近期学习《高级微观经济理论》看了很多书，尝试了很多途径去寻找数学依据，收获颇丰。关于一些问题论坛里、乃至书本里说法都有出入，特此指正，并对两项关系给出证明。

偏好关系最重要的公理之一就是偏好的单调性与局部非饱和性，很多人不理解其中的意义乃至混淆。
1、单调性
不同的书本很多关于单调的说法，也十分混乱，外文书中对于单调的概念基本分为strictly monotone（严格单调）、monotone（单调）这两种，但是也有很多书中引申了另外两个概念，即强单调（strongly monotone）和弱单调。导致很多初学者一头雾水。这里不对强单调与弱单调给予太多的讨论，初学者只要掌握单调与严格单调即可。
单调：若x属于X，且y>>x,则y强偏好于x，即在X上的偏好关系是单调的。
严格单调：若x属于X，且y≥x且y≠x，则y强偏好于x,即这一偏好关系是严格单调的。
注释：y={y1,y2,...,yn}，x={x1,x2,...,xn}，y>>x代表y的每一个分量都严格大于x对应的分量。y≥x代表y的每一个分量都不小于x，y≠x代表y集合与x集合不可以完全一样，因而y≥x且y≠x代表y至少有一个分量是严格大于x对应分量的。
解释：严格单调适用范围更广，对于单调性的要求更高，所以更严格。可以看到，站在集合的角度来看，严格单调的条件是包含着单调的条件的，所以如果只要满足严格单调的条件即可推导出一些性质的话，那么单调性条件也必然能同样推导出来。

2、局部非饱和性
定义：对于任意x属于X, 存在ε>0与y,使得|y-x|<ε，从而y强偏好于x。
解释：在x周围足够小的圆球区域内总能找到比x更好的选择，即局部非餍足性。这一个假设关键点在于理解它没有将商品区分成goods和bads，实际上这一个工作是单调性完成了，因为单调性意味着越多越好，只有好的商品才会要越多越好。所以局部非饱和性通常在教科书上会出现在单调性之前。因为单调性是更为强的一种条件约束。满足单调性就能满足局部非饱和性，反之不正确。可以从二维思考这个问题，x这一选择的右上角是比x数量更多的选择，而x的左下角是比x数量更少的选择。对于好的商品goods来说（即满足单调性），x总能在右上角找到数量更多从而更好的选择；相反，对于bads来说，数量越多越恶心，所以希望数量越少越好,因此在x的左下角，即数量更少的选择会是更好的选择。因而这一性质没有把goods和bads做区分，因为在圆球区域内总能找到更好的选择这一说法其实既可以适用于goods又可以适用于bads。

3、相关的两个证明：这两个证明在马斯克莱尔的书中出现且得到解释与证明，但是由于写的过于简单，我这给出证明（如有不正确请各位大神给予指正）
证明1：偏好关系若是严格单调的，则其是单调的。
证明2：偏好关系是单调的，则其是局部非饱和的。

证明1：偏好关系若是严格单调的，则其是单调的。
单调：若x属于X，且y>>x,则y强偏好于x，即在X上的偏好关系是单调的。
严格单调：若x属于X，且y≥x且y≠x，则y强偏好于x,即这一偏好关系是严格单调的。

因为偏好关系是严格单调的，所以有x属于X，当y≥x且y≠x这一条件被满足时，y>>x也同时被满足。即{y>>x}包含于{y≥x且y≠x}。所以当{y≥x且y≠x}可以得到y严格偏好于x，则包含于{y≥x且y≠x}的{y>>x}也同样可以得到y严格偏好于x。从而满足了单调的定义。

证明2：偏好关系是单调的，则其是局部非饱和的。
单调：若x属于X，且y>>x,则y强偏好于x，即在X上的偏好关系是单调的。
局部非饱和：对于任意x属于X, 存在ε>0与y,使得|y-x|<ε，从而y强偏好于x。
证明开始：
设x属于X，ε>0，因为偏好关系是单调的，所以有y>>x可以得到y-x>>0
设L属于n维正实数且1>L>0，则有y=x+εL，进而可得|y-x|=y-x=εL<ε，
从而满足局部非饱和定义得到y严格偏好于x,因而是局部非饱和的。

附上两张官方的证明，因为我对其有额外的解读，所以证明过程不尽一致，我不确定我的证明方法是否一定在数学上严谨，所以请各位大神指正！