泛函分析问题，请帮助解答

                    于德浩  2024.7.9

泛函分析问题。已知： C=∫(S*e^(μ*T-0.5σ^2*T+σ*T^0.5*x)-K)*y*dx，积分区间，下限是-d2=(ln(S/K)+μ*T-0.5σ^2*T)/(-σ*T^0.5)，上限是+∞。 若C是常数，与μ无关；求最优解y（x，μ）。  其中，S、T、σ、K都是常数参数。

这是一个金融学问题，股票期权定价。目前，已有不同的模型给出解答，与实际数据符合较好。其中，BSM期权定价公式为此获得诺贝尔奖。可是，关于市场中性条件假设，所有风险资产的收益率都相同，都是无风险收益率r，即μ=r=3%/年≈0%。实在是太巧合，应该寻求更好的解释或求解方法。

首先，从物理上（金融学上），认购期权价格C是“存在且唯一”的。而人们又不能预测未来短期股价的变化，即μ是不知道的。所以说，期权价格应该是与股价收益率μ无关的。既然任意路径都有相同的C，那么不妨选择最简单的一条路径，令μ=0，y=1/(2π)^0.5*e^(-x^2/2)，这样就能得到期权的价格C；即使不知道最优解y（x，μ）。

回到数学上的最优解问题。这与我以前说的“等时曲线”问题类似。只是这个更复杂，因为拉氏量显含x，故∂L/∂x≠0，而且∂L/∂ε≠0。所以，变分法就要重新推导更一般的拉格朗日方程才行。

我是这样想的，与x相关，那么微扰ε就不容易列出方程。或即使能列方程，也不好解方程。从一般经验，y（μ，x）应该是e^(-0.5x^2)的正态分布形式。我就猜想y=n(x+μ*T/（σ*T^0.5）)，这就可以把第二项（-K）的积分项写成N（d2-μ*T/（σ*T^0.5）），从而累积概率就与μ无关了。可是，这样拼凑，却不能同时消掉第一项的μ。

所以，我在想，也许认购期权价格C与股价收益率μ，有一点点关系。只是，实际μ很小，μ≈0，影响也会很小。

但若C与μ相关，那本质上就大有不同。人们就可以根据当前市场报价C去预测未来股价走势。当然，即使你真能知道μ，也未必能实际买卖股票盈利。

当前，人们也会研判市场情绪。一般根据平值认购期权与认沽期权的价格差C-P，显然若C-P＞0，那么市场情绪看涨；否则，市场情绪看跌。只是，即使市场是看涨情绪，也未必意味着股价未来真要上涨。

希望，有人能从数学分析上，把最优解y（x，μ）推导出来。这在数学上也很有意义，相当于把正态分布概率密度函数用另一种方式得到了。