伯特兰德寡头模型中厂商进行的是价格竞争。两个厂商生产的是有一定差别的同类产品，在品牌、质量等方面有所不同。因此伯特兰德模型中厂商的产品之间有很强的替代性，但又不是完全可替代，即价格不同时，价格较高的不会完全销不出去。两房地产商之间的竞争和模型中的假设完全一致：两房产商面临着是否降价的价格竞争，生产的是在品牌、质量上有所不同的产品，当一个楼盘比另外一个楼盘贵时，价格较高的楼盘并不会完全销不出去。两房产商分别为厂商1和厂商2.

当厂商1和厂商2价格分别为P1和P2时，它们各自的需求函数为：Q1=f(p1,p2)；Q2=g(p1,p2)，假设两厂商的成本分别是c1,c2，两厂商同时决策。（可以认为房产商在做出是否降价的决策之前，不知道对手是否会降价，认为他们是同时决策。先后决策情况会有所不同。）

在该博弈中，两博弈方为厂商1和厂商2；各自的策略空间为s1=[c1,P1max],s2=[c2,P2max],其中P1max、P2max分别为厂商1和厂商2还能卖出产品的最高价格；两博弈方的得益就是各自的利润，即销售收益减去成本，它们都是双方价格的函数：

U1=p1*q1-c1*q1=(p1-c1)*f(p1,p2)

U2=p2*q2-c2*q2=(p2-c2)*g(p1,p2)

用反应函数法分析这个博弈。上述得益函数在偏导数为0处有最大值，求出两厂商对对方策略（价格）的反应函数为

f(p1,p2)-c1*f’(p1,p2)=0  

g(p1,p2)-c2*g’(p1,p2)=0   

(f’(p1,p2)表示对p1的偏导数，g’(p1,p2)表示对p2的偏导数。偏导数不方便打。见谅！)

纳什均衡（p1*,p2*）是两反应函数的交点，则必须满足：

F(p1*,p2*)-c1*f’(p1*,p2*)=0

G(p1*,p2*)-c2*g’(p1*,p2*)=0

解此方程组可得p1*,p2*的具体形式。

假设q1=f(p1,p2)=a1-b1p1+d1p2

     Q2=g(p1,p2)=a2-b2p2+d2p1

其中，d1,d2>0即两厂商产品的替代系数。

根据反应函数法，反应函数构成的联立方程组为：

P1=1/2b1*(a1+b1c1+d1p2)

P2=1/2b2*(a2+b2c2+d2p1)

求两反应函数的交点可得纳什均衡（p1*,p2*），解之得；

P1*=d1/(4b1b2-d1d2)*(a2+b2c2)+2b2/(4b1b2-d1d2)*(a1+b1c1);p2*=d2/(4b1b2-d1d2)*(a1+b1c1)+2b1/(4b1b2-d1d2)*(a2+b2c2)

(p1*,p2*)为该博弈唯一的纳什均衡。将p1*,p2*代入两得益函数则可得到两厂商的均衡得益。

如果进一步假设a1=a2=28,b1=b2=1,d1=d2=0.5,c1=c2=2,则可解得p1*=p2*=20,u1*=u2*=324.

我们证明这种价格实际上是一种囚徒困境的价格。

从总体得益最大化的角度，使得总体得益最大的价格为p,总体得益为u=p*2q-c*2q（总体市场的销量是单个厂商销量的2倍），利用上面的数据，u=(p-2)*[2*(28-p+0.5p)],u在其一阶导数为0时有最大值，解得P=29,u=729>324*2

两厂商在协商的情况下所获得的利润，大于纳什均衡的价格所能获得的利润。因此，纳什均衡的定价是一种囚徒困境。

2.古诺模型分析消费者之间的需求量博弈

    市场上有2个消费者需要买房子，买方1的需求量为q1,买方2的需求量为q2，则市场总需求量为Q=q1+q2。价格由供求关系决定，P=f（q1,q2）。假设房子对每个买方的价值为相同的V。买方1、2同时决策。

在这个博弈中，博弈方为买方1，买方2；它们的策略空间为[0,qmax],，qmax为消费者的最大需求量，大于这个需求量的话，V<P，也就是消费者购买会得不偿失；买方1的得益u1=v*q1-p*q1，买方2的得益u2=v*q2-p*q2。

用反应函数法分析这个博弈，上述得益函数在偏导数为0时有最大值，求出博弈双方对对方策略（需求量）的最佳反应函数，纳什均衡（q1*,q2*）必满足反应函数联立的方程组，代入可得：

v-f’(q1*,q2*)q1*-f(q1*,q2*)=0

v-f’(q1*,q2*)q2*-f(q1*,q2*)=0

解这个方程组可得q1*,q2*的具体形式。

我们现在给出一些具体的数值和具体的函数形式，进行计算和效率分析。设V=50，p=8+Q。

u1=v*q1-p*q1=(v-p)*q1=(50-8-q1-q2)q1

u2=v*q2-p*q2=(v-p)*q2=(50-8-q1-q2)q2

利用得益的偏导数为0可得方程组：

42-q2-2q1=0

42-q1-2q2=0

纳什均衡(q1*,q2*)是该联立方程组的解，解之得q1*=q2*=14,q1*=q2*=14为该博弈唯一的纳什均衡，将该解代入得益函数可得u1=u2=196。

效率分析：

从总体得益最大化的角度考虑，使得总体得益最大的需求量为q,则买方总体得益u=(v-p)*q=（50-8-q）*q，得益函数在一阶导数为0时有最大值，求得q*=21，u=441>392。因此，两买方在协商、合作的情况下获得的得益，大于纳什均衡能提供的得益，纳什均衡（14，14）是一种囚徒困境。

    疑问：如果把这两个博弈结合起来，变成一个有同时选择的两阶段完全且完美信息动态博弈，（第一阶段房产商同时选择，第二阶段消费者同时选择）又该怎么分析呢？先分析第二阶段静态博弈的纳什均衡，然后分析第一阶段静态博弈的纳什均衡，得到整个动态博弈的子博弈完美纳什均衡。那么不同之处，除了和上面的分析换一个顺序之外，还有没有什么不同呢？怎么样得到一些有意义的结论？

    我知道这点浅显的博弈论不能预测房价是否会降，但是该分析告诉我们，如果房产商协商成功的话，售价会更高。