讨论的拓扑性质很好（是完备的），闭集都是紧集。

对于实数空间（完备的），闭集未必是紧集吧。

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2011-9-13 07:18:10

安迪·卡罗尔发表于 2011-9-12 19:54 在当前语境下我们讨论的闭集就是欧式拓扑的闭集

借助偏好连续性来保证效用函数存在性时，所涉及的拓扑不必是欧氏拓扑（当然，基于欧氏拓扑的偏好连续性可以保证效用函数存在性）。

（证明效用函数存在性时，其实对用以定义偏好连续性的拓扑也有要求，但一些教材并没有刻意强调这一点）

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